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（人教版）数学
九年级
下
第二十七章 相似
　27.2.2相似三角形的性质
目录
课后小结
随堂练习
知识讲解
情境导入
学习目标
1
3
5
2
4
学习目标
1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.(难点)
2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.(重点)
1.相似三角形的判定方法有哪几种？
三边成比例的两个三角形相似；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
两角分别相等的两个三角形相似；
一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
高、中线、角平分线、周长、面积.
如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？
知识点一 相似三角形对应线段的比等于相似比
1.相似三角形对应高的比等于相似比.
符号语言：
∵△ABC∽△A'B'C',
∴
在下列网格中画出两个相似三角形，并作出它们的中线，动手测量它们的长度，你有什么发现？
猜想：
探究：相似三角形对应中线的比
相似三角形对应中线的比等于相似比.
A
B
D
C
A′
B′
C′
D′
∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ，
证明：如图，分别作出△ABC△A' B' C' 的
中线AE和A' E'.
∴△ABE ∽△A' B' E' ,
∴.
已知：△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，
证明:它们对应中线的比等于k.
证明猜想：
A
B
E
C
A′
B′
C′
E'
A
B
E
C
A′
B′
C′
E'
符号语言：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴
2.相似三角形对应中线的比等于相似比.
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有相似三角形对应线段的比等于相似比.
A
B
C
D
A′
B'
C'
D'
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解析：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ，则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' ，
∴.
例1 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.
例2 如果两个相似三角形的对应高的比为2 : 3，那么这两个三角形对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是______ .
2 : 3
2 : 3
例3 已知△ABC∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边
上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D'＝______ .
16 cm
知识点二 相似三角形周长的比等于相似比.
如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，那么
AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
例1 已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为( ）
A．8
B．12
C．16
D．20
C
D
E
F
H
例2 已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC和
△DEF的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH的长.
A
G
B
C
解析：∵ △ABC ∽△DEF， 　
∴ (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，
∴ ，解得EH = 3.2.
∴ EH 的长为 3.2 cm.
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
知识点三 相似三角形面积的比等于相似比的平方
由前面的结论，我们有
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例1 已知△ABC∽△A′B′C’，AD和A′D′是它们的对应高线，
若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是( ）
A．25∶9 B．9∶25
C．5∶3 D．3∶5
A
1.已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 k …
周长比 …
面积比 10000 …
2
4
100
100
k
k2
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩
大为原来的______倍；
(2)如果面积扩大为原来的100 倍，那么边长
扩大为原来的______倍.
25
10
3.两个相似三角形的一组对应边分别是35cm、14 cm.
(1) 它们的周长差为60cm，这两个三角形的周长分别是________________；
(2) 它们的面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
A
B
C
D
E
F
解析：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
又∵∠D=∠A，
∴△DEF ∽ △ABC ，相似比为
∴
4.如图，在△ABC 和△DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF，∠A = ∠D.若△ABC 的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF 的边EF上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，
∴△DEF的边EF上的高为，
面积为2 .
课后小结
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
谢谢观看
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