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第八章 立体几何初步 8.1　基本立体图形
第二课时　旋转体与简单组合体的
结构特征
课标要求
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征. 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？今天我们就一起来研究吧！
引入
课时精练
一、旋转体的结构特征
二、简单的组合体
三、旋转体的有关计算
课堂达标
内容索引
旋转体的结构特征
一
探究1 如图，给出下列实物图.
(1)从上述三个实物图抽象出几何体并作出其图形，这些几何体与多面体有何不同？
提示　三个实物图抽象出的几何体如下图：
与多面体相比较，围成这些几何体的面不全是平面.
(2)根据上一节课的学习，我们知道上述几何体都是旋转体，那么这些几何体中的曲面分别是哪个平面图形旋转而成的？
提示　可由半圆绕直径所在直线、直角梯形绕垂直于底边的一腰所在直线、直角三角形绕一直角边所在直线为轴旋转而成的.
1.圆柱的概念及结构特征
知识梳理
圆柱 图形及表示
定义 以____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为圆柱O′O

相关概念 轴：________； 底面：__________的边旋转而成的圆面； 侧面：__________的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，__________的边
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
2.圆锥的概念及结构特征
圆锥 图形及表示
定义 以直角三角形的____________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念 圆锥的轴：旋转轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
一条直角边
3.圆台的概念及结构特征
圆台 图形及表示
定义 用________________的平面去截圆锥， 之间的部分叫做圆台
图中圆台表示为圆台O′O

相关概念 圆台的轴：旋转轴； 底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
平行于圆锥底面
底面与截面
4.球的概念及结构特征
球 图形及表示
定义 ________________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球表示为球O
相关概念 球心：半圆的______； 半径：连接______和球面上任意一点的______； 直径：连接球面上______并经过球心的______
半圆以它的直径
圆心
球心
线段
两点
线段
温馨提示
(1)以直角三角形斜边所在的直线为轴旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥.
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体.
(3)球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分.
例1
①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确.
下列说法正确的是________(填序号).
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；
④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
③④⑤
1.判断旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量.
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
思维升华
(多选)下列说法正确的是
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
训练1
√
√
由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C错误.
简单的组合体
二
探究2 如图为天宫空间站飞行器的结构示意图.图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？
提示　①为圆柱，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱.
知识梳理
1.简单组合体的定义
由____________组合而成的几何体叫做简单组合体.
2.简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体______而成的；另一种是由简单几何体____________一部分而成的.
简单几何体
截去或挖去
拼接
温馨提示
识别组合体，要准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
例2
请描述如图所示的几何体是如何形成的.
①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
思维升华
1.判定实物图是由哪些简单几何体组成，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体，具有一定的空间想象能力.
2.组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
(1)指出图中三个几何体的构成.
训练2
图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球.
(2)(链接教材P103例2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括
A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，
√
以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.
旋转体的有关计算
三
例3
一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm，
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
解得l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
思维升华
1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构设相关几何未知量的方程（组）求解.
2.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
训练3
(多选)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4 cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有
√
√
把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为8 cm，底面半径为4 cm，
所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10 cm，故D正确.
【课堂达标】
1.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是
√
由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确.
√
2.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是
螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，所以挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
3.(多选)下列说法中正确的是
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，仅有一条母线
将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；
√
√
B中没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；
通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D正确，易知C正确.
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.
当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；
16π或9π
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.
【课时精练】
√
1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为
圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.
A.一个球体 B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个长方体
√
2.(多选)下列关于球体的说法正确的是
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；
由球体的定义，知C正确；
√
球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.
√
3.(多选)下列说法正确的是
A.圆柱的侧面展开图是矩形
B.球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
C.直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
D.圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面
对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确；
√
√
对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，所以B正确；
对于C，当直角梯形绕它的直角腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C错误；
对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D正确.
√
4.圆柱被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是
结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误.
√
5.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为
轴截面如图所示，设截去的小圆锥的母线长为y，
解得y＝3.
6.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).
设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r，
7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，
又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，
所以底面圆半径r＝1，
12π
8.一圆锥底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面积为________.
因为圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为4π，
设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
又母线与底面的夹角为45°，
联立①②③，得
10.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，
则∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，
√
11.(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是
一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.
√
12.如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.
由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤.
(1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是__________________________.
①(或②或⑤)(答案不唯一)
以①②⑤为例，中间层用⑤补齐，最上层用①②.(答案不唯一)
(2)若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是_____________________________________.
①②⑤(或①④⑤或②③④)(答案不唯一)
13.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
作出圆锥的一个轴截面如图所示：
其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.
依题意，得△ABC∽△ADE，
14.如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.
(1)求绳子的最短长度；
如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，∠AOA′＝θ，
则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.
即绳子的最短长度为50(cm).
(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，
则PQ即为所求的最短距离.
∵OA·OM＝AM·OQ，
∴OQ＝24(cm).
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.8.1.2　旋转体与简单组合体的结构特征
课标要求　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征. 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
【引入】 你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？今天我们就一起来研究吧！
一、旋转体的结构特征
探究1 如图，给出下列实物图.
(1)从上述三个实物图抽象出几何体并作出其图形，这些几何体与多面体有何不同？
(2)根据上一节课的学习，我们知道上述几何体都是旋转体，那么这些几何体中的曲面分别是哪个平面图形旋转而成的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
圆柱的概念及结构特征
圆柱 图形及表示
定义 以____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O
相关概念 轴：_________； 底面：___________的边旋转而成的圆面； 侧面：____________的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，________的边
2.圆锥的概念及结构特征
圆锥 图形及表示
定义 以直角三角形的____________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念 圆锥的轴：旋转轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的概念及结构特征
圆台 图形及表示
定义 用______________的平面去截圆锥，__________之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O
相关 概念 圆台的轴：旋转轴； 底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.球的概念及结构特征
球 图形及表示
定义 ____________________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O
相关概念 球心：半圆的_______； 半径：连接_________和球面上任意一点的___________； 直径：连接球面上__________并经过球心的_________
温馨提示　(1)以直角三角形斜边所在的直线为轴旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥.
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体.
(3)球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分.
例1 下列说法正确的是________(填序号).
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；
④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.判断旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量.
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
训练1 (多选)下列说法正确的是(　　)
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
二、简单的组合体
探究2 如图为天宫空间站飞行器的结构示意图.图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.简单组合体的定义
由__________组合而成的几何体叫做简单组合体.
2.简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体________而成的；另一种是由简单几何体__________一部分而成的.
温馨提示　识别组合体，要准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
例2 请描述如图所示的几何体是如何形成的.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.判定实物图是由哪些简单几何体组成，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体，具有一定的空间想象能力.
2.组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
　训练2 (1)指出图中三个几何体的构成.
(2)(链接教材P103例2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)
A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、旋转体的有关计算
例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构设相关几何未知量的方程(组)求解.
2.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
训练3 (多选)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4 cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有(　　)
A.该圆台的高为 cm
B.该圆台轴截面面积为24 cm2
C.该圆台轴截面面积为12 cm2
D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为
10 cm
【课堂达标】
1.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是(　　)
2.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是(　　)
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
3.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，仅有一条母线
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.
旋转体与简单组合体的结构特征
探究1　(1)提示　三个实物图抽象出的几何体如下图：
与多面体相比较，围成这些几何体的面不全是平面.
(2)提示　可由半圆绕直径所在直线、直角梯形绕垂直于底边的一腰所在直线、直角三角形绕一直角边所在直线为轴旋转而成的.
知识梳理
1.矩形的一边　旋转轴　垂直于轴　平行于轴　平行于轴
2.一条直角边
3.平行于圆锥底面　底面与截面
4.半圆以它的直径　圆心　球心　线段　两点　线段
例1　③④⑤　[①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确.]
训练1　BD　[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C错误.]
探究2　提示　①为圆柱，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱.
知识梳理
1.简单几何体
2.拼接　截去或挖去
例2　解　①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
训练2　(1)解　图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球.
(2)D　[图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，
以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.]
例3　解　 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm，
所以高AM＝＝3(cm).
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
解得l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
训练3　CD　[如图①，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝＝2(cm)，
则BE＝O1O2＝＝2(cm)，
则圆台的高为2 cm，A错误；
圆台的轴截面面积为×(4＋8)×2
＝12(cm2)，B错误，C正确；
把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为8 cm，底面半径为4 cm，
圆锥侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，
设AD的中点为P，连接CP(如图②)，可得∠COP＝，OC＝8 cm，OP＝4＋2＝6(cm)，
则CP＝＝10(cm)，
所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10 cm，故D正确.]
课堂达标
1.B　[由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确.]
2.C　[螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，所以挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.]
3.CD　[将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；
B中没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；
通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D正确，易知C正确.]
4.16π或9π　[当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.]　旋转体与简单组合体的结构特征
(分值：100分)
单选题每小题5分，共15分；多选题每小题6分，共18分.
一、基础巩固
1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)
一个球体
一个球体中间挖去一个圆柱
一个圆柱
一个球体中间挖去一个长方体
2.(多选)下列关于球体的说法正确的是(　　)
球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
球的对称轴只有1条
3.(多选)下列说法正确的是(　　)
圆柱的侧面展开图是矩形
球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面
4.圆柱被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是(　　)
A B C D
5.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为(　　)
3 12 36
6.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).
7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
8.一圆锥底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面积为________.
9.(10分)圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
10.(10分)一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
二、综合运用
11.(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)
A B C D
12.如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.
(1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是________.
(2)若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是________.
13.(13分)已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
三、创新拓展
14.(14分)如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.
(1)求绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
旋转体与简单组合体的结构特征
1.B　[圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.]
2.BC　[空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；
由球体的定义，知C正确；
球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.]
3.ABD　[对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确；
对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，所以B正确；
对于C，当直角梯形绕它的直角腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C错误；
对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D正确.]
4.D　[结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误.]
5.B　[轴截面如图所示，设截去的小圆锥的母线长为y，
根据相似三角形的性质，得＝，
解得y＝3.]
6.　[设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r，
∴4r2＝Q，解得r＝，
∴此圆柱的底面半径为.]
7.　[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，
又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，
所以底面圆半径r＝1，
所以该圆锥的高为h＝＝＝.]
8.12π　[因为圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为4π，
故将此圆锥沿一条母线展开，所得扇形的面积为×4π×6＝12π.]
9.解　设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr＝×2πR，即R＝3r，①
(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，
则h＝R－r＝l.③
联立①②③，得
R＝21，r＝7，h＝14，l＝14.
10.解　如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，
则∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，
AO＝SO·tan 30°＝(cm)，
SA＝＝＝(cm)，
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2).
所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2.
11.AD　[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.]
12.(1)①(或②或⑤)(答案不唯一)
(2)①②⑤(或①④⑤或②③④)(答案不唯一)
[(1)由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤.
(2)以①②⑤为例，中间层用⑤补齐，最上层用①②.(答案不唯一)]
13.解　
作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.
设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.
依题意，得△ABC∽△ADE，
∴＝，∴x＝，
即此正方体的棱长为.
14.解　(1)如图所示，
将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，∠AOA′＝θ，
则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
解得θ＝，l＝20 cm.
∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.
∴AM＝＝50(cm).
即绳子的最短长度为50(cm).
(2)如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，
则PQ即为所求的最短距离.
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24(cm).
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.

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