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DIERZHANG
第二章
2　第2课时　气体的等温变化
1.知道玻意耳定律的内容、公式及适用条件，能用玻意耳定律解答有关问题(重难点)。
2.理解等温变化的图像，并能利用图像分析实际问题(重点)。
学习目标
一、玻意耳定律及其应用
二、气体等温变化的p-V图像或p- 图像
课时对点练
内容索引
玻意耳定律及其应用
一
1.玻意耳定律
一定质量的某种气体，在 不变的情况下，压强p与体积V成 。
2.公式
pV=C(C是常量)或 。
3.条件
气体的 一定， 不变。
温度
反比
p1V1=p2V2
质量
温度
1.国庆放假，小明带弟弟去湖边游玩，弟弟看到湖水中鱼儿吐出小气泡，非常开心。小明回家后，给弟弟画了一幅鱼儿在水中吐气泡的图，如图所示。若湖水的温度恒定不变，你认为他画得　　　　(填“对”或“不对”)，原因是_____________________________________________
___________________。(请运用物理知识简要说明)
思考与讨论
不对
气泡上升过程中，温度不变，气泡内气体压强不断
减小，体积不断增大
2.一定质量的气体温度升高时，pV=C中的C的数值是怎样变化的？为什么？
思考与讨论
答案　增大。若一定质量的气体的体积保持不变，当温度升高时，压强会增大，故C值变大。
　一定质量的气体，压强为3 atm，保持温度不变，当压强减小了2 atm时，体积变化了4 L，则该气体原来的体积为
A. L B.2 L
C. L D.3 L
例1
√
设该气体原来的体积为V1，由气体等温变化规律知压强减小时，气体体积增大，即3V1=(3-2)·(V1+4 L)，解得V1=2 L，B正确。
　玻璃瓶可作为测量水深的简易装置。如图所示，潜水员在水面上将80 mL水装入容积为380 mL的玻璃瓶中，拧紧瓶盖后带入水底，倒置瓶身，打开瓶盖，让水进入瓶中，稳定后测得瓶内水的体积为230 mL。将瓶内气体视为理想气体，全程气体不泄漏且温度不变。大气压强p0取1.0×105 Pa，重力加速度g取10 m/s2，水的密度取1.0×103 kg/m3。
求水底的压强p和水的深度h。
例2
答案　2.0×105 Pa　10 m
对瓶中所封的气体，由玻意耳定律可知p0V0=pV，
即1.0×105 Pa×(380-80) mL=p×(380-230) mL，
解得p=2.0×105 Pa，根据p=p0+ρgh，解得h=10 m。
　(2024·广东省模拟)一定质量的理想气体被一个质量为m=5 kg、横截面积为S=25 cm2的活塞封闭在竖直放置的圆柱形汽缸内。汽缸壁导热良好，活塞可沿汽缸壁无摩擦地滑动。开始时活塞下表面相对于汽缸底部的高度为25 cm，外界的温度为27°；现将一物块轻放在活塞的上表面，平衡时，活塞下降了5 cm。已知外界大气压强为p0=1×105 Pa，重力加速度大小g=10 m/s2。求：
(1)初始状态封闭气体的压强；
例3
答案　1.2×105 Pa
设初始汽缸内气体压强为p1，放上物块后稳定时，
汽缸内气体压强为p2，
根据平衡条件得p1S=p0S+mg
解得p1=1.2×105 Pa。
(2)物块的质量M。
答案　7.5 kg
初始气柱高度h1=25 cm，
再次稳定后气柱高度h2=25 cm-5 cm=20 cm
由玻意耳定律得p1h1S=p2h2S
解得p2=1.5×105 Pa
由平衡条件有p2S=p0S+(M+m)g
解得M=7.5 kg。
总结提升
应用气体等温变化规律解题的一般步骤
1.确定研究对象，并判断是否满足气体等温变化规律的条件。
2.确定初、末状态及状态参量(p1、V1)、(p2、V2)。
3.根据气体等温变化规律列方程求解(注意统一单位)。
4.注意分析隐含条件，作出必要的判断和说明。
特别提醒　确定气体压强或体积时，只要初、末状态的单位统一即可，没有必要都转换成国际单位制的单位。
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气体等温变化的p-V图像或p- 图像
二
1.气体的压强p随体积V的变化关系如图所示，图线的形状为 ，它描述的是温度不变时的p-V关系，称为等温线。
2.一定质量的气体，不同温度下的等温线是 的。
双曲线的一支
不同
1.如图所示为一定质量的气体在不同温度下的p-V图线，T1和T2哪一个大？为什么？
思考与讨论
答案　T2大。一定质量的气体，温度越高，气体压强与体积的乘积必然越大，在p-V图像上的等温线离坐标原点越远。
2.如图所示为一定质量的气体在不同温度下的p- 图线，T1和T2哪一个大？为什么？
答案　T2大。直线的斜率表示p与V的乘积，斜率越大，p与V乘积越大，温度越高。
　如图所示是一定质量的某种气体状态变化的p-V图像，气体由状态A变化到状态B的过程中，关于气体的温度和分子平均速率的变化情况，下列说法正确的是
A.都一直保持不变
B.温度先升高后降低
C.温度先降低后升高
D.平均速率先减小后增大
例4
√
由题图可知pAVA=pBVB，所以A、B两状态的温度相等，在同一等温线上，可在p-V图上作出等温线，如图所示。由于离原点越远的等温线温度越高，所以从状态A到状态B温度应先升高后降低，分子平均速率先增大后减小，故选B。
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课时对点练
三
考点一　玻意耳定律及其应用
1.(2024·南通市模拟)如图所示，医护人员用注射器将药液从密封药瓶中缓缓抽出，在此过程中瓶中气体的
A.压强增大，分子数密度增大
B.压强增大，分子数密度减小
C.压强减小，分子数密度增大
D.压强减小，分子数密度减小
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基础对点练
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医护人员用注射器将药液从密封药瓶中缓缓抽出，在此过程中瓶中药液的体积减小，则气体的体积增加，而气体的温度可视为不变，则气体压强减小，气体分子总数一定，则气体分子数密度减小。故选D。
2.水中的一个气泡从距离水面30 m处上升到距离水面10 m处时，它的体积约变为原来体积的(气泡上升过程中温度不变，大气压强p0=1×105 Pa，水的密度为1×103 kg/m3，g取10 m/s2)
A.4倍 B.3倍
C.2倍 D.2.5倍
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大气压强为p0=1×105 Pa，距离水面30 m处的压强p1=p0+ρgh1=4p0，距离水面10 m处的压强p2=p0+ρgh2=2p0，根据p1V1=p2V2，它的体积变为原来体积的2倍，故选C。
3.(多选)如图甲所示，一汽缸竖直放置，汽缸内有一质量不可忽略的活塞。将一定质量的气体封闭在汽缸内，活塞与汽缸壁无摩擦，气体处于平衡状态。现保持温度不变，把汽缸向右倾斜90°(如图乙所示)，达到平衡后，与原来相比
A.气体的压强变大 B.气体的压强变小
C.气体的体积变大 D.气体的体积变小
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√
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对活塞受力分析可知，开始时，封闭气体的压
强p1=p0-，而汽缸向右倾斜90°后，p2=p0，
故p1
V2，故A、D正确。
4.如图所示，两根粗细相同的玻璃管下端用橡皮管相连，左管内封有一段长30 cm的气体，右管开口，左管水银面比右管内水银面高25 cm，大气压强为75 cmHg，现移动右侧玻璃管，使两侧管内水银面相平，此时气体柱的长度为
A.20 cm B.25 cm
C.40 cm D.45 cm
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设玻璃管横截面积为S，初态时左管封闭气体的压强为
p1=75 cmHg-25 cmHg=50 cmHg，
体积V1=30S (cm3)
当两侧管内水银面相平时，设气体柱长为L，则气体体积为V2=LS，压强p2=75 cmHg，由玻意耳定律可得p1V1=p2V2，解得L=20 cm，故A正确，B、C、D错误。
考点二　气体的p-V图像或p- 图像
5.(多选)下列选项图中，p表示压强，V表示体积，T表示热力学温度，各图中正确描述一定质量的气体发生等温变化的是
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√
√
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选项A图中可以直接看出温度不变；
B图说明p∝，即pV=常数，是等温过程；
C图横坐标为温度，不是等温变化；
D图的p-V图线不是双曲线，故不是等温线，故选A、B。
6.(多选)(2023·长春市解放大路学校高二期中)如图所示为一定质量的气体在不同温度下的两条等温线(双曲线的一支)，则下列说法中正确的是
A.一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成反比
B.一定质量的气体，在不同温度下的等温线是不同的
C.T1>T2
D.T11
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由玻意耳定律可知，一定质量的气体发生等温变化时，
其压强与体积成反比，故A正确；
玻意耳定律pV=C，其中常数C与温度有关，温度越高，
常数C越大，因此一定质量的气体，在不同温度下的等温线是不同的，故B正确；
pV之积越大表示温度越高，因此T17.(多选)如图所示，D→A→B→C表示一定质量的某种气体状态变化的一个过程，则下列说法正确的是
A.D→A是一个等温过程
B.A→B是一个等温过程
C.TA>TB
D.B→C过程中，气体体积增大、压强减小、温度不变
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D→A是一个等温过程，A正确；
由题图可知T2>T1，故A到B温度升高，B、C错误；
B→C是一个等温过程，V增大，p减小，D正确。
8.如图，自动洗衣机洗衣缸的底部与竖直均匀细管相通，细管上部封闭，并与压力传感器相接。洗衣缸进水时，细管中的空气被水封闭，随着洗衣缸中水面的上升，细管中的空气被压缩，当细管中空气压强达到一定数值时，压力传感器使进水阀门关闭，这样就可以自动控制进水量。已知刚进水时细管中被封闭空气柱长度为52 cm(忽略此时洗衣缸内水位的高度)，大气压强p0=1.0×105 Pa，水的密度ρ=1.0×103 kg/m3，重力加速度g=10 m/s2。当空气柱被压缩到50 cm长时，压力传感器关闭洗衣机进水阀门，则此时洗衣缸内水位高度为(设整个过程中温度保持不变)
A.40 cm B.42 cm
C.44 cm D.46 cm
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能力综合练
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设洗衣缸内水位高度为h，刚进水时细管中被封
闭空气柱长度为l1，细管横截面积为S，压力传感
器关闭时空气柱长度为l2，则由气体等温变化规律
可知p0l1S=pl2S，则压力传感器关闭洗衣机进水阀门时管内气体的压强为p=p0+ρg(h-l1+l2)，解得h=42 cm，故选B。
9.(2024·邯郸市邯山区第一中学高二月考)水银气压计中混入了一个气泡，上升到水银柱的上方，使水银柱上方不再是真空。当实际大气压相当于760 mm高的水银柱产生的压强时，这个水银气压计的读数只有742 mm，此时管中的水银面到管顶的距离为80 mm。当这个气压计的读数为732 mm水银柱时，实际的大气压强为(环境温度不变)
A.748 mmHg B.756 mmHg
C.742 mmHg D.758 mmHg
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以管中封闭气体为研究对象，设玻璃管的横截面积为S，
初态p1=(760-742) mmHg=18 mmHg，V1=80S (mm3)
末态p2=(p-732) mmHg，V2=80S+(742-732)S (mm3)=90S (mm3)
根据气体等温变化规律得p1V1=p2V2，
代入解得p=748 mmHg，A正确。
10.(2023·辽宁省高二期末)一端封闭的粗细均匀的细玻璃管竖直放置，水银柱长15 cm，开口向上时，管内封闭的空气柱长15 cm；开口向下时，管内封闭的空气柱长22.5 cm，水银没有溢出。求：
(1)大气压强p(cmHg)；
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答案　75 cmHg
封闭部分气体做等温变化，设横截面积为S，则有p1·15S=p2·22.5S
p1=p+15 cmHg，p2=p-15 cmHg
解得p=75 cmHg
(2)把管水平放置时，管内封闭空气柱的长度L。
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答案　18 cm
把管水平放置时有p1·15S=p3·LS，p3=p
解得L=18 cm。
11.如图甲所示，气压式升降椅内的汽缸填充了氮气，汽缸上下运动支配椅子升降。如图乙所示为其简易结构示意图，圆柱形汽缸与椅面固定连接，总质量为m=5 kg。横截面积为S=10 cm2的柱状气动杆与底座固定连接。可自由移动的汽缸与气动杆之间封闭一定质量氮气，稳定后测得封闭气柱长度为L=21 cm。设汽缸气密性、导热性能均良好，忽略摩擦力。已知大气压强为p0=1×105 Pa，环境温度不变，重力加速度为g=10 m/s2。求：
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(1)初始状态封闭气体的压强；
答案　1.5×105 Pa
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对汽缸与椅面整体受力分析，
由受力平衡有p1S=p0S+mg
得p1=1.5×105 Pa
(2)若把质量为M=30 kg的重物放在椅面上，稳定后椅面下降的高度。
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答案　14 cm
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重物放上后，设汽缸内气体压强为p2，对汽缸、椅面与重物整体受力分析
由受力平衡有p2S=p0S+(m+M)g
得p2=4.5×105 Pa
对汽缸内气体分析，导热性能良好，室温不变，则汽缸内气体温度不变
初状态p1=1.5×105 Pa，V1=LS，
末状态p2=4.5×105 Pa，V2=L'S，
对汽缸内气体由气体等温变化规律有
p1LS=p2L'S，得L'=7 cm，
即高度下降h=L-L'=14 cm。
12.如图所示，竖直放置的导热性良好的汽缸，活塞横截面积为S=0.01 m2，可在汽缸内无摩擦滑动，汽缸侧壁有一个小孔与装有水银的U形玻璃管相通，汽缸内封闭了一段高为H=70 cm的气柱(U形管内的气体体积不计)。已知活塞质量m=6.8 kg，大气压强p0=1×105 Pa，水银密度ρ=13.6×103 kg/m3，g=10 m/s2。
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尖子生选练
(1)求U形管中左管与右管的水银面的高度差h1；
答案　5 cm
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以活塞为研究对象，则有p0S+mg=p1S
得p1=p0+
而p1=p0+ρgh1，所以有：=ρgh1
解得：h1== m=0.05 m=5 cm
(2)若用一竖直向上的拉力缓慢拉动活塞使U形管中左管水银面高出右管水银面h2=5 cm，求活塞平衡时到汽缸底部的距离为多少厘米(结果保留整数)。
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答案　80 cm
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活塞上加一竖直向上的拉力，U形管中左管水银面高出右管水银面h2=5 cm
封闭气体的压强p2=p0-ρgh2=(1×105-13.6×103×10×0.05) Pa=93 200 Pa
初始时封闭气体的压强为：
p1=p0+=106 800 Pa
汽缸内的气体发生的是等温变化，
根据气体等温变化规律有：p1V1=p2V2，
即p1HS=p2H'S，解得：H'≈80 cm。
返回第2课时　气体的等温变化
［学习目标］　1.知道玻意耳定律的内容、公式及适用条件，能用玻意耳定律解答有关问题(重难点)。2.理解等温变化的图像，并能利用图像分析实际问题(重点)。
一、玻意耳定律及其应用
1.玻意耳定律
一定质量的某种气体，在　　　　不变的情况下，压强p与体积V成　　　　。
2.公式
pV=C(C是常量)或　　　　　　。
3.条件
气体的　　　　一定，　　　　不变。
1.国庆放假，小明带弟弟去湖边游玩，弟弟看到湖水中鱼儿吐出小气泡，非常开心。小明回家后，给弟弟画了一幅鱼儿在水中吐气泡的图，如图所示。若湖水的温度恒定不变，你认为他画得　　　　　　(填“对”或“不对”)，原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。(请运用物理知识简要说明)
2.一定质量的气体温度升高时，pV=C中的C的数值是怎样变化的？为什么？
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例1　一定质量的气体，压强为3 atm，保持温度不变，当压强减小了2 atm时，体积变化了4 L，则该气体原来的体积为(　　)
A. L B.2 L
C. L D.3 L
例2　玻璃瓶可作为测量水深的简易装置。如图所示，潜水员在水面上将80 mL水装入容积为380 mL的玻璃瓶中，拧紧瓶盖后带入水底，倒置瓶身，打开瓶盖，让水进入瓶中，稳定后测得瓶内水的体积为230 mL。将瓶内气体视为理想气体，全程气体不泄漏且温度不变。大气压强p0取1.0×105 Pa，重力加速度g取10 m/s2，水的密度取1.0×103 kg/m3。求水底的压强p和水的深度h。
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例3　(2024·广东省模拟)一定质量的理想气体被一个质量为m=5 kg、横截面积为S=25 cm2的活塞封闭在竖直放置的圆柱形汽缸内。汽缸壁导热良好，活塞可沿汽缸壁无摩擦地滑动。开始时活塞下表面相对于汽缸底部的高度为25 cm，外界的温度为27°；现将一物块轻放在活塞的上表面，平衡时，活塞下降了5 cm。已知外界大气压强为p0=1×105 Pa，重力加速度大小g=10 m/s2。求：
(1)初始状态封闭气体的压强；
(2)物块的质量M。
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
应用气体等温变化规律解题的一般步骤
1.确定研究对象，并判断是否满足气体等温变化规律的条件。
2.确定初、末状态及状态参量(p1、V1)、(p2、V2)。
3.根据气体等温变化规律列方程求解(注意统一单位)。
4.注意分析隐含条件，作出必要的判断和说明。
特别提醒　确定气体压强或体积时，只要初、末状态的单位统一即可，没有必要都转换成国际单位制的单位。
二、气体等温变化的p-V图像或p- 图像
1.气体的压强p随体积V的变化关系如图所示，图线的形状为　　　　　　　　，它描述的是温度不变时的p-V关系，称为等温线。
2.一定质量的气体，不同温度下的等温线是　　　　的。
1.如图所示为一定质量的气体在不同温度下的p-V图线，T1和T2哪一个大？为什么？
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.如图所示为一定质量的气体在不同温度下的p- 图线，T1和T2哪一个大？为什么？
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例4　如图所示是一定质量的某种气体状态变化的p-V图像，气体由状态A变化到状态B的过程中，关于气体的温度和分子平均速率的变化情况，下列说法正确的是(　　)
A.都一直保持不变
B.温度先升高后降低
C.温度先降低后升高
D.平均速率先减小后增大
答案精析
一、
1.温度　反比　
2.p1V1=p2V2　
3.质量　温度　
思考与讨论
1.不对　气泡上升过程中，温度不变，气泡内气体压强不断减小，体积不断增大
2.增大。若一定质量的气体的体积保持不变，当温度升高时，压强会增大，故C值变大。
例1　B　［设该气体原来的体积为V1，由气体等温变化规律知压强减小时，气体体积增大，即3V1=(3-2)·(V1+4 L)，解得V1=2 L，B正确。］
例2　2.0×105 Pa　10 m
解析　对瓶中所封的气体，由玻意耳定律可知p0V0=pV，即1.0×105 Pa×(380-80) mL=p×(380-230) mL，解得p=2.0×105 Pa，根据p=p0+ρgh，解得h=10 m。
例3　(1)1.2×105 Pa　(2)7.5 kg
解析　(1)设初始汽缸内气体压强为p1，放上物块后稳定时，汽缸内气体压强为p2，
根据平衡条件得p1S=p0S+mg
解得p1=1.2×105 Pa。
(2)初始气柱高度h1=25 cm，
再次稳定后气柱高度h2=25 cm-5 cm=20 cm
由玻意耳定律得p1h1S=p2h2S
解得p2=1.5×105 Pa
由平衡条件有p2S=p0S+(M+m)g
解得M=7.5 kg。
二、
1.双曲线的一支　
2.不同　
思考与讨论
1.T2大。一定质量的气体，温度越高，气体压强与体积的乘积必然越大，在p-V图像上的等温线离坐标原点越远。
2.T2大。直线的斜率表示p与V的乘积，斜率越大，p与V乘积越大，温度越高。
例4　B　［由题图可知pAVA=pBVB，所以A、B两状态的温度相等，在同一等温线上，可在p-V图上作出等温线，如图所示。由于离原点越远的等温线温度越高，所以从状态A到状态B温度应先升高后降低，分子平均速率先增大后减小，故选B。
］

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