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10.2　事件的相互独立性
第一课时　事件的相互独立性(一)
课标要求　1.结合有限样本空间，了解两个事件相互独立的概念. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
【引入】 五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在这三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天.记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天.直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？P(A)，P(B)，P(AB)三者之间有何关系？
一、相互独立事件的概念
探究1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
相互独立事件的概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为________.
例1 (链接教材P251例1)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断两个事件是否相互独立的方法
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件.
训练1 (多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是(　　)
A.掷一枚骰子一次，事件M＝“出现偶数点”，事件N＝“出现3点或6点”
B.袋中有3个白球、2个黑球，从中依次有放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到白球”
C.袋中有3个白球、2个黑球，从中依次不放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到黑球”
D.甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M＝“从甲组中选出1名男生”，事件N＝“从乙组中选出1名女生”
二、相互独立事件的性质
探究2 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与，与B，与是否独立，你有什么发现？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.
2.一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积.
例2 一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2是(　　)
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
训练2 若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立
三、相互独立事件概率的计算
例3 (链接教材P253练习T3)根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移　本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
训练3 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有1个人译出密码的概率.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　)
A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85
2.掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为(　　)
A.相互独立　 B.互斥　 C.互为对立　 D.相等
3.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
购买A种医用外科口罩 购买B种医用外科口罩 购买C种医用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为(　 )
A.0.24 B.0.28 C.0.30 D.0.32
4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________.
第一课时　事件的相互独立性(一)
探究1　提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}.
由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
于是P(AB)＝P(A)P(B).
知识梳理
P(A)P(B)　独立
例1　①②③　[根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.]
训练1　ABD　[在A中，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，4，6}，N＝{3，6}，MN＝{6}，所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，则P(MN)＝P(M)P(N)，故事件M与N是相互独立事件.
在B中，根据有放回抽样的特点易知，事件M是否发生对事件N的发生没有影响，故M与N是相互独立事件.
在C中，由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，故M与N不是相互独立事件.
在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生相互之间没有影响，所以M与N是相互独立事件.故选ABD.]
探究2　提示　对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P().由事件的独立性定义，知A与相互独立.类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立.
例2　A　[由题意可得2表示“第二次摸到的不是白球”，即2表示“第二次摸到的是黄球”，
由于采用有放回地摸球，
故每次是否摸到黄球或白球互不影响，
故事件A1与2是相互独立事件.]
训练2　C　[因为P()＝，所以P(A)＝，
又P(B)＝，P(AB)＝，
所以有P(AB)＝P(A)P(B)，事件A与B相互独立但不一定互斥.]
例3　解　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
迁移　解　记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，
法一　则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件，
所以P(E)＝P(B＋A＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件，
所以P(E)＝1－P()＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
训练3　解　记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)2个人都译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)两个人都译不出密码的概率为
P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.
(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件互斥，
所以恰有1个人译出密码的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
课堂达标
1.B　[设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，
则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，
由事件A与B相互独立，
得“两根保险丝都熔断”为事件AB，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.85×0.74＝0.629.]
2.A　[由题意，得P(A)＝，P(B)＝，且P(AB)＝，即P(AB)＝P(A)P(B)，
又事件A，B可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；由于P(A)＋P(B)＝1，但P(A∩B)≠0，则A，B不是对立事件.
综上，A正确，B，C，D错误.]
3.B　[由表知，甲购买A口罩的概率为0.5，乙购买B口罩的概率为0.5，且甲、乙购买口罩相互独立，
所以甲、乙购买同一种口罩的概率p＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.]
4.　[设该队员每次罚球的命中率为p，
则1－p2＝，所以p＝.]事件的相互独立性(一)
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2(　　)
是互斥事件 是相互独立事件
是对立事件 不是相互独立事件
2.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为(　　)
0.48 0.4 0.32 0.24
3.甲、乙两人独立破译一份密码文件，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则甲、乙恰有一人成功破译这份文件的概率是(　　)
4.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有(　　)
掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”，事件N＝“第2次摸到白球”
分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
5.(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则(　　)
2个球不都是红球的概率是
2个球都是红球的概率是
至少有1个红球的概率是
2个球中恰好有1个红球的概率是
6.假设P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，且事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝________.
7.两人打靶，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率为________.
8.事件A，B，C相互独立，若P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________.
9.(10分)甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
(2)求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
10.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
二、综合运用
11.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为(　　)
0.960 0.864 0.720 0.576
12.小明和小杰在乒乓球比赛中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜.若两人每盘获胜的概率都是，且每盘比赛之间相互独立，互不影响，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是(　　)
13.(13分)设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完.
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；
(2)求他所耗用的子弹数X＝4的概率.
三、创新拓展
14.(15分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.
事件的相互独立性(一)
1.D　[互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错误.
而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件.]
2.D　[由题意可知，该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率计算公式可知p＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24.]
3.C　[由题意可知，甲、乙恰有一人成功破译的概率是×＋×＝.]
4.CD　[在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，事件M的发生对事件N有影响，故M，N不是相互独立事件；
在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件；
在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.]
5.BCD　[显然从两个袋中摸球互不影响，相互独立，
2个球不都是红球的概率为1－×＝，故A不正确；
2个球都是红球的概率为×＝，故B正确；
至少有一个红球的概率为1－×＝，故C正确；
2个球中恰好有1个红球的概率为×＋×＝，故D正确.]
6.0.8　[P(AB)＝P(A)P(B)＝0.3，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.6－0.3＝0.8.]
7.0.56　0.06　[设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，A与B相互独立，
则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56，
P()＝P()P()＝(1－0.8)(1－0.7)＝0.06.]
8.　[因为事件A，B，C相互独立，
解得]
9.解　(1)记“甲投篮命中”为A事件，“乙投篮命中”为B事件， 则P(A)＝，P(B)＝，
因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，
所以A与B相互独立，
那么恰好有1人命中的概率为P(A)＋P(B)＝×＋×＝.
(2)由(1)知，两人都没有命中的概率P()＝×＝，
所以至少有1人命中的概率为1－P()＝.
10.解　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A)∪(B)，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(3)易知＝，则P()＝P()＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2，故P(E)＝1－P()＝0.8.
11.B　[根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，
则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.8，
A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P()P()＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96，
则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.]
12.C　[如果再打2盘，小明连胜2盘并最后获胜的概率为×＝；
如果再打3盘，小明连胜2盘并最后获胜的概率为××＝；
如果再打4盘，小明连胜2盘并最后获胜的概率为×××＝.
所以小明连胜2盘并最后获胜的概率为＋＋＝.]
13.解　设“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P(k)＝，k＝1，2，3，4，5.
(1)他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)＝×＋×＝.
(2)P(X＝4)＝P(A12A3A4)＋P(1A234)
＝×＋×＝.
14.解　甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为
1－－＝，1－－＝.
(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.
都付0元的概率为p1＝×＝；
都付2元的概率为p2＝×＝；
都付4元的概率为p3＝×＝，
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为
p＝p1＋p2＋p3＝.
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.
所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.(共48张PPT)
第十章 10.2　事件的相互独立性
第一课时　事件的相互独立性(一)
课标要求
1.结合有限样本空间，了解两个事件相互独立的概念. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在这三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天.记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天.直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？P(A)，P(B)，P(AB)三者之间有何关系？
引入
课时精练
一、相互独立事件的概念
二、相互独立事件的性质
三、相互独立事件概率的计算
课堂达标
内容索引
相互独立事件的概念
一
探究1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}.
相互独立事件的概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为______.
知识梳理
P(A)P(B)
独立
例1
根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
(链接教材P251例1)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
①②③
判断两个事件是否相互独立的方法
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立事件.
思维升华
(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是
A.掷一枚骰子一次，事件M＝“出现偶数点”，事件N＝“出现3点或6点”
B.袋中有3个白球、2个黑球，从中依次有放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到白球”
C.袋中有3个白球、2个黑球，从中依次不放回地摸2个球，事件M＝“第一次摸到白球”，事件N＝“第二次摸到黑球”
D.甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M＝“从甲组中选出1名男生”，事件N＝“从乙组中选出1名女生”
训练1
√
√
√
在B中，根据有放回抽样的特点易知，事件M是否发生对事件N的发生没有影响，故M与N是相互独立事件.
在C中，由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，故M与N不是相互独立事件.
在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生相互之间没有影响，所以M与N是相互独立事件.故选ABD.
相互独立事件的性质
二
知识梳理
例2
√
由于采用有放回地摸球，
故每次是否摸到黄球或白球互不影响，
思维升华
互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
训练2
所以有P(AB)＝P(A)P(B)，
事件A与B相互独立但不一定互斥.
√
相互独立事件概率的计算
三
例3
(链接教材P253练习T3)根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，
迁移
法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件，
思维升华
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
训练3
类比平面向量的加减运算，给出空间向量的加减运算及运算律.
2个人都译出密码的概率为
(2)两个人都译不出密码的概率为
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有1个人译出密码的概率.
(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件互斥，所以恰有1个人译出密码的概率为
【课堂达标】
1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为
A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85
√
设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，
则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，
由事件A与B相互独立，
得“两根保险丝都熔断”为事件AB，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.85×0.74＝0.629.
2.掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为
A.相互独立 B.互斥 C.互为对立 D.相等
又事件A，B可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；
由于P(A)＋P(B)＝1，但P(A∩B)≠0，
则A，B不是对立事件.综上，A正确，B，C，D错误.
√
3.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
由表知，甲购买A口罩的概率为0.5，乙购买B口罩的概率为0.5，且甲、乙购买口罩相互独立，
所以甲、乙购买同一种口罩的概率p＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.
购买A种 医用外科口罩 购买B种 医用外科口罩 购买C种
医用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为
A.0.24 B.0.28 C.0.30 D.0.32
√
设该队员每次罚球的命中率为p，
【课时精练】
1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2
A.是互斥事件 B.是相互独立事件
C.是对立事件 D.不是相互独立事件
互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错误.
√
而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件.
2.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为
A.0.48 B.0.4 C.0.32 D.0.24
由题意可知，该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率计算公式可知p＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24.
√
√
4.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”，事件N＝“第2次摸到白球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，事件M的发生对事件N有影响，故M，N不是相互独立事件；
√
√
√
√
√
显然从两个袋中摸球互不影响，相互独立，
6.假设P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，且事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝________.
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.3，
0.8
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝0.5＋0.6－0.3＝0.8.
7.两人打靶，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率为________.
设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，A与B相互独立，
0.56
0.06
则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56，
因为事件A，B，C相互独立，
(1)求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，
所以A与B相互独立，
(2)求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
10.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.
易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
√
11.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，
√
甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为
租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.
设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.

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