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7.2.2　复数的乘、除运算
第七章　复　数　7.2　复数的四则运算
课标要求
掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？
引入
课时精练
一、复数乘法的运算法则和运算律
二、复数除法的运算法则
三、复数范围内的解方程问题
课堂达标
内容索引
复数乘法的运算法则和运算律
一
探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
提示　复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
探究2 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想.
提示　猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；
(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
证明：
设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R).
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)
＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)
＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2) (3)略
1.复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝____________________.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
知识梳理
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
交换律 z1·z2＝____________
结合律 (z1·z2)·z3＝___________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
温馨提示
(2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并.
例1
(链接教材P78例3)计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
1.复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.
2.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
思维升华
(1)(链接教材P78例4)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝
A.2i－13 B.13＋2i
C.13－2i D.－13－2i
训练1
√
(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
√
(2)在复平面内，复数z＝(2＋3i)(1－2i)(i为虚数单位)对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
因为z＝(2＋3i)(1－2i)＝2－4i＋3i－6i2＝8－i，所以复数z在复平面内对应的点为(8，－1)，位于第四象限.
复数除法的运算法则
二
探究3 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
知识梳理
复数的除法法则
温馨提示
(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式.
例2
√
A.1＋2i B.1－2i
C.2＋i D.2－i
√
思维升华
A.－2 B.－1
C.1 D.2
训练2
√
A.1－2i B.1＋2i
C.1 D.－1
√
√
√
√
i2 026＝i506×4＋2＝(i4)506·i2＝－1，
复数范围内的解方程问题
三
探究4 对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)，
(1)当判别式Δ＝b2－4ac>0时，方程的两个根是什么？根与方程的系数有什么关系？
(2)当判别式Δ＝b2－4ac<0时，方程的根是什么？根与方程的系数有什么关系？
例3
(链接教材P79例6)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，
∴b＝－2，c＝2.
(2)试判断1－i是否为方程的根.
由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边，得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
训练3
(1)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则
√
由方程x2＋x＋1＝0得Δ＝1－4＝－3<0，
z1＋z2＝－1，C错误；
z1z2＝1，D正确.
√
(2)(多选)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则
A.z可能为纯虚数 B.方程各根之和为4
C.z可能为2－i D.方程各根之积为－20
√
√
由(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，
得z2－4＝0或z2－4z＋5＝0，
即z2＝4或(z－2)2＝－1，
解得z＝±2或z＝2±i，显然A错误，C正确；
各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B正确；
各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D正确.
【课堂达标】
1.若复数z＝i(1－i)，则|z|＝
√
因为z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，
√
A.1 B.－1
C.i D.－i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
4.若3＋4i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0(b∈R，c∈R)的一个复数根，则c＝________.
25
因为3＋4i是方程x2＋bx＋c＝0(b∈R，c∈R)的一个复数根，
所以(3＋4i)2＋b(3＋4i)＋c＝0，
整理得3b＋c－7＋(24＋4b)i＝0，
所以24＋4b＝0且3b＋c－7＝0，
解得b＝－6，c＝25.
【课时精练】
√
A.5 B.－7
C.12 D.25
√
√
A.4 B.2
C.－3 D.－4
由题意可得z为实数，
所以a＋3＝0，所以a＝－3.
√
A.0 B.1
C.2 D.3
即x＝2，y＝1，所以x＋y＝3.
√
5.复数z是x2－2x＋3＝0的根，则|z|＝
∵复数z是x2－2x＋3＝0的根，
6.若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________.
2
7.已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
5
2
由已知(a＋bi)2＝3＋4i，
即a2－b2＋2abi＝3＋4i.
则a2＋b2＝5，ab＝2.
8.在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的根为_______________.
因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为
9.计算：
＝i6＋i＝－1＋i.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
√
11.(多选)设复数z满足z(4＋3i)＝2－i(其中i是虚数单位)，则下列说法正确的是
√
由z(4＋3i)＝2－i可得
12.在复数范围内，把多项式x2＋1分解为一次因式的积：x2＋1＝____________.
(x－i)(x＋i)
x2＋1＝x2－i2＝(x－i)(x＋i).
13.二次方程x2＋(a＋bi)x＋c＝0(a，b，c∈R).
(1)求方程有相异两实根的条件；
设原方程的相异两个实根为α，β，
∴α＋β＝－a，b＝0.
当b＝0时，原方程化为x2＋ax＋c＝0，
有相异两个实根的条件为a2－4c>0，b＝0.
(2)求方程有一实根一虚根的条件.
设实根为m，虚根为z，
则由根与系数的关系得mz＝c，
因此m＝c＝0，
方程化为x(x＋a＋bi)＝0，
要使方程有虚根－a－bi，只有b≠0，
综上，方程有一实根一虚根的条件是c＝0，b≠0.
(1)求复数z；
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
∵z＋2i为实数，
∴b＋2＝0，解得b＝－2，
∴z＝4－2i.
(2)求实数x的取值范围.
∵复数(z＋xi)2＝[4＋(x－2)i]2＝16－(x－2)2＋8(x－2)i＝(12＋4x－x2)＋(8x－16)i，且复数(z＋xi)2在复平面内对应的点在第一象限，
即实数x的取值范围是(2，6).7.2.2　复数的乘、除运算
课标要求　掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
【引入】 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？
一、复数乘法的运算法则和运算律
探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝____________.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝________
结合律 (z1·z2)·z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
温馨提示　(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2.
(2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并.
例1 (链接教材P78例3)计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.
2.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
训练1 (1)(链接教材P78例4)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)
A.2i－13 B.13＋2i C.13－2i D.－13－2i
(2)在复平面内，复数z＝(2＋3i)(1－2i)(i为虚数单位)对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、复数除法的运算法则
探究3 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
复数的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝__________________(a，b，c，d∈R，且c＋d＋i≠0).
温馨提示　(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式.
例2 (1)(链接教材P79例5)＝(　　)
A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i
(2)若z＝－1＋i，则＝(　　)
A.－1＋i B.－1－i
C.－＋i D.－－i
思维升华　1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，＝i等.
2.运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.
训练2 (1)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
(2)若复数z＝＋i3＋i4，则z＝(　　)
A.1－2i B.1＋2i C.1 D.－1
(3)(多选)若复数z满足(1－i)z＝i2 026，为z的共轭复数，则(　　)
A.|z|＝
B.z·＝
C.z在复平面内对应的点位于第二象限
D.是纯虚数
三、复数范围内的解方程问题
探究4 对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)，
(1)当判别式Δ＝b2－4ac>0时，方程的两个根是什么？根与方程的系数有什么关系？
(2)当判别式Δ＝b2－4ac<0时，方程的根是什么？根与方程的系数有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (链接教材P79例6)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否为方程的根.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的，当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＜0时，其求根公式为x＝.
2.利用复数相等的定义求解.设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
训练3 (1)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则(　　)
A.|z1－z2|＝ B.|z1|＝
C.z1＋z2＝1 D.z1z2＝1
(2)(多选)已知复数z满足方程(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，则(　　)
A.z可能为纯虚数 B.方程各根之和为4
C.z可能为2－i D.方程各根之积为－20
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.若复数z＝i(1－i)，则|z|＝(　　)
A.1 B. C.2 D.
2.复数＝(　　)
A.1 B.－1 C.i D.－i
3.已知复数z＝(i是虚数单位)，则在复平面内所对应的点所在象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.若3＋4i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0(b∈R，c∈R)的一个复数根，则c＝________.
7.2.2　复数的乘、除运算
探究1　提示　复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
探究2　提示　猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；
(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
证明：
设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R).
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)
＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)
＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2) (3)略
知识梳理
1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.z2·z1　z1·(z2·z3)　z1z2＋z1z3
例1　解　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
训练1　(1)D　[(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.]
(2)D　[因为z＝(2＋3i)(1－2i)＝2－4i＋3i－6i2＝8－i，所以复数z在复平面内对应的点为(8，－1)，位于第四象限.]
探究3　提示　通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果，
即＝
＝
＝＋i(c＋di≠0).
知识梳理
＋i
例2　(1)D　[＝＝＝2－i.]
(2)C　[因为z＝－1＋i，
所以z＝(－1)2＋()2＝4，
所以＝＝＝－＋i.]
训练2　(1)D　[由i(1－z)＝1，得z＝1－＝1＋i，所以z＋＝1＋i＋1－i＝2.]
(2)A　[z＝＋i3＋i4＝－i＋1＝－i＋1＝1－2i.]
(3)ABD　[i2 026＝i506×4＋2＝(i4)506·i2＝－1，
则z＝＝＝－－i，
则|z|＝＝，A正确；
＝，z·＝－＝，B正确；
z在复平面内对应的点为，位于第三象限，C错误；
＝＝＝－i，D正确.]
探究4　(1)提示　x1＝，
x2＝，
x1＋x2＝－，x1·x2＝.
(2)提示　x1＝，
x2＝，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
例3　解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，
∴得
∴b＝－2，c＝2.
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边，得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.
训练3　(1)D　[由方程x2＋x＋1＝0得Δ＝1－4＝－3<0，
由求根公式得x＝＝，
不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i.
|z1－z2|＝|i|＝，A错误；
|z1|＝＝＝1，B错误；
z1＋z2＝－1，C错误；
z1z2＝1，D正确.]
(2)BCD　[由(z2－4)(z2－4z＋5)＝0，
得z2－4＝0或z2－4z＋5＝0，
即z2＝4或(z－2)2＝－1，
解得z＝±2或z＝2±i，显然A错误，C正确；
各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B正确；
各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D正确.]
课堂达标
1.B　[因为z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，
所以|z|＝.]
2.D　[＝＝＝－i.]
3.A　[z＝＝＝＝2－i，
则＝2＋i，在复平面内所对应的点为(2，1)，
在第一象限.]
4.25　[因为3＋4i是方程x2＋bx＋c＝0(b∈R，c∈R)的一个复数根，
所以(3＋4i)2＋b(3＋4i)＋c＝0，
整理得3b＋c－7＋(24＋4b)i＝0，
所以24＋4b＝0且3b＋c－7＝0，
解得b＝－6，c＝25.]复数的乘、除运算
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.已知复数z在复平面内对应的点为(3，4)，复数z的共轭复数为，那么z·＝(　　)
5 －7 12 25
2.若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　)
4 4 2 2
3.若复数z＝－i(a∈R)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝(　　)
4 2 －3 －4
4.已知x，y∈R，i是虚数单位.若x＋yi与互为共轭复数，则x＋y＝(　　)
0 1 2 3
5.复数z是x2－2x＋3＝0的根，则|z|＝(　　)
1 2
6.若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________.
7.已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
8.在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的根为______.
9.(10分)计算：(1)；
(2)；　
(3)＋.
10.(10分)已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.
二、综合运用
11.(多选)设复数z满足z(4＋3i)＝2－i(其中i是虚数单位)，则下列说法正确的是(　　)
z的虚部为－i
z在复平面内对应的点位于第四象限
z＋＝
|z|＝
12.在复数范围内，把多项式x2＋1分解为一次因式的积：x2＋1＝____________.
13.(13分)二次方程x2＋(a＋bi)x＋c＝0(a，b，c∈R).
(1)求方程有相异两实根的条件；
(2)求方程有一实根一虚根的条件.
三、创新拓展
14.(16分)已知复数z满足z＋2i，均为实数，复数(z＋xi)2(x∈R)在复平面内对应的点在第一象限，其中i为虚数单位.
(1)求复数z；
(2)求实数x的取值范围.
复数的乘、除运算
1.D　[由题意得z＝3＋4i，则z·＝|z|2＝()2＝25.]
2.D　[iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，
所以|iz＋3|＝＝2.]
3.C　[因为z＝－i＝－i＝－i，
由题意可得z为实数，
所以a＋3＝0，所以a＝－3.]
4.D　[因为＝＝＝2－i，
所以的共轭复数为2＋i，
即x＝2，y＝1，所以x＋y＝3.]
5.C　[∵复数z是x2－2x＋3＝0的根，
∴z＝1±i，∴|z|＝.]
6.2　[复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i，实部是2.]
7.5　2　[由已知(a＋bi)2＝3＋4i，
即a2－b2＋2abi＝3＋4i.
从而有
解得或
则a2＋b2＝5，ab＝2.]
8.　[因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为
x＝＝.]
9.解　(1)＝＝－1－3i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)＋
＝＋
＝i6＋i＝－1＋i.
10.解　(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
11.BC　[由z(4＋3i)＝2－i可得
z＝＝＝＝－i.
对A，z的虚部为－，故A错误；
对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确；
对C，z＋＝－i＋＋i＝，故C正确；
对D，|z|＝＝，故D错误.]
12.(x－i)(x＋i)　[x2＋1＝x2－i2＝(x－i)(x＋i).]
13.解　(1)设原方程的相异两个实根为α，β，
∵由根与系数的关系得
∴α＋β＝－a，b＝0.
当b＝0时，原方程化为x2＋ax＋c＝0，
有相异两个实根的条件为a2－4c>0，b＝0.
(2)设实根为m，虚根为z，
则由根与系数的关系得mz＝c，
因此m＝c＝0，
方程化为x(x＋a＋bi)＝0，
要使方程有虚根－a－bi，只有b≠0，
综上，方程有一实根一虚根的条件是c＝0，b≠0.
14.解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
∵z＋2i为实数，
∴b＋2＝0，解得b＝－2，
∴＝＝＝＋i，
∵为实数，∴＝0，解得a＝4.
∴z＝4－2i.
(2)∵复数(z＋xi)2＝[4＋(x－2)i]2＝16－(x－2)2＋8(x－2)i＝(12＋4x－x2)＋(8x－16)i，且复数(z＋xi)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴解得2即实数x的取值范围是(2，6).]

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