资源简介

☆紧
2.1.1等式与不等式
01
学习目标
课程标准
学习目标
(1)掌握不等式的性质，并会利用；
(1)梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌
(2)掌握利用作差或作商法比较两数或两式大小：
握不等式的性质。
(3)掌握证明不等式的技巧.（难点）
02
思维导图
知识点1关于两数大小的基本事实
1传递性
2.1.1等式与不等式
2加法法测
知识点2不等式的性质
3乘法法测
4倒数法则
5乘方法则
03
知识清单
知识点01关于两数大小的基本事实
如果a-b>0,那么a>b;如果a-b=0,那么a=b:如果a-b<0,那么a【即学即练1】比较x2-x+3与x+1的大小
解析：(x2-x+3)-(x+1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
x2-x+3>x+1.
知识点02不等式的性质
秦
(1)传递性：a>b,b>c→a>c:
(2)加法法则：a>b→a+c>b+c,a>b,c>d→a+c>b+d:
(3)乘法法则：a>b,c>0→ac>bc,a>b,c<0→ac(④)倒数法则：a>b,b>0→<：
(⑤)乘方法则：a>b>0a”>b”(n∈N*且n>1).
【即学即练2】己知a+b<0且a>0,则()
A、a2<-abB、b2<-abC、a2D、-ab解析a+b<0且a>0,.b<0,
'a+b<0,÷a<-b,又a>0,a2<-ab,
'a+b<0,b<-a,又b<0,b2>-ab,
a2<-ab题型精讲
题型4作商法比较代数式的大小
题型1由已知条件判断所给不等式是否正确
题型5利用不等式求值或取值范围
2.1.1等式与不等式
题型2比较两个数的大小
题型6证明不等式
题型3作差法比较代数式的大小
【题型一：由已知条件判断所给不等式是否正确】
例1.根据条件：a,b,c满足c0②c(b-a)
<0③cb2≤ab2④ab>ac其中正确的是()
A.①②
B.③④
c.①③
D.②④
【答案】B
【分析】由c【详解】由c对于b的值可正可负也可为0，
因为ac<0,而a-c>0,所以aC(a-c)<0,所以①错误；
因为c<0,b-a<0,从而C(b-a)>0,所以②错误：
因为b2≥0，当b2=0时，cb2=ab2=0,
紧2.1.1 等式与不等式
课程标准 学习目标
（1）掌握不等式的性质，并会利用;
（1）梳理等式的性质, 理解不等式的概念, 掌
（2）掌握利用作差或作商法比较两数或两式大小；
握不等式的性质。
（3）掌握证明不等式的技巧.（难点)
知识点 01 关于两数大小的基本事实
如果a ― b > ，那么a > ；如果a ― b = ，那么a = ；如果a ― b < ，那么a < .
【即学即练 1】比较 2 ― + 3与 + 1的大小.
知识点 02 不等式的性质
(1) 传递性： > , > > ；
(2) 加法法则： > + > + , > , > + > + ；
(3) 乘法法则： > , > 0 > , > , < 0 < ；
(4) 倒数法则： > , > 0 1 < 1 ；
(5) 乘方法则： > > 0 > ( ∈ 且 > 1).
【即学即练 2】已知 + < 0且 > 0，则 ( )
A、 2 < ― < 2 B、 2 < ― < 2
C、 2 < 2 < ― D、 ― < 2 < 2
【题型一：由已知条件判断所给不等式是否正确】
例 1．根据条件：a，b，c 满足 < < ，且 + + = 0，有如下推理：① ( ― ) > 0
② ( ― ) < 0 ③ 2 ≤ 2 ④ > 其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
变式 1-1．已知 , , ∈ 且 > ，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． < B．
2 > 2

C． | | >

| | D． 2+1 > 2+1
变式 1-2．若| | > | |，则下列不等式成立的是（ ）
― > 0 1 1A． B． <
C． > D． 2 > 2
变式 1-3．若 , ∈ ，且 > ，则（ ）
1 1 +
A． 2+1 < 2+1 B．
2 > 2 C． 2 > > 2 D． > 2 >
【方法技巧与总结】
利用不等式的性质求解，若是选择题，也可采取排除法，即通过举反例进行否定.
【题型二：比较两个数的大小】
例 2．设 = 13， = 7 ― 5， = 11 ―3，则 , , 的大小顺序是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
变式 2-1．设 = 7， = 3 ― 3，则 （填入“＞”或“＜”）．
变式 2-2．设 = 2， = 7 ― 3， = 6 ― 2，则 P，Q，R 的大小顺序是（ ）
A． > > B． > >
C． > > D． > >
【方法技巧与总结】
比较带有根号的两个数的大小，思考方向主要是分析法，把带有根号的数值通过平方转化为不带根号的数
值比较大小.
【题型三：作差法比较代数式的大小】
例 3．实数 ， ， 满足 2 = 2 + ― ― 1且 + 2 +1 = 0，则下列关系式成立的是（ ）
A． ≥ > B． > > C． > ≥ D． > ≥
变式 3-1．下列不等式中成立的是（ ）

A． > > 0 +2 ，则 > +2 B． > > 0，则 ― > ―
C． < < 0 1 1，则 2 < 2 D． < < 0，则 <
变式 3-2．已知实数 a，b，c 满足3 × 2 ― 2 +1 = 0，且 = + 2 ― + 1( ∈ R)，则 a，b，c 的大小关系
是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
变式 3-3．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为 1， 2且 1 ≠ 2.若
他每次购买数量一定，其平均价格为 1；若他每次购买的费用一定，其平均价格为 2，则（ ）
A． 1 < 2 B． 1 > 2
C． 1 = 2 D． 1， 2不能比较大小
【方法技巧与总结】
1 如果a ― b > ，那么a > ；如果a ― b = ，那么a = ；如果a ― b < ，那么a < .
2 比较两个式子 ，b 大小，可采取作差法，判断 ― 与0的大小比较.
【题型四：作商法比较代数式的大小】
例 4．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑
步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？
变式 4-1．已知 c＞1，且 x＝ + 1－ ，y＝ － ― 1，则 x，y 之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y 的关系随 c 而定
变式 4-2．设 = ( 2 + + 1)―1， = 2 ― + 1，则（ ）．
A． > B． < C． ≥ D． ≤
变式 4-3．设 , ∈ +，试比较 与 的大小.
【方法技巧与总结】
a a a
1 如果b > ，且b > 0，那么a > ；如果b = ，那么a = ；如果b < ，且b > 0，那么a < .
a
2 比较两个式子 ，b 大小，可采取作商法，判断b与1的大小比较，但此时要注意 的正负；
3 往往式子是幂的形式，常用作商法.
【题型五：利用不等式求值或取值范围】
例 5．（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ = ”作为等号使用，后来
英国数学家哈里奥特首次使用“ < ”和“ > ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响
深远.已知 ―1 < < 6,3 < < 8，则下列结果正确的有（ ）
1
A． ― 3 < < 2 B．2 < + < 14
C． ―4 < ― < ―2 D． ―3 < < 48
变式 5-1．已知1 < < 3， ―2 < < 1，则 + 2 的取值范围是 .
变式 5-2．若实数 x，y 满足 1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则 xy5的取值范围是 ．
变式 5-3．（多选）已知实数 x，y 满足1 < < 6，2 < < 3，则（ ）
A．3 < + < 9 B． ―1 < ― < 3
1
C．2 < < 18 D．2 < ―1 < 6
【方法技巧与总结】
1 利用不等式求值或取值范围，要注意严谨地不等式性质，不能想当然；

2 若a < < ，c < < ，则 + < + < + ― < ― < ― < < ，但 和 是不对的.
【题型六：证明不等式】
例 6．证明下列不等式：
2 2
(1)若 > 0, > 0 ，求证： +

≥ + ；

(2)若 > > 0， < < 0， < 0，求证：( ― )2 > ( ― )2．
变式 6-1．已知函数 ( ) = | ― 1|．若| | < 1，| | < 1，且 ≠ 0，求证： ( ) > | | ．

变式 6-2．设 , , ∈ ， + + = 0， = 1.
(1)证明： + + < 0；
(2)若 > ，证明 3 > 3.
变式 6-3．已知 克糖水中含有 克糖( > > 0)，再添加 克糖( > 0)（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角 △ 中，根据（1）中的结论，证明： + + + + + < 2.
【方法技巧与总结】
不等式的证明主要思路包括直接使用不等式的性质、作差法、作商法，也可利用分析法先把要证明的不等
式转化为较为简单的不等式形式.
一、单选题
1．若 > ，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 < 1A． B．
2 > 2 C． 2 > D．2 > +
2.如果 <0， ―1 < < 0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． > > 2 B． 2 > > C． > > 2 D． > 2 >
3.若 > > 0，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
+1
A． +1 > B． < C． > > +
1
D． > +
1

4. 1 1若 、 为实数，则“0 < < 1”是“ < 或 > ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.设 > > 0，且 + = 1 1，则此四个数2,2 ,
2 + 2, 中最大的是（ ）
1
A． B． 2 + 2 C．2 D．2
6.设0 < < 1，已知 = 1 + ， = 2 ， =
1
1― ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． > > B． > >
C． > > D． > >
7.同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油
习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加 300 元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候
小明若有所思，如果爸爸 妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为 x 元/升，第二次加油汽油单价是 y 元/升
( ≠ )，妈妈每次加满油箱，需加油 a 升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸 妈妈谁更合算
呢？（ ）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
8.已知 , , 为三个非负实数，且满足3 + 2 + = 5,2 + ― 3 = 1，若 = 3 + ― 7 ，则 u 的最大值与
最小值之和为（ ）
― 62 64 66 68A． 77 B． ― 77 C． ― 77 D． ― 77
二、多选题
9．若 , , ∈ ，则下列命题错误的是（ ）
A．若 > ，则 2 > 2 1 1 B．若 > ，则 <

C．若 > > > 0 <
+
，则 + D．若 > > > 0，则 ― > ―
10.已知实数 ， ， 满足 + + = 0且 > > ，则（ ）
A． > B． 2 > 2
C．2 ― 2 < 2 ― 2 D．( ― )2 ≤ 2( ― )2 +2( ― )2
11.已知 ―1 < < 6,3 < < 8，则下列结果正确的有（ ）
1
A． ― 3 < < 2 B．2 < + < 14
C． ―4 < ― < ―2 D． ―3 < < 48
三、填空题
2
12．如果 < 0，0 < < 1 1，那么 ， ， 从小到大的顺序是
13.设 > ―1，且 ≠ 1，则 3 +1与 2 + 的大小关系是 .
14.记min{ , , }表示 x y 1 1， ，z 中最小的数．设 > 0， > 0，则min , , + 3 的最大值为 ．

四、解答题

15．（1）已知 < < ，且 + + = 0，证明： ― < ― ．
（2）证明： ― ― 2 < ― 1 ― ― 3．( ≥ 3)
2 2
16.已知 , 为正实数．求证： + > + .
17.已知三个不等式：①a，b，x 均为正数 > < + ② ③ +
请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假
请举出反例说明.
18.已知 ≠ 0，求证： 3 + 3 + ― 2 ― 2 > 0的充要条件是 + > 1．
19．设 是不小于 1 的实数.若对任意 , ∈ [ ―1, ]，总存在 , ∈ [ ―1, ]，使得( + )( + ) = 1，则称这样
的 满足“性质 1”
(1)分别判断 > 2和1 ≤ < 32时是否满足“性质 1”;
1
(2)先证明:若 , ≥ 2，且 + ≥
5
2，则 ≥ 1
3
; 并由此证明当2 ≤ ≤ 2时，对任意 , ∈ [ ―1, ]，总存在 1, 1
∈ [ ―1, ]，使得( + 1)( + 1) ≥ 1.
(3)求出所有满足“性质 1”的实数 t

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