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等差数列与等比数列专题突破（典型例题与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习
一、单选题
1．若数列为等差数列，且，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知等差数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则（ ）
A．10 B． C． D．20
3．已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．60 B．75 C．99 D．125
4．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知单调递增的等差数列各项均为整数，其前项和为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．设为正项等比数列的前项和，，则数列的前5项和为（ ）
A．55 B．57 C．87 D．89
8．在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知等比数列满足，则（ ）
A．公比 B．
C．为等比数列 D．数列的公比为16
10．已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．若是等差数列，且，则
B．若是等比数列，且，则
C．若，则是等差数列
D．若是公比大于1的等比数列，则
11．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．数列的公比为2
B．
C．，都有成立
D．若，则数列的前2022项和为
三、填空题
12．已知以首项为2的数列的前项和为，现给出两个条件：①；②，从以上两个条件任选一个，则 ．
13．某校准备以诗歌朗诵的形式庆祝即将到来的五四青年节，现将筛选出的100名学生排列成“等腰梯形”人墙，最上面一层16人，从最上面一层开始，每一层人数比上一层少1人，则该“等腰梯形”人墙最下面一层的人数为 ．
14．若数列满足，且，则使成立的的最小值为 ．
四、解答题
15．已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求n的值．
17．已知数列的前项和为，且.
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由.
18．已知在正项数列中，，点在双曲线上.在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式并求出其前项和；
(2)求数列的前项和；
19．某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为．
(1)求的值及关于的表达式；
(2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B C C C B ACD AB
题号 11
答案 AD
1．D
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：D
2．B
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，求得，再由等差数列的求和公式，列出方程求得的值，结合通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，
可得，解得，
所以奇数项的和为，解得，
故．
故选：B.
3．C
【分析】根据题意，由条件可得数列的通项公式，再由即可求得，代入计算，即可求解.
【详解】设的公差为，则，则，
由可得即，
故时，取得最大值．
故选：C
4．B
【分析】由题意整理可得，可知数列为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得，即可得结果.
【详解】因为，可得，可知数列为等差数列，
又因为，即，即，
可知是2为公差的等差数列，
且，则，
可得，即，所有.
故选：B.
5．C
【分析】根据等差数列的和计算得出，再应用等比中项列式求，再计算通项及求和即可得出选项.
【详解】由题可得，即，
设公差为，因为成等比数列，所以，即，
整理可得，各项均为整数,解得或（舍去），
则，所以．
故选：C.
6．C
【分析】由，采用构造数列的方法，，则可以确定数列为等比数列，然后进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，所以．
故选：C.
7．C
【分析】先由已知条件算出公比，然后得表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.
【详解】因为是正项等比数列，所以，公比.
因为，所以，则，
即，则，解得或（舍），
又因为，
所以，所以数列的通项公式为，
所以，设数列的前项和为，
则
，
所以，
故选：C.
8．B
【分析】先根据等比中项结合等差数列的基本量运算得出通项公式，再应用错位相减法得出前n项和即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由题可得，即，则，
所以，又，所以，解得，则，
所以，
①，
①得，②，
①-②得,
则
．
故选：B.
9．ACD
【分析】A选项，利用求出公比；B选项，求出，相加得到答案；C选项，，从而得到；D选项，，得到，D正确.
【详解】A选项，设公比为，由得，解得，A正确；
B选项，因为，所以，B错误；
C选项，因为，所以，则，
故，为等比数列，C正确；
D选项，因为，所以，
所以，所以数列的公比为16，D正确．
故选：ACD
10．AB
【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用判断选项C；通过举例，判断选项D.
【详解】对于A，若是等差数列，则，
且，故 ，故A正确；
对于B，若是等比数列，则当时，，
且，则；
当时，，舍去，故B正确；
对于C，若，则，，
，故，所以不是等差数列，故C错误；
对于D，若，则,
此时，不满足，故D错误.
故选：AB
11．AD
【分析】利用递推关系式可得的公比为2，由等比数列定义可得，求得数列的通项公式可知C错误；再利用对数运算法则以及裂项相消求和可知D正确.
【详解】由①，得②，
②-①得，即，则的公比为2，A正确；
由A项得．又由已知得，即，所以，B错误；易知的通项公式为，则对，有，所以，C错误；
所以，
设的前项和为，则，D正确．
故选：AD
12．
【分析】若选择条件①，利用，通过构造得数列是等差数列，可求；若选择条件②，通过构造得数列是等比数列，可求.
【详解】若选择条件①：，
由题意可得，与原式作差可得，
变形可得，又，
所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以，
即；
若选择条件②：，
对原式变形可得，又，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故，
即．
故答案为：.
13．9
【分析】从上到下各层的人数构成公差为的等差数列，利用等差数列求和公式得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】记最上面一层人数为，一共层，
从上到下各层的人数构成公差为的等差数列，则，
整理得，解得或．
当时，；当时，（舍），
故最下面一层的人数为9．
故答案为：9
14．3
【分析】在等式左右同时取对数，设数列，构造等比数列求出，再求出，代入计算得出n的最小值.
【详解】因为，所以，则，即，
令，则，则，
所以，则数列是以为首项，5为公比的等比数列，所以，
即，
则，
则，
即，
由于当时，，
当时，，
当时，，所以的最小值为3．
故答案为：3.
15．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据得到为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出，再设的公比为，列出方程，求出，得到通项公式；
（2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】（1）因为，
故为公差为2的等差数列，
所以，
又，，成等差数列，故，
设的公比为，其中，
则，解得或，
当时，，此时，为递增数列，满足要求，
当时，，此时，为递减数列，舍去，
综上，，；
（2），则，
故为公差为3的等差数列，
故.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得到当时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果；
（2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式得到，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
即时，，
又时，，
所以数列为首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
又由，可得，
所以
，
又，所以，整理得到，解得，
所以n的值为.
17．(1)是，理由见解析
(2)是，理由见解析
【分析】（1）利用，求得数列的通项公式，进而可得结论；
（2）利用（1）的结论可求得，可得结论.
【详解】（1）当时，，
当时，得，
则，
化简得，
当时，成立.
综上所述，数列的通项公式为，
当时，，故数列为等差数列.
（2）因为，且，
所以，
当时，，故数列为等差数列.
18．(1)，.
(2)
【分析】（1）由已知有，根据等差数列定义写出通项公式和前n项和公式；
（2）由题设，，作差整理得，再结合等比数列求和公式即可求解
【详解】（1）由点在上，则.
数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
所以，.
（2）因为点在直线上，①，②，
两式相减，得，则.
由①式，令得，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以
19．(1)，．
(2)证明见解析，．
【分析】(1)根据题意，利用互斥事件的概率公式可求得，再根据第天选择餐厅用餐的概率得到关于的表达式；
(2)由(1)可得到是等比数列，利用等比数列的通项公式可求得.
【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，
则，且与互斥．根据题意得
，
，
，
，
即．
（2）
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
从而．
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