资源简介

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课标要求　1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式. 2.能用公式解决简单的实际问题.
【引入】 在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？今天就让我们来学习一下吧！
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
探究1 我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
棱柱、棱锥、棱台的表面积
(1)多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和.
温馨提示　对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
例1 (链接教材P114例1)已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、侧面底边上的高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.
训练1 已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1∶3∶，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为(　　)
A.16 B.10 C. D.30
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
探究2 一个长方体底面矩形的边长分别为a，b，侧棱长为c，则底面矩形的面积为S＝ab，它的体积为V＝abc＝Sc，由此猜想底面积为S，高为h的棱柱的体积是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的________， h为棱柱的________
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的________， h为棱锥的________
棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的________________，h为棱台的__________
温馨提示　1.棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
V棱柱＝ShV棱台＝(S′＋＋S)hV棱锥＝Sh.
2.在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点.
例2 (1)若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为________.
(2)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求棱台体积的方法
(1)补台为锥，利用锥体体积公式计算.
(2)利用棱台体积计算公式直接求解.
2.求棱锥的体积常用方法
(1)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
训练2 (1)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　)
A.6 B. C.2 D.2
(2)(链接教材P120T3)如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好是中截面，则图①中容器水面的高度是________.
三、简单组合体的表面积和体积
例3 (链接教材P115例2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)
A.22 B.20 C.10 D.11
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是棱A1B1上的任意一点，则四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的(　　)
A. B. C. D.不确定
3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.
4.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________.
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
探究1　提示　长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
知识梳理
(1)各个面　(2)各个面
例1　解　如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4··BC·PE＝2BC2，
∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE，
∴9＋＝PE2，∴PE＝2.
∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12，
S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
训练1　A　[设上底面边长为x，则下底面边长为3x，高为x，
上底面正方形对角线长为x，
下底面正方形对角线长为3x，
又侧棱长为，
所以()2＝(x)2＋，
解得x＝1，
所以侧面等腰梯形的高为＝2，
所以该棱台的侧面积为4××(1＋3)×2＝16.]
探究2　提示　V＝Sh.
知识梳理
底面积　高　底面积　高　上、下底面面积　高
例2　(1)　(2)a3　[(1)由题知正四棱台的上底面的对角线长为2，
下底面的对角线长为4，侧棱长为3，
所以正四棱台的高为＝，
正四棱台的体积为×(4＋＋16)×＝.
(2)由题意得S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，
三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
所以V三棱锥F－A1D1E＝·a·a2＝a3.
又V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，
所以V三棱锥A1－D1EF＝a3.]
训练2　(1)B　(2)　[(1)由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝＝2，
又因为底面积S＝，
所以体积V＝Sh＝××2＝.
(2)在图②中，水中部分是四棱柱，
四棱柱底面积为S＝×12×sin 60°－××sin 60°＝，高为2，
∴四棱柱的体积为V＝2×＝，
设图①中容器内水面高度为h，
则V＝×12×sin 60°×h＝，
解得h＝，
∴图①中容器内水面的高度是.]
例3　解　将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
S底＝0.6×1.1－×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)，
V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
训练3　解　由图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，
故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积
S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1
＝a2＋3××a2＋3a2
＝a2.
几何体A1B1C1D1－DBC的体积
V＝V正方体ABCD－A1B1C1D1－V三棱锥A1－ABD
＝a3－××a×a×a＝a3.
课堂达标
1.A　[长方体的表面积S表＝2(1×2＋1×3＋2×3)＝22.]
2.B　[设正方体棱长为a，则V正方体＝a3，
V四棱锥S－ABCD＝×a2×a＝a3，
∴V四棱锥S－ABCD＝V正方体.]
3.6＋2　[V棱台＝×(2＋4＋)×3
＝×3×(6＋2)＝6＋2.]
4.32 cm2　48 cm2　[正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝＝＝4(cm).
因此S棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)，
S底＝4×4＝16(cm2)，
S棱锥表＝32＋16＝48(cm2).]棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(　　)
3a2 2a2 a2 4a2
2.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　　)
2 3
3.将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　)
6a2 12a2 18a2 24a2
4.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两个几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两个几何体的说法正确的是(　　)
侧面积之比为1∶4 侧面积之比为1∶8
体积之比为1∶27 体积之比为1∶26
5.某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为6 cm的全等正三角形拼接而成的六面体(如图)，那么香囊内可供填充的容量约为(　　)
9 cm3 　　18 cm3
36 cm3 　　72 cm3
6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______.
7.正四棱台的上、下底面边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________ cm2.
8.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.
9.(10分)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
10.(10分)如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
二、综合运用
11.在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为(　　)
ab
(＋)ab ab
12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.
13.(13分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
三、创新拓展
14.(16分)在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.C　[S＝4××a·a＝a2.]
2.B　[设棱柱的高为h，底面积为S，
则棱锥的高为h，底面积为S，
故二者的体积之比为＝＝＝2.]
3.B　[原来正方体的表面积S1＝6a2，
切割成27个全等的小正方体后，
每个小正方体的棱长为a，
则每个小正方体的表面积为6×＝a2，
27个小正方体的总表面积S2＝27×a2＝18a2，
所以增加的表面积S＝S2－S1＝12a2.]
4.BD　[由上、下两部分的高之比为1∶2，
可得小棱锥与大棱锥的高之比为1∶3，
则小棱锥与大棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，
所以上、下两个几何体的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.]
5.C　[依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为6 cm的正四面体拼接而成，如图，
正四面体D－ABC的棱长为6 cm，O为正三角形ABC的中心，连接OC，OD，
则正三角形ABC中，OC＝×AB＝2(cm)，
正四面体D－ABC的高OD＝＝2(cm)，
于是得VD－ABC＝S△ABC·OD＝×AB2·OD＝18(cm3)，
所以这个六面体香囊内可供填充的容量约为36 cm3.]
6.　[S△DD1E＝DD1×1＝，
又点F到平面DD1E的距离为1，
所以VD1－EDF＝VF－D1DE
＝S△DD1E×1＝.]
7.1 012　[易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，
所以正四棱台的表面积
S＝4××(8＋18)×12＋82＋182
＝1 012(cm2).]
8.　[如图，设点C到平面PAB的距离为h，则点E到平面BAD的距离为h.
∵S△DAB＝S△PAB，
∴＝
＝＝.]
9.解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥A－A1BD，
∴×a2·a＝××a××a·d.
∴d＝a.
∴点A到平面A1BD的距离为a.
10.解　如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16，
∵AB＝2EF，
EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC
＝×V四棱锥E－ABCD＝4，
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
11.C　[如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为平行四边形，侧面BB1C1C为矩形.
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，
∴BC＝a.
∴S矩形BCC1B1＝ab.
∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，
∴点B到直线AA1的距离为asin 60°＝a，
∴S四边形AA1C1C＝S四边形AA1B1B＝ab.
∴S侧＝2×ab＋ab＝(＋)ab.]
12.　[连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，
∵E，H分别为AD1，CD1的中点，
∴EH∥AC，EH＝AC＝.
∵F，G分别为B1A，B1C的中点，
∴FG∥AC，FG＝AC＝，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EG＝HF，EH＝HG，
∴四边形EFGH为正方形.
又四棱锥M－EFGH的高为，
∴四棱锥M－EFGH的体积为××＝.]
13.解　(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，
∴A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h′＝＝4(cm)，
∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120) cm2.
14.解　设点B到平面EMC的距离为h1，
点D到平面EMC的距离为h2，
连接MD，因为M是AE的中点，
所以VM－ABCD＝V，
所以VE－MBC＝V－VE－MDC.
而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，
所以＝＝.
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，
所以＝.
所以VE－MBC＝VM－EBC＝V.(共49张PPT)
第八章 立体几何初步 8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积
和体积
课标要求
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式. 2.能用公式解决简单的实际问题.
在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？今天就让我们来学习一下吧！
引入
课时精练
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
三、简单组合体的表面积和体积
课堂达标
内容索引
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
一
探究1 我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
提示　长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
(1)多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和.
知识梳理
各个面
各个面
温馨提示
对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
(链接教材P114例1)已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高为3,求它的表面积.
例1
如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴BC＝PE.
S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、侧面底边上的高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.
思维升华
训练1
√
棱柱、棱锥、棱台的体积
二
探究2 一个长方体底面矩形的边长分别为a，b，侧棱长为c，则底面矩形的面积为S＝ab，它的体积为V＝abc＝Sc，由此猜想底面积为S，高为h的棱柱的体积是多少？
提示　V＝Sh.
知识梳理
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的________，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的________，h为棱锥的高
棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的________________，h为棱台的____
底面积
底面积
上、下底面面积
高
温馨提示
1.棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
2.在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点.
例2
(1)若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正
四棱台的体积为________.
(2)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为________.
三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
思维升华
1.求棱台体积的方法
(1)补台为锥，利用锥体体积公式计算.
(2)利用棱台体积计算公式直接求解.
2.求棱锥的体积常用方法
(1)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
训练2
√
(2)(链接教材P120T3)如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好是中截面，则图①中容器水面的高度是________.
在图②中，水中部分是四棱柱，
设图①中容器内水面高度为h，
简单组合体的表面积和体积
三
例3
(链接教材P115例2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)
将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
思维升华
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
训练3
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.
【课堂达标】
1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为　
√
长方体的表面积S表＝2(1×2＋1×3＋2×3)＝22.
A.22 B.20 C.10 D.11
√
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是棱A1B1上的任意一点，则四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的
设正方体棱长为a，则V正方体＝a3，
3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.
4.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________.
正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE.
32 cm2
48 cm2
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
S底＝4×4＝16(cm2)，
S棱锥表＝32＋16＝48(cm2).
【课时精练】
√
1.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为
√
2.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为
设棱柱的高为h，底面积为S，
√
3.将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了
A.6a2 B.12a2 C.18a2 D.24a2
原来正方体的表面积S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，
所以增加的表面积S＝S2－S1＝12a2.
√
4.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两个几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两个几何体的说法正确的是
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
由上、下两部分的高之比为1∶2，
√
可得小棱锥与大棱锥的高之比为1∶3，
则小棱锥与大棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，
所以上、下两个几何体的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
√
5.某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为6 cm的全等正三角形拼接而成的六面体(如图)，那么香囊内可供填充的容量约为
依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为6 cm的正四面体拼接而成，如图，
正四面体D－ABC的棱长为6 cm，O为正三角形ABC的中心，连接OC，OD，
6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______.
又点F到平面DD1E的距离为1，
7.正四棱台的上、下底面边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________ cm2.
1 012
所以正四棱台的表面积
＝1 012(cm2).
9.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
10.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
如图，连接EB，EC，AC.
∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
√
11.在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为
如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为平行四边形，侧面BB1C1C为矩形.
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，
∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，
12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.
连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，
∵E，H分别为AD1，CD1的中点，
∵F，G分别为B1A，B1C的中点，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EG＝HF，EH＝HG，
∴四边形EFGH为正方形.
13.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.
14.在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？
设点B到平面EMC的距离为h1，
点D到平面EMC的距离为h2，
连接MD，因为M是AE的中点，
而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，

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