人教A版(2019)必修 第二册周 测卷7 (范围:§8.6)(课件+练习,2份打包)

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人教A版(2019)必修 第二册周 测卷7 (范围:§8.6)(课件+练习,2份打包)

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周测卷7
(范围:§8.6)
(时间:50分钟 满分:100分)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能使a⊥b成立的是(  )
a⊥c,b⊥c α⊥β,a α,b β
a⊥α,b∥α a⊥α,b⊥α
2.如图,把等腰Rt△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则直线AC与平面ABD所成角的正弦值为(  )
1
3.如图,若MC⊥菱形ABCD所在的平面,则MA与BD的位置关系是(  )
平行 垂直相交 垂直但不相交 相交但不垂直
      
     第3题图        第5题图       第6题图
4.若P为△ABC所在平面外一点,分别连接PA,PB,PC,则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为(  )
1 2 3 4
5.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为梯形,AB∥DC,则在平面PBC内(  )
一定存在与CD平行的直线 一定存在与AD平行的直线
一定存在与AD垂直的直线 不存在与CD垂直的直线
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(  )
平面ABD⊥平面ABC 平面ADC⊥平面BDC
平面ABC⊥平面BDC 平面ADC⊥平面ABC
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的有(  )
如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β
如果m α,α∥β,那么m∥β
如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥l
如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的有(  )
A1C1⊥BD
异面直线B1C与BD所成的角为60°
二面角A1-BC-D的大小为45°
AC1与平面ABCD所成的角为45°
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AA′⊥A′B′,BB′⊥A′B′,且AA′=3,BB′=4,A′B′=2,则三棱锥A-A′BB′的体积V=________.
      
      第9题图       第10题图     第11题图
10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上.当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
11.如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧面都是等边三角形,动点P在表面上运动,并且总保持PB⊥SC,则动点P从点B出发再回到点B,其路程为________.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AC,CD1的中点.求证:
(1)PQ∥平面ADD1A1;
(2)PQ⊥A1C.
13.(15分)如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
14.(15分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AB=2,PD与平面ABCD所成的角为45°,M为PC的中点.
(1)求证:平面PAC⊥平面BDM;
(2)求二面角C-MD-B的正切值.
周测卷7 (范围:§8.6)
1.C [由a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,得:
在A中,∵a⊥c,b⊥c,∴a,b相交、平行或异面,故A错误;
在B中,∵α⊥β,a α,b β,∴a,b相交、平行或异面,故B错误;
在C中,∵a⊥α,b∥α,∴由线面垂直的性质定理得a⊥b,故C正确;
在D中,∵a⊥α,b⊥α,∴由线面垂直的性质定理得a∥b,故D错误.]
2.A [由题意知,CD⊥平面ABD,
∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角,
又CD=AD,∴sin ∠CAD=.]
3.C [因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
因为MC⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,
所以BD⊥MC.
因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.
因为MA 平面AMC,所以MA⊥BD.
显然直线MA与直线BD不共面,
因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.]
4.D [设△ABC为直角三角形,过一锐角顶点A作PA⊥平面ABC,则构成的4个三角形都是直角三角形.]
5.C [由题意知,选项A中,∵CD∩平面PBC=C,
∴在平面PBC内没有直线与CD平行,故A错误;
选项B中,∵底面ABCD为梯形,∴AD与BC相交,即与平面PBC相交,∴在平面PBC内没有直线与AD平行,故B错误;
选项C中,∵AD与平面PBC相交,∴在平面PBC内一定存在与AD垂直的直线,故C正确;
选项D中,∵CD∩平面PBC=C,∴在平面PBC内一定存在与CD垂直的直线,故D错误.]
6.D [因为AD∥BC,∠BAD=90°,AD=AB,
所以∠ABD=∠ADB=∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠CDB=90°,即CD⊥BD.
又因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
CD 平面BCD,CD⊥BD,
所以CD⊥平面ABD.
若平面ABC⊥平面ABD,那么CD 平面ABC,
显然不成立,故A错误;
因为CD⊥平面ABD,AB 平面ABD,
所以CD⊥AB.
又AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD 平面ADC,
所以AB⊥平面ADC.
又因为AB 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ADC,故D正确;
因为平面ABD⊥平面BCD,如图,
过点A作平面BCD的垂线AE,垂足落在BD上,
显然垂线不在平面ABC内,
所以平面ABC与平面BDC不垂直,
故C错误,同理B也错误.]
7.ABC [如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么由面面垂直的判定定理可得α⊥β,故A正确;
如果m α,α∥β,那么由面面平行的性质可得m∥β,故B正确;
如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么由线面平行的性质定理可得m∥l,故C正确;
如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么平面α,β平行或相交,故D错误.]
8.ABC [如图,对于A,连接AC,则AC⊥BD.
∵A1C1∥AC,
∴A1C1⊥BD,故A正确.
对于B,连接A1D,A1B,
∵B1C∥A1D,
∴∠A1DB即为B1C与BD所成的角(或其补角).
∵△A1DB为等边三角形,
∴B1C与BD所成的角为60°,故B正确.
对于C,∵BC⊥平面A1ABB1,A1B 平面A1ABB1,
∴BC⊥A1B.
∵AB⊥BC,
∴∠ABA1是二面角A1-BC-D的平面角.
∵△A1AB是等腰直角三角形,
∴∠ABA1=45°,故C正确.
对于D,∵C1C⊥平面ABCD,
∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角.
∵AC≠C1C,
∴∠C1AC≠45°,故D错误.]
9.4 [∵α⊥β,α∩β=A′B′,AA′ α,AA′⊥A′B′,
∴AA′⊥β.
∴V=S△A′BB′·AA′
=×·AA′
=××2×4×3=4.]
10.a或2a [连接CD(图略).
由已知得△A1B1C1是等腰直角三角形,A1B1=B1C1,D是A1C1的中点,
∴B1D⊥A1C1.
∵平面A1B1C1⊥平面A1ACC1,
平面A1B1C1∩平面A1ACC1=A1C1,
∴B1D⊥平面A1ACC1.
又∵CF 平面A1ACC1,∴B1D⊥CF.
若CF⊥平面B1DF,则CF⊥DF.
设AF=x(0≤x≤3a),则CF2=x2+4a2,
DF2=a2+(3a-x)2,CD2=10a2,
在Rt△CDF中,10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,
解得x=a或x=2a.]
11.2+2 [四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧面都是等边三角形,
则AB=BC=CD=AD=SA=SB=SC=SD=2,
如图,取SC的中点E,连接BE,DE,
则有BE⊥SC,DE⊥SC,
又BE∩DE=E,BE 平面BDE,DE 平面BDE,
所以SC⊥平面BDE.
因为动点P在表面上运动,并且总保持PB⊥SC,
所以点P的运动轨迹为线段BE,DE,DB.
在正方形ABCD中,AB=2,则BD=2,
在等边三角形SBC中,BE=,同理DE=,
故动点P从点B出发到再回到点B,
其路程为BE+DE+BD=2+2.]
12.证明  (1)连接AD1,如图所示.
∵P,Q分别为AC,CD1的中点,
∴PQ∥AD1,
又PQ 平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,
∴PQ∥平面ADD1A1.
(2)连接A1D.
∵CD⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,
∴CD⊥AD1,
又A1D⊥AD1,A1D∩CD=D,
∴AD1⊥平面CDA1,
又A1C 平面CDA1,∴A1C⊥AD1.
由(1)知,PQ∥AD1,故PQ⊥A1C.
13.证明  (1)设BD=a,如图,
作DF∥BC交CE于F,
则CF=DB=a.
因为CE⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以BC⊥CE,所以DF⊥EC,
所以DE==a.
又因为BD∥CE,
所以DB⊥平面ABC.
因为AB 平面ABC,
所以DB⊥AB,
所以DA==a,
所以DE=DA.
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,
则MN綉CE綉DB.
所以四边形MNBD为平行四边形,
所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC,BN 平面ABC,
所以EC⊥BN,所以EC⊥MD.
又DE=DA,M为EA的中点,
所以DM⊥AE.
因为AE,EC 平面AEC,AE∩EC=E,
所以DM⊥平面AEC,
又DM 平面BDM,
所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)知DM⊥平面AEC,
又DM 平面DEA,
所以平面DEA⊥平面ECA.
14.(1)证明 因为底面ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因为PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为BD 平面BDM,
所以平面PAC⊥平面BDM.
(2)解 设AC与BD交于点O,连接OM,
过点O作OH⊥MD于点H,连接HC,如图.
因为M为PC的中点,O为AC的中点,所以OM∥PA.
因为PA⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以PA⊥AC,
则OM⊥AC.
因为平面PAC⊥平面BDM,
OM为两个平面的交线,
所以AC⊥平面BDM.
又MD 平面BDM,所以OC⊥MD.
因为OH⊥MD,OH∩OC=O,OH,OC 平面OHC,
所以MD⊥平面OHC.
又HC 平面OHC,所以MD⊥HC,
则∠OHC为二面角C-MD-B的平面角.
因为PA⊥平面ABCD,
所以∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角.
因为PD与平面ABCD所成的角为45°,
所以∠PDA=45°,则PA=AD=AB=2,
所以OM=1,OD=,
所以MD=2,OH=,OC=1.
因为OC⊥平面BDM,OH 平面BDM,
所以OH⊥OC,
所以在Rt△OHC中,tan∠OHC==,
即二面角C-MD-B的正切值为.(共27张PPT)
周测卷7 (范围:§8.6)
(时间:50分钟 满分:100分)

一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能使a⊥b成立的是
A.a⊥c,b⊥c B.α⊥β,a?α,b?β
C.a⊥α,b∥α D.a⊥α,b⊥α
由a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,得:
在A中,∵a⊥c,b⊥c,∴a,b相交、平行或异面,故A错误;
在B中,∵α⊥β,a?α,b?β,∴a,b相交、平行或异面,故B错误;
在C中,∵a⊥α,b∥α,∴由线面垂直的性质定理得a⊥b,故C正确;
在D中,∵a⊥α,b⊥α,∴由线面垂直的性质定理得a∥b,故D错误.

由题意知,CD⊥平面ABD,
2.如图,把等腰Rt△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则直线AC与平面ABD所成角的正弦值为

因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
3.如图,若MC⊥菱形ABCD所在的平面,则MA与BD的位置关系是
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
因为MC⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以BD⊥MC.
因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.
因为MA?平面AMC,所以MA⊥BD.
显然直线MA与直线BD不共面,
因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.

4.若P为△ABC所在平面外一点,分别连接PA,PB,PC,则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为
A.1 B.2 C.3 D.4
设△ABC为直角三角形,过一锐角顶点A作PA⊥平面ABC,则构成的4个三角形都是直角三角形.

由题意知,选项A中,∵CD∩平面PBC=C,∴在平面PBC内没有直线与CD平行,故A错误;
5.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为梯形,AB∥DC,则在平面PBC内
A.一定存在与CD平行的直线 B.一定存在与AD平行的直线
C.一定存在与AD垂直的直线 D.不存在与CD垂直的直线
选项B中,∵底面ABCD为梯形,∴AD与BC相交,即与平面PBC相交,
∴在平面PBC内没有直线与AD平行,故B错误;
选项C中,∵AD与平面PBC相交,∴在平面PBC内一定存在与AD垂直的直线,故C正确;
选项D中,∵CD∩平面PBC=C,∴在平面PBC内一定存在与CD垂直的直线,故D错误.

6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是
A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC
所以∠ABD=∠ADB=∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠CDB=90°,即CD⊥BD.
又因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
CD?平面BCD,CD⊥BD,
所以CD⊥平面ABD.
若平面ABC⊥平面ABD,那么CD?平面ABC,
显然不成立,故A错误;
因为CD⊥平面ABD,AB?平面ABD,所以CD⊥AB.
又AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ADC,
所以AB⊥平面ADC.
又因为AB?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ADC,故D正确;
因为平面ABD⊥平面BCD,如图,
过点A作平面BCD的垂线AE,垂足落在BD上,
显然垂线不在平面ABC内,
所以平面ABC与平面BDC不垂直,
故C错误,同理B也错误.
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的有
A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β
B.如果m?α,α∥β,那么m∥β
C.如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥l
D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β

如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么由面面垂直的判定定理可得α⊥β,故A正确;


如果m?α,α∥β,那么由面面平行的性质可得m∥β,故B正确;
如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么由线面平行的性质定理可得m∥l,
故C正确;
如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么平面α,β平行或相交,故D错误.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的有
A.A1C1⊥BD
B.异面直线B1C与BD所成的角为60°
C.二面角A1-BC-D的大小为45°
D.AC1与平面ABCD所成的角为45°
如图,对于A,连接AC,则AC⊥BD.



∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥BD,故A正确.
对于B,连接A1D,A1B,∵B1C∥A1D,
∴∠A1DB即为B1C与BD所成的角(或其补角).
∵△A1DB为等边三角形,∴B1C与BD所成的角为60°,故B正确.
对于C,∵BC⊥平面A1ABB1,A1B?平面A1ABB1,
∴BC⊥A1B.
∵AB⊥BC,∴∠ABA1是二面角A1-BC-D的平面角.
∵△A1AB是等腰直角三角形,
∴∠ABA1=45°,故C正确.
对于D,∵C1C⊥平面ABCD,
∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角.
∵AC≠C1C,∴∠C1AC≠45°,故D错误.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AA′⊥A′B′,BB′⊥A′B′,且AA′=3,BB′=4,A′B′=2,则三棱锥A-A′BB′的体积V=________.
4
10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上.当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
连接CD(图略).
a或2a
由已知得△A1B1C1是等腰直角三角形,A1B1=B1C1,D是A1C1的中点,
∴B1D⊥A1C1.
∵平面A1B1C1⊥平面A1ACC1,平面A1B1C1∩平面A1ACC1=A1C1,
∴B1D⊥平面A1ACC1.
又∵CF?平面A1ACC1,∴B1D⊥CF.
若CF⊥平面B1DF,则CF⊥DF.
设AF=x(0≤x≤3a),则CF2=x2+4a2,
DF2=a2+(3a-x)2,CD2=10a2,
在Rt△CDF中,10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,
解得x=a或x=2a.
11.如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧面都是等边三角形,动点P在表面上运动,并且总保持PB⊥SC,则动点P从点B出发再回到点B,其路程为____________.
四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧面都是等边三角形,
则有BE⊥SC,DE⊥SC,又BE∩DE=E,BE?平面BDE,
DE?平面BDE,所以SC⊥平面BDE.
因为动点P在表面上运动,并且总保持PB⊥SC,
所以点P的运动轨迹为线段BE,DE,DB.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AC,CD1的中点.求证:
(1)PQ∥平面ADD1A1;
连接AD1,如图所示.
∵P,Q分别为AC,CD1的中点,
∴PQ∥AD1,
又PQ?平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,
∴PQ∥平面ADD1A1.
连接A1D.
(2)PQ⊥A1C.
∵CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,
∴CD⊥AD1,
又A1D⊥AD1,A1D∩CD=D,
∴AD1⊥平面CDA1,
又A1C?平面CDA1,∴A1C⊥AD1.
由(1)知,PQ∥AD1,故PQ⊥A1C.
13.(15分)如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:
设BD=a,如图,
(1)DE=DA;
作DF∥BC交CE于F,
则CF=DB=a.
因为CE⊥平面ABC,BC?平面ABC,
所以BC⊥CE,所以DF⊥EC,
又因为BD∥CE,
所以DB⊥平面ABC.
因为AB?平面ABC,
所以DB⊥AB,
(2)平面BDM⊥平面ECA;
取CA的中点N,连接MN,BN,
所以四边形MNBD为平行四边形,所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC,BN?平面ABC,
所以EC⊥BN,所以EC⊥MD.
又DE=DA,M为EA的中点,所以DM⊥AE.
因为AE,EC?平面AEC,AE∩EC=E,所以DM⊥平面AEC,
又DM?平面BDM,所以平面BDM⊥平面ECA.
由(2)知DM⊥平面AEC,
(3)平面DEA⊥平面ECA.
又DM?平面DEA,
所以平面DEA⊥平面ECA.
14.(15分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AB=2,PD与平面ABCD所成的角为45°,M为PC的中点.
(1)求证:平面PAC⊥平面BDM;
因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.
又因为PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为BD?平面BDM,所以平面PAC⊥平面BDM.
设AC与BD交于点O,连接OM,
(2)求二面角C-MD-B的正切值.
过点O作OH⊥MD于点H,连接HC,如图.
因为M为PC的中点,O为AC的中点,所以OM∥PA.
因为PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以PA⊥AC,则OM⊥AC.
因为平面PAC⊥平面BDM,OM为两个平面的交线,
所以AC⊥平面BDM.
又MD?平面BDM,所以OC⊥MD.
因为OH⊥MD,OH∩OC=O,OH,OC?平面OHC,
所以MD⊥平面OHC.
又HC?平面OHC,所以MD⊥HC,
则∠OHC为二面角C-MD-B的平面角.
因为PA⊥平面ABCD,
所以∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角.
因为PD与平面ABCD所成的角为45°,
所以∠PDA=45°,则PA=AD=AB=2,

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