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2.1.2 基本不等式
课程标准 学习目标
1 +
+
（ ）掌握基本不等式 ( , 0) 。结 （1）理解基本不等式 2 ( , 0)的证明;2
+
合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大 （2） 掌握利用基本不等式 2 ( , 0)求最值
值或最小值问题。 的常见方法. （难点)
知识点 01 基本不等式
若 > 0 , > 0，则 + ≥ 2 (当且仅当 = 时，等号成立).
+
① 2 叫做正数 , 的算术平均数， 叫做正数 , 的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点 、 重合，即 = 时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是 > 0 , > 0；二定指的是 是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
4
【即学即练 1】 求函数 = + ( > 0)的最值.
解 + 4 ≥ 2
4 = 4，当 = 2是取到等号，故最小值是4.

知识点 02 基本不等式的变形
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (当且仅当 = 时等号成立)
+
(调和均值 ≤ 几何均值 ≤ 算术均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，积定求和；
+ 2
② ≤ 2 ，和定求积：
2
③ 2 + 2 ≥ ( + )2 (联系了 + 与平方和
2 + 2)
≤
2+ 2
④ 2 (联系了 与平方和
2 + 2)
【即学即练 2】
若 > 0， > 0， + = 1，则（ ）
A 1 1． + ≤ 1 B．4 ≤ 1
C． 2 + 2 ≥ 1 D． + ≤ 1
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立.
【详解】若 > 0， > 0， + = 1，
1
+
1 1 1 1
= + ( + ) = 1 + + +1 ≥ 2 + 2
= 4，当且仅当 = = 2等号成立，A 选项错误；
2
4 ≤ 4 × + = 1 1
2 ，当且仅当
= = 2等号成立，B 选项正确；
1 = ( + )2 = 2 + 2 +2 ≤ 2( 2 + 2)，得 2 + 2 ≥
1 1
2，当且仅当 = = 2等号成立，C 选项错误；
2
+ = + + 2 1 ≤ 2( + ) = 2，得 + ≤ 2，当且仅当 = = 2等号成立，D 选项错误.
故选：B
【题型一：基本不等式的内容及辨析】
例 1．下列命题中正确的是（ ）
A．当 > 1 1 1时， + 的最小值为 2 B．当 < 0时， + ≤ ―2
1 1
C．当0 < < 1时， + 的最小值为 2 D．当 > 1时， + ≥ 2 2
【答案】B
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.
1 1 1 1
【详解】选项 A， ∵ > 1， + ≥ 2 = 2，等号成立的条件是 = = 1，等号取不到，所以 +
> 2，故 A 错误；
选项 B 1 1，当 < 0时， ― > 0， + = ― ( ― ) + ≤ ―2 ( ― )
1 = ―2，当且仅当 = ― 1时等号成立，
― ―
故 B 正确；
1 1
选项 C，0 < < 1， + ≥ 2
1 = 2，等号成立的条件是 = 1，等号取不到，即 +

> 2，故
C 错误；
1 1 2
选项 D.当 > 1时， + ≥ 2
1 = 2，等号成立的条件是 = ，即 = 1时等号成立，故 +
> 2，故 D 错误.
故选：B
变式 1-1．下列说法正确的是（ ）
A． + 1 最小值为 2 B． +
1
最大值为 2
1 1
C． 2 + 1 + 2+1最小值为 2 D．
2 + 1 + 2+1最大值为 2
【答案】C
【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】当 > 0时， + 1 ≥ 2
1
× 1 = 2，当且仅当 = 即 = 1时，等号成立；
< 0 + 1 = ― ( ― ) + 1当 时， ≤ ―2 ( ― ) ×
1 = ―2，
(― ) (― )
1
当且仅当( ― ) = (― )即 = ―1时，等号成立；故选项 AB 错误；
1 1
任意 ∈ ， 2 + 1 + 2 ≥ 2 +1 ，当且仅当
2 + 1 = 2+1时，
2 1即 = 0也即 = 0时，等号成立，所以 2 + 1 + 2+1最小值为 2，故选项 C 正确；
1 1
当 趋向于无穷大时， 2 + 1 + 2+1也趋向于无穷大，所以
2 + 1 + 2+1无最大值，
故 D 错误.
故选：C.
变式 1-2．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
1
A． 2 + 5 + ≥ 2 2 +2 +
1 ≥ 2
2+5 B． 2+2
1
C． 2 + 1 2 ≥ 2 D．| | + 3 + | |+3 ≥ 2
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
1 1
【详解】解：对于 A，因为 2 + 5 > 0，所以 2 + 5 + 2 ≥ 2 2 +5 + 5 = 2，当且仅当
2 + 5
2+5
1
=
2+5，即
2 = ―4，故等号不成立，故 A 不符合；
对于 B，因为 2 +2 > 0，所以 2 +2 + 1 2+2 ≥ 2 ( 2 + 2)
1 = 2，当且仅当 2 +2 = 1 2
2+2 2+2
，即 = ―1，
故等号不成立，故 B 不符合；
对于 C 1 1 1，因为 2 > 0，所以 2 + 2 2 ≥ 2 = 2，当且仅当
2 = 2，即 =± 1时取等号，故 C 符合； 2
1 1
对于 D，因为| | +3 > 0，所以| | + 3 + | |+3 ≥ 2 (| | + 3)
1 = 2，当且仅当| | +3 =
| |+3 | |+3
，即| |
= ―2，故等号不成立，故 D 不符合.
故选：C.
【方法技巧与总结】
在利用基本不等式求最值时，要注意“一正二等三定”六字.
【题型二：基本不等式求和的最小值】
方法 1 直接法
例 2．若 > 0, > 0,3 + 2 = 1，则8 + 4 的最小值为（ ）
A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】8 + 4 = 23 + 22 ≥ 2 23 22 = 2 23 +2 = 2 2，
1 1
当且仅当23 = 22 且3 + 2 = 1，即 = 6, = 4时等号成立，
故选：B.
变式 2-1． 2 + 7 2 + 7的最小值为（ ）
A．2 7 B．3 7 C．4 7 D．5 7
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
7
【详解】由题意知 ≠ 0，所以 2 > 0, 2 > 0，
所以 2 + 7 2 + 7 ≥ 2 2
7 + 7 = 3 7.
2
7
当且仅当 2 = 2 2，即 = 7时，等号成立.
故选：B.
变式 2-2．下列命题中正确的是(　　)

A．若 ， ∈ ，则 + ≥ 2
= 2 B．若 > 0，则 +
1

> 2
C．若 < 0，则 + 4 ≥ ―2 4 = ―4 D．若 ∈ ，则2
+ 2― ≥ 2 2 2― = 2

【答案】D
1
【详解】 选项必须保证 ， ，同号． 选项应取到等号，若 > 0，则 + ≥ 2，
选项应该为 ≤ ，故选： ．
方法 2 凑项法
例 3．已知 > 1，则2 + 2 ―1的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为 > 1，所以 ― 1 > 0，
所以2 + 2 2 ―1 = 2( ― 1) + ―1 +2 ≥ 2 2( ― 1)
2 +2 = 6,
―1
当且仅当2 2( ― 1) = ―1，即 = 2时，取得等号，
故选:C.
变式 3-1．已知 > ―1，则 + 2 +1的最小值为（ ）
A．2 2 B．2 C．2 2 ―1 D．2 2 +1
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为 > ―1，所以 + 1 > 0，
所以 + 2 2 +1 = ( + 1) + +1 ―1 ≥ 2 ( + 1) ×
2 ―1 = 2 2 ―1，
+1
当且仅当 + 1 = 2 +1，即 = 2 ―1取等号，故 C 正确.
故选：C.
变式 3-2．已知 > 0， > 0且 + = 1 1 4 ，则4 + 2 + 的最小值为（ ）
A 3 7 9．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据 + = 1 1将4 +
4 1 4
2 + 转化为4 + +1，利用基本不等式即可求解.
1 + 4 = 1 + 4 = 1+ + 4 1【详解】4 2 + 4 +1 4 +1 ― 4
≥ 2 1+ 4 ― 1 = 7 1+ = 4 ，当且仅当
4 +1 4 4 4 +1
，
= 1 = 2即 3， 3时取得等号．
故选：B．
方法 3 巧 法
8
例 4．已知正实数 x，y 满足2 + = 2，则 +
1
的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出.
2 +
【详解】由2 + = 2，得 2 = 1，
8
+ 1 = 8 1 2 + = 1+ + 16 所以 2 2 + 10 ≥
1
2 2
16 + 10 = 9，

16 4 1
当且仅当 = 即 = 3， = 3时，等号成立，
8
所以 +
1
的最小值为 9，
故选：C．
变式 4-1 2 1．已知 , 为正实数，且满足 + 2 = 1，则 + 的最小值为（ ）
A．4 2 B．4 + 2 2 C．8 D．6
【答案】C
【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值．
【详解】根据题意，
2 1 2 1 4 4
+ = + ( + 2 ) = 2 + + + 2 ≥ 4 + 2 = 8

当且仅当 =
4 1
，即 = 2 = 2时，等号成立．
故选：C
变式 4-2．已知 > 0, > 0，且 + 3 = 2 1 1，则 +1 + 3 的最小值为（ ）
A 2．3 B．1 C
4
．3 D．2
【答案】C
【分析】依题意可得 + 1 + 3 = 3，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为 > 0, > 0，且 + 3 = 2，所以 + 1 + 3 = 3，
1 + 1 1 1 1所以 +1 3 = 3 + [( + 1) + 3 ] +1 3
= 1 2 + 3
1 4
3 +
+1 ≥ 2 + 2 3 +1 = ，
+1 3 3 +1 3 3
3 +1 1
当且仅当 +1 = 3 ，即 = = 2时取等号，
1 1 4
所以 +1 + 3 的最小值为3．
故选：C．
方法 4 换元法
2
例 5．设 ( ) = ―2 +22 ―2 , ∈ ( ― 1,1)，则 （ ）
A． ( )min = 1 B． ( )max = 1
C． ( )min = ―1 D． ( )max = ―1
【答案】D
【分析】对 ( )变形后，利用基本不等式求解.
【详解】令 = 1 ― ，
∈ ( ― 1,1)，则 = 1 ― ∈ (0,2)，
2
( ) = ― +12 = ―
1
2( +
1
) ≤ ―
1
2 × 2 ×
1 = ―1，

当且仅当 = 1 即 = 0时，等号成立，则 ( )max = ―1.
故选：D.
2
变式 5-1 ( ) = ―5 +3．函数 +1 ( 0) 的最小值是（ ）
A．-1 B．3 C．6 D．12
【答案】A
【分析】由基本不等式求解，
【详解】令 = + 1，
≥ 0，则 ≥ 1，
2
9( ) = ―7 +9 = +
9
―7 ≥ 2 × ―7 = ―1.
当且仅当 = 3， 即 =2 时，等号成立.
故 ( )最小值为-1，
故选：A
变式 5-2．已知 , ∈ R， + = 4 1 1，则 2+1 + 2+1的最大值为（ ）
A． 5+1 B． 5+2 C． 5+1 D． 5+2
2 2 4 4
【答案】D
18―2
【分析】由题意首先得 ≤ 4 1 1，且 2+1 + 2+1 = ( )2―2 +17，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，
注意验证取等条件.
【详解】因为 + = 4，所以 2 + 2 +2 = 16 ≥ 4 ，所以 ≤ 4，等号成立当且仅当 = = 2，
1 1 2+1+ 2+ = +1
2+ 2+2 18―2
从而 2+1 2+1 ( 2+1)( 2+1) = ( )2+ 2+ 2+1 = ( )2―2 +17，
18―2
令 = ≤ 4 = 18―2 ，设 ( )2―2 +17 = 2―2 +17，显然 > 0，
则 2 +2(1 ― ) + 17 ― 18 = 0，
因为关于 的一元二次方程有实数根，所以Δ = 4(1 ― )2 ―4 (17 ― 18) ≥ 0，
整理得 ―64 2 +64 + 4 ≥ 0，即16 2 ―16 ― 1 ≤ 0，
解得2― 5 ≤ ≤ 2+ 5，注意到 > 0，从而0 < ≤ 2+ 5，
4 4 4
―1 4 2
等号成立当且仅当Δ = 0，即 = = 1 ― = 1 ― 4 5 ― 2 = 9 ― 4 5 = 5 ― 2 < 2
2 = 4
5+2 ，
1 1
所以经检验 的最大值，即 2+1 + 2+1的最大值为
5+2.
4
故选：D.
18―2
【点睛】关键点点睛：关键是得 ≤ 4 1 1，且 2+1 + 2+1 = ( )2―2 +17，由此即可顺利得解.
【方法技巧与总结】
1 利用基本不等式求最值的方法有很多，常见的是直接法、凑项法、巧 1 法、换元法、消元法等，要理解
各种方法的“基本套路”和思考“什么情况下会想到这个方法”；
2 一般一道题目的方法可有很多种，解题时要多尝试多思考.
【题型三：条件等式求最值】
例 6．已知2 + = ( > 0, > 0)，下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 8
B 1 2． ―1 + ―2的最小值为 2
C． + 有最小值3 + 2
D． 2 ―2 + 2 ―4 有最大值 4
【答案】B
【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正 二定 三相等”，可知 ≥ 8，所以 A 错误；将原式化成
( ― 1)( ― 2) = 2
1 2 1 2 1
，即可得 ―1 + ―2 = ―1 + ( ― 1) ≥ 2，即 B 正确；不等式变形可得 + = 1，利用基
本不等式中“1”的妙用可知 + ≥ 3 + 2 2，C 错误；将式子配方可得 2 ―2 + 2 ―4 = ( ― 1)2 +
( ― 2)2 ―5，再利用基本不等式可得其有最小值 ―1，无最大值，D 错误.
【详解】对于A选项， = 2 + ≥ 2 2 ，即 ≥ 2 2，故 ≥ 8，
当且仅当 = 2, = 4时等号成立，故 的最小值为8，A 错误；
对于B 2 选项，原式化为( ― 1)( ― 2) = 2, = ―1 > 0，故 ― 1 > 0 =

； ―2 > 0，故 ― 2 > 0；
1 2 1
所以 ―1 + ―2 = ―1 + ( ― 1) ≥ 2，当且仅当 = 2, = 4时等号成立，B正确；
2 1 2 1 2
对于C选项，原式化为 + = 1，故 + = ( + ) + = +1 + 2 + ≥ 3 + 2 2，
当且仅当 = 2 +1, = 2 + 2时等号成立，C错误；
对于 D 选项， 2 ―2 + 2 ―4 = ( ― 1)2 + ( ― 2)2 ―5 ≥ 2( ― 1)( ― 2) ―5 = ―1，
当且仅当 = 1 + 2, = 2 + 2时等号成立，故有最小值 ―1，D 错误．
故选：B
1
变式 6-1 > 0 > 0 3．已知 ， ，且 + = 1，则2 + + 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
2
【详解】2 + + = 3 1 3 + (2 + ) + = 6 + 1 + + +
= 7 + 3
3
+ ≥ 7 + 2 3 3 = 13，
3 3
当且仅当 = ，即 = = 4时，等号成立.
故选：D.
变式 6-2．（多选）已知正数 , 满足4 + + = 5，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 1 B．4 + 的最小值为 4
C．16 2 + 2 1 1 10的最小值为 9 D． +1 + 的最小值为 9
【答案】ABD
【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断 AB，先变形16 2 + 2为关于 的二次函数求最
1 1
值判断 C，利用条件变形可得( + 1)( + 4) = 9，转化 +1 + 为关于 的式子由均值不等式判断 D.
【详解】由正数 , 满足4 + + = 5，可得4 + = 5 ― ≥ 4 ，解得0 < ≤ 1，即 ≤ 1，
1
当且仅当4 = ，即 = 2, = 2时等号成立，故 A 正确；
2
由正数 , 满足4 + + = 5，可得4 + ― 5 = ― 14 × 4 ≥ ―
1
4 ×
4 +
2 ，
解得4 + ≥ 4 4 + ≤ ―20 4 = = 1或 （舍去），当且仅当 ，即 2, = 2时等号成立，故 B 正确；
16 2 + 2 = (4 + )2 ―8 = (5 ― )2 ―8 = ( ― 9)2 ―56，由 A 知 ≤ 1，
由二次函数的单调性知( ― 9)2 ―56 ≥ (1 ― 9)2 ―56 = 8，即 = 1时，16 2 + 2的最小值为 8，故 C 错
误；
由4 + + = 5 1 +4 4可得4 + 4 + + = 9，即( + 1)( + 4) = 9，所以 +1 = 9 = 9 + 9，
1 + 1 = + 1 + 4 ≥ 2 1所以 +1 9 9 +
4 = 10 9 9 ，当且仅当9 =
1
，即 = 3
2
， = 7时等号成立，故 D 正确.9
故选：ABD
2
变式 6-3 5．已知正实数 , 满足4 2 +25 2 = 1，则 + 的最小值为（ ）
A．20 B．40 C．20 2 D．40 2
【答案】C
5 2 2+ = 2 +5
2
= 4
2+25 2+20
【分析】由 2 2 两次应用基本不等式即可求解.
5 + 2
2
= 2 +5
2
= 4
2+25 2+20 40 400 400
【详解】 2 2 ≥ 2 2 = 2 5 ≥ 4 2+25 2 = 800 ，2
2
当且仅当2 = 5 = 2
=
，即 42 时等号成立，2 =
10
5 2
故 + 的最小值为20 2.
故选：C.
【方法技巧与总结】
理解基本不等式的各种变形，以及变形公式中把什么联系在一起了，多熟悉下！
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (当且仅当 = 时等号成立)
+
(调和均值 ≤ 几何均值 ≤ 算术均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，积定求和；
+ 2
② ≤ 2 ，和定求积：
( + )2
③ 2 + 2 ≥ 2 (联系了 + 与平方和
2 + 2)
2 2
④ ≤ + 2 22 (联系了 与平方和 + )
【题型四：基本不等式的恒成立问题】

例 7．若正实数 、 满足( ― 1)( ― 4) = 4，且 + ≥ 24 ―3 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．{ | ― 1 < < 4} B．{ | ― 1 ≤ ≤ 4}
C．{ | ― 4 ≤ ≤ 1} D．{ | ― 4 < < 1}
【答案】B
4 1
【分析】依题意可得 + = 1，利用乘“1”法及基本不等式求出 +
2
4的最小值，即可得到 ―3 ≤ 4，解得
即可.
【详解】因为正实数 、 满足( ― 1)( ― 4) = 4，
4
即 = 4 + ，所以 +
1
= 1，
1 4 4
所以 + 4 = + + = 2 +
4
+ 4 ≥ 2 + 2
= 4，
4 4
4
当且仅当 = 4 ，即 = 8， = 2时取等号，

因为正实数 、 满足( ― 1)( ― 4) = 4，且 + ≥ 24 ―3 恒成立，
所以 2 ―3 ≤ 4，解得 ―1 ≤ ≤ 4，即实数 的取值范围是{ | ― 1 ≤ ≤ 4}.
故选：B．
变式 7-1．当 > 0, > 0，且满足2 + ― 2 = 0时，有2 + > 2 + ― 8恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A．( ― 4,3) B．[ ― 4,3] C．( ― 3,4) D．[ ― 3,4]
【答案】A
【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出2 + 的最小值，然后解二次不等式即可.
1
【详解】因为2 + ― 2 = 0 1即2 + = 1且 > 0, > 0，
2
所以2 + = (2 + ) 1 + 1 = 2 + + ≥ 2 + 2 × 2 2 ) = 4，2 2
= 2
2 = 1
当且仅当 1 1 ，即+ = 1 = 2
时等号成立，
2
因为不等式2 + > 2 + ― 8恒成立，所以 2 + ― 8 < 4，
即 2 + ― 12 < 0，解得 ―4 < < 3，故 的取值范围为( ― 4,3).
故选：A
变式 7-2．“ = 9”是“ 1 不等式 ( + ) + ≥ 8（ > 0）对于任意正实数 x，y 恒成立”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合基本不等式判断“ = 9”和“不等式 ( + ) 1 + ≥ 8（ > 0）对于任意正实数 x，y 恒成立”

的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】当 = 9时，对于任意正实数 x，y，
9
( + ) 1 + 9 = 10 + + ≥ 10 + 2
9 = 16，当且仅当 = 3 时取等号，

1
即此时不等式 ( + ) + ≥ 8（ > 0）对于任意正实数 x，y 恒成立；

当不等式 ( + ) 1 + ≥ 8（ > 0）对于任意正实数 x，y 恒成立时，


( + ) 1 + = 1 + + + ≥ 1 + + 2 = 1 + + 2 ，
当且仅当 = 时取等号，
2
此时需满足1 + + 2 ≥ 8（ > 0），解得 ≥ (2 2 ― 1) ，此时 a 不一定等于 9，
故“ = 9”是“不等式 ( + ) 1 + ≥ 8（ > 0）对于任意正实数 x，y 恒成立”的充分不必要条件，

故选：A
2 2
变式 7-3 + ．若不等式 2 +3 ≥ ( + )对任意正数 , 恒成立，则实数 x 的最大值为（ ）
A． 2 B．2 C． 3 D．1
【答案】C
2+ 2 2 2
【分析】将不等式 2 +3 ≥
+ +6
( + )对任意正数 , 恒成立，化为 ≤ 2( + ) 恒成立，利用基本不等式求
2+ 2+6
得 2( + ) 的最小值，即可求得答案.
2+ 2
【详解】由题意不等式 2 +3 ≥ ( + )对任意正数 , 恒成立，
2 ≤ +
2+6
即 2( + ) 恒成立，
2
又 2 + 2 ≥ 2 , ∴ 2 + 2 ≥ ( + )2 ，当且仅当 = 时，等号成立，
2
2+ 2+6 ( + )≥ +6 = + 32 + ≥ 2 + 3则 2( + ) 4 + = 3，2( + ) 4 +
当且仅当 = = 3时，等号成立，
故 ≤ 3，即实数 x 的最大值为 3，
故选：C
【方法技巧与总结】
恒成立问题，常见的分离参数法，把问题转化为某式子或函数的最值问题，若式子中含有两个变量常常会
想到基本不等式求最值.
一、单选题
1．已知 ， 为实数，且 ≠ 0，则下列命题错误的是（ ）
A．若 > 0， > 0
+
，则 2 ≥ B
+
．若 2 ≥ ，则 > 0， > 0
C．若 ≠ + + ，则 2 > D．若 2 > ，则 ≠
【答案】C
【分析】对于 A，利用基本不等式判断，对于 B，由已知结合完全平方式判断，对于 C，举例判断，对于
D，利用基本不等式判断
+
【详解】对于 A，由基本不等式可知当 > 0， > 0时， 2 ≥ ，当且仅当 = 时取等号，所以 A 正
确，
B +
2
对于 ，因为 2 ≥
+ > 0
， ≠ 0，所以 > 0 ，且 ― ≥ 0，所以 > 0， > 0，当且仅当
= 时取等号，所以 B 正确，
对于 C，若 = ―1, = ―4 + ―5，则 2 = 2 < = 4 = 2，所以 C 错误，
+ 2
对于 D，因为 2 > ， ≠ 0
+ > 0
，所以 > 0 ，且 + ― 2 > 0，所以 > 0, > 0， ―
> 0，所以 > 0, > 0且 ≠ ，所以 D 正确，
故选：C
2.下列结论正确的是（ ）
A．当 < 2 1 2时， + ―2 ≥ 4 B．当 ≥ 2时， + 的最小值是2 2
4
C．当 > 0 1时， + ≥ 4 D．当 > 0时， + +1的最小值为 1
【答案】C
【分析】由基本不等式对选项逐一判断，
1 1
【详解】对于 A，当 = 0时， + ―2 = ― 2，故 A 错误，
2
对于 B，当 > 0时， + ≥ 2 2，当且仅当 = 2时等号成立，故 B 错误，
4 4
对于 C，当 > 0时， + ≥ 4，当且仅当 = 即 = 4时等号成立，故 C 正确，
对于 D，当 > ―1 1时， + 1 + +1 ―1 ≥ 2 ― 1 = 1，当且仅当 + 1 =
1
+1即 = 0时等号成立，故 D 错误，
故选：C
3.若 > 1，则函数 ( ) = 9 + 1 ―1的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【分析】利用基本不等式分析求解.
【详解】因为 > 1，则 ― 1 > 0，
可得 ( ) = 9 + 1 1 ―1 = 9( ― 1) + ―1 +9 ≥ 2 9( ― 1)
1 +9 = 15，
―1
1 4
当且仅当9( ― 1) = ―1，即 = 3时，等号成立，
所以函数 ( ) = 9 + 1 ―1的最小值为 15.
故选：D.
4.下列命题中正确的是（ ）
A．函数 = + 1 的最小值为 2.
2
B = +3．函数 的最小值为 2.
2+2
C 4．函数 = 2 ― 3 ― ( > 0)的最小值为2 ― 4 3
D．函数 = 2 ― 3 ― 4 ( > 0)的最大值为2 ― 4 3
【答案】D
【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断
【详解】对于 A， < 0时 为负值，故 A 错误
1 1
对于 B， = 2 + 2 + 2 ，而 2 + 2 = +2 2+2无解，无法取等，故 B 错误
对于 = 2 ― 3 ― 4 = 2 ― (3 +
4
)( > 0)
3 + 4 ≥ 4
4
3 2 3，当且仅当3 = 即 = 时等号成立，3
故 = 2 ― 3 ― 4 ≤ 2 ― 4 3，D 正确，C 错误
故选：D
5. 若0 < < 1 1 + 2，则 1― 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．2 + 2 2 D．3 + 2 2
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为0 < < 1，所以1 ― > 0，
1 + 2 1 2 1― 2 则 1― = + [ + (1 ― )] = 3 + + 1― ≥ 3 + 2 2， 1―
1― = 2 当且仅当 1― ，即 = 2 ―1时，等号成立，取得最小值3 + 2 2，
故选：D．
6.若正实数 ， 满足 + = 1，则下列说法错误的是（ ）
A 1 B 1 1． 有最大值4 ． + 有最小值 4
C． 2 + 2有最小值 2 D． + 有最大值2 2
【答案】C
【分析】利用基本不等式一一判断求解即可.
【详解】因为正实数 ， 满足 + = 1，则有：
+ 2A ≤ = 1 1对 ，因为 2 4，当且仅当 = = 2时，等号成立，A 正确；
B 1 + 1 = 1 1 =

对 ，因为 + ( + ) + +2 ≥ 2
+2 = 4，

1
当且仅当 = ，即 = = 2时，等号成立，
1
所以 +
1
有最小值 4，B 正确；
2
对 C，因为 2 + 2 ≥ ( + ) = 1 12 2，当且仅当 = = 2时，等号成立，C 错误；
2 2
对 D，因为 + ≤ 2 ( )2 + = 2( + ) = 2，
= = 1当且仅当 2时，等号成立，所以 + ≤ 2，D 正确；
故选：C.
7.已知 > 0， > 0，且 + 9 = ，若不等式 ≤ + 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
A．( ―∞,6] B．( ―∞,16]
C．( ―∞,8] D．( ―∞,9]
【答案】B
9 1 9 1
【分析】确定 + = 1，变换 + = ( + ) + ，展开利用均值不等式计算最值得到答案.
9 1 9 1 9
【详解】 + 9 = ，故 + = 1， + = ( + ) + = 10 + + ，

> 0 > 0 + 9 ≥ 2 9 ， ，故 = 6，
9
当且仅当 = ，即 = 12, = 4时取等号，故 + ≥ 10 + 6 = 16，
+ 最小值是 16，由不等式 ≤ + 恒成立可得 ≤ 16.
a 的取值范围是( ―∞,16]，
故选：B.
8.若对任意实数 > 0， > 0，不等式 + ≤ ( + 2 )恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）．
A． 2+1 B． 2+1 C 6+2． D 6+2．
2 4 2 4
【答案】D
+ +
【分析】分离变量将问题转化为 ≥ +2 对于任意实数 > 0， > 0恒成立，进而求出 +2 的最大值，设
= ( > 0)及1 + = ( > 1)，然后通过基本不等式求得答案．

【详解】对任意实数 > 0， > 0，不等式 + ≤ ( + 2 )恒成立，
则 ≥ + +2 对于任意实数 > 0， > 0恒成立，

+ + 1+
则只需求 +2 的最大值即可，

+2 = ，1+2

1+
1+
设 = ( > 0)，则 = ，
1+2 1+2 2

1+ 1+
再设1 + = ( > 1)，则 = = =
1+2 1+2 2 1+2( ―1)
2 2 2―4 +3

1 1 1
= 2 + 3 ―4 ≤
6+2
2 2
3―4 = = ，
2 6―4 4
3 3
当且仅当2 = ，即 = ―1时取得“＝”． 2
≥ 6+2 6+2所以 ，即实数 a 的最小值为 ．
4 4
故选：D．
二、多选题
9 > 0 > 0 =
2+ 2 2+ 2
．设 ， ，已知 ， = + ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最大值为 2 D． 有最小值为 2
2 2
【答案】AD
【分析】利用基本不等式直接判断 与 的最值情况.
2 2
【详解】 > 0， > 0， = + = + ≥ 2 = 2，

当且仅当 =

即 = 时，等号成立，A 选项正确，B 选项错误；
2 2 2 2 2
又 > 0， > 0 + 时， = + +2 ≤ + + ≤
2+ 2
2 4 2 ，即 2 ，2
所以 =
2+ 2 ≥ 2，当且仅当 = + 时，等号成立，C 选项错误，D 选项正确；2
故选：AD.

10.若对于任意 > 0， 2+3 +1 ≤ 恒成立，则实数 的取值可以是（ ）
A 1．5 B
1 C 1 1．10 ．2 D．3
【答案】ACD
1
【分析】利用基本不等式求出 1 2+3 +1 = + +3的最大值，结合选项可得
1 1
【详解】因为 > 0 1，所以 2 1+3 +1 = + +3 ≤ 2
1+3 =
5
，
1
当且仅当 = ，即 = 1时等号成立，

由任意 > 0 1， 2+3 +1 ≤ 恒成立， 所以 ≥ 5，
1 1 1 1 1
符合条件有5，2，3，故 A、C、D 对；10 < 5，故 B 错；
故选：ACD
11.下列不等式正确的是（ ）
A．已知 , 为正实数， + = 3 1 1 2，则 +1 + +2的最小值为3
1
B． = 2 + 2 + 2+2有最小值 2
C．已知正数 , 满足 + = 2，则 的最大值是 1
D．若对任意 > 0, 3 +5 2 +4 ≥ 2恒成立，则实数 的取值范围是( ―∞,9]
【答案】ACD
4
【分析】利用基本不等式判断 A，B，C；对于 D，由题意可得 ≤ + +5恒成立，利用基本不等式求出
+ 4 +5的最小值即可判断.
【详解】解：对于 A +1 +2，( + 1 + + 2) 1 + 1 = 1 + +2 + +1 +1 ≥ 2 + 2
+1 +2 = 4
+1 +2 +2 +1
1 1 4 2
∴ + 1 + + 2 ≥ 6 = 3
+1 +2
当且仅当 +2 = +1时，等号成立，∴A 正确；
1
对于 B． = 2 + 2 + 2 ≥ 2 +2
2 + 2 1 = 2
2+2
1
当且仅当 2 + 2 = 2+2，即
2 = ―1时，不合题意，不能取等号，∴B 错误；
+ 2
对于 C． ≤ = 1，当且仅当 = 2 时，等号成立，∴C 正确；
3
D +5
2+4 4
对于 ． 2 ≥ 恒成立，即 ≤ + +5恒成立，
4 4
又因为 + +5 ≥ 2 +5 = 9，
4
当且仅当 = ，即 = 2时，等号成立， ∴ ≤ 9， ∴ D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．已知 , 均为实数且 > 0, > 0, + = 3 1 1，则 +1 + 的最小值为 .
【答案】1
【分析】利用基本不等式凑“一”法求解二元变量最值问题.
【详解】因为 + = 3，所以( + 1) + = 4，
1 + 1 = 1 1 1所以 +1 4 + [( + 1) + ] +1
= 1 2 + + +1 ≥
1 +1
4 2 + 2 = 1， +1 4 +1
+1
当且仅当 +1 = ，即 = 1, = 2等号成立，
1 1
所以 +1 + 的最小值为 1.
故答案为：1.
13.已知 > ―1，则 ― ―3 +1的最小值是 ．
【答案】2
【分析】变形式子，由均值等式求最值即可.
【详解】因为 > ―1，
―3
所以 ― +1 = + 1 +
4
+1 ―2 ≥ 2 ( + 1)
4 ―2 = 2，
+1
当且仅当 + 1 = 4 +1．即 = 1时，等号成立．
故答案为：2
+2
14.若正数 ， 满足 = 4，则 的最大值为 .
【答案】2
+2 2 1 4 ―2
【分析】根据 = 4得出 = 4 ― > 0，得出0 < < 2， = 2 ，根据 的范围求出 的范围即可.
+2 2 2 1 4 ―2
【详解】 ∵ = 4， ∴ + = 4， = 4 ― > 0
1 1 2
，所以 > 2，即0 < < 2， = 2 = ―2 ― = ―2 2
1 2― 1 ― 1 ，

根据二次函数的性质可知 = 1时，上式取得最大值 2.
故答案为：2.
四、解答题
15 1 > 0, > 0 2 + 8．（ ）若 ，且 = 1，
求：（i） 的最小值；
（ii） + 的最小值.
（2）求 9( ) = 4 + ―5( > 5)的最小值.
【答案】（1）（i）64（ii）18；（2）32
【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii），
8
【详解】（1）（i）由 > 0 > 0 2 2 8， 及基本不等式，可得 + = 1 ≥ 2 ，
故 ≥ 64，当且仅当2 = 8 ，即 = 4, = 16时等号成立，
∴ 的最小值为 64；
8
（ii） ∵ > 0， > 0 2， + = 1，
2 8 2 8 2 8 8 8∴ + = ( + ) + = + +10 ≥ 2 +10 = 18
2 2
，当且仅当 = 且 + = 1，
即 = 6， = 12时等号成立，即 + 取得最小值 18；
2 = 4 + 9 9( ) ( > 5) ( ) = 4( ― 5) + +20 ≥ 2 4( ― 5) 9（ ）由 ―5 可得 ―5 +20 = 32 ―5
9 13
当且仅当4( ― 5) = ―5，即 = 2 时等号成立
9故 ( ) = 4 + ―5( > 5)的最小值为 32.
16.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为 750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度
为1m的小路，中间 , , 三个矩形区域将种植牡丹 郁金香 月季（其中 , 区域的形状 大小完全相同）.设
矩形花园的一条边长为 m，鲜花种植的总面积为 m2.
(1)用含有 的代数式表示 ，并写出 的取值范围；
(2)当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
375 3
【答案】(1) = ― 2,3 < < 250
(2)当 = 25m时，才能使鲜花种植的总面积最大
750
【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为 m，由条件可得2 + 3 = ，即可得到结果；
（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为 与矩形花园的一条边长 的函数关系式，再由基本不等式
代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设矩形花园的长为 m，
∵ 矩形花园的总面积为750m2，
∴ = 750 750，可得 = ，
又 ∵ 阴影部分是宽度为1m的小路，
750 375
可得2 + 3 = ，可得 = ―
3
2，
即 375 3关于 的关系式为 = ― 2,3 < < 250.
2 1 = 375 3（ ）由（ ）知， ― 2，
= ( ― 2) + ( ― 3) = (2 ― 5) = (2 ― 5) × 375 ― 3 =
1515 ― 3 + 1875则
2 2
≤ 1515 1875 12152 ―2 3 = 2 ，
当且仅当3 = 1875 时，即 = 25时，等号成立，
∴ 当 = 25m 1215时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为 2 m
2.
17.定义min{ 1, 2, , }为 个实数 1， 2，…， 中的最小数，max{ 1, 2, , }为 个实数 1， 2，…，
中的最大数．
(1)设 ， 1都是正实数，且 + = 1，求max , ；
4
(2)解不等式：min + 1, 2 + 3,| ― 1| > 2 ― 3；
(3)设 ， 1 2都是正实数，求max + , + 的最小值．

【答案】(1)14
(2)( ― ∞,2)
(3) 2 +1
【分析】（1）由基本不等式即可求解；
+ 1, ≤ 0
（2）分段讨论得出min + 1, 2 + 3,| ― 1| = 1 ― ,0 < < 1 ，然后解不等式即可；
― 1, ≥ 1
（3）设出max + 1 , 2 + 后由基本不等式进行求解.

1 1
【详解】（1）由题意得 + ≥ 2 ，即 ≤ 4，当且仅当 = = 2时等号成立，
故max 1 , 1 = ；
4 4
（2）令 + 1 = | ― 1|，得 = 0，
当 < 0时 + 1 < | ― 1|，当 > 0时 + 1 > | ― 1|，
而 2 +3 > + 1即 2 ― + 2 > 0恒成立，
+ 1, ≤ 0
故min + 1, 2 + 3,| ― 1| = 1 ― ,0 < < 1 ，
― 1, ≥ 1
min + 1, 2 + 3,| ― 1| > 2 ― 3 ≤ 0 0 < < 1 ≥ 1可化为 + 1 > 2 ― 3 或 1 ― > 2 ― 3 或 ― 1 > 2 ― 3 ，
解得 < 2，故原不等式的解集为( ― ∞,2)；
3 = max + 1
1
（ ）设 , 2 + ，由题意得 ≥ + > 0, ≥
2
+ > 0，
则 2 ≥ ( + 1 2 )( + ) = 3 + +
2
≥ 3 + 2 2，
+ 1 = 2 +
当且仅当 即 = 2 = 1 时等号同时成立， = 2
故max + 1 , 2 + 的最小值为 2 +1．

18.若方程 2 + + = 0 ， ∈ 有两个不相等的实数根 1， 22，且( 1 + 2) ―4 1 2 = 4．
(1)求证： 2 = 4 + 4；
2 4 2
(2) ≤ ―4 若 ，求 1 ― + 2 2 1+ 2 的最小值．1
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论；
（2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去 ，得到关于一个 的式
子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）证明：根据韦达定理得， 1 + 2 = ― ， 1 2 = ，
所以( 1 + 2)2 ―4 21 2 = ( ― ) ―4 = 4，
所以 2 = 4 + 4.
2 4 2 3 3 4
（2） 1 ― + 2 1+ 2 2 1+ 2 =1 1 ―2 1+ 2
( 1 + 22) 1 ― 1 2 + 2= 2
4
―1 2 1 + 2
( 1 + 2) ( 1 + 2)2 ― 3 = 1
2 4
1
―
2 1 + 2
( ― ) ( ― )2 ― 3 4
= ― ―
3 4 4 3 4
= ― + 3 + = ― 2 ― 4 + 3 +
4 3 ― 16 + 16 4
= ― 2 ― 4 + 3 +
16
= ―4 ― 16 2―4 +3 +
4 = ― + 4 + ― + 4，
因为 ≤ ―4，
所以 ― + 4 > 0，
4 16
所以 ― + + ― + 4 ≥ 2 16 = 8，
4 16
当且仅当 ― + = ― + 4即 = ―2 ― 2 2时，等号成立，
2 4 2
所以 1 ― 2 + + 的最小值为 8.2 1 2 1
19．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，
它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设 1, 2, 3, , , 1, 2, 3, , ∈ ，则
2 + 2 + + 2 2 + 2 + + 21 2 1 2 ≥ ( 1 1 + 2 2 + + )2 当且仅当 = 0( = 1,2, , )或存在一个
数 ，使得 = ( = 1,2, , )时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设 P 是棱长为 2的正四面体 内的任意一点，点 到四个面的距离分别为 1、 2、 3、 4，求 21 +
2 + 2 + 22 3 4的最小值；
(3)已知无穷正数数列{ }满足：①存在 ∈ ，使得 ≤ ( = 1,2, )；②对任意正整数 、 ( ≠ )，均有
1
| ― | ≥ + .求证：对任意 ≥ 4， ∈
，恒有 ≥ 1.
【答案】(1)答案见解析
(2)13
(3)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出 = 2时的形式；
2 2 3（ ）由体积法求出 1 + 2 + 3 + 4 = ，构造柯西不等式求 2 21 + 2 + 2 23 + 4的最小值；3
1
（3）0 < 1 < 2 < < ≤ 时，由 ― ―1 ≥ + ( = 2,3, , )，有 ≥ ―1 > ― 1 =
1 1 1
( ― ) + ―1 ( ―1 ― ) + + ―2 ( 2 ― 1) ≥ + + ―1 + + ―1+ ―2 2+ 1
3 ―4
由柯西不等式得 ≥ 1 ― 2+ ―3，可得 ≥ 1.
【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：
设 1, , , ∈ R，则 2 + 2 22 1 2 1 2 1 + 22 ≥ ( 1 1 + )22 2 ，
当且仅当 1 2 = 2 1时等号成立.
（2）由正四面体 的体积 = ― + ― + ― + ― ，
2 3 1 2得 ( 2) = 3 ×
3( 2)
12 4 ( 1 + 2 + 3 + 4)，所以 1 + 2 + 3 + 4 =
2 3
，
3
又由柯西不等式得 2 2 2 21 + 2 + 3 + 4 (1 + 1 + 1 + 1) ≥ ( 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1)2 =
( 1 + + + )22 3 4 ，
2
所以 21 + 2 + 2 + 2 ≥
( 1+ 2+ 3+ 4) 1
2 3 4 4 = 3，
当且仅当 1 = 2 = 3 = = 34 时等号成立.6
（3）对 ≥ 4，记 1, 2, , 是1,2, , 的一个排列，
且满足0 < 1 < 2 < < ≤ .
1
由条件②得： ― ―1 ≥ ( = 2,3, , ). + ―1
于是，对任意的 ≥ 4，
1 1 1
都有 ≥ > ― 1 = ( ― + + + ≥ + + + ―1) ( ―1 ― ―2) ( 2 ― 1) + ―1 ―1+ ―2 2+ 1
1 1 1
由柯西不等式得 + + + [( + ) + ( 2
+ + + ―1 ―1
+ ―2) + + ( 2 + 1)] ≥ ( ― 1)
―1 ―1 ―2 2 1
1 1 1 ( ―1)2
所以 + + + + + + ≥ ―1 ―1 ―2 2 1 ( + ―1)+( ―1+ ―2)+ +( 2+ 1)
( ― 1)2 ( ― 1)2 ( ― 1)2 3 ― 4
= 2( + + + ) ― ― = 2 + ― ― ≥1 2 1 1 2 + ― 3
= 1 ― 2 + ― 3
从而，对任意的 ≥ 4，都有 ≥ 1 ― 3 ―4 2+ ―3，
故对任意 ≥ 4, ∈ N 3 ―4， 2+ ―3 > 0，恒有 ≥ 1.
【点睛】方法点睛：
遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题.
第一，准确转化.解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义.紧扣题目所给的定义、运算法则对所
求问题进行恰当的转化.
第二，方法的选取.对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的.角度进行转化.理解题目定义
的本质苹并进行推广、运算.
第三，应该仔细审读题目.严格按新信息的要求运用算.解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息
问题的干扰.2.1.2 基本不等式
课程标准 学习目标
+ 1 + （1）掌握基本不等式 ( , 0) 。结 （ ）理解基本不等式 2 ( , 0)的证明;2
合具体实例, + 能用基本不等式解决简单的最大 （2） 掌握利用基本不等式 2 ( , 0)求最值
值或最小值问题。 的常见方法. （难点)
知识点 01 基本不等式
若 > 0 , > 0，则 + ≥ 2 (当且仅当 = 时，等号成立).
+ ① 2 叫做正数 , 的算术平均数， 叫做正数 , 的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点 、 重合，即 = 时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是 > 0 , > 0；二定指的是 是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
【即学即练 1】 求函数 = + 4 ( > 0)的最值.
知识点 02 基本不等式的变形
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (当且仅当 = 时等号成立)
+
(调和均值 ≤ 几何均值 ≤ 算术均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，积定求和；
≤ +
2
② 2 ，和定求积：
2
③ 2 + 2 ≥ ( + ) (联系了 + 与平方和 2 + 22 )
2+ 2
④ ≤ 2 (联系了 与平方和
2 + 2)
【即学即练 2】
若 > 0， > 0， + = 1，则（ ）
A 1 + 1． ≤ 1 B．4 ≤ 1
C． 2 + 2 ≥ 1 D． + ≤ 1
【题型一：基本不等式的内容及辨析】
例 1．下列命题中正确的是（ ）
A．当 > 1时， + 1 的最小值为 2 B．当 < 0
1
时， + ≤ ―2
1 1
C．当0 < < 1时， + 的最小值为 2 D．当 > 1时， + ≥ 2 2
变式 1-1．下列说法正确的是（ ）
A． + 1 1 最小值为 2 B． + 最大值为 2
1 1
C． 2 + 1 + 2+1最小值为 2 D．
2 + 1 + 2+1最大值为 2
变式 1-2．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
1
A． 2 + 5 + ≥ 2 B． 22 +2 +
1
2+2 ≥ 2 +5
1
C． 2 + 1 2 ≥ 2 D．| | + 3 + | |+3 ≥ 2
【方法技巧与总结】
在利用基本不等式求最值时，要注意“一正二等三定”六字.
【题型二：基本不等式求和的最小值】
方法 1 直接法
例 2．若 > 0, > 0,3 + 2 = 1，则8 + 4 的最小值为（ ）
A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2
7
变式 2-1． 2 + 2 + 7的最小值为（ ）
A．2 7 B．3 7 C．4 7 D．5 7
变式 2-2．下列命题中正确的是(　　)

A．若 ， ∈ ，则 + ≥ 2
= 2 B．若 > 0 +
1
，则 > 2
C．若 < 0，则 + 4 ≥ ―2
4 = ―4 D．若 ∈ ，则2 + 2― ≥ 2 2 2― = 2

方法 2 凑项法
例 3．已知 > 1，则2 + 2 ―1的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
2
变式 3-1．已知 > ―1，则 + +1的最小值为（ ）
A．2 2 B．2 C．2 2 ―1 D．2 2 +1
变式 3-2．已知 > 0， > 0且 + = 1 1 4 ，则4 + 2 + 的最小值为（ ）
A 3．2 B
7 9
．4 C．2 D．4
方法 3 巧 法
8
例 4 1．已知正实数 x，y 满足2 + = 2，则 + 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
变式 4-1．已知 , 为正实数，且满足 + 2 = 1 2 1，则 + 的最小值为（ ）
A．4 2 B．4 + 2 2 C．8 D．6
4-2 > 0, > 0 + 3 = 2 1变式 ．已知 ，且 ，则 +1 +
1
3 的最小值为（ ）
A 2 B 1 C 4．3 ． ．3 D．2
方法 4 换元法
2
5 ( ) = ―2 +2例 ．设 2 ―2 , ∈ ( ― 1,1)，则 （ ）
A． ( )min = 1 B． ( )max = 1
C． ( )min = ―1 D． ( )max = ―1
2
变式 5-1 ( ) = ―5 +3．函数 +1 ( 0) 的最小值是（ ）
A．-1 B．3 C．6 D．12
变式 5-2．已知 , ∈ R， + = 4 1 1，则 2+1 + 2+1的最大值为（ ）
A． 5+1 B． 5+2 C． 5+1 D． 5+2
2 2 4 4
【方法技巧与总结】
1 利用基本不等式求最值的方法有很多，常见的是直接法、凑项法、巧 1 法、换元法、消元法等，要理解
各种方法的“基本套路”和思考“什么情况下会想到这个方法”；
2 一般一道题目的方法可有很多种，解题时要多尝试多思考.
【题型三：条件等式求最值】
例 6．已知2 + = ( > 0, > 0)，下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 8
B 1 2． ―1 + ―2的最小值为 2
C． + 有最小值3 + 2
D． 2 ―2 + 2 ―4 有最大值 4
1
变式 6-1．已知 > 0 3， > 0，且 + = 1，则2 + + 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
变式 6-2．（多选）已知正数 , 满足4 + + = 5，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 1 B．4 + 的最小值为 4
C．16 2 + 2的最小值为 9 D 1 1 10． +1 + 的最小值为 9
5 2
变式 6-3．已知正实数 , 满足4 2 +25 2 = 1，则 + 的最小值为（ ）
A．20 B．40 C．20 2 D．40 2
【方法技巧与总结】
理解基本不等式的各种变形，以及变形公式中把什么联系在一起了，多熟悉下！
2 + 2 + 2
1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (当且仅当 = 时等号成立)
+
(调和均值 ≤ 几何均值 ≤ 算术均值 ≤ 平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① + ≥ 2 ，积定求和；
2
② ≤ + 2 ，和定求积：
2
③ 2 + 2 ≥ ( + )2 (联系了 + 与平方和
2 + 2)
≤
2+ 2
④ (联系了 与平方和 22 +
2)
【题型四：基本不等式的恒成立问题】

例 7．若正实数 、 满足( ― 1)( ― 4) = 4，且 + 4 ≥
2 ―3 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．{ | ― 1 < < 4} B．{ | ― 1 ≤ ≤ 4}
C．{ | ― 4 ≤ ≤ 1} D．{ | ― 4 < < 1}
变式 7-1．当 > 0, > 0，且满足2 + ― 2 = 0时，有2 + > 2 + ― 8恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A．( ― 4,3) B．[ ― 4,3] C．( ― 3,4) D．[ ― 3,4]
1
变式 7-2．“ = 9”是“不等式 ( + ) + ≥ 8（ > 0）对于任意正实数 x，y 恒成立”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
变式 7-3 + ．若不等式 2 +3 ≥ ( + )对任意正数 , 恒成立，则实数 x 的最大值为（ ）
A． 2 B．2 C． 3 D．1
【方法技巧与总结】
恒成立问题，常见的分离参数法，把问题转化为某式子或函数的最值问题，若式子中含有两个变量常常会
想到基本不等式求最值.
一、单选题
1．已知 ， 为实数，且 ≠ 0，则下列命题错误的是（ ）
A．若 > 0 > 0 + ， ，则 2 ≥
+
B．若 2 ≥ ，则 > 0， > 0
C ≠ + ．若 ，则 2 > D
+
．若 2 > ，则 ≠
2.下列结论正确的是（ ）
A．当 < 2 1时， + ―2 ≥ 4 B．当 ≥ 2时， +
2
的最小值是2 2
4
C．当 > 0时， + ≥ 4 D．当 > 0时， +
1
+1的最小值为 1
3.若 > 1，则函数 ( ) = 9 + 1 ―1的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4.下列命题中正确的是（ ）
A 1．函数 = + 的最小值为 2.
B =
2+3
．函数 2 的最小值为 2. +2
C．函数 = 2 ― 3 ― 4 ( > 0)的最小值为2 ― 4 3
D 4．函数 = 2 ― 3 ― ( > 0)的最大值为2 ― 4 3
5. 若0 < < 1 1 2，则 + 1― 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．2 + 2 2 D．3 + 2 2
6.若正实数 ， 满足 + = 1，则下列说法错误的是（ ）
A 1 B 1 1． 有最大值4 ． + 有最小值 4
C． 2 + 2有最小值 2 D． + 有最大值2 2
7.已知 > 0， > 0，且 + 9 = ，若不等式 ≤ + 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
A．( ―∞,6] B．( ―∞,16]
C．( ―∞,8] D．( ―∞,9]
8.若对任意实数 > 0， > 0，不等式 + ≤ ( + 2 )恒成立，则实数 a 的最小值为（ ）．
A 2+1 B 2+1 C 6+2 6+2． ． ． D．
2 4 2 4
二、多选题
2 2
9．设 > 0， > 0 = + ，已知 ， =
2+ 2
+ ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最大值为 2 D． 有最小值为 2
2 2

10.若对于任意 > 0， 2+3 +1 ≤ 恒成立，则实数 的取值可以是（ ）
A 1 B 1 1 1．5 ．10 C．2 D．3
11.下列不等式正确的是（ ）
A 1 1 2．已知 , 为正实数， + = 3，则 +1 + +2的最小值为3
1
B． = 2 + 2 + 2+2有最小值 2
C．已知正数 , 满足 + = 2，则 的最大值是 1
D．若对任意 > 0, 3 +5 2 +4 ≥ 2恒成立，则实数 的取值范围是( ―∞,9]
三、填空题
12．已知 , 均为实数且 > 0, > 0, + = 3 1 + 1，则 +1 的最小值为 .
13.已知 > ―1 ― ―3，则 +1的最小值是 ．
+2
14.若正数 ， 满足 = 4，则 的最大值为 .
四、解答题
15．（1）若 > 0, > 0 2，且 + 8 = 1 ，
求：（i） 的最小值；
（ii） + 的最小值.
（2）求 ( ) = 4 +
9
―5( > 5)的最小值.
16.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为 750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度
为1m的小路，中间 , , 三个矩形区域将种植牡丹 郁金香 月季（其中 , 区域的形状 大小完全相同）.设
矩形花园的一条边长为 m，鲜花种植的总面积为 m2.
(1)用含有 的代数式表示 ，并写出 的取值范围；
(2)当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
17.定义min{ 1, 2, , }为 个实数 1， 2，…， 中的最小数，max{ 1, 2, , }为 个实数 1， 2，…，
中的最大数．
(1)设 ， 都是正实数，且 + = 1 max , 1，求 ；
4
(2)解不等式：min + 1, 2 + 3,| ― 1| > 2 ― 3；
(3)设 ， 都是正实数，求max + 1 , 2 + 的最小值．

18.若方程 2 + + = 0 ， ∈ 有两个不相等的实数根 1， 2，且( + )21 2 ―4 1 2 = 4．
(1)求证： 2 = 4 + 4；
2 4 2
(2)若 ≤ ―4 ，求 1 ―
2
2 +
+ 的最小值．1 2 1
19．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，
它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设 1, 2, 3, , , 1, 2, 3, , ∈ ，则
2 + 2 + + 21 2 21 + 22 + + 2 ≥ ( 21 1 + 2 2 + + ) 当且仅当 = 0( = 1,2, , )或存在一个
数 ，使得 = ( = 1,2, , )时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设 P 是棱长为 2的正四面体 内的任意一点，点 到四个面的距离分别为 1、 、 、 ，求 22 3 4 1 +
22 + 23 + 24的最小值；
(3)已知无穷正数数列{ }满足：①存在 ∈ ，使得 ≤ ( = 1,2, )；②对任意正整数 、 ( ≠ )，均有
1
| ― | ≥ + .求证：对任意 ≥ 4， ∈
，恒有 ≥ 1.

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