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第二课时　直线与平面垂直的性质
课标要求　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明. 会应用性质定理判断两条直线的平行. 2.了解空间中距离的概念，会求空间中的距离.
【引入】 我们上一节课学习直线与平面垂直的定义和判定方法.现在如果已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，那么直线a与b有怎样的位置关系？这就是我们本节课要学习的直线与平面垂直的性质.
一、直线与平面垂直的性质定理
探究　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，把这个结论推广到空间有如下结论：
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行.
可借助于长方体模型，判断上述两个结论是否正确.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言 a⊥α，且b⊥α ________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
温馨提示　直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系，证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面.
例1 如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.
求证：EF∥BD1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行有以下方法
(1)a∥b，b∥c a∥c.
(2)a∥α，a β，β∩α＝b a∥b.
(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b.
(4)a⊥α，b⊥α a∥b.
训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：AE∥MN.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间中的距离
【知识梳理】
1.点到平面的距离
过一点作________于已知平面的直线，则该点与________间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，________________叫做这个点到该平面的距离.
2.直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
3.平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都________，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
温馨提示　直线到平面的距离、平面与平面的距离最终都要转化为点到平面的距离.
例2 如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求正方形ABCD的中心到平面GEF的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　空间中的三种距离：点到面的距离、直线到与其平行的平面的距离、平行平面之间的距离，常常转化为点到平面的距离，然后利用直线与平面垂直的判定或性质作出垂线段，求出垂线段的长，或利用“等体积法”求解.
训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AC1与平面ABCD所成角的大小是30°，那么平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离是________.
【课堂达标】
1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　)
A.只有一条 B.有无数条 C.是平面内的所有直线 D.不存在
2.(多选)下列命题正确的是(　　)
A. b⊥α B. b∥α
C. a⊥β D. a∥b
3.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝2，那么BC到平面ADD1A1的距离为______.
第二课时　直线与平面垂直的性质
探究　提示　结论(1)错误，结论(2)正确.
知识梳理
平行　a∥b
例1　证明　如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
训练1　证明　因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，
所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
知识梳理
1.垂直　垂足　垂线段的长度
2.任意一点
3.相等
例2　解　如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，
连接GH，作OK⊥GH于点K.
因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，H为AO的中点.
因为BD⊥AC，所以EF⊥AC.
因为GC⊥平面ABCD，所以GC⊥EF.
因为GC∩AC＝C，所以EF⊥平面GCH.
因为OK 平面GCH，所以EF⊥OK.
又因为OK⊥GH，GH∩EF＝H，
所以OK⊥平面GEF，即OK的长就是正方形ABCD的中心到平面GEF的距离.
因为正方形ABCD的边长为4，CG＝2，
所以AC＝4，HO＝，HC＝3.
在Rt△HCG中，HG＝＝，
则OK＝＝.
训练2　　[如图，连接AC，
因为CC1⊥平面ABCD，
故∠C1AC即为AC1与平面ABCD所成角，
则∠C1AC＝30°，
又因为AB＝3，BC＝4，则AC＝5，
故在Rt△C1AC中，C1C＝AC×tan 30°＝，
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离即为棱C1C的长，
即平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为.]
课堂达标
1.B　[当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；
当a α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；
当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.]
2.ACD　[选项B中b与α的关系可能b∥α，也可能b α，故错误.]
3.C　[∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，
∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，
∴l∥m.]
4.4　[在长方体中，BC∥平面ADD1A1，
故点B到平面ADD1A1的距离即为BC到平面ADD1A1的距离，
因为AB⊥平面ADD1A1，且AB＝4，
所以BC到平面ADD1A1的距离为4.]直线与平面垂直的性质
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分.
一、基础巩固
1.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)
b∥α b α
b⊥α b与α相交
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)
B1B⊥l
B1B∥l
B1B与l异面但不垂直
B1B与l相交但不垂直
3.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)
2 3
4.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则(　　)
α∥β且l∥α
α∥β且l⊥β
α与β相交，且交线与l垂直
α与β相交，且交线与l平行
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，且AB＝BC＝PA＝AD＝a，则AD到平面PBC的距离为(　　)
a a a a
6.m，n是空间两条相交直线，l1，l2是与m，n都垂直的两条直线，直线l是空间任意一条直线，直线l与直线l1，l2所成的角分别为θ1，θ2，则θ1，θ2的大小关系为________.
7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱的中点，则平面EFGH与平面AB1C1D之间的距离为________.
8.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.(用序号表示)
9.(13分)如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.
求证：＝.
10.(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点.求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)AB⊥MN.
二、综合运用
11.已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝(　　)
2 1
12.直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________.(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
13.(17分)已知
四棱锥P－ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点.
(1)求证：CD⊥平面PDM；
(2)求点M到平面PCD的距离.
三、创新拓展
14.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，CB，CD的中点，P为线段AD1上的一个动点，平面α∥平面EFG，则下列命题中错误的是(　　)
不存在点P，使得CP⊥平面EFG
三棱锥P－EFG的体积为定值
平面α截该正方体所得截面面积的最大值为
平面α截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
直线与平面垂直的性质
1.C　[A中，若b∥α，由a⊥α，可得a⊥b，故不满足；
B中，若b α，由a⊥α，可得a⊥b，故不满足；
C中，若b⊥α，由a⊥α，可得a∥b，故满足；
D中，若b与α相交，由a⊥α，可得a，b异面或平行，故不满足.]
2.B　[在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形A1ABB1，BB1C1C为正方形，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC且AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABCD，
∴BB1⊥平面ABCD，
又直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，
∴BB1∥l.]
3.D　[∵ ADEF的边AF垂直于平面ABCD，
∴DE⊥平面ABCD，而CD 平面ABCD，
则DE⊥CD，可知△CDE为直角三角形.
又DE＝AF＝2，CD＝3，
∴CE＝＝.]
4.D　[由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l β，所以l∥β.
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，
则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l.]
5.C　[∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
过点A作AE⊥PB于E(图略)，
又∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
则PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PBA，
∴BC⊥平面PBA，AE 平面PBA，则BC⊥AE.
又PB∩CB＝B，PB，CB 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC，
即AE的长为AD到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，PA＝PB＝a，
∴AE＝a，
故AD到平面PBC的距离为a.]
6.θ1＝θ2　[设m，n两条相交直线确定的平面为α，
由题意知l1⊥α，l2⊥α，
由线面垂直的性质知，l1∥l2，
故直线l与直线l1，l2所成的角相等，即θ1＝θ2.]
7.　[连接A1B，与AB1和EF分别交于点M，N(图略)，
易证A1B与平面EFGH和平面AB1C1D都垂直，
则MN的长就是这两个平面之间的距离，
易求得MN＝A1B＝×2＝.]
8.②③ ①(或①③ ②)　[由l，m是平面α外的两条不同直线，得若l⊥α，m∥α，
则由线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥m；
若l⊥m，l⊥α，m α，
则由线面垂直的性质定理得m∥α.
故答案为②③ ①(或①③ ②)]
9.证明　∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，BD 平面ABD，BD 平面BCD，EF 平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，∴EF⊥平面PAC，
∴EF∥BD，∴＝.
10.证明　 (1)取PD中点Q，连接AQ，NQ.
∵N是PC中点，
∴NQ綉DC，
又∵M是AB中点，AM綉DC，
∴AM綉NQ，
∴四边形AQNM是平行四边形.
∴MN∥AQ.
∵MN 平面PAD，AQ 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又AQ 平面PAD，∴AB⊥AQ.
又∵AQ∥MN，∴AB⊥MN.
11.A　[因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.
连接OD，
所以＝.
因为OA＝AB，所以＝.
因为AC＝1，所以BD＝2.]
12.①②③　[①根据线面垂直的性质定理判断；②根据面面平行的性质定理判断；③根据基本事实4判断；只有④错误.]
13.(1)证明　
∵AD⊥平面PAB，PM 平面PAB，
∴AD⊥PM.
∵PA＝PB＝，M是线段AB的中点，
∴PM⊥AB，
又AD∩AB＝A，AD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD，
又CD 平面ABCD，∴PM⊥CD.
取CB上点E，使得CE＝CB，连接AE，
∴AD∥CE且AD＝CE，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴CD∥AE，
∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，
又AD⊥平面PAB，BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，
∴∠EAB＝，∴BE＝AB.
∵PA＝PB＝，PA⊥PB，
∴AB＝2＝BE，
∴AD＝1，BC＝3，CD＝2，
∴DM＝，CM＝，
∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.
∵DM∩PM＝M，DM，PM 平面PDM，
∴CD⊥平面PDM.
(2)解　由(1)可知CD⊥平面PDM，
∴△CDM和△CDP均为直角三角形，
又PD＝，设点M到平面PCD的距离为d，
则VP－CDM＝VM－PCD，即CD·DM·PM＝CD·DP·d，
化简得DM·PM＝DP·d，解得d＝，
∴点M到平面PCD的距离为.
14.C　[如图，连接A1C，可得A1C⊥平面EFG，
由A1C与AD1异面可知，
不存在点P，使得CP⊥平面EFG，故A正确；
又AD1∥平面EFG，
所以动点P到平面EFG的距离为定值，
故三棱锥P－EFG的体积为定值，故B正确；
如图，当截面为正六边形IJKLMN(其中I，J，K，L，M，N都是所在棱中点)时，易得该正六边形的边长为，
所以其面积为6××＝，故C错误；
截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确.](共44张PPT)
第八章 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.2　直线与平面垂直
第二课时　直线与平面垂直的性质
课标要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明. 会应用性质定理判断两条直线的平行. 2.了解空间中距离的概念，会求空间中的距离.
我们上一节课学习直线与平面垂直的定义和判定方法.现在如果已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，那么直线a与b有怎样的位置关系？这就是我们本节课要学习的直线与平面垂直的性质.
引入
课时精练
一、直线与平面垂直的性质定理
二、空间中的距离
课堂达标
内容索引
直线与平面垂直的性质定理
一
探究　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，把这个结论推广到空间有如下结论：
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行.
可借助于长方体模型，判断上述两个结论是否正确.
提示　结论(1)错误，结论(2)正确.
直线与平面垂直的性质定理
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言 a⊥α，且b⊥α ________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
平行
a∥b
温馨提示
直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系，证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面.
例1
如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.
求证：EF∥BD1.
如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行有以下方法
(1)a∥b，b∥c a∥c.
(2)a∥α，a β，β∩α＝b a∥b.
(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b.
(4)a⊥α，b⊥α a∥b.
思维升华
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
训练1
证明：AE∥MN.
因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，
所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
空间中的距离
二
知识梳理
1.点到平面的距离
过一点作______于已知平面的直线，则该点与______间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，______________叫做这个点到该平面的距离.
2.直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
3.平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
垂足
垂直
垂线段的长度
任意一点
相等
温馨提示
直线到平面的距离、平面与平面的距离最终都要转化为点到平面的距离.
例2
如图，已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求正方形ABCD的中心到平面GEF的距离.
如图，连接BD，AC，EF和BD分别交AC于H，O，
连接GH，作OK⊥GH于点K.
因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，H为AO的中点.
因为BD⊥AC，所以EF⊥AC.
因为GC⊥平面ABCD，所以GC⊥EF.
因为GC∩AC＝C，所以EF⊥平面GCH.
因为OK 平面GCH，所以EF⊥OK.
又因为OK⊥GH，GH∩EF＝H，
所以OK⊥平面GEF，即OK的长就是正方形ABCD的中心到平面GEF的距离.
因为正方形ABCD的边长为4，CG＝2，
思维升华
空间中的三种距离：点到面的距离、直线到与其平行的平面的距离、平行平面之间的距离，常常转化为点到平面的距离，然后利用直线与平面垂直的判定或性质作出垂线段，求出垂线段的长，或利用“等体积法”求解.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AC1与平面ABCD所成角的大小是30°，那么平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离是________.
训练2
如图，连接AC，
因为CC1⊥平面ABCD，故∠C1AC即为AC1与平面ABCD所成角，
则∠C1AC＝30°，又因为AB＝3，BC＝4，则AC＝5，
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离即为棱C1C的长，
【课堂达标】
1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线
A.只有一条 B.有无数条
C.是平面内的所有直线 D.不存在
√
当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；
当a α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；
当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.
√
2.(多选)下列命题正确的是
选项B中b与α的关系可能b∥α，也可能b α，故错误.
√
√
3.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是
A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定
√
∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，
∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，
∴l∥m.
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝2，那么BC到平面ADD1A1的距离为________.
在长方体中，BC∥平面ADD1A1，
4
故点B到平面ADD1A1的距离即为BC到平面ADD1A1的距离，
因为AB⊥平面ADD1A1，且AB＝4，
所以BC到平面ADD1A1的距离为4.
【课时精练】
√
1.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是
A.b∥α B.b α C.b⊥α D.b与α相交
A中，若b∥α，由a⊥α，可得a⊥b，故不满足；
B中，若b α，由a⊥α，可得a⊥b，故不满足；
C中，若b⊥α，由a⊥α，可得a∥b，故满足；
D中，若b与α相交，由a⊥α，可得a，b异面或平行，故不满足.
√
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则
A.B1B⊥l B.B1B∥l
C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形A1ABB1，BB1C1C为正方形，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC且AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABCD，
∴BB1⊥平面ABCD，
又直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，
∴BB1∥l.
√
3.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝
∵ ADEF的边AF垂直于平面ABCD，
∴DE⊥平面ABCD，而CD 平面ABCD，
则DE⊥CD，可知△CDE为直角三角形.
又DE＝AF＝2，CD＝3，
√
由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l β，所以l∥β.
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，
则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l.
√
∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
过点A作AE⊥PB于E(图略)，
又∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
则PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PBA，
∴BC⊥平面PBA，AE 平面PBA，则BC⊥AE.
又PB∩CB＝B，PB，CB 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC，
即AE的长为AD到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，PA＝PB＝a，
6.m，n是空间两条相交直线，l1，l2是与m，n都垂直的两条直线，直线l是空间任意一条直线，直线l与直线l1，l2所成的角分别为θ1，θ2，则θ1，θ2的大小关系为________.
设m，n两条相交直线确定的平面为α，
由题意知l1⊥α，l2⊥α，
由线面垂直的性质知，l1∥l2，
故直线l与直线l1，l2所成的角相等，即θ1＝θ2.
7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱的中点，则平面EFGH与平面AB1C1D之间的距离为________.
连接A1B，与AB1和EF分别交于点M，N(图略)，
易证A1B与平面EFGH和平面AB1C1D都垂直，
则MN的长就是这两个平面之间的距离，
②③ ①(或①③ ②)
8.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_________________________________.(用序号表示)
由l，m是平面α外的两条不同直线，得若l⊥α，m∥α，
则由线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥m；
若l⊥m，l⊥α，m α，
则由线面垂直的性质定理得m∥α.
故答案为②③ ①(或①③ ②)
9.如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.
∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，BD 平面ABD，BD 平面BCD，EF 平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，∴EF⊥平面PAC，
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点.求证：
(1)MN∥平面PAD；
取PD中点Q，连接AQ，NQ.
∵N是PC中点，
∴四边形AQNM是平行四边形.
∴MN∥AQ.
∵MN 平面PAD，AQ 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
(2)AB⊥MN.
∴PA⊥AB.
又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又AQ 平面PAD，∴AB⊥AQ.
又∵AQ∥MN，∴AB⊥MN.
√
11.已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝
因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.
因为AC＝1，所以BD＝2.
12.直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________.(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
①根据线面垂直的性质定理判断；②根据面面平行的性质定理判断；③根据基本事实4判断；只有④错误.
①②③
∵AD⊥平面PAB，PM 平面PAB，
(1)求证：CD⊥平面PDM；
∴AD⊥PM.
∴PM⊥AB，又AD∩AB＝A，AD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD，
又CD 平面ABCD，∴PM⊥CD.
∴AD∥CE且AD＝CE，
∴四边形AECD为平行四边形，∴CD∥AE，
∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，
又AD⊥平面PAB，BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，
∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，
∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.
∵DM∩PM＝M，DM，PM 平面PDM，∴CD⊥平面PDM.
(2)求点M到平面PCD的距离.
由(1)可知CD⊥平面PDM，
∴△CDM和△CDP均为直角三角形，
14.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，CB，CD的中点，P为线段AD1上的一个动点，平面α∥平面EFG，则下列命题中错误的是
√
如图，连接A1C，可得A1C⊥平面EFG，
由A1C与AD1异面可知，不存在点P，使得CP⊥平面EFG，故A正确；
又AD1∥平面EFG，所以动点P到平面EFG的距离为定值，
故三棱锥P－EFG的体积为定值，故B正确；
截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确.8.6.2　直线与平面垂直
第一课时　直线与平面垂直的判定
课标要求　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明. 2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题.
【引入】 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.正因为日常生活中有许多线面垂直的关系，所以，今天我们有必要对线面垂直做进一步的研究.
一、直线与平面垂直的定义
探究1 如图，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？那么与不过点B的任意一条直线B′C′的位置关系又如何呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的________直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作________.
(2)有关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的________
垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 ________的长度
温馨提示　(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
例1 下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
　训练1 (多选)下列说法，正确的是(　　)
A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交、可能异面、也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
二、直线与平面垂直的判定定理及应用
探究3 数学实验1：将一张矩形纸片沿AB对折后略为展开，竖立在桌面上，我们可以观察到折痕AB与桌面垂直.如图所示：
数学实验2：如图，将一张矩形纸片沿AB对折后略为展开，使DB，BF在桌面内，观察折痕AB还与桌面垂直吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 对比两个数学实验，探究直线与平面垂直的充分条件.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的________直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，________＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
温馨提示　(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有无交点，这是无关紧要的.
例2 (链接教材P152练习T2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
2.平行转化法(利用推论)证明线面垂直
(1)a∥b，a⊥α b⊥α；(2)α∥β，a⊥α a⊥β.
训练2 如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、直线与平面所成的角
探究5 当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α________，但不与这个平面________，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的________A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引________PO，过________O和________A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是________
取值范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是____________
温馨提示　(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
例3 (链接教材P152例4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求直线与平面所成角的一般步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.
训练3 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)若直线l与平面α垂直，则下列说法正确的是(　　)
A.直线l与平面α内的所有直线都垂直
B.在平面α内存在与直线l异面的直线
C.在平面α内存在无数条直线与直线l相交
D.在平面α内存在与直线l平行的直线
2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC
3.(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
A.三角形的两边 B.梯形的两边
C.圆的两条直径 D.正六边形的两条边
4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
直线与平面垂直的判定
探究1　提示　始终保持垂直.与B′C′也垂直，即可得到旗杆AB与地面上的任意一条直线都垂直.
探究2　提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
知识梳理
(1)任意一条　l⊥α　(2)公共点　垂线段
例1　④⑤　[当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.]
训练1　AC　[由线面垂直的定义知，A正确；
当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；
而D中，a可能在α内，所以D错误.]
探究3　提示　不垂直.
探究4　提示　直线与平面内两条相交直线垂直.
知识梳理
两条相交　m∩n
例2　证明　因为∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC，
又SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以SA⊥BC，
又AC∩SA＝A，SA 平面SAC，AC 平面SAC，
所以BC⊥平面SAC，
因为AD 平面SAC，所以BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC 平面SBC，
BC 平面SBC，
所以AD⊥平面SBC.
训练2　证明　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS，
∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，又由(1)知SD⊥BD.
又∵SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
探究5　提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角.
知识梳理
相交　垂直　交点　垂线　垂足　斜足　90°　0°　0°≤θ≤90°
例3　解　如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a.
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
训练3　解　由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC，
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，
BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin ∠MBC＝5sin 60°
＝5×＝.
在Rt△MAB中，
MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，
sin ∠MCA＝＝＝，
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
课堂达标
1.ABC　[在平面α内不存在与直线l平行的直线，故D错误.]
2.C　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.]
3.AC　[由线面垂直的判定定理知，直线垂直于A，C图形所在的平面，
对于B，D图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.]
4.45°　[因为PA⊥平面ABC，
所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，
所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.
在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，
所以∠PBA＝45°，
即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.]直线与平面垂直的判定
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
有且只有一个 至多有一个
有一个或无数个 不存在
2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)
平行 垂直 相交 不确定
3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)
平行 垂直相交
垂直但不相交 相交但不垂直
4.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，则在四面体AOEF中，下列说法中正确的是(　　)
AH⊥平面OEF AO⊥平面OEF
AE⊥平面OEF AF⊥平面OEF
5.在正三棱锥P－ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
30° 45° 60° 75°
6.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________.
7.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________.
8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为________.
9.(13分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.
10.(15分)如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上异于A，B两点的任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
二、综合运用
11.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
A B C D
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为PB的中点，若直线AE和平面ABCD所成角的正弦值为，则PD＝(　　)
1 3 2
13.(16分)如图，PA垂直矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
三、创新拓展
14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
直线与平面垂直的判定
1.B　[设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，
故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，
故过m与n垂直的平面至多一个.]
2.B　[由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，
又因三角形的第三边AB在这个平面内，
所以l⊥AB.]
3.C　[连接AC(图略)，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，则BD⊥MC，
因为AC∩ MC＝C，且AC，MC 平面AMC，
所以BD⊥平面AMC，
又MA 平面AMC，所以MA⊥BD，
显然直线MA与直线BD不共面，
因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.]
4.B　[∵在原正方形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，BC⊥CD，
∴折叠后AO⊥OE，AO⊥OF，
又OE∩OF＝O，
∴AO⊥平面OEF，故B正确；
如图，连接AH，因为过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，
且AE，AF，AH均不与AO重合，
∴AE，AF，AH均不与平面OEF垂直，
故A，C，D错误.]
5.A　[如图，
取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥平面ABC，
连接AO并延长，交BC于点D，
则D为BC的中点.
所以AP在平面ABC上的射影为AO，
所以PA与平面ABC所成角为∠PAO.
因为AB＝3，所以AO＝AB＝.
又因为PA＝2，
在Rt△POA中，有cos∠PAO＝＝，
故直线PA与平面ABC所成角的大小为30°.]
6.l⊥AC　[∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
又BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，且AB，BC 平面ABC，
∴直线l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，故l⊥AC.]
7.30°　[由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.
在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，
∴∠PCA＝30°，
即PC与平面ABCD所成的角为30°.]
8.64　[∵S正方形ABCD＝16，∴AB＝CB＝4，
∵AB⊥平面BB1C1C，
故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°.
从而BC1＝4，CC1＝＝4.
故长方体的体积V＝16×4＝64.]
9.解　 (1)如图所示，
连接DB，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.
∵DB＝AB，D1B＝AB，
∴cos ∠D1BD＝＝，
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.
(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.
在Rt△EA1F中，
∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，
即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
10.证明　(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM，
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM，
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN，
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM .
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
11.BD　[对于A，易证AB与CE所成的角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；
对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；
对于C，易证AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；
对于D，如图，设正方体的上底面为EFDB，
连接BF，由正方形的性质可得DE⊥BF，
而AF⊥平面EFDB，可得AF⊥DE，且BF∩AF＝F，
则DE⊥平面ABF，即有DE⊥AB，
同理可得AB⊥CE，且ED∩EC＝E，
所以AB⊥平面CDE.]
12.D　[如图，取BD的中点F，连接EF，AF.
因为E，F分别为PB，BD的中点，
所以EF∥PD且EF＝PD.
因为PD⊥平面ABCD，
所以EF⊥平面ABCD，
因为AF 平面ABCD，
所以EF⊥AF，
所以直线AE与平面ABCD所成角为∠EAF.
因为四边形ABCD是边长2的正方形，
所以AF＝AB＝，
设EF＝a，则AE＝＝，
则sin∠EAF＝＝＝，
解得a＝1，故PD＝2EF＝2.]
13.证明　 (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面APD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，
∵E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
14.A1C1⊥B1C1(答案不唯一)　[如图所示，
连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1.
由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC.
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，
故只要证A1C1⊥B1C1.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等) ](共55张PPT)
第八章 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.2　直线与平面垂直
第一课时　直线与平面垂直的判定
课标要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明. 2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题.
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.正因为日常生活中有许多线面垂直的关系，所以，今天我们有必要对线面垂直做进一步的研究.
引入
课时精练
一、直线与平面垂直的定义
二、直线与平面垂直的判定定理及应用
三、直线与平面所成的角
课堂达标
内容索引
直线与平面垂直的定义
一
探究1 如图，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？那么与不过点B的任意一条直线B′C′的位置关系又如何呢？
提示　始终保持垂直.与B′C′也垂直，即可得到旗杆AB与地面上的任意一条直线都垂直.
探究2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
直线与平面垂直
知识梳理
(1)定义：如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作________.
任意一条
l⊥α
(2)有关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的________
垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 ________的长度
公共点
垂线段
温馨提示
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
例1
下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
④⑤
当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
思维升华
(多选)下列说法，正确的是
A.若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交、可能异面、也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
训练1
√
√
由线面垂直的定义知，A正确；
当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；
而D中，a可能在α内，所以D错误.
直线与平面垂直的判定定理及应用
二
探究3 数学实验1：将一张矩形纸片沿AB对折后略为展开，竖立在桌面上，我们可以观察到折痕AB与桌面垂直.如图所示：
数学实验2：如图，将一张矩形纸片沿AB对折后略为展开，使DB，BF在桌面内，观察折痕AB还与桌面垂直吗？
提示　不垂直.
探究4 对比两个数学实验，探究直线与平面垂直的充分条件.
提示　直线与平面内两条相交直线垂直.
知识梳理
直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
两条相交
温馨提示
(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有无交点，这是无关紧要的.
(链接教材P152练习T2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.
例2
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以SA⊥BC，
又AC∩SA＝A，SA 平面SAC，AC 平面SAC，
所以BC⊥平面SAC，
因为AD 平面SAC，所以BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC 平面SBC，BC 平面SBC，
所以AD⊥平面SBC.
思维升华
1.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
2.平行转化法(利用推论)证明线面垂直
训练2
如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS，
∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又由(1)知SD⊥BD.
又∵ SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
直线与平面所成的角
三
探究5 当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？
提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角.
知识梳理
直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面________，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的_______A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引_____PO，过______O和 A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
相交
垂直
垂线
垂足
斜足
交点
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是______

取值范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是__________________
90°
0°
0°≤θ≤90°
温馨提示
(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
例3
(链接教材P152例4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a.
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
所以∠BA1O＝30°，
所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
思维升华
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.
训练3
如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB上的射影为AC，
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，
BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin ∠MBC＝5sin 60°
在Rt△MAB中，
在Rt△MAC中，
【课堂达标】
1.(多选)若直线l与平面α垂直，则下列说法正确的是
A.直线l与平面α内的所有直线都垂直
B.在平面α内存在与直线l异面的直线
C.在平面α内存在无数条直线与直线l相交
D.在平面α内存在与直线l平行的直线
√
在平面α内不存在与直线l平行的直线，故D错误.
√
√
√
2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
3.(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是
A.三角形的两边 B.梯形的两边
C.圆的两条直径 D.正六边形的两条边
√
由线面垂直的判定定理知，直线垂直于A，C图形所在的平面，
√
对于B，D图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
因为PA⊥平面ABC，
45°
所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，
所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.
在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，
所以∠PBA＝45°，
即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
【课时精练】
√
1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面
A.有且只有一个 B.至多有一个
C.有一个或无数个 D.不存在
设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，
故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，
故过m与n垂直的平面至多一个.
√
2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是
A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定
由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，
所以直线l和三角形所在的平面垂直，
又因三角形的第三边AB在这个平面内，
所以l⊥AB.
√
3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是
连接AC(图略)，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
又MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，则BD⊥MC，
因为AC∩ MC＝C，且AC，MC 平面AMC，
所以BD⊥平面AMC，
又MA 平面AMC，所以MA⊥BD，
显然直线MA与直线BD不共面，
因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
√
4.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，则在四面体AOEF中，下列说法中正确的是
∵在原正方形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，BC⊥CD，
A.AH⊥平面OEF B.AO⊥平面OEF
C.AE⊥平面OEF D.AF⊥平面OEF
∴折叠后AO⊥OE，AO⊥OF，又OE∩OF＝O，
∴AO⊥平面OEF，故B正确；
如图，连接AH，因为过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，
且AE，AF，AH均不与AO重合，
∴AE，AF，AH均不与平面OEF垂直，故A，C，D错误.
√
5.在正三棱锥P－ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为
A.30° B.45° C.60° D.75°
如图，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥平面ABC，
连接AO并延长，交BC于点D，则D为BC的中点.
所以AP在平面ABC上的射影为AO，
所以PA与平面ABC所成角为∠PAO.
故直线PA与平面ABC所成角的大小为30°.
6.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________.
∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
l ⊥AC
又BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，且AB，BC 平面ABC，
∴直线l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，故l⊥AC.
由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.
30°
∴∠PCA＝30°，
即PC与平面ABCD所成的角为30°.
8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为________.
∵AB⊥平面BB1C1C，
故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
如图所示，
连接DB，
∵D1D⊥平面ABCD，∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.
∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.
在Rt△EA1F中，
∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，
即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
10.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上异于A，B两点的任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM，
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM，
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN，
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
BM，PM 平面PBM，∴AN⊥平面PBM .
由(1)知AN⊥平面PBM，
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
√
11.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是
√
对于A，易证AB与CE所成的角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；
对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；
对于C，易证AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；
对于D，如图，设正方体的上底面为EFDB，
连接BF，由正方形的性质可得DE⊥BF，
而AF⊥平面EFDB，可得AF⊥DE，且BF∩AF＝F，
则DE⊥平面ABF，即有DE⊥AB，
同理可得AB⊥CE，且ED∩EC＝E，
所以AB⊥平面CDE.
√
如图，取BD的中点F，连接EF，AF.
因为E，F分别为PB，BD的中点，
因为PD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，
因为AF 平面ABCD，所以EF⊥AF，
所以直线AE与平面ABCD所成角为∠EAF.
因为四边形ABCD是边长2的正方形，
解得a＝1，故PD＝2EF＝2.
13.如图，PA垂直矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
取PD的中点E，连接NE，AE，如图.
(1)求证：MN∥平面PAD；
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE 平面APD，MN 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∵E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______________________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.
A1C1⊥B1C1(答案不唯一)
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1.
由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC.
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，
故只要证A1C1⊥B1C1.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)

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