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专项训练八　图形折叠的相关计算
类型　与折叠有关的计算常用性质
折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.
(1)线段相等:C'D=CD,BC'=BC.
(2)角度相等:∠1=∠2,∠3=∠4.
(3)全等关系:△BC'D≌△BCD.
折痕可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分).
折痕可看作角平分线(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).
以矩形折叠为例,列举以下几种类型:
折法一　如图,点P为矩形ABCD边AD上一点,当点P与点D重合时,沿BP将△ABP折叠至△EBP,BE交CD于点H.
① (2024·雅安)如图,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F,若AB=6,BC=8,则cos∠ABF的值是　　　　.
折法二　如图,点P在AD上,将△ABP沿BP折叠至△EBP,点A落在CD边的点E处.
拓展类型
图1　 图2 (点P为AD的中点)图3
②(2024·眉山)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为 (　　)
A. B. C. D.
③ (2024·石家庄二模)如图,矩形ABCD中,AD=10,CD=6,点E为射线AB上的一个动点,将△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1.
(1)若点A1落在BC边上,则A1B=　　　　.
(2)在点E运动过程中,A1B的最小值为　　　　.
(3)若∠A1DC=30°,则线段AA1的长为　　　　.
折法三　如图,矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,沿EF将四边形AEFB折叠至A'EFB'后,B'落在AD上.
④ 如图,小雨要用一个长方形纸片ABCD折叠一个小兔子,第一步沿OG折叠,使点B落到CD边上的点B'处,若∠GB'C'=35°,则∠BOG= (　　)
A.65° B.62.5° C.55° D.52.5°
折法四　如图,矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,沿EF将四边形ABFE折叠至A'B'FE后,点B'落在CD上.
拓展类型
⑤ (2024·威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折,使点C落在AB上的点C'处,折痕为MN,点D落在点D'处,C'D'交AD于点E.若BM=3,BC'=4,AC'=3,则DN=　　　　.
⑥ 如图,已知正方形ABCD的边长为1,点E,F分别在边AD,BC上,将正方形沿着EF翻折,点B恰好落在CD边上的点B'处,如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5,那么线段FC的长为　　　　.
【详解答案】
对应练习
1.　解析:由折叠的性质,得∠DBC=∠DBF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠DBF=∠ADB,
∴BF=DF,
∴AF=AD-DF=8-BF,
在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2,
∴62+(8-BF)2=BF2,
解得BF=,
∴cos∠ABF=.
2.A　解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,∠B=∠C=∠D=90°,
∴∠CEF+∠EFC=90°.
∵把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,
∴AF=AD=8,∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFB+∠EFC=90°,
∴∠CEF=∠BFA.
∵AB=6,AF=8,
∴BF==2,
∴cos∠CEF=cos∠AFB=.
故选A.
3.(1)2　(2)2-10　(3)10或10
解析:(1)设A1B=x,则A1C=10-x,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,∴∠DAB=∠DA1E=∠C=90°,AD=A1D=10,∴102=62+(10-x)2,解得x=2或x=18(舍去).
∴A1B=2.
(2)∵AD=A1D=10,∴点A1在以D为圆心,以10为半径的圆上,∴当D,A1,B共线时,A1B取得最小值.∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,∴BD==2,∴A1B最小值为2-10.
(3)如图,当点A1在射线DC下方时,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,
∴∠ADC=90°,AD=A1D=10.∵∠A1DC=30°,
∴∠A1DA=60°,∴△A1DA是等边三角形,∴AA1=AD=A1D=10.
当点A'1在射线DC上方时,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A'1,∴∠ADC=90°,AD=A'1D=10,∵∠A'1DC=30°,∴∠A'1DA=120°,∴∠DA'1A=∠DAA'1=30°,过点D作DE1⊥AA'1于点E1,
∴DE1=AD=5,AE1=A'1E1,∴AE1==5,∴AA'1=2AE1=10.
4.B　解析:根据折叠可知,∠OB'C'=∠B=90°,
∵∠GB'C'=35°,∴∠OB'G=55°.
∵AB∥CD,∴∠B'OB=180°-55°=125°.
由折叠可知,∠BOG=∠B'OB=62.5°.故选B.
5.　解析:在Rt△C'BM 中,C'M==5,
由折叠可得 C'M=CM=5,∠D'C'M=∠D'=∠D=∠C=90°,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°,
∴∠BC'M=∠AEC'.
又∵AC'=BM=3,
∴△BC'M≌△AEC'(AAS),
∴BC'=AE=4,MC'=C'E=5,
∴AB=CD=C'D'=7,BC=AD=BM+CM=3+5=8,
∴DE=AD-AE=8-4=4,D'E=C'D'-C'E=7-5=2,
设DN=D'N=a,则EN=4-a,
在Rt△D'EN中,NE2=D'E2+D'N2,即 (4-a)2=a2+22,
解得a=.即DN=.
6.　解析:如图所示,连接BB',过点F作FH⊥AD于点H,
∵正方形ABCD的边长为1,四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5,∴S四边形ABFE=×1=.设CF=x,则DH=x,则BF=1-x.∴S四边形ABFE=(AE+BF)×AB=,即(AE+1-x)×1=.∴AE=x-.∴DE=1-AE=-x,∴EH=ED-HD=-x-x=-2x,由折叠可得BB'⊥EF,∴BF=B'F,∠1+∠2=∠BGF=90°.∵∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,又FH=BC=1,∠EHF=∠C.∴△EHF≌△B'CB(ASA),∴EH=B'C=-2x.在Rt△B'FC中,B'F2=B'C2+CF2,即(1-x)2=-2x2+x2.解得x=.

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