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8.5.3　平面与平面平行
课标要求　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明. 2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行，能利用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系.
【引入】 在日常生活中，经常需要判断两个平面是否平行，比如建造一栋楼房，建筑工人必须判断每一层的楼板是否与水平面平行；装修房间的地板时，装修工人也要判断地板所在平面是否与水平面平行.那么如何才能判断两个平面是否平行呢？
一、平面与平面平行的判定定理
探究1 数学实验1：如图①，a和b分别是数学课本的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下课本，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，课本与桌面平行吗？
图①
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 数学实验2：如图②，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？
图②
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 对于数学实验2中的三角尺，把它转动一下，能否使c，d都与桌面平行，但三角尺不与桌面平行呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 上述实验中的a，b有什么样的位置关系？c，d有什么样的位置关系？两个实验说明了什么问题？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的________________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
温馨提示　(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化为面面平行.
例1 (链接教材P140例4)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥平面ANC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.证明两个平面平行的主要方法：
(1)根据定义证明两平面没有公共点(采用反证法)；(2)判定定理；(3)利用平行平面的传递性.
2.利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找(或作出)两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交.
训练1 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、平面与平面平行的性质定理
探究5 平面α∥平面β，直线a α，直线b β.
(1)直线a与平面β的位置关系如何？
(2)直线a与直线b的位置关系如何？
(3)在什么条件下可使a∥b
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线________
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形 语言
温馨提示　平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行.
例2 (链接教材P142例5)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基本步骤
训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
(2)试确定点F的位置.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、平行问题的综合应用
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：
(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：
2.判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
训练3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
2.平面α与平面β平行的充分条件可以是(　　)
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线分别与平面β平行
C.平面α内有无数条直线分别与平面β平行
D.平面α内有两条相交直线分别与平面β平行
3.(多选)已知直线a，两个不重合的平面α，β.若α∥β，a α，则下列四个结论中正确的有(　　)
A.a与β内的所有直线平行
B.a与β内的无数条直线平行
C.a与β内任何一条直线都不平行
D.a与β没有公共点
4.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.
8.5.3　平面与平面平行
探究1　提示　不一定平行.
探究2　提示　平行.
探究3　提示　不能.
探究4　提示　a与b平行，c与d相交.通过实验说明：(1)如果一个平面内有两条平行直线与另一个面平行，这两个平面不一定平行；(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
知识梳理
两条相交直线
例1　证明　如图所示，连接MN.
因为M，N分别是所在棱的中点，
所以四边形AMB1N和四边形MNCD都是平行四边形，
所以MB1∥AN，CN∥MD.
又MB1 平面MDB1，AN 平面MDB1，
所以AN∥平面MDB1，
同理可证CN∥平面MDB1，
又因为AN∩CN＝N，AN，CN 平面ANC，
所以平面MDB1∥平面ANC.
训练1　证明　在△CEF中，
因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，
因为OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
探究5　(1)提示　平行.
(2)提示　平行或异面.
(3)提示　当a与b不异面，即a与b在同一平面内时，a与b平行.
知识梳理
平行　a∥b
例2　证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
训练2　(1)证明　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
所以四边形BFD1E为平行四边形.
(2)解　由(1)知，四边形BFD1E为平行四边形，
所以FB＝ED1，
因为CB＝A1D1，∠BCF＝∠D1A1E＝90°，
所以△BCF≌△D1A1E，所以CF＝EA1，
因为E是AA1的中点，所以F是CC1的中点.
例3　证明　(1)连接AC，CD1(图略)，
因为ABCD是正方形，N是BD的中点，
所以N是AC的中点，
又因为M是AD1的中点，所以MN∥CD1，
因为MN 平面CC1D1D，CD1 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)连接BC1，C1D(图略)，
因为B1BCC1是正方形，P是B1C的中点，
所以P是BC1的中点，
又因为N是BD的中点，
所以PN∥C1D，
因为PN 平面CC1D1D，C1D 平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D，
由(1)得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN 平面MNP，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
训练3　证明　如图，过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，
则＝.
∵B1E＝C1F，
B1A＝C1B，
∴＝，∴FG∥B1C1∥BC，
易得EG∥平面ABCD，
FG∥平面ABCD.
又∵EG∩FG＝G，EG，FG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF 平面EFG，
∴EF∥平面ABCD.
课堂达标
1.A　[由面面平行的性质定理易得EF∥E′F′.]
2.D　[对A，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A错误；
对B，若平面α内有两条平行直线分别与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B错误；
对C，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C错误；
对D，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D正确.]
3.BD　[∵α∥β，a α，过a作平面γ与平面β相交，则a与交线平行.
在β内与交线平行的直线都与a平行，故有无数条，故B正确；由线面平行的定义知D正确.]
4.平行　[在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
因此DE∥平面ABC.
同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.]平面与平面平行
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
平行于同一个平面的两平面平行
夹在两个平行平面间的平行线段相等
2.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)
不一定存在与a平行的直线
只有两条与a平行的直线
存在无数条与a平行的直线
有且只有一条与a平行的直线
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在B1D1上，F在A1B1上，且＝，过E作EH∥B1B交BD于H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
平行 相交 垂直 以上都有可能
4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是(　　)
平面E1FG1与平面EGH1
平面FHG1与平面F1H1G
平面F1H1E与平面FHE1
平面E1HG1与平面EH1G
5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)
相似但不全等的三角形
全等三角形
面积相等的不全等三角形
以上结论都不对
6.已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________.
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________.
　
　　　　　第7题图　　　　　第8题图
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
9.(10分)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点.
求证：平面 MNQ∥平面PBC.
10.(10分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
二、综合运用
11.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
2∶25 4∶25 2∶5 4∶5
12.在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是三角形A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是(　　)
三角形A1B1C1边界的一部分
一个点
线段的一部分
圆的一部分
13.(13分)如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是EC，BD的中点.
(1)求证：GF∥平面ABC.
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GFP∥平面ABC？并说明理由.
三、创新拓展
14.(16分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形.在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由).
平面与平面平行
1.BCD　[A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，由面面平行的判定定理可知B正确；C，D显然正确.]
2.D　[由于α∥β，a α，M∈β，过点M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.]
3.A　[在平面A1B1C1D1中，
因为＝，所以EF∥A1D1.
由B1C1∥A1D1，知EF∥B1C1.
又因为EH∥B1B，EH，EF 平面EFH，
BB1，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝E，
BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C.]
4.A　[对于A，∵E1G1∥EG，EH1∥FG1，E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，
∴根据面面平行的判定定理得：
平面E1FG1与平面EGH1彼此平行，故A正确；
对于B，∵HG1与H1G相交，∴平面FHG1与平面F1H1G相交，故B错误；
对于C，∵HE1与H1E相交，∴平面F1H1E与平面FHE1相交，故C错误；
对于D，∵HG1与H1G相交，∴平面E1HG1与平面EH1G相交，故D错误.]
5.B　[由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.]
6.平行　[法一　过a作平面γ，使γ∩β＝a′，因为a∥β，所以a∥a′，
下面证明直线a′与b相交，
假设a′∥b，由a∥a′，可得a∥b，与已知a与b是异面矛盾，所以直线a′与b相交，
又b∥α，所以平面β上有两条相交直线b和a′都与平面α平行，
所以α∥β.
法二　假设平面α与β不平行，则α∩β＝c，
∵a 平面α，a∥β，∴a∥c，
∵b 平面β，b∥α，∴b∥c，
∴a∥b，
这与a和b是异面直线相矛盾，
故α∥β.]
7.平行四边形　[∵平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，
∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.]
8.　[由平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，
∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，
即＝.]
9.证明　因为棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，
点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
所以N是AC的中点，
所以MN∥PC，
又因为PC 平面PBC，MN 平面PBC，
所以MN∥平面PBC.
因为M，Q分别是PA，PD的中点，
所以MQ∥AD∥BC，
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC，
因为MQ，MN 平面MNQ，且MQ∩MN＝M，
所以平面MNQ∥平面PBC.
10.证明　因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
11.B　[∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.]
12.C　[如图，过点D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE.
因为BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，AA1 平面AA1C1C，
所以BD∥平面AA1C1C.
同理可得DE∥平面AA1C1C，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面AA1C1C，
所以M∈DE(M不与D重合，否则没有平面BDM).]
13.(1)证明　连接AE，
∵四边形ABED是正方形，F是BD的中点，
∴F是AE的中点.
又∵G是EC的中点，
∴GF∥AC，且GF 平面ABC，AC 平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)解　存在，且点P为CD的中点.
理由如下：如图，取CD的中点P，连接GP，FP.
∵F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，
∴FP∥BC，
又BC 平面ABC，FP 平面ABC，
∴FP∥平面ABC.
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，
∴平面GFP∥平面ABC.
14.解　如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，则四边形MNAC为所求的平面图形.
因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN＝N，MN，AN 平面MNAC，所以平面MNAC∥平面DEF.
易知MN∥AC，AN＝MC，则四边形MNAC为等腰梯形，且MN＝AC＝2，
过点M作MP⊥AC于点P，
可得MC＝＝2，
PC＝＝，
所以MP＝＝，
所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6.(共48张PPT)
第八章 立体几何初步 8.5　空间直线、平面的平行
8.5.3　平面与平面平行
课标要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明. 2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行，能利用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系.
在日常生活中，经常需要判断两个平面是否平行，比如建造一栋楼房，建筑工人必须判断每一层的楼板是否与水平面平行；装修房间的地板时，装修工人也要判断地板所在平面是否与水平面平行.那么如何才能判断两个平面是否平行呢？
引入
课时精练
一、平面与平面平行的判定定理
二、平面与平面平行的性质定理
三、平行问题的综合应用
课堂达标
内容索引
平面与平面平行的判定定理
一
探究1 数学实验1：如图①，a和b分别是数学课本的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下课本，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，课本与桌面平行吗？
图①
提示　不一定平行.
探究2 数学实验2：如图②，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？
图②
提示　平行.
探究3 对于数学实验2中的三角尺，把它转动一下，能否使c，d都与桌面平行，但三角尺不与桌面平行呢？
提示　不能.
探究4 上述实验中的a，b有什么样的位置关系？c，d有什么样的位置关系？两个实验说明了什么问题？
提示　a与b平行，c与d相交.通过实验说明：(1)如果一个平面内有两条平行直线与另一个面平行，这两个平面不一定平行；(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
平面与平面平行的判定定理
知识梳理
文字语言 如果一个平面内的______________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
两条相交直线
温馨提示
(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化为面面平行.
(链接教材P140例4)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥平面ANC.
例1
如图所示，
连接MN.
因为M，N分别是所在棱的中点，
所以四边形AMB1N和四边形MNCD都是平行四边形，
所以MB1∥AN，CN∥MD.
又MB1 平面MDB1，AN 平面MDB1，所以AN∥平面MDB1，
同理可证CN∥平面MDB1，
又因为AN∩CN＝N，AN，CN 平面ANC，
所以平面MDB1∥平面ANC.
1.证明两个平面平行的主要方法：
(1)根据定义证明两平面没有公共点(采用反证法)；(2)判定定理；
(3)利用平行平面的传递性.
2.利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找(或作出)两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交.
思维升华
训练1
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
在△CEF中，
因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，
因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
平面与平面平行的性质定理
二
探究5 平面α∥平面β，直线a α，直线b β.
(1)直线a与平面β的位置关系如何？
提示　平行.
(2)直线a与直线b的位置关系如何？
提示　平行或异面.
(3)在什么条件下可使a∥b
提示　当a与b不异面，即a与b在同一平面内时，a与b平行.
知识梳理
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形语言
平行
a∥b
温馨提示
平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行.
例2
(链接教材P142例5)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，
求证：NF∥CM.
因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
DE，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
思维升华
利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基本步骤
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
训练2
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
所以四边形BFD1E为平行四边形.
由(1)知，四边形BFD1E为平行四边形，
(2)试确定点F的位置.
所以FB＝ED1，
因为CB＝A1D1，∠BCF＝∠D1A1E＝90°，
所以△BCF≌△D1A1E，
所以CF＝EA1，
因为E是AA1的中点，
所以F是CC1的中点.
平行问题的综合应用
三
例3
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：
(1)MN∥平面CC1D1D；
连接AC，CD1(图略)，
因为ABCD是正方形，N是BD的中点，所以N是AC的中点，
又因为M是AD1的中点，
所以MN∥CD1，
因为MN 平面CC1D1D，CD1 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
连接BC1，C1D(图略)，
因为B1BCC1是正方形，P是B1C的中点，
所以P是BC1的中点，
又因为N是BD的中点，
所以PN∥C1D，
因为PN 平面CC1D1D，C1D 平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D，
由(1)得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN 平面MNP，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
思维升华
1.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：
2.判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
训练3
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
如图，过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，
∴FG∥B1C1∥BC，易得EG∥平面ABCD，
FG∥平面ABCD.
又∵EG∩FG＝G，EG，FG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF 平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
【课堂达标】
√
1.已知在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是
由面面平行的性质定理易得EF∥E′F′.
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
2.平面α与平面β平行的充分条件可以是
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线分别与平面β平行
C.平面α内有无数条直线分别与平面β平行
D.平面α内有两条相交直线分别与平面β平行
对A，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A错误；
√
对B，若平面α内有两条平行直线分别与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B错误；
对C，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C错误；
对D，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D正确.
3.(多选)已知直线a，两个不重合的平面α，β.若α∥β，a α，则下列四个结论中正确的有
A.a与β内的所有直线平行 B.a与β内的无数条直线平行
C.a与β内任何一条直线都不平行 D.a与β没有公共点
√
∵α∥β，a α，过a作平面γ与平面β相交，则a与交线平行.
√
在β内与交线平行的直线都与a平行，故有无数条，故B正确；由线面平行的定义知D正确.
4.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.
在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
平行
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
因此DE∥平面ABC.
同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
【课时精练】
√
1.(多选)下列说法正确的是
A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
C.平行于同一个平面的两平面平行
D.夹在两个平行平面间的平行线段相等
A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，由面面平行的判定定理可知B正确；C，D显然正确.
√
√
√
2.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
由于α∥β，a α，M∈β，过点M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
√
在平面A1B1C1D1中，
A.平行 B.相交 C.垂直 D.以上都有可能
由B1C1∥A1D1，知EF∥B1C1.
又因为EH∥B1B，EH，EF 平面EFH，
BB1，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝E，BB1∩B1C1＝B1，
所以平面EFH∥平面BB1C1C.
√
4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是
A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1E与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G
对于A，∵E1G1∥EG，EH1∥FG1，E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，
∴根据面面平行的判定定理得：
平面E1FG1与平面EGH1彼此平行，故A正确；
对于B，∵HG1与H1G相交，∴平面FHG1与平面F1H1G相交，故B错误；
对于C，∵HE1与H1E相交，∴平面F1H1E与平面FHE1相交，故C错误；
对于D，∵HG1与H1G相交，∴平面E1HG1与平面EH1G相交，故D错误.
√
5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是
由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
A.相似但不全等的三角形 B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形 D.以上结论都不对
则四边形ACC′A′为平行四边形，
∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
6.已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________.
法一　过a作平面γ，使γ∩β＝a′，因为a∥β，所以a∥a′，
平行
下面证明直线a′与b相交，
假设a′∥b，由a∥a′，可得a∥b，与已知a与b是异面矛盾，所以直线a′与b相交，
又b∥α，所以平面β上有两条相交直线b和a′都与平面α平行，
所以α∥β.
法二　假设平面α与β不平行，则α∩β＝c，
∵a 平面α，a∥β，∴a∥c，
∵b 平面β，b∥α，∴b∥c，
∴a∥b，
这与a和b是异面直线相矛盾，
故α∥β.
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是______________.
∵平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
平行四边形
∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，
∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
由平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，
∴M，N分别为BA，BC的中点，
9.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点.
求证：平面 MNQ∥平面PBC.
因为棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，
点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
所以N是AC的中点，所以MN∥PC，
又因为PC 平面PBC，MN 平面PBC，
所以MN∥平面PBC.
因为M，Q分别是PA，PD的中点，所以MQ∥AD∥BC，
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，所以MQ∥平面PBC，
因为MQ，MN 平面MNQ，且MQ∩MN＝M，所以平面MNQ∥平面PBC.
10.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
√
11.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于
∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
12.在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是三角形A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是
√
如图，过点D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE.
A.三角形A1B1C1边界的一部分 B.一个点
C.线段的一部分 D.圆的一部分
因为BD∥AA1，BD 平面AA1C1C，AA1 平面AA1C1C，
所以BD∥平面AA1C1C.
同理可得DE∥平面AA1C1C，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面AA1C1C，
所以M∈DE(M不与D重合，否则没有平面BDM).
13.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是EC，BD的中点.
连接AE，
(1)求证：GF∥平面ABC.
∵四边形ABED是正方形，F是BD的中点，
∴F是AE的中点.
又∵G是EC的中点，
∴GF∥AC，且GF 平面ABC，AC 平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GFP∥平面ABC？并说明理由.
存在，且点P为CD的中点.
理由如下：如图，取CD的中点P，连接GP，FP.
∵F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，
∴FP∥BC，
又BC 平面ABC，FP 平面ABC，
∴FP∥平面ABC.
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，
∴平面GFP∥平面ABC.
如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，则四边形MNAC为所求的平面图形.
因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，所以AN∥平面DEF，
6
过点M作MP⊥AC于点P，

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