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1.2.3 全称量词和存在量词
课程标准 学习目标
（1）通过已知的数学实例, 理解全称量词与存
在量词的意义; （1）掌握全称量词和存在量词的概念;
（2）能正确使用存在量词对全称量词命题进行 （2）会判断全称量词命题和存在量词命题的真假
否定； 性；（难点)
（3）能正确使用全称量词对存在量词命题进行 （3）理解全称量词命题和存在量词命题的否定.
否定。
知识点 01 含有量词的命题
1 全称量词命题
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称量词命题．
全称量词命题“对 中任意一个 ，有 ( )成立”，记作 ∈ , ( )．
Eg 1：对所有末位数是0的数能被5整除， > 0, + ≥ 2.
2 存在量词命题
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为存在量词命题．
存在量词命题“存在 中的一个 ，使 ( )成立”，记作 ∈ , ( ).
Eg：至少有一个质数是偶数， > 0, 2 ―2 + 3 < 0.
【即学即练 1】
判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数 ， 为正且 < ；
(2)存在实数 ，使得 2 ―3 ― 4 = 0；
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取 = 1，可得命题为假命题；
（2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题；
【详解】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取 = 1，则 < 不成立.
（2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ = 2 ―4 = 25 > 0.
知识点 02 含量词命题的否定
一般地，命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
【即学即练 2】
命题“ ∈ [ ― 2,3], 2 < 9”的否定是（ ）
A． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 B． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
C． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 D． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“ ∈ [ ― 2,3], 2 < 9”的否定是“ ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9”.
故选：B.
【题型一：全称量词命题和存在量词命题的判断】
例 1． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)答案见详解
【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可．
【详解】（1）全称量词命题．表示为 ∈ Ν， 2 ≥ 0．
（2）存在量词命题．表示为 一次函数，它的图象过原点．
（3）全称量词命题．表示为 二次函数，它的图象的开口都向上．
变式 1-1．下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数 x，使得 2 +3 是质数
C．每个四边形的内角和都是 360° D． ∈ ， 2 =
【答案】C
【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解.
【详解】选项 A，B，D 中，分别有“存在”，“至少”，“ ”这样的特称量词，所以选项 A，B，D 都为特称命
题，选项 C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题.
故选：C.
变式 1-2．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360 ；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数 a，b 能使| ― | = | | + | |；
(5)方程3 ― 2 = 10有整数解.
【答案】(1)全称量词命题
(2)全称量词命题
(3)全称量词命题
(4)存在量词命题
(5)存在量词命题
【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题．
【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360 ，故为全称量词命题．
（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
（5）命题可以改写为：存在一对整数 x，y，使3 ― 2 = 10成立．故为存在量词命题．
【方法技巧与总结】
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．
【题型二：全称量词命题和存在量词命题的真假性】
例 2．下列命题中错误的有（ ）个
① 20 ∈ , 0 +2 0 +2 < 0；
② 0 ∈ , 20 + 0 = ―1；
③ ∈ , 2 ― + 14 > 0；
④ ∈ , ― 2 ―1 < 0
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据全称命题和特称命题结合二次式分析判断.
【详解】对于①：因为 20 ∈ , 0 +2 0 +2 = ( 0 + 1)2 +1 ≥ 1 > 0，故①错误；
2 1 1
对于② 1：因为 0 ∈ , 20 + 0 = 0 + ― 4 ≥ ― 4 > ―12 ，故②错误；
1 1 1 2 1 1
对于③：当 = 22时，则 ― + 4 = ― 2 + 4 = 02 ，故③错误；
对于④：因为 2 ≥ 0，则 ― 2 ―1 ≤ ―1 < 0，故④正确；
可知命题中错误的有 3 个.
故选：D.
变式 2-1．下列三个命题中有几个真命题（ ）
① ∈ R， 2 ―5 ― 6 = 0；② ∈ ， 2 +2 + 3 < 0；
③至少有一个实数 ，使得 3 +1 = 0
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.
【详解】①由 2 ―5 ― 6 = ( + 1)( ― 6) = 0，可得 = ―1或 = 6，为真命题；
②由 2 +2 + 3 = ( + 1)2 +2 > 0，为假命题；
③当 = ―1时 3 +1 = 0，为真命题.
故选：C
变式 2-2．下列命题中为真命题的是（ ）
A． 1: ∈ ， 2 +1 < 0
B． 2: ∈ ， + | | > 0
C． 3: ∈ ，| | ∈
D． 4: ∈ ， 2 ―7 + 15 = 0
【答案】C
【分析】对 A：由 2 +1 ≥ 1 > 0判断命题为假；对 B：当 = 0时命题不成立；对 C：由 及 关系判断命题
为真；对 D：由Δ = 72 ―4 × 15 < 0判断命题为假.
【详解】 ∈ ， 2 +1 ≥ 1 > 0，故 1是假命题；
当 = 0时， + | | = 0，故 2是假命题；
∈ ，| | ∈ ，故 3是真命题；
方程 2 ―7 + 15 = 0中Δ = 72 ―4 × 15 < 0，此方程无解，故 4是假命题.
故选:：C.
变式 2-3．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A． ∈ R, 2 + + 3 = 0
B． ∈ R, 2 + + 2 > 0
C． ∈ R, 2 > | |
D．已知 = { ∣ = 2 }, = { ∣ = 3 }，则对于任意的 , ∈ *，都有 ∩ =
【答案】B
【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/
【详解】选项 A， ∈ R, 2 + + 3 = 0，即 2 + + 3 = 0有实数解，所以Δ = 1 ― 12 = ―11＜0，显然此方
程无实数解，故排除；
选项 B， ∈ R, 2 + + 2 > 0， 2 + + 2 = + 1 2 + 7 ≥ 7（ 2） 4 4＞0，故该选项正确；
选项 C， ∈ R, 2 > | |，而当 = 0时,0 > 0，不成立，故该选项错误，排除；
选项 D， = { ∣ = 2 }, = { ∣ = 3 }，当 , ∈ *时，当 、 取得 6 的正整数倍时， ∩ ≠ ，所以，
该选项错误，排除.
故选：B.
变式 2-4．下列命题中的假命题是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 > 0 B． ∈ R， 2 > ―
1
C． ∈ R，| | < 1 D． ∈ R，| | +1 = 2
【答案】B
【分析】逐个判定命题的真假即可
【详解】对于 A： 2 = | | ≥ 0，所以 2 +1 > 0，A 是真命题；
对于 B： 2 = | |，所以当 ≤ 0时命题不成立，B 是假命题；
对于 C：取 = 0，则满足| | < 1，所以 ∈ R，| | < 1，C 是真命题；
1 1
对于 D：取 = 1，则满足| | +1 = 2，所以 ∈ R，| | +1 = 2，D 是真命题，
故选：B
变式 2-5．设集合 = | 2 + + 2017 > 0 ， = | 2 + + 2018 > 0 ， = | 2 ― 2017 + > 0 ，
= | 2 ― 2018 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列说法正确的是（　　）
A．对 ∈ ，A 是 B 的子集；对 ∈ ，C 不是 D 的子集
B．对 ∈ ，A 是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
C． ∈ ，A 不是 B 的子集；对 ∈ ，C 不是 D 的子集
D． ∈ ，A 不是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
【答案】B
【分析】运用集合的子集的概念，令 ∈ ，推得 ∈ ，可得对任意 ， 是 的子集；再由 = 20172，
= 10092，求得集合 ， ，即可判断 正确， ， ， 错误．
【详解】解：对于集合 = | 2 + + 2017 > 0 ， = | 2 + + 2018 > 0 ，
可得当 ∈ ，即 2 + + 2017 > 0，可得 2 + + 2017 + 1 > 0，
即有 ∈ ，可得对任意 ， 是 的子集；
当 = 20172时， = | 2 ― 2017 + 20172 > 0 = ， = | 2 ― 2018 + 20172 > 0 = ，
可得 是 的子集；
当 = 10092时， = | 2 ― 2017 + 10092 > 0 = ， = | 2 ― 2018 + 10092 > 0 = { | ≠ 1009且
∈ }，
可得 不是 的子集．
综上可得，对任意 ， 是 的子集，存在 ，使得 是 的子集．
故选： ．
【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查
判断和推理能力，属于中档题．
【方法技巧与总结】
对于全称量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给与证明；若要判断命题是假命题，只需要举出个反
例；
对于存在量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给出一个正例；若要判断命题是假命题，则要证明，
往往采取反证法.
【题型三：根据全称量词命题的真假性求参数】
例 3．若 : ∈ [1,5]， 2 ― ― 4 > 0是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
> 9A． 25 B． ≥ ―
1
16 C． > 5 D． ≥ 5
【答案】C
4 1 4 1
【分析】利用参变量分离法可得出 > 2 + ，当 ∈ [1,5]时，求出 2 + 的取值范围，即可得出实数 的取
值范围.
4 1
【详解】对任意的 ∈ [1,5]， 2 ― ― 4 > 0，则 > 2 + ，
∈ 1 1 4 1因为 [1,5] 9，则5 ≤ ≤ 1，则 2 + ∈ ,5 ， ∴ > 5.25
故选：C.
变式 3-1．若命题“ ∈ R, 2 ―4 + ≠ 0”为假命题，则实数 a 的取值范围是（　　）
A． ≤ 4 B． < 4 C． < ―4 D． ≥ ―4
【答案】A
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案．
【详解】易知： ∈ R, 2 ―4 + = 0是上述原命题的否定形式，故其为真命题，
则方程 2 ―4 + = 0有实数根，即Δ = 16 ― 4 ≥ 0 ≤ 4．
故选：A．
变式 3-2．若命题“ ∈ R, 2 ―2 + 12 > 0”是真命题，则 的取值范围为（ ）
A．( ―∞,0) ∪ (12, + ∞) B．( ―∞,0] ∪ (12, + ∞)
C．(0,12) D．[0,12)
【答案】D
【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得 的取值范围.
【详解】若命题“ ∈ R, 2 ―2 + 12 > 0”是真命题，
则当 = 0时，不等式为12 > 0对 ∈ R恒成立；
当 ≠ 0 > 0时，要使得不等式恒成立，则 Δ = 4 2 ― 48 < 0 ，解得0 < < 12
综上， 的取值范围为[0,12).
故选：D.
变式 3-3．设 为给定的一个实常数，命题 : ∈ [0,3], 2 ―4 + ≥ 0，则“ > 6”是“命题 为真命题”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求出命题 为真命题时 ≥ 4，进而判断出答案.
【详解】由题意得 ≥ ― 2 +4 对 ∈ [0,3]恒成立，
其中 = ― 2 +4 = ― ( ― 2)2 +4，
故 = ― 2 +4 在 = 2处取得最大值，最大值为 4，故 ≥ 4，
即命题 为真命题时 ≥ 4，
由于 > 6 ≥ 4，但 ≥ 4 > 6，
故则“ > 6”是“命题 为真命题”的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧与总结】
1 对于恒成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【题型四：根据存在量词命题的真假性求参数】
例 4．已知函数 ( ) = 2 ― + ― 3，则“ 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”是“ < 3”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
由不等式有解得到 的取值范围，从而得到充分性不成立；通过 < 3，判断函数对应的不等式有解，说明必
要性成立.
【详解】由” 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”，即 2 ― + ― 3 < 0，所以Δ = 1 ― 4( ― 3) > 0，
即 < 134 ，充分性不成立；
已知函数 ( ) = 2 ― + ― 3，当“ < 3”时，Δ = 1 ― 4( ― 3) > 0，函数与 轴有两个交点，所以“ 0
∈ ，使 ( 0) < 0”成立，即必要性成立.
综述，已知函数 ( ) = 2 ― + ― 3，则“ 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”是“ < 3”的必要而不充分条件.
故选：B.
变式 4-1．已知“ 0 ∈ ，2024 20 ―2024 0 ― < 0”为真命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． > ―506 B． ≥ ―506 C． ≤ ―506 D． < ―506
【答案】A
【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.
【详解】“ 0 ∈ ，2024 20 ―2024 0 ― < 0”为真命题，则“ 20 ∈ ， > 2024 0 ―2024 0”为真命题，
2
而2024 20 ―2024 0 = 2024( 0 ―
1 ) ―506 ≥ ―506 1，当且仅当 0 = 2时取等号，则 > ―5062 ，
所以实数 a 的取值范围为 > ―506.
故选：A
变式 4-2．已知命题“ 20 ∈ [1,2]， 0 ―2 0 +1 > 0”是真命题，则实数 的取值范围为（ ）
( ― ∞,5] [5A． 4 B． 4, + ∞) C．( ― ∞,
5 5
4) D．(4, + ∞)
【答案】C
1
【分析】由题意可得2 < 0 + 在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求 0
的范围．
【详解】解：命题“ 0 ∈ [1，2]， 20 ―2 0 +1 > 0”是真命题，
1
即有2 < 0 + 在[1，2]的最大值，0
由 = + 1 在[1，2]
5
上单调递增，可得 = 2取得最大值2，
2 < 5则 2，可得 <
5
4，
故选： ．
【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数，运用对勾函数的单调性，考查运算能
力，属于中档题．
变式 4-3．已知命题 : ∈ [0,1], 2 ―2 ― 2 + > 0；命题 : ∈ R, 2 ―2 ― ≠ 0，若命题 , 均为假命
题，则实数 的取值范围为（ ）
A．[ ―1,3] B．[ ―1,2] C．[0,2] D．( ―∞, ― 1]
【答案】B
【分析】求出 , 为真命题时 的范围，进一步可得答案．
【详解】由 ∈ [0,1], 2 ―2 ― 2 + > 0，得 ∈ [0,1], > ― 2 +2 + 2，
― 2 +2 + 2 = ― ( ― 1)2 +3， ∈ [0,1]，
则当 = 0时， ― 2 +2 + 2取最小值 2，所以 > 2，
命题 : ∈ R, 2 ―2 ― ≠ 0，则Δ = ( ― 2)2 +4 < 0，即 < ―1，
若命题 , 均为假命题，则 ≤ 2且 ≥ ―1，即 ―1 ≤ ≤ 2，
∴实数 的取值范围为[ ―1,2]．
故选：B.
【方法技巧与总结】
1 对于能成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【题型五：含有一个量词的命题的否定】
例 5．命题“对于任意 ∈ Z，都有 2 +2 + > 0”的否定命题是（ ）
A．存在 ∈ Z，使 2 +2 + > 0
B．存在 ∈ Z，使 2 +2 + ≤ 0
C．对于任意 ∈ Z，不都有 2 +2 + ≤ 0
D．对于任意 ∈ Z，都没有 2 +2 + > 0
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“对于任意 ∈ Z，都有 2 +2 + > 0”是全称量词命题，
所以其否定命题为存在量词命题，即“存在 ∈ Z，使 2 +2 + ≤ 0”.
故选：B.
变式 5-1．命题“ ∈ R, ∈ N*，使得 ≤ ”的否定形式是（ ）
A． ∈ R, ∈ N*，使得 > B． ∈ R, ∈ N ,都有 >
C． ∈ R, ∈ N*，使得 > D． ∈ R, ∈ N ，都有 >
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.
【详解】“ ∈ R, ∈ N*，使得 ≤ ”是全称命题，全称命题的否定是特称命题
故否定形式是 ∈ R, ∈ N ，都有 > .
故选：D
变式 5-2．命题“ > 0, 2 + ― 1 > 0”的否定是（ ）
A． > 0, 2 + ― 1 > 0 B． > 0, 2 + ― 1 ≤ 0
C． ≤ 0, 2 + ― 1 > 0 D． ≤ 0, 2 + ― 1 ≤ 0
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“ > 0, 2 + ― 1 > 0”的否定为“ > 0, 2 + ― 1 ≤ 0”.
故选：B.
变式 5-3．下列命题的否定为假命题的是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 = 0 B． ∈ R，| | + < 0
C． ∈ [0, + ∞)， + 1 ≤ +1 D． ∈ R， 2 ∈ Q
【答案】C
【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得.
【详解】选项 A：因 2 +1 = 0无实数解，故命题 ∈ R， 2 +1 = 0为假命题，其否定为真命题，故 A 错
误；
选项 B：当 ≥ 0时，| | + = + = 2 ≥ 0，当 < 0时，| | + = ― + = 0，
故| | + ≥ 0，即命题 ∈ R，| | + < 0为假命题，其否定为真命题，故 B 错误；
选项 C：当 ≥ 0时，因为 + 1 ― ( + 1)2 = + 1 ― ― 2 ―1 = ―2 ≤ 0，
所以 + 1 ≤ ( + 1)2，即 + 1 ≤ +1，
故命题 ∈ [0, + ∞)， + 1 ≤ +1为真命题，其否定为假命题，故 C 正确；
选项 D： 2 = | |，因 ∈ R，所以| |不一定为有理数，
故命题 ∈ R， 2 ∈ Q为假命题，其否定为真命题，故 D 错误.
故选：C
【方法技巧与总结】
1 一般地，命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
2 常见的否定形式

是 不是 都是 不都是
等于 不等于 都不是 至少有一个是
大于 小于等于 所有 不是所有
【题型六：含有一个量词的命题的否定的应用】
例 6．已知命题 p 为“ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 ≥ 0”．若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ≥ 1 4 4B． > 1 C．7 < < 1 D．7 ≤ ≤ 1
【答案】B
【分析】将问题转化为命题 “ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 < 0”为真命题，令 ( ) = 2 +2 ― 3 ，利用
二次函数的性质求解.
【详解】解：因为命题 p“ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 ≥ 0”为假命题，
所以命题 “ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 < 0”为真命题，
令 ( ) = 2 +2 ― 3 ，其对称轴为 = ― ，
当 ― ≤ ―2，即 ≥ 2时， (1) = 1 + 2 ― 3 < 0，解得 > 1，此时 ≥ 2；
4
当 ― ≥ 1，即 ≤ ―1时， ( ―2) = 4 ― 4 ― 3 < 0，解得 > 7，此时无解；
> 1
当 ―2 < ― < 1 ―1 < < 2 (1) = 1 + 2 ― 3 < 0，即 时， ( ―2) = 4 ― 4 ― 3 < 0 ，即 > 4 ，此时1 < < 2，
7
综上：实数 a 的取值范围是 > 1，
故选：B
变式 6-1．命题“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． ≤ ― 14 B． ≤ 0 C． ≥ 6 D． ≥ 8
【答案】D
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数 的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.
【详解】若命题“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”为假命题，
则命题的否定“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― ≤ 0”为真命题，
即 ≥ 2 ― ， ∈ [ ―2,1]恒成立，
= 2 ― = ― 1
2
― 1
2 4，
∈ [ ―2,1]，当 = ―2，取得最大值 = 6，
所以 ≥ 6，选项中只有{ | ≥ 8 }是{ | ≥ 6 }的真子集，
所以命题“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”为假命题的一个充分不必要条件为 ≥ 8.
故选：D
变式 6-2．已知命题：“ ∈ R，使4 2 + 1( ― 2) + 4 = 0”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是
（ ）
A．{ | < 0 } B．{ |0 ≤ ≤ 4 }
C．{ | ≥ 4 } D．{ |0 < < 4 }
【答案】B
【分析】利用一元二次方程解的情况、含有存在量词的命题的否定、充分条件和必要条件的定义分析运算
即可得解.
【详解】解：∵“ ∈ R，使4 2 +( ― 2) + 14 = 0”是假命题，
即“ ∈ R，4 2 +( ― 2) + 14 ≠ 0”是真命题，
即方程4 2 +( ― 2) + 14 = 0没有实数根，
∴Δ = ( ― 2)2 ―4 × 4 × 14 =
2 ―4 = ( ― 4) < 0
∴0 < < 4 ∈ R 4 2 + + 1，即命题：“ ，使 ( ― 2) 4 = 0”是假命题
等价于 ∈ { |0 < < 4 }，
设有集合 ，命题 ： ∈ { |0 < < 4 }，命题 的必要不充分条件为命题 ： ∈ ，
则命题 ，而 不能 ，
∴集合{ |0 < < 4 }是集合 的真子集，选项 B 中集合{ |0 ≤ ≤ 4 }满足要求，
∴选项 B 正确.
故选：B.
变式 6-3．设函数 ( ) = 2 ― ― 1，命题“存在1 ≤ ≤ 3， ( ) ≤ ― + 2”是假命题，则实数 的取值
范围为（ ）
3 3
A．{ | < 7} B．{ | ≤ 3} C．{ | > 7} D．{ | > 3}
【答案】D
3
【分析】根据题意，转化为命题“任意1 ≤ ≤ 3， ( ) > ― + 2”为真命题，进而得到 > 2― +1在[1,3]上
3
恒成立，结合二次函数的性质，求得 2― +1的最大值，即可求解.
【详解】由命题“存在1 ≤ ≤ 3， ( ) ≤ ― + 2”的否定为命题“任意1 ≤ ≤ 3， ( ) > ― + 2”，
根据题意，可得命题“任意1 ≤ ≤ 3， ( ) > ― + 2”为真命题，
即对任意1 ≤ ≤ 3，不等式 ( ) > ― + 2恒成立，
所以 2 ― ― 1 > ― + 2，即 2 ― + > 3在[1,3]上恒成立，
> 3即 2― +1在[1,3]上恒成立，
2
令 ( ) = 2 ― + 1 = ( ― 1 ) +
3
2 4
, ∈ [1,3]，
根据二次函数的性质，当 = 1时， ( )min = (1) = 1
3
，即 2― +1的最大值为3，
所以 > 3，即实数 的取值范围为(3, + ∞).
故选：D.
变式 6-4．已知命题 : ∈ R， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
1 1 1
A． < 3 B． ≤ 1 C． ≤ 3 D． ≥ 3
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分不必要
条件的定义，可得答案.
【详解】由题意，命题 的否定为命题 ： ∈ R， 2 +2 + 3 ≤ 0，
当 = 0 3时，则2 + 3 ≤ 0，解得 ≤ ― 2，此时命题 为真；
当 < 0时，函数 ( ) = 2 +2 + 3为开口向下的二次函数，显然命题 为真；
当 > 0时，函数 ( ) = 2 +2 + 3为开口向上的二次函数，令Δ = 22 ―4 × 3 ≥ 0，
1
解得 ≤ 3，根据二次函数的性质，此时命题 为真.
综上可知，当 ∈ ―∞, 1 时，命题 为真.
3
1 1
根据题意，结合充分不必要条件的定义，由 ―∞, ―∞, ，
3 3
故选：A.
【方法技巧与总结】
命题p与命题 p的真假性是互异的.
一、单选题
1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B． ∈ ，| | +1 ≥ 1
C．有一个实数 ，使 2 +2 + 3 = 0 D．有些平行四边形是菱形
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项 CD 不合题意，再判断出命题真假即可得出结论.
【详解】对于 A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，
例如 2 是素数，但 2 是偶数，所以 A 错误；
对于 B，易知“ ∈ ，| | +1 ≥ 1”是全称量词命题，
且由| | ≥ 0可得| | +1 ≥ 1，所以是真命题，即 B 正确；
对于 C，“有一个实数 ，使 2 +2 + 3 = 0”是存在量词命题，不合题意；
对于 D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；
故选：B
2.命题“ > 1, 2 +1 > 2”的否定为（ ）
A． 1, 2 +1 2 B． > 1, 2 +1 2
C． > 1, 2 +1 2 D． 1, 2 +1 2
【答案】C
【分析】“若 ，则 ”的否定为“ 且 ”
【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“ > 1, 2 +1 2”
故选：C
3.给出下面四个命题：
① ∈ ，| | +1 ≥ 1；
② ∈ ，| | + ≥ 0；
③ ∈ ， 2的个位数字等于 3；
④ ∈ ， 2 ― + 1 = 0.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根据不等式性质和全称命题定义判断；②根据不等式性质和称命题定义判断；③用例举法判
断；④用一元二次方程根的判断式判断.
【详解】对于①，因为| | ≥ 0，所以 ∈ ，| | +1 ≥ 1，所以①对；
对于②，当 ≥ 0时，| | + = 2 ≥ 0，当 < 0时，| | + = 0 ≥ 0，所以 ∈ ，| | + ≥ 0成立，所以②
对；
对于③，设 = 10 + ， ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 2 = 10(10 2 + 2 ) + 2， 2的个位数字等于 2的个位
数字，
所以 2的个位数字都不等于 3，所以③错；
对于④，因数 = ( ―1)2 ―4 × 1 × 1 = ―3 < 0，所以方程 2 ― + 1 = 0无实数解，所以④错.
故选：B.
4.下列命题是真命题的是（ ）
A． ∈ , 2 = B． ∈ , 2 = 3
C． ∈ ,| | ∈ D． ∈ , 2 ―2 + 3 = 0
【答案】C
【分析】举反例否定选项 ABD，利用绝对值定义可得选项 C 正确.
【详解】当 = ―1时， 2 ≠ .故选项 A 判断错误；
由 2 = 3可得， =± 3.故选项 B 判断错误；
∈ ,| | ∈ .故选项 C 判断正确；
由 2 ―2 + 3 > 0，可得选项 D 判断错误.
故选：C
5.若“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 > 0”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A．( ―∞,3] B．[3, + ∞) C．(3, + ∞) D．[5, + ∞)
【答案】B
【分析】原命题为假，则其否定为真即“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 ≤ 0”是真命题，利用分离参数思想结合基
本不等式求出最值即可得结果.
【详解】因为“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 > 0”是假命题，
所以“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 ≤ 0”是真命题，
9
即存在 ∈ (1,4]，使2 ≥ + 成立.又 +
9
≥ 2
9
9 = 6等号仅当 =

，
即 = 3时成立，所以只要2 ≥ 6，解得 ≥ 3.
故选：B.
【点睛】对于能成立问题，常用到以下两个结论：
（1） ≥ ( )能成立 ≥ ( )min；
（2） ≤ ( )能成立 ≤ ( )max.
6.已知命题 : ∈ ， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命题，那么实数 的取值范围是（ ）
A． < 13 B．0 < ≤
1 ≤ 1 ≥ 13 C． 3 D． 3
【答案】C
【分析】由题意可知，命题： ∈ ， 2 +2 + 3 ≤ 0为真命题，分 = 0、 ≠ 0两种情况讨论，利用参变
量分离法求出实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，命题： ∈ ， 2 +2 + 3 ≤ 0为真命题.
①当 = 0时，则3 ≤ 0，不合乎题意；
②当 ≠ 0时，则 ≤ ― 3 2 1 2 ― ，令 = ≠ 0，
2
则 = ―3 2 ―2 = ―3 + 1 + 13 3，
所以，当 = ― 13时，
1 1
max = 3，则 ≤ 3.
≤ 1综上所述，实数 的取值范围是 3.
故选：C.
7.已知命题 : ∈ ， + 1 < 0，命题 : ∈ ， 2 + + 1 > 0恒成立，若 ， 至少有一个是假命题，
则实数 的取值范围是
A．[ ―2, ― 1) B．( ―∞, ― 2] C．[ ―2, ― 1] D．[ ―1, + ∞)
【答案】B
【解析】根据题意可判断命题 为真命题，所以可得命题 必定为假命题，进而得到参数的取值范围；
【详解】因为 ， 中至少有一个为假命题，而命题 : ∈ ， + 1 < 0为真命题；
所以命题 必定为假命题，所以 = 2 ―4 × 1 ≥ 0，解得 ≤ ―2或 ≥ 2.
又命题 : ∈ ， + 1 < 0为真命题，所以 < ―1，于是 ≤ ―2.
故选：B.
【点睛】本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化
与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8.已知命题 ：任意 ∈ [1,2], 2 ― ≥ 0，命题 ：存在 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 ― = 0，若“ 且 ”是假命题，则
实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 2] B．( ―∞,1] C．( ―∞, ― 2] ∪ {1} D．( ―2,1) ∪ (1, + ∞)
【答案】D
【分析】首先分别求两个命题为真命题时 的取值范围，取其补集即可得答案.
【详解】
命题 为真时 ≤ 2恒成立， ∈ [1,2]，即 ≤ ( 2)min， ≤ 1，
命题 为真时Δ ≥ 0，即4 2 ―4(2 ― ) ≥ 0 ，解得： ≤ ―2或 ≥ 1.
命题“ 且 ”是真命题时，取交集部分，可得 ≤ ―2或 = 1，
所以命题“ 且 ”是假命题时，可得 > ―2且 ≠ 1，
故选： D.
二、多选题
9．下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
B．对任意的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0成立
C．对所有的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0不成立
D．存在 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
【答案】BC
【分析】利用全称量词命题的定义逐项判断可得出结论.
【详解】由全称量词命题的否定可知，BC 选项中的命题为全称量词命题，AD 选项中的命题不是全称量词
命题.
故选：BC.
10.下列说法中正确的有（ ）
A．命题 ∈ , 2 +2 + 2 ≥ 0是全称量词命题
B．“| | > | |”是“ > ”的既不充分又不必要条件
C．命题“ ∈ , 2 > 0”是真命题
D．“ < 0”是“关于 的方程 2 ―2 + = 0有一正一负根”的充要条件
【答案】ABD
【分析】选项 A 直接根据全称量词命题的定义判断，选项 B 利用特殊值法判断即可，选项 C 取特殊值说明
即可，选项 D 利用充要条件判断即可.
【详解】命题 ∈ , 2 +2 + 2 ≥ 0是全称量词命题，A 正确；
| | > | |不能推出 > ，例如| ―2| > |1|，但 ―2 < 1；
> 也不能推出| | > | |，例如2 > ―3，而|2| < | ―3|；
所以“| | > | |”是“ > ”的既不充分又不必要条件，B 正确；
当 = 0时， 2 = 0，所以 C 错误；
关于 的方程 2 ―2 + = 0 4 ― 4 > 0有一正一负根 < 0 < 0 ，
所以“ < 0”是“关于 的方程 2 ―2 + = 0有一正一负根”的充要条件，
故 D 选项正确．
故选：ABD．
11.下列四个结论中正确的是（ ）
A．命题“ ∈ ，3 2 ―2 ― 1 < 0”的否定是“ 0 ∈ ，3 20 ―2 0 ―1 > 0”
B．设 ， ∈ ，则“ 2 > 2”的充分不必要条件是“ > ”
C．若“ 0 ∈ ， 20 ―2 0 ― < 0”为假命题，则 ≤ ―1
D．若函数 ( ) = 2 ―2 + 4在区间[0, ]上的最大值为 4，最小值为 3，则实数 的取值范围是[1,2]
【答案】CD
【分析】由全称命题的否定即可判断 A，举出反例即可判断 B，由一元二次不等式恒成立即可判断 C，由二
次函数的对称性即可判断 D.
【详解】命题“ ∈ ，3 2 ―2 ― 1 < 0”的否定是“ 0 ∈ ，3 20 ―2 0 ―1 ≥ 0”，故 A 错误；
当 > 时，得不到 2 > 2，比如当 = 1, = ―2时，不满足；
当 2 > 2时，也得不到 > ，比如当 = ―2, = 1，故 B 错误；
若“ 2 20 ∈ ， 0 ―2 0 ― < 0”为假命题，则“ ∈ ， ―2 ― ≥ 0”为真命题，
则Δ = ( ―2)2 +4 ≤ 0 ≤ ―1，故 C 正确；
函数 ( ) = 2 ―2 + 4 = ( ― 1)2 +3，其对称轴为 = 1，由于函数在区间[0, ]上的最大值为 4，最小值
为 3，则1 ≤ ≤ 2，故 D 正确；
故选：CD
三、填空题
12．命题 : , ∈ R, 2 + 2 ≤ 1是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或
“假”)．
【答案】 存在量词命题 真
【分析】根据量词“ ”即可判断它是存在量词命题，通过举列子可说明是真命题.
【详解】命题 p 是存在量词命题，当 = = 0时， 2 + 2 = 0 ≤ 1成立，故 p 是真命题．
故答案为：存在量词命题；真.
13.已知命题 : ∈ R 1， 2―1 ≤ 0，则 的否定形式是： .
【答案】 ∈ R 1， 2―1 > 0或 =± 1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【详解】根据题意，命题 等价于 ∈ R, 2 ―1 < 0，其否定为 ∈ R, 2 ―1 ≥ 0，
1
即 ∈ R, 2―1 > 0或 =± 1，
故答案为： ∈ R 1， 2―1 > 0或 =± 1.
14.若“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”的否定是假命题，则实数 的取值范围是 ．
【答案】[1, + ∞)
【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”是真命题，再利用存在量词命题
为真得关于 x 的方程 2 +2 + 2 ― = 0有实根，最后利用判别式计算得结论．
【详解】因为“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”的否定是假命题，
所以“ 20 ∈ R, 0 +2 0 +2 = ”是真命题，
因此关于 x 的方程 2 +2 + 2 ― = 0有实根，
所以Δ = 22 ―4 × 1 × (2 ― ) ≥ 0，解得 ≥ 1．
因此实数 m 的取值范围是 ≥ 1．
故答案为：[1, + ∞)．
四、解答题
15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，既能被 11 整除，又能被 9 整除；
(2) ∈ R， 2 ―4 + 6 > 0；
(3) ∈ N*，使 为 29 的约数；
(4) ∈ N， 2 > 0．
【答案】(1)存在量词命题，真命题
(2)全称量词命题，真命题
(3)存在量词命题，真命题
(4)全称量词命题，假命题
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题.
【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，
99既能被11整除，又能被9整除，故该命题为真命题．
（2）命题中含有全称量词“ ”，故是全称量词命题，
因为 2 ―4 + 6 = ( ― 2)2 +2 ≥ 2，所以 2 ―4 + 6 > 0恒成立，故该命题为真命题．
（3）命题中含有存在量词“ ”，故是存在量词命题，
当 = 1时， 为29的约数，所以该命题为真命题．
（4）命题中含有全称量词“ ”，故是全称量词命题，
当 = 0时， 2 = 0，所以该命题为假命题．
16.已知 ∈ ，命题 : ∈ , 2 ―4 + ≤ 0, : ∈ , 2 ―( ― 3) + 1 ≥ 0．
(1)判断 , 是全称量词命题，还是存在量词命题；
(2)若 , 均为真命题，求 的取值范围．
【答案】(1) 是存在量词命题， 是全称量词命题
(2)[1,4]
【分析】（1）根据定义判断是全称量词命题，或是存在量词命题即可；
（2）根据命题均为真命题分别求出 的范围，之后取交集即可.
【详解】（1）因为符号“ ”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词，
所以 是存在量词命题．
因为符号“ ”表示“所有”，“所有”是全称量词，
所以 是全称量词命题．
（2）若 : ∈ , 2 ―4 + ≤ 0为真命题，则Δ1 = 16 ― 4 ≥ 0，解得 ≤ 4．
若 : ∈ , 2 ―( ― 3) + 1 ≥ 0为真命题，则Δ 22 = ( ― 3) ―4 ≤ 0，解得1 ≤ ≤ 5．
因为 , 均为真命题，所以 的取值范围为[1,4]．
17.设命题 : ∈ [ ―1,1]，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0恒成立；命题 : ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2
―3 成立．
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 、 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．
【答案】(1)( ― ∞,0)
(2)( ― ∞,3]
【分析】（1）若 为真命题，即 ∈ ―1，1 ，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0成立，则转化对于 ∈
―1，1 ， < （ ― 2 +2 + 3） 即可.min
（2）若 为真命题，即 ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2 ―3 成立，则转化为对于 ∈ [0,1]，(2 ― 2)max ≥
2 ―3 即可.
【详解】（1）若 为真命题，即 ∈ ―1，1 ，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0成立，
则对于 ∈ ―1，1 ， < （ ― 2 +2 + 3） 即可.min
由于 ∈ ―1，1 ,（ ― 2 +2 + 3） = 0，则 ∈ ( ― ∞,0)min
（2）若 为真命题，即 ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2 ―3 成立，
则对于 ∈ [0,1]，(2 ― 2) 2max ≥ ―3 即可.
由于 ∈ 0，1 ，2 ― 2 ∈ ―2，0 ， ∴ 2 ―3 ≤ 0，解得 ∈ 0，3
p q < 0 ≥ 0、 有且只有一个是真命题，则 < 0或 > 3 或 0 ≤ ≤ 3 ，
解得 ∈ ( ― ∞,3].
18.已知命题：“ ∈ { ∣ ― 1 < < 1}，使等式4 2 ― ― = 0成立”是真命题.
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)设不等式( ― )( + ― 2) < 0的解集为 ，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，求 的取值范围.
【答案】(1) = | ― 1 ≤ < 516
(2) ≥ 5或 ≤ ―3
【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为 在 ( )值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为 ，然后分 > 1， = 1与 < 1讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意，方程 = 4 2 ― 在( ―1,1)上有解，
2
令 ( ) = 4 2 ― = 2 ― 1 ―
1
4 16( ―1 < < 1)，只需 在 ( )值域内，
当 = 18时， ( )min = ―
1
16，当 = ―1时， ( ) = 5，
( ) ― 1所以 值域为 ,5 ，
16
∴ 1的取值集合为 = | ― ≤ < 5 ；16
（2）由题意， ，显然 不为空集.
①当 > 2 ― ，即 > 1时， = (2 ― , )，
2 ― < ― 1
16
≥ 5 ， ∴ ≥ 5；
> 1
②当 = 2 ― ，即 = 1时， = ，不合题意舍去；
③当 < 2 ― ，即 < 1时， = ( ,2 ― ).
2 ― ≥ 5
< ― 1
16 ， ∴ ≤ ―3；
< 1
综上可得 ≥ 5或 ≤ ―3.
19．已知集合 = { | ―3 ≤ < 4 }, = { |2 ― 1 ≤ ≤ + 1 }
(1)若 ∪ ≠ ，求实数 的取值范围.
(2)命题 q：“ ∈ ，使得 ∈ ”是真命题，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1){ | < ―1 }
(2){ | ―4 ≤ ≤ 2}
【分析】（1）考虑 ∪ = 的情况，然后求解出 的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结
果；
（2）根据条件先分析出 ∩ ≠ ，然后考虑 ∩ = 的情况，由此求解出符合条件的 的取值范围.
【详解】（1）当 ∪ = 时， ，
若 = ，满足 ，则 + 1 < 2 ― 1，解得 > 2；
2 ― 1 ≥ ―3
若 ≠ ，因为 ，所以 + 1 < 4 ，所以 ―1 ≤ ≤ 2，
2 ― 1 ≤ + 1
所以 ∪ = 时， 的取值范围是{ | ≥ ―1 }，
所以 ∪ ≠ 时， 的取值范围是{ | < ―1 }.
（2）因为“ ∈ ，使得 ∈ ”是真命题，所以 ∩ ≠ ，
当 ∩ = 时，
若 = ， ∩ = 成立，此时 + 1 < 2 ― 1，解得 > 2；
若 ≠ + 1 < ―3 2 ― 1 ≥ 4，则有 + 1 ≥ 2 ― 1 或 + 1 ≥ 2 ― 1 ，解得 < ―4，
所以 ∩ = 时， 的取值范围是{ | < ―4 或 > 2}，
所以命题 为真命题时 的取值范围是{ | ―4 ≤ ≤ 2} .1.2.3 全称量词和存在量词
课程标准 学习目标
（1）通过已知的数学实例, 理解全称量词与存
在量词的意义; （1）掌握全称量词和存在量词的概念;
（2）能正确使用存在量词对全称量词命题进行 （2）会判断全称量词命题和存在量词命题的真假
否定； 性；（难点)
（3）能正确使用全称量词对存在量词命题进行 （3）理解全称量词命题和存在量词命题的否定.
否定。
知识点 01 含有量词的命题
1 全称量词命题
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称量词命题．
全称量词命题“对 中任意一个 ，有 ( )成立”，记作 ∈ , ( )．
Eg 1：对所有末位数是0的数能被5整除， > 0, + ≥ 2.
2 存在量词命题
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为存在量词命题．
存在量词命题“存在 中的一个 ，使 ( )成立”，记作 ∈ , ( ).
Eg：至少有一个质数是偶数， > 0, 2 ―2 + 3 < 0.
【即学即练 1】
判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数 ， 为正且 < ；
(2)存在实数 ，使得 2 ―3 ― 4 = 0；
知识点 02 含量词命题的否定
一般地，命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
【即学即练 2】
命题“ ∈ [ ― 2,3], 2 < 9”的否定是（ ）
A． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 B． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
C． ∈ [ ― 2,3], 2 > 9 D． ∈ [ ― 2,3], 2 ≥ 9
【题型一：全称量词命题和存在量词命题的判断】
例 1． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．
变式 1-1．下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数 x，使得 2 +3 是质数
C．每个四边形的内角和都是 360° D． ∈ ， 2 =
变式 1-2．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360 ；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数 a，b 能使| ― | = | | + | |；
(5)方程3 ― 2 = 10有整数解.
【方法技巧与总结】
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．
【题型二：全称量词命题和存在量词命题的真假性】
例 2．下列命题中错误的有（ ）个
① 0 ∈ , 20 +2 0 +2 < 0；
② 0 ∈ , 20 + 0 = ―1；
③ ∈ , 2 ― + 14 > 0；
④ ∈ , ― 2 ―1 < 0
A．0 B．1 C．2 D．3
变式 2-1．下列三个命题中有几个真命题（ ）
① ∈ R， 2 ―5 ― 6 = 0；② ∈ ， 2 +2 + 3 < 0；
③至少有一个实数 ，使得 3 +1 = 0
A．0 B．1 C．2 D．3
变式 2-2．下列命题中为真命题的是（ ）
A． 1: ∈ ， 2 +1 < 0 B． 2: ∈ ， + | | > 0
C． 3: ∈ ，| | ∈ D． 4: ∈ ， 2 ―7 + 15 = 0
变式 2-3．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A． ∈ R, 2 + + 3 = 0
B． ∈ R, 2 + + 2 > 0
C． ∈ R, 2 > | |
D．已知 = { ∣ = 2 }, = { ∣ = 3 }，则对于任意的 , ∈ *，都有 ∩ =
变式 2-4．下列命题中的假命题是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 > 0 B． ∈ R， 2 > ―
1
C． ∈ R，| | < 1 D． ∈ R，| | +1 = 2
变式 2-5．设集合 = | 2 + + 2017 > 0 ， = | 2 + + 2018 > 0 ， = | 2 ― 2017 + > 0 ，
= | 2 ― 2018 + > 0 ，其中 a， ∈ ，下列说法正确的是（　　）
A．对 ∈ ，A 是 B 的子集；对 ∈ ，C 不是 D 的子集
B．对 ∈ ，A 是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
C． ∈ ，A 不是 B 的子集；对 ∈ ，C 不是 D 的子集
D． ∈ ，A 不是 B 的子集； ∈ ，C 是 D 的子集
【方法技巧与总结】
对于全称量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给与证明；若要判断命题是假命题，只需要举出个反
例；
对于存在量词命题，若要判断命题是真命题，则需要给出一个正例；若要判断命题是假命题，则要证明，
往往采取反证法.
【题型三：根据全称量词命题的真假性求参数】
例 3．若 : ∈ [1,5]， 2 ― ― 4 > 0是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． > 9 125 B． ≥ ― 16 C． > 5 D． ≥ 5
变式 3-1．若命题“ ∈ R, 2 ―4 + ≠ 0”为假命题，则实数 a 的取值范围是（　　）
A． ≤ 4 B． < 4 C． < ―4 D． ≥ ―4
变式 3-2．若命题“ ∈ R, 2 ―2 + 12 > 0”是真命题，则 的取值范围为（ ）
A．( ―∞,0) ∪ (12, + ∞) B．( ―∞,0] ∪ (12, + ∞)
C．(0,12) D．[0,12)
变式 3-3．设 为给定的一个实常数，命题 : ∈ [0,3], 2 ―4 + ≥ 0，则“ > 6”是“命题 为真命题”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【方法技巧与总结】
1 对于恒成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【题型四：根据存在量词命题的真假性求参数】
例 4．已知函数 ( ) = 2 ― + ― 3，则“ 0 ∈ ，使 ( 0) < 0”是“ < 3”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式 4-1．已知“ ∈ ，2024 20 0 ―2024 0 ― < 0”为真命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． > ―506 B． ≥ ―506 C． ≤ ―506 D． < ―506
变式 4-2．已知命题“ 0 ∈ [1,2]， 20 ―2 0 +1 > 0”是真命题，则实数 的取值范围为（ ）
5 5 5 5
A．( ― ∞,4] B．[4, + ∞) C．( ― ∞,4) D．(4, + ∞)
变式 4-3．已知命题 : ∈ [0,1], 2 ―2 ― 2 + > 0；命题 : ∈ R, 2 ―2 ― ≠ 0，若命题 , 均为假命
题，则实数 的取值范围为（ ）
A．[ ―1,3] B．[ ―1,2] C．[0,2] D．( ―∞, ― 1]
【方法技巧与总结】
1 对于能成立求参数问题，可转化为最值问题，可采取分离参数法；
2 ∈ ， ≥ ( )恒成立 ≥ ( ) ； ∈ ， ≤ ( )恒成立 ≥ ( ) .
【题型五：含有一个量词的命题的否定】
例 5．命题“对于任意 ∈ Z，都有 2 +2 + > 0”的否定命题是（ ）
A．存在 ∈ Z，使 2 +2 + > 0
B．存在 ∈ Z，使 2 +2 + ≤ 0
C．对于任意 ∈ Z，不都有 2 +2 + ≤ 0
D．对于任意 ∈ Z，都没有 2 +2 + > 0
变式 5-1．命题“ ∈ R, ∈ N*，使得 ≤ ”的否定形式是（ ）
A． ∈ R, ∈ N*，使得 > B． ∈ R, ∈ N ,都有 >
C． ∈ R, ∈ N*，使得 > D． ∈ R, ∈ N ，都有 >
变式 5-2．命题“ > 0, 2 + ― 1 > 0”的否定是（ ）
A． > 0, 2 + ― 1 > 0 B． > 0, 2 + ― 1 ≤ 0
C． ≤ 0, 2 + ― 1 > 0 D． ≤ 0, 2 + ― 1 ≤ 0
变式 5-3．下列命题的否定为假命题的是（ ）
A． ∈ R， 2 +1 = 0 B． ∈ R，| | + < 0
C． ∈ [0, + ∞)， + 1 ≤ +1 D． ∈ R， 2 ∈ Q
【方法技巧与总结】
1 一般地，命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”；
命题“ x ∈ I, ( )”的否定是“ x ∈ I, ( )”.
2 常见的否定形式

是 不是 都是 不都是
等于 不等于 都不是 至少有一个是
大于 小于等于 所有 不是所有
【题型六：含有一个量词的命题的否定的应用】
例 6．已知命题 p 为“ ∈ [ ― 2,1]， 2 +2 ― 3 ≥ 0”．若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
≥ 1 > 1 4A． B． C．7 < < 1
4
D．7 ≤ ≤ 1
变式 6-1．命题“ ∈ [ ―2,1]， 2 ― ― > 0”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． ≤ ― 14 B． ≤ 0 C． ≥ 6 D． ≥ 8
变式 6-2．已知命题：“ ∈ R，使4 2 + 1( ― 2) + 4 = 0”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是
（ ）
A．{ | < 0 } B．{ |0 ≤ ≤ 4 } C．{ | ≥ 4 } D．{ |0 < < 4 }
变式 6-3．设函数 ( ) = 2 ― ― 1，命题“存在1 ≤ ≤ 3， ( ) ≤ ― + 2”是假命题，则实数 的取值
范围为（ ）
A．{ | < 37} B．{ | ≤ 3}
3
C．{ | > 7} D．{ | > 3}
变式 6-4．已知命题 : ∈ R， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． < 13 B． ≤ 1 C． ≤
1
3 D． ≥
1
3
【方法技巧与总结】
命题p与命题 p的真假性是互异的.
一、单选题
1．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B． ∈ ，| | +1 ≥ 1
C．有一个实数 ，使 2 +2 + 3 = 0 D．有些平行四边形是菱形
2.命题“ > 1, 2 +1 > 2”的否定为（ ）
A． 1, 2 +1 2 B． > 1, 2 +1 2
C． > 1, 2 +1 2 D． 1, 2 +1 2
3.给出下面四个命题：
① ∈ ，| | +1 ≥ 1；
② ∈ ，| | + ≥ 0；
③ ∈ ， 2的个位数字等于 3；
④ ∈ ， 2 ― + 1 = 0.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.下列命题是真命题的是（ ）
A． ∈ , 2 = B． ∈ , 2 = 3
C． ∈ ,| | ∈ D． ∈ , 2 ―2 + 3 = 0
5.若“ ∈ (1,4]， 2 ―2 + 9 > 0”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A．( ―∞,3] B．[3, + ∞) C．(3, + ∞) D．[5, + ∞)
6.已知命题 : ∈ ， 2 +2 + 3 > 0的否定是真命题，那么实数 的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． < 3 B．0 < ≤ 3 C． ≤ 3 D． ≥ 3
7.已知命题 : ∈ ， + 1 < 0，命题 : ∈ ， 2 + + 1 > 0恒成立，若 ， 至少有一个是假命题，
则实数 的取值范围是
A．[ ―2, ― 1) B．( ―∞, ― 2] C．[ ―2, ― 1] D．[ ―1, + ∞)
8.已知命题 ：任意 ∈ [1,2], 2 ― ≥ 0，命题 ：存在 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 ― = 0，若“ 且 ”是假命题，则
实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 2] B．( ―∞,1] C．( ―∞, ― 2] ∪ {1} D．( ―2,1) ∪ (1, + ∞)
二、多选题
9．下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
B．对任意的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0成立
C．对所有的 ∈ ，都有 2 +2 + 1 = 0不成立
D．存在 ∈ ，使 2 +2 + 1 = 0成立
10.下列说法中正确的有（ ）
A．命题 ∈ , 2 +2 + 2 ≥ 0是全称量词命题
B．“| | > | |”是“ > ”的既不充分又不必要条件
C．命题“ ∈ , 2 > 0”是真命题
D．“ < 0”是“关于 的方程 2 ―2 + = 0有一正一负根”的充要条件
11.下列四个结论中正确的是（ ）
A．命题“ ∈ ，3 2 ―2 ― 1 < 0”的否定是“ 20 ∈ ，3 0 ―2 0 ―1 > 0”
B．设 ， ∈ ，则“ 2 > 2”的充分不必要条件是“ > ”
C．若“ 0 ∈ ， 20 ―2 0 ― < 0”为假命题，则 ≤ ―1
D．若函数 ( ) = 2 ―2 + 4在区间[0, ]上的最大值为 4，最小值为 3，则实数 的取值范围是[1,2]
三、填空题
12．命题 : , ∈ R, 2 + 2 ≤ 1是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或
“假”)．
1
13.已知命题 : ∈ R， 2―1 ≤ 0，则 的否定形式是： .
14.若“ 0 ∈ R, 20 +2 0 +2 = ”的否定是假命题，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，既能被 11 整除，又能被 9 整除；
(2) ∈ R， 2 ―4 + 6 > 0；
(3) ∈ N*，使 为 29 的约数；
(4) ∈ N， 2 > 0．
16.已知 ∈ ，命题 : ∈ , 2 ―4 + ≤ 0, : ∈ , 2 ―( ― 3) + 1 ≥ 0．
(1)判断 , 是全称量词命题，还是存在量词命题；
(2)若 , 均为真命题，求 的取值范围．
17.设命题 : ∈ [ ―1,1]，使得不等式 2 ―2 ― 3 + < 0恒成立；命题 : ∈ [0,1]，不等式2 ― 2 ≥ 2
―3 成立．
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 、 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．
18.已知命题：“ ∈ { ∣ ― 1 < < 1}，使等式4 2 ― ― = 0成立”是真命题.
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)设不等式( ― )( + ― 2) < 0的解集为 ，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，求 的取值范围.
19．已知集合 = { | ―3 ≤ < 4 }, = { |2 ― 1 ≤ ≤ + 1 }
(1)若 ∪ ≠ ，求实数 的取值范围.
(2)命题 q：“ ∈ ，使得 ∈ ”是真命题，求实数 m 的取值范围.

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