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9.2.2　总体百分位数的估计
课标要求　结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
【引入】 观察下列两组数据：
甲组　1　2　2　2　2　3　3　3　5　5　6　6　8　8　9　10　10　12　13　13
乙组　0　0　0　0　1　1　2　3　4　5　6　6　7　7　10　14　14　14　14　15
由甲、乙两组数据知它们的中位数都是5.5，但很明显，甲组数据中，小于5.5的数普遍比乙组的大，而大于5.5的数普遍比乙组的小，也就是说，中位数并不能全面地体现数据的分布特点，那么，如何补救呢？
一、百分位数的定义
探究1 请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 你能制定一下具体方案吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.总体百分位数的估计
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有________的数据大于或等于这个值.
2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步：按________排列原始数据.
第2步：计算i＝________.
第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第________数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的________.
3.四分位数
25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为________，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
温馨提示　中位数是第50百分位数.
例1 (多选)下列表述正确的是(　　)
A.50%分位数就是总体的中位数
B.第p百分位数可以有单位
C.一个总体的四分位数有4个
D.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据如何在最小值与最大值之间分布的信息.
训练1 15%分位数的含义是(　　)
A.总体中任何一个数小于它的可能性是15%
B.总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%
C.总体中任何一个数大于它的可能性是15%
D.总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15%
二、由样本数据求百分位数
例2 (链接教材P203例2、P204例3)从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，
分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　总体百分位数估计需要注意的两个问题
(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.
训练2 下列一组数据的第25百分位数是
2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6(　　)
A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5
三、利用频率分布直方图求百分位数
例3 为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了100名同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)，其频率分布直方图如图所示，估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数.(结果保留两位小数)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　频率分布直方图中第p百分位数的求解方法可以模仿中位数的求解思路：
(1)确定第p百分位数所在的区间[a，b).
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a).
训练3 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下这60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)
A.这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
2.一组数据6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，且这组数的一个四分位数是15，则它是(　　)
A.15%分位数 B.25%分位数 C.50%分位数 D.75%分位数
3.一组数据：7，6，3，2，8，3，5，6，9，7的中位数是________；85%分位数是________.
4.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________.
9.2.2　总体百分位数的估计
探究1　提示　寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.
探究2　提示　把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间(13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7.
知识梳理
1.p%　(100－p)%
2.从小到大　n×p%　j项　平均数
3.四分位数
例1　ABD　[一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误，其它均正确.]
训练1　B　[根据第p百分位数的定义可知B正确.]
例2　解　将所有数据从小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，
所以12×25%＝3，
12×75%＝9，
12×95%＝11.4，
则25%分位数是＝8.15，
75%分位数是＝8.75，
95%分位数是第12个数据9.9.
训练2　A　[把该组数据按照由小到大排列，可得：
2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数.]
例3　解　法一　由频率分布直方图可得，
(0.01＋0.023)×10＝0.33，
(0.01＋0.023＋0.037)×10＝0.7，
所以第65百分位数应位于[30，40)内，
所以样本数据的第65百分位数为30＋10×≈38.65(元)，
所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.
法二　由法一知第65百分位数应位于[30，40)，
设为x，则0.01×10＋0.023×10＋(x－30)×0.037＝0.65，
解得x≈38.65元，
所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.
训练3　解　由题意知分别落在各区间上的频数
在[80，90)上为60×0.15＝9，
在[90，100)上为60×0.25＝15，
在[100，110)上为60×0.3＝18，
在[110，120)上为60×0.2＝12，
在[120，130]上为60×0.1＝6，
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100，110)上，
由100＋10×＝100＋≈103.3；
第75百分位数一定落在区间[110，120)上，
由110＋10×＝110＋＝112.5.
综上可知，第50百分位数和第70百分位数分别估计为103.3 cm，112.5 cm.
课堂达标
1.AC　[A中，因为第75百分位数之后的数字可能也是9.3，则A正确；
C中，因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确，
其他选项均不正确，故选AC.]
2.B　[将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11个，
由11×25%＝2.75，故25%分位数是15.]
3.6　8　[将数据从小到大排列为：2，3，3，5，6，6，7，7，8，9，故中位数为6，又10×85%＝8.5，故这一组数据的85%分位数为第9个数为8.]
4.　[样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，
样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，
所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，
估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.]总体百分位数的估计
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为(　　)
8.4 8.5 8.6 8.3
2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是(　　)
90 90.5 91 91.5
3.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)
[4.5，＋∞) [4.5，6.6)
(4.5，＋∞) (4.5，6.6]
4.某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：
毕业生 1 2 3 4 5 6
起始月薪 2 850 2 950 3 050 2 880 2 755 2 710
毕业生 7 8 9 10 11 12
起始月薪 2 890 3 130 2 940 3 325 2 920 2 880
则第85百分位数是(　　)
3 325 3 130 3 050 2 950
5.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1 000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为(　　)
42.5分钟 45.5分钟 47.5分钟 50分钟
6.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为____________，第86百分位数为________.
7.某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行某项改革的效果进行评分，评分都在[40，100]内，将所有数据按[40，50]，(50，60]，(60，70]，(70，80]，(80，90]，(90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的70%分位数为________.
8.如图是某市2024年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为________，日最低气温的第80百分位数为________.
9.(10分)求下列数据的四分位数.
13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
10.(10分)某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下：
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).求每天应该进的苹果质量(精确到整数位).
二、综合运用
11.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有(　　)
a＝13.7，b＝15.5
a＝14，b＝15
a＝12，b＝15.5
a＝14.7，b＝15
12.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
13.(13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线.
三、创新拓展
14.(16分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).
(1)A类工人中和B类工人中各应抽查多少人？
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.
表1
生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
人数 4 8 x 5 3
表2
生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
人数 6 y 36 18
先确定x，y的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60%分位数(保留两位小数).
总体百分位数的估计
1.A　[因为8×30%＝2.4，故30%分位数是由小到大排列后的第三项数据8.4.]
2.B　[把成绩按从小到大的顺序排列为
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，
因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5.]
3.A　[因为8×65%＝5.2，
所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，
则x≥4.5，故选A.]
4.B　[将这12个数据按从小到大的顺序排列：2 710，2 755，2 850，2 880，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325.
又因为12×85%＝10.20，
所以第85百分位数是第11个数据，为3 130.]
5.C　[由于10×0.01＝0.1<0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3>0.25，
故第25百分位数位于[40，50)内，
则第25百分位数为40＋×10＝47.5，
可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5.]
6.14.5　17　[∵75%×20＝15，
∴第75百分位数为＝14.5.
∵86%×20＝17.2，
∴第86百分位数为第18个数据17.]
7.80　[因为前4组数据的频率之和为0.05＋0.15＋0.2＋0.3＝0.7，所以70%分位数为80.]
8.24 ℃　16 ℃　[由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序得24，24.5，24.5，25，26，26，27，
因为共有7个数据，7×10%＝0.7不是整数，
所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据24 ℃.
把日最低气温按照从小到大排序得12，12，13，14，15，16，17，
因为共有7个数据，7×80%＝5.6，不是整数，
所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据16 ℃.]
9.解　把这12个数据按从小到大的顺序排列可得12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，
计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，
所以数据的第25百分位数为＝16.5，
第50百分位数为＝21，
第75百分位数为＝27.5.
10.解　80%地满足顾客的需求也可理解为计算这组数据的第80百分位数，
因为日销售量[60，90)的频率为0.525<0.8，
日销售量[60，100)的频率为0.875>0.8，
所以第80百分位数落在[90，100)内，
则每天应进90＋10×≈98(kg)苹果.
11.D　[把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，
其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，
因为10×50%＝5，
所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b＝＝15.]
12.BCD　[由题图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，A项错误，B项正确；
甲的成绩的第80百分位数是＝7.5，乙的成绩的第80百分位数是＝7.5，所以二者相等，C项正确；
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确.]
13.解　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.
(3)设分数的第15百分位数为x，
分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，
所以x∈[50，60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，解得x＝55，
则本次考试的及格分数线为55分.
14.解　(1)由已知可得，抽样比k＝＝，
故从A类工人中应抽查250×＝25(人)，
从B类工人中应抽查750×＝75(人).
(2)由题意知4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，
6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.
A类工人生产能力频率分布表为
生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频率 0.16 0.32 0.20 0.20 0.12
由频率分布表可知，A类工人生产能力在120以下的所占比例为16%＋32%＝48%，
A类工人生产能力在130以下的所占比例为48%＋20%＝68%，
因此，60%分位数一定位于[120，130)内.
由120＋10×＝126.00，
可以估计A类工人生产能力的样本数据的60%分位数为126.00.
B类工人生产能力频率分布表为
生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频率 0.08 0.20 0.48 0.24
由频率分布表可知，B类工人生产能力在130以下的所占比例为8%＋20%＝28%，
B类工人生产能力在140以下的所占比例为28%＋48%＝76%，
因此，60%分位数一定位于[130，140)内.
由130＋10×≈136.67，
可以估计B类工人生产能力的样本数据的60%分位数约为136.67.](共49张PPT)
第九章 9.2　用样本估计总体
9.2.2　总体百分位数的估计
课标要求
结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
观察下列两组数据：
甲组　1　2　2　2　2　3　3　3　5　5　6　6　8　8　9　10　10　12　13　13
乙组　0　0　0　0　1　1　2　3　4　5　6　6　7　7　10　14　14　14　14　15
由甲、乙两组数据知它们的中位数都是5.5，但很明显，甲组数据中，小于5.5的数普遍比乙组的大，而大于5.5的数普遍比乙组的小，也就是说，中位数并不能全面地体现数据的分布特点，那么，如何补救呢？
引入
课时精练
一、百分位数的定义
二、由样本数据求百分位数
三、利用频率分布直方图求百分位数
课堂达标
内容索引
百分位数的定义
一
探究1 请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？
提示　寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.
探究2 你能制定一下具体方案吗？
提示　把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个 数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间(13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7.
1.总体百分位数的估计
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于这个值，且至少有_____________的数据大于或等于这个值.
知识梳理
p%
(100－p)%
2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步：按__________排列原始数据.
第2步：计算i＝__________.
第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第______数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的________.
从小到大
n×p%
j项
平均数
3.四分位数
25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为__________，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
四分位数
温馨提示
中位数是第50百分位数.
例1
一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误，其它均正确.
(多选)下列表述正确的是
A.50%分位数就是总体的中位数
B.第p百分位数可以有单位
C.一个总体的四分位数有4个
D.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
√
√
√
分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据如何在最小值与最大值之间分布的信息.
思维升华
15%分位数的含义是
A.总体中任何一个数小于它的可能性是15%
B.总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%
C.总体中任何一个数大于它的可能性是15%
D.总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15%
训练1
根据第p百分位数的定义可知B正确.
√
由样本数据求百分位数
二
例2
(链接教材P203例2、P204例3)从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，
分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数.
将所有数据从小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，
95%分位数是第12个数据9.9.
思维升华
总体百分位数估计需要注意的两个问题
(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.
下列一组数据的第25百分位数是
2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6
A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5
训练2
把该组数据按照由小到大排列，可得：
2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数.
√
利用频率分布直方图求百分位数
三
例3
为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了100名同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)，其频率分布直方图如图所示，估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数.(结果保留两位小数)
法一　由频率分布直方图可得，
(0.01＋0.023)×10＝0.33，(0.01＋0.023＋0.037)×10＝0.7，
所以第65百分位数应位于[30，40)内，
法二　由法一知第65百分位数应位于[30，40)，
设为x，则0.01×10＋0.023×10＋(x－30)×0.037＝0.65，
解得x≈38.65元，
所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.
思维升华
训练3
训练3 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下这60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？
由题意知分别落在各区间上的频数
在[80，90)上为60×0.15＝9，在[90，100)上为60×0.25＝15，
在[100，110)上为60×0.3＝18，在[110，120)上为60×0.2＝12，
在[120，130]上为60×0.1＝6，
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100，110)上，
【课堂达标】
1.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是
A.这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
A中，因为第75百分位数之后的数字可能也是9.3，则A正确；
C中，因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确，
其他选项均不正确，故选AC.
√
√
2.一组数据6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，且这组数的一个四分位数是15，则它是
A.15%分位数 B.25%分位数 C.50%分位数 D.75%分位数
将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11个，
由11×25%＝2.75，故25%分位数是15.
√
3.一组数据：7，6，3，2，8，3，5，6，9，7的中位数是________；85%分位数是________.
将数据从小到大排列为：2，3，3，5，6，6，7，7，8，9，故中位数为6，又10×85%＝8.5，故这一组数据的85%分位数为第9个数为8.
6
8
4.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________.
样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，
样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，
所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，
【课时精练】
1.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为
A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3
因为8×30%＝2.4，故30%分位数是由小到大排列后的第三项数据8.4.
√
2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是
A.90 B.90.5 C.91 D.91.5
把成绩按从小到大的顺序排列为
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，
√
3.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是
A.[4.5，＋∞) B.[4.5，6.6) C.(4.5，＋∞) D.(4.5，6.6]
因为8×65%＝5.2，
√
所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，
则x≥4.5，故选A.
4.某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：
将这12个数据按从小到大的顺序排列：2 710，2 755，2 850，2 880，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325.
毕业生 1 2 3 4 5 6
起始月薪 2 850 2 950 3 050 2 880 2 755 2 710
毕业生 7 8 9 10 11 12
起始月薪 2 890 3 130 2 940 3 325 2 920 2 880
则第85百分位数是
A.3 325 B.3 130 C.3 050 D.2 950
√
又因为12×85%＝10.20，
所以第85百分位数是第11个数据，为3 130.
5.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1 000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为
A.42.5分钟 B.45.5分钟 C.47.5分钟 D.50分钟
√
由于10×0.01＝0.1<0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3>0.25，
故第25百分位数位于[40，50)内，
可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5.
6.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________.
∵75%×20＝15，
14.5
17
∵86%×20＝17.2，
∴第86百分位数为第18个数据17.
7.某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行某项改革的效果进行评分，评分都在[40，100]内，将所有数据按[40，50]，(50，60]，(60，70]，(70，80]，(80，90]，(90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图，则这次调查数据的70%分位数为______.
因为前4组数据的频率之和为0.05＋0.15＋0.2＋0.3＝0.7，所以70%分位数
为80.
80
24 ℃
8.如图是某市2024年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为________，日最低气温的第80百分位数为________.
由折线图可知, 把日最高气温按照从小到大排序得24 , 24.5 , 24.5 , 25 , 26 , 26 , 27，
16 ℃
因为共有7个数据，7×10%＝0.7不是整数，
所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据24 ℃.
把日最低气温按照从小到大排序得12，12，13，14，15，16，17，
因为共有7个数据，7×80%＝5.6，不是整数，
所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据16 ℃.
9.求下列数据的四分位数.
13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.
把这12个数据按从小到大的顺序排列可得12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，
计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，
10.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图：
80%地满足顾客的需求也可理解为计算这组数据的第80百分位数，
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).求每天应该进的苹果质量(精确到整数位).
因为日销售量[60，90)的频率为0.525<0.8，
日销售量[60，100)的频率为0.875>0.8, 所以第80百分位数落在[90，100)内，
11.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有
A.a＝13.7，b＝15.5 B.a＝14，b＝15
C.a＝12，b＝15.5 D.a＝14.7，b＝15
把该组数据按从小到大的顺序排列为10, 12 , 14 , 14 , 15 , 15 , 16 , 17 , 17 , 17 ,
√
12.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
√
√
√
13.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到频率分布直方图：
根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线.
设分数的第15百分位数为x，
分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，
所以x∈[50，60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，解得x＝55，
则本次考试的及格分数线为55分.
14.某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).
(1)A类工人中和B类工人中各应抽查多少人？
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.
表1
生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
人数 4 8 x 5 3
表2
生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
人数 6 y 36 18
先确定x，y的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60%分位数(保留两位小数).
由题意知4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，
生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频率 0.16 0.32 0.20 0.20 0.12
A类工人生产能力在130以下的所占比例为48%＋20%＝68%，
因此，60%分位数一定位于[120，130)内.
生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频率 0.08 0.20 0.48 0.24
由频率分布表可知，B类工人生产能力在130以下的所占比例为8%＋20%＝28%，

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