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培优课　空间距离的求法
课标要求　理解点到平面的距离、平面到平面的距离、直线到平面的距离、异面直线的距离的定义，并掌握上述距离的求法.
一、点到平面的距离
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求点A到平面PBC的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解.
训练1 已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、直线到平面的距离
例2 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求直线到平面的距离的关键是找到或作出垂线，一般利用过已知直线与已知平面垂直的平面求解.
2.线面距一般转化为点面距求解.
训练2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，则直线AA1与平面BDD1B1的距离为(　　)
A. B. C. D.2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、平面到平面的距离
例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，求平面AB1D1到平面BC1D的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.平面到平面的距离一般转化为点面距或线面距求解.
2.当两平面平行时，其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，就是两个平行平面间的距离.
训练3 如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点，则平面MNR与平面OCD的距离为________.
四、异面直线的距离
例4 如图，已知正方体的棱长为a.
(1)求异面直线A1B与C1C的距离；
(2)求异面直线A1B与B1C1的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法.
训练4 空间四边形A－BCD的边长都为10，对角线BD＝8，AC＝16，E，F分别是AC，BD的中点.
(1)求证：EF是AC，BD的公垂线段；
(2)求异面直线AC，BD的距离.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.两条异面直线的距离是(　　)
A.和两条异面直线都垂直相交的直线
B.和两条异面直线都垂直的线段
C.它们的公垂线夹在垂足间的线段长
D.两条直线上任意两点间的距离
2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1到平面BCD1的距离为(　　)
A.1 　　　B. C. 　　　D.
3.已知平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行.记平面α，β的距离为d1，直线m，n的距离为d2，则(　　)
A.d1＜d2 B.d1＝d2
C.d1>d2 D.d1与d2大小不确定
4.已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为6的正方形，且该四棱锥的体积为96，则点P到平面ABCD的距离是________.
培优课　空间距离的求法
例1　(1)证明　如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以点O为BD的中点.
又点E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解　法一　V＝AP·AB·AD＝AB.
由V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB于点H.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，
又PB∩BC＝B，
故AH⊥平面PBC，
即AH的长就是点A到平面PBC的距离.
因为PB＝＝，
所以AH＝＝，
所以点A到平面PBC的距离为.
法二　V＝AP·AB·AD＝AB.
由V＝，可得AB＝.
易得V三棱锥P－ABC＝V三棱锥P－ABD＝，
设A到平面PBC的距离为h.
由CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，得CB⊥平面PAB，
所以CB⊥PB，PB＝＝，
因为CB＝，
所以S△PBC＝CB·PB＝，
V三棱锥P－ABC＝S△PBC·h＝，
所以h＝.
训练1　解　法一　如图，连接PA，PB，
易知SA⊥AC，BC⊥AC.
分别取AB，AC的中点E，F，
连接PE，EF，PF，
则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，
所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.
又E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.
因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，
AP＝SC＝，AE＝AB＝，
所以PE＝＝＝，
即点P到平面ABC的距离为.
法二　如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两直线交于点D.
因为AC＝BC＝1，AB＝，所以AC⊥BC.
所以四边形ADBC为正方形，连接SD.
易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，
所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，
所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.
所以SD的长即点S到平面ABC的距离，
在Rt△SAD中，易得SD＝.
因为点P为SC的中点，
故点P到平面ABC的距离为SD＝.
例2　解　因为BD∥平面GB1D1，所以BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，
连接AC交BD于点O，以下求点O到平面GB1D1的距离.
因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，
所以B1D1⊥平面A1ACC1.
又因为B1D1 平面GB1D1，
所以平面A1ACC1⊥平面GB1D1，两个平面的交线是O1G.
作OH⊥O1G于H，
则有OH⊥平面GB1D1，
即OH是点O到平面GB1D1的距离.
在△O1OG中，
S△O1OG＝·O1O·AO＝·2·＝.
又S△O1OG＝·OH·O1G
＝··OH＝，
所以OH＝.
即BD到平面GB1D1的距离等于.
训练2　C　[因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，
所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，
如图，过A作AE⊥BD于E，
平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，AE 平面ABCD，
则AE⊥平面BDD1B1，
所以直线AA1与平面BDD1B1的距离为AE.
在Rt△ABD中，由等面积法可得
AE＝＝＝＝.]
例3　解　由题意可得，原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，
由等体积法可得，
V三棱锥C1－AB1D1＝V三棱锥A－B1C1D1，
即h·××22×sin 60°＝××××，解得h＝，
即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.
训练3　　[因为OA⊥平面ABCD，且ABCD是正方形，
易得BA⊥平面AOD，
设OD的中点P，连接AP，
则BA⊥AP，
又AB∥CD，故AP⊥CD，
又易知AP⊥OD，所以AP⊥平面OCD，
易得平面MNR∥平面OCD，且MR綉OD，
所以平面MNR与平面OCD之间的距离为
AP＝×＝.]
例4　解　(1)由BC⊥A1B，CC1⊥BC得，BC即为异面直线A1B与C1C的公垂线，
所以异面直线A1B与C1C的距离为a.
(2)连接B1A交BA1于O点(图略)，
则B1O⊥A1B且B1C1⊥B1O，
所以B1O即为异面直线A1B与B1C1的公垂线，
所以异面直线A1B与B1C1的距离为a.
训练4　(1)证明　如图，
连接AF，FC.
∵空间四边形A－BCD的边长都为10，
AF，CF是△ABD和△CBD对应边上的中线，
∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形.
∵EF是底边上的中线，∴EF⊥AC.
同理EF⊥BD，
∴EF是AC，BD的公垂线段.
(2)解　在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝16，E为AC的中点，∴BE＝6，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴异面直线AC，BD的距离为EF＝2.
课堂达标
1.C
2.C　[设B1到平面BCD1的距离为h，
则由VB1－BCD1＝VD1－BB1C可得
××1×h＝××1×1×1，
即h＝.]
3.B　[因为平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行，所以平面α，β的距离等于直线m，n的距离，所以d1＝d2.]
4.8　[由体积公式V＝Sh，得96＝×36h，
∴h＝8，即点P到平面ABCD的距离是8.]　课时精练42　 空间距离的求法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分.
一、基础巩固
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，则点A1到平面AB1D1的距离为(　　)
2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为(　　)
3.在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离等于(　　)
4.如图，在四面体A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝1，DB＝3，DC＝4，则点A到直线BC的距离为(　　)
　　 　　
5.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
　　1 2 　　
6.平面α∥β，点A，C∈α，点B，D∈β，如果AB＋CD＝28，且AB，CD在β内射影长分别为5和9，则平面α与β间的距离为________.
7.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则异面直线BD1与AC之间的距离为________.
8.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为________.
9.(10分)如图，在几何体A－BCDE中，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5.
(1)求证：DC∥平面ABE；
(2)求直线DC到平面ABE的距离.
10.(10分)如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)求点A到平面PBE的距离.
二、综合运用
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，AD＝1，点E是棱PB的中点，则直线AB与平面ECD的距离为(　　)
1
12.已知菱形ABCD的边长为a，∠A＝，将菱形ABCD沿对角线BD折成平面角为θ的二面角，若θ∈，则折后异面直线AC与BD距离的最大值为(　　)
a a a a
13.(13分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于H.
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EFG∥平面ABD；
(3)求平面EFG与平面ABD的距离.
三、创新拓展
14.(17分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，AA1＝2，点D在棱BB1上，BD＝BB1，B1E⊥A1D，垂足为E.求：
(1)求异面直线A1D与B1C1的距离；
(2)四棱锥C－ABDE的体积.
空间距离的求法
1.A　[设点A1到平面AB1D1的距离是h，
则由等体积法得VA1－AD1B1＝VA－A1D1B1，如图，
因为VA1－AD1B1＝S△AB1D1×h，
又S△AB1D1＝×AB×sin 60°
＝×()2×＝，
V三棱锥A－A1D1B1＝×S△A1B1D1×AA1
＝××12×1＝.
所以××h＝，
解得h＝.]
2.B　[由正方体的性质可知，A1B1∥平面ABC1D1，
因为E是A1B1的中点，
所以点E到平面ABC1D1的距离等于点A1到平面ABC1D1的距离，设为h，
显然有V三棱锥A1－ABD1＝V三棱锥D1－AA1B，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
显然A1D1⊥平面ABB1A1，AD1⊥AB，
正方体的棱长为1，所以AD1＝＝，
由V三棱锥A1－ABD1＝V三棱锥D1－AA1B可得，
××1×h＝××1×1×1
h＝.]
3.C　[如图，过D作DE⊥SB于E，过A作AF⊥SB于F，
因为SA⊥底面ABC，BC 平面ABC，
所以SA⊥BC，
因为AB⊥BC，SA∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB，
又BC 平面SBC，所以平面SBC⊥平面SAB，
又平面SAB∩平面SBC＝SB，DE⊥SB，
所以DE⊥平面SBC，
所以DE为点D到平面SBC的距离，
又AF⊥SB，所以DE＝，
在Rt△ABS中，AF＝＝＝，所以DE＝.]
4.A　[如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE.
因为DA⊥DB，DA⊥DC，DB∩DC＝D，DB，DC 平面BCD，
所以DA⊥平面BCD.
因为BC，DE 平面BCD，
所以DA⊥BC，DA⊥DE.
又DE⊥BC，DA∩DE＝D，DA，DE 平面ADE，
所以BC⊥平面ADE.
因为AE 平面ADE，所以BC⊥AE，
所以点A到直线BC的距离为AE.
因为DB＝3，DC＝4，DB⊥DC，所以BC＝5.
又DE×BC＝DB×DC，所以DE＝.
又DA＝1，DA⊥DE，
所以AE＝＝.]
5.D　[由题意，B1B⊥平面ABCD，
所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，
则∠B1AB＝60°，
因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为1，
所以B1B＝AB×tan 60°＝，
即正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱长为.
又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，
所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝.]
6.12　[如图，AE⊥β，CF⊥β，
由题意可知，BE＝5，DF＝9，
设AB＝x，CD＝28－x，
则x2－25＝(28－x)2－81，解得x＝13，
∴平面α与平面β间的距离AE＝＝12.]
7.　[连接BD交AC于点O，过O作BD1的垂线，交BD1于E，
则OE的长就是所求异面直线的距离.
∵Rt△DD1B∽Rt△EOB，DD1＝2，BD1＝2，OB＝，
∴＝，∴OE＝.]
8.　[因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥BC，
因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，
过点A作PB的垂线，交PB于E，
则AE⊥BP，BC⊥AE，且BC∩BP＝B，
所以AE⊥平面PBC，
即AE的长就是点A到平面PBC的距离，
在等腰直角△PAB中，AE＝ABsin 45°＝，
即AD到平面PBC的距离为.]
9.(1)证明　由DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
可得DC⊥BC，EB⊥BC，
则在平面BCDE中，DC∥BE，
又DC 平面ABE，BE 平面ABE，
则DC∥平面ABE.
(2)解　由DC∥平面ABE，
可知直线DC到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5，
则BC＝＝，
由EB⊥平面ABC，可得EB⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩EB＝B，
则BC⊥平面ABE，
即BC为点C到平面ABE的距离，
又BC＝，
故直线DC到平面ABE的距离为.
10.(1)证明　连接EF(图略)，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF＝＝，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，
所以PF⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF 平面ABED，EF 平面ABED，
所以PF⊥平面ABED.
(2)解　由(1)知，PF⊥平面ABED，连接AE(图略)，
则PF为三棱锥P－ABE的高.
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得VA－PBE＝VP－ABE，
即×S△PBE×h＝×S△ABE×PF.
又S△PBE＝×6×9＝27，
S△ABE＝×12×6＝36，
所以h＝＝＝，
即点A到平面PBE的距离为.
11.B　[如图所示：
取PA的中点F，连接EF，FD，
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为底面ABCD为矩形，
所以AD⊥CD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，
又CD 平面EFDC，
所以平面EFDC⊥平面PAD，
且平面EFDC∩平面PAD＝FD，
所以点A到FD的距离，即为点A到平面EFDC的距离，
因为AB∥CD，AB 平面EFDC，CD 平面EFDC，
所以AB∥平面EFDC，
所以点A到平面EFDC的距离，
即为直线AB到平面EFDC的距离，
在Rt△AFD中，AF＝，AD＝1，DF＝，
所以点A到FD的距离为d＝＝.
故直线AB与平面CED的距离为.]
12.C　[如图，
在菱形ABCD中，AC∩BD＝O，AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
当沿对角线BD折成平面角为θ的二面角时，显然OA⊥BD，OC⊥BD，
于是得∠AOC＝θ，取AC中点E，连接OE，如图，
则OE⊥AC，
而BD⊥平面AOC，OE 平面AOC，即有OE⊥BD，
因此，线段OE长为异面直线AC与BD距离.
OE＝OAcos，而θ∈，
即∈，
函数y＝cos x在上单调递减，
于是当θ＝时，(OE)max＝acos＝a.]
13.(1)证明　∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 平面ABC⊥平面BCC1B1，交线为CB，而∠ABC＝90°，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∵B1D 平面BCC1B1，∴AB⊥B1D，
根据已知条件可得，D为CC1的中点，
B1D＝DB＝2，B1B＝4，
结合勾股定理可得BD⊥B1D，
又BD∩AB＝B，所以B1D⊥平面ABD.
(2)证明　如图所示，
取BB1的中点T，连接TC1，
∵B1B＝4，EB1＝1，
∴E为TB1的中点，
而F为B1C1的中点，
∴EF为△B1TC1的中位线，∴EF∥TC1，
又∵C1D∥TB，且C1D＝TB，
∴四边形TBDC1为平行四边形，
∴BD∥TC1，∴EF∥BD，
∵EF 平面ABD，BD 平面ABD，
∴EF∥平面ABD，
∵ F，G分别是B1C1，A1C1的中点，
∴GF是△C1A1B1的中位线，
∴GF∥A1B1，
∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
∴GF∥AB，
∵GF 平面ABD，AB 平面ABD，
∴GF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，∴平面EFG∥平面ABD.
(3)解　由平面EFG∥平面ABD，EF与B1D相交于H，
又∵B1D⊥平面ABD，∴HD⊥平面ABD，
∴两平面之间的距离即为H到平面ABD的距离，即HD，
∵EF∥BD，∴△B1EH∽△B1BD，
∴＝，∴B1H＝，∴HD＝，
故平面EFG与平面ABD的距离为.
14.解　(1)由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，
又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，
且A1B1∩B1D＝B1，A1B1，B1D 平面A1B1D，
所以B1C1⊥平面A1B1D，
又B1E 平面A1B1D，所以B1C1⊥B1E.
又B1E⊥A1D，
故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线，
由BD＝BB1知B1D＝，
在Rt△A1B1D中，A1D＝＝＝.
又因S△A1B1D＝A1B1·B1D
＝A1D·B1E，
故B1E＝＝＝，
所以异面直线A1D与B1C1的距离为.
(2)由(1)知B1C1⊥平面A1B1D，
又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，
即BC为四棱锥C－ABDE的高，
从而所求四棱锥的体积V为
V＝VC－ABDE＝×BC×S(其中S为四边形ABDE的面积).
如图，过E作EF⊥B1D，垂足为F，
在Rt△B1ED中，
ED＝
＝＝，
又因S△B1ED＝B1E·DE＝B1D·EF，
故EF＝＝.
因△A1AE的边A1A上的高h＝A1B1－EF＝1－＝，
故S△A1AE＝A1A·h＝×2×＝.
又因为SAA1DB＝×1＝，
从而S＝SAA1DB－S△A1AE＝－＝.
所以V＝·S·BC＝××＝.(共61张PPT)
第八章 立体几何初步　8.6　空间直线、平面的垂直
培优课　空间距离的求法
课标要求
理解点到平面的距离、平面到平面的距离、直线到平面的距离、异面直线的距离的定义，并掌握上述距离的求法.
课时精练
一、点到平面的距离
二、直线到平面的距离
三、平面到平面的距离
课堂达标
内容索引
四、异面直线的距离
点到平面的距离
一
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明：PB∥平面AEC；
如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以点O为BD的中点.
又点E为PD的中点，
所以EO∥PB.
因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.
作AH⊥PB于点H.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，
又PB∩BC＝B，
故AH⊥平面PBC，
即AH的长就是点A到平面PBC的距离.
设A到平面PBC的距离为h.
由CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，得CB⊥平面PAB，
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解.
思维升华
训练1
法一　如图，连接PA，PB，
易知SA⊥AC，BC⊥AC.
分别取AB，AC的中点E，F，
连接PE，EF，PF，
则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.
又E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.
因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，
法二　如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两直线交于点D.
所以四边形ADBC为正方形，连接SD.
易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，
所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，
所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.
所以SD的长即点S到平面ABC的距离，
直线到平面的距离
二
例2
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离.
因为BD∥平面GB1D1，所以BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，
连接AC交BD于点O，以下求点O到平面GB1D1的距离.
因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，
所以B1D1⊥平面A1ACC1.
又因为B1D1?平面GB1D1，
作OH⊥O1G于H，
则有OH⊥平面GB1D1，
即OH是点O到平面GB1D1的距离.
思维升华
1.求直线到平面的距离的关键是找到或作出垂线，一般利用过已知直线与已知平面垂直的平面求解.
2.线面距一般转化为点面距求解.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，则直线AA1与平面BDD1B1的距离为
训练2
√
因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，
如图，过A作AE⊥BD于E，
平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，AE?平面ABCD，
则AE⊥平面BDD1B1，所以直线AA1与平面BDD1B1的距离为AE.
在Rt△ABD中，由等面积法可得
平面到平面的距离
三
例3
由题意可得，原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，
思维升华
1.平面到平面的距离一般转化为点面距或线面距求解.
2.当两平面平行时，其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，就是两个平行平面间的距离.
训练3
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中
因为OA⊥平面ABCD，且ABCD是正方形，
点，则平面MNR与平面OCD的距离为________.
易得BA⊥平面AOD，设OD的中点P，连接AP，则BA⊥AP，又AB∥CD，
故AP⊥CD，又易知AP⊥OD，所以AP⊥平面OCD，
异面直线的距离
四
例4
如图，已知正方体的棱长为a.
(1)由BC⊥A1B，CC1⊥BC得，BC即为异面直线A1B与C1C的公垂线，
(1)求异面直线A1B与C1C的距离；
(2)求异面直线A1B与B1C1的距离.
所以异面直线A1B与C1C的距离为a.
(2)连接B1A交BA1于O点(图略)，则B1O⊥A1B且B1C1⊥B1O，
所以B1O即为异面直线A1B与B1C1的公垂线，
思维升华
求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法.
训练4
空间四边形A－BCD的边长都为10，对角线BD＝8，AC＝16，E，F分别是AC，BD的中点.
(1)求证：EF是AC，BD的公垂线段；
如图，连接AF，FC.
∵空间四边形A－BCD的边长都为10，
AF，CF是△ABD和△CBD对应边上的中线，
∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形.
∵EF是底边上的中线，∴EF⊥AC.
同理EF⊥BD，∴EF是AC，BD的公垂线段.
(2)求异面直线AC，BD的距离.
在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝16，E为AC的中点，
∴BE＝6，
在Rt△BEF中，BF＝4，
【课堂达标】
1.两条异面直线的距离是
A.和两条异面直线都垂直相交的直线
B.和两条异面直线都垂直的线段
C.它们的公垂线夹在垂足间的线段长
D.两条直线上任意两点间的距离
√
√
2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1到平面BCD1的距离为
设B1到平面BCD1的距离为h，
3.已知平面α∥平面β，m?α，n?β，且直线m与n不平行.记平面α，β的距离为d1，直线m，n的距离为d2，则
A.d1＜d2 B.d1＝d2
C.d1>d2 D.d1与d2大小不确定
√
因为平面α∥平面β，m?α，n?β，且直线m与n不平行，
4.已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为6的正方形，且该四棱锥的体积为96，则点P到平面ABCD的距离是________.
8
【课时精练】
√
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，则点A1到平面AB1D1的距离为
设点A1到平面AB1D1的距离是h，
√
2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为
由正方体的性质可知，A1B1∥平面ABC1D1，
因为E是A1B1的中点，
所以点E到平面ABC1D1的距离等于点A1到平面ABC1D1的距离，设为h，
显然有V三棱锥A1－ABD1＝V三棱锥D1－AA1B，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
显然A1D1⊥平面ABB1A1，AD1⊥AB，
√
3.在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离等于
如图，过D作DE⊥SB于E，过A作AF⊥SB于F，
因为SA⊥底面ABC，BC?平面ABC，所以SA⊥BC，
因为AB⊥BC，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，
又BC?平面SBC，所以平面SBC⊥平面SAB，
又平面SAB∩平面SBC＝SB，DE⊥SB，
所以DE⊥平面SBC，
√
4.如图，在四面体A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝1，DB＝3，DC＝4，则点A到直线BC的距离为
如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE.
因为DA⊥DB，DA⊥DC，DB∩DC＝D，DB，DC?平面BCD，
所以DA⊥平面BCD.
因为BC，DE?平面BCD，
所以DA⊥BC，DA⊥DE.
又DE⊥BC，DA∩DE＝D，DA，DE?平面ADE，
所以BC⊥平面ADE.
因为AE?平面ADE，所以BC⊥AE，
所以点A到直线BC的距离为AE.
因为DB＝3，DC＝4，DB⊥DC，
所以BC＝5.
√
5.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为
由题意，B1B⊥平面ABCD，
所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，
因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为1，
6.平面α∥β，点A，C∈α，点B，D∈β，如果AB＋CD＝28，且AB，CD在β内射影长分别为5和9，则平面α与β间的距离为________.
12
如图，AE⊥β，CF⊥β，
由题意可知，BE＝5，DF＝9，
设AB＝x，CD＝28－x，
则x2－25＝(28－x)2－81，解得x＝13，
7.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则异面直线BD1与AC之间的距离为
________.
连接BD交AC于点O，过O作BD1的垂线，交BD1于E，
8.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为________.
因为AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥BC，
因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，
过点A作PB的垂线，交PB于E，
则AE⊥BP，BC⊥AE，且BC∩BP＝B，
所以AE⊥平面PBC，
即AE的长就是点A到平面PBC的距离，
9.如图，在几何体A－BCDE中，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5.
(1)求证：DC∥平面ABE；
由DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
可得DC⊥BC，EB⊥BC，
则在平面BCDE中，DC∥BE，
又DC?平面ABE，BE?平面ABE，
则DC∥平面ABE.
(2)求直线DC到平面ABE的距离.
由DC∥平面ABE，
可知直线DC到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5，
由EB⊥平面ABC，可得EB⊥BC，又AB⊥BC，AB∩EB＝B，
则BC⊥平面ABE，
连接EF(图略)，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，
所以PF⊥平面ABED.
(2)求点A到平面PBE的距离.
由(1)知，PF⊥平面ABED，连接AE(图略)，
则PF为三棱锥P－ABE的高.
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得VA－PBE＝VP－ABE，
√
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为底面ABCD为矩形，
所以AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，
又CD?平面EFDC，
所以平面EFDC⊥平面PAD，
且平面EFDC∩平面PAD＝FD，
所以点A到FD的距离，即为点A到平面EFDC的距离，
因为AB∥CD，AB?平面EFDC，CD?平面EFDC，
所以AB∥平面EFDC，
所以点A到平面EFDC的距离，
即为直线AB到平面EFDC的距离，
√
当沿对角线BD折成平面角为θ的二面角时，显然OA⊥BD，OC⊥BD，
于是得∠AOC＝θ，取AC中点E，连接OE，如图，
则OE⊥AC，
而BD⊥平面AOC，OE?平面AOC，即有OE⊥BD，
因此，线段OE长为异面直线AC与BD距离.
13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于H.
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 平面ABC⊥平面BCC1B1，交线为CB，
而∠ABC＝90°，∴AB⊥平面BCC1B1，
∵B1D?平面BCC1B1，∴AB⊥B1D，根据已知条件可得，D为CC1的中点，
如图所示，取BB1的中点T，连接TC1，
(2)求证：平面EFG∥平面ABD；
∵B1B＝4，EB1＝1，∴E为TB1的中点，
而F为B1C1的中点，∴EF为△B1TC1的中位线，∴EF∥TC1，
又∵C1D∥TB，且C1D＝TB，∴四边形TBDC1为平行四边形，
∴BD∥TC1，∴EF∥BD，∵EF?平面ABD，BD?平面ABD，
∴EF∥平面ABD，∵ F，G分别是B1C1，A1C1的中点，
∴GF是△C1A1B1的中位线，∴GF∥A1B1，
∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
∴GF∥AB，∵GF?平面ABD，AB?平面ABD，
∴GF∥平面ABD，
又GF∩EF＝F，∴平面EFG∥平面ABD.
(3)求平面EFG与平面ABD的距离.
由平面EFG∥平面ABD，EF与B1D相交于H，
又∵B1D⊥平面ABD，∴HD⊥平面ABD，
∴两平面之间的距离即为H到平面ABD的距离，即HD，
∵EF∥BD，∴△B1EH∽△B1BD，
(1)求异面直线A1D与B1C1的距离；
由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，
又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，
且A1B1∩B1D＝B1，A1B1，B1D?平面A1B1D，
所以B1C1⊥平面A1B1D，又B1E?平面A1B1D，所以B1C1⊥B1E.
又B1E⊥A1D，
故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线，
(2)四棱锥C－ABDE的体积.
由(1)知B1C1⊥平面A1B1D，
又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，
即BC为四棱锥C－ABDE的高，
从而所求四棱锥的体积V为
如图，过E作EF⊥B1D，垂足为F，

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