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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025年河南省中考数学模拟试卷(三)
(时间：100分钟　分值：120分　得分：__________)
一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.下列各式中，与是同类二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
2.肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700 nm，已知1 nm＝10－9 m，那么700 nm用科学记数法可表示为(　　)
A.7×10－8 m B.7×10－7 m C.70×10－8 m D.0.7×10－7 m
3.如图，CD是∠ECB的平分线，且CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数为(　　)
第3题图
A.30° B.40° C.50° D.60°
4.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是(　　)
　　
第4题图
A.主视图和左视图完全相同 B.主视图和俯视图完全相同
C.左视图和俯视图完全相同 D.三视图完全相同
5.下列运算正确的是(　　)
A.2a2＋a2＝3a4 B.(－3a3)2＝－9a6
C.a2·2a3＝2a5 D.(a－b)2＝a2－b2
6.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C＝25°，则∠BOC的度数为(　　)
第6题图
A.25° B.50° C.65° D.75°
7.对于有理数x，y，定义一种新运算“□”：x□y＝ax＋by＋c，其中a，b，c为常数，等式右边是加法与乘法的混合运算.若3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为(　　)
A.－1 B.－11 C.1 D.11
8.在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，红灯亮的概率为(　　)
第8题图
　　　　　　　
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°.若点A1的坐标为(3，0)，OC2＝OA1，OC3＝OA2，OC4＝OA3，…，则依此规律，点A2 025的横坐标为(　　)
第9题图
A.0 B.3×
C.－3× D.3×
10.如图，有两个透明的正方体器皿，其中小正方体器皿的棱长是大正方体器皿棱长的，小正方体器皿放置于大正方体器皿的底部.现先向小正方体器皿内匀速注水，注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，直到液面刚好没过小正方体器皿.设注水时间为x，两个器皿内水面高度差为y(y≥0)，则下列图象中能大致反映y与x之间关系的是(　　)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.若分式 有意义，则x的取值范围是__________.
12.某学校共有学生650人，该校有关部门从全体学生中随机抽取50人，对其到校方式进行调查，并将结果制成了如图所示的条形统计图(将步行、骑自行车、坐公交车和其他方式分别表示为a，b，c，d).若将到校方式按四种方式所占比例绘制成扇形统计图，则“坐公交车”对应扇形的圆心角度数为__________.
第12题图
13.若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为__________.
14.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB于点E，F为BC的中点，连接EF，OE，OF.若AB＝2，AC＝1.8，则△EOF的周长为__________.
第14题图
15.如图，AC为矩形ABCD的一条对角线，AB＝5，BC＝，将CD绕点D旋转，点C的对应点为点E.若DE∥AC，则CE的长为__________.
第15题图
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(10分)(1)计算：＋2sin 60°＋； 　　(2)解不等式组：
17.(9分)问题情境
某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率.市面上有A，B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买其中一款.
实践发现
测试员小林随机选取了20句话，其中每句话都有10个字.他用标准普通话以相同的语速朗读每句话来测试这两款软件，并将语音识别结果进行整理、描述和分析.部分信息如下.
A款软件每句话中识别正确的字数分别为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10.
第17题图
实践探究
　A，B两款软件每句话中识别正确的字数统计分析表
软件 平均数 众数 中位数 识别正确9个字及以上的句数所占百分比
A款 7.7 6 8 50%
B款 a 8 b 30%
问题解决
(1)上述表格中，a＝__________，b＝__________.
(2)若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由.(写出一条理由即可)
(3)若会议记录员用A，B两款软件各识别了800句话，每句话有10个字，请估计这两款软件共一字不差地识别了多少句话.
18.(9分)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边BC上一点，连接DE.
(1)过点A作BC的平行线，与ED的延长线交于点F，连接AE，BF；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若D是AB的中点，求证：AE∥BF.
第18题图
19.(9分)宝轮寺塔，为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，始建于隋文帝仁寿元年(601年)，位于河南省三门峡市陕州风景区.现有一个数学活动小组欲测量宝轮寺塔的高DE，如图，同学们在A处测得宝轮寺塔上点C的仰角为15°，沿水平地面前进23 m到达B处后，测得宝轮寺塔塔顶E的仰角为53°，测得点C的仰角为30°.(图中各点均在同一平面内)
(1)求宝轮寺塔的高度；
(2)实际测量会存在误差，请提出一条减小误差的合理化建议.
(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈，≈1.73)
第19题图
20.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，tan ∠BAC＝，求DE的长.
第20题图
21.(9分)某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，每个甲款篮球的进价比每个乙款篮球的进价高30元.
(1)若商店用6 000元购进甲款篮球的数量是用2 400元购进乙款篮球的数量的2倍，则每个甲款篮球和每个乙款篮球的进价分别为多少元？
(2)已知商店销售每个甲款篮球可获利30元，销售每个乙款篮球可获利20元，若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不多于甲款篮球的数量，则当商店购进甲款篮球多少个时，获利最大？(假设购进的篮球可以全部售完)
22.(10分)已知(－2，4)和(1，4)都是抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)上的点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)都在此抛物线上，且＞，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
(3)已知点M(m，4)，点N(m＋4，4)，线段MN与此抛物线有且只有一个交点，请直接写出m的取值范围.
23.(10分)综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，同学们对Rt△ABC进行探究，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4.如图1，某小组对△ABC进行以下操作：折叠△ABC使点C与点A重合，折痕为DE，将△ABC展开，并连接DE，然后将△DEC绕点D按顺时针方向旋转，得到△DFG，点E，C的对应点分别为点F，G，直线GF与边AC交于点M(点M不与点A重合)，与边AB交于点N.
【问题提出与解决】
该小组对整个操作过程进行分析和讨论后提出问题1和问题2，请你帮忙解答.
问题1：如图1，
①折痕DE的长为__________；
②试判断线段MF与ME的数量关系，并证明你的结论.
问题2：
①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为__________；
②如图3，当直线GF∥BC时，求AM的长.
【拓展应用】
某名同学受到探究过程启发，提出问题3，请你帮助解答.
问题3：连接AF，当AF取最小值时，请直接写出△AMD的面积.
第23题图
答案
一、1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C
二、11.x≠
12.108°
13.12
14.2.9
15.或3
三、16.解：原式＝4＋2×＋＝4＋＋＝4＋2.
（2）解：
解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤3.
∴不等式组的解集为－2＜x≤3.
17.(1)7.7 8
(2)解：我会向公司推荐A款软件．理由如下：
在测试中，A款软件在一句话中识别正确的字数在9个字及以上的句数所占百分比是50%，大于B款的30%，说明A款软件在识别完整度上表现较好．(答案不唯一，合理即可)
(3)解：800××100%＋800××100%＝280(句).
答：估计这两款软件共一字不差地识别了280句话．
18.(1)解：作图如答图1所示．
(2)证明：∵AF∥BC，∴∠AFD＝∠BED.
∵D是AB的中点，∴AD＝BD.
在△AFD和△BED中，
∴△AFD≌△BED(AAS).∴AF＝BE.
∵AF∥BE，∴四边形AEBF是平行四边形．
∴AE∥BF.
答图1
19.((1)
解：∵∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，
∴∠BCA＝∠CBD－∠CAD＝15°＝∠CAD.∴BC＝BA＝23.
在Rt△CBD中，cos ∠CBD＝.
∴BD＝BC·cos 30°＝.
在Rt△BDE中，tan ∠DBE＝.
∴DE＝BD·tan 53°≈×≈26.5(m).
答：宝轮寺塔的高度约为26.5 m.
(2)解：多次测量取平均值．(答案不唯一，合理即可)
20.((1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又AC＝AB，∴D是BC的中点．
又O是AB的中点，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
又OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
（2）解：如答图3，设AC与⊙O交于点F，连接BF.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°.∴tan ∠BAC＝＝.
设BF＝3k，则AF＝4k.
在Rt△BAF中，由勾股定理，
得AB＝＝5k.
∵AB＝6，∴k＝.∴BF＝
DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF.∴＝.
∵D是BC的中点，∴E是CF的中点．
∴DE是△CFB的中位线．
∴DE＝BF＝.
21.(1)解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为(x＋30)元．
根据题意，得＝×2.解得x＝120.
经检验，x＝120是所列分式方程的解，且符合题意．
x＋30＝120＋30＝150.
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元．
(2)解：设该商店购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球(2m－10)个．
根据题意，得2m－10≤m.解得m≤10.
设商店获利为w元，则w＝30m＋20(2m－10)＝70m－200.
∵70＞0，∴w随m的增大而增大．
又m≤10，∴当m＝10时，w取得最大值．
答：当商店购进甲款篮球10个时，获利最大．
22.(1)
解：由题意，得解得
∴此抛物线的解析式为y＝3x2＋3x－2.
（2）解：y1＞y2.理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝3x2＋3x－2，
∵＞， ∴＞.
∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离．∴y1＞y2.
(3)解：m的取值范围为－2＜m≤1或－6≤m＜－3.
23.
②解：MF＝ME.证明如下：
如答图4，连接DM.
由折叠的性质，得∠DEC＝∠DEM＝90°.
由旋转的性质，得DE＝DF，∠DFM＝∠DEC＝90°.
在Rt△DMF和Rt△DME中，
∴Rt△DMF≌Rt△DME(HL).∴MF＝ME.
问题2：
①
②解：如答图5，过点A作AH⊥BC于点H，交直线FG于点K.
∴∠DHK＝90°.
由旋转的性质，
得∠DFM＝∠DEC＝90°，DF＝DE＝.
∴∠DFK＝180°－∠DFM＝90°.
∵GF∥BC，∴∠FDH＝∠DFM＝90°.
∴四边形DFKH是矩形．∴KH＝DF＝.
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5.
∵AH⊥BC，∴S△ABC＝BC·AH＝AB·AC.
∴AH＝＝.
∴AK＝AH－KH＝－＝.
∵GF∥BC，
∴△AKM∽△AHC.
∴＝，即 ＝.
解得AM＝.
答图5
【拓展应用】
解：当AF取最小值时，△AMD的面积为 .
【提示】如答图6，连接AD.
根据三角形的三边关系，
得AF≥AD－DF，且AD，DF的长为定值．
∴当A，F，D三点共线时，AF取得最小值，
此时AF＝AD－DF，
∵∠DEC＝∠BAC＝90°，∴DE∥AB.
∵AE＝CE，∴BD＝CD.
∵DA＝DC，∴∠MAD＝∠C.
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