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专题：动角问题压轴题（期末提升专练）
1．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)若，，秒时，________°；
(2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值；
(3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．
①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒；
②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系．
2．已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分．
(1)如图1，射线在的内部．
①的度数为 °；
②若与互余，求的度数；
(2)若，求的度数（用含n的式子表示）．
3．已知:如图，分别为定角( 大小不会发生改变) 内部的两条动射线，
（1）当运动到如图1的位置时，，求的度数．
（2）在(1)的条件下(图2)，射线分别为的平分线，求的度数．
（3）在(1)的条件下(图3)，是外部的两条射线， ，平分，平分，求的度数．
4．如图①，直线上依次有、、三点，若射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图②，设旋转时间为秒（）．
（1）__________度，__________度．（用含的代数式表示）
（2）在运动过程中，当等于时，求的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线平分或 (，均为小于的角)？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．
5．已知：如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边和都在直线的上方，且．
(1)若图中的三角板从点出发向左匀速运动，同时动点从点出发向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图，当时，，此时，三角板的运动速度为 ，点的运动速度为
(2)在（）的条件下，若三角板按原来的速度继续向左匀速运动，而动点按原速也向左运动，再经过多少秒，？
(3)如图，过点作射线，使，若三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，三角板也停止运动，直接写出经过多长时间所在的直线平分．
6．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，当其中一条射线回到起始位置时，运动停止，直线MN保持不动，设旋转时间为ts．
(1)当t＝3时，∠AOB＝ ；
(2)在运动过程中，当射线OB与射线OA垂直时，求t的值；
(3)在旋转过程中，是否存在这样的t，使得射线OB、射线OA和射线OM，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分？如果存在，直接写出答案；如果不存在，请说明理由．
7．已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，．
（1）求的度数；
（2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数；
（3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由．
8．如图1，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为.

（1）当时，则线段 ，线段 .
（2）用含的代数式表示运动过程中的长.
（3）在运动过程中，若的中点为，问的长是否变化？与点的位置是否无关？
（4）知识迁移：如图2，已知，过角的内部任一点画射线，若、分别平分和，问∠EOC的度数是否变化？与射线的位置是否无关？
9．已知：如图1，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动，设旋转的时间为秒，当时，试求的值；
(3)如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果）
10．如图：已知，射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为t秒（）．

(1)用含t的代数式表示的度数；
(2)在运动过程中，当第一次达到时，求t的值；
(3)射线，在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
11．【问题背景】已知是内部的一条射线，且．
【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数；
【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；
【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系．
12．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）．
(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．
①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论．
13．如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且．
(1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由；
(2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数．
14．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转．
【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时．
（1）若，______°；
（2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度；
【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由．
15．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，．
(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
16．如图所示，已知平分平分．
(1)如图， ___________；
(2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；
(3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由．
17．已知O是直线上一点，是直角，平分．
(1)如图1，当，求的度数；
(2)如图2，平分，求的度数；
(3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系．
18．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
(1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．
(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．
(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数．
19．如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．

(1)当时，求的度数；
(2)比较与的大小，并写出理由；
(3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确．
20．已知，作射线．射线，分别是，的平分线．
(1)当射线在的内部时，如图．
①若，则的度数为 ；
②若，求的度数（用含α的式子表示）；
(2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）．
参考答案：
1．(1)100；
(2)；
(3)①12或30或48；②
【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．
（1）根据，即可求解；
（2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解；
（3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可，
②由与始终互余，得出，进而可求解．
【详解】（1）解：当，，秒时，
，，
，
；
故答案为：100；
（2）解：，
又在的左侧且平分，
解得：，
（3）解：①当是的角平分线时，如图所示：
又始终平分，
∴，
当是的角平分线时，如图所示：
又始终平分，
，此时射线与重合，
解得：，
当是的角平分线时，如图所示：
又始终平分，
，
又，
，
解得：，
故答案为：或30或48；
②当在的左侧时，如图所示：
又始终平分，
与始终互余，
，
化简得：．
2．(1)①15；②
(2)的度数为： 或
【分析】本题考查了角的计算、余角、角平分线的定义，熟练掌握余角的定义、角平分线的定义是解题的关键，在解答第（2）时，采用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）由，，可得从而可计算出的度数；
根据与互余以及平分即可算出的度数；
（2）分两种情况：当在内部时；当在外部时，进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：， ，
，，
，
；
故答案为：15 ；
与互余，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：当在内部时，如图所示：
，
，
，
，
平分，
，
；
当在外部时，如图所示：
，
平分，
，
，
综上所述：的度数为： 或．
3．（1）∠AOD=70°；（2）∠MON=50°；（3）∠POQ=110°．
【分析】（1）根据角的定义可以得出∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC，然后可先求出∠BOC，最后再进一步求解即可；
（2）利用角平分线性质进一步求解即可；
（3）根据题意先求出∠POD+∠AOQ的值，然后再进一步求解即可.
【详解】（1）∵∠AOC+∠BOD=100°，∠AOB+∠COD=40°，
又∵∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC，
∴40°+ 2∠BOC=100°，
∴∠BOC=30°，
∴∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠COD=70° ；
（2）∵OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，
∴∠CON+∠BOM= (∠AOB+∠COD）=×40°=20°，
∴∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC=20°+30°=50°；
（3）∵OP平分∠EOD， OQ平分∠AOF，
∴∠POD+∠AOQ =（∠EOD+∠AOF），
∵∠EOD=∠EOB ∠BOD=90° ∠BOD，
同理，∠AOF = 90° ∠AOC，
∴∠EOD+∠AOF=180° ∠BOD +∠AOC)=180° 100°=80°，
∴∠POD+∠AOQ =（∠EOD+∠AOF）=40°，
∴∠POQ=∠POD+∠AOQ+∠AOD=40°+70°=110°.
【点睛】本题主要考查了利用角平分线性质进行角度的计算，熟练掌握相关方法是解题关键.
4．（1）度，度；（2）当等于时，t=20或40；（3）射线平分或时，t=18或36.
【分析】（1）∠POA的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠QOB的度数等于OB旋转速度乘以旋转时间；
（2）分OA与OB相遇前，∠AOB=60°，和OA与OB相遇后，∠AOB=60°，两种情况，列出关于t的等式，解出即可；
（3）分OB平分∠AOQ和OB平分∠AOP两种情况，列出关于t的等式，解出即可.
【详解】（1）度，
度；
（2）①OA与OB相遇前，∠AOB=60°，
；
②OA与OB相遇后，∠AOB=60°，
，
综上，当等于时，t=20或40；
（3）①OB平分∠AOQ时，
∠AOQ=2∠BOQ，
；
②OB平分∠AOP时，
∠AOP=2∠BOP，
，
综上，射线平分或时，t=18或36.
【点睛】本题是对角度动态问题的考查，熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键，难度相对较大.
5．(1)，；
(2)再经过或秒，；
(3)经过或秒，所在的直线平分．
【分析】（）设三角板的运动速度为，点运动速度为，由路程速度时间，列出方程，即可求解；
（）由（）可知，分两种情况，即点在点的右侧或者在点在点的左侧，即可求得；
（）设经过秒所在的直线平分，则，旋转的角度为，分两种情况：当在上方，在下方时，，即可求得；
本题考查了一元一次方程的应用，角的和差的表示，旋转的性质，数形结合思想以及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）设三角板的运动速度为，点运动速度为，
∵时，，
∴，解得：，
∴三角板的运动速度为，点运动速度为；
故答案为：，；
（2）由（）可知，，，
设再经过秒，，
点在右侧时，，
∴，解得，
点在左侧时，，
∴，解得，
综上可知：再经过或秒，；
（3）设经过秒所在的直线平分，
如图，当在上方，由题意得：
∴，解得：，
如图，在下方时，由题意得：
∴，解得：，
综上可知：经过或秒，所在的直线平分．
6．(1)150°
(2)9或27或45；
(3)t为、、、、
【分析】（1）求出∠AOM及∠BON的度数可得答案；
（2）分两种情况：①当时，②当时，根据OA与OB重合前，OA与OB重合后，列方程求解；
（3）射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，②OA分∠BOM为3：2时，③OB分∠AOM为2：3时，④OB分∠AOM为3：2时，⑤OM分∠AOB为2：3时，⑥ OB分∠AOM为2：3时，⑦OB分∠AOM为3:2时，⑧ OA分∠BOM为3:2时，⑨ OA分∠BOM为2:3时，列方程求解并讨论是否符合题意．
【详解】（1）解：当t＝3时，∠AOM=12°，∠BON=18°，
∴∠AOB＝180°-∠AOM-∠BON=150°，
故答案为：150°；
（2）解：分两种情况：
①当时，
当OA与OB重合前，，得t=9；
当OA与OB重合后，，得t=27；
②当时，
当OA与OB重合前，，得t=45；
当OA与OB重合后，，得t=63（舍去）；
故t的值为9或27或45；
（3）解：射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，
∴4t：（180-4t-6t）=2：3，
解得：t=；
②OA分∠BOM为3：2时，
∴4t：（180-4t-6t）=3：2，
解得：t=；
③OB分∠AOM为2：3时，
∵，
∴，
得t=；
④OB分∠AOM为3：2时，
∴，
得t=；
⑤OM分∠AOB为2：3时，
∴，
得t=54，
此时>180°，故舍去；
⑥ OB分∠AOM为2：3时，
∴，
得，
此时，故舍去；
⑦OB分∠AOM为3:2时，
∴，
得，
此时，故舍去；
⑧ OA分∠BOM为3:2时，
∴，
得，
⑨ OA分∠BOM为2:3时，
∴，
得t=67.5（舍去）
综上，当t的值分别为、、、、时，射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分．
【点睛】此题考查了角的计算，角的旋转，几何图形中角度的度数比，列一元一次方程，正确画出图形求角度值是解题的关键．
7．（1）；（2）；（3）的大小不变为．
【分析】（1）由，可得，从而可求解 从而可得的大小；
（2）由射线，分别为，的平分线，求解，从而可得的度数为；
（3）先求解，再证明，结合角平分线的性质求解，从而可得．
【详解】解：（1）∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）∵射线，分别为，的平分线，
∴，
∴
∴
∴的度数为．
（3）的大小不变为．理由如下：
∵，，
∴，
，
∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，角的和差运算，掌握以上知识是解题的关键．
8．（1）4,3；（2）或；（3）EC的长不变，与点B的位置无关，EC=5cm；（4）∠EOC的度数不变，与射线OB的位置无关．
【分析】（1）根据线段的和差关系可得；（2）分情况讨论：）①当0≤t≤5时，此时点B从A向D移动；②当5＜t≤10时，此时点B从D向A移动；（3）根据线段中点定义可得：EC=EB+BC=AB +BD =(AD+BD)=AD；（3）根据角平分线定义可得：∠EOC=∠EOB+∠BOC=(∠AOB+∠BOD)=∠AOD.
【详解】解：（1）2×2=4（cm）; =3(cm)

（2）①当0≤t≤5时，此时点B从A向D移动：
②当5＜t≤10时，此时点B从D向A移动：

（3）EC的长不变．与点B的位置无关．
∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
∴EB=AB，BC=BD.
∴EC=EB+BC=AB +BD =(AD+BD)=AD
∵AD＝10 cm，
∴EC=5cm，与点B的位置无关．
(4)∠EOC的度数不变，与射线OB的位置无关．

∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC ，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，
∴∠EOC=∠EOB+∠BOC
=(∠AOB+∠BOD)
=∠AOD
∵∠AOD=120°
∴∠EOC=60°，与OB位置无关．
【点睛】考核知识点：线段运算和角平分线.理解角平分线定义和角的和差关系是关键.
9．(1)；
(2)当的值为5，10，12.5或13.75时，
(3)的度数为或
【分析】（1）由题意可得，，可直接求解；
（2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①逆时针运动时，，相遇前和相遇后；②顺时针旋转，，相遇前和相遇后，分别画图求解即可；
（3）根据射线的运动，需要分四种情况，①当射线与重合前，②当射线与重合后，前，③前，④与重合前，画出图形，结合角平分线求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
①逆时针运动时，即时，
由，的运动可知，，，
，相遇前，如图2（1）所示：
，即，解得；
，相遇后，如图2（2）所示：
，即，解得；
②顺时针旋转时，，，
，相遇前，如图（3）所示：
，即，解得；
，相遇后，如图（4）所示：
，即，解得，
综上，当的值为5，10，12.5或13.75时，；
（3）解：由（1）知，根据射线的运动，需要分四种情况：
的①当射线与重合前，如图3（1）所示：
平分，平分，
，，
；
②当射线与重合后，前，如图3（2）所示：
平分，平分，
，，
；
③前，如图3（3）所示：
平分，平分，
，，
；
④与重合前，如图3（4）所示：
平分，平分，
，，
；
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题关键．
10．(1)
(2)秒
(3)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算以及角平分线的性质，熟练掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据题意即可得到答案；
（2）当第一次达到时，根据角之间的和差关系得到列出方程即可；
（3）根据题意分三种情况进行分类讨论即可；
【详解】（1）解：由题意可得：射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，
；
（2）解：根据题意可得：，
当第一次达到时，，
即，
解得；
（3）解：射线是由射线中的其中两条组成的角的平分线，
①平分，
解得；
②平分，
，即，
，
解得；
③平分，
，
，
解得；
综上所述，当的值分别为时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线．
11．（1）；（2）；（3）．
【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义，
（1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解；
（2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解；
（3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系．
【详解】解：（1），，
．
又平分，平分，
，，
；
，
；
（2），，
；
．
．
又平分，
，
；
（3）设，则．
，
，
．
，
，
．
12．(1)
(2)
(3)①．理由见解析；②，
【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算．
（1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则．
（2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则．
（3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果；
②在图1中，反向延长得到射线 ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
是直角，即，
；
（2）解：，
，
平分，
，
是直角，即，
，
故答案为：；
（3）解：①．理由如下：
当旋转至题图2的位置时，
设，则，
平分，
，
，
，即，
，
，
，
；
②在图1中，．理由如下：
由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图，
则平分，
，
又，
，
，
由（2）知，若，则，
，
，即；
在图2中，．理由如下：
平分，
，
又，
，即，
由①知，，
，
，
，
将代入，得，
整理得．
13．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可确定两个角的大小；
（2）根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：恰好平分，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
．
14．（1）；（2）；（3），见解析
【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
（3）用分别求出和，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为；
（2）因为恰好是的平分线，，
所以，
因为
所以；
所以旋转角是50度；
（3）
理由：因为恰好是的平分线
因为，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
15．(1)
(2)不改变，，理由见解析
【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
（1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；
（2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在内部时．
令，则，，
∴，
∴；
②的两边在射线的两侧时．令，
则，，，
∴，
∴．
综上可得，和的数量关系不改变，．
16．(1)45
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的以求出与的度数，然后相减即可求出的度数；
（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出与的度数，然后相减即可得到的度数；
（3）根据前两题的求解思路把具体数据换为、，然后整理即可得出规律．
本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键．
【详解】（1）解： ，，
，
平分，平分，
，
，
；
（2）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
；
（3）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
，
即
17．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用：
（1）由补角及角平分线的定义可求得的度数，结合直角的定义可求解的度数；
（2）由角平分线的定义可得，进而可求解；
（3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①当时，由题意得，
∴
，
∴；
②当时，
由题意得，
∴
，
∴；
综上所述，，．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．
（1）根据即可求解；
（2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解；
（3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：∵，
∴，
平分，平分，
，
，
；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
．
19．(1)
(2)，理由见解析
(3)正确，理由见解析
【分析】本题考查三角板中角的运算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用角的运算先得到，再利用求解，即可解题；
（2）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题；
（3）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，，，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由题知，，
当在与之间，
，
；
当在与之外，
，
；
（3）解：正确，理由如下：
．
20．(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）①利用角平分线的定义解答即可；
②利用角平分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形,利用角平分线的定义解答即可；
【详解】（1）解：①由题意得，射线，分别是，的平分线，
，，
，，
当射线在的内部时，；
②由题意得，射线，分别是，的平分线，
，，
，，
当射线在的内部时，；
（2）解：由题意得，射线，分别是，的平分线，
，，
，，
．

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