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7.1.2　复数的几何意义
第七章　复　数　7.1　复数的概念
课标要求
理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念.
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来共同探究吧！
引入
课时精练
一、复数与复平面内点的关系
二、复数与复平面内向量的关系
三、复数的模
课堂达标
内容索引
四、共轭复数
复数与复平面内点的关系
一
探究1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
提示　复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序实数对(a，b)，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应.
1.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做______，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示________.
2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点______________，这是复数的一种几何意义.
知识梳理
虚轴
纯虚数
Z(a，b)
温馨提示
复数实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.
例1
(链接教材P73习题T6)在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4.
所以2(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，
所以2即m的取值范围为(2，4)∪(－5，－2).
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据.
(2)列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
思维升华
实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，
(1)对应的点在x轴上方？
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？
训练1
(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，
所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
复数与复平面内向量的关系
二
探究2 能用平面向量表示复数吗？
提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数.
知识梳理
唯一确定
唯一确定
温馨提示
复数与平面向量一一对应
例2
在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
记O为复平面的原点，
故点D对应的复数为－3－2i.
思维升华
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的向量，即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i
训练2
√
由复数的几何意义，可得
(2)在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则点D对应的复数是
A.3－i B.－1＋3i C.3＋i D.－3－i
√
由题知，点A(1，2)，B(－2，1)，C(0，0)，
设点D的坐标为(x，y)，
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以点D对应的复数为3＋i.
复数的模
三
知识梳理
2.记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为______________.
|z|或|a＋bi|
如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).
例3
(1)(链接教材P74T10)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
∴z＝－15＋8i.
(2)(链接教材P72例3)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
①|z|<3；②|z|＝2.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆.
思维升华
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数a＋bi(a，b∈R)，利用模的定义转化为实数问题求解.
训练3
√
共轭复数
四
知识梳理
1.定义：一般地，当两个复数的实部______，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________.
相等
互为相反数
共轭虚数
a－bi
例4
(多选)下列说法正确的是
A.复数和其共轭复数都是成对出现的
B.实数不存在共轭复数
C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D.复数和其共轭复数的模相等
√
√
实数的共轭复数是它本身，故B错误；
互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故C错误，A，D正确.
思维升华
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
训练4
复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
【课堂达标】
√
√
3.在复平面内，复数z＝2－3i对应的点位于第________象限.
四
复数z＝2－3i对应的点为(2，－3)，故在第四象限.
5
3＋4i
【课时精练】
√
1.在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为(－3，4)，位于第二象限.
√
∵复数－1－(a2－2a)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，
∴－(a2－2a)>0，∴0√
√
3.设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面内对应的点所在象限为
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，
所以x－yi＝1－i，
所以复数1－i在复平面内对应的点在第四象限.
√
A.－2－i B.－2＋i
C.1＋2i D.－1＋2i
∵A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，
√
5.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的集合是
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3，
∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.
2
(－1，1)
8.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，那么实数a的取值范围是________.
又因为|z1|<|z2|，
由题意可知，点A的坐标为(2，1).
根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2).
由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
10.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.
如图所示，因为|z|＝1，所以z对应的点Z的集合可看作是圆心为(0，0)，半径为1的圆.
z1对应复平面内的点为Z1(2，－2)，|z－z1|可看作点(2，－2)到圆上的点的距离.
11.(多选)已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是
A.若z1＝z2，则|z1|＝|z2|
B.若z1≠z2，则|z1|和|z2|可能相等
C.若z1>z2，则|z1|>|z2|
D.若|z1|>|z2|，则z1>z2
√
√
因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A正确；
当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但|1－i|＝|1＋i|，所以B正确；
若z1>z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足z1>z2，但|z1|<|z2|，故C错误；
因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D错误.
12.若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
5
由题意知点Z1(3，－5)，Z2(1，－1)，Z3(－2，a)共线，
依题意，得－5×4＋2(a＋5)＝0，则a＝5.
(1)求证：|z|为定值；
依题意，设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
所以|z|为定值.
(2)在复平面内，虚数z对应的点为Z，说明点Z的集合是什么图形.
14.已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2，2).
又mn＞0，
又2m＋n＝2且mn＞0，7.1.2　复数的几何意义
课标要求　理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念.
【引入】 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来共同探究吧！
一、复数与复平面内点的关系
探究1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做________，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示________.
2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点________，这是复数的一种几何意义.
温馨提示　复数实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.
例1 (链接教材P73习题T6)在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据.
(2)列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，
(1)对应的点在x轴上方？
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、复数与复平面内向量的关系
探究2 能用平面向量表示复数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，连接OZ，显然向量由点Z________；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量________.
温馨提示　复数与平面向量一一对应
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的向量，即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
训练2 (1)向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是(　　)
A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i
(2)在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则点D对应的复数是(　　)
A.3－i B.－1＋3i C.3＋i D.－3－i
三、复数的模
探究3 设＝(a，b)，那么||的值是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为________________.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝________(a，b∈R).
如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).
例3 (1)(链接教材P74T10)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
(2)(链接教材P72例3)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
①|z|<3；②|z|＝2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数a＋bi(a，b∈R)，利用模的定义转化为实数问题求解.
训练3 已知复数z＝a－bi(a，b∈R，b<0)，满足|z|＝1，复数z的实部为，则复数z的虚部为(　　)
A. B.－ C. D.－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、共轭复数
【知识梳理】
1.定义：一般地，当两个复数的实部________，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________.
2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝________.
例4 (多选)下列说法正确的是(　　)
A.复数和其共轭复数都是成对出现的
B.实数不存在共轭复数
C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D.复数和其共轭复数的模相等
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
训练4 复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　 )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【课堂达标】
1.复平面内复数z对应的向量为，且＝(－1，－2)，则|z|等于(　　)
A. B.3 C.5 D.(－1，2)
2.已知O是坐标原点，向量，对应的复数分别是2＋3i，1＋2i，那么向量对应的复数为(　　)
A.1＋i B.1－I C.2＋i D.2－i
3.在复平面内，复数z＝2－3i对应的点位于第________象限.
4.设复数z＝3－4i，则|z|＝______，＝________.
7.1.2　复数的几何意义
探究1　提示　复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序实数对(a，b)，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应.
知识梳理
1.虚轴　纯虚数
2.Z(a，b)
例1　解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，
所以2(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，
所以2即m的取值范围为(2，4)∪(－5，－2).
(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
训练1　解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，
所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
得m＝1或m＝－，
所以当m＝1或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
探究2　提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数.
知识梳理
唯一确定　唯一确定
例2　解　记O为复平面的原点，
由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3).
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5).
由题意知，＝，
所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
训练2　(1)C　[由复数的几何意义，可得
1＝(5，－4)，2＝(－5，4)，
所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，
所以1＋2对应的复数为0.]
(2)C　[由题知，点A(1，2)，B(－2，1)，C(0，0)，
设点D的坐标为(x，y)，
则有＝(x－1，y－2)，＝(2，－1).
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以＝，即得
所以点D对应的复数为3＋i.]
探究3　提示　||＝，我们称为复数a＋bi的模.
知识梳理
2.|z|或|a＋bi|
3.
例3　解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
(2)①由|z|＜3得向量的模小于3，
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
②由|z|＝2得向量的模等于2，
所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆.
训练3　A　[因为复数z的实部为，
所以a＝.
因为|z|＝1，所以|z|＝＝1，
解得b＝－或b＝(舍去)，
所以复数z的虚部为.]
知识梳理
1.相等　互为相反数　共轭虚数
2.a－bi
例4　AD　[实数的共轭复数是它本身，故B错误；
互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，故C错误，A，D正确.]
训练4　A　[z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限.]
课堂达标
1.A　[由题意，复数的模即为其对应的向量的模，故|z|＝＝.]
2.A　[易知＝(2，3)，＝(1，2)，
故＝－＝(1，1)，
所以向量对应的复数是1＋i.]
3.四　[复数z＝2－3i对应的点为(2，－3)，故在第四象限.]
4.5　3＋4i　[|z|＝＝5，＝3＋4i.]复数的几何意义
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于(　　)
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
2.(多选)在复平面内，若复数－1－(a2－2a)i(i为虚数单位)对应的点位于第二象限，则实数a的取值可以为(　　)
0 1 2
3.设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面内对应的点所在象限为(　　)
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
4.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
－2－i －2＋I 1＋2i －1＋2i
5.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的集合是(　　)
1个圆 线段 2个点 2个圆
6.复数1－i在复平面内对应的点到原点的距离是________.
7.已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则＝________.
8.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，那么实数a的取值范围是________.
9.(10分)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
10.(10分)已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.
二、综合运用
11.(多选)已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　)
若z1＝z2，则|z1|＝|z2|
若z1≠z2，则|z1|和|z2|可能相等
若z1>z2，则|z1|>|z2|
若|z1|>|z2|，则z1>z2
12.若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.
13.(13分)设虚数z满足|2z＋3|＝|＋2|.
(1)求证：|z|为定值；
(2)在复平面内，虚数z对应的点为Z，说明点Z的集合是什么图形.
三、创新拓展
14.(15分)已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值.
复数的几何意义
1.B　[依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为(－3，4)，位于第二象限.]
2.BC　[∵复数－1－(a2－2a)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，
∴－(a2－2a)>0，∴03.D　[因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，
所以x－yi＝1－i，
所以复数1－i在复平面内对应的点在第四象限.]
4.B　[∵A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，
∴向量对应的复数为－2＋i.]
5.A　[由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3，
∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.]
6.2　[复数1－i在复平面内对应的点的坐标为(1，－)，
所以复数1－i在复平面内对应的点到原点的距离是＝2.]
7.－－2i　[依题意，设z＝－＋yi，y>0，
于是得|z|＝＝3，解得y＝2，
所以＝－－yi＝－－2i.]
8.(－1，1)　[因为|z1|＝，
|z2|＝＝.
又因为|z1|<|z2|，
所以<，解得－19.解　(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，
由题意可知，点A的坐标为(2，1).
根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2).
由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
10.解　如图所示，因为|z|＝1，所以z对应的点Z的集合可看作是圆心为(0，0)，半径为1的圆.
z1对应复平面内的点为Z1(2，－2)，|z－z1|可看作点(2，－2)到圆上的点的距离.
由图可知点(2，－2)到圆心的距离为2，
则|z－z1|max＝2＋1.
11.AB　[因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A正确；
当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但|1－i|＝|1＋i|，所以B正确；
若z1>z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足z1>z2，但|z1|<|z2|，故C错误；
因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D错误.]
12.5　[由题意知点Z1(3，－5)，Z2(1，－1)，Z3(－2，a)共线，
因此＝(－2，4)，＝(－5，a＋5)，
依题意，得－5×4＋2(a＋5)＝0，则a＝5.]
13.(1)证明　依题意，设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
代入|2z＋3|＝|＋2|，
得|(2x＋3)＋2yi|＝|(x＋2)－yi|，
整理得x2＋y2＝3，即|z|＝，
所以|z|为定值.
(2)解　由(1)得|z|＝，且z为虚数，则满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，为半径的圆，除去点(，0)和(－，0).
14.解　(1)由题意得|z|＝＝≥2，
显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2.
(2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2，2).
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2，即m＋＝1.
又mn＞0，
所以＋＝
＝＋＋≥＋.
当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立.
又2m＋n＝2且mn＞0，
所以当＋取最小值＋时m＝2－，n＝2－2.

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