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专项训练七　求阴影部分的面积
1.如图,在☉O中,若∠ACB=30°,OA=6,则扇形OAB(阴影部分)的面积是(　　)
A.12π B.6π C.4π D.2π
2.生活情境(2024·沧州孟村县模拟)如图是型号为24英寸(车轮的直径为24英寸,约60 cm)的自行车,现要在自行车两轮的阴影部分(分别以C,D为圆心的两个扇形)装上挡水的铁皮,量出四边形ABCD中∠DAB=115°,∠ABC=125°,那么安装单侧(阴影部分)需要的铁皮面积约是 (　　)
A.300π cm2 B.500π cm2 C.900π cm2 D.1 200π cm2
3.如图,等圆☉O1和☉O2相交于A,B两点,☉O1经过☉O2的圆心O2,若O1O2=2,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.2π B.π C.π D.π
4.(2023·鄂州)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,O为BC的中点,以点O为圆心,OB的长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是 (　　)
A.5-π B.5-4π
C.5-2π D.10-2π
5.(2024·河北三模)如图,将正六边形纸片的空白部分剪下,得到三部分图形,记Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分的面积分别为S1,SⅡ,SⅢ.给出以下结论:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形;②Ⅲ中最大的内角是150°;③SⅢ=2(S1+SⅡ).其中正确的是 (　　)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
6.把一个圆心角为120°,半径为9 cm的扇形纸片,通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4π cm的圆锥侧面,如图所示,则圆锥上粘贴部分(图中阴影部分)的面积是 (　　)
A.8π cm2 B.9π cm2 C.19π cm2 D.27π cm2
7.如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个相邻刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为 (　　)
A.π- B.π-
C.π-2 D.π-
8.如图,☉O的半径为3,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合,M,N分别是AB,FA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积是 (　　)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
9.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,以A为圆心,以AB为半径作;以BC为直径作.则图中阴影部分的面积是　　　　.(结果保留π)
10.如图1是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°,OA=1 m,点C,D分别为OA,OB的中点,则花窗的面积为
　　　　m2.
图1 　图2
11.(2024·资阳)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.以点A为圆心,AD长为半径作弧交AB于点E,再以AB为直径作半圆,与交于点F,则图中阴影部分的面积为　　　　.
12.(2023·郴州)如图,在☉O中,AB是直径,C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D,连接CD,使
∠BCD=∠A.
(1)求证:直线CD是☉O的切线.
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求图中阴影部分的面积.(结果用含π的式子表示)
1.(2023·连云港)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是 (　　)
A.π-20 B.π-20
C.20π D.20
2.如图,某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成,且三个等圆☉O1,☉O2,☉O3相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和为 (　　)
A.π cm2 B.π cm2 C.π cm2 D.π cm2
3.如图,C,D是以AB为直径的半圆上的两点,∠CAB=∠DBA,连接BC,CD.
(1)求证:CD∥AB.
(2)若AB=4,∠ACD=30°,求阴影部分的面积.
【详解答案】
基础夯实
1.B　解析:∵,∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°.
∴S扇形OAB=×62=6π.故选B.
2.A　解析:∵四边形ABCD中∠DAB=115°,∠ABC=125°,
∴∠ADC+∠BCD=120°,
∵车轮的直径为24英寸,约60 cm,
∴需要的铁皮面积约是=300π(cm2).故选A.
3.D　解析:如图,连接O2B,O1B,令AB与O1O2交于点C.
∵等圆☉O1和☉O2相交于A,B两点,∴O1O2⊥AB,AC=BC,O1C=O2C.∵☉O1和☉O2是等圆,∴O1A=O1O2=O1B=O2B.∴△O1O2B是等边三角形.∴∠O1O2B=60°.∵∠ACO1=∠BCO2=90°,AC=BC,O1C=O2C,∴△ACO1≌△BCO2(SAS).∴,S阴影=
.故选D.
4.C　解析:如图,连接OD,BD,作OH⊥CD交CD于点H.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,∴BC==4.∵O为BC的中点,以点O为圆心,OB的长为半径作半圆,∴BC是半圆的直径.∴∠CDB=90°.∵∠ACB=30°,∴BD=BC=2,CD=BC·cos∠BCD=4=6.又∵OB=OC=OD=BC=2,∴OB=OD=BD.∴△OBD是等边三角形.∴∠BOD=60°.∵OH⊥CD,∠OCH=30°,∴OH=OC=.∴S阴影=S△ACB-S△COD-S扇形ODB=×4×4×6-=5-2π.故选C.
5.B　解析:如图,将如图的正六边形可以分割成6个全等的三角形,
于是Ⅰ部分、Ⅱ部分相当于其中的1个三角形,Ⅲ部分相当于4个这样的三角形,
因此:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形是正确的;②Ⅲ中最大的内角是=120°,因此②不正确的;③SⅢ=2(S1+SⅡ)是正确的.
综上所述,正确的有①③.故选B.
6.B　解析:∵圆锥的底面周长为4π cm,
∴围成圆锥的扇形弧长为4π cm,
∵扇形的弧长为=6π(cm),
∴粘贴部分的弧长为6π-4π=2π(cm),
∴圆锥上粘贴部分的面积是×2π×9=9π(cm2).故选B.
7.B　解析:如图,连接OA,OB,过点O作OC⊥AB,
由题意可知
∠AOB=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形,
∴AB=AO=BO=2,
∴S扇形AOB=π,
∵OC⊥AB,
∴∠OCA=90°,AC=1,
∴OC=,
∴×2×,
∴阴影部分的面积为π-.故选B.
8.B　解析:如图,延长BC,CD,DE,EF分别交☉O于点I,J,K,H,过点O作OQ⊥CD于点Q,
∵正六边形ABCDEF的中心为O,
∴∠COD==60°,
∵OC=OD,
∴CQ=CD=1,∠COQ=∠COD=30°,
∴OC=2CQ=2,
在Rt△OCQ中,
OQ=,
∴CD·OQ=,
∴=6=6,
∴图中阴影部分的面积=×(S☉O-)=·(9π-6)=π-.故选B.
9.π-2　解析:如图,取BC的中点O,连接OA.
∵∠CAB=90°,AC=AB=,
∴BC=AB=2,
∴OA=OB=OC=1,
∴S阴影=S半圆-+·π×12-+=π-2.
10.　解析:由题知,
S扇形OAB=(m2),
∵点C,D分别是OA,OB的中点,
∴OC=OD= m,
∴S△OCD=(m2),
∴花窗的面积为m2.
11.+π　解析:如图,连接AF,EF.
由题意易知△AEF是等边三角形,
S阴影=S半圆-=2π-
=+π.
12.解:(1)证明:如图,连接OC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠A.
∵∠BCD=∠A,
∴∠OCA=∠A=∠BCD.
∴∠BCD+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°.∴OC⊥CD.
∵OC是☉O的半径,
∴直线CD是☉O的切线.
(2)∵∠ACD=120°,∠ACB=90°,
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°.
∴∠BOC=2∠A=60°.
∵在Rt△OCD中,tan∠BOC==tan 60°,CD=2,
∴.解得OC=2.
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=×2×2-=2.
能力提升
1.D　解析:如图,连接AC.∵矩形ABCD内接于☉O,AB=4,BC=5,∴AC2=AB2+BC2.∴阴影部分的面积是S矩形ABCD+π×2+π×2-π2=S矩形ABCD+π×(AB2+BC2-AC2)=S矩形ABCD=4×5=20.故选D.
2.C　解析:根据圆的对称性可知,图中三个阴影部分的面积相等.如图,连接AO1,AO2,O1O2,则AO1=AO2=O1O2.∵△AO1O2是等边三角形,∴∠AO1O2=60°,弓形AO1,AO2,O1O2的面积相等.∴阴影AO1O2的面积=扇形AO1O2的面积=π(cm2).∴图中三个阴影部分的面积之和为3×π=π(cm2).故选C.
3.解:(1)证明:∵,
∴∠ACD=∠DBA,
又∵∠CAB=∠DBA,
∴∠CAB=∠ACD,
∴CD∥AB.
(2)如图,连接OD,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
∵∠ACD=30°,
∴∠AOD=60°,
∴∠BOD=180°-∠AOD=120°,
∴π.
在Rt△ODE中,
∵DE=sin 60°·OD=×2=,
∴OB·DE=×2×,
∴S阴影=π-.

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