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莱芜区2024—2025学年度第一学期期中考试九年级
数学试题
本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟．
答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置．
答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效．
本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
选择题部分共40分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 对于反比例函数，下列描述正确的是（ ）
A. 图象位于一、三象限 B. 图象不可能与坐标轴相交
C. y随x的增大而增大 D. 图象必经过点
3. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，一支反比例函数y＝的图象经过点A，作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB＝3，则k的值为（　　）
A. 3 B. ﹣3 C. 6 D. ﹣6
5. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长为（参考数据：）（ ）
A. B. 4 C. 5 D.
8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A B. C. D.
10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论中，其中正确的结论的个数是（ ）
①；②；③；④一元二次方程有两个不等实数根．
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
非选择题部分共110分
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案）
11. 如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
12. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．则k的值为____________．
13. 如图，点，点C是一点，若，则____________．
14. 抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为____________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为____________．
三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16 计算：．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，BC＝2，求AB的长．
18. 通过配方法，求二次函数图象的顶点坐标．
19. 如图，正比例函数与反比例函数图象交于A、B两点，A的横坐标为4，B的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
20. 已知二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
21. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A和．
（1）求反比例函数的表达式及A点坐标；
（2）过点A作轴，垂足为D，求的面积．
22. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
【方案设计】
要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户．
数据收集】
如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．
【问题提出】
（1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长；
（2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：）
23. 电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？每天最大利润是多少？
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转得到，点在反比例函数的图象上，连接．
（1）求的值；
（2）若为平面内一点，为双曲线上一点，是否存在点和点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图，抛物线与x轴交于点两点，顶点为点，连接，点P为抛物线上位于第二象限内的一个动点，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）连接，求面积的最大值．
莱芜区2024—2025学年度第一学期期中考试九年级
数学试题 简要答案
选择题部分共40分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】D
非选择题部分共110分
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】1
【13题答案】
【答案】3
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】##
三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】AB＝
【18题答案】
【答案】．
【19题答案】
【答案】（1）
（2）或
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）不在二次函数图象上，略．
【21题答案】
【答案】（1），；
（2）．
【22题答案】
【答案】（1）；
（2）．
【23题答案】
【答案】（1），；
（2）销售单价为30元时，每天销售最大利润为8000元．
【24题答案】
【答案】（1）
（2）存在，
【25题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）2．

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