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4 三角形
说明:共23小题,满分120分,作答时间120分钟.
中考对接点 　　图形的初步认识,相交线与平行线,三角形的相关概念、内角和定理及其推论,三角形的三边关系,全等三角形的性质与判定,等腰(等边)三角形的性质与判定,直角三角形的性质与判定,勾股定理及其逆定理,角平分线的性质与判定,线段垂直平分线的性质与判定,定义、命题、定理
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列几何图形中,不一定是轴对称图形的是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.矩形 D.等边三角形
2.已知△ABC的三边长分别为a,2,5,那么a的值可以是 (　　)
A.2 B.3 C.5 D.7
3.将直角三角形ACB与矩形PMNQ按如图所示的方式放置,已知∠BDF=56°,则∠AEN的度数是 (　　)
A.48° B.45° C.38° D.34°
4.如图,在三角形纸片ABC中,AB=8 cm,BC=6 cm,AC=5 cm,沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在边AB上的点E处,折痕为BD,则△ADE的周长为 (　　)
A.5 cm B.7 cm C.8 cm D.11 cm
5.如图,这是一个正方体,将它沿某些棱展开后,能得到的图形是 (　　)
6.如图,将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合,若∠1=28°,则∠2的度数为 (　　)
A.28° B.32° C.58° D.62°
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 (　　)
A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9
8.“又是一年三月三”,在校内劳动课上,小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架.已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,△ABC 的周长为24 cm,FC=3 cm.制作该风筝框架需用材料的总长度至少为 (　　)
A.44 cm B.45 cm C.46 cm D.48 cm
9.如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,A4…在x轴的正半轴上,点B1,B2,B3…在直线y=x(x≥0)上,若点A1的坐标为(2,0),且△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,则点B10的纵坐标为 (　　)
A.3×28 B.3×29 C.×29 D.×210
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,点A,C分别在x轴,y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为 (　　)
A. B. C.1+ D.3
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则△ABC是直角三角形.此命题是　　　　命题.(填“真”或“假”)
12.如图,用直尺和圆规作∠AOB的平分线OM的依据是　　　　.(填“SAS、SSS、ASA、AAS”其中的一项)
13.如图,在△BCD中,若CA平分∠BCD交BD于点A,过点A作AE∥CD交BC于点E,则当AE=5时,CE=　　　　.
14.如图,已知AD是△ABC的中线,若AC=6,△ADB的周长比△ADC的周长多2,则AB=　　　　.
15.如图,∠AOB=45°,在边OA,OB上分别有两个动点C,D,连接CD,以CD为直角边作等腰直角△CDE,若CD=2,则OE的最大值为　　　　.
三、解答题(一):本大题共3小题,第16题10分,第17、18题各7分,共24分.
16.(1)已知某等腰三角形一边的长为3,另一边的长为6,求这个等腰三角形的周长.
(2)如图,∠BAC=90°,DH∥AE,∠1=∠2.求证:EF⊥AC.
17.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,若AB=10 cm,BC=8 cm,AC=6 cm,求CD的长.
18.如图,点D,E分别在AB,AC上,且AD=AE,AB=AC.
(1)求证:∠B=∠C.
(2)请写出OB与OC的数量关系,并证明.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图,在△ABC中,E是边AB上的中点,D是边BC上的点,且AC=CD.
(1)请用尺规作图法:作∠ACD的平分线CF交AD于点F,连接EF.(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求证:EF=BD.
20.如图,已知△ABC≌△DEF,且点A,D,C,F在同一直线上,点B,C,E在同一直线上.
(1)若EC是△DEF的中线,求证:AD=DC.
(2)若∠A=30°,∠B=80°,求∠CEF的度数.
21.(1)如图1,E是等边三角形ABC内一点,若AE=1,BE=2,CE=,求∠AEB的度数.我们求解思路可以是这样:将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,所以∠AEB=∠BDC,且CD=AE=1,连接ED,可证△BDE是　　　　三角形,从而得到ED=　　　　,又∵CE=,CD=1,根据勾股定理逆定理可得△　　　　是直角三角形,易得∠EDC=60°,即∠BDC=60°+60°=120°,从而得到∠AEB的度数.
(2)如图2,E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BEA的度数.
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题12分,共24分.
22.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,∠B=30°,D,E,N分别是BC,AC,AB的中点,连接DE,M是DE的中点,连接CM,CN.
(1)求线段CN与CM的长度.
(2)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M与点N之间距离的最大值和最小值.
(3)如图2,将图1中的△CDE绕顶点D顺时针旋转60°得到△PDQ,连接CQ,PE,H是PE的中点,连接QH.求证:QH⊥AB.
23.如图1,已知E,F分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点,且BE=AF,CE,BF交于点O.
(1)求∠BOE的度数.
(2)如图2,延长图1中的CE至点M,使OM=OB,连接AM,BM,运用(1)中的结论证明AM∥BF.
(3)如图3,△ABC与△MBO均为等腰三角形时,其中BM=BO,AB=BC,∠MBO=∠ABC=100°,连接AM,CO,请直接写出AM与CO所在直线构成的锐角的度数.
参考答案
1.B　2.C　3.D　4.B　5.A　6.C　7.A　8.B
9.C　提示:∵点B1,B2,B3…在直线y=x(x≥0)上,∴∠B1OA1=30°.∵等边△A1B1A2的边长为2,∴等边△A2B2A3的边长OA2的长度为4,等边△A3B3A4的边长OA3的长度为8…等边△A10B10A11的边长为OA10的长度为210,∴该等边三角形的高=×210=×29.故选C.
10.C　提示:如图,作AC的中点D,连接OD,BD,∵OB≤OD+BD,∴当O,D,B三点共线时,OB取得最大值.∵BD==,OD=AD=AC=1,∴点B到原点O的最大距离为1+.
11.假　12.SSS　13.5　14.8
15.+　提示:如图,在CD的左侧,以CD为斜边,作等腰直角△CDF,则当O,F,E三点共线时,OE的值最大.∵△CDF和△CDE都是等腰直角三角形,∴∠CDF=∠CDE=45°,
∴∠EDF=90°.∵CD=2,∴DE=2 ,DF=.在Rt△EDF中,由勾股定理得EF==,∴OE=OF+EF=+,∴OE的最大值为 +.
16.(1)解:∵3+3=6,∴该等腰三角形的三边分别是6,6,3, 3分
∴该等腰三角形的周长=6+6+3=15. 5分
(2)证明:∵DH∥AE,
∴∠1=∠BAE. 1分
又∵∠1=∠2,
∴∠BAE=∠2, 2分
∴BA∥EF, 3分
∴∠EFC=∠BAC=90°, 4分
即EF⊥AC. 5分
17.解:∵AB=10 cm,BC=8 cm,AC=6 cm,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ACB是以AB为斜边的直角三角形. 2分
∵CD是AB边上的高,
∴AC·BC=AB·CD,
∴CD==4.8 cm. 7分
18.解:(1)证明:∵AE=AD,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABE≌△ACD,
∴∠B=∠C. 3分
(2)OB=OC.
证明:如图,连接BC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD,
即∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC. 7分
19.解:(1)如图,CF即所求. 3分
(2)证明:∵AC=CD,∴△CAD是等腰三角形. 5分
∵CF平分∠ACD,
∴AF=DF,即F是AD的中点. 7分
又∵E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线, 8分
∴EF=BD. 9分
20.解:(1)证明:∵△ABC≌△DEF,
∴AC=DF,即AD+DC=DC+CF,
∴AD=CF.
∵EC是△DEF的中线,即DC=CF,
∴AD=DC. 4分
(2)∵∠A=30°,∠B=80°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°,
∴∠ECF=∠ACB=70°. 6分
∵△ABC≌△DEF,
∴∠F=∠ACB=70°,
∴∠CEF=180°-∠ECF-∠F=40°. 9分
21.解:(1)等边;2;EDC. 3分
(2)如图,将△BAE顺时针旋转90°得到△BCF,连接EF,
∴BF=BE=2,FC=AE=1,∠BEA=∠BFC,
∴在等腰Rt△BEF中,EF===2,且∠BFE=45°. 5分
∵(2)2+12=32,
∴EF2+CF2=EC2,
∴△EFC是直角三角形,
∴∠EFC=90°, 6分
∴∠BFC=45°+90°=135°,
∴∠BEA=∠BFC=135°. 9分
22.解:(1)在Rt△ABC中,∵N是AB的中点,
∴CN=AB=2.
∵D,E分别是BC,AC的中点,∴DE=AB=2.
在Rt△DEC中,∵M是DE的中点,
∴CM=DE=1. 4分
(2)MN的最大值是3,最小值是1. 7分
(3)证明:如图,连接DE,DH.
∵D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE∥AB,∴∠CDE=∠B=30°.
由旋转性质得∠CDP=60°,CD=PD且DE=DQ,
∴∠PDE=30°+60°=90°. 8分
∵H是PE的中点,
∴DH=HE,
∴点H在DE的垂直平分线上.
又∵∠CDQ=∠CDP-∠QDP=60°-30°=30°,
∴∠CDQ=∠PDQ,
∴△PDQ≌△CDQ, 9分
∴∠QCD=∠QPD=90°,
∴∠QCD+∠ECD=180°,
∴Q,C,E三点共线, 10分
∴△DQE是等边三角形,
∴QD=QE, 11分
∴点Q在DE的垂直平分线上,即QH垂直平分DE.
∵DE∥AB,
∴QH⊥AB. 12分
23.解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AB,∠EBC=∠A.
又∵BE=AF,∴△BCE≌△ABF,
∴∠BCE=∠ABF.
∵∠BOE是△BOC的外角,
∴∠BOE=∠OBC+∠BCE=∠OBC+∠ABF,
即∠BOE=∠ABC=60°. 4分
(2)证明:∵OM=OB,∠BOE=60°,
∴△BMO是等边三角形. 5分
又∵△BAC是等边三角形,
∴∠MBO=∠ABC=60°,MB=OB,AB=CB,
∴∠MBA=∠OBC,
∴△AMB≌△COB, 6分
∴∠AMB=∠COB.
又∵∠COB=180°-∠BOE=120°,
∴∠AMB=120°, 7分
∴∠AMO=∠AMB-∠OMB=120°-60°=60°,
∴∠AMO=∠MOB,
∴AM∥BF. 9分
(3)AM与CO所在直线构成的锐角的度数是80°. 12分
提示:如图,延长CO交AM于点N,交AB于点H.
∵∠MBO=∠ABC,
∴∠MBA=∠OBC,
由题意得AB=BC,MB=OB,
∴△MBA≌△OBC,
∴∠MAB=∠OCB,
∴180°-∠MAB-∠AHN=180°-∠OCB-∠BHC,
即∠ANH=∠ABC=100°,
∴∠MNH=180°-100°=80°,
∴AM与CO所在直线构成的锐角的度数是80°.

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