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2024-2025学年第一学期天津市津南区九年级数学期末模拟练习卷（含解答）
（试题范围：第21章-26章）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．志愿服务， 传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（ ）
A． B． C． D．
3 .如图，在中，弦相交于点，若，，则等于（　　 ）

A． B． C． D．
如图，将绕点顺时针旋转得到.若点在同一条直线上，
则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．
同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（ ）
A 15个 B. 20个 C. 25个 D. 30个
6 . 点均在二次函数的图象上，
则， ，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，
与直角边相交于点，若的面积为6，则（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
8 .如图，在中，，
将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ）
A 5 B. C. D.
9 . 已知二次函数的图象如图所示，
则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
10 . 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，
连接并延长交AB于点D，当时，弧的长是（ ）
A． B． C． D．
11 .如图，点A,B,C是上的点，，．若的半径为2，
则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　 　）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 关于x方程的一个根是，则它的另一个根________．
14. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是 ．
15 . 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．
点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
那么投掷距离为 ．
16 .如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=，将△ABC绕点顶C顺时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．
如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，
图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 ．
18 .如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19 .解下列方程：
(1)
(2)
某中学积极落实国家“双减”教育政策，
决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，
促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？
（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，
并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，
请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
如图，已知内接于，为的直径，过点作的垂线，
与相交于点，与过点的的切线相交于点．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，，求的长．
22．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中．
(1)求的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点在轴上，且的面积为16，求点的坐标．
23 . 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
求S与x的函数关系式；
如果要围成面积为的花圃，的长是多少m；
当的长是多少m时，S取得最大值，最大值是多少？
24 .在中，，的角度记为．
【发现】
如图1，若．点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至位置，
连接，．

①的形状为____________；
②填空：与的数量关系：________；_______；
【论证】
如图2，若，点为边延长线上一点，连接，
将线段绕点逆时针旋转至位置，连接，．
①试判断和的数量关系，并说明理由；
②求的度数．
【拓展】
若，，将“点为边延长线上一点”改为“点为直线上一点”，
其余条件不变，当时，直接写出的长．
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．
求抛物线的表达式和对称轴；
(2) 设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3) 已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，
当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．B 2. C 3 .C 4 .D 5. B 6 . D 7. D 8 .B 9 . C 10 . D 11 .A 12 .D
二、13.-1 14. 15 . 4 16 . 17 .12 18 .
三、19 .（1）
则
（2）解：，
∴
∴
解得，
20.（1）解：（人）
故答案为：．
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：．
（3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
21.（1）解：如图，连接，
，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
，与相切于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的长为，则的长为，
在中，由勾股定理有，
解得，
的长为．
22．（1）解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
，；
（2）解：由反比例函数图象的对称性可得点的坐标为，
由图象可得：不等式的解集为或；
（3）解：由反比例函数图像的中心对称性知点，
设，则，
解得，
或．
23 . （1）解： 宽，则长，
，
又，且，
，
关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，即，
整理得：，解得：或，
，
，
当为时，面积为；
（3）解：由（1）知：，
，对称轴，开口向下，
当时，S最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
24 .解：[发现]：①由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②解：由题意知，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
故答案为：，；
[论证]：①解：，理由如下：
由题意知，，
，
，
由旋转的性质可知，，且，
，
；
②解：∵，，
，
由论证①可知，，
，
，
的度数为；
[拓展]解：由，可知共有两种情况，如图、，过作于，

∵，，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得， ，
将线段绕点逆时针旋转至位置，
，
在中，由勾股定理得，，
将线段绕点逆时针旋转至位置，
；
综上所述，的长为或．
25.（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，故有最大值，
当时，的最大值为4；
（3）存在，理由：
当时，点，
设点，，而点；
四边形是菱形，
则，即，
解得：，
即点的坐标为，或，．
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