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2024-2025七年级上册数学重难点提升（人教版）
专题突破九：角平分线的计算（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数．
【答案】或
【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质，理解题意作图分析，掌握角平分线的性质计算角度的方法是解题的关键．
根据题意作图，分类讨论：当在外部时，可得，则，，由平分，即可求解；当在内部时，，则，由平分，即可求解．
【详解】解：第一种情况，如答图①，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴；
第二种情况，如答图②，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，的度数是或．
2．如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．

【答案】．理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，是解题的关键．根据，分别是，的平分线，得出，．根据求出结果即可．
【详解】．理由如下：
因为，分别是，的平分线，
所以，．
又因为，
所以．
3．线段与角的计算．
(1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长；
(2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解；
（2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可．
【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点，
所以，．
因为，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设，，，则．
因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
4．如图，，，若，分别作和的平分线，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角的计算，先根据角平分线定义得出，，根据，得出，最后根据求出结果即可．
【详解】解：如图，因为平分，平分，
所以，，
因为，
所以，
所以．
5．如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
6．如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出，，再根据，算出，根据，得出，根据求出结果即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
7．已知．
(1)如图1，若，在的左侧，则 ；
(2)如图2，平分，平分，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及角的计算，合理利用角平分线的性质进行计算是解决本题的关键．
（1）根据图形中角度的和差关系可得出结论；
（2）根据角平分线的定义及角度的和差关系可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：；
（2）解： 平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
8．如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且．
(1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由；
(2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可确定两个角的大小；
（2）根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：恰好平分，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
．
9．如图，是的平分线，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
（1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论；
（2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
10．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答；
（2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵是的平分线，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴
∴．
（2）解：∵是的平分线，
∴，
∴．
∵OD是的平分线，
∴，
∴．
11．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差．
（1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案．
【详解】（1）由对顶角相等，得，
由把分成两部分且，得，
由邻补角，得；
（2）平分，
．
由邻补角，得，
即，
解得．
∴，，
∴．
12．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
(1)如图①，，则_________；
(2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解；
（2）同理（1）即可求得．
【详解】（1）解： 平分，平分，
，
，
，
，
；
（2）解：同理（1）得：，
，
．
13．已知，顶点O在直线上，，是的平分线．
(1)当点A，B在直线的同侧时，如图1：
①若，则 ；
若，则 ；
②若，则 （用n表示）；
(2)当A，B在直线的异侧时，如图2：
①猜想与之间的数量关系，并说明理由；
②若，直接写出的度数．
【答案】(1)①20，40；②
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题考查了角的计算及角平分线的定义，熟记这些知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）①根据，再利用角平分线的定义求解即可；
②先求出，再根据是的平分线，得到，最后求即可；
（2）①分别写出与可得其数量关系；
②由①的结论即可得的度数．
【详解】（1）解：①，，
，
是的平分线，
，
，
当时，
∵，
，
是的平分线，
，
，
故答案为：20，40，
②，，
，
是的平分线，
，
，
故答案为：；
（2）解：①，理由如下：
平分，
，
，
，
，
②若，
∴．
14．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，．
(1)若，，求 ；
(2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
(3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得出，进而即可求得；
（2）由角平分线的定义得出，即；
（3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解．
【详解】（1）解：、分别平分，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
、分别平分，，
，
，
，
；
（3）解：成立，理由如下，
、分别平分，，
，
，
．
15．如图，已知内部有三条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数（写出求解过程）；
(3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可；
（2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可；
（3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可．
本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键．
【详解】（1）解： ，，
；
平分，平分，
，，
．
（2）解：，平分，平分，
．
（3）解：，，，
．
16．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，．
(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【答案】(1)
(2)不改变，，理由见解析
【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
（1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；
（2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在内部时．
令，则，，
∴，
∴；
②的两边在射线的两侧时．令，
则，，，
∴，
∴．
综上可得，和的数量关系不改变，．
17．如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是、的中点．
(1)若，则______；
(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数．
【答案】(1)22
(2)线段的长度不会发生变化，，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的相关计算，线段中点的有关计算，熟练掌握角的计算及两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
（1）由，的长度，可得的长度，根据线段中点的性质可得，即可算出，的长度，根据代入计算即可得出答案；
（2）根据线段中点的性质可得，，，由，代入计算即可得出答案；
（3）由角平分线的定义可得，，根据整理代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
点E、F分别是、的中点，
，，
；
故答案为：22；
（2）解：线段的长度不会发生变化，；理由如下：
点E、F分别是、的中点，
，，
；
（3）解：、分别平分和，
，
．
18．如图所示，已知平分平分．
(1)如图， ___________；
(2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；
(3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由．
【答案】(1)45
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的以求出与的度数，然后相减即可求出的度数；
（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出与的度数，然后相减即可得到的度数；
（3）根据前两题的求解思路把具体数据换为、，然后整理即可得出规律．
本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键．
【详解】（1）解： ，，
，
平分，平分，
，
，
；
（2）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
；
（3）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
，
即
19．如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
(2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】(1)①65；②10；
(2)①；②的度数不发生变化，理由见解析．
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．
（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；
②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t；
（2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案；
②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案．
【详解】（1）解：①当时， ，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴，
(秒) ，
∴当t为10秒时，；
（2）解：①∵平分平分，
，
故答案为：
的度数不发生变化，理由如下：
∵平分
∵平分
．
20．将一副三角板的两个锐角顶点重合，，，、分别是，的平分线．
(1)如图①所示，当与重合时，则的大小为 ．
(2)当绕着点O旋转至如图②所示，当，则的大小为多少？
(3)当绕着点O旋转至如图③所示，当时，求的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．
（1）根据角平分线的定义直接进行计算即可；
（2）先根据算出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可；
（3）用n表示出，，然后根据角平分线的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，、分别是、的平分线，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）解：当时，，，
∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴；
（3）解：当时，，，
∵、分别是、的平分线，
∴，
，
∴．
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专题突破九：角平分线的计算（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数．
2．如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．

3．线段与角的计算．
(1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长；
(2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数．
4．如图，，，若，分别作和的平分线，，求的度数．
5．如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）
6．如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数．
7．已知．
(1)如图1，若，在的左侧，则 ；
(2)如图2，平分，平分，求．
8．如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且．
(1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由；
(2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数．
9．如图，是的平分线，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
10．如图，是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
11．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
12．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
(1)如图①，，则_________；
(2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数．
13．已知，顶点O在直线上，，是的平分线．
(1)当点A，B在直线的同侧时，如图1：
①若，则 ；
若，则 ；
②若，则 （用n表示）；
(2)当A，B在直线的异侧时，如图2：
①猜想与之间的数量关系，并说明理由；
②若，直接写出的度数．
14．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，．
(1)若，，求 ；
(2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
(3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由．
15．如图，已知内部有三条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数（写出求解过程）；
(3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）．
16．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，．
(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
17．如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是、的中点．
(1)若，则______；
(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数．
18．如图所示，已知平分平分．
(1)如图， ___________；
(2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；
(3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由．
19．如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
(2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
20．将一副三角板的两个锐角顶点重合，，，、分别是，的平分线．
(1)如图①所示，当与重合时，则的大小为 ．
(2)当绕着点O旋转至如图②所示，当，则的大小为多少？
(3)当绕着点O旋转至如图③所示，当时，求的大小．
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