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1.1.2 子集和补集
课程标准 学习目标
（1）理解子集和真子集的概念，会用 venn 图理解
（1）理解集合之间包含与相等的含义, 能识别
集合之间的关系; （难点)
给定集合的子集；
（2）会求已给定集合的子集和真子集；
（2）在具体情境中, 了解全集与空集的含义；
（3）会判断两个集合是否相等；
（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含
（4）了解掌握补集的概念，会求一给定集合的补集.
义,能求给定子集的补集。
（难点)
知识点 01 集合间的关系
子集
① 概念
对于两个集合 ， ，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集
合 是集合 的子集( ).
(感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有)
记作： (或 )，读作： 包含于 ，或 包含 .
当集合 不包含于集合 时，记作( 或 ).
② 图


【即学即练 1】 已知集合 = { ∈ | ― 1 ≤ < 3}， = { | = | |, ∈ }，判断集合 , 的关系．
真子集
概念：若集合 ，但存在元素 ∈ 且 ，则称集合 是集合 的真子集.
记作： (或 ) (有些地方 用 或 表示)
读作： 真包含于 (或 真包含 )
类比 与 的关系就好比 ≤ 与小于 < 的关系，" ≤ "是小于或等于，" "是真包含或相等；
Eg：3 ≤ 3是对的，而3 < 3是错的，若 < ，则 ≤ 也成立；
对比下， 是对的，但 是错的，若 ，则 也成立.
【即学即练 2】若{1,2} {1,2,3,4,5}，则满足条件的集合 的个数是(　　)
A．6 B．8 C．7 D．9
集合相等
如果 是集合 的子集，且集合 是集合 的子集，则集合 与集合 相等．
即 且 = .
几个结论
① 空集是任何集合的子集： ；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合 , , ，如果 且 ，那么 ；
⑤ 集合中有 个元素，则子集的个数为2 ，真子集的个数为2 ―1.
【即学即练 3】求集合 = {1,2,3}的子集和真子集.
知识点 02 补集
1 补集
对于集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合，称为集合 相
概念
对于全集 的补集.
记号 (读作: 的补集)
符号 = { | ∈ , }
图形表示
(1) ；
性质 (2) = ， = ；
(3) ( ) = .
注 求集合 的补集的前提是 是全集 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．
【即学即练 4】已知全集 ＝{1,2,,3,4,5,6,7}， ＝{5,6,7}，则 等于 .
【题型一：判断集合间的关系】
1 1 1 1例 ．已知集合 = | = + , ∈ Z ， = | = ― , ∈ Z ， = | = + , ∈ Z ，则 M，N，6 2 3 2 6
P 的关系为（ ）
A． = B． = C． D． =
变式 1-1．若 = | 2 = ，则下列说法正确的是（ ）
A．{ } B．{1} =
C．{ ―1,1} D．{0}
变式 1-2．已知集合 = { | ― 1 < < 2}， = { |0 < < 1}，则（ ）
A． > B．A B C．B A D． =
变式 1-3．已知集合 = { | = 4 + 1, ∈ Z}, = { | = 4 ― 3, ∈ Z}， = { | = 8 + 1, ∈ Z}，则 , , 之
间的关系是（ ）
A． B．
C． = D． = =
【方法技巧与总结】
1 元素与集合间的关系是属于或不属于，集合间的关系是包含或不包含；
2 理解子集和真子集的概念，遇到集合可先化简，当集合元素较为复杂，在选择题中可利用取特殊值的方
法进行排除.
【题型二：求已知集合的子集(真子集)或其的个数】
例 2．设集合 = { ∈ Z| ≤ 0}，则集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的子集的个数为（ ）
A．225 B．224 C．223 D．222
2-1 = ∈ | 8变式 ．已知 ∈ ，则集合 M 的子集的个数是（ ）8―
A．8 B．16 C．32 D．64
变式 2-2．满足{ } { , , , }的集合 M 共有（ ）
A．16 个 B．15 个
C．8 个 D．7 个
变式 2-3．若集合 = | 2 ― 2 < < 3, ∈ 有 7 个真子集，则实数 的取值范围为（ ）
A．(0,2) B．[0,2) C．(0,2] D．[0,2]
变式 2-4．已知集合 = { ∣ 2 ― 3 + 2 = 0}， = { ∣0 < < 6, ∈ }，则满足条件 的集合 的个
数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【方法技巧与总结】
集合中有 个元素，则子集的个数为2 ，真子集的个数为2 ―1.
【题型三：根据两个集合相等求参数】

例 3．已知集合 = , ,1 ，集合 = 2, + ,0 ，若 = ，则 2023 + 2024 = （ ）

A． ―1 B．0 C．1 D．2
变式 3-1．已知集合 = {1, }， = { 2, ― 1}，若 = ，则 = （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
变式 3-2．已知{ ∣ 2 ― 4 + 1 = 0} = { }，其中 , ∈ R，则 = （ ）
1 1 1 1
A．0 B．4或2 C．2 D．4
变式 3-3．已知集合 = { ―2,0}， = | 2 + = 0, , ∈ N ， = ，则 + 的值为（ ）
A．3 B． ―3 C．1 D． ―1
变式 3-4．设 是两个两两不相等的正整数.若{ + ， + ， + } = { 2，( + 1)2，( + 2)2}( ∈ N+
)，则 2 + 2 + 2的最小值是（ ）
A．1000 B．1297 C．1849 D．2020
【方法技巧与总结】
若两个集合相等，则它们之间的元素均相同；求解过程中要注意元素的互异性，注意检验。
【题型四：补集的概念及其运算】
例 4．设全集 = ， = ∈ │ < 5 ， = { ∈ | ≤ 2}，则 与 的关系是(　　)
A．

≠ B．
C． = D．
变式 4-1．设全集 = {1,2,3,4,5}，若集合 满足{1,4} ，则（ ）
A．4 ∈ B．1
C．2 ∈ D．3
变式 4-2．设全集 = {0,1,2,4}， = {1,4}，则 = （ ）
A．{0,4} B．{0,2} C．{1,2} D．{2,4}
变式 4-3．已知 为整数集， = { ∈ Z,| 2 ≥ 4}，则 = （ ）
A．{ ― 1,0,1} B．{ ― 1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{ ― 2, ― 1,0,1,2}
变式 4-4．已知全集 = { || ― 1| < 3 }， = 0 < < 1 ，则 = （ ）
A．( ―2,0] ∪ [1,4) B．( ―2,0) ∪ (1,4) C．( ―2,0] D．(1,4)
变式 4-5．设全集 = { || | < 4 且 ∈ Z}， = { ―2,1,3}，若 ，( U ) ，则这样的集合 共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【方法技巧与总结】
理解补集的概念：对于集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合，称为集合 相对于全集 的
补集.在运算时，先把集合化简，对于连续型集合画数轴辅助运算！
【题型五：根据补集运算确定集合或参数】
例 5．设全集 = {1,2,3,4}，且 = | 2 ― 5 + = 0, ∈ ，若 = {2,3}，则 m 的值等于（ ）
A．4 B．6 C．4 或 6 D．不存在
变式 5-1．设全集 = {2,3, 2 + ― 4}，集合 = { ,2}， = {3}，则 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ± 2 D． ―4
变式 5-2．设全集 = {2,3, 2 + ― 2}，集合 = {| + 1|,2}, = {4}，则 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ―3 D． ―4
变式 5-3．已知全集 = { |1 ≤ ≤ 5}, = { |1 ≤ < }，若 = { |2 ≤ ≤ 5}，则 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式 5-4．设集合 = { || | < 2}, = { | > }，全集 = R,若 ,则有（ ）
A． = 0 B． ≤ 2 C． ≥ 2 D． < 2
变式 5-5．集合 = { | ≤ ≤ }（ ≥ ， 、 ∈ ），定义 ― 为 的长度.已知数集 = ― 1 ,2
4
( ∈ )， = [0,1] 11，若 ,1 ，则 的长度的最大值是 .12
【方法技巧与总结】
1 A的补集是集合A；
2 对于离散型集合，注意集合的互异性；
3 对于连续型集合，利用数轴辅助思考！
一、单选题
1.设集合 = | 2 ― 2 = 0 ，则下列表述正确的是（ ）
A．{2} ∈ B．2 A
C．{0} D．0
2. = | = + 1若集合 , ∈ ， = | = , ∈ ，则 ， 的关系是（ ）
3 3
A． B． C． D． =
3.满足条件{1,2} {1,2,3,4,5,6,7}的所有集合 的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
4.已知集合 = {0,1, 2}， = {1,0,2 + 3}，若 = ，则 a 等于（ ）
A． ―1或 3 B．0 或 ―1 C．3 D． ―1
5.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = ∈ N| 3 ∈ N ，则 = （ ）
A．{0,1,3,5} B．{1,3,5} C．{0,2,4,5} D．{2,4,5}
6.若集合 = |( + 1) 2 ― + ― 1 = 0 的所有子集个数是2，则 的取值是（ ）
A ―1 B 2 3 C ± 2 3 D ± 2 3． ． ． ． 或 ―1
3 3 3
7.设集合 = | 2 ― 8 + 15 = 0 ，集合 = { | ― 1 = 0 }，若 ，则实数 a 取值集合的真子集的个
数为（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
8.设集合 1 = | 2 + + 1 > 0 ， 2 = | 2 + + 2 > 0 ， 1 = | 2 + + > 0 ， 2 =
| 2 + 2 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 a， 1是 2的子集，对任意的 b， 1不是 2的子集
B．对任意 a， 1是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得 1不是 2的真子集，对任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得 1不是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
二、多选题
9． 下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合{1,2}的所有真子集为{1},{2}
B．若{1, } = {2, }（其中 , ∈ ），则 + = 3
C．{ | 是等边三角形} { | 是等腰三角形}
D．{ | = 3 , ∈ } { | = 6 , ∈ }
10.已知集合 = { | + 1 = 0, ∈ R}, = | 2 ― ― 56 = 0 ，若 ，则实数 a 的值可以是（ ）．
1 1 1
A．9 B．7 C．0 D． ― 8
11.下列选项正确的有（ ）
A．已知全集 = | 2 ― 3 + 2 = 0 ， = | 2 ― + 2 = 0 ， = ，则实数 p 的值为 3
B ．若 , ,1 = { 2, + ,0}，则 2023 + 2023 = 1

C．已知集合 = 1 | 2 + + 2 = 0, ∈ R 中元素至多只有 1 个，则实数 a 的范围是 ≥ 8
D．若 = { | ― 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 ― 1}，且 ，则 ≤ 3
三、填空题
12．已知集合 = |3 ≤ 2 ≤ 5， ∈ ，那么 的真子集有 个．
13.已知集合 = { | ―2 ≤ ≤ 5 }， = { |1 ― ≤ ≤ 2 ― 1 }，且 ．则实数 的取值范围为 ．
14.设集合 = { 1, 2, , } {2,3, ,37}，（ ≥ 2， ∈ ）且 A 中任意两数之和不能被 5 整除，则 n 的最大
值为 .
四、解答题
15．确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：
(1)A={ | 为 12 的正约数}与 = {1,3,2,4,6,12}；
(2) = { | = 2 , ∈ }与 = { | 为 4 的正整数倍}.
16. = ∣ 2 ―1已知集合 ≥ 1 ，集合 = [ ― 1,2 + 1].
+1
(1)求集合 A 和集合 R .
(2)已知集合 是集合 A 的子集，求实数 的取值范围.
17.已知集合 = { | ― 2 < < 6}, = { | < < }，其中 , ( < )是关于 的方程( ― 3 )( + )
= 0( > 0)的两个不同的实数根.
(1)若 = ，求出实数 的值；(2)若 ，求实数 的取值范围.
18.设集合 = { ∣ 2 ― 5 + 6 = 0, ∈ }, = { ∣ ― 1 = 0, ∈ }
1
(1)若 = 2，试判断集合 与 的关系；(2)若 ，求 的值组成的集合 ．
19．已知集合 = { | = ( 1, 2,…, ), ∈ {0,1}, = 1,2,…, }( ≥ 2)，对于 = ( 1, 2,…, )， =

( 1, 2, , ) ∈ ，定义 与 之间的距离为 ( , ) = | ― |．
=1
(1)已知 = (1,1,0,0) ∈ 4，写出所有的 ∈ 4，使得 ( , ) = 1；
(2)已知 = (1,1, ,1) ∈ ，若 , ∈ ，并且 ( , ) = ( , ) = ≤ ，求 ( , )的最大值；
(3)设集合 , 中有 ( ≥ 2)个元素，若 中任意两个元素间的距离的最小值为 ，求证 ≤ 2 ― +11.1.2 子集和补集
课程标准 学习目标
（1）理解子集和真子集的概念，会用 venn 图理解
（1）理解集合之间包含与相等的含义, 能识别
集合之间的关系; （难点)
给定集合的子集；
（2）会求已给定集合的子集和真子集；
（2）在具体情境中, 了解全集与空集的含义；
（3）会判断两个集合是否相等；
（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含
（4）了解掌握补集的概念，会求一给定集合的补集.
义,能求给定子集的补集。
（难点)
知识点 01 集合间的关系
子集
① 概念
对于两个集合 ， ，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集
合 是集合 的子集( ).
(感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有)
记作： (或 )，读作： 包含于 ，或 包含 .
当集合 不包含于集合 时，记作( 或 ).
② 图


【即学即练 1】 已知集合 = { ∈ | ― 1 ≤ < 3}， = { | = | |, ∈ }，判断集合 , 的关系．
解析 ∵ ∈ ，且 ―1 ≤ < 3， ∴ 的可能取值为 ―1,0,1,2．
∴ = { ― 1,0,1,2}．
又 ∵ ∈ ， ∴ | |分别是0,1,2．
∴ = {0,1,2}． ∴ ．
真子集
概念：若集合 ，但存在元素 ∈ 且 ，则称集合 是集合 的真子集.
记作： (或 ) (有些地方 用 或 表示)
读作： 真包含于 (或 真包含 )
类比 与 的关系就好比 ≤ 与小于 < 的关系，" ≤ "是小于或等于，" "是真包含或相等；
Eg：3 ≤ 3是对的，而3 < 3是错的，若 < ，则 ≤ 也成立；
对比下， 是对的，但 是错的，若 ，则 也成立.
【即学即练 2】若{1,2} {1,2,3,4,5}，则满足条件的集合 的个数是(　　)
A．6 B．8 C．7 D．9
解析 ∵ {1,2} {1,2,3,4,5}，
∴ 集合 中除了含有1,2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，
因此满足条件的集合 为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7个．故选：
．
集合相等
如果 是集合 的子集，且集合 是集合 的子集，则集合 与集合 相等．
即 且 = .
几个结论
① 空集是任何集合的子集： ；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合 , , ，如果 且 ，那么 ；
⑤ 集合中有 个元素，则子集的个数为2 ，真子集的个数为2 ―1.
【即学即练 3】求集合 = {1,2,3}的子集和真子集.
解析 集合 = {1,2,3}的子集是 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共8个；
集合 = {1,2,3}的子集是 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}，共7个；
知识点 02 补集
1 补集
对于集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合，称为集合 相
概念
对于全集 的补集.
记号 (读作: 的补集)
符号 = { | ∈ , }
图形表示
(1) ；
性质 (2) = ， = ；
(3) ( ) = .
注 求集合 的补集的前提是 是全集 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．
【即学即练 4】已知全集 ＝{1,2,,3,4,5,6,7}， ＝{5,6,7}，则 等于(　　)
解析 全集 中除去集合 A 中元素剩下的元素是1,2,,3,4，则 ＝{1,2,,3,4}.
【题型一：判断集合间的关系】
例 1．已知集合 = | = + 1 , ∈ Z ， = | = ― 1 , ∈ Z ， = | = + 1 , ∈ Z ，则 M，N，6 2 3 2 6
P 的关系为（ ）
A． = B． = C． D． =
【答案】D
【分析】先将集合 , , 中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【详解】 = | = + 1 = 6 +1 = 3 2 +1 , ∈ Z ，6 6 6
= | = ― 1 = 3( ―1)+1 , ∈ Z = | = 3 +1 , ∈ Z ,2 3 6 6
= | = + 1 = 3 +1 , ∈ Z ，2 6 6
故 = ,
故选：D.
变式 1-1．若 = | 2 = ，则下列说法正确的是（ ）
A．{ } B．{1} =
C．{ ―1,1} D．{0}
【答案】D
【分析】求出集合 后，根据集合间的关系逐项判断即可.
【详解】 = | 2 = = {0,1}，{ } 是以空集为元素的集合，不是集合 A 的子集，故 A 错误；
{1} ≠ {0,1}，故 B 错误； ―1 {0,1}，故 C 错误；0 ∈ {0,1}，故 D 正确.
故选：D.
变式 1-2．已知集合 = { | ― 1 < < 2}， = { |0 < < 1}，则（ ）
A． > B．A B C．B A D． =
【答案】C
【分析】根据子集包含关系得到答案.
【详解】{ |0 < < 1} { | ― 1 < < 2}，故 B A.
故选：C
变式 1-3．已知集合 = { | = 4 + 1, ∈ Z}, = { | = 4 ― 3, ∈ Z}， = { | = 8 + 1, ∈ Z}，则 , , 之
间的关系是（ ）
A． B．
C． = D． = =
【答案】C
【分析】化简 = { | = 4 ― 3 = 4( ― 1) +1, ∈ }，从而可得 = ，排除 ， ，考虑元素 5 与集合的
关系再可排除 ，从而得到结果.
【详解】∵ = { | = 4 + 1, ∈ Z}， = { | = 4 ― 3 = 4( ― 1) +1, ∈ }，
∴ = ，故排除选项 ， ，
又∵5 ∈ ，5 ，∴排除 ，
故选： .
【点睛】本题主要考查了利用描述法表示集合以及集合的化简与集合包含关系的判断，属于中档题.
【方法技巧与总结】
1 元素与集合间的关系是属于或不属于，集合间的关系是包含或不包含；
2 理解子集和真子集的概念，遇到集合可先化简，当集合元素较为复杂，在选择题中可利用取特殊值的方
法进行排除.
【题型二：求已知集合的子集(真子集)或其的个数】
例 2．设集合 = { ∈ Z| ≤ 0}，则集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的子集的个数为（ ）
A．225 B．224 C．223 D．222
【答案】C
【分析】先根据题意得到 ， ， 取值的所有情况，能得到集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的元素个
数，即能得到答案
【详解】因为 2 + 2 + 2 ≤ 8, ， ， ∈ ， = { ∈ Z| ≤ 0}，
所以 ， ， 只能取 ―2或 ―1或0，
= ―2 = ―1 = ―1 = 0 = 0 = 0
所以当 = 0 或 = ―1 或 = 0 或 = ―1 或 = ―2 或 = 0 时， 可取 ―2或 ―1或0；
= ―2 = ―1
当 = ―1 或 = ―2 时， 可取 ―1或0；
= ―2
当 = ―2 时， 可取0，
因此，集合 ( , , )| 2 + 2 + 2 ≤ 8, , , ∈ 的元素 ， ， 共有6 × 3 + 2 × 2 + 1 = 23个，
故所求子集的个数为223，
故选：C
变式 2-1．已知 = ∈ | 8 ∈ ，则集合 M 的子集的个数是（ ）8―
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
8
【分析】由8― ∈ N，可得8 ― 为8的正约数，又 ∈ N，求出子集的个数即可.
8
【详解】因为8― ∈ N，所以8 ― = 1,2,4,8，
又 ∈ N，所以 = 7,6,4,0，
所以集合 = {7,6,4,0}，所以集合的子集个数为24 = 16个．
故选：B．
变式 2-2．满足{ } { , , , }的集合 M 共有（ ）
A．16 个 B．15 个
C．8 个 D．7 个
【答案】C
【分析】根据集合满足的条件，列举出所有情况即可.
【详解】集合 M 满足{ } { , , , }，
所以集合 M 可以为：{ },{ , },{ , },{ , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , , }
共有 8 个.
故选：C
变式 2-3．若集合 = | 2 ― 2 < < 3, ∈ 有 7 个真子集，则实数 的取值范围为（ ）
A．(0,2) B．[0,2) C．(0,2] D．[0,2]
【答案】A
【分析】根据集合 有 7 个真子集，由集合 中包含 3 个元素求解.
【详解】解：因为集合 有 7 个真子集，
所以集合 中包含 3 个元素，
所以 ―1 ≤ 2 ―2 < 0，
解得0 < < 2.
故选：A
变式 2-4．已知集合 = { ∣ 2 ― 3 + 2 = 0}， = { ∣0 < < 6, ∈ }，则满足条件 的集合 的个
数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】化简集合 A，B，根据条件 确定集合的个数即可.
【详解】因为 = { ∣ 2 ― 3 + 2 = 0} = {1,2}， = { ∣0 < < 6, ∈ } = {1,2,3,4,5},
且
所以集合 C 的个数为23 ―1 = 7
故选：C
【方法技巧与总结】
集合中有 个元素，则子集的个数为2 ，真子集的个数为2 ―1.
【题型三：根据两个集合相等求参数】
例 3．已知集合 = , ,1 ，集合 = 2, + ,0 ，若 = ，则 2023 + 2024 = （ ）

A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解.
【详解】因为 = ，且集合 中 ≠ 0，

所以集合 中的元素 = 0，解得 = 0，
又因为1 ∈ ，所以1 ∈ ，所以 2 = 1或 = 1，
若 2 = 1，解得 = 1或 = ―1，
经检验， = 1时，与集合中元素的互异性矛盾， = ―1时，满足题意，
若 = 1，由上述过程可知，不满足题意；
综上 = ―1，所以 2023 + 2024 = ―1 + 0 = ―1，
故选：A.
变式 3-1．已知集合 = {1, }， = { 2, ― 1}，若 = ，则 = （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根据集合相等的定义，即可求解.
【详解】由 = 可知， = ―1.
故选：A
变式 3-2．已知{ ∣ 2 ― 4 + 1 = 0} = { }，其中 , ∈ R，则 = （ ）
1 1 1 1
A．0 B．4或2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】分二次项系数是否为 0 结合韦达定理求解.
【详解】由题意知： 为方程 2 ―4 + 1 = 0的根，
= 0 = 1当 时， 4；
2 ― 4 + 1 = 0 1
当 ≠ 0时，二次方程有两个相同的根，则有 16 ― 4 = 0 ，此时 = 2.
故选:B.
变式 3-3．已知集合 = { ―2,0}， = | 2 + = 0, , ∈ N ， = ，则 + 的值为（ ）
A．3 B． ―3 C．1 D． ―1
【答案】A
【分析】由集合相等求解即可.
【详解】因为集合 = { ―2,0}， = | 2 + = 0, , ∈ N ， = ，
所以4 ― 2 = 0，即 = 2 ，
所以 + = 3 ，因为 , ∈ N，所以 + 的值为3.
故选：A .
变式 3-4．设 是两个两两不相等的正整数.若{ + ， + ， + } = { 2，( + 1)2，( + 2)2}( ∈ N+
)，则 2 + 2 + 2的最小值是（ ）
A．1000 B．1297 C．1849 D．2020
【答案】B
【分析】不妨设 > > ，则 + > + > + ，根据集合相等的定义可得 + = 2, + = ( + 1)2
, + = ( + 2)2，分析可得( + ) + ( + ) + ( + ) = 2( + + )为偶数，从而可得可得 为奇数，再
分析计算即可得出答案.
【详解】解：不妨设 > > ，则 + > + > + ，
因为{ + ， + ， + } = { 2，( + 1)2，( + 2)2}( ∈ N+)，
所以 + = 2, + = ( + 1)2, + = ( + 2)2，
因为( + ) + ( + ) + ( + ) = 2( + + )为偶数，
所以 2，( + 1)2，( + 2)2必为两奇一偶，从而可得 为奇数，
又因为 + > 2，所以 为不小于 3 的奇数，
若 = 3，则{ + ， + ， + } = {32，42，52}，
1
故 + + = 2(3
2 + 42 + 52) = 52，且 + = 52，所以 = 0，不符合要求，
2 + = 7 = 30
若 = 5，则{ + ， + ， + } = {52，62，72}，故 + = 62 ，解得 = 19 ，
+ = 52 = 6
此时， 2 + 2 + 2 = 302 + 192 + 62 = 1297，
所以 2 + 2 + 2的最小值是 1297.
故选：B.
【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设 > > ，判断 2，( + 1)2，
( + 2)2三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力.
【方法技巧与总结】
若两个集合相等，则它们之间的元素均相同；求解过程中要注意元素的互异性，注意检验。
【题型四：补集的概念及其运算】
例 4．设全集 = ， = ∈ │ < 5 ， = { ∈ | ≤ 2}，则 与 的关系是(　　)
A．

≠ B．
C． = D．
【答案】A
【分析】由补集的运算求得 ， ，即可得到它们的关系.
【详解】全集 = ， = ∈ │ < 5 ， = { ∈ | ≤ 2}，则 = { ∈ | ≥ 5}, = { ∈ | 2}，所
以
故选 A
【点睛】本题考查补集的运算，属基础题.
变式 4-1．设全集 = {1,2,3,4,5}，若集合 满足{1,4} ，则（ ）
A．4 ∈ B．1
C．2 ∈ D．3
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【详解】全集 = {1,2,3,4,5}，由{1,4} ，知1 ∈ ,4 ∈ ，则1 ,4 ，A 错误，B 正确；
不能判断2 ∈ ，也不能判断3 ，CD 错误.
故选：B
变式 4-2．设全集 = {0,1,2,4}， = {1,4}，则 = （ ）
A．{0,4} B．{0,2} C．{1,2} D．{2,4}
【答案】B
【分析】根据补集的定义计算可得.
【详解】因为 = {0,1,2,4}， = {1,4}，
所以 = {0,2}.
故选：B
变式 4-3．已知 为整数集， = { ∈ Z,| 2 ≥ 4}，则 = （ ）
A．{ ― 1,0,1} B．{ ― 1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{ ― 2, ― 1,0,1,2}
【答案】A
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】因为 = { ∈ Z,| 2 ≥ 4}，
所以 = ∈ Z| 2 < 4 = { ∈ Z| ― 2 < < 2} = { ―1,0,1}，
故选：A.
变式 4-4．已知全集 = { || ― 1| < 3 }， = 0 < < 1 ，则 = （ ）
A．( ―2,0] ∪ [1,4) B．( ―2,0) ∪ (1,4) C．( ―2,0] D．(1,4)
【答案】A
【分析】化简集合 ，进而根据补集的定义求得 .
【详解】因为 = { || ― 1| < 3 } = { | ―2 < < 4 }， = 0 < < 1
所以 = ( ―2,0] ∪ [1,4)，
故选：A.
变式 4-5．设全集 = { || | < 4 且 ∈ Z}， = { ―2,1,3}，若 ，( U ) ，则这样的集合 共有（ ）
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
【答案】D
【分析】先求出全集 ，再求出集合 的子集即为 U ，再进行补集运算可得集合 ，进而可得正确选项.
【详解】 = { || | < 4 且 ∈ Z} = { ―3, ― 2, ― 1,0,1,2,3}，
= { ―2,1,3}的子集有 ，{ ―2}，{1}，{3}，{ ―2,1}，{ ―2,3}，{1,3}，{ ―2,1,3}，
= { ―2,1,3}的子集有8个，( U ) ，所以 U 有8个，
因为 U( U ) = ，所以存在一个 U 即有一个相应的 ，
所以 = { ―3, ― 2, ― 1,0,1,2,3}，{ ―3, ― 1,0,1,2,3}，{ ―3, ― 2, ― 1,0,2,3}，{ ―3, ― 2, ― 1,0,1,2}，
{ ―3, ― 1,0,2,3}，{ ―3, ― 1,0,1,2}，{ ―3, ― 2, ― 1,0,2}，{ ―3, ― 1,0,2}有8个，
故选：D.
【方法技巧与总结】
理解补集的概念：对于集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合，称为集合 相对于全集 的
补集.在运算时，先把集合化简，对于连续型集合画数轴辅助运算！
【题型五：根据补集运算确定集合或参数】
例 5．设全集 = {1,2,3,4}，且 = | 2 ― 5 + = 0, ∈ ，若 = {2,3}，则 m 的值等于（ ）
A．4 B．6 C．4 或 6 D．不存在
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出集合 ，再借助韦达定理求解作答.
【详解】由全集 = {1,2,3,4}， = {2,3}，得 = {1,4}，
Δ = 52 ― 4 > 0
即 1，4 是方程 2 ―5 + = 0的两个根，于是 1 + 4 = 5 ，解得 = 4，
1 × 4 =
所以 m 的值等于 4.
故选：A
变式 5-1．设全集 = {2,3, 2 + ― 4}，集合 = { ,2}， = {3}，则 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ± 2 D． ―4
【答案】A
【分析】因为 = ( ) ∪ ，由集合相等的定义即可列出方程求出 的值，但要注意集合元素具有互异
性，所以求出 的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异.
【详解】由题意集合 = { ,2}， = {3}，
又因为 = ( ) ∪ = {2,3, }，且全集 = {2,3, 2 + ― 4}，
所以 = 2 + ― 4，解得 =± 2，
但当 = 2时，集合 = { ,2}违背了元素之间的互异性，
而当 = ―2时，集合 = { ―2,2}， = {3}， = { ―2,2,3}满足题意,
综上所述： = ―2.
故选：A.
变式 5-2．设全集 = {2,3, 2 + ― 2}，集合 = {| + 1|,2}, = {4}，则 = （ ）
A． ―2 B．2 C． ―3 D． ―4
【答案】B
【分析】根据题意可确定 2 + ― 2=4，求得 m 的值，检验后确定答案.
【详解】由题意全集 = {2,3, 2 + ― 2}，集合 = {| + 1|,2}, = {4}，
可得 2 + ― 2=4，解得 = ―3或 = 2，
当 = ―3时，| + 1| = 2，则 = {2,2}不合题意，
= 2时， = {2,3}， = {4}，符合题意，故 = 2，
故选：B.
变式 5-3．已知全集 = { |1 ≤ ≤ 5}, = { |1 ≤ < }，若 = { |2 ≤ ≤ 5}，则 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合 = { |1 ≤ ≤ 5}， = { |1 ≤ < }，
因为 = { |2 ≤ ≤ 5}，可得 = 2.
故选：C.
变式 5-4．设集合 = { || | < 2}, = { | > }，全集 = R,若 ,则有（ ）
A． = 0 B． ≤ 2 C． ≥ 2 D． < 2
【答案】C
【分析】先解不等式| | < 2得到 = { | ― 2 < < 2}，再求出 = { | ≤ }，利用数轴法即可得到 ≥ 2.
【详解】由| | < 2，解得 ―2 < < 2，故 = { | ― 2 < < 2}
因为 = { | > }， = R，所以 = { | ≤ }，
又因为 ，由数轴法得 ≥ 2.
故选：C.
变式 5-5．集合 = { | ≤ ≤ }（ ≥ ， 、 ∈ 1），定义 ― 为 的长度.已知数集 = ― ,2
4
( ∈ )， = [0,1] 11，若 ,1 ，则 的长度的最大值是 .12
17
【答案】24
11 11
【分析】由 ,1 ，结合题意可求出0 ≤ ≤ 24，即可求出 的长度的最大值.12
1
【详解】因为数集 = ― ,2 ( ∈ )， = [0,1]，
4
所以2 > ― 1 14，解得： > ― 4，
11
11 11
,1 ，所以0 ≤ 2 ≤
12 12
，所以0 ≤ ≤ 24.
则 的长度为:2 ― 1 = + 1 ― ，
4 4
11 1 17所以 的长度的最大值是：24 + 4 = 24.
17
故答案为：24
【方法技巧与总结】
1 A的补集是集合A；
2 对于离散型集合，注意集合的互异性；
3 对于连续型集合，利用数轴辅助思考！
一、单选题
1.设集合 = | 2 ― 2 = 0 ，则下列表述正确的是（ ）
A．{2} ∈ B．2 A
C．{0} D．0
【答案】C
【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解.
【详解】 = | 2 ― 2 = 0 = {0,2},
所以{2} ，{0} ，0 ∈ ，故 ABD 错误,C 正确,
故选：C
2.若集合 = | = + 1 , ∈ ， = | = , ∈ ，则 ， 的关系是（ ）
3 3
A． B． C． D． =
【答案】A
【分析】弄清楚集合 ， 的研究对象，由此得到集合 ， 之间的包含关系.
【详解】由 = + 1 = 3n+13 3 , ∈ ,
所以集合 表示由3n +1除以 3 的数组成的集合.
集合 表示整数 除以 3 的数组成的结合.
所以
故选：A
【点睛】本题考查集合的基本运算，考查判断两个集合间的关系，属于中档题.
3.满足条件{1,2} {1,2,3,4,5,6,7}的所有集合 的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可.
【详解】由集合 满足条件{1,2} {1,2,3,4,5,6,7}，
所以集合 至少含元素 1,2，将 1,2 看成一个整体用 来表示，
则上述集合关系式变成：{ } { ,3,4,5,6,7}，
则此时集合 为集合{3,4,5,6,7}的真子集，
问题转化为求集合{3,4,5,6,7}的真子集的个数即：25 ―1 = 31，
故满足题意的集合 有 31 个.
故选：B.
4.已知集合 = {0,1, 2}， = {1,0,2 + 3}，若 = ，则 a 等于（ ）
A． ―1或 3 B．0 或 ―1 C．3 D． ―1
【答案】C
【分析】依题意可得 2 = 2 + 3，求出 的值，再检验即可.
【详解】因为 = {0,1, 2}， = {1,0,2 + 3}且 = ，
即 2 = 2 + 3，解得 = ―1或 = 3，
当 = ―1时 2 = 2 + 3 = 1，不满足集合元素的互异性，故舍去，
当 = 3时 = {0,1,9}， = {1,0,9}，符合题意.
故选：C
5.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = ∈ N| 3 ∈ N ，则 = （ ）
A．{0,1,3,5} B．{1,3,5} C．{0,2,4,5} D．{2,4,5}
【答案】C
【分析】首先求出集合 A，再由补集的概念求 即可.
【详解】由题意得 = ∈ N| 3 ∈ N = {1,3}，

又因为 = {0,1,2,3,4,5}，所以C = {0,2,4,5}，
故选：C.
6.若集合 = |( + 1) 2 ― + ― 1 = 0 的所有子集个数是2，则 的取值是（ ）
A ―1 B 2 3 C ± 2 3 D ± 2 3． ． ． ． 或 ―1
3 3 3
【答案】D
【分析】分析可知，集合 有且只有一个元素，分 + 1 = 0、 + 1 ≠ 0两种情况讨论，在第一种情况下
直接验证即可，在第二种情况下，由Δ = 0求出 的值，综合即可得解.
【详解】因为集合 = |( + 1) 2 ― + ― 1 = 0 的所有子集个数是2，则集合 有且只有一个元
素，
①当 + 1 = 0时，即当 = ―1时，则 = { | ― 2 = 0 } = {2}，合乎题意；
②当 + 1 ≠ 0时，即当 ≠ ―1时，则关于 的方程( + 1) 2 ― + ― 1 = 0只有一个实数解，
则Δ = 2 ―4( + 1)( ― 1) = 4 ― 3 2 = 0 =± 2 3，解得 .3
2 3
综上所述， = ―1或 ± .
3
故选：D.
7.设集合 = | 2 ― 8 + 15 = 0 ，集合 = { | ― 1 = 0 }，若 ，则实数 a 取值集合的真子集的个
数为（ ）.
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先解方程得集合 A，再根据 ，最后根据包含关系求实数 ，即得结果.
【详解】 = | 2 ― 8 + 15 = 0 = {3,5},
因为 ，
当 = 时， = 0，
当 ≠ 1时，即 ≠ 0时，令 ― 1 = 0，解得 = ，
1
则 = 3
1
或 = 5
1
，则对应实数 的值为3,
1
5，
则实数 a 组成的集合的元素有 3 个，
所以实数 a 组成的集合的真子集个数有23 ―1 = 7，
故选：C.
8.设集合 1 = | 2 + + 1 > 0 ， 2 = | 2 + + 2 > 0 ， 1 = | 2 + + > 0 ， 2 =
| 2 + 2 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 a， 1是 2的子集，对任意的 b， 1不是 2的子集
B．对任意 a， 1是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得 1不是 2的真子集，对任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得 1不是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
【答案】B
【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.
【详解】解：对于集合 1 = | 2 + + 1 > 0 ， 2 = | 2 + + 2 > 0
可得当 ∈ 1，即 2 + + 1 > 0，可得 2 + + 2 > 0，即有 ∈ 2，可得对任意 a， 1是 2的子集；
当 = 5时， 1 = | 2 + + 5 > 0 = R， 2 = | 2 + 2 + 5 > 0 = R，可得 1是 2的子集；
当 = 1时， 1 = | 2 + + 1 > 0 = R， 2 = | 2 + 2 + 1 > 0 = { | ≠ ―1且 ∈ R}，可得 1不是 2的
子集；
综上有，对任意 a， 1是 2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集.
故选：B.
二、多选题
9． 下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合{1,2}的所有真子集为{1},{2}
B．若{1, } = {2, }（其中 , ∈ ），则 + = 3
C．{ | 是等边三角形} { | 是等腰三角形}
D．{ | = 3 , ∈ } { | = 6 , ∈ }
【答案】BC
【分析】根据真子集的定义即可判断 A；根据等集的定义即可判断 B；根据子集的定义即可判断 CD.
【详解】集合{1,2}真子集是 ，{1},{2}共 3 个，所以 A 为假命题；
由{1, } = {2, }，知 = 2， = 1，则 + = 3，则 B 为真命题；
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以 C 为真命题；
{ | = 6 = 2 × 3 , ∈ }，所以{ | = 6 , ∈ } { | = 3 , ∈ }，所以 D 为假命题．
故选：BC.
10.已知集合 = { | + 1 = 0, ∈ R}, = | 2 ― ― 56 = 0 ，若 ，则实数 a 的值可以是（ ）．
1 1 1
A．9 B．7 C．0 D． ― 8
【答案】BCD
【分析】根据题意，求得 = { ― 7,8}，再分 = 0和 ≠ 0，求得集合 ，结合 ，即可求解.
【详解】由方程 2 ― ― 56 = ( ― 8)( + 7) = 0，解得 = ―7或 = 8，即 = { ― 7,8}，
当 = 0时，则方程 + 1 = 0无实数解，此时 = ，满足 ，符合题意；
当 ≠ 0时，由 + 1 = 0，可得 = ― 1 此时 = ―
1
，

要使得 1 1 1 1，可得 ― = ―7或 ― = 8，解得 = 7或 = ― 8.
1 1
综上可得，实数 的值为0或7或 ― 8.
故选：BCD.
11.下列选项正确的有（ ）
A．已知全集 = | 2 ― 3 + 2 = 0 ， = | 2 ― + 2 = 0 ， = ，则实数 p 的值为 3
B ．若 , ,1 = { 2, + ,0}，则 2023 + 2023 = 1

1
C．已知集合 = | 2 + + 2 = 0, ∈ R 中元素至多只有 1 个，则实数 a 的范围是 ≥ 8
D．若 = { | ― 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 ― 1}，且 ，则 ≤ 3
【答案】AD
【分析】求出集合 ，再求出 p 的值即可判断 A；由集合相等求出 , 判断 B；利用已知分类讨论求解判断
C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断 D.
【详解】对于 A， = | 2 ― 3 + 2 = 0 = {1,2}，
因为 = ，所以 = = {1,2}，
即方程 2 ― + 2 = 0的根为1,2，
所以 = 1 + 2 = 3，故 A 正确；
对于 B，由 , ,1 = { 2, + ,0}，得 ≠ 0, ≠ 1,

= 0，
因此 2 = 1，解得 = ―1, = 0，则 2023 + 2023 = ―1，故 B 错误；
对于 C，依题意，当 = 0时，由 + 2 = 0，得 = ―2，此时集合 中只有一个元素，
当 ≠ 0时，集合 中最多只有一个元素，
即一元二次方程 2 + + 2 = 0最多一个实根，
于是Δ = 1 ― 8 ≤ 0，解得 ≥ 18，
所以实数 a 的范围是 = 0或 ≥ 18，故 C 错误；
对于 D，因为 ，所以当 = 时， + 1 > 2 ― 1，解得 < 2，
当 ≠ 时， ―2 ≤ + 1 ≤ 2 ― 1 ≤ 5，解得2 ≤ ≤ 3，
综上， ≤ 3，D 正确.
故选：AD.
三、填空题
12．已知集合 = |3 ≤ 2 ≤ 5， ∈ ，那么 的真子集有 个．
【答案】3
【分析】先求解集合 ，然后可得答案.
【详解】 = |3 ≤ 2 ≤ 5, ∈ = { ―2,2}，所以 的真子集有22 ―1 = 3个.
故答案为：3
13.已知集合 = { | ―2 ≤ ≤ 5 }， = { |1 ― ≤ ≤ 2 ― 1 }，且 ．则实数 的取值范围为 ．
【答案】 ≥ 3
【分析】利用 建立不等关系，求解即可.
【详解】因为 2 ― 1 ≥ 5，所以 1 ― ≤ ―2 ，解得 ≥ 3.
故答案为： ≥ 3
14.设集合 = { 1, 2, , } {2,3, ,37}，（ ≥ 2， ∈ ）且 A 中任意两数之和不能被 5 整除，则 n 的最大
值为 .
【答案】16
【分析】先根据{2,3, ,37}中的数除以5的余数将集合 进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案.
【详解】根据除以 5 的余数，可将 A 集合分为 5 组：
0 = {5,10,15,20,25,30,35}，则card( 0) = 7，
1 = {6,11,16,21,26,31,36}，则card( 1) = 7，
2 = {2,7,12,17,22,27,32,37}，则card( 2) = 8，
3 = {3,8,13,18,23,28,33}，则card( 3) = 7，
4 = {4,9,14,19,24,29,34}，则card( 4) = 7，
A 中的任何两个数之和不能被 5 整除，故 1和 4， 2和 3中不能同时取数，且 0中最多取一个，
∴最多的取法是取 1 ∪ 2和 0中的一个元素，card( )max = 7 + 8 + 1 = 16，故 n 的最大值为 16.
故答案为：16
【点睛】两数之和能被5整除，则两数分别除以5的余数之和能被5整除.本题的分析方法是先求得{2,3, ,37}
中所有数除以5的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被5整除的知识来求得正确答案.
四、解答题
15．确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：
(1)A={ | 为 12 的正约数}与 = {1,3,2,4,6,12}；
(2) = { | = 2 , ∈ }与 = { | 为 4 的正整数倍}.
【答案】(1) =
(2) 为 的真子集
【分析】（1）用列举法表示出集合 可得答案；
（2）根据集合 与 里元素的性质可得答案.
【详解】（1）因为 = {1,2,3,4,6,12}，所以 = ；
（2）因为 = { | = 4 = 2 × 2 , ∈ }， = { | = 2 , ∈ }，
所以 为 .的真子集.
16.已知集合 = ∣ 2 ―1 ≥ 1 ，集合 = [ ― 1,2 + 1].
+1
(1)求集合 A 和集合 R .
(2)已知集合 是集合 A 的子集，求实数 的取值范围.
【答案】(1) = ( ― ∞, ― 1) ∪ [2, + ∞)， R = [ ― 1,2)
(2)( ― 2, ― 1) ∪ [3, + ∞)
【分析】（1）解分式不等式得到集合 A，然后求出 R ;
（2）根据集合 是集合 A 的子集列出不等式求解即可.
2 ―1 2 ―1
【详解】（1） +1 ≥ 1 +1 ―1 =
―2 ≥ 0 ( ― 2)( + 1) ≥ 0 +1 + 1 ≠ 0 ≥ 2或 < ―1，
所以 = ( ― ∞, ― 1) ∪ [2, + ∞)， R = [ ― 1,2)
（2） = [ ― 1,2 + 1]且集合 是集合 A 的子集，
― 1 < 2 + 1 ― 1 < 2 + 1
所以 ― 1 ≥ 2 或 2 + 1 < ―1 ，
解得 ≥ 3或 ―2 < < ―1，
故实数 的取值范围为( ― 2, ― 1) ∪ [3, + ∞).
17.已知集合 = { | ― 2 < < 6}, = { | < < }，其中 , ( < )是关于 的方程( ― 3 )( + )
= 0( > 0)的两个不同的实数根.
(1)若 = ，求出实数 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)2
(2)[2, + ∞)
【分析】（1）先根据 = 得到 = ―2, = 6，结合方程的两根得到方程，求出 = 2；
（2） ，故 ≤ ―2, ≥ 6，结合方程的两根得到不等式，求出 ≥ 2.
【详解】（1）因为 = ，故 = ―2, = 6，
又( ― 3 )( + ) = 0( > 0)的两根分别为 ― ,3 ，
故 ― = ―2,3 = 6，
故 = 2；
（2）因为 ，故 ≤ ―2, ≥ 6，
又( ― 3 )( + ) = 0( > 0)的两根分别为 ― ,3 ，
― ≤ ―2
故 3 ≥ 6 ，解得 ≥ 2，
故实数 的取值范围是[2, + ∞).
18.设集合 = { ∣ 2 ― 5 + 6 = 0, ∈ }, = { ∣ ― 1 = 0, ∈ }
1
(1)若 = 2，试判断集合 与 的关系；
(2)若 ，求 的值组成的集合 ．
【答案】(1) ， 是 的真子集；
(2) = {0,1 12,3}．
【分析】（1）当 = 12时求出集合 A 与 B，再判断关系；
（2）求出集合 B，注意对 = 0与 ≠ 0分类讨论，根据 ，列方程求解．
【详解】（1） = { ∣ 2 ― 5 + 6 = 0, ∈ }, = { ∣ ― 1 = 0, ∈ }
当 = 12时， = {2,3}, = {2}，
所以 B 是 A 的真子集．
（2） = {2,3}．
若 = 0，则 = ， 是真子集 成立；
若 ≠ 0，则 = {1 }，因为 是 A 真子集，
∴ 1 = 2
1
或 = 3
1
，所以 = 2或 =
1
3．
所以 1 1的值组成的集合 = {0，2，3}．
19．已知集合 = { | = ( 1, 2,…, ), ∈ {0,1}, = 1,2,…, }( ≥ 2)，对于 = ( 1, 2,…, )， =

( 1, 2, , ) ∈ ，定义 与 之间的距离为 ( , ) = | ― |．
=1
(1)已知 = (1,1,0,0) ∈ 4，写出所有的 ∈ 4，使得 ( , ) = 1；
(2)已知 = (1,1, ,1) ∈ ，若 , ∈ ，并且 ( , ) = ( , ) = ≤ ，求 ( , )的最大值；
(3)设集合 , 中有 ( ≥ 2)个元素，若 中任意两个元素间的距离的最小值为 ，求证 ≤ 2 ― +1
【答案】(1)(0,1,0,0)、(1,0,0,0)、(1,1,1,0)、(1,1,0,1)
(2) ( , ) = 2 ,2 ≤ max 2( ― ),2 >
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题中定义可得 的所有情形；
（2）分2 ≤ 、2 > 两种情况，利用绝对值三角不等式可求得 ( , )的最大值；
（3）表示出 ′ = {( 1, 2, , ― +1)|( 1, 2, , ― +1, , ) ∈ }，结合定义，可得( 1, 2, , ― +1) ≠
( 1, 2, , ― +1)，即 ′中任意两元素不相等，可得 ′中至多有2 ― +1个元素，即可得证．
【详解】（1）已知 = (1,1,0,0) ∈ 4， ∈ 4，且 ( , ) = 1，
所以 的所有情形有：(0,1,0,0)、(1,0,0,0)、(1,1,1,0)、(1,1,0,1)；
（2）设 = ( 1, 2, , )， = ( 1, 2, , )，

因为 ( , )= | ― 1| = (1 ― ) = ，则 1 + 2 + + = ― ，
=1 =1
同理可得 1 + 2 + + = ― ，

当 ≥ 2 时， ( , ) = | ― | = | ― 1 + 1 ― | ≤ |1 ― | + |1 ― | = 2 ；
=1 =1 =1 =1

当 < 2 时， ( , ) = | ― | ≤ + = 2 ― 2 .
=1 =1 =1
当 = 1,1, ,1,0,0, ,0 ， = 0,0, 0,1,1, ,1 时，上式等号成立.
个 1 个 1
( , ) = 2 ,2 ≤ 综上所述， max 2( ― ),2 > ；
（3）记 ′ = {( 1, 2, , ― +1)|( 1, 2, , ― +1, , ) ∈ }，
我们证明| ′| = | |．一方面显然有| ′| ≤ | |．另一方面， , ∈ 且 ≠ ，
假设他们满足 1 = 1, 2 = 2, , ― +1 = ― +1．则由定义有 ( , ) ≤ ― 1，
与 中不同元素间距离至少为 相矛盾．
从而( 1, 2, , ― +1) ≠ ( 1, 2, , ― +1)．
这表明 ′中任意两元素不相等．从而| ′| = | | = ．
又 ′中元素有 ― + 1个分量，至多有2 ― +1个元素．
从而 ≤ 2 ― +1．
【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解
题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合
的运算与性质.

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