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专题09 函数与直角平面坐标系
要了解平面直角坐标系的概念，包括由具有公共原点的两条互相垂直的数轴组成的这个基本构成要素等内容，能够正确画出直角坐标系。
能由点的坐标确定点在坐标系中的位置，也能由点的位置确定点的坐标，掌握坐标平面内不同位置点的坐标特征。
了解平行与两坐标轴的直线上点的特点，掌握对称点的特征，区分点到坐标轴的距离与线段长度。
明白常量和变量的意义，了解函数的一般概念。
理解自变量的取值范围和函数值的意义，能够确定函数自变量的取值范围。
用描点法画出函数的图像，描点法包括列表、描点、连线三个步骤，在选取点时尽量选取有代表性的合理的点，连线时应用光滑的曲线连结，并且能对观察实际问题的图象正确理解横纵坐标表示的意义。
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应。
平面直角坐标系中点的特点
①坐标轴上点的特点：x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。
②在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）
③点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。
④第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
平面直角坐标系中对称点的特点
①关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反）
②关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同）
③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。
函数的三种表示方法
①解析式法：用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。
②列表法：用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
③图象法：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
【经典例题1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为，，按照此方法可以将目标C的位置表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有序数对的应用．理解题意是解题的关键．
由目标A，B的位置分别表示为，，可知目标C的位置表示为．
【详解】解：∵目标A，B的位置分别表示为，，
∴目标C的位置表示为，
故选：C．
【变式训练1-1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（ ）
A．表示排a号
B．表示第b排a号位
C．表示b排或a号
D．与不可能代表同一个位置
【答案】B
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可．
【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为，
∴表示第b排a号位，
故选：B．
【变式训练1-2】（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小丽的座位坐标为，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案．
【详解】解：∵只有与是相邻的，
∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置．
【变式训练1-3】（2023·吉林·一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪
【答案】C
【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解．
【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G，
故选：C．
【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．
【变式训练1-4】（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 ．
【答案】（4，1）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
【变式训练1-5】（2023·北京海淀·一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
【答案】 天文馆
【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
【详解】解：∵表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为，天文馆的位置离入口最近．
故答案为：，天文馆．
【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，确定原点位置．
【经典例题2】如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示．
(1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示；
(2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置；
(3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】此题主要考查了有序数对确定位置，正确理解有序数对意义是解题关键．
（1）直接利用已知有序数对，结合平位置得出答案；
（2）利用已知有序数对，进而得出答案；
（3）先规划好路线，再用有序数对表示路线即可．
【详解】（1）解：小颖家在东王小区，她家的位置可以用表示；
故答案为：；
（2）解：如图所示：李红家的位置即为所求；
（3）解：李红从家到少年宫的一条路线可以为：
．
【变式训练2-1】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：

(1)，，；
(2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置．
【答案】(1)，；，0；，；
(2)见解析．
【分析】（1）根据规定及实例可知，记为，记为，记为；
（2）按题目平移规定，点A分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移两个格点即可得到点P的位置．在图中标出即可．
本题主要考查了用有序实数对表示路线．熟练掌握行走路线的记录方法是解题的关键．
【详解】（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴记为，
记为，
记为；
故答案为：，；，0；，；
（2）∵甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，
∴A分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点即可得到点P的位置．P点位置如图所示．
．
【变式训练2-2】如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．

(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：
①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．
问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
【答案】(1)点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜
(2)走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多
【分析】（1）由题可知，数对中第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数，由此可解；
（22）根据第（1）问中求出的结果计算即可
【详解】（1）解：点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜；
（2）解：走①A→C→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜；
走②A→E→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜；
走③A→E→F→B吃到个胡萝卜，棵青菜；
因此走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多．
【点睛】本题考查有序数对，明白第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数是关键．
【变式训练2-3】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图是某城市道路示意图：

(1)如果湘街与鲁路交叉道口点A的坐标记作，浙街与陕路交叉道口点B的坐标记作，则此时是______街与______路的交叉道口；
(2)在（1）的条件下渝街与陕路交叉道口的坐标记作______；沪街与京路交叉道口的坐标记作______；
(3)用有序数对写出2种从A地到B地的最短路线，如：—————．
【答案】(1)苏，冀
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，即可找到的位置；
（2）参照的位置，可得其他交叉道口的坐标；
（3）答案不唯一，要求路程总长最短即可．
【详解】（1）解：此时是苏街与冀路的交叉道口，
故答案为：苏，冀；
（2）以苏街与冀路的交叉道口为，
则渝街与陕路交叉道口的坐标记作，
沪街与京路交叉道口的坐标记作，
故答案为：，；
（3）最短路线可以为：—————，
或—————．
【点睛】本题考查了确定位置，解题的关键是用已知点的位置做参照，找到其他位置．
【经典例题3】（2023·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，用到的知识点为点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值直接求解即可．
【详解】解：点到x轴的距离是：．
故选：C．
【变式训练3-1】（2024·贵州铜仁·一模）点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标．根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：点是第三象限内的点，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标是．
故选：C．
【变式训练3-2】（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征．设点A的坐标是，根据点M在第二象限内，可得，，再由点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，可得，，即可求解．
【详解】解：设点A的坐标是，
∵点M在第二象限内，
∴，，
∵点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标是．
故选：B．
【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，已知x轴上一点P到y轴的距离是2，则点P的坐标是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【分析】此题考查了点的坐标，确定出P的横坐标是解题的关键．根据P的位置，结合题意确定出P坐标即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，x轴上一点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是或2，纵坐标是0，
∴点P的坐标是或．
故选：D．
【变式训练3-4】（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限的点的横纵坐标均为正数，且点到两个坐标轴的距离相等得出，求解即可得出答案．
【详解】解：∵点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，
∴，
解得：，
故答案为：．
【经典例题4】（2024·湖北·模拟预测）点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了判断点所在的象限，掌握各象限的符号特征是解题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：，
，，
点在第一象限，
故选：A．
【变式训练4-1】（2024·广东广州·模拟预测）点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在各象限内的坐标符号即可解答．
【详解】平面直角坐标系内的点位于第四象限．
故选：D．
【变式训练4-2】（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：∵，
∴在平面直角坐标系中，点落在第二象限，
故选：B．
【变式训练4-3】（2024·贵州黔南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度后位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平面直角坐标系中点的坐标，根据平移中点的变化规律及平面直角坐标系中点的坐标特征即可求解，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限是解题的关键．
【详解】解：∵点向右平移个单位长度，
∴平移后的坐标为，即，
∴平移后的坐标位于第一象限，
故选：．
【变式训练4-4】（2023·贵州六盘水·一模）一次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据图象分布，确定k，b的符号，后确定位置即可．
本题考查了一次函数图像：一次函数、为常数，图像分布与k，b得关系是解题的关键．
【详解】解：∵图象分布在二、三、四象限，
∴，
∴在第三象限；
故选C．
【变式训练4-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了象限内的点的符号特点，注意加任意一个正数，结果恒为正数成为解题的关键．
先判断出点P的横坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可．
【详解】解：∵为非负数，
∴为正数，
∴点P的的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P在第四象限．
故选D．
【经典例题5】（2024·山东·模拟预测）若点关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，以及解不等式组，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：由题知，点关于坐标原点中心对称的点Q的坐标为，
点Q在第四象限，
，
解得，
故选：D．
【变式训练5-1】（2024·广东中山·二模）已知点在第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征，解一元一次不等式组，根据第三象限点的坐标特征列出不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再取公共部分即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【变式训练5-2】（2024·广西·模拟预测）若点在第三象限，则实数x的取值范围 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组以及点的坐标，列出不等式组是解答本题的关键．根据为第三象限点，得到横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
由①得：；
由②得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
【变式训练5-3】（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是象限点的坐标特征及解一元一次不等式组，熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出的范围．
【详解】解：当点在第一象限时得出不等式组为，
解得：，
所以点不在第一象限时的取值范围是或．
故答案为：或．
【变式训练5-4】（2024·西藏日喀则·二模）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，根据第三象限内点的符号特征，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
解得：；
故答案为：．
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解．
【详解】解：连接AC，
∵点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴点的横坐标为，
故选：C．
【变式训练6-1】已知，点在y轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特点，根据轴上的点的横坐标为0，可得，求解得到m的值，从而得到点P的坐标．
【详解】解：∵点P在y轴上，
∴，
解得，
∴P点的坐标为．
故选：A．
【变式训练6-2】（2024·湖北荆门·模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、坐标与图形，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用菱形的性质得到，，即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵，，点B，C在y轴上，
，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
，
∴D点的坐标为或，
故选：C．
【变式训练6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）平面直角坐标系中，点P位于x轴上且距y轴6个单位长度，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】此题考查点的坐标，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再分象限讨论即可得答案．
【详解】解：解：平面直角坐标系中，点P位于x轴上且距y轴6个单位长度，
则点P的坐标是或，
故选D．
【变式训练6-4】（2024·湖南永州·模拟预测）已知点在y轴上，则点在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【答案】A
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点（横坐标为0）得出n的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
∴，
∴点即，在第四象限．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标．记住y轴上点的坐标特点、各象限内点的坐标的符号是解决的关键．y轴上点的坐标特点是：横坐标为0；四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【经典例题7】已知点，，若且轴，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了平行于轴的直线上点的坐标特征，两点间距离，理解平行于轴的直线上点的坐标特征是解答关键．
根据平行于轴的直线上点的坐标特征设设点　，利用列出方程求解．
【详解】解： 轴，，
设点．
点，，若且轴，
，
解得，，
或．
故选：C．
【变式训练7-1】已知平面直角坐标系中有一点．
(1)已知点，当轴时，求点的坐标和线段的长；
(2)当点到轴的距离为1时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了坐标与图形，掌握距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上绝对值的符号，这是解题的关键．
（1）根据轴，得到M，N点的纵坐标相等，求出m的值，得到点M的坐标，从而得到线段的长度；
（2）根据点M到y轴的距离为1，得到，求出m的值即可得到点M的坐标．
【详解】（1）解：轴，
，点的纵坐标相等，
，点，
，
，
，
，
线段的长度；
（2）点到y轴的距离为1，
，
或，
或，
或，
或．
【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，点M为第三象限内的一点．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)若点 ， 请用含 m的式子表示的面积
(3)若点到坐标轴的距离相等，且，，求点N的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了绝对值和完全平方公式的非负性，平面直角坐标系的坐标和图形，
（1）根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b的值，可得答案；
（2）以为底，以点M的纵坐标的绝对值为高可得答案；
（3）先根据距离相等可得方程，再结合所在象限求出点M的坐标，然后根据的长度得出答案．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：如图，
为，且在第三象限内，
，
的面积；
（3）解：到坐标轴的距离相等，
或，
或8.
为第三象限内一点，
.
，，
.
，，
或．
【经典例题8】点A是第二象限角平分线上的一点，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查点的象限特征．熟练掌握对角线上点的坐标特点，和点在象限的特征是解题的关键．
【详解】由已知可设点的坐标为则
解得:
∴点的坐标为
故选D.
【变式训练8-1】点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的性质，根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数，角平分线上的点到角的两边的距离相等列出方程进行计算即可得解，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及第一象限内点的坐标的符号是解题的关键．
【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上，
∴，
解得：，
∴的坐标为，
故选：．
【变式训练8-2】若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )
A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)
【答案】C
【详解】已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．
点睛：本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，要注意分情况讨论．
【变式训练8-3】若点在第二、四象限的角平分线上，且点到原点的距离为，则点的坐标是 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查了象限角平分线点的坐标的符号特征，由点在第二、四象限的角平分线上，可知点的横纵坐标互为相反数，设点的坐标为，再根据点到原点的距离为，即可求点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上，
∴设点的坐标为，
∵点到原点的距离为，
由勾股定理得，解得：，
∴点的坐标是或，
故答案为：或．
【变式训练8-4】已知点是平面直角坐标系中的点．
(1)若点A在第二象限的角平分线上，求a的值；
(2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线上的点到坐标轴的距离相等，再列方程可得答案；
（2）根据A到两坐标轴的距离和为9，列方程解得即可．
【详解】（1）解：∵点A在第二象限的角平分线上，
∴，
∴．
（2）∵点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了点的坐标特点，点到坐标轴的距离，掌握“坐标系内四个象限内角平分线上的点的坐标相等或互为相反数，理解题意得出方程”是解题关键．
【经典例题9】（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答即可．
【详解】解：点关于轴的对称点是，点在第四象限，
∴关于轴的对称点在第四象限．
故选：D．
【变式训练9-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及一元一次不等式组的解法，得出关于a的不等式组是解题关键．
根据关于y轴对称点的性质横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而求出点关于y轴的对称点，再利用第一象限点的性质，即可得出答案．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点为，且此点在第一象限，
∴
解得：．
故选：D．
【变式训练9-2】（2024·河北邢台·模拟预测）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题侧重考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，
首先根据关于x轴对称的点的坐标的关系得到点P关于x轴对称的点的坐标为，根据点在第一象限可得不等式组，解之即可．
【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，且在第一象限，
∴，
解得：．
故选B．
【变式训练9-3】（2024·福建三明·模拟预测）平面直角坐标系中的点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用数轴表示不等式组的解集、平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据关于轴对称的点坐标之间的关系，转化为不等式组的问题；解题的关键是根据关于轴的对称点在第四象限，则点在第一象限，从而横纵坐标都大于0，就得到关于的不等式组，求出的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
【变式训练9-4】（2024·广东河源·模拟预测）若点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查的是关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的坐标的性质是解题的关键． 首先根据关于原点对称的点的坐标特点判断出A点在第三象限，再根据第三象限内的点的坐标符号可得，再解不等式即可．
【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限，
∴点A在第三象限，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式训练9-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知点关于y轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的对称，根据点关于y轴的对称点的特点是横坐标变为相反数，纵坐标不变，由此列一元一次不等式组，结合不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可．
【详解】解：点关于y轴的对称点为，且该对称点在第三象限，
∴，
由①得，，
由②得，，
∴，
故答案为： ．
【经典例题10】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知点在y轴上，点在x轴上，则点向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标、点的坐标的平移变换规律．先根据轴上的点的横坐标为0、轴上的点的纵坐标为0可求出的值，从而可得点的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：在轴上，在轴上，
，，
解得，
，
则向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为，即为，
故选：B．
【变式训练10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知点P的坐标为，点Q的坐标为，且，将线段向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么的值为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．26
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据非负性的性质求出，则轴，，再由将线段向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴轴，，
∵将线段向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练10-2】（2024·安徽亳州·模拟预测）将点向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，在y轴上的点的坐标特点，根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到点Q的坐标为，再根据在y轴上的点的横坐标为0得到，求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵将点向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，
∴点Q的坐标为，即，
∵点Q在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为，
故答案为：．
【变式训练10-3】（2024·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，利用点平移的坐标规律，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内得到，即可得到结论．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度．
【详解】解：∵将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，
∴，
解得：，
∴的值可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【经典例题11】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，根据证明．作轴于点C，作轴于点D，根据旋转的性质可得，，根据证明，推出，，可得 ．
【详解】解：如图，为旋转后线段，作轴于点C，作轴于点D，
点的坐标是，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选：B．
【变式训练11-1】（2024·湖北孝感·模拟预测）平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与旋转变换，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．根据旋转的性质利用一线三垂直构造全等三角形，即过作轴于点，过作轴于点，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
则，，，
又，
，
，
又，
，
，，
，
故选：A．
【变式训练11-2】（2024·广西南宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，

∴，，
∴，，
∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
∴，
作轴于点，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故选：A．
【变式训练11-3】（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，含角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
根据图示可得，，，根据旋转的性质可得，，，如图所示，过点作轴于点，在中，，由此可得的值，且点在第二象限，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
∴，，，
如图所示，过点作轴于点，
∴，，
在中，，
∴，，
∵点在第二象限，
∴，
故答案为： ．
【变式训练11-4】（2024·广东广州·模拟预测）如图． ABC的顶点坐标分别为．
(1)请画出 ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的．
(2)直接写出的面积
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，画出即可；
（2）分割法求出三角形的面积即可。
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积为.
【经典例题12】（2024·山西忻州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)求出 ABC的面积；
(2)在图中作出 ABC关于轴的对称图形；
(3)写出点，，的坐标．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】（1）在网格中，根据 ABC的特征，利用三角形面积公式求解即可得到答案；
（2）根据点的对称性，在图中作出 ABC三个顶点关于轴的对称点，连接顶点即可得到图形；
（3）由（2）中的图可知点，，的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：
，，，
；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：如图所示：
．
【点睛】本题考查网格中作图，涉及网格中三角形面积求法、点的对称、作轴对称图形、图形与坐标等知识，熟练掌握网格中作图的方法是解决问题的关键．
【变式训练12-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有三个点，，．
(1)连接A、B、C三点，请在图中作出 ABC关于y轴对称的图形；
(2)写出点的坐标并求的长度；
(3)求 ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)2.5
【分析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据两点之间的距离解答即可；
（3）利用 ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，
（2）解：点的坐标为，的长度；
（3）解： ABC的面积．
【变式训练12-2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，
(1)画出 ABC关于y轴对称的；
(2)写出三个顶点坐标；
(3)求 ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标特点，求解网格三角形的面积等知识点，
（1）分别确定A，B，C关于y轴对称的点，，，再顺次连接即可；
（2）根据点，，在坐标系内的位置可得其坐标；
（3）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特点是解决此题的关键．
【详解】（1）如图，即为所求作的三角形，
（2）根据点在坐标系内的位置可得：
，，；
（3）．
【变式训练12-3】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知：如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度．
(1) ABC关于轴对称的图形为，请画出；
(2)直接写出点、、的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析；
(2)，，；
(3)的面积为．
【分析】（）找出，，关于轴对称的对称点，，，然后连接即可；
（）根据平面直角坐标系写出，，
（）通过长方形面积减去三个直角三角形面积即可；
本题考查了坐标与图形，轴对称变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
∴即为所求，，，；
（2）解：根据坐标系可得：，，；
（3）解：的面积为．
【变式训练12-4】（2024·广东中山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点，的坐标；
(2)求 ABC的面积．
【答案】(1)作图见解析，，
(2)
【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图旋转变换、三角形的面积，熟练掌握中心对称性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，，；
（2） ABC的面积为．
【经典例题13】（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当的值最小时，C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直与坐标轴的直线上点的坐标特征，解一元一次方程，解题的关键是掌握垂直于x轴的直线上的点，纵坐标相等．
根据题意得出当轴时，取最小值，则，则当点A、B、C三点在同一条直线上时，推出轴，列出方程，求出a的值，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴点A在直线上，点B在直线上，
∵C是x轴上一点，
∴当轴时，取最小值，则，
∴当点A、B、C三点在同一条直线上时，的值最小时，
此时，则轴，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
【变式训练13-1】（2024·云南昆明·模拟预测）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形先向上平移4个单位，再向右平移5个单位，得到三角形
(1)请在图中画出三角形，并写出点的坐标；
(2)点M是x轴上一动点，连接．当线段长度最小时，点M的坐标（_____，____），理由是_________________；
(3)求三角形的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)；；垂线段最短；
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，垂线段最短：
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）根据垂线段最短可知，当轴，长度最小，据此可得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
∴；
（2）解：由垂线段最短可知，当轴，长度最小，
∵，
∴，
故答案为：；；垂线段最短；
（3）解：．
【变式训练13-2】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________．
(2)的面积为________________．
(3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________．
【答案】(1)；；；
(2)2
(3)；
【分析】题目主要考查坐标与图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质及确定一次函数解析式，勾股定理解三角形，结合图形，找出最短距离是解题关键．
（1）直接根据图象即可确定点的坐标；
（2）利用网格求三角形面积即可；
（3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，利用待定系数法确定一次函数解析式，即可确定点P的坐标，再由网格及勾股定理即可得出最短距离．
【详解】（1）解：由图得：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
故答案为：；；；
（2）的面积为：，
故答案为：2；
（3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，如图所示：
设直线的解析式为，代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
最小距离为：，
故答案为：；．
【变式训练13-3】（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图，、、，把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．
(1)在图中画出．
(2)写出平移后三个点的坐标： ， ， ．
(3)若点在直线上运动，当线段长度最小时，则点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析；
(2)，，；
(3)．
【分析】（）根据平移作图即可；
（）根据平移后的图形即可求解；
（）根据垂线段最短即可求解；
本题考查了平移作图，坐标与图形，垂线段最短，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由平移后的图形可得平移后三个点的坐标为：，，，
故答案为：，，；
（3）解：由垂线段最短可得，当点与点重合时，线段长度最小，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练13-4】（2024·河南郑州·模拟预测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为；
(2)请画出 ABC关于轴对称的图形，并写出点的坐标______；
(3)为轴上一点，当的值最小时，请在图中找出点，并写出点的坐标．（保留找点的作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析，
【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据，两点坐标，确定平面直角坐标系即可．
（2）分别作出，，的对应点，，即可解决问题．
（3）连接交轴于，连接，点即为所求作．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示：
；
（2）解：如图所示：
；
故答案为：；
（3）解：点如图所示：
．
【变式训练13-5】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)在图中画出三角形；
(2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是 ；
(3)连接，，则这两条线段之间的数量关系是 ；
(4)四边形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了坐标与图形，图形平移的性质，作平移图形，正确理解平移的性质是解题的关键：
（1）根据平移的规律作图即可；
（2）根据垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小；
（3）根据平移的性质：对应点连线平行且相等即可得到；
（4）利用割补法求图形面积．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小，
∴点P的坐标是
（3）连接，，则这两条线段之间的数量关系是，
（4）面积为．
【经典例题14】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转后得到点，再将点绕点A顺时针旋转后得到，再将点绕点A顺时针旋转后得到，依此类推，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标规律探索，全等三角形的判定与性质；
过点P作轴，过点作轴，根据条件证明，即可求得，同理可得：，，即可求解．
【详解】过点P作轴，过点作轴，如图，
∵点绕点顺时针旋转后得到点
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∵，
∴，，
∴
∴
∴；
同理可得：，，…….
∵
∴
故选：C．
【变式训练14-1】（2024·湖北恩施·一模）在平面直角坐标系中有三个点、、，点关于A的对称点为，关于B的对称点，关于C的对称点为，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
设，再根据中点的坐标特点求出、的值，找出循环的规律即可得出点的坐标．
【详解】解：设，
点、、，点关于A的对称点为，关于的对称点，
，，
解得，，
∴．
同理可得，，，，，，，，
每6个操作循环一次．
∵，
点的坐标与相同，即．
故答案为：．
【变式训练14-2】（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为
【答案】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键．
【详解】解：由题知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
∴（为正整数）的坐标可表示为，
当时，，，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【变式训练14-3】（2024·宁夏银川·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ．

【答案】/
【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点、、的坐标，找到点的变化规律，求出点的坐标即可．
【详解】解：∵，，，…，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，顶点均在轴上，
过点作轴于点B，连接，

∵点O是所有等边三角形的中心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的坐标为，
同理可得，，
则第二个三角形的顶点的坐标为，
则第三个三角形的顶点的坐标为，
∵，
∴点是第10个等边三角形的第2个顶点，位于第四象限，
∴点的坐标为：．
故答案为：．
【变式训练14-4】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了规律型点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．
根据已知条件和勾股定理求出的长度即可求出的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到变化的坐标．
【详解】解：四边形是正方形，，
，
，
的坐标是，
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
旋转8次则旋转一周，
从到经过了2024次变化，
，
从到与都在轴正半轴上，
点的坐标是．
故答案为：，；．
【经典例题15】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d（） 20 21 22 23
身高h（）
已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案．
【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加，
，
即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为，
故选：B．
【变式训练15-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表：
尺码
衣长
若小明需要定制，则他的衣长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的定义，根据题意当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解．
【详解】解：根据题意，当尺码增加，则衣长增加，
到，增加了个尺码，
∴，
∴他的衣长可能是；
故选：B．
【变式训练15-2】（2024·辽宁大连·一模）已知下列材料在时的电阻率如下：
材料 金 银 铜 铁
电阻率（）
已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为（ ）
A．金 B．银 C．铜 D．铁
【答案】C
【分析】本题考查了变量，根据“电阻率越高，导电能力越差”选出答案即可，准确理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵电阻率越高，导电能力越差，，
∴导电能力从大到小排序为：铁，金，铜，银，
∴导电性第三优良的为铜，
故选：C．
【变式训练15-3】已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（ ）
放水时间/min 0 1 2 3 4 …
池中水量/ …
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少，从而可得函数关系式，最后可求出当放水时水池中的水量．
【详解】解：由题意知，水池中水量每分钟减少，
设水池中剩余水量为，放水时间为
∴，
∴当时，．
即当放水时，水池中有水．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，需要通过读懂题意，识别函数关系式是解题的关键．
【变式训练15-4】（2023·江西南昌·一模）一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如下表：
时间 0 1 2 3 4 …
速度 0 1.5 3 4.5 6 …
则时，这个钢球的速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据表格可得速度与时间的比值为定值，继而求解即可．
【详解】由表得，速度与时间的比值为，
∴当时，这个钢球的速度是，
故选：A．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练15-5】（2024·浙江丽水·二模）如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高度为，个叠放在一起的纸杯的高度为，则个这样的纸杯按照同样方式叠放在一起，总高度（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数关系式，求出每增加一个杯子的高度，再计算一个杯子的高度与增加9个杯子的高度和即可．
【详解】解：增加一个杯子增加的高度为：，
故，个纸杯叠放在一起的高度．
故选：B．
【经典例题16】（2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
【详解】解：由题意知：；
故选：B．
【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
【变式训练16-1】（2023·湖北宜昌·模拟预测）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为

(1)观察图形，填写如表：
链条节数节
链条长度 ______
(2)请你写出与之间的关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）每增加一节链条，长度增加cm，据此即可解答；
（2）根据初始长度再加上增加的链条长度即可解答．
【详解】（1）当时，，
故答案为：；
（2）根据题意，得，
与的关系式为．
【点睛】本题考查了求实际问题中的函数关系式，读懂表格信息进而得出函数关系式是解题的关键．
【变式训练16-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公园锻炼．许一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍．如图所示是许一一和爸爸骑行离家的距离s（米）与许一一骑行时间t（分）之间的函数图象，根据图象解答下列问题：
(1)许一一骑行的速度为_______米/分．
(2)求爸爸骑行过程中段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她．
【答案】(1)350
(2)
(3)许一一出发分钟后爸爸追上她
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，求自变量的值：
（1）根据速度等于路程除以时间进行求解即可；
（2）先求出段爸爸骑行速度为米/分，再根据路程等于速度乘以时间列出函数关系式，再求出自变量的取值范围即可；
（3）根据（1）（2）所求列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，许一一骑行的速度为米/分；
（2）解：米/分，
∴段爸爸骑行速度为米/分，
∴爸爸骑行过程中段对应的函数表达式为，
∵，
∴；
∴；
（3）解：由题意得，，
解得，
∴许一一出发分钟后爸爸追上她．
【变式训练16-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）近日，贵州山火牵动人心．王叔叔计划购买一些食品全部捐赠给受灾地区，他了解到每箱食品的价格是50元，经过商议商家给出优惠方案：若一次性购买食品不超过20箱，每箱打七折，超过20箱，则超过部分每箱在打七折的基础上再降5元．
(1)设王叔叔购买食品x箱，所需总费用为y元，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)王叔叔购买食品共花费1900元，请问王叔叔给受灾地区捐赠了多少箱食品？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式是y＝
(2)王叔叔给受灾地区捐赠了60箱食品
【分析】本题主要考查了列函数关系式和求自变量的值：
（1）根据题意分当时，当时，两种情况分别列出对应的函数关系式即可；
（2）先判断出捐赠食品大于20箱，再根据题意建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
∴y与x之间的函数关系式是；
（2）解：∵，
∴捐赠食品大于20箱；
根据题意得：，
解得，
∴王叔叔给受灾地区捐赠了60箱食品．
【变式训练16-4】（2024·云南昭通·二模）古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案：
方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售；
方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元．
(1)分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式；
(2)请为该学校写出较为省钱的购买方案．
【答案】(1)，
(2)当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（1）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可；
（2）由(1)可得， ，利用分类讨论的方法即可得出答案．
【详解】（1）由题知，
．
（2）由(1)可得，
当时， ，
∴，
当时， ，
∴，
当时， ，
∴，
综上所述，当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱．
【变式训练16-5】（2023·浙江·模拟预测）已知中，，，．是上的动点，为上的点，点在运动的过程中保持．试写出面积与的长度之间的关系式．

【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，先证，根据相似三角形的性质得到，，再证出，根据相似三角形的性质表示出的长，再根据三角形面积公式得到结果．
【详解】过点作，交延长线于点，

，，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，用含的代数式表示出和是解本题的关键．
【经典例题17】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【详解】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
【变式训练17-1】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，汽车匀速通过隧道时，汽车在隧道内的长度y与汽车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查函数图象的判定，理解题意是关键；
分析题意可知，当汽车进入隧道时y逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内y不变，当汽车出来时y逐渐变小；再结合横、纵轴的意义分析、判断各个选项，即可完成解答．
【详解】解：根据题意可知汽车进入隧道的时间x与汽车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当汽车进入时y逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内y不变，当汽车出来时y逐渐变小，
因此汽车从进入隧道至离开隧道的时间x与汽车在隧道内的长度y之间的函数关系用图象描述大致是：
故选：A．
【变式训练17-2】（2024·重庆南岸·模拟预测）上周上完体育课，小强从超市买来一瓶结了冰的矿泉水，还未来得及喝，就上课了，于是小强把矿泉水放在了书桌上，其水温与放置时间的关系大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同，不再上升，即可进行解答．
【详解】解：根据题意：水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图象是实际应用，解题的关键是掌握水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同．
【变式训练17-3】（2023·广西南宁·二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）

A． B． C． D
【答案】D
【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可．
【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；
火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；
火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；
符合上述分析过程的为：D．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化
【变式训练17-4】（2024四川眉山·模拟预测）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案．
【详解】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误；
B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误；
C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确；
D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键．
【经典例题18】（2024·福建福州·模拟预测）如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定是否为函数．
【详解】解：A、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
B、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
C、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查函数的定义．解题关键在于掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式训练18-1】（2024·山东烟台·模拟预测）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义逐项进行判定解答即可．
【详解】解：A、每取一个x， y都有唯一的一个值与之对应，所以 y是x的函数，故此选项符合题意；
B、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
C、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
D、存在一个x值， y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握在一个变化过程中，有两个变量x、y，若x取一个值，y都有唯一的一个值与之对应，则y是x的函数是解题的关键．
【变式训练18-2】（2024·河南南阳·模拟预测）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的概念：在某一变化过程中，有两个变量x、y，一个量x变化，另一个量y随之变化，当x每取一个值，另一个量y就有唯一值与之相对应，这时，我们把x叫做自变量，y是x的函数，理解自变量与函数值的对应关系是正确判断的前提．
【变式训练18-3】（2024·广东茂名·模拟预测）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
【详解】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应，
所以A、C、D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【变式训练18-4】（2024·北京丰台·模拟预测）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【详解】解：显然A、B、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
C选项对于x取值时，y都有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
【经典例题19】（2024·河北唐山·模拟预测）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（ ）
A．圆的面积公式 中，是的函数
B．同一物质，物体的体积是质量的函数
C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数
D．表达式 中是的函数
【答案】D
【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键．
【详解】解：、圆的面积公式 中，是的函数，该选项正确，不合题意；
、同一物质，物体的体积是质量的函数，该选项正确，不合题意；
、光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数，该选项正确，不合题意；
、表达式 中，给定一个的值，有两个的值与之对应，所以不是的函数，该选项错误，符合题意；
故选：．
【变式训练19-1】（2024·上海·模拟预测）圆面积公式中，下面叙述正确的是（ ）
A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数
C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例
【答案】C
【分析】本题主要考查函数的基本概念，熟练掌握常量与变量及函数是解题的关键；因此此题可根据题意结合函数的基本概念进行排除选项即可．
【详解】解：由圆面积公式中，可知：是常量，S与成正比例；
故选C．
【变式训练19-2】下列说法正确的是（ ）
A．变量，满足，则是的函数
B．变量，满足，则是的函数
C．变量，满足，则是的函数
D．在中，是常量，，是自变量，是的函数
【答案】B
【分析】根据函数的定义解答即可．
本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量．
【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误；
B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确；
C．与不是唯一的值对应，故选项错误；
D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误．
故选B．
【变式训练19-3】（2024·贵州毕节·模拟预测）一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量
C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，常量与变量的概念即可求解．
【详解】解：体积随着长的变化而变化，，
是自变量，是因变量，
故选：D．
【变式训练19-4】（2024·湖南邵阳·模拟预测）下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
根据以下特征进行判断即可：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
【详解】解：①是的函数；
②，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数；
③是的函数；
④是的函数；
所以其中是的函数的个数是3，
故选：C．
【变式训练19-5】（2024·陕西西安·模拟预测）在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的有关概念，根据函数的概念逐一判断即可，正确理解函数的概念是解题的关键．
【详解】是自变量，是因变量，故该说法正确；
值随值的变化而变化，故该说法正确；
是变量，随值的变化而变化，故该说法错误；
用关系式表示的可以用表格表示，故该说法错误；
与的关系还可以用列表法和图象法表示，故该说法正确，
综上所述：正确，错误，
故选：．
【经典例题20】（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列函数关系式，根据“每挂重物体，弹簧伸长”可得每挂重物体，弹簧伸长，由此可解．
【详解】解：由题意知，每挂重物体，弹簧伸长，
因此弹簧的长度与所挂重之间的关系式是，
故选D．
【变式训练20-1】（2024·浙江衢州·一模）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是北由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数表达式近似为（）
降雨强度 4 6 8 10 12 14
产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键．
根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．
【详解】解：由表格中两个变量的对应值可得，
，
所以与成反比例关系，
所以与的函数关系式为，
故选：A．
【变式训练20-2】某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超过1千米就加收2元，若某人乘出租车行驶的距离为千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是对关系式进行化简，得到y与x的函数关系式．根据题意把x千米分成3千米和千米两部分，再根据单价乘里程表示出关系式，再化简即可．
【详解】解：当时，
，
故选：B．
【变式训练20-3】（2023·重庆·一模）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式训练20-4】（2023·安徽六安·二模）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降”可得向上登高可得气温下降了，即可写出函数关系式．
【详解】解：由题意得，y与x的函数关系式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列函数关系式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
【经典例题21】（2023·海南海口·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握一些常见式子有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：根据题意：，，
解得：，
故选：A．
【变式训练21-1】（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查当函数是二次根式时自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数，再列不等式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得：，
故选 A．
【变式训练21-2】（2024·贵州黔东南·一模）若函数有意义，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可．
【详解】解：∵函数有意义，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练21-3】（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【变式训练21-4】（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，注意函数自变量的范围一般从三个方面考虑（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：被开方数，
解得，
根据分式有意义的条件，，
解得，
故且．
故选：B．
【变式训练21-5】（2024·云南昭通·二模）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选：C．
【经典例题22】（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．依据题意，由抛物线过，，从而可得抛物线的对称轴，且有，用表示和，进而用m表示抛物线的顶点，再结合一次函数过和二次函数的顶点，即可求出．
【详解】解：抛物线过，，
抛物线的对称轴是直线，，
，
，
顶点为，
又一次函数过和二次函数的顶点，
，且，
，
或（舍去），
．
故选：B．
【变式训练22-1】（2023·辽宁阜新·中考真题）若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，函数图象点的坐标特征，先利用点的坐标求出反比例函数解析式，再把点坐标代入计算即可求解，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
又∵点也在反比例函数图象上，
∴，
故选：．
【变式训练22-2】（2024·安徽·一模）下列函数的图象不经过点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查的是函数得基本性质，属于基础题型．直接代入计算即可．
【详解】
解：当时，，故该函数图象经过点，选项A不符合题意；
当时，，故该函数图象经过点，选项B不符合题意；
当时，，故该函数图象不经过点，选项C符合题意；
当时，，故该函数图象经过点，选项D不符合题意．
故选：C．
【变式训练22-3】（2022·广东湛江·一模）当时，函数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：当，；
故选A．
【点睛】本题考查求函数值，解题的关键是正确的计算．
【变式训练22-4】（2023·贵州贵阳·二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入各选项进行判断即可．
【详解】解：A、当时，，不经过原点，故本选项不符合题意；
B、当时，，经过原点，故本选项符合题意；
C、当时，，不经过原点，故本选项不符合题意．
D、中，故不经过原点，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般．
【经典例题23】（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用图象表示变量之间是关系，能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键．根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案．
【详解】解：因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，且长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，且此时水面上升的高度也是随时间均匀升高，因此此时的图像也是直线，但水面上升的速度比开始时要慢，因此四个选项中只有D选项符合题意．
故选：D．
【变式训练23-1】（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键．
根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t，
A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意；
B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意；
C、图象准确反映了题意，符合题意；
D、图象函数一直下降，不符合题意．
故选：C．
【变式训练23-2】（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是根据张浩去时用的时间，在少年宫玩了分钟的乒乓球的时间，返回的时间判断出折线的走势．依据题意，根据运动的路程与时间判断折线的走势，注意几个时间段：妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，据此判断即可．
【详解】解：根据题意，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，总用时分钟．
在图象上表现为C．
故选：C．
【变式训练23-3】（2024·江苏常州·二模）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
根据横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】解：加速行驶时，速度逐渐增加，
匀速行驶时，速度不变，
开到服务区时，速度逐渐减少，
加油时，速度为0，
加满油后开始加速行驶时，速度增加，
最后匀速行驶时，速度不变，
综上：只有C符合题意；
故选：C．
【变式训练23-4】（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象，
∴选项C图象适合表示y与x的对应关系．
故选：C．
【经典例题24】（2024·山西大同·模拟预测）如图，某天小军骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下列说法中正确的是（ ）
A．修车前骑车平均速度为200米/分钟
B．修车前后骑车平均速度相差100米/分钟
C．修车时间为15分钟
D．骑车的平均速度为200米/分钟
【答案】B
【分析】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
【详解】解：由图象可知：
A、米/分钟，故修车前骑车平均速度为100米/分钟，故A说法错误，不符合题意；
B、米/分钟，米/分钟，故修车前后骑车平均速度相差100米/分钟，故B说法正确，符合题意；
C、分钟，故修车时间为5分钟，故C说法错误，不符合题意；
D、米/分钟，故骑车的平均速度为100米/分钟，故D说法错误，不符合题意，
故选：B．
【变式训练24-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）大庆中考体育项目中包括长跑，很多同学跑完后会感到疲劳，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，就基本消除了疲劳，大庆市体育科工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了考生进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况；虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况．
A．体内血乳酸浓度和时间是变量
B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过
C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
【详解】解：A、体内血乳酸浓度和时间均是变量，原说法正确，故选项A不合题意；
B、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，原说法正确，故选项B不合题意；
C、采用静坐方式放松时，运动员大约后才能基本消除疲劳，原说法错误，故选项C符合题意；
D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，原说法正确，故选项D不合题意；
故选：C．
【变式训练24-2】（2024·山西·三模）电动汽车的续航里程是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程．它是电动汽车重要的经济性指标．科研团队在相同环境及路况下．经过测试得到某型号电动汽车续航里程与行驶速度关系的图象如下，则下列结论正确的是（ ）
A．行驶速度越快，续航里程越短
B．当行驶速度为时，续航里程最长
C．当行驶速度为时，续航里程不足
D．若续航里程大于，则行驶速度大于
【答案】B
【分析】本题考查函数图象的应用，考查数形结合思想.根据函数图象，结合选项中的条件，即可判断正误．
【详解】解：由图象可知，当行驶速度为时，续航里程最长，故B正确；
当行驶速度在时，续航里程随着行驶速度的增大而增大，故A错误；
当行驶速度为时，续航里程大于，故C错误；
若续航里程大于，则行驶速度可以是，故D错误；
故选：B．
【变式训练24-3】（2024·河北邢台·模拟预测）一个小球沿一个光滑斜坡上下滚动，其速度v（单位：）与时间t（单位：）的图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小球的初始速度为
B．小球先沿斜坡向下滚动，再沿斜坡向上滚动
C．当时，小球的速度每秒增加
D．小球在整个滚动过程中，当时，到达斜坡的最高处
【答案】B
【分析】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据函数图象结合图形分析即可．
【详解】解：由函数图象可得时速度为，故A选项不符合题意；
由函数图象可得速度先减小后增加，所以小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动，故B选项错误，符合题意；
当时，小球的速度每秒增加，故C选项不符合题意；
当时中小学教育资源及组卷应用平台
专题09 函数与直角平面坐标系
要了解平面直角坐标系的概念，包括由具有公共原点的两条互相垂直的数轴组成的这个基本构成要素等内容，能够正确画出直角坐标系。
能由点的坐标确定点在坐标系中的位置，也能由点的位置确定点的坐标，掌握坐标平面内不同位置点的坐标特征。
了解平行与两坐标轴的直线上点的特点，掌握对称点的特征，区分点到坐标轴的距离与线段长度。
明白常量和变量的意义，了解函数的一般概念。
理解自变量的取值范围和函数值的意义，能够确定函数自变量的取值范围。
用描点法画出函数的图像，描点法包括列表、描点、连线三个步骤，在选取点时尽量选取有代表性的合理的点，连线时应用光滑的曲线连结，并且能对观察实际问题的图象正确理解横纵坐标表示的意义。
在同一个平面上 且 的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有 的一个有序数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应。
平面直角坐标系中点的特点
①坐标轴上点的特点：x轴上的点的 为零；y轴上的点的 为零。
②在任意的两点中，如果两点的 ，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的 ，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）
③点到x轴的距离为 ； 点到y轴的距离为 ；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。
④第一、三象限角平分线上的点 ；第二、四象限角平分线上的点 。
平面直角坐标系中对称点的特点
①关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标 ，纵坐标互为 。（横同纵反）
②关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标 ，横坐标互为 。（横反纵同）
③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标 ，纵坐标与纵坐标 。（横纵皆反）
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于 x都有 的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。
函数的三种表示方法
① ：用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。
② ：用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
③ ：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
【经典例题1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为，，按照此方法可以将目标C的位置表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（ ）
A．表示排a号
B．表示第b排a号位
C．表示b排或a号
D．与不可能代表同一个位置
【变式训练1-2】（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（2023·吉林·一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪
【变式训练1-4】（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 ．
【变式训练1-5】（2023·北京海淀·一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
【经典例题2】如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示．
(1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示；
(2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置；
(3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线．
【变式训练2-1】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：

(1)，，；
(2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置．
【变式训练2-2】如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．

(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：
①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．
问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
【变式训练2-3】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图是某城市道路示意图：

(1)如果湘街与鲁路交叉道口点A的坐标记作，浙街与陕路交叉道口点B的坐标记作，则此时是______街与______路的交叉道口；
(2)在（1）的条件下渝街与陕路交叉道口的坐标记作______；沪街与京路交叉道口的坐标记作______；
(3)用有序数对写出2种从A地到B地的最短路线，如：—————．
【经典例题3】（2023·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到x轴的距离为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【变式训练3-1】（2024·贵州铜仁·一模）点P在第三象限，且它到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，已知x轴上一点P到y轴的距离是2，则点P的坐标是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【变式训练3-4】（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ．
【经典例题4】（2024·湖北·模拟预测）点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-1】（2024·广东广州·模拟预测）点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式训练4-2】（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-3】（2024·贵州黔南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度后位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-4】（2023·贵州六盘水·一模）一次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练4-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【经典例题5】（2024·山东·模拟预测）若点关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（2024·广东中山·二模）已知点在第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】（2024·广西·模拟预测）若点在第三象限，则实数x的取值范围 ．
【变式训练5-3】（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ．
【变式训练5-4】（2024·西藏日喀则·二模）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ．
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】已知，点在y轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】（2024·湖北荆门·模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）平面直角坐标系中，点P位于x轴上且距y轴6个单位长度，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练6-4】（2024·湖南永州·模拟预测）已知点在y轴上，则点在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【经典例题7】已知点，，若且轴，则点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练7-1】已知平面直角坐标系中有一点．
(1)已知点，当轴时，求点的坐标和线段的长；
(2)当点到轴的距离为1时，求点的坐标．
【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，点M为第三象限内的一点．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)若点 ， 请用含 m的式子表示的面积
(3)若点到坐标轴的距离相等，且，，求点N的坐标．
【经典例题8】点A是第二象限角平分线上的一点，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )
A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)
【变式训练8-3】若点在第二、四象限的角平分线上，且点到原点的距离为，则点的坐标是 ．
【变式训练8-4】已知点是平面直角坐标系中的点．
(1)若点A在第二象限的角平分线上，求a的值；
(2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．
【经典例题9】（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练9-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】（2024·河北邢台·模拟预测）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-3】（2024·福建三明·模拟预测）平面直角坐标系中的点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练9-4】（2024·广东河源·模拟预测）若点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围 ．
【变式训练9-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知点关于y轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是 ．
【经典例题10】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知点在y轴上，点在x轴上，则点向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知点P的坐标为，点Q的坐标为，且，将线段向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么的值为（ ）
A．19 B．20 C．22 D．26
【变式训练10-2】（2024·安徽亳州·模拟预测）将点向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 ．
【变式训练10-3】（2024·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【经典例题11】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练11-1】（2024·湖北孝感·模拟预测）平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练11-2】（2024·广西南宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练11-3】（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则点的坐标为 ．
【变式训练11-4】（2024·广东广州·模拟预测）如图． ABC的顶点坐标分别为．
(1)请画出 ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的．
(2)直接写出的面积
【经典例题12】（2024·山西忻州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)求出 ABC的面积；
(2)在图中作出 ABC关于轴的对称图形；
(3)写出点，，的坐标．
【变式训练12-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有三个点，，．
(1)连接A、B、C三点，请在图中作出 ABC关于y轴对称的图形；
(2)写出点的坐标并求的长度；
(3)求 ABC的面积．
【变式训练12-2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，
(1)画出 ABC关于y轴对称的；
(2)写出三个顶点坐标；
(3)求 ABC的面积．
【变式训练12-3】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知：如图， ABC三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度．
(1) ABC关于轴对称的图形为，请画出；
(2)直接写出点、、的坐标；
(3)求的面积．
【变式训练12-4】（2024·广东中山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点，的坐标；
(2)求 ABC的面积．
【经典例题13】（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当的值最小时，C的坐标为 ．
【变式训练13-1】（2024·云南昆明·模拟预测）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形先向上平移4个单位，再向右平移5个单位，得到三角形
(1)请在图中画出三角形，并写出点的坐标；
(2)点M是x轴上一动点，连接．当线段长度最小时，点M的坐标（_____，____），理由是_________________；
(3)求三角形的面积．
【变式训练13-2】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________．
(2)的面积为________________．
(3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________．
【变式训练13-3】（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图，、、，把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．
(1)在图中画出．
(2)写出平移后三个点的坐标： ， ， ．
(3)若点在直线上运动，当线段长度最小时，则点的坐标为 ．
【变式训练13-4】（2024·河南郑州·模拟预测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为；
(2)请画出 ABC关于轴对称的图形，并写出点的坐标______；
(3)为轴上一点，当的值最小时，请在图中找出点，并写出点的坐标．（保留找点的作图痕迹，不写作法）
【变式训练13-5】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．
(1)在图中画出三角形；
(2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是 ；
(3)连接，，则这两条线段之间的数量关系是 ；
(4)四边形的面积为 ．
【经典例题14】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转后得到点，再将点绕点A顺时针旋转后得到，再将点绕点A顺时针旋转后得到，依此类推，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练14-1】（2024·湖北恩施·一模）在平面直角坐标系中有三个点、、，点关于A的对称点为，关于B的对称点，关于C的对称点为，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是 ．
【变式训练14-2】（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为
【变式训练14-3】（2024·宁夏银川·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ．

【变式训练14-4】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ．
【经典例题15】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d（） 20 21 22 23
身高h（）
已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练15-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表：
尺码
衣长
若小明需要定制，则他的衣长可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练15-2】（2024·辽宁大连·一模）已知下列材料在时的电阻率如下：
材料 金 银 铜 铁
电阻率（）
已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为（ ）
A．金 B．银 C．铜 D．铁
【变式训练15-3】已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（ ）
放水时间/min 0 1 2 3 4 …
池中水量/ …
A． B． C． D．
【变式训练15-4】（2023·江西南昌·一模）一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如下表：
时间 0 1 2 3 4 …
速度 0 1.5 3 4.5 6 …
则时，这个钢球的速度是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练15-5】（2024·浙江丽水·二模）如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高度为，个叠放在一起的纸杯的高度为，则个这样的纸杯按照同样方式叠放在一起，总高度（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题16】（2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ）

A． B． C． D．
【变式训练16-1】（2023·湖北宜昌·模拟预测）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为

(1)观察图形，填写如表：
链条节数节
链条长度 ______
(2)请你写出与之间的关系．
【变式训练16-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公园锻炼．许一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍．如图所示是许一一和爸爸骑行离家的距离s（米）与许一一骑行时间t（分）之间的函数图象，根据图象解答下列问题：
(1)许一一骑行的速度为_______米/分．
(2)求爸爸骑行过程中段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她．
【变式训练16-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）近日，贵州山火牵动人心．王叔叔计划购买一些食品全部捐赠给受灾地区，他了解到每箱食品的价格是50元，经过商议商家给出优惠方案：若一次性购买食品不超过20箱，每箱打七折，超过20箱，则超过部分每箱在打七折的基础上再降5元．
(1)设王叔叔购买食品x箱，所需总费用为y元，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)王叔叔购买食品共花费1900元，请问王叔叔给受灾地区捐赠了多少箱食品？
【变式训练16-4】（2024·云南昭通·二模）古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案：
方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售；
方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元．
(1)分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式；
(2)请为该学校写出较为省钱的购买方案．
【变式训练16-5】（2023·浙江·模拟预测）已知中，，，．是上的动点，为上的点，点在运动的过程中保持．试写出面积与的长度之间的关系式．

【经典例题17】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练17-1】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，汽车匀速通过隧道时，汽车在隧道内的长度y与汽车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练17-2】（2024·重庆南岸·模拟预测）上周上完体育课，小强从超市买来一瓶结了冰的矿泉水，还未来得及喝，就上课了，于是小强把矿泉水放在了书桌上，其水温与放置时间的关系大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练17-3】（2023·广西南宁·二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）

A． B． C． D
【变式训练17-4】（2024四川眉山·模拟预测）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A．B．C． D．
【经典例题18】（2024·福建福州·模拟预测）如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练18-1】（2024·山东烟台·模拟预测）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练18-2】（2024·河南南阳·模拟预测）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练18-3】（2024·广东茂名·模拟预测）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练18-4】（2024·北京丰台·模拟预测）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题19】（2024·河北唐山·模拟预测）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（ ）
A．圆的面积公式 中，是的函数
B．同一物质，物体的体积是质量的函数
C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数
D．表达式 中是的函数
【变式训练19-1】（2024·上海·模拟预测）圆面积公式中，下面叙述正确的是（ ）
A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数
C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例
【变式训练19-2】下列说法正确的是（ ）
A．变量，满足，则是的函数
B．变量，满足，则是的函数
C．变量，满足，则是的函数
D．在中，是常量，，是自变量，是的函数
【变式训练19-3】（2024·贵州毕节·模拟预测）一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量
C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量
【变式训练19-4】（2024·湖南邵阳·模拟预测）下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练19-5】（2024·陕西西安·模拟预测）在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题20】（2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练20-1】（2024·浙江衢州·一模）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是北由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数表达式近似为（）
降雨强度 4 6 8 10 12 14
产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1
A． B． C． D．
【变式训练20-2】某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超过1千米就加收2元，若某人乘出租车行驶的距离为千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练20-3】（2023·重庆·一模）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练20-4】（2023·安徽六安·二模）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题21】（2023·海南海口·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练21-1】（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练21-2】（2024·贵州黔东南·一模）若函数有意义，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练21-3】（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【变式训练21-4】（2024·内蒙古通辽·二模）函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．或
【变式训练21-5】（2024·云南昭通·二模）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题22】（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式训练22-1】（2023·辽宁阜新·中考真题）若与都是反比例函数（）图象上的点，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练22-2】（2024·安徽·一模）下列函数的图象不经过点的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练22-3】（2022·广东湛江·一模）当时，函数的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练22-4】（2023·贵州贵阳·二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题23】（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练23-1】（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练23-2】（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是( )
A． B．
C． D．
【变式训练23-3】（2024·江苏常州·二模）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练23-4】（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）

A． B． C． D．
【经典例题24】（2024·山西大同·模拟预测）如图，某天小军骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下列说法中正确的是（ ）
A．修车前骑车平均速度为200米/分钟
B．修车前后骑车平均速度相差100米/分钟
C．修车时间为15分钟
D．骑车的平均速度为200米/分钟
【变式训练24-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）大庆中考体育项目中包括长跑，很多同学跑完后会感到疲劳，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，就基本消除了疲劳，大庆市体育科工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了考生进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况；虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况．
A．体内血乳酸浓度和时间是变量
B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过
C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【变式训练24-2】（2024·山西·三模）电动汽车的续航里程是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程．它是电动汽车重要的经济性指标．科研团队在相同环境及路况下．经过测试得到某型号电动汽车续航里程与行驶速度关系的图象如下，则下列结论正确的是（ ）
A．行驶速度越快，续航里程越短
B．当行驶速度为时，续航里程最长
C．当行驶速度为时，续航里程不足
D．若续航里程大于，则行驶速度大于
【变式训练24-3】（2024·河北邢台·模拟预测）一个小球沿一个光滑斜坡上下滚动，其速度v（单位：）与时间t（单位：）的图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小球的初始速度为
B．小球先沿斜坡向下滚动，再沿斜坡向上滚动
C．当时，小球的速度每秒增加
D．小球在整个滚动过程中，当时，到达斜坡的最高处
【变式训练24-4】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，甲、乙两人同时出发，匀速行驶，乙的速度大于甲的速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示．
下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇
②出发小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙的速度的一半
其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题25】（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练25-1】（2024·湖南·二模）如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（ ）
A．5 B．8 C． D．12
【变式训练25-2】（2024·安徽宣城·模拟预测）如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练25-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练25-4】（2024·湖北·模拟预测）如图1，点从 ABC的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则 ABC的周长是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
【经典例题26】（2024·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据：
(1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；

(2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或）
(3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售）
【变式训练26-1】在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程：
(1)列表：
0 2 4 6 8
5 2 5
直接写出的值，______，______．
(2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______．
【变式训练26-2】小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 ．．．
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 ．．．
请回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ；
(3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ；
(4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶 （高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里）
【变式训练26-3】由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 5 10 …
谛回答下列问题：
(1)当刹车时车速为时，刹车距离是_______m；
(2)根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：_________；
(3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ （相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
【变式训练26-4】结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程．
(1)自变量的取值范围为______；
(2)化简函数解析式：
①当时，______；
②当时______；
③当时______；
(3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
(4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______．
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