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几何体的展开图—浙教版数学九（下）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1．下面图形中，是直三棱柱的表面展开图的是(　　)
A． B．
C． D．
2．如图，这是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（　　）
A．文 B．明 C．典 D．范
3．图是一个多面体的表面展开图， 每个面都标注了数字． 若多面体的底面是面③， 则多面体的上面是(　　)
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
4．下列图形中，不是立方体的表面展开图的是(　　)
A． B． C． D．
5．下列图形中， 属于长方体的表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
6．一个长方体的表面展开图如图所示，将其折叠成长方体，所得的立体图形是(　　)
A． B． C． D．
7．如图，这是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点距离最远的顶点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
9．（2024七上·惠来期中）如图是一个长方体的表面展开图(由6个矩形组成)，请解答下列问题．
（1）如果A面在长方体的底部，那么字母 面在上面．
（2）如果F面在长方体的前面，B面在左面，那么字母 面在上面．
（3）如果矩形A的短边为，矩形B的长边为，矩形D的短边为．求出这个长方体的体积V．
阅卷人 二、能力提升
得分
10．下面各图是圆柱的展开图的是(π取3.14)（　　）
A． B．
C． D．
11．图①为图②直三棱柱的表面展开图，其中AE，BF，CG，DH是侧棱.若图①中，AD=10，CD=2，则AB的长度可能是(　　)
A．2. B．3. C．3.5. D．5.
12．如图所示，点A，B是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中B点的位置为（　　）
A．B1 B．B2 C．B3 D．B4
13．将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是　 　，原几何体相对的两个面上的数之和最大是　 　.
14．（2024七上·临平开学考）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 　 　号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 　 　组，这个长方体的体积是 　 　．
15．（2021七上·平远期末）在如图所示的六个方格中，分别填入-2；4；；8；；，使围成正方体后相对两面的两个数互为倒数．
16．（2021八下·金东期末）如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）.已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）.
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
阅卷人 三、拓展创新
得分
17．（2024七上·南海期中）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
（1）共有_______种弥补方法；
（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
（3）在你帮忙设计成功的图中，要把，8，10，，，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加等0（直接在图中填上）
18．（2023八下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1 厂商在生产产品时，对产品外包装的材料，通常要考虑尽可能地合理利用，减少浪费。圆柱体形状的物品，它的外包装盒通常都是长方体，且上下底面为正方形。
素材2 设计产品外包装时，我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率。一种材料利用率较高的裁剪方式如图所示，采用正方形纸板裁剪，只需剪掉四条边上的四个小三角形。 按这种方式包装一个底面直径为2，高为1的圆柱体(接缝处的材料损耗不计)，损耗率只有≈11.1%．
问题解决
任务1 现采用一张边长为4 cm的正方形纸，按如图所示的裁剪方式剪掉各边上的四个三角形后，可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒，设圆柱体的底面半径为r，则它的高h= ▲ (用r的代数式表示)
任务2 在上图中，若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，求这个圆柱体的底面半径r
任务3 现利用两块同样大小的正方形纸板，按如图方式裁剪后，可包装两个高分别为4和2的圆柱体，发现这两个圆柱体的体积恰好相等．求第一个圆柱体的底面半径．(圆柱体的体积=底面积×高)
19．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素 材 1 如图1是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示.
素 材 2 如图3、图4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种一边均为a(cm)(a<50)的矩形纸板.
纸板①(单位：cm) 纸板②(单位：cm)
小琴分别将纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
纸板①的制作方式 纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒. 将纸片四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒。
目 标 1 熟悉材料 ⑴若按照纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全放入储物区域，则长方形纸板的宽a= cm.
目 标 2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究.
初步应用 ⑵按照纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm 时，求储物盒的容积.
储物收纳 ⑶按照纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm .家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否完全放入储物盒.
20．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角， 就是将直线平移使其相交所成的角．例如， 正方体 (图①)， 因为在平面 中， 与 相交于点 ， 所以直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
（1）解决问题
如图①， 已知正方体 ， 求既不相交也不平行的两直线 与 所成角的大小．
（2） 如图 ②， 是正方体相邻两个面上的点．
①如图 K27-16 的甲、乙、丙三个图形中， 只有一个图形可以作为图②的展开图， 这个图形是 ▲
②在所选正确展开图中， 若点 到 的距离分别是 2 和 5 ， 点 到 的距离分别是 4 和 是 上一动点， 求 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、是三棱锥的展开图，不符合题意；
B、侧面不是平行四边形，不是三棱柱的展开图，不符合题意；
C、中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，是三棱柱的表面展开图
D、没有底面，不是三棱柱的展开图，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用直三棱柱及其表面展开图的特点解答即可．
2．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：
“城”字对面的字是明
故答案为：B
【分析】根据正方体的展开图性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：图是长方体的表面展开图，面③的相对面与它相隔一列，只有面⑤.
故答案为：C.
【分析】只需找出面③相对面即可.
4．【答案】D
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A、B、C都是立方体的表面展开图，D不是立方体的表面展开图.
故答案为：D.
【分析】根据立方体表面展开图中没有“田”字形判断.
5．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，属于长方体的表面展开图是 .
故答案为：C.
【分析】根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点选出长方体展开图即可.
6．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵通过长方体展开图可知折叠的长方体两侧面和两底都有阴影，其它两面没有阴影
∴ABC不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由立体图形的展开图及平面图形的折叠，观察图形特点即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：
复原正方体可得：
则K与点D的距离最远
故答案为：D
【分析】复原正方体，结合正方体的性质即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
9．【答案】（1）F
（2）C
（3）解：矩形A的短边为，矩形B的长边为，矩形D的短边为，
长方体的长为，宽为，高为，
即长方体的体积．
【知识点】含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：（1）面“A”与面“F”相对，
A面在长方体的底部时，F面在上面；
解：（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面在下面，
C面与E面是相对面，
C面会在上面.
【分析】（1）由长方体的表面展开图，根据相对的面之间一定相隔一个长方形，确定出A的相对面，即可得解；
（2）根据题意，先确定出下面的面，再根据长方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个长方形确定出相对面，即可得解；
（3）根据题意，得出长方体的长为，宽为，高为，结合长方体的体积=长×宽×高计算，即可得到答案．
（1）解：面“A”与面“F”相对，
A面在长方体的底部时，F面在上面；
（2）解：由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面在下面，
C面与E面是相对面，
C面会在上面；
（3）解：矩形A的短边为，矩形B的长边为，矩形D的短边为，
长方体的长为，宽为，高为，
即长方体的体积．
10．【答案】C
【知识点】圆柱的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
圆半径r=3
∴矩形长=圆周长=2 π r=2×3.14×3=18.84
故答案为：C
【分析】根据圆柱侧面展开j矩形长为圆的周长即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图可知，，
，，
，
设，则，
所以，
解不等式①得，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
∴AB长度的取值范围是，
∴AB的长度可能是3.5．
故答案为：C
【分析】根据图形可知，先求出AB与BC的和，然后设，表示出，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组，求解得到AB的取值范围，即可得解．
12．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：
将展开图恢复成正方体，①面成为了正方体的右面，A，B2在正方体对角线两端，A，B也在体对角线两端
故答案为：B
【分析】将展开图复原，根据A，B点的位置即可求出答案.
13．【答案】长方体（或直四棱柱）；8
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是长方体（或直四棱柱），
由图可知：1与6相对，2与4相对，3与5相对，
∴1+6=7，2+4=6，3+5=8，
∴相对的两个面上的数之和最大是8，
故答案为：长方体（或直四棱柱）；8．
【分析】根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可．
14．【答案】6；；
【知识点】几何体的展开图；长方体的顶点、棱、面的特点；含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：根据长方体的面积展开图的“相间、z端是对面”可得：
“1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面，
“1和3”的邻面有“2、4、5、6”，其中1+2=3，1+4=5，1+6=7，3+2=5，3+4=7，即相连两个面上的数字和为质数有5组，
“2和6”的邻面有“1、3、4、5”，其中2+1=3，2+3=5，2+5=7，6+1=7，6+5=11，即相连两个面上的数字和为质数有5组，
“4和5”的邻面有“1、2、3、6”，其中4+1=5，4+3=7，5+2=7，5+6=11，即相连两个面上的数字和为质数有4组，
综上所述，围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的共有5+5+4=14（组）；
由相对的面可知，
当2号面是长方体底面时，则6号面位长方体的上面，
3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形，
5、6号面的较长的边长为（63-3×3）÷3÷2=9（cm），
因此这个长方体可以看作底面是边长为3cm的正方形，高为9cm，
∴体积为3×3×9=81（cm3），
故答案为：6，14，81．
【分析】先根据长方体表面展开图的“相间、z端是对面”判断出相对的面，进而得到相邻的面，再由邻面中数字之和为质数的组数，再根据3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形.求出3、6两个面的长，进而得到长方体的长、宽、高，最后由体积的计算方法进行计算即可.
15．【答案】解：根据互为倒数的两个数特点可得：-2和-是相对面，4和是相对面，8和是相对面；再根据正方体的表面展开图的特点填入即可；
如图所示，填法不唯一
【知识点】有理数的倒数；几何体的展开图
【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答。
16．【答案】（1）解：根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，
由勾股定理可得：MG＝GN＝ x，MN＝ 2x
∵正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120
∴x+2x+x＝120，解得：x＝30，
∴正方体的底面边长a＝30 ，
∴V＝a3＝ ＝5400 （cm3）；
答：这个工艺盒的体积是5400 cm3；
（2）解：设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a＝ x，h＝ ＝ （60﹣x），
∴S＝4ah＝4 x （60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，
∵0＜x＜60，
∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2.
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设CM＝DN＝x（cm），根据折成的工艺盒恰好是个正方体，利用勾股定理表示出MG，MN的长，根据正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到正方形的底面边长，然后求出这个工艺盒的体积；
（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，用含x的代数式表示出a，h，再列出S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
17．【答案】（1）4
（2）解：由“中间4联方，上下各一个”可得：
（3）解：根据“折成的正方体相对面上的两个数相加等0”可得：
【知识点】正方体的几种展开图的识别；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】（1）解：根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，
故答案为：4.
【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；（2）利用（1）的分析画出图形即可；
（3）根据（1）中的4中弥补方法可得折叠后的立方体，并结合正方体展开图特征“相对的面之间一定相隔一个正方形”把数字填上即可(答案不唯一)．
18．【答案】解：任务一：4- 2r；
任务二：由题意，可得= 16%，
解得h=1.6
由h=4- 2r，得4- 2r= 1.6
得r=1.2；
任务三：设两个圆柱的底面半径分别为r和R，则有2r+4=2R+2
得R=r+1
由题意，得4rπr2=2π(r+1)2
解得r1=1+，r2=1- (不合题意，舍去)
答：第一个圆柱体的底面半径为1+．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；等腰直角三角形；圆柱的体积
【解析】【解答】解：任务一：
在等腰直角△AOG中，
2AO2=AG2=32，
解之：AO=4，
∵OF=DE=CE=r，EF=h，
∴2r+h=4，
∴h=4-2r.
故答案为：4-2r
【分析】任务一：根据图形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AO的长，同时可证得OF=DE=CE=r，EF=h，即可得到h与r的关系.
任务二：根据已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，可得到关于h的方程，解方程求出h的值，然后根据h=4-2r，代入计算求出h的值.
任务三：两个圆柱的底面半径分别为r和R，可得到R与r之间的关系式，再根据这两个圆柱体的体积恰好相等，可得到关于r的方程，解方程求出符合题意r的值.
19．【答案】解：⑴40；
⑵设小正方形的长为x，
由题意可得：，
整理得：
解得：（舍去）
储物盒的容积 ：
故答案为：
⑶不能.设小长方形的宽为xcm，长为ycm，由题意得：，解得：∴ 储物盒的高为11， 机械狗的高为18，∴ 机械狗不能完全放入储物盒.
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：⑴ 裁去角上4个相同的小正方形的长为：cm，
∴，解得：a=40
故答案为：40.
【分析】（1）由题意可得小正方形的长为5cm，进而求得a=40；
（2）设小正方形的长为x，根据矩形得面积公式，列出方程，进而解得，再利用体积公式，计算求解即可；
（3）设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据题意列出二元一次房出组，计算求解即可.
20．【答案】（1）如图①， 连结 ．
设立方体的棱长为a，
∵A'B是正方形A'B'BA的对角线，BC'是正方形B'C'CB的对角线，A'C'是正方形A'B'C'D'的对角线，
∴A'B=，BC'=，
是等边三角形．
．
∵对角面A'C'CA是矩形，
，
是两条直线 与 所成的角．
两直线 与 所成的角为 ．
（2）①丙
②如图 ②， 作点 关于 的对称点 ， 连结 交 于 ， 连结 ， 此时 的值最小， 最小值为线段 的长， 过点 作 于 ．
由题意， 在 Rt 中， ， ，
．
的最小值 10 ．
【知识点】立体图形的初步认识；等边三角形的判定与性质；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解： (2) ① 甲图中M与N在相对面上，与图②M与N在相邻面上不相符，故甲不能作为图②的展开图；乙中上面两个正方形，折叠后重合，故乙不能作为图②的展开图；丙图符合图②的展开图.
故答案为：丙.
【分析】(1)先利用三边相等的三角形是等边三角形，判定是等边三角形，可得出，再根据阅读材料中的空间两直线的交角的定义求解；
（2） ①从图②的特征及立方体的展开，两方面入手，判断甲、乙、丙是否是图②的展开图；
②作点 关于 的对称点 ， 连结 交 于 ， 连结 ， 此时 的值最小， 最小值为线段 的长， 过点 作 于 ，利用勾股定理求出MK，即为PM+PN的最小值.
1 / 1几何体的展开图—浙教版数学九（下）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1．下面图形中，是直三棱柱的表面展开图的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、是三棱锥的展开图，不符合题意；
B、侧面不是平行四边形，不是三棱柱的展开图，不符合题意；
C、中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，是三棱柱的表面展开图
D、没有底面，不是三棱柱的展开图，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用直三棱柱及其表面展开图的特点解答即可．
2．如图，这是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（　　）
A．文 B．明 C．典 D．范
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：
“城”字对面的字是明
故答案为：B
【分析】根据正方体的展开图性质即可求出答案.
3．图是一个多面体的表面展开图， 每个面都标注了数字． 若多面体的底面是面③， 则多面体的上面是(　　)
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：图是长方体的表面展开图，面③的相对面与它相隔一列，只有面⑤.
故答案为：C.
【分析】只需找出面③相对面即可.
4．下列图形中，不是立方体的表面展开图的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A、B、C都是立方体的表面展开图，D不是立方体的表面展开图.
故答案为：D.
【分析】根据立方体表面展开图中没有“田”字形判断.
5．下列图形中， 属于长方体的表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，属于长方体的表面展开图是 .
故答案为：C.
【分析】根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点选出长方体展开图即可.
6．一个长方体的表面展开图如图所示，将其折叠成长方体，所得的立体图形是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵通过长方体展开图可知折叠的长方体两侧面和两底都有阴影，其它两面没有阴影
∴ABC不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由立体图形的展开图及平面图形的折叠，观察图形特点即可得出答案.
7．如图，这是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点距离最远的顶点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：
复原正方体可得：
则K与点D的距离最远
故答案为：D
【分析】复原正方体，结合正方体的性质即可求出答案.
8．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
9．（2024七上·惠来期中）如图是一个长方体的表面展开图(由6个矩形组成)，请解答下列问题．
（1）如果A面在长方体的底部，那么字母 面在上面．
（2）如果F面在长方体的前面，B面在左面，那么字母 面在上面．
（3）如果矩形A的短边为，矩形B的长边为，矩形D的短边为．求出这个长方体的体积V．
【答案】（1）F
（2）C
（3）解：矩形A的短边为，矩形B的长边为，矩形D的短边为，
长方体的长为，宽为，高为，
即长方体的体积．
【知识点】含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：（1）面“A”与面“F”相对，
A面在长方体的底部时，F面在上面；
解：（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面在下面，
C面与E面是相对面，
C面会在上面.
【分析】（1）由长方体的表面展开图，根据相对的面之间一定相隔一个长方形，确定出A的相对面，即可得解；
（2）根据题意，先确定出下面的面，再根据长方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个长方形确定出相对面，即可得解；
（3）根据题意，得出长方体的长为，宽为，高为，结合长方体的体积=长×宽×高计算，即可得到答案．
（1）解：面“A”与面“F”相对，
A面在长方体的底部时，F面在上面；
（2）解：由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面在下面，
C面与E面是相对面，
C面会在上面；
（3）解：矩形A的短边为，矩形B的长边为，矩形D的短边为，
长方体的长为，宽为，高为，
即长方体的体积．
阅卷人 二、能力提升
得分
10．下面各图是圆柱的展开图的是(π取3.14)（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆柱的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
圆半径r=3
∴矩形长=圆周长=2 π r=2×3.14×3=18.84
故答案为：C
【分析】根据圆柱侧面展开j矩形长为圆的周长即可求出答案.
11．图①为图②直三棱柱的表面展开图，其中AE，BF，CG，DH是侧棱.若图①中，AD=10，CD=2，则AB的长度可能是(　　)
A．2. B．3. C．3.5. D．5.
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图可知，，
，，
，
设，则，
所以，
解不等式①得，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
∴AB长度的取值范围是，
∴AB的长度可能是3.5．
故答案为：C
【分析】根据图形可知，先求出AB与BC的和，然后设，表示出，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组，求解得到AB的取值范围，即可得解．
12．如图所示，点A，B是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中B点的位置为（　　）
A．B1 B．B2 C．B3 D．B4
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：
将展开图恢复成正方体，①面成为了正方体的右面，A，B2在正方体对角线两端，A，B也在体对角线两端
故答案为：B
【分析】将展开图复原，根据A，B点的位置即可求出答案.
13．将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是　 　，原几何体相对的两个面上的数之和最大是　 　.
【答案】长方体（或直四棱柱）；8
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是长方体（或直四棱柱），
由图可知：1与6相对，2与4相对，3与5相对，
∴1+6=7，2+4=6，3+5=8，
∴相对的两个面上的数之和最大是8，
故答案为：长方体（或直四棱柱）；8．
【分析】根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可．
14．（2024七上·临平开学考）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 　 　号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 　 　组，这个长方体的体积是 　 　．
【答案】6；；
【知识点】几何体的展开图；长方体的顶点、棱、面的特点；含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：根据长方体的面积展开图的“相间、z端是对面”可得：
“1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面，
“1和3”的邻面有“2、4、5、6”，其中1+2=3，1+4=5，1+6=7，3+2=5，3+4=7，即相连两个面上的数字和为质数有5组，
“2和6”的邻面有“1、3、4、5”，其中2+1=3，2+3=5，2+5=7，6+1=7，6+5=11，即相连两个面上的数字和为质数有5组，
“4和5”的邻面有“1、2、3、6”，其中4+1=5，4+3=7，5+2=7，5+6=11，即相连两个面上的数字和为质数有4组，
综上所述，围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的共有5+5+4=14（组）；
由相对的面可知，
当2号面是长方体底面时，则6号面位长方体的上面，
3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形，
5、6号面的较长的边长为（63-3×3）÷3÷2=9（cm），
因此这个长方体可以看作底面是边长为3cm的正方形，高为9cm，
∴体积为3×3×9=81（cm3），
故答案为：6，14，81．
【分析】先根据长方体表面展开图的“相间、z端是对面”判断出相对的面，进而得到相邻的面，再由邻面中数字之和为质数的组数，再根据3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形.求出3、6两个面的长，进而得到长方体的长、宽、高，最后由体积的计算方法进行计算即可.
15．（2021七上·平远期末）在如图所示的六个方格中，分别填入-2；4；；8；；，使围成正方体后相对两面的两个数互为倒数．
【答案】解：根据互为倒数的两个数特点可得：-2和-是相对面，4和是相对面，8和是相对面；再根据正方体的表面展开图的特点填入即可；
如图所示，填法不唯一
【知识点】有理数的倒数；几何体的展开图
【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答。
16．（2021八下·金东期末）如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）.已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）.
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
【答案】（1）解：根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，
由勾股定理可得：MG＝GN＝ x，MN＝ 2x
∵正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120
∴x+2x+x＝120，解得：x＝30，
∴正方体的底面边长a＝30 ，
∴V＝a3＝ ＝5400 （cm3）；
答：这个工艺盒的体积是5400 cm3；
（2）解：设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a＝ x，h＝ ＝ （60﹣x），
∴S＝4ah＝4 x （60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，
∵0＜x＜60，
∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2.
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设CM＝DN＝x（cm），根据折成的工艺盒恰好是个正方体，利用勾股定理表示出MG，MN的长，根据正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到正方形的底面边长，然后求出这个工艺盒的体积；
（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，用含x的代数式表示出a，h，再列出S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
阅卷人 三、拓展创新
得分
17．（2024七上·南海期中）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
（1）共有_______种弥补方法；
（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
（3）在你帮忙设计成功的图中，要把，8，10，，，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加等0（直接在图中填上）
【答案】（1）4
（2）解：由“中间4联方，上下各一个”可得：
（3）解：根据“折成的正方体相对面上的两个数相加等0”可得：
【知识点】正方体的几种展开图的识别；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】（1）解：根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，
故答案为：4.
【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；（2）利用（1）的分析画出图形即可；
（3）根据（1）中的4中弥补方法可得折叠后的立方体，并结合正方体展开图特征“相对的面之间一定相隔一个正方形”把数字填上即可(答案不唯一)．
18．（2023八下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1 厂商在生产产品时，对产品外包装的材料，通常要考虑尽可能地合理利用，减少浪费。圆柱体形状的物品，它的外包装盒通常都是长方体，且上下底面为正方形。
素材2 设计产品外包装时，我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率。一种材料利用率较高的裁剪方式如图所示，采用正方形纸板裁剪，只需剪掉四条边上的四个小三角形。 按这种方式包装一个底面直径为2，高为1的圆柱体(接缝处的材料损耗不计)，损耗率只有≈11.1%．
问题解决
任务1 现采用一张边长为4 cm的正方形纸，按如图所示的裁剪方式剪掉各边上的四个三角形后，可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒，设圆柱体的底面半径为r，则它的高h= ▲ (用r的代数式表示)
任务2 在上图中，若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，求这个圆柱体的底面半径r
任务3 现利用两块同样大小的正方形纸板，按如图方式裁剪后，可包装两个高分别为4和2的圆柱体，发现这两个圆柱体的体积恰好相等．求第一个圆柱体的底面半径．(圆柱体的体积=底面积×高)
【答案】解：任务一：4- 2r；
任务二：由题意，可得= 16%，
解得h=1.6
由h=4- 2r，得4- 2r= 1.6
得r=1.2；
任务三：设两个圆柱的底面半径分别为r和R，则有2r+4=2R+2
得R=r+1
由题意，得4rπr2=2π(r+1)2
解得r1=1+，r2=1- (不合题意，舍去)
答：第一个圆柱体的底面半径为1+．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；等腰直角三角形；圆柱的体积
【解析】【解答】解：任务一：
在等腰直角△AOG中，
2AO2=AG2=32，
解之：AO=4，
∵OF=DE=CE=r，EF=h，
∴2r+h=4，
∴h=4-2r.
故答案为：4-2r
【分析】任务一：根据图形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AO的长，同时可证得OF=DE=CE=r，EF=h，即可得到h与r的关系.
任务二：根据已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%，可得到关于h的方程，解方程求出h的值，然后根据h=4-2r，代入计算求出h的值.
任务三：两个圆柱的底面半径分别为r和R，可得到R与r之间的关系式，再根据这两个圆柱体的体积恰好相等，可得到关于r的方程，解方程求出符合题意r的值.
19．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素 材 1 如图1是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示.
素 材 2 如图3、图4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种一边均为a(cm)(a<50)的矩形纸板.
纸板①(单位：cm) 纸板②(单位：cm)
小琴分别将纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
纸板①的制作方式 纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒. 将纸片四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒。
目 标 1 熟悉材料 ⑴若按照纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全放入储物区域，则长方形纸板的宽a= cm.
目 标 2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究.
初步应用 ⑵按照纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm 时，求储物盒的容积.
储物收纳 ⑶按照纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm .家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否完全放入储物盒.
【答案】解：⑴40；
⑵设小正方形的长为x，
由题意可得：，
整理得：
解得：（舍去）
储物盒的容积 ：
故答案为：
⑶不能.设小长方形的宽为xcm，长为ycm，由题意得：，解得：∴ 储物盒的高为11， 机械狗的高为18，∴ 机械狗不能完全放入储物盒.
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：⑴ 裁去角上4个相同的小正方形的长为：cm，
∴，解得：a=40
故答案为：40.
【分析】（1）由题意可得小正方形的长为5cm，进而求得a=40；
（2）设小正方形的长为x，根据矩形得面积公式，列出方程，进而解得，再利用体积公式，计算求解即可；
（3）设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据题意列出二元一次房出组，计算求解即可.
20．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角， 就是将直线平移使其相交所成的角．例如， 正方体 (图①)， 因为在平面 中， 与 相交于点 ， 所以直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
（1）解决问题
如图①， 已知正方体 ， 求既不相交也不平行的两直线 与 所成角的大小．
（2） 如图 ②， 是正方体相邻两个面上的点．
①如图 K27-16 的甲、乙、丙三个图形中， 只有一个图形可以作为图②的展开图， 这个图形是 ▲
②在所选正确展开图中， 若点 到 的距离分别是 2 和 5 ， 点 到 的距离分别是 4 和 是 上一动点， 求 的最小值．
【答案】（1）如图①， 连结 ．
设立方体的棱长为a，
∵A'B是正方形A'B'BA的对角线，BC'是正方形B'C'CB的对角线，A'C'是正方形A'B'C'D'的对角线，
∴A'B=，BC'=，
是等边三角形．
．
∵对角面A'C'CA是矩形，
，
是两条直线 与 所成的角．
两直线 与 所成的角为 ．
（2）①丙
②如图 ②， 作点 关于 的对称点 ， 连结 交 于 ， 连结 ， 此时 的值最小， 最小值为线段 的长， 过点 作 于 ．
由题意， 在 Rt 中， ， ，
．
的最小值 10 ．
【知识点】立体图形的初步认识；等边三角形的判定与性质；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解： (2) ① 甲图中M与N在相对面上，与图②M与N在相邻面上不相符，故甲不能作为图②的展开图；乙中上面两个正方形，折叠后重合，故乙不能作为图②的展开图；丙图符合图②的展开图.
故答案为：丙.
【分析】(1)先利用三边相等的三角形是等边三角形，判定是等边三角形，可得出，再根据阅读材料中的空间两直线的交角的定义求解；
（2） ①从图②的特征及立方体的展开，两方面入手，判断甲、乙、丙是否是图②的展开图；
②作点 关于 的对称点 ， 连结 交 于 ， 连结 ， 此时 的值最小， 最小值为线段 的长， 过点 作 于 ，利用勾股定理求出MK，即为PM+PN的最小值.
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