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(共61张PPT)
第六章　平面向量及其应用　6.2　平面向量的运算
6.2.3　向量的数乘运算
课标要求
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算.
引入
课时精练
一、向量的数乘运算
二、向量的线性运算
三、用已知向量表示其他向量
课堂达标
内容索引
四、向量共线定理
向量的数乘运算
一
探究1 如图，已知非零向量a做出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别怎样？
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍.
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝________.
②当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______；
当λ＝0时，λa＝____.
知识梳理
向量
|λ||a|
相同
相反
0
温馨提示
(1)数乘向量仍是向量；(2)实数λ与向量a不能相加减.
例1
√
(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各说法中，正确的是
A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B.当λ＝0时，λa与a是共线向量
C.|λa|＝λ|a|
D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
√
√
根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；
对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；
对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；
对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误.
λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.
思维升华
(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是
A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍
训练1
√
C.－2a与2a是一对相反向量
D.a－b与－(b－a)是一对相反向量
√
√
A中，∵－2<0，
∴－2a与a方向相反，两向量共线，
且|－2a|＝2|a|，∴A正确；
B中，∵3>0，
∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；
∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|，
∴B正确；
C中，按照相反向量的定义可以判断正确；
D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，
∴a－b与－(b－a)为相等向量.
∴D不正确.
向量的线性运算
二
探究2 实数的乘法满足哪些运算律？
提示　ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律).
知识梳理
1.数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝____________；
(2)(λ＋μ)a＝____________；
(3)λ(a＋b)＝____________.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________________.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
加、减、数乘
λμ1a±λμ2b
例2
原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.
4a－b
思维升华
1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.
2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
训练2
√
A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b
(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.
0
由题设得2x－a－b＝x－a－b，则x＝0.
用已知向量表示其他向量
三
例3
法一　连接CN，则AN綉DC，所以四边形ANCD是平行四边形.
又因为在四边形ADMN中，
思维升华
1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用.
2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程.
训练3
√
向量共线定理
四
探究3 如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)
提示　共线；存在.
提示　x＋y＝1，证明如下：
∵A，B，C三点共线，
则x＝1＋λ，y＝－λ，
∴x＋y＝1.
提示　共线.证明如下：
故A，B，C三点共线.
知识梳理
1.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__________.
b＝λa
温馨提示
(1)向量共线定理中规定a≠0 .
(2)λ的值是唯一存在的.
2.向量共线定理的推论
例4
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
√
√
思维升华
训练4
1
【课堂达标】
1.(多选)下列运算正确的是
A.(－3)·2a＝－6a
B.2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C.(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D.2(3a－b)＝6a－2b
√
√
√
根据向量数乘运算和加减运算规律知A，B，D正确；
C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.
√
2.(多选)下列说法正确的是
A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0)
B.若a∥b，则b＝λa(λ∈R)
C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|
√
当λ>0时，a与λa方向相同，当λ<0时，a与λa方向相反，故A正确；
当a≠0时，结论才成立，故B错误；
当|b|＝2|a|时，b与2a不一定共线，C错误；
显然当b＝±2a时，|b|＝2|a|，故D正确.
√
因为M是BC的中点，
4.设a，b是两个不共线的向量，若向量2a－3b与向量a＋tb(t∈R)共线，则t＝________.
由题意可知存在实数λ，2a－3b＝λ(a＋tb)，即2a－3b＝λa＋λtb，
【课时精练】
√
1.(多选)下列各式计算正确的有
A.(－7)6a＝－42a
B.7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C.a－2b＋a＋2b＝2a
D.4(2a＋b)＝8a＋4b
√
√
ACD正确，B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
√
2.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是
①a＝－3e，b＝2e；
A.① B.①② C.②③ D.①②③
√
A.矩形 B.梯形
C.平行四边形 D.菱形
∴四边形ABCD一定是梯形.
√
4.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k等于
∵向量m与向量n共线，
∴设m＝λn(λ∈R)，
∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
即(2λ－1)e1＝(λ－k)e2，
∵e1与e2不共线，
√
∵A，B，D三点共线，
8.若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
∵b与a方向相反，
∴设a＝λb(λ<0)，
∴|a|＝|λ||b|，即5＝|λ|×7，
9.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线.问是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2，
因为e1与e2不共线，
故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线.
法一　如图所示，在?ABCD中，设AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∴N为OC的中点，
√
∵△DEF∽△BEA，
3
∴点M是△ABC的重心.
由已知可得，m－2＝1，即m＝3.
∴C，M，N三点共线.
√
∴3x＋6y＝6.6.2.3　 向量的数乘运算
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.(多选)下列各式计算正确的有(　　)
(－7)6a＝－42a
7(a＋b)－8b＝7a＋15b
a－2b＋a＋2b＝2a
4(2a＋b)＝8a＋4b
2.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　)
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
① ①② ②③ ①②③
3.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若2＋3＝2＋3，则四边形ABCD一定是(　　)
矩形 梯形 平行四边形 菱形
4.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k等于(　　)
0 1 2
5.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，＝2，则用向量，表示为(　　)
＝－＋
＝－＋
＝－
＝＋
6.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则实数λ＝________.
7.如图正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近C的三等分点，则＝________________(用向量，表示).
8.若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
9.(13分)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线.问是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
10.(15分)在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示).
二、综合运用
11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
a＋b a＋b a＋b a＋b
12.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
13.(16分)如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线.
三、创新拓展
14.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则3x＋6y等于(　　)
－ －6 6
向量的数乘运算
1.ACD　[ACD正确，B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.]
2.B　[①中，a＝－b，所以a∥b；
②中，b＝－e1＝＝－a，
所以a∥b；
③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线.]
3.B　[∵2＋3＝2＋3，
∴2(－)＝3(－)，
∴2＝3，∴四边形ABCD一定是梯形.]
4.D　[∵向量m与向量n共线，
∴设m＝λn(λ∈R)，
∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
即(2λ－1)e1＝(λ－k)e2，
∵e1与e2不共线，
∴∴]
5.A　[由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝－.]
6.　[∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，λ＝.]
7.－　[∵＝＝－，＝＝－，
∴＝－＝－.]
8.－　[∵b与a方向相反，
∴设a＝λb(λ<0)，
∴|a|＝|λ||b|，即5＝|λ|×7，
∴λ＝±.
又λ<0，∴λ＝－.]
9.解　由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2，
因为e1与e2不共线，
所以
解得λ＝－2μ，
故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线.
10.解　法一　如图所示，在 ABCD中，设AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵＝3，
∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，
∴MN綉BO，
∴＝＝＝(b－a).
法二　＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a).
11.D　[∵△DEF∽△BEA，
∴＝＝，
∴DF＝AB＝DC，
∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)
＝a＋b.]
12.3　[法一　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心.
∴＋＝3，∴m＝3.
法二　在△ABC中，＝－，
＝－，
若＋＝m成立，则
(－)＋(－)＝m成立，
整理得＋＋(m－2)＝0，
由已知可得，m－2＝1，即m＝3.]
13.证明　设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BN＝BD，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，
∴与共线，且有公共点C，
∴C，M，N三点共线.
14.D　[＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋.
∵＝x＋y，
∴x＋y＝＋，
∴＝，
又与不共线，
∴x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝.
∴3x＋6y＝6.]6.2.3　向量的数乘运算
课标要求　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
【引入】 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算.
一、向量的数乘运算
探究1 如图，已知非零向量a做出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别怎样？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝________.
②当λ>0时，λa的方向与a的方向________；
当λ<0时，λa的方向与a的方向________；
当λ＝0时，λa＝____.
温馨提示　(1)数乘向量仍是向量；(2)实数λ与向量a不能相加减.
例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各说法中，正确的是(　　)
A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B.当λ＝0时，λa与a是共线向量
C.|λa|＝λ|a|
D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.
训练1 (多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是(　　)
A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍
B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的
C.－2a与2a是一对相反向量
D.a－b与－(b－a)是一对相反向量
二、向量的线性运算
探究2 实数的乘法满足哪些运算律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝________；
(2)(λ＋μ)a＝________；
(3)λ(a＋b)＝________.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的____________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________.
例2 (1)(链接教材P14例5)2(3a－2b)－6＝________.
(2)若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.
2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
训练2 (1)化简的结果是(　　)
A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b
(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.
三、用已知向量表示其他向量
例3 (链接教材P14例6)如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用.
2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程.
训练3 如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，＝m，＝n，则＝(　　)
A.m＋n B.m＋n C.m＋n D.m＋n
四、向量共线定理
探究3 如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，那么x与y有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 若＝x＋y，且x＋y＝1，那么A，B，C三点共线吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
温馨提示　(1)向量共线定理中规定a≠0.
(2)λ的值是唯一存在的.
2.向量共线定理的推论
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(O为平面内直线AB外任意一点)，其中x＋y＝1.
例4 (1)(链接教材P15例7)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共线，则(　　)
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点.若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.
(3)(链接教材P16例8)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，a－tb共线，则实数t＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
2.利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解.
训练4 (1)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
(2)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x满足＝x＋，则x＝________.
【课堂达标】
1.(多选)下列运算正确的是(　　)
A.(－3)·2a＝－6a
B.2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C.(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D.2(3a－b)＝6a－2b
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0)
B.若a∥b，则b＝λa(λ∈R)
C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|
3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.(a－b) B.－(a－b) C.(a＋b) D.－(a＋b)
4.设a，b是两个不共线的向量，若向量2a－3b与向量a＋tb(t∈R)共线，则t＝________.
向量的数乘运算
探究1　提示　＝＋＋＝a＋a＋a＝3a.
＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍.
知识梳理
向量　①|λ||a|　②相同　相反　0
例1　ABD　[根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；
对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；
对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；
对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误.]
训练1　ABC　[A中，∵－2<0，
∴－2a与a方向相反，两向量共线，
且|－2a|＝2|a|，∴A正确；
B中，∵3>0，
∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；
∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|，
∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的，
∴B正确；
C中，按照相反向量的定义可以判断正确；
D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，
∴a－b与－(b－a)为相等向量.
∴D不正确.]
探究2　提示　ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律).
知识梳理
1.(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb
2.加、减、数乘　λμ1a±λμ2b
例2　(1)4a－b　[原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.]
(2)b－a　[∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
∴a－2c＋15c－12b＝0，
化简得13c＝12b－a，
∴c＝b－a.]
训练2　(1)B　(2)0　[(1)原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝2b－a.
(2)由题设得2x－a－b＝x－a－b，则x＝0.]
例3　解　法一　
连接CN，则AN綉DC，所以四边形ANCD是平行四边形.
＝－＝－b，
又因为＋＋＝0，
所以＝－－＝b－a，
所以＝－＝＋
＝－b＋a＝a－b.
法二　因为＋＋＋＝0，
则a＋＋＋(－b)＝0，
所以＝b－a，
又因为在四边形ADMN中，
有＋＋＋＝0，
即b＋a＋＋＝0，
所以＝a－b.
训练3　A　[由已知可得＋＝0，＋＝0，由平面向量的加法可得 上述两个等式相加可得2＝＋＝m＋n，则＝(m＋n).]
探究3　提示　共线；存在.
探究4　提示　x＋y＝1，证明如下：
∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即－＝λ(－)，
∴＝(1＋λ)－λ，
又＝x＋y，
则x＝1＋λ，y＝－λ，
∴x＋y＝1.
探究5　提示　共线.证明如下：
由＝x＋y，且x＋y＝1，可得
＝x＋(1－x)
＝x＋－x
即－＝x(－)
所以＝x，
由向量共线定理，得与共线，
故A，B，C三点共线.
知识梳理
1.b＝λa
例4　(1)B　[∵＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共线，
∴＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b.
∵＝a＋5b，
∴＝，即与共线且有公共点B，则A，B，D三点共线.]
(2)D　[由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝.]
(3)±　[∵b－ta与a－tb共线，
∴存在实数λ，使得b－ta＝λ，
即a＋b＝0.
∵a与b不共线，∴
解得t＝±.]
训练4　(1)1　[依题意，＝e1＋2e2，
故＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2.
已知A，B，D三点共线，可设＝λ，
则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)＝λe1＋kλe2，
即(7－λ)e1＝(kλ－k－6)e2，
因为e1与e2不共线，
所以解得k＝1.]
(2)　[因为|BD|＝|BC|，
＝x＋，
所以＝x＋，
由A，E，D三点共线可得x＋＝1，得x＝.]
课堂达标
1.ABD　[根据向量数乘运算和加减运算规律知A，B，D正确；
C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.]
2.AD　[当λ>0时，a与λa方向相同，当λ<0时，a与λa方向相反，故A正确；
当a≠0时，结论才成立，故B错误；
当|b|＝2|a|时，b与2a不一定共线，C错误；
显然当b＝±2a时，|b|＝2|a|，故D正确.]
3.C　[因为M是BC的中点，
所以＝(a＋b).]
4.－　[由题意可知存在实数λ，2a－3b＝λ(a＋tb)，即2a－3b＝λa＋λtb，
即(2－λ)a＝(λt＋3)b，
因为a与b不共线，所以
解得t＝－.]

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