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1.1.3 集合的交与并
课程标准 学习目标
（1）理解两个集合的并集的含义，并能求两个集合
（1）理解两个集合的并集与交集的含义, 能求
的并集;
两个集合的并集与交集;
（2）理解两个集合的交集的含义，并能求两个集合
（2）能使用 Venn 图表达集合的基本关系与基
的交集;
本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
（3）能对两个集合进行混合运算.（难点)
知识点 01 两个集合的交
1 交集
概念 由属于集合 且属于集合 所有元素所组成的集合，称为集合 与 的交集.
记号 (读作: 交 )
符号 = { | ∈ 且 ∈ }
图形表示
(1) = ， = ；
(2) = ；
性质
(3) ， ；
(4) = ；
注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞 ，要求满足 (其中 = {身高170 以上
}， = {长得帅})，那身高162 的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加.
(2) 当集合 和集合 无公共元素时，不能说集合 , 没有交集，而是 = ．
【即学即练 1】设集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 等于 .
解析 由交集的定义可知， ∪ = {5,8}.
知识点 02 两个集合的并
并集
概念 由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，称为集合 与 的并集.
记号 (读作: 并 )
符号 = { | ∈ 或 ∈ }
图形表示
(1) ∪ = ，即一个集合与其本身的并集是其本身；
(2) ∪ = ，即一个集合与空集的并集是其本身；
性质
(3) ∪ = ∪ ，即集合的并集运算满足交换律；
(4) ∪ = ，即一个集合与其子集的并集是其自身．
注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友
说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”.
并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个 ，要求满足 ∪
(其中 = {身高170 以上}， = {长得帅})，那身高162 的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想
参加当然也可以(满足身高170 以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的.
【即学即练 2】设集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 ∪ 等于 .
解析 由并集的定义可知， ∪ = {3,,4,5,6,7,8}.
【题型一：交集的概念及运算】
例 1． 已知全集 = R， = { | < 1}， = { | ≤ 3}，则 ∩ = （　　）
A．{ | ≥ 1} B．{ | > 3} C．{ |1 < ≤ 3} D．{ |1 ≤ ≤ 3}
【答案】D
【分析】根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】因为全集 = R， = { | < 1}， = { | ≤ 3}，
∴ = { | ≥ 1}，则 ∩ = { |1 ≤ ≤ 3}．
故选：D．
变式 1-1．已知集合 = { || + 1| < 2}， = { ―1,0,1}，则 ∩ = （ ）
A．{ ―1,0} B．{0,1} C．{0} D．{ ―1,1}
【答案】A
【分析】逐个验证 的三个元素是否在 中，即可得到 ∩ .
【详解】直接计算知| ―1 + 1| = 0 < 2，|0 + 1| = 1 < 2，|1 + 1| = 2 ≥ 2.
故 中的三个元素 ―1,0,1中，在集合 内的是 ―1和0，所以 ∩ = { ―1,0}.
故选：A.
变式 1-2．已知集合 = ( , )| 2 + 2 ≤ 2, ∈ Z, ∈ Z ， = {( , )| ≥ }，则 ∩ 的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】列举出集合 ，选择满足 ≥ 的元素，得到元素个数，计算得到子集个数.
【详解】 = ( , )| 2 + 2 ≤ 2, ∈ Z, ∈ Z =
{( ― 1, ― 1),( ― 1,0),( ― 1,1),(0, ― 1),(0,0),(0,1),(1, ― 1),(1,0),(1,1)}，
= {( , )| ≥ }，所以 ∩ = {( ― 1, ― 1),( ― 1,0),( ― 1,1),(0,0),(0,1),(1,1)}，
故 ∩ 的子集个数为26 = 64．
故选：D．
变式 1-3．设集合 = { | = 2 + 1, ∈ Z}， = { | = 3 ― 1, ∈ Z}，则 ∩ = （ ）
A．{ | = 2 + 1, ∈ Z} B．{ | = 3 ― 1, ∈ Z}
C．{ | = 6 + 1, ∈ Z} D．{ | = 6 ― 1, ∈ Z}
【答案】D
【分析】利用最小公倍数排除 A，B，利用奇数和偶数排除 C，求解即可.
【详解】易知集合 = { | = 2 + 1, ∈ Z}， = { | = 3 ― 1, ∈ Z}，
则 ∩ 中 前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除 A，B，
对于 C，当 = 1时，集合{ | = 6 + 1, ∈ Z}为{ | = 7}，
而令3 ― 1 = 7，可得 不为整数，故 = { | = 3 ― 1, ∈ Z}不含有 7，
可得 ∩ 中不含有 7，故 C 错误，
故选：D
【方法技巧与总结】
1 理解交集的概念：由属于集合 且属于集合 所有元素所组成的集合，称为集合 与 的交集；
2 求集合的交集，集合能化简的先化简；求连续型集合的交集，利用数轴辅助求解；
3 有时求集合的交集，可利用 venn 图进行理解求解.
【题型二：根据交集的结果求集合或参数】
例 2．设集合 = {1, ― 2}， = { ∣ ― 1 = 0}，若 ∩ = ，则实数 的值的集合是（ ）
A 1, ― 1． B． ―1, 1
2 2
C． ―1, 1 ,0 D． 1, ― 1 ,0
2 2
【答案】D
【分析】利用 ∩ = ，可得 ，然后讨论 = 0和 ≠ 0讨论集合 ，即可求解.
【详解】因为 ∩ = ，所以 ，
当 = 0时 = ，满足 ，符合题意，
≠ 0 = 1 1 1当 时， ，若 ，则 = 1或 = ―2，
1
解得： = 1或 = ― 2 ，
= ― 1所以 2或 = 0或 = 1，
故选：D.
变式 2-1．已知集合 = { ∣ ― 1 < < 2}, = { }，若 ∩ ≠ ，则 可能是（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
【答案】B
【分析】依题意，得 ―1 < < 2，即可求解．
【详解】解：因为 ∩ ≠ ，所以 ―1 < < 2，
故选：B
变式 2-2．已知集合 = { | ― < 0 }， = { || ― | = ― }，若 ∩ = [1,2)，则 ― = （ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【分析】化简可得， = { | < }， = { | ≥ }，由 ∩ = [1,2)求出 ， ，即可求 ― ．
【详解】 = { | ― < 0 } = { | < }， = { || ― | = ― } = { | ≥ }，
若 ∩ = [1,2)，
则 = 1， = 2，
故 ― = 1．
故选：C.
变式 2-3．设集合 = R，集合 = { ∣ ― 2 ≤ ≤ 5}, = { ∣ ― 6 ≤ < 2 ― 1}，若 ∩ = ，则实数 的
取值范围为（ ）
A． ―∞, ― 1 B．(11, + ∞) C 1 1． ― ,11 D． ―∞, ― ∪ (11, + ∞)
2 2 2
【答案】D
【分析】结合 是否为空集进行分类讨论可求 的范围．
【详解】当 = 时， ∩ = ，则 ― 6 ≥ 2 ― 1，即 ≤ ―5，
当 ≠ ∩ = ― 6 < 2 ― 1 ― 6 < 2 ― 1时，若 ，则 2 ― 1 ≤ ―2 或 ― 6 > 5 ，
解得 ―5 < ≤ ― 12或 > 11，
1
综上，实数 的取值范围为 ―∞, ― ∪ (11, + ∞)．
2
故选：D．
变式 2-4．已知集合 = { |1 ≤ < 5}， = { | ― < ≤ + 4}，若 ( ∩ )，则 的取值范围为（ ）
A．{ | ― 2 < < ―1} B．{ | < ―2}
C．{ | ≤ ―1} D．{ | > ―2}
【答案】C
【分析】由 ( ∩ )可以得到 ，从而对集合 分类讨论即可求解参数 的范围.
【详解】∵已知 ( ∩ )，又因为( ∩ ) ，
∴ ∩ = ，即 ，
①当 = 时，满足 ，此时 ― ≥ + 4，解得 ≤ ―2；
― < + 4
②当 ≠ 时，由 ，得 ― ≥ 1 ，解得 ―2 < ≤ ―1；
+ 4 < 5
综上所述， ≤ ―1.
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 集合的交集性质： = ；
2 对含参的集合注意它是否会是空集；
3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”.
【题型三：并集的概念及运算】
例 3．设全集 = ，集合 = { | < 2}， = { | ― 2 < < 3}，则{ | ≥ 3} = （ ）
A． ( ∪ ) B． ∪ ( ) C． ( ∩ ) D． ∪ ( )
【答案】A
【分析】由交集、并集和补集的定义求解即可.
【详解】对于 A，由题意得 ∪ = { | < 3}，所以 ( ∪ ) = { | ≥ 3}．故 A 正确；
对于 B， = { | ≥ 2 }， = { | ― 2 < < 3}，所以 ∪ ( ) = { | > ―2 }，故 B 错误；
对于 C， ∩ = { | ―2 < < 2} ， ( ∩ ) = { | ≤ ―2 或 ≥ 2}，故 C 错误；
对于 D， = { | ≤ ―2 或 ≥ 3}， ∪ ( ) = { | < 2 或 ≥ 3}，故 D 错误.
故选：A.
变式 3-1．设集合 = {1,2}, = { ∣ 2 + ― 3 = 0}，若 ∩ = {1}，则 ∪ = （ ）
A．{ ―3,1,2} B．{1,2} C．{ ―3,2} D．{1,2,3}
【答案】A
【分析】由 ∩ = {1}可得方程 2 + ― 3 = 0有一个根是 1，且 2 一定不是它的根，从而代入 = 1，解
得 = 2，再解得 = {1, ― 3}，满足 ∩ = {1}，从而可计算出结果.
【详解】因为 ∩ = {1}， = {1,2}, = { ∣ 2 + ― 3 = 0}，
所以方程 2 + ― 3 = 0有一个根是 1，且 2 一定不是它的根，
则12 + 1 ― 3 = 0，解得 = 2，
当 = 2时，方程 2 +2 ― 3 = ( + 3)( ― 1) = 0的根是 1 和 ―3，
所以 = {1, ― 3}，满足 ∩ = {1}，
即 ∪ = {1,2} ∪ {1, ― 3} = {1,2, ― 3}.
故选：A.
变式 3-2．已知集合 = | = 2 + 2 ， = { | ― 4 < ― 2 < 2}，则 ∪ = （ ）
A．{ |1 < ≤ 2 } B．{ | ―2 < ≤ 2 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > ―2 }
【答案】D
【分析】分别求出两个集合，再使用并集运算的定义即可得到答案.
【详解】由题， = | = 2 + 2 = { | ≥ 2}， = { | ― 4 < ― 2 < 2} = { | ― 2 < < 4}，
则 ∪ = { | > ―2 }.
故选：D.
变式 3-3．已知集合 = {2,3,4,6,8}，集合 = {1,3,4,5,9}，集合 = { | ∈ ,1 ≤ ≤ 10}，则 ( ∪ ) =
（ ）
A．{7,10} B．{3,4} C．{1,2,5,6} D．{8,9}
【答案】A
【分析】由并集和补集的运算得出即可.
【详解】由 ∪ = {1,2,3,4,5,6,8,9}，所以 ( ∪ ) = {7,10}，
故选：A．
【方法技巧与总结】
1 理解并集的概念：由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，称为集合 与 的并集；
2 求集合的并集，集合能化简的先化简；求连续型集合的并集，利用数轴辅助求解；
3 求抽象型集合的交集，可以利用 venn 图进行理解求解.
【题型四：根据并集的结果求集合或参数】
例 4．集合 = { | < ―1 或 ≥ 1}， = { | + 2 ≤ 0 }，若 ∪ = ，则实数 的取值范围是（ ）
A．[ ―2,2) B．[ ―2,2] C．( ―∞, ― 2) ∪ [2, + ∞) D．[ ―2,0) ∪ (0,2)
【答案】A
【分析】由 ∪ = 可得 ，再分 = 与 ≠ 两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并
集即可；
【详解】∵ ∪ = ，故 ，
∴①当 = 时，即 + 2 ≤ 0无解，此时 = 0，满足题意.
2
②当 ≠ 时，即 + 2 ≤ 0有解，当 > 0时，可得 ≤ ― ，
> 0
要使 ，则需要 ― 2 < ―1 ，解得0 < < 2.

< 0
当 < 0 ≥ ― 2时，可得 ，要使 ，则需要 ― 2 ≥ 1 ，解得 ―2 ≤ < 0，

综上，实数 的取值范围是[ ―2,2).
故选：A
变式 4-1．已知集合 = { | > }， = { |1 < ≤ 2 }，且 ∪ = ，则实数 的取值范围是（ ）
A．{ | ≤ 1 } B．{ | < 1 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > 2 }
【答案】A
【分析】根据补集运算求出 ，然后利用数轴分析可得.
【详解】因为 = { |1 < ≤ 2 }，所以 = { | ≤ 1 或 > 2}，
又 ∪ = ，所以 ≤ 1.
故选：A
变式 4-2．设 = { | < ―1 或 > 3}， = { | ― ≤ ≤ ― 2 ― 1}，若 ∪ = R， ∩ =
{ |3 < ≤ 4}，则有（ ）
A． = 3， = ―4 B． = 3， = 4
C． = ―3， = 4 D． = ―3， = ―4
【答案】D
― = ―1
【分析】由题知 ― 2 ― 1 = 4 ，再解方程即可.
【详解】解：因为 = { | < ―1 或 > 3}， = { | ― ≤ ≤ ― 2 ― 1}， ∪ = R， ∩ =
{ |3 < ≤ 4}
― = ―1
所以， ― 2 ― 1 = 4 ，解得 = ―3， = ―4
故选：D
变式 4-3．已知集合 = { | ― 1 = 0 }， = { ∈ N |2 ≤ < 5}，且 ∪ = ，则实数 的所有值构成的集
合是（ ）
A 1 , 1 B 1 , 1 C 1 , 1 , 1 D 1 1 1． ． ． ． 0, , ,
2 3 4 3 2 3 4 2 3 4
【答案】D
【分析】求出 = {2,3,4}，由 ∪ = 得到 ，分 = 与 ≠ ，求出实数 a 的值，得到答案,
【详解】 = { ∈ N |2 ≤ < 5} = {2,3,4}，
因为 ∪ = ，所以 ，
当 = 时， = 0，满足要求，
当 ≠ 时， ― 1 = 0只有一个根，
若 = {2}，则2 ― 1 = 0
1
，解得： = 2，
若 = {3}，则3 ― 1 = 0 =
1
，解得： 3，
1
若 = {4}，则4 ― 1 = 0，解得： = 4，
实数 的所有值构成的集合是 0, 1 , 1 , 1 .
2 3 4
故选：D
【方法技巧与总结】
1 集合的并集性质： ∪ = ；
2 对含参的集合注意它是否会是空集；
3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”.
【题型五：根据 venn 图进行集合运算】
例 5．已知集合 = { | ―5 ≤ ≤ 1 }， = { | > ―2 }，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）
A．{ | ―2 ≤ ≤ 1 } B．{ | ―2 < ≤ 1 }
C．{ | ―5 ≤ ≤ ―2 } D．{ | ―5 ≤ < ―2 }
【答案】C
【分析】图中所示的阴影部分的集合为 ( ∩ )，结合集合的运算即可得解.
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合 中的元素去掉集合 ∩ 的元素构成，
而 = { | ―5 ≤ ≤ 1 }， = { | > ―2 }，则 ∩ = { | ― 2 < ≤ 1}，
得 ( ∩ ) = { | ―5 ≤ ≤ ―2 }，
故所求集合为{ | ―5 ≤ ≤ ―2 }.
故选：C.
变式 5-1．若全集 是实数集 ，集合 = { | = 2 ― 1, ∈ }， = {1,2,5,7,8}，则如图阴影部分表示的
集合为（ ）
A．{2,8} B．{1,5,7} C．{2,7,8} D．{1,2,5,8}
【答案】A
【分析】根据韦恩图，先求 ∩ ，再由集合 去掉 ∩ 中的元素即可.
【详解】∵全集 是实数集 ，集合 = | = 2 ― 1， ∈ N ，
∴ ∩ = {1,5,7}，
∴故图中阴影部分所表示的集合为集合 去掉 ∩ 中的元素,即{2,8}.
故选：A.
变式 5-2．已知全集 = ，集合 = { | ―1 ≤ ≤ 2 }， = { |1 ≤ ≤ 6 }，如图所示，则图中阴影部分表
示的集合是（ ）
A．{ | ―1 ≤ ≤ 6 } B．{ | < ―1 }
C．{ | > 6 } D．{ | < ―1 或 > 6}
【答案】D
【分析】先根据并集运算求得，然后利用补集的概念求解阴影部分表示的集合即可.
【详解】因为 = { | ―1 ≤ ≤ 2 }， = { |1 ≤ ≤ 6 }，所以 ∪ = { | ―1 ≤ ≤ 6 }，
所以图中阴影部分表示的集合 ( ∪ ) = { | < ―1 或 > 6}.
故选：D
变式 5-3．如图所示，若 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { | > 0}，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．{ |0 < < 2} B．{ |1 < ≤ 2}
C．{ |0 ≤ ≤ 1或 ≥ 2} D．{ | = 0或 > 2}
【答案】D
【分析】根据韦恩图以及交集、并集和补集的知识求得正确答案.
【详解】 , 是非空集合，阴影部分表示的集合是 ∪ ( ∩ )，
= { |0 ≤ ≤ 2}， = { | > 0}， ∩ = { |0 < ≤ 2}，
∪ = { | ≥ 0}，则 ∪ ( ∩ ) = { | = 0或 > 2}.
故选：D
【方法技巧与总结】
观察 venn 图确定所求的是集合的什么运算再进行运算.
【题型六：容质原理的应用】
例 6．某班有学生 56 人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有 32 人，同时参加了英语小组和语文小
组的学生有 22 人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有 25 人．已知该班学生每人至少参加了 1 个小
组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
【答案】B
【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为 ，只参加其中一个小组的人
数为 ，根据题意列出方程即可.
【详解】
如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为 ，只参加其中一个小组的人数
为 ，
则(32 ― ) + (25 ― ) + (22 ― ) + + = 56，即 = 2 ― 23．
因为 ≤ 22，所以 ≤ 21．
故选：B.
变式 6-1．2021 年某高中举办学生运动会，某班 60 名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生
中，参加田赛的有 16 人，参加径赛的有 20 人，则田赛和径赛都参加的学生有多少人？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】设田赛和径赛都参加的学生有 人，进而得16- +20- + =30，再解方程即可.
【详解】解：设田赛和径赛都参加的学生有 人，
则只参加田赛的有16- 人，只参加径赛的有20- 人，
因为60名学生中有一半的学生没有参加比赛，
所以，16- +20- + =30，解得 =6
所以，田赛和径赛都参加的学生有6人.
故选：C
变式 6-2．某班有 21 名学生参加数学竞赛，17 名学生参加物理竞赛，10 名学生参加化学竞赛，他们之中
既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有 6 人，既参加物理竞赛
又参加化学竞赛的有 5 人，三科都参加的有 2 人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订
多少张火车票（ ）
A．29 B．27 C．26 D．28
【答案】B
【分析】由题意得，根据 Venn 图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票.
【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合 A，B，C，D，E，F，G 中的任意两个集合无公共元素，
其中 G 表示三科都参加的学生集合，G 中的学生数为 2．
因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人，所以 D 中的学生数为12 ― 2 = 10，
同理，得 E 中的学生数为6 ― 2 = 4，F 中的学生数为5 ― 2 = 3．
又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为 21，17，10，
所以 A 中的学生数为21 ― 2 ― 10 ― 4 = 5，
B 中的学生数为17 ― 2 ― 10 ― 3 = 2，
C 中的学生数为10 ― 3 ― 2 ― 4 = 1，
故置预订火车票的张数为5 + 2 + 1 + 10 + 4 + 3 + 2 = 27．
故选：B.
【方法技巧与总结】
借助 venn 图理解求值.
【题型七：集合的新定义】
例 7．已知 = {1,2,…, }， ， = { 1, 2} ，记 = { | = + , ∈ }( = 1,2)，用| |表示有限集合
X 的元素个数.
(1)若 = 4， 1 ∩ 2 = ，分别讨论 = {1,2,3}和 = {1,2,4}时，集合 T 的情况；
(2)若 = 6， 1 ∩ 2 = ，求| 1 ∪ 2|的最大值；
(3)若 = 7，| | = 4，则对于任意的 A，是否都存在 T，使得 1 ∩ 2 = ？说明理由.
【答案】(1)当 = {1,2,3}时， = {1,4}；当 = {1,2,4}时， 不存在；
(2)10
(3)不一定存在，理由见解析
【分析】（1）由已知得 1 ― 2 ≠ ― ，其中 , ∈ ，当 = {1,2,3}时， 1， 2相差 3；由此可求得 ，当
= {1,2,4}时，同理可得；
（2）若 = 6， 1 ∩ 2 = ， = {1,2,3,4,5,6}，当 = {2,3,4,5,6}时，则 1， 2相差 5，所以 = {1,6}， 中
至多有 5 个元素，所以 1, 2也至多有 5 个元素，求出 1, 2得出结果.
（3）当 = 1,2,5，7 时，2 ― 1 = 1，5 ― 1 = 4，5 ― 2 = 3，7 ― 1 = 6，7 ―2=5，7 ― 5 = 2，则 1， 2相
差不可能 1，2，3，4，5，6，可得结论.
【详解】（1）若 1 ∩ 2 = ，则 1 ― 2 ≠ ― ，其中 , ∈ ，
否则 1+ = 2+ ， 1 ∩ 2 ≠ ，
若 = 4，当 = {1,2,3}时，2 ― 1 = 1，3 ― 1 = 2，
所以 1 ― 2 ≠ 1,2，则 1， 2相差 3，
因为 = {1,2,3,4}， = { 1, 2} ，
所以 = {1,4}；
当 = {1,2,4}时，2 ― 1 = 1，4 ― 2 = 2，4 ― 1 = 3，
所以 1 ― 2 ≠ 1,2,3，
因为 = {1,2,3,4}， = { 1, 2} ，
所以 不存在；
（2）若 = 6， 1 ∩ 2 = ， = {1,2,3,4,5,6}，
当 = 时，2 ― 1 = 1，5 ― 1 = 4，5 ― 2 = 3，7 ― 1 = 6，7 ―2=5，7 ― 5 = 2，
所以 ≠ ， 1 ― 2 ≠ 1,2,3,4,5，所以 不存在；
所以 中至多有 5 个元素；
当 = {2,3,4,5,6}时，3 ― 2 = 1，4 ― 2 = 2，5 ― 2 = 3，6 ― 2 = 4，
所以 1 ― 2 ≠ 1,2,3,4，则 1， 2相差 5，
所以 = {1,6}；
= { | = + , ∈ }( = 1,2)，
所以 1 = {3,4,5,6,7}， 2 = {8,9,10,11,12}， 1 ∪ 2 = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
因为 中至多有 5 个元素，所以 1, 2也至多有 5 个元素，
所以| 1 ∪ 2|的最大值为 10.
（3）不一定存在，
当 = {1,2,5,7}时，
2 ― 1 = 1，5 ― 1 = 4，5 ― 2 = 3，7 ― 1 = 6，7 ―2=5，7 ― 5 = 2，
则 1， 2相差不可能 1，2，3，4，5，6，这与 = 1， 2 1，2，3，4，5，6，7 矛盾，
故不都存在 .
变式 7-1．设集合 = {1 ， 2 ， 3 ， ， }， ，把 的所有元素的乘积称为 的容量（若 中只有一
个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若 的容量是奇（偶）数，则称 为 的奇
（偶）子集，若 = 3，则 的所有偶子集的容量之和为
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【详解】由题意可知：当 = 3时，集合 = {1,2,3}
∴ 所有的偶子集为： ，{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}
∴当 = 3时，集合 所有的偶子集的容量之和为0 + 2 + 2 + 6 + 6 = 16
故选 D
点睛：本题考查的是集合的子集和新定义的综合问题．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列
举的方法还有问题转化的思想，解答本题的关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．

变式 7-2．对于数集 ， ，定义 + = { | = + , ∈ , ∈ }， ÷ = { | = ， ∈ , ∈ )，若集
合 = {1,2}，则集合( + ) ÷ 中所有元素之和为（ ）
10 15 21 23
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
【答案】D
【分析】由题意，理解新定义，可得( + ) = {2，3，4}，通过 ÷ 的集定义与集合运算即可得出结论.

【详解】试题分析：根据新定义，数集 ， ，定义 + = { | = + , ∈ , ∈ }， ÷ = { | = ，
∈ , ∈ )，集合 = {1,2}，( + ) = {2，3，4}，( + ) ÷ = {1，2，3，4，1.5}，则可知所有元素
的和为11.5，
故选：D.
变式 7-3．设集合 = { , }, = { , }，定义 与 的一个运算“·”为： · = { | = ，其中
∈ , ∈ }．
(1)试举出两组集合 M、N，分别计算 · ；
(2)对上述集合 M、N，计算 · ，由此你可以得到什么一般性的结论？
(3)举例说明( · )· 与 ·( · )之间的关系．
【答案】(1)答案见解析
(2) · = ·
(3)( · )· = ·( · )，答案见解析.
【分析】（1）先举出两组满足题意的集合 M、N；再根据题目中定义的运算即可得出答案.
（2）先根据题目中定义的运算计算 · ；再结合（1）的结果即可得出 · = · ；最后根据题目中的集
合 M、N 及定义的运算即可得出一般结论.
（3）先举出三组满足题意的集合 , , ，再根据题目中定义的运算即可得出答案.
【详解】（1）不妨设 = {1,2}, = {3,4}，
则 · = {3,4,6,8}；
或设 = { ― 1,1}, = {3, ― 3}，
则 · = { ― 3,3}等．
（2）对 = {1,2}, = {3,4}，
则 · = {3,6,4,8}；
对 = { ― 1,1}, = {3, ― 3}，
则 · = { ― 3,3}．
由（1）知， · = · .
由此猜测，对任意集合 = { , }, = { , }，总有 · = · ．
证明如下：
对任意 ∈ · ，有 = ，其中 ∈ , ∈ ；
又 = = ，则 ∈ · ．于是 · · ．
对任意 ∈ · ，有 = ，其中 ∈ , ∈ ；
又 = = ，则 ∈ · ．于是 · · ．
因此 · = · .
（3）设 = { ― 1,1}, = {3, ― 3}, = {2,4}，
则 · = { ― 3,3}，于是( · )· = { ― 6,6, ― 12,12}；
又 · = {6,12, ― 6, ― 12}，于是 ·( · ) = { ― 6, ― 12,6,12}．
因此( · )· = ·( · )．
变式 7-4．对于集合 ，定义函数 ( ) =
―1, ∈
1, ．对于两个集合 , ，定义集合 =
{ ∣ ( ) ( ) = ―1}．已知集合 = {1,3,5,7,9}, = {2,3,5,6,9}．
(1)求 (1)与 (1)的值；
(2)用列举法写出集合 ；
(3)用Card( )表示有限集合 所包含元素的个数．已知集合 是正整数集的子集，求Card( ) + Card
( )的最小值，并说明理由.
【答案】(1) (1) = ―1， (1) = 1；
(2) = {1,2,6,7}；
(3)4.
【分析】
（1）根据给定的定义计算即得.
（2）求出 ∩ ，再结合定义及运算写出集合 .
（3）根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，1 ∈ ,1 ，所以 (1) = ―1， (1) = 1.
（2）由 = {1,3,5,7,9}, = {2,3,5,6,9}，得 ∩ = {3,5,9}，
因此属于 不属于 的元素为1,7，属于 不属于 的元素为2,6，
所以 = {1,2,6,7}.
（3）依题意，对于集合 ， ，
①若 ∈ 且 ，则Card( ( ∪ { })) = Card( ) ― 1，
②若 且 ，则Card( ( ∪ { })) = Card( ) + 1，
因此要使Card( ) + Card( )的值最小，3，5，9 一定属于集合 ，
1,2,6,7是否属于集合 不影响Card( ) + Card( )的值，集合 不能含有 ∪ 之外的元素，
所以当 为集合{1,2,6,7}的子集与集合{3,5,9}的并集时，Card( ) + Card( )取得最小值4.
【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的
分拆并结合集合元素的性质、包含关系以及集合运算等知识综合解决.
变式 7-5．定义 1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义 2：集合 上的一个拓扑（topology）乃是 的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：（1） 和 在Γ
中；（2）Γ的任意子集的元素的并在Γ中；（3）Γ的任意有限子集的元素的交在Γ中.
(1)族 = { , }，族 = { | }，判断族 与族 是否为集合 的拓扑；
(2)设有限集 为全集
（i）证明： ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ ) = ( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( )( ∈ *)；
（ii）族Γ为集合 上的一个拓扑，证明：由族Γ所有元素的补集构成的族Γ 为集合 上的一个拓扑.
【答案】(1)都是集合 的拓扑
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据集合 的拓扑定义判断即可；
（2）（i）根据集合 的拓扑定义证明充要性即可；
（ii）结合（i）的结论，根据集合 的拓扑定义证明.
【详解】（1）族 = { , }， = { | }都是集合 的拓扑.
（2）（i）设 ∈ ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ )，则 1 ∩ 2 ∩ ∩ ，
故存在整数 (1 ≤ ≤ )使 ，因此 ∈ ，得 ∈ ( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( ).
设 ∈ ( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( )，则存在整数 (1 ≤ ≤ )使 ∈ ，故 ，
因此 1 ∩ 2 ∩ ∩ ，得 ∈ ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ )
（ii）因为 ， ∈ Γ，所以 ， ∈ Γ ；
设 = { 1, 2, }为Γ 的任意子集，则 = { 1, 2, , } Γ，
1 ∩ 2 ∩ ∩ = (( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( ))，
因为( 1) ∪ ( 2) ∪ ∪ ( ) ∈ Γ，故 1 ∩ 2 ∩ ∩ ∈ Γ ；
1 ∪ 2 ∪ ∪ = (( 1) ∩ ( 2) ∩ ∩ ( ))，
因为( 1) ∩ ( 2) ∩ ∩ ( ) ∈ Γ，故 1 ∪ 2 ∪ ∪ ∈ Γ .
【点睛】方法点睛：解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣定义，首项分析新定义的特点，把新定义所叙
述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解题过程中；（2）用好集合性质，集合性质时破解新定义型集
合问题的基础，也是突破口，在关键之处用好集合的性质.
【方法技巧与总结】
集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，可利用一些特殊例子先“感性认识”，再“理性”感知
其规律或本质.有必要的时候，也可举反例理解定义.
一、单选题
1．设全集 = { ∈ N | ≤ 8 }，集合 = {1,3,5,8}， = {5,6,7,8}，则( ) ∪ ( )=（ ）
A．{1,2,3,4,5,8} B．{1,2,3,4,6,7} C．{5,6,7,8} D．{2,4}
【答案】B
【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得.
【详解】依题意，全集 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，则 = {1,3,5,8}， = {5,6,7,8}，
得 = {2,4,6,7}, = {1,2,3,4}，所以( ) ∪ ( ) = {1,2,3,4,6,7}.
故选：B
2.若全集 = ，集合 = { |0 ≤ < 3}, = { |1 < < 4}，则 ∩ ( ) = （ ）
A．[0,1) B．[0,1] C．( ―∞,1) D．( ―∞,1]
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由 = { |1 < < 4}，得 = { | ≤ 1或 ≥ 4}，而 = { |0 ≤ < 3}，
所以 ∩ ( ) = [0,1].
故选：B
3.若集合 = {1,3,5,7}， = { ∈ Z∣1 ≤ ≤ 9}，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.
【详解】 = { ∈ Z∣1 ≤ ≤ 9} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
故图中阴影部分表示的集合为 = {2,4,6,8,9}，共 5 个元素.
故选：C
4.已知集合 = { | ― 1 < ≤ 2}， = { |0 < ≤ }，若 ∪ = { ∣ ― 1 < ≤ 3}，则 ∩ = （ ）
A．{ | ― 2 < < 0} B．{ |0 < ≤ 2 }
C．{ ∣1 < ≤ 3} D．{ ∣0 < < 2}
【答案】B
【分析】根据给定的并集结果求出 a 值，再利用交集的定义求解作答.
【详解】因为集合 = { | ― 1 < ≤ 2}， = { |0 < ≤ }， ∪ = { ∣ ― 1 < ≤ 3}，因此 = 3，即
= { |0 < ≤ 3}，
所以 ∩ = { |0 < ≤ 2 }.
故选：B
5.已知集合 = | 2 < 1 , = { | > }( ∈ R)，若 ∩ = ，则 的取值范围为（ ）
A．( ― ∞,1] B．(1, + ∞) C．( ― ∞,1) D．[1, + ∞)
【答案】D
【分析】先求出集合 ，再根据 ∩ = ，求得 的取值范围.
【详解】由题意知 = { | ― 1 < < 1}，又 = { | > }( ∈ R)且 ∩ = ，
故 ≥ 1，即 的取值范围为[1, + ∞).
故选：D.
6.已知集合 = {0,4, }， = {0, 2}，且 ∪ = ，则 m 的值为（ ）
A．0 B． ―2或2
C． ―2或1或2 D． ―2或0或1或2
【答案】C
【分析】根据并集的结果可得 2 = 4或 2 = ，再根据集合的性质求解即可.
【详解】由 ∪ = 可得 2 = 4或 2 = ，解得 = 2， = ―2， = 1或 = 0.
又集合 = {0,4, }与 = {0, 2}，故 ≠ 0，故 = 2， = ―2或 = 1.
故选：C
7.对于集合 A，B，定义 A\B={ | ∈ 且 }，则对于集合 A={ | = 6 + 5， ∈ N}，B={ | = 3 + 7，
∈ N}， = | ∈ 且 < 1000}，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则 C 的真子集有 212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则 C 中元素个数大于 250.
C．若在横线上填入”\”，则 C 的非空真子集有 2153﹣2 个.
D．若在横线上填入”∪ N”，则 NC 中元素个数为 13.
【答案】B
【分析】根据各个选项确定相应的集合 ，然后由集合与子集定义得结论．
【详解】 = 6 + 5 = 3 × (2 + 1) + 2， = 3 + 7 = 3( + 2) + 1，集合 , 无公共元素，
选项 A 中，集合 为空集，没有真子集，A 错；
选项 B 中，由6 + 5 < 1000 < 1655得 6，由3 + 7 < 1000得 < 331，因此 中元素个数为
166 + 331 = 497，B 正确；
选项 C 中， 中元素个数为 166，非空真子集个数为2166 ―2，C 错；
选项 D 中， = ( ∪ ) = ∩ ( ) = ∩ ，而 ，因此其中元素个数为 331 个，D
错．
故选：B．
8.已知[ ]表示不超过 x 的最大整数，集合 = { ∈ |0 < [ ] < 3 }， = |( 2 + )( 2 + 2 + ) = 0 ，且
∩ R = ，则集合 B 的子集个数为（ ）．
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】由新定义及集合的概念可化简集合 = {1,2}，再由 ∩ ( ) = 可知 ，分类讨论1,2的归
属，从而得到集合 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合 的子集的个数.
【详解】由题设可知， = { ∈ Z|0 < [ ] < 3} = {1,2}，
又因为 ∩ ( ) = ，所以 ，
而 = |( 2 + )( 2 + 2 + ) = 0 ，
因为 2 + = 0的解为 =0或 = ― ， 2 +2 + = 0的两根 1, 2满足 1 + 2 = ―2，
所以1,2分属方程 2 + = 0与 2 +2 + = 0的根，
12
1 2 + = 0 2 2 +2 + = 0 +1 × =0 = ―1若 是 的根， 是 的根，则有 22+2 × 2+ =0 ，解得 = ―8 ，
代入 2 + = 0与 2 +2 + = 0，解得 =0或 =1与 =2或 = ―4，
故 = {0,1,2, ― 4}；
2
若2是 2 + = 0 1 2 +2 + = 0 2 +2 × =0 = ―2的根， 是 的根，则有 12+2 × 1+ =0 ，解得 = ―3 ，
代入 2 + = 0与 2 +2 + = 0，解得 =0或 =2与 =1或 = ―3，
故 = {0,1,2, ― 3}；
所以不管1,2如何归属方程 2 + = 0与 2 +2 + = 0，集合 总是有 4 个元素，
故由子集个数公式可得集合 的子集的个数为24=16.
故选：C
二、多选题
9 已知集合 = {0,1}, = | 2 ― 2 + = 0, ∈ ，若集合 满足 且 ∩ ≠ ，则下列说法正确的是
（ ）
A． = {1,2} B． = {0,1,2}
C．集合 的个数为 6 D．集合 的个数为 5
【答案】BC
【分析】解集合 B 中的方程，得集合 B，由已知列举出集合 C，验证选项即可.
【详解】 ∈ ，当 = 0时，方程 2 ―2 + = 0的解为 = 0或 = 2；
当 = 1时，方程 2 ―2 + = 0的解为 = 1，
得 = {0,1,2}，A 选项错误，B 选项正确；
由 且 ∩ ≠ ，则 = {0},{1},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}，共 6 个．
C 选项正确，D 选项错误.
故选：BC
10.下列结论正确的是（ ）
A．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 < ―3
B．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 ≤ ―3
C．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 ≥ ―3
D．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 > ―3
【答案】BD
【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可.
【详解】对于选项 A 和 B，{ | + 3 > 0} = { | > ―3}，{ | ― < 0} = { | < }，
若{ | > ―3} ∩ { | < } = ，则 的取值范围是 ≤ ―3，所以 A 错误，B 正确；
对于选项 C 和 D，若{ | > ―3} ∪ { | < } = R，则 的取值范围是 > ―3，所以 D 正确，C 错误.
故选：BD.
11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的
数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合 和
，用 中元素为第一元素， 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作 与 的笛
卡儿积，又称直积，记为 × .即 × = {( , )| ∈ 且 ∈ }.关于任意非空集合 ， ， ，下列说法错
误的是（ ）
A． × = × B．( × ) × = × ( × )
C． × ( ∪ ) ( × ) ∪ ( × ) D． × ( ∩ ) = ( × ) ∩ ( × )
【答案】ABC
【分析】对于 ABC，举例分析判断，对于 D，利用直积的定义分析判断即可.
【详解】对于 A，若 = {1}, = {1,2}，则 × = {(1,1),(1,2)}, × = {(1,1),(2,1)}, × ≠ × ，A
错误；
对于 B，若 = {1}, = {2}, = {3}，则 × = {(1,2)},( × ) × = {((1,2),3)}，
而 × ( × ) = {(1,(2,3))},( × ) × ≠ × ( × )，B 错误；
对于 C，若 = {1}, = {2}, = {3}，则 × ( ∪ ) = {(1,2),(1,3)}，
× = {(1,2)}， × = {(1,3)}， × ( ∪ ) = ( × ) ∪ ( × )，C 错误；
对于 D，任取元素( , ) ∈ × ( ∩ )，则 ∈ 且 ∈ ∩ ，则 ∈ 且 ∈ ，
于是( , ) ∈ × 且( , ) ∈ × ，即( , ) ∈ ( × ) ∩ ( × )，
反之若任取元素( , ) ∈ ( × ) ∩ ( × )，则( , ) ∈ × 且( , ) ∈ × ，
因此 ∈ ， ∈ 且 ∈ ，即 ∈ 且 ∈ ∩ ，
所以( , ) ∈ × ( ∩ )，即 × ( ∩ ) = ( × ) ∩ ( × )，D 正确.
故选：ABC
三、填空题
12．已知集合 = {1,2}, = { ― , 2 + 3}．若 ∪ = {1,2,4}，则实数 = ．
【答案】 ―1
【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可.
【详解】因为 ∪ = {1,2,4}，故 4 必定在 = { ― , 2 + 3}中，
当 2 +3 = 4时，解得 = 1或 = ―1，而此时有 ― = 1或 ― = 2，
解得 = ―1或 = ―2，故此时 = ―1，
当 ― = 4时，解得 = ―4，此时 = {4,19}，不满足 ∪ = {1,2,4}，故排除，
综上 = ―1，即实数 的值为 ―1.
故答案为： ―1
13.已知全集 = { ∈ N | ≤ 7}，集合 = {1,2,3,6}，集合 = { ∈ || | < 5}，则( ) ∩ = ，
∪ = ．
【答案】 {4} { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4,6}
【分析】根据题意，分别求得 = {1,2,3,4,5,6,7}和 = { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4}，结合集合运算法则，
即可求解.
【详解】由全集 = { ∈ N | ≤ 7} = {1,2,3,4,5,6,7}，
集合 = {1,2,3,6}，集合 = { ∈ Z|| | < 5} = { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4}，
可得 = {4,5,7}，则( ) ∩ = {4}， ∪ = { ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4,6}.
故答案为：{4}；{ ― 4, ― 3, ― 2, ― 1,0,1,2,3,4,6}.
14.在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有 21 人，报名径赛的
学生有 18 人，田赛和径赛都报名的有 5 人，另外还有 4 个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共
有学生人数为 ．
【答案】38
【分析】根据题意，设出集合，结合集合的运算，即可求解.
【详解】设该班级的总人数构成全集 ，报名田赛的学生构成集合 ，报名径赛的学生构成集合 ，既不报
名田赛也不报名径赛构成集合 ，
则 ( ) = 21, ( ) = 18, ( ∩ ) = 5, ( ) = 4，
则 ( ) = ( ) + ( ) ― ( ∩ ) + ( ) = 21 + 18 ― 5 + 4 = 38人.
故答案为：38.
四、解答题
15．已知全集 = {2,3,4,5,6,7}，集合 = {4,5,7}， = {2,3,5}，求：
(1) ∩ ， ∪ ；
(2)( ) ∩
【答案】(1){5}，{2,3,4,5,7}；
(2){2,3}
【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解；
（2）首先计算补集，再求交集.
【详解】（1）由交集的定义可知， ∩ = {5}；
由并集的定义可知， ∪ = {2,3,4,5,7}；
（2）由补集定义可知， = {2,3,6}，
( ) ∩ = {2,3}.
16.设集合 = { | ― 1 ≤ ≤ 2}， = { |2 < < 3}，
(1)若 = 1，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ∩ ( )中只有一个整数，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) ∪ = { | ― 1 ≤ < 3}，( R ) ∩ = { |2 < < 3}
(2) | ― 3 ≤ < ―1
2
【分析】（1）根据条件得到 = { |2 < < 3}，再利用集合的运算即可求出结果；
（2）由（1）知 R = { | < ―1或 > 2}，根据条件，借助数轴，即可求出结果.
【详解】（1）因为 = 1，所以 = { |2 < < 3}，
又 = { | ― 1 ≤ ≤ 2}，所以 R = { | < ―1或 > 2}，
所以 ∪ = { | ― 1 ≤ < 3}，( R ) ∩ = { |2 < < 3}．
（2）由（1）知 R = { | < ―1或 > 2}，又 ∩ ( R )中只有一个整数，
由图知， ≠ ，且 ―3 ≤ 2 < ―2，+
― 3解得 2 ≤ < ―1
3
，所以实数 m 的取值范围是 | ― ≤ < ―1 ．
2
17.已知集合 = { | ―3 ≤ ≤ 3 }， = { |3 ― < < + 1 }
(1)当 = 4时，求( ) ∩ ；
(2)在① ∪ = ② ∩ = 中任选一个作为已知，求实数 的取值范围．
【答案】(1)( ) ∩ = { |3 < < 5 }
(2) ≤ 2
【分析】（1）当 = 4时，写出集合 ，利用补集和交集的定义可求得集合( ) ∩ ；
（2）选条件①或②，都有 ，分 = 、 ≠ 两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数
的不等式（组），综合可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）解：因为 = { | ―3 ≤ ≤ 3 }，所以， = { | < ―3 或 > 3}，
当 = 4时， = { |3 ― < < + 1 } = { | ―1 < < 5 }，
因此，( ) ∩ = { |3 < < 5 }.
（2）解：选条件①或②，都有 ，
当 = 时，3 ― ≥ + 1，解得 ≤ 1，满足题意；
3 ― < + 1
当 ≠ 时，则 3 ― ≥ ―3 ，解得1 < ≤ 2，
+ 1 ≤ 3
综上： ≤ 2，因此，实数 的取值范围为 ≤ 2.
18.对于集合 A，B，我们把集合{ | ∈ , }叫作集合 A 与 B 的差集，记为 ― ； ― 可用图中的阴
影部分来表示.
(1)若 = {1,3,5,9}， = {3,5,7}，求集合 ― 和 ― ；
(2)集合 = | 2 ― 5 + 6 ≤ 0 ，集合 = { |2 ― 3 ≤ ≤ 2 + 3 }，若 ― = ，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) ― = {1,9}， ― = {7}
(2) 0, 5
2
【分析】（1）由函数的新定义求解即可；
（2）先求出集合 ，再由 ― = 可得 2 ― 3 ≤ 2，即 2 + 3 ≥ 3 ，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由 = {1,3,5,9}， = {3,5,7}可知： ― = {1,9}， ― = {7}，
（2）由 2 ―5 + 6 ≤ 0可得：2 ≤ ≤ 3，
由题意可知 = [2,3]，
由 ― = 可知 ；
2 ― 3 ≤ 2 5
所以 2 + 3 ≥ 3 ，解得0 ≤ ≤ 2，
所以 ∈ 0, 5
2
19．已知集合 = { 1, 2, , }， ∈ N ， ≥ 3，若 ∈ ， ∈ ， + ∈ 或 ― ∈ ，则称集合 A 具有
“包容”性．
(1)判断集合{ ―1,1,2,3}和集合{ ―1,0,1,2}是否具有“包容”性；
(2)若集合 = {1, , }具有“包容”性，求 2 + 2的值；
(3)若集合 C 具有“包容”性，且集合 C 的子集有 64 个，1 ∈ ，试确定集合 C．
【答案】(1)集合{ ―1,1,2,3}不具有“包容”性，集合{ ―1,0,1,2}具有“包容”性
(2)1
(3){ ―2, ― 1,0,1,2,3}， ―1, ― 1 ,0, 1 ,1, 3 ― 2 , ― 1 ,0, 1 , 2， ,1 ，{ ―3, ― 2, ― 1,0,1,2}或
2 2 2 3 3 3 3
― 3 , ― 1, ― 1 ,0, 1 ,1 ．
2 2 2
【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；
（2）根据“包容”性的定义，能得到0 ∈ {1, , }，分类讨论，得出 a 和 b 的值，即可得出结果；
（3）由集合 C 的子集有 64 个，推出集合 C 中共有 6 个元素，且0 ∈ ，再由条件1 ∈ ，推出集合中有正
数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.
【详解】（1）（Ⅰ）集合{ ―1,1,2,3}中的3 + 3 = 6 { ―1,1,2,3}，3 ― 3 = 0 { ―1,1,2,3}，
所以集合{ ―1,1,2,3}不具有“包容”性．
集合{ ―1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合
{ ―1,0,1,2}，所以集合{ ―1,0,1,2}具有“包容”性．
（2）（Ⅱ）已知集合 = {1, , }具有“包容”性，记 = max{1, , }，则 ≥ 1，
易得2 {1, , }，从而必有0 ∈ {1, , }，
不妨令 = 0，则 = {1,0, }， ≠ 0且 ≠ 1，
则{1 + ,1 ― } ∩ {1,0, } ≠ ，
且{1 + , ― 1} ∩ {1,0, } ≠ ，
①当1 + ∈ {1,0, }时，若1 + = 0，得 = ―1，此时 = {1,0, ― 1}具有包容性；
若1 + = 1，得 = 0，舍去；若1 + = ，无解；
②当1 + {1,0, }时，则{1 ― , ― 1} {1,0, }，由 ≠ 0且 ≠ 1，可知 b 无解，
故 = {1,0, ― 1}．
综上， 2 + 2 = 1．
（3）（Ⅲ）因为集合 C 的子集有 64 个，所以集合 C 中共有 6 个元素，且0 ∈ ，又1 ∈ ，且 C 中既有正
数也有负数，
不妨设 { ― , ― ―1, , ― 1,0, 1, 2, , }，
其中 + = 5，0 < 1 < < ，0 < 1 < < ，
根据题意{ 1 ― , , ―1 ― } { ― , ― ―1, , ― 1}，
且{ ― 1, ―1 ― 1, , 2 ― 1} { 1, 2, , }，
从而( , ) = (2,3)或(3,2)．
①当( , ) = (3,2)时，{ 3 ― 1, 3 ― 2} = { 1, 2}，
并且由{ ― 3 + 1, ― 3 + 2} = { ― 1, ― 2}，得 3 = 1 + 2，由 2 ― 1 ∈ { 1, 2}，得 2 = 2 1，
由上可得( 2, 1) = ( 3 ― 1, 3 ― 2) = ( 2, 1) = (2 1, 1)，并且 3 = 1 + 2 = 3 1，
综上可知 = { ―3 1, ― 2 1, ― 1,0, 1,2 1}；
②当( , ) = (3,2)时，同理可得 = { ― 2 1, ― 1,0, 1,2 1,3 1}．
综上，C 中有 6 个元素，且1 ∈ 时，符合条件的集合 C 有 5 个，
分别是{ ―2, ― 1,0,1,2,3} ―1, ― 1， ,0, 1 ,1, 3 ， ― 2 , ― 1 ,0, 1 , 2 ,1 ，
2 2 2 3 3 3 3
{ ―3, ― 2, ― 1,0,1,2} ― 3 , ― 1, ― 1或 ,0, 1 ,1 ．
2 2 2
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格
“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出0 ∈ {1, , }后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完
成.1.1.3 集合的交与并
课程标准 学习目标
（1）理解两个集合的并集的含义，并能求两个集合
（1）理解两个集合的并集与交集的含义, 能求
的并集;
两个集合的并集与交集;
（2）理解两个集合的交集的含义，并能求两个集合
（2）能使用 Venn 图表达集合的基本关系与基
的交集;
本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
（3）能对两个集合进行混合运算.（难点)
知识点 01 两个集合的交
1 交集
概念 由属于集合 且属于集合 所有元素所组成的集合，称为集合 与 的交集.
记号 (读作: 交 )
符号 = { | ∈ 且 ∈ }
图形表示
(1) = ， = ；
(2) = ；
性质
(3) ， ；
(4) = ；
注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞 ，要求满足 (其中 = {身高170 以上
}， = {长得帅})，那身高162 的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加.
(2) 当集合 和集合 无公共元素时，不能说集合 , 没有交集，而是 = ．
【即学即练 1】设集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 等于 .
知识点 02 两个集合的并
并集
概念 由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，称为集合 与 的并集.
记号 (读作: 并 )
符号 = { | ∈ 或 ∈ }
图形表示
(1) ∪ = ，即一个集合与其本身的并集是其本身；
(2) ∪ = ，即一个集合与空集的并集是其本身；
性质
(3) ∪ = ∪ ，即集合的并集运算满足交换律；
(4) ∪ = ，即一个集合与其子集的并集是其自身．
注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友
说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”.
并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个 ，要求满足 ∪
(其中 = {身高170 以上}， = {长得帅})，那身高162 的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想
参加当然也可以(满足身高170 以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的.
【即学即练 2】设集合 ＝{4,5,6,8}， ＝{3,5,7,8}，那么 ∪ 等于 .
【题型一：交集的概念及运算】
例 1． 已知全集 = R， = { | < 1}， = { | ≤ 3}，则 ∩ = （　　）
A．{ | ≥ 1} B．{ | > 3} C．{ |1 < ≤ 3} D．{ |1 ≤ ≤ 3}
变式 1-1．已知集合 = { || + 1| < 2}， = { ―1,0,1}，则 ∩ = （ ）
A．{ ―1,0} B．{0,1} C．{0} D．{ ―1,1}
变式 1-2．已知集合 = ( , )| 2 + 2 ≤ 2, ∈ Z, ∈ Z ， = {( , )| ≥ }，则 ∩ 的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
变式 1-3．设集合 = { | = 2 + 1, ∈ Z}， = { | = 3 ― 1, ∈ Z}，则 ∩ = （ ）
A．{ | = 2 + 1, ∈ Z} B．{ | = 3 ― 1, ∈ Z}
C．{ | = 6 + 1, ∈ Z} D．{ | = 6 ― 1, ∈ Z}
【方法技巧与总结】
1 理解交集的概念：由属于集合 且属于集合 所有元素所组成的集合，称为集合 与 的交集；
2 求集合的交集，集合能化简的先化简；求连续型集合的交集，利用数轴辅助求解；
3 有时求集合的交集，可利用 venn 图进行理解求解.
【题型二：根据交集的结果求集合或参数】
例 2．设集合 = {1, ― 2}， = { ∣ ― 1 = 0}，若 ∩ = ，则实数 的值的集合是（ ）
A 1, ― 1． B． ―1, 1
2 2
C． ―1, 1 ,0 D． 1, ― 1 ,0
2 2
变式 2-1．已知集合 = { ∣ ― 1 < < 2}, = { }，若 ∩ ≠ ，则 可能是（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
变式 2-2．已知集合 = { | ― < 0 }， = { || ― | = ― }，若 ∩ = [1,2)，则 ― = （ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
变式 2-3．设集合 = R，集合 = { ∣ ― 2 ≤ ≤ 5}, = { ∣ ― 6 ≤ < 2 ― 1}，若 ∩ = ，则实数 的
取值范围为（ ）
A 1 1 1． ―∞, ― B．(11, + ∞) C． ― ,11 D． ―∞, ― ∪ (11, + ∞)
2 2 2
变式 2-4．已知集合 = { |1 ≤ < 5}， = { | ― < ≤ + 4}，若 ( ∩ )，则 的取值范围为（ ）
A．{ | ― 2 < < ―1} B．{ | < ―2}
C．{ | ≤ ―1} D．{ | > ―2}
【方法技巧与总结】
1 集合的交集性质： = ；
2 对含参的集合注意它是否会是空集；
3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”.
【题型三：并集的概念及运算】
例 3．设全集 = ，集合 = { | < 2}， = { | ― 2 < < 3}，则{ | ≥ 3} = （ ）
A． ( ∪ ) B． ∪ ( ) C． ( ∩ ) D． ∪ ( )
变式 3-1．设集合 = {1,2}, = { ∣ 2 + ― 3 = 0}，若 ∩ = {1}，则 ∪ = （ ）
A．{ ―3,1,2} B．{1,2} C．{ ―3,2} D．{1,2,3}
变式 3-2．已知集合 = | = 2 + 2 ， = { | ― 4 < ― 2 < 2}，则 ∪ = （ ）
A．{ |1 < ≤ 2 } B．{ | ―2 < ≤ 2 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > ―2 }
变式 3-3．已知集合 = {2,3,4,6,8}，集合 = {1,3,4,5,9}，集合 = { | ∈ ,1 ≤ ≤ 10}，则 ( ∪ ) =
（ ）
A．{7,10} B．{3,4} C．{1,2,5,6} D．{8,9}
【方法技巧与总结】
1 理解并集的概念：由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，称为集合 与 的并集；
2 求集合的并集，集合能化简的先化简；求连续型集合的并集，利用数轴辅助求解；
3 求抽象型集合的交集，可以利用 venn 图进行理解求解.
【题型四：根据并集的结果求集合或参数】
例 4．集合 = { | < ―1 或 ≥ 1}， = { | + 2 ≤ 0 }，若 ∪ = ，则实数 的取值范围是（ ）
A．[ ―2,2) B．[ ―2,2] C．( ―∞, ― 2) ∪ [2, + ∞) D．[ ―2,0) ∪ (0,2)
变式 4-1．已知集合 = { | > }， = { |1 < ≤ 2 }，且 ∪ = ，则实数 的取值范围是（ ）
A．{ | ≤ 1 } B．{ | < 1 } C．{ | ≥ 2 } D．{ | > 2 }
变式 4-2．设 = { | < ―1 或 > 3}， = { | ― ≤ ≤ ― 2 ― 1}，若 ∪ = R， ∩ =
{ |3 < ≤ 4}，则有（ ）
A． = 3， = ―4 B． = 3， = 4
C． = ―3， = 4 D． = ―3， = ―4
变式 4-3．已知集合 = { | ― 1 = 0 }， = { ∈ N |2 ≤ < 5}，且 ∪ = ，则实数 的所有值构成的集
合是（ ）
A 1 , 1 B 1 , 1 C 1 , 1 , 1 D 0, 1 , 1 , 1． ． ． ．
2 3 4 3 2 3 4 2 3 4
【方法技巧与总结】
1 集合的并集性质： ∪ = ；
2 对含参的集合注意它是否会是空集；
3 求参数范围时，要想清楚是否能“取等号”.
【题型五：根据 venn 图进行集合运算】
例 5．已知集合 = { | ―5 ≤ ≤ 1 }， = { | > ―2 }，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）
A．{ | ―2 ≤ ≤ 1 } B．{ | ―2 < ≤ 1 }
C．{ | ―5 ≤ ≤ ―2 } D．{ | ―5 ≤ < ―2 }
变式 5-1．若全集 是实数集 ，集合 = { | = 2 ― 1, ∈ }， = {1,2,5,7,8}，则如图阴影部分表示的
集合为（ ）
A．{2,8} B．{1,5,7} C．{2,7,8} D．{1,2,5,8}
变式 5-2．已知全集 = ，集合 = { | ―1 ≤ ≤ 2 }， = { |1 ≤ ≤ 6 }，如图所示，则图中阴影部分表
示的集合是（ ）
A．{ | ―1 ≤ ≤ 6 } B．{ | < ―1 } C．{ | > 6 } D．{ | < ―1 或 > 6}
变式 5-3．如图所示，若 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { | > 0}，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．{ |0 < < 2} B．{ |1 < ≤ 2}
C．{ |0 ≤ ≤ 1或 ≥ 2} D．{ | = 0或 > 2}
【方法技巧与总结】
观察 venn 图确定所求的是集合的什么运算再进行运算.
【题型六：容质原理的应用】
例 6．某班有学生 56 人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有 32 人，同时参加了英语小组和语文小
组的学生有 22 人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有 25 人．已知该班学生每人至少参加了 1 个小
组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．25
变式 6-1．2021 年某高中举办学生运动会，某班 60 名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生
中，参加田赛的有 16 人，参加径赛的有 20 人，则田赛和径赛都参加的学生有多少人？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式 6-2．某班有 21 名学生参加数学竞赛，17 名学生参加物理竞赛，10 名学生参加化学竞赛，他们之中
既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有 6 人，既参加物理竞赛
又参加化学竞赛的有 5 人，三科都参加的有 2 人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订
多少张火车票（ ）
A．29 B．27 C．26 D．28
【方法技巧与总结】
借助 venn 图理解求值.
【题型七：集合的新定义】
例 7．已知 = {1,2,…, }， ， = { 1, 2} ，记 = { | = + , ∈ }( = 1,2)，用| |表示有限集合
X 的元素个数.
(1)若 = 4， 1 ∩ 2 = ，分别讨论 = {1,2,3}和 = {1,2,4}时，集合 T 的情况；
(2)若 = 6， 1 ∩ 2 = ，求| 1 ∪ 2|的最大值；
(3)若 = 7，| | = 4，则对于任意的 A，是否都存在 T，使得 1 ∩ 2 = ？说明理由.
变式 7-1．设集合 = {1 ， 2 ， 3 ， ， }， ，把 的所有元素的乘积称为 的容量（若 中只有一
个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若 的容量是奇（偶）数，则称 为 的奇
（偶）子集，若 = 3，则 的所有偶子集的容量之和为
A．6 B．8 C．12 D．16

变式 7-2．对于数集 ， ，定义 + = { | = + , ∈ , ∈ }， ÷ = { | = ， ∈ , ∈ )，若集
合 = {1,2}，则集合( + ) ÷ 中所有元素之和为（ ）
10 15 21 23
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
变式 7-3．设集合 = { , }, = { , }，定义 与 的一个运算“·”为： · = { | = ，其中
∈ , ∈ }．
(1)试举出两组集合 M、N，分别计算 · ；
(2)对上述集合 M、N，计算 · ，由此你可以得到什么一般性的结论？
(3)举例说明( · )· 与 ·( · )之间的关系．
变式 7-4 ―1, ∈ ．对于集合 ，定义函数 ( ) = 1, ．对于两个集合 , ，定义集合 =
{ ∣ ( ) ( ) = ―1}．已知集合 = {1,3,5,7,9}, = {2,3,5,6,9}．
(1)求 (1)与 (1)的值；
(2)用列举法写出集合 ；
(3)用Card( )表示有限集合 所包含元素的个数．已知集合 是正整数集的子集，求Card( ) + Card
( )的最小值，并说明理由.
变式 7-5．定义 1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义 2：集合 上的一个拓扑（topology）乃是 的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：（1） 和 在Γ
中；（2）Γ的任意子集的元素的并在Γ中；（3）Γ的任意有限子集的元素的交在Γ中.
(1)族 = { , }，族 = { | }，判断族 与族 是否为集合 的拓扑；
(2)设有限集 为全集
（i）证明： ( 1 ∩ 2 ∩ ∩ ) = ( 1) ∪ ( *2) ∪ ∪ ( )( ∈ )；
（ii）族Γ为集合 上的一个拓扑，证明：由族Γ所有元素的补集构成的族Γ 为集合 上的一个拓扑.
【方法技巧与总结】
集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，可利用一些特殊例子先“感性认识”，再“理性”感知
其规律或本质.有必要的时候，也可举反例理解定义.
一、单选题
1.设全集 = { ∈ N | ≤ 8 }，集合 = {1,3,5,8}， = {5,6,7,8}，则( ) ∪ ( )=（ ）
A．{1,2,3,4,5,8} B．{1,2,3,4,6,7} C．{5,6,7,8} D．{2,4}
2.若全集 = ，集合 = { |0 ≤ < 3}, = { |1 < < 4}，则 ∩ ( ) = （ ）
A．[0,1) B．[0,1] C．( ―∞,1) D．( ―∞,1]
3.若集合 = {1,3,5,7}， = { ∈ Z∣1 ≤ ≤ 9}，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.已知集合 = { | ― 1 < ≤ 2}， = { |0 < ≤ }，若 ∪ = { ∣ ― 1 < ≤ 3}，则 ∩ = （ ）
A．{ | ― 2 < < 0} B．{ |0 < ≤ 2 }
C．{ ∣1 < ≤ 3} D．{ ∣0 < < 2}
5.已知集合 = | 2 < 1 , = { | > }( ∈ R)，若 ∩ = ，则 的取值范围为（ ）
A．( ― ∞,1] B．(1, + ∞) C．( ― ∞,1) D．[1, + ∞)
6.已知集合 = {0,4, }， = {0, 2}，且 ∪ = ，则 m 的值为（ ）
A．0 B． ―2或2
C． ―2或1或2 D． ―2或0或1或2
7.对于集合 A，B，定义 A\B={ | ∈ 且 }，则对于集合 A={ | = 6 + 5， ∈ N}，B={ | = 3 + 7，
∈ N}， = | ∈ 且 < 1000}，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则 C 的真子集有 212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则 C 中元素个数大于 250.
C．若在横线上填入”\”，则 C 的非空真子集有 2153﹣2 个.
D．若在横线上填入”∪ N”，则 NC 中元素个数为 13.
8.已知[ ]表示不超过 x 的最大整数，集合 = { ∈ |0 < [ ] < 3 }， = |( 2 + )( 2 + 2 + ) = 0 ，且
∩ R = ，则集合 B 的子集个数为（ ）．
A．4 B．8 C．16 D．32
二、多选题
9 已知集合 = {0,1}, = | 2 ― 2 + = 0, ∈ ，若集合 满足 且 ∩ ≠ ，则下列说法正确的是
（ ）
A． = {1,2} B． = {0,1,2}
C．集合 的个数为 6 D．集合 的个数为 5
10.下列结论正确的是（ ）
A．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 < ―3
B．若{ | + 3 > 0} ∩ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 ≤ ―3
C．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 ≥ ―3
D．若{ | + 3 > 0} ∪ { | ― < 0} = ，则 的取值范围是 > ―3
11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的
数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合 和
，用 中元素为第一元素， 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作 与 的笛
卡儿积，又称直积，记为 × .即 × = {( , )| ∈ 且 ∈ }.关于任意非空集合 ， ， ，下列说法错
误的是（ ）
A． × = × B．( × ) × = × ( × )
C． × ( ∪ ) ( × ) ∪ ( × ) D． × ( ∩ ) = ( × ) ∩ ( × )
三、填空题
12．已知集合 = {1,2}, = { ― , 2 + 3}．若 ∪ = {1,2,4}，则实数 = ．
13.已知全集 = { ∈ N | ≤ 7}，集合 = {1,2,3,6}，集合 = { ∈ || | < 5}，则( ) ∩ = ，
∪ = ．
14.在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有 21 人，报名径赛的
学生有 18 人，田赛和径赛都报名的有 5 人，另外还有 4 个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共
有学生人数为 ．
四、解答题
15．已知全集 = {2,3,4,5,6,7}，集合 = {4,5,7}， = {2,3,5}，求：
(1) ∩ ， ∪ ；
(2)( ) ∩
16.设集合 = { | ― 1 ≤ ≤ 2}， = { |2 < < 3}，
(1)若 = 1，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ∩ ( )中只有一个整数，求实数 m 的取值范围．
17.已知集合 = { | ―3 ≤ ≤ 3 }， = { |3 ― < < + 1 }
(1)当 = 4时，求( ) ∩ ；
(2)在① ∪ = ② ∩ = 中任选一个作为已知，求实数 的取值范围．
18.对于集合 A，B，我们把集合{ | ∈ , }叫作集合 A 与 B 的差集，记为 ― ； ― 可用图中的阴
影部分来表示.
(1)若 = {1,3,5,9}， = {3,5,7}，求集合 ― 和 ― ；
(2)集合 = | 2 ― 5 + 6 ≤ 0 ，集合 = { |2 ― 3 ≤ ≤ 2 + 3 }，若 ― = ，求实数 m 的取值范围.
19．已知集合 = { 1, 2, , }， ∈ N ， ≥ 3，若 ∈ ， ∈ ， + ∈ 或 ― ∈ ，则称集合 A 具有
“包容”性．
(1)判断集合{ ―1,1,2,3}和集合{ ―1,0,1,2}是否具有“包容”性；
(2)若集合 = {1, , }具有“包容”性，求 2 + 2的值；
(3)若集合 C 具有“包容”性，且集合 C 的子集有 64 个，1 ∈ ，试确定集合 C．

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