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2.1.3 基本不等式的应用
课程标准 学习目标
（1）掌握基本不等式
+
2 ( , 0) 。结 （1）会利用基本不等式求积的最大值;
合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大
（2）会利用解决生活中的最值问题.（难点)
值或最小值问题。
知识点 01 积定求和，和定求积
已知 ， 是正数，则
（1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 = 时，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果积 + 是定值 ，那么当且仅当 = 时，积 有最大值 4。
【即学即练 1】
若 > 0， > 0，且 + 4 = 1，则 的最大值是（ ）
A 1 1 1 1．32 B．16 C．4 D．2
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
1
【详解】由于1 = + 4 ≥ 4 ，则 ≤ 16，
当且仅当 = 4 = 12时等号成立.
故选：B
知识点 02 基本不等式在实际问题的应用
在基本不等式在实际问题中，首先要理解题意，找到各个变量之间的关系，再利用基本不等式进行求解，
其中要注意变量在实际中的取值范围.
【即学即练 2】
小王准备用18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，小王需要合理安排矩形的长 宽才能使
菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（ ）
A 81． 2 m
2 B．40m2 C．36m2 D．32m2
【答案】A
【分析】由基本不等式的应用即可求解.
【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为 m，垂直于墙的边长度为 m，菜园面积 = ，
则 + 2 = 18, ∴ + 2 ≥ 2 2 , ∴ ≤
81
2 ，当且仅当 = 2 = 9时取等号.
故选：A.
【题型一：基本不等式求积的最大值】
例 1．已知正数 x，y 满足 + = 2，则 2 + 2 ― 的取值范围是（ ）
A．[1,4] B．[0,4] C．[1,4) D．[1,3)
【答案】C
【分析】根据基本不等式可得0 < ≤ 1，结合完全平方公式计算即可求解.
2
【详解】因为0 < ≤ ( + )4 = 1，即0 < ≤ 1，
当且仅当 = = 1时等号成立，
所以 2 + 2 ― = ( + )2 ―3 = 4 ― 3 ∈ [1,4)．
故选：C．
4
变式 1-1．已知 > 0, > 0 3，且满足 + = 1，则（ ）
A 1． 的最小值为 48 B． 的最小值为48
C． 的最大值为 48 D． 1的最大值为48
【答案】A
【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可.
2 16 24
【详解】由题意得 = ( 3 + 4 ) ，所以 = ( 9 2 + 2 + )，
16
所以 = 9 + +24 ≥ 2
9 × 16 +24 = 48，

9 16
当且仅当 = 时取等，此时 = 6, = 8，故 A 正确.
故选：A
变式 1-2．已知 > 0, > 0，且 + 2 = 4，则 2 +4 2（ ）
A 80．有最小值 8 B．有最小值 9
C 80．有最大值 8 D．有最大值 9
【答案】A
【分析】根据基本不等式可得 ≤ 2，即可由不等式的性质求解.
【详解】由 + 2 = 4可得 2 +4 2 +4 = 16，所以 2 +4 2 = 16 ― 4 ，
由于 > 0, > 0，且 + 2 = 4，则 + 2 ≥ 2 2 ，故 ≤ 2，当且仅当 = 2 = 2时取等号，
故 2 +4 2 = 16 ― 4 ≥ 16 ― 8 = 8，因此 2 +4 2有最小值 8，
故选：A
变式 1-3．已知10 > > 0，则2 ― (10 ― )的最小值为（ ）
A． ―3 B． ―2 C． ―1 D．0
【答案】A
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为10 > > 0，故 + (10 ― ) ≥ 2 (10 ― )，即 (10 ― ) ≤ 5，
当且仅当 = 5时，等号成立，所以2 ― (10 ― ) ≥ 2 ― 5 = ―3.
故选：A.
变式 1-4．正数 , 满足 + = 5，则 + 1 + + 2的最大值为（ ）
A．8 B．3 C．2 2 D．4
【答案】D
【分析】将 + 1 + + 2平方，再结合基本不等式的求解即可.
2
【详解】解：因为( + 1 + + 2) = + + 3 + 2 + 1 + 2
= 8 + 2 + 1 + 2
2 2
≤ 8 + ( + 1) + ( + 2)
= 8 + + + 3
= 16
当 + 1 = + 2，即 = 3, = 2时，等号成立，
又因为 + 1 + + 2 > 0，
所以 + 1 + + 2 ≤ 4， = 3, = 2时，等号成立.
故选：D.
【方法技巧与总结】
1 已知 ， 是正数，则
（1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 = 时，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果积 + 是定值 ，那么当且仅当 = 时，积 有最大值 4。
2 和定求积，也要注意“一正二定三等”，解题方法也有直接法、凑项法、换元法等等.
【题型二：基本不等式在实际生活中的应用】
例 2．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量
吨与年促销费用 万元之间满足函数关系式 = 2 ― +2（ 为常数），如果不开展促销活动，年销量是 1 吨.已
知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 吨食品需再投入 32 万元的生产费用，通过
市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的 1.5 倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之
和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求 值；
(2)将下一年的利润 （万元）表示为促销费 （万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润 = 销售收入 ― 生产成本 ― 促销费，生产成本 = 固定费用 + 生产费用）
【答案】(1) =2
(2) = ― 32 ― 1 + 67 +2 2 2 ( ≥ 0)
(3)该食品企业下一年的促销费投入 6 万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.
【分析】（1）依题意当 =0时， =1代入计算可得；
（2）依题意求出当年生产 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；
3 2 = ― 32 +2 + 69（ ）由（ ）可得 + ，利用基本不等式计算可得.
+2 2 2
【详解】（1）由题意可知，当 =0时， =1，所以1 = 2 ― 2，解得 =2；
2 =2 = 2 ― 2（ ）由于 ，故 +2，
由题意知，当年生产 吨时，年生产成本为：32 + 3 = 32 2 ― 2 +3，
+2
当销售 3 2 1吨时，年销售收入为：2 32 2 ― + 3 + ， +2 2
= 3由题意， 2 32 2 ―
2 + 3 +
1
2 ― 32 2 ―
2 + 3 ― ，
+2 +2
= ― 32即 +2 ―
1 + 672 2 ( ≥ 0).
（3）由（2）知： = ― 32 ― 1 +2 2 +
67
2 ( ≥ 0)，
= ― 32 +2 69 32 +2 69即 +2 ― 2 + 2 = ― + + +2 2 2
≤ ―2 32 × +2 +
69 = 26.5，
+2 2 2
32 = +2当且仅当 +2 2 ，又 + 2 ≥ 2，即 = 6时，等号成立.
此时， max = 26.5.
该食品企业下一年的促销费投入 6 万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.
变式 2-1．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝
码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取
出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为
xg，则 与 20 的大小关系为（ ）
A． < 20 B． > 20
C． = 20 D．无法确定
【答案】B
【分析】利用平衡条件得出 的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为 ，右臂长为 ， , > 0且 ≠ ，左盘放的黄金为 1克，右盘放的黄金为 2克，
10 = 2 = 10 = 10 ，解得 1 , 2 =
10
1
，
= + = 10 + 10 ≥ 2 10 10 1 2 = 20，当且仅当 = 时，取到等号，
由于 ≠ ，所以 > 20.
故选：B
变式 2-2．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为 m 元和 n 元
( ≠ )，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买 100 元的该商品，乙每周购买 20 件该商品，若
甲、乙两次购买平均单价分别为 1, 2，则（ ）
A． 1 = 2 B． 1 < 2 C． 1 > 2 D． 1, 2的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题意求出 1, 2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
200
= = 2 = 20( + ) + 【详解】由题意得 1 100+100 ， 2 = ，
+ 40 2
2
因为 > 0, > 0, ≠
+ > 2 ，故 2 ， + < 2 = ，
即 1 < 2，
故选：B
变式 2-3．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为 1，第二次价格为 2， 1 ≠
2）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数
一定，哪种购物方式比较经济（ ）
A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定
【答案】B
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意， 1, 2为正数，且 1 ≠ 2，
1+ 2
第一种方式购买的平均价格为 2 ，
第二种方式，设每次购买的花费为 ，
2 2 2
则购买的平均价格为 + = 1
1 2
+
1 =
1 2 1+
，
1 2 2
2 + 21 2 1 2 1+ 2
由基本不等式得 2× 2 + < =1 2 + 2
，
1 2
所以选第二种方式比较经济.
故选：B
变式 2-4．杭州，作为 2023 年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.
其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买 台“机器狗”的总成本
为 ( ) =
1 2
80 + + 20 万元 .
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台
(2)现安排标明“汪 1”、“汪 2”、“汪 3”的 3 台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是 120 米. 3 台
“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为 1， 2， 3. “汪 1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 1奔跑，另
一半的时间以速度 2奔跑；“汪 2”全程以速度 1 2奔跑；“汪 3”有一半的路程以速度 1奔跑，另一半的路
程以速度 2奔跑，其中 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2 则哪台机器狗用的时间最少 请说明理由.
【答案】(1)40
(2)“汪 1”用的时间最少，理由见解析
【分析】（1）平均成本为 = ( ) ，利用比较不等式，即可求解函数的最值；
（2）利用速度，时间和路程的关系，分别求解 1， 2， 3，再根据不等式，比较时间大小，即可求解.
1
【详解】（1）由题意，购买 台“机器狗”的总成本为 ( ) = 280 + + 20，
( ) 1
则每台机器狗的平均成本为 = = 80 +
20
+1 ≥ 2
1 20 +1 = 1 + 1 = 2，
80
1 20
当且仅当80 = 时，即 = 40时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买40台.
1 1 120
（2）由题意，“汪 1”满足2 1 1 + 2 1 2 = 120，可得 1 = 1+ 2，2
120
“汪 2”满足 2 1 2 = 120，可得 2 = ，1 2
60 60 120
“汪 3”满足 3 = + = 2 1 2，1 2 1+ 2
2 1 2 2
+ ≤
1 2
2 = 1 2， 1 ≠ 1 2 2，1 2
2 1 2
所以 + < 1 2 ，1 2
因为 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2，
1+ 2
所以可得 2 > 1 2，
1+ 2 2
则 2 > 1 >
1 2
2 1+
> 0，
2
所以 1 < 2 < 3，所以 “汪 1”用的时间最少.
【方法技巧与总结】
1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范
围，
【题型三：基本不等式在几何中的应用】
例 3．如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形 的直角边长为 , ，且
直角三角形
+ 2+ 2
的周长为 2.（已知正实数 , ，都有 ≤ 2 ≤ ，当且仅当 = 时等号成立）2
(1)求直角三角形 面积的最大值；
(2)求正方形 面积的最小值.
【答案】(1)3 ― 2 2
(2)4(3 ― 2 2)
【分析】（1）由2 = + + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = (2 + 2)，得到 ≤ 6 ― 2 2求解；
2
（2）由2 = + + 2 + 2 ≤ ( 2 + 1) 2 + 2，得到 2 + 2 ≥ = 22+1 ( 2 ― 1)求解.
【详解】（1）解：由题意得：2 = + + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = (2 + 2) ，
2
所以 ≤ = 2 ― 2，即 ≤ 6 ― 42+ 2 2，
所以 = 12 ≤ 3 ― 2 2，当且仅当 = 时，等号成立，
所以直角三角形 面积的最大值为3 ― 2 2；
（2）因为 + ≤ 2( 2 + 2)，
所以2 = + + 2 + 2 ≤ ( 2 + 1) 2 + 2，
2
所以 2 + 2 ≥ = 22+1 ( 2 ― 1)，
所以 = 2 + 2 ≥ 4(3 ― 2 2)，当且仅当 = 时，等号成立，
所以正方形 面积的最小值为4(3 ― 2 2).
变式 3-1．中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为
, , ，三角形的面积 可由公式 = ( ― )( ― )( ― )求得，其中 为三角形周长的一半.已知 △
周长为 12， = 4，则此三角形面积最大时，∠ =（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
【分析】由秦九韶公式可得 关于 ， 的式子，再利用基本不等式求出 得最大值时三角形各边长，再求
∠ ．
1
【详解】由题可知 + = 8， = 4，可得 = 2( + + ) = 6，
= 6― +6― 则 6(6 ― )(6 ― )(6 ― 4) = 12(6 ― )(6 ― ) ≤ 12 × 2 = 4 3，
当且仅当 = = 4时，取得等号，
所以此时三角形为等边三角形，故∠ = 60°．
故选：C
变式 3-2．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形 ( > )的周长为 4，沿 折叠
使点 B 到点 ′位置， ′交 于点 P．研究发现当 △ 的面积最大时用电最少，则用电最少时， 的长
度为（ ）
A 5．4 B
3
． 2 C．2 D． 3
【答案】B
2
【分析】利用勾股定理 2 + 2 = 2，构造函数 = 3 ― + ，利用基本不等式即可求出最值.

【详解】如图，设 = ，由矩形 ( > )的周长为 4，可知 = (2 ― )．
设 = ，则 = ( ― )． ∵ ∠ = ∠ ′,∠ = ∠ ′ = 90°, = ′，
∴ Rt △ ≌Rt △ ′ , ∴ = = ．
在Rt △ 中，由勾股定理得 2 + 2 = 2，
2―2 +2
即(2 ― )2 + ( ― )2 = 2，解得 = ，
= ― = 2 ―2所以 ．
所以 △ 的面积 = 12 =
1
2(2 ― )
2 ―2
= 3 ― +
2
．

所以 ≤ 3 ― 2 2 = 3 ― 2 2 2，当且仅当 = 时，
即当 = 2时， △ 的面积最大，面积的最大值为3 ― 2 2，
故选：B．
变式 3-3．已知长为 ，宽为 的长方形，如果该长方形的面积与边长为 1的正方形面积相等；该长方形周
长与边长为 2的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为 3的正方形对角线相等；该长方形的面积和
周长的比与边长为 4的正方形面积和周长的比相等，那么 1、 2、 3、 4大小关系为（ ）
A． 1 ≤ 4 ≤ 2 ≤ 3 B． 3 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 4
C． 4 ≤ 1 ≤ 3 ≤ 2 D． 4 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3
【答案】D
2
【分析】先求出 = 21， + = 2 2， 2 + 2 = 2

， 43 + = 2 ，然后利用基本不等式比较大小即可.4
2
【详解】由题意可得， = 21①， + = 2 2②， 2 + 2 = 2
4
3③， + = 2 ④，且 , > 0，4
由基本不等式的关系可知， + ≥ 2 ，当且仅当 = 时等号成立，
由①②得，2 2 ≥ 2 1，所以 2 ≥ 1⑤，
因为( + )2 = 2 + 2 +2 ≤ 2( 2 + 2)，
( + )2
所以 2 + 2 ≥ 2 ，当且仅当 = 时等号成立，
由②③得，2 2 4
2
3 ≥ 22 ，所以 3 ≥ 2⑥，

又 + ≤ = ，当且仅当 = 时等号成立，2 2
2 1
由①④得， 42 ≤ 2 ，所以 4 ≤ 1⑦，综合⑤⑥⑦可得， 4 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3.4
故选：D.
变式 3-4．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为75 3m2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下
底 ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60°，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求
出所用篱笆长度的最小值．
【答案】当等腰梯形的腰长为10m时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m．
【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果；
【详解】
设 = (m)( > 0)，上底 = (m)( > 0)，
分别过点 , 作下底的垂线，垂足分别为 , ，
3
则 = ， = =
2 2
，

则下底 = 2 + + 2 = + ，
( + + ) 3 3
该等腰梯形的面积 = 2 = ( + 2 ) = 752 4 3，
= 300 = 300

所以( + 2 ) ，则 2 ― 2，
所用篱笆长为 = 2 +

= 2 + 3002 ―
300 3 300 3
2 = 2 + 2 ≥ 2 = 30，2 2
300 3
当且仅当 2 = 2 ，即 = 10(m)， = 10(m)时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为10m时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m．
【方法技巧与总结】
1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范
围，
一、单选题
1． 已知正数 ， 满足 + 2 = 1，则（ ）
A ≥ 1． 8 B． >
1
8 C．0 < ≤
1
8 D．0 < <
1
8
【答案】C
【分析】根据基本不等式直接计算即可.
1
【详解】由题意得， > 0, > 0，则 > 0， + 2 = 1 ≥ 2 2 ，即0 < ≤ 8，
= 2 = 1, = 1当且仅当 ，即 2 4时等号成立.
故选：C
2.已知0 < < 4，则 (6 ― )的最大值为（ ）
A 1．2 B．1 C． 3 D．3
【答案】D
【分析】利用基本不等式直接求出最大值.
+(6― )
【详解】当0 < < 4时， (6 ― ) ≤ 2 = 3，当且仅当 = 6 ― ，即 = 3时取等号，
所以 (6 ― )的最大值为 3.
故选：D
3.已知一个直角三角形的面积为 16，则该三角形周长的最小值为（ ）
A．8 2 B．8 + 4 2 C．8 + 8 2 D．16 + 8 2
【答案】C
【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为 、 ，利用均值不等式解得最小值为8 + 8 2.
【详解】设三角形的两条直角边长为 、 ，可得 = 32，
三角形的周长为 + + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = 8 + 8 2，当且仅当 = = 4 2时取等号．
故选：C
4.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员现将5g的砝码放在天
平的左盘中，取出 g黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将5g的砝码放在天平右盘
中，再取出 g黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A． + > 10 B． + = 10
C． + < 10 D．以上都有可能
【答案】A
5 5
【分析】根据杠杆原理可得 = ， = ，进而可根据基本不等式求解.
【详解】设天平左臂长为 ，右臂长为 ，且 ≠ ，则有5 = ， = 5 ，即 = 5 ， =
5
，
+ = 5 + 5 = 5 所以， +
≥ 5 × 2 = 10，

又因为 ≠ ，所以 + > 10.
故选：A
5.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可
获得的利润 （单位：万元）与生产线运转时间 （单位：年）满足二次函数关系： = ―2 2 +40 ― 98，现
在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间 t 为（ ）年．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A

【分析】表示出平均利润 ，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.
2
【详解】平均利润为 =
―2 +40 ―98
= ― 2 +
98 +40 ≤ ―2 2 × 98 +40 = 12，

98
当且仅当2 = ，即 = 7时取最大值.
故选：A.
6. 某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买 20 克黄金，他要求先将 10 克的砝码放在左盘，将黄金放在
右盘使之平衡；然后又将 10 克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，
则该顾客实际所得黄金（ ）
A．小于 20 克 B．不大于 20 克 C．大于 20 克 D．不小于 20 克
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设天平的左臂长为 ，右臂长为 （不妨设 ≥ ），
第一次称出的黄金重为 g，第二次称出的黄金重为 g，
10 10
由杠杆平衡的原理，可得10 = , = 10 ，则 = , = ，
+ = 10 + 10 ≥ 20 × 可得 = 20，当且仅当 = 时，等号成立，
所以顾客所得的黄金不小于 20 克.
故选：D.
7.已知 > 0， > 0 2 1，若 2+2 + 2+ = 1，则 的最大值为（ ）
A．2 ― 2 B．2 + 2 C．4 + 2 2 D．4 ― 2 2
【答案】D
2 1
【分析】首先变形 = × + ，化简后换元 = > 0，转化为关于 的式子，利用基本不等 2+2 2+
式求最值.
【详解】 = × 2 + 1 =
2
2+2 2+ 2+2
+ 2+ ，
2 1
= +2 + +1，


设 = > 0，
= 2
1 2
则 + 1 +2 +1 = +2 + +1 =
2 1
+2
― +1 +1，
1 1
= ( +2)( +1) +1 = +2+3 +1 ≤ +1 = 4 ― 22 2+3 2，
2
当 = ，即 = 2， = 2时等号成立，
所以 的最大值为4 ― 2 2.
故选：D
8.为提高市民的健康水平，拟在半径为 200 米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示
的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中 区域是休闲健身区，以 为底边的等腰三角
形区域 是儿童活动区，P，C，D 三点在圆弧上， 中点恰好在圆心 O，则当健身广场的面积最大时，
的长度为（ ）
A．100米 B．150米 C．100 2米 D．100 3米
【答案】D
【分析】
= | |先设 ，然后将健身广场的面积表示为 的函数
2 1 ― 2 + 1 ，再使用基本不等式和二次函数的性质
确定 1 ― 2 + 1 取得最大值时 的取值，最后求出此时 的长度.
| |
【详解】如图，设半圆的半径是 ，并设 = ，则| | = ，由0 < | | < 知0 < < 1.
2 2
由于| | = | | = | |2 ― | |2 = | | 1 ― | | = 1 ― | | = 1 ― 2，故四边形 和四边形
| |2 2
都是上底为 1 ― 2，下底为 ，高为 的梯形.
1
所以，健身广场的面积 = 2 × 2 1 ― 2 + =
2 1 ― 2 + 1 .
从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是 1 ― 2 + 1 最大的时候，而我们又有：
2 3 ― 3 2 + 2 3 2 2(3 ― 3 2) + 2 3
1 ― 2 + 1 = 1 ― 2 + = =
2 3 2 3
2
2≤ +(3―3
2)+2 3 = ―2
2+2 3 +3 9= ―2 ―
3 +9 3 3
2 2 ≤ 2 = ，第一个不等号使用了基本不等式.
2 3 2 3 2 3 2 3 4
等号成立当且仅当 2 = 3 ― 3 2 3且 ― = 0，即 2 = 3 ― 3 2且 = 3.
2 2
由于 = 3时3 ― 3 2 = 3 ― 3 34 =
3 2
4 = ，故等号成立当且仅当 =
3.
2 2
3 3 3
以上结论表明，的 1 ― 2 + 1 最大值是 ，且取到最大值当且仅当 = .4 2
由| | = 3，我们得到当健身广场的面积最大时， 的长度为 .2
最后，由 是半圆的半径，再根据题目条件，知 等于 200 米，所以 的长度为100 3米，D 选项正确.
故选：D.
二、多选题
9． 已知 2 +4 2 +2 = 1，则（ ）
A． 1 5的最大值为6 B．
2 +4 2的最小值为7
C． 2 +4 2 1的最大值为 2 D． 的最小值为 ― 3
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
【详解】对 A：由 2 +4 2 ≥ 4 ，得 2 +4 2 +2 ≥ 6 ，所以 ≤ 16，
当且仅当 = 2 时取等号，故 A 正确；
2 2 2
B 2 = 2 ≤ +4 2 +4 2 +2 ≤ 3( +4
2)
对 ：由 2 ，得 2 ，
所以 2 +4 2 ≥ 23，当且仅当 = 2 时取等号，故 B 错误；
2 2 2 2
对 C：由2 = 2 ≥ ― +4 2 +4 2 +2 ≥ +4 2 ，得 2 ，
所以 2 +4 2 ≤ 2，当且仅当 = ―2 时取等号，故 C 正确；
对 D：由 2 +4 2 ≥ ―4 ，得 2 +4 2 +2 ≥ ―2 ，
所以 ≥ ― 12，当且仅当 = ―2 时取等号，故 D 错误.
故选：AC.
10.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在
其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为
b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形
（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为 a+b，宽为内接正方形
的边长 d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角
形 ABC 的内接正方形的对角线 AE，过点 A 作 ⊥ 于点 F，则下列推理正确的是（ ）
A 2 ．由题图（1）和题图（2）面积相等得 = +
B．由 ≥
2+ 2 ≥ + 可得
2 2
C ≥
2+ 2 2
．由 可得 ≥ 1
2 +
1

D．由 ≥ 可得 2 + 2 ≥ 2
【答案】BCD
【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得 d 的表达式，从而判断 A 选项的正误，由题意可求得题图
（3）中 ， ， 的表达式，逐一分析 B，C，D 选项，即可得答案．
【详解】对于 A，由题图（1），（2）面积相等得 = = ( + ) × ，所以 = + ，故 A 错误．

对于 B，因为 ⊥ 1，所以2 × × =
1 2
2 + 2 × ，所以 = 2 2，+
―
3 2 设题图（ ）中内接正方形的边长为 t，根据三角形相似可得 = ，解得 = + ，所以 = 2 = + ．
≥ 2
2+ 2 +
因为 ，所以 ≥ ≥ + ，整理可得 ，故 B 正确． 2+ 2 2 2
对于 C，因为 D 为斜边 的中点，所以 = 2+ 2，
2
因为 ≥ 2，所以 + 2 ≥ 2
2+ 2 2≥ 1 1
2 +
，整理得 + ，故 C 正确．2
2 2
对于 D ≥ + ，因为 ，所以 ≥ ，整理得 2 + 2 ≥ 2 2 2 ，故 D 正确．2 +
故选：BCD
11.如图，四边形 为梯形，其中 = ， = ，且 < ， 为对角线的交点．有 4 条线段（ 、
、 、 ）夹在两底之间． 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线）， 表示平
行于两底且使梯形 与梯形 相似的线段， 表示平行于两底且过点 的线段， 表示平行于两
底且将梯形 分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（ ）
A．若 = 3, = 6，则 = 3 2
2
B． = 1+1

C．存在 , 使得 >
2
D = +
2
．
2
【答案】ABD
【分析】由梯形 与梯形 相似，求得 = ，可判定 A 正确；由 // ，结合
△ ∽△ 和 △ ∽△ ，求得 = 2 = 2 + ，可判定 B 正确；由基本不等式得到 < ，
( + )
可判定 C 不正确；设梯形 , , 的面积分别为 1, 2, ，结合2 1 = 2 2 = ，求得 1 = 2( + ),
( + )
2 = 2( + )，结合 1 + 2 = ，可判定 D 正确.
+
【详解】对于 A 中，由题梯形的中位线的性质，可得 = 2 ，
因为梯形 与梯形 = 相似，所以 ，可得 = = ，
当 = 3, = 6，可得 = 3 2，所以 A 正确；
对于 B 中，因为 // ，所以∠ = ∠ ,∠ = ∠ ，
所以 △ ∽△ ，可得 =

= ，
又由 △ ∽△ ，可得 =

= + ，
2
可得 = + ，所以 = 2 =
2
1
+ = +1，所以 B 正确；
对于 C 中，由基本不等式知， > 0, > 0，且 ≠ 时，
2 2
可得 = + > ，又由12 +1 < 2 1 = ，所以 < ，所以 C 不正确；
设梯形 , , 的面积分别为 1, 2, ，高分别为 1, 2, ，
则2 1 = 2 2 = ，即( + ) 1 = ( + ) 2 =
1
2( + ) ，
( + ) ( + )
解得 1 = 2( + ), 2 = 2( + )，
( + ) ( + )
根据题意知 1 + 2 = 2( + ) +
2+ 2
2( + ) = ，解得 = ，所以 D 正确.2
三、填空题
12．已知正实数 x，y 满足 2 +4 2 ―2 = 1，则 xy 的最大值为 ．
1
【答案】2/0.5
【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解．
1
【详解】正实数 x，y 满足 2 +4 2 ―2 = 1，所以1 + 2 = 2 +4 2 ≥ 4 ，解得 ≤ 2.
1 1
当且仅当 = 2 ，即 = 1, = 2时取等号，所以 最大值为2．
1
故答案为：2．
13.某厂计划建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池.若池底的造价为120元每平方米，池壁的造价
为100元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
【答案】2080
4
【分析】设水池池底的一边长为 m( > 0)，则另一边长为 m，由题意表示出总造价的函数式，化简后可
利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时 的取值是否存在.
【详解】因为水池的容积为8m3，深为2m，所以底面积为4m2，
4
设水池池底的一边长为 m( > 0)，则另一边长为 m，
则总造价 = 4 × 120 + 100 × 2 + 2 4 × 2

4
= 480 + 400 +
≥ 480 + 400 × 2 4 = 2080（元）.

4
当且仅当 = ，即 = 2时， 取最小值为2080.
所以水池的最低造价为2080元.
故答案为：2080.
14. > 0 > 0 2 2 +
2
若 ， ，且 3 = 8，求 6 + 2 2的最大值为 ．
9 3
【答案】
2
【分析】观察题目已知式中 与 都是二次的，而所求式中是一次的，而且还带根号，如果把 6 + 2 2平
方，则可得出相关性了.再用基本不等式解题即可．
2
【详解】因为 6 + 2 2 = 2 6 + 2 2 = 3 2 2
2
1 +
3
2 22 2+1+
≤ 3 3 = 3 × 9
2
= 243
2 2 4 ，
2 2 +1 +
2 3
当且仅当 3 ，即 =
42
2， = 时，等号成立.2
6 + 2 2 ≤ 243 = 9 3所以 ，故 2 6 + 2
2 9 3的最大值为 .
4 2
9 3
故答案为： ．
2
四、解答题
15．已知 a，b 是正实数，且2 2 +3 2 = 10，求 2 + 2的最大值．
4 6
【答案】
3
【分析】 = 2 + 2，换元得到2 2＋3 2 = 16， 2 + 2 = 4 6，由基本不等式求出 ≤ ，从而得到答3
案.
【详解】记 = 2 + 2，则2 2＋3 2 = 10 2 2＋3 2 = 16，故 2 + 2 = ，
2 2 8
其中 2 3 ≤ 2 +3 2 = 8 ≤ =
4 6
6 ，3
2 = 3 = 2, = 2 6 6当且仅当 ，即 ，等号成立，此时 = 2 ― 2 = .3 3
16.如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为 2 的空白，
上、下两边都留有宽为 1 的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为 x，y.
(1)用 x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小 并求最小面积.
【答案】(1) = 40 + 2 + 4 ( > 0, > 0)
(2)纸张的长和宽分别为 12，6 时，纸张的面积最小，最小面积为 72.
【分析】（1）由题意知 = 32，再代入 = ( + 4)( + 2)化简即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）由题意， = 32，
= ( + 4)( + 2) = + 2 + 4 + 8 = 40 + 2 + 4 ( > 0, > 0).
（2） = 40 + 2 + 4 ≥ 40 + 2 8 = 72，
当且仅当2 = 4 ，即 = 8, = 4时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为 12，6 时，纸张的面积最小，最小面积为 72.
17.甲、乙两地相距 1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100（km/h），若货车每小时的运
3
输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度 km h 的平方的4倍，固定成本为
元.
(1)将全程运输成本 （元）表示为速度 km h 的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶
【答案】(1) = 1000 3 + ，定义域为(0,100]
4
(2)答案见解析
3
【分析】（1）由题意货车每小时的运输的可变成本为 2 元，固定成本为 a 元，求和后乘以时间即可；
4
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答.
【详解】（1 3）由题意得可变成本为 2 元，固定成本为 a 元，
4
1000
所用时间为 ，
= 1000 3 2 + = 1000 3则 +

，定义域为(0, 100]．
4 4
2 1 = 1000 3 + ≥ 1000 × 2 3 ·

（ ）由（ ）得 = 1000 33 ，当且仅当4 = ，即 = 2

时取等号，
4 4 3

易知函数 = 34 + 在 0,2

上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增.
3 3
又0 < ≤ 100，
所以当0 < ≤ 7500时，货车以 = 2 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；
3
当 > 7500时，货车以 100km/h 的速度行驶，全程运输成本最小．
18.如图所示，一条笔直的河流 （忽略河的宽度）两侧各有一个社区 , （忽略社区的大小）， 社区距离
上最近的点 0的距离是2km, 社区距离 上最近的点 0的距离是1km，且 0 0 = 4km.点 是线段 0 0上一
点，设 0 = km.
现规划了如下三项工程：
工程 1：在点 处修建一座造价 0.1 亿元的人行观光天桥；
9
工程 2：将直角三角形 20 地块全部修建为面积至少1km 的文化主题公园，且每平方千米造价为 1 + 2 2
亿元；
工程 3：将直角三角形 0 地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为 1 亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
(1)求实数 的取值范围；
(2)问点 在何处时， 最小，并求出该最小值.
(1) 1, 7【答案】
2
(2)当点 满足| 0 | = 3时， 最小，最小值为5.1亿元.
【分析】（1）由直角三角形 20 地块全部修建为面积至少0.25km 和直角三角形 0 地块全部修建为面积
至少1km2的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.
2 9 4― （ ）由题意可得 = 1 + + 1 × 2 +0.1，由基本不等式求解即可.2 2
【详解】（1）因为直角三角形 0 地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，
1 1 7
所以 △ 0 = 2| 0 || 0| = 2 × 1 (4 ― ) ≥ 0.25，解得： ≤ 2
直角三角形 0 地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，
1 1
所以 △ 0 = 2| 0 || 0| = 2 × 2 ≥ 1，解得： ≥ 1,
故实数 7的取值范围为 1, .
2
2 = 9 + 1 × 4― （ ）依题意可得： 1 + 2 +0.12 2
= + 9 + 4―

2 2 +0.1 =
9
2 + 2 +2.1 ≥ 2
9 +2.1 = 2 ×
3
2 +2.1 = 5.1，2 2
9
当且仅当2 = 2 ，即 = 3时取等.
所以当点 满足| 0 | = 3时， 最小，最小值为5.1亿元.
19．冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个
环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消
费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在 2024 年初及 2025
年初两次共投资 4 百万元，经预测，每年初投资的 百万元在第 （1 ≤ ≤ 8，且 ∈ *）年产生的利润
, ∈ *,1 ≤ ≤ 4
（单位：百万元） ( ) = 4 ― 16 ― , ∈ *,5 ≤ ≤ 8 ，记这 4 百万元投资从 2024 年开始的第 年产
2
生的利润之和为 ( ).
(1)比较 4(2)与 5(2)的大小；
(2)求两次投资在 2027 年产生的利润之和的最大值.
【答案】(1) 4(2) > 5(2)
(2)2 7
【分析】（1）由 ( )求出 4(2)， 5(2)，再由作差法比较大小即可得出答案.
（2）先求出两次投资在 2027 年产生的利润之和 4( ) = 2 + 12 ― 3 ，再由基本不等式或判别式求出
4( )的最大值.
【详解】（1） = 2表示 2024 年及 2025 年各投资 2 百万元，
由题意得 4(2) = 4 × 2 + 3 × 2 = 2 2 + 6，
(2) = 4 ― 16 ― 5×25 +2 2 = 4 ― 11 +2 2，2
4(2) ― 5(2) = 6 + 11 ―4 > 2 + 2 ― 4 = 0，
所以 4(2) > 5(2).
（2）两次投资在 2027 年产生的利润之和为 4( )百万元，
设 2024 年初投资 百万元，则 2025 年初投资(4 ― )百万元，
2024 年初投资的 百万元在 2027 年产生的利润为 4 = 2 （百万元），
2025 年初投资的(4 ― )百万元在 2027 年产生的利润为 3(4 ― )（百万元），
所以 4( ) = 2 + 12 ― 3 .
解法一：
[ 4( )]2 = + 4 12 ― 3 2 +12，设 = + 4 12 ― 3 2，
则 ― = 4 12 ― 3 2，两边平方得49 2 ― (2 + 192) + 2 = 0，
由Δ = (2 + 192)2 ―4 × 49 2 ≥ 0得2 + 192 ≥ 14 ，所以 ≤ 16，
= 16当 7 时取等号.
所以[ 4( )]2 = + 4 12 ― 3 2 +12 ≤ 16 + 12 = 28， 4( ) ≤ 2 7.
所以两次投资在 2027 年产生的利润之和的最大值为2 7百万元.
解法二：[ 4( )]2 = + 4 3 (4 ― ) +12 = + 6 32 ― 8 +12
≤ + 6 +32―8 2 +12 = 16 + 12 = 28，
当且仅当6 = 32 ― 8 ，即 = 167 时取等号，
所以 4( ) ≤ 2 7，两次投资在 2027 年产生的利润之和的最大值为2 7百万元.2.1.3 基本不等式的应用
课程标准 学习目标
+
（1）掌握基本不等式 2 ( , 0) 。结 （1）会利用基本不等式求积的最大值;
合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大
（2）会利用解决生活中的最值问题.（难点)
值或最小值问题。
知识点 01 积定求和，和定求积
已知 ， 是正数，则
（1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 = 时，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果积 + 是定值 ，那么当且仅当 = 时，积 有最大值 4。
【即学即练 1】
若 > 0， > 0，且 + 4 = 1，则 的最大值是（ ）
A 1 B 1 C 1 D 1．32 ．16 ．4 ．2
知识点 02 基本不等式在实际问题的应用
在基本不等式在实际问题中，首先要理解题意，找到各个变量之间的关系，再利用基本不等式进行求解，
其中要注意变量在实际中的取值范围.
【即学即练 2】
小王准备用18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，小王需要合理安排矩形的长 宽才能使
菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（ ）
A 81． 22 m B．40m
2 C．36m2 D．32m2
【题型一：基本不等式求积的最大值】
例 1．已知正数 x，y 满足 + = 2，则 2 + 2 ― 的取值范围是（ ）
A．[1,4] B．[0,4] C．[1,4) D．[1,3)
4
变式 1-1．已知 > 0, > 0 3，且满足 + = 1，则（ ）
A． 1的最小值为 48 B． 的最小值为48
C． 的最大值为 48 D 1． 的最大值为48
变式 1-2．已知 > 0, > 0，且 + 2 = 4，则 2 +4 2（ ）
A 80．有最小值 8 B．有最小值 9
C．有最大值 8 D 80．有最大值 9
变式 1-3．已知10 > > 0，则2 ― (10 ― )的最小值为（ ）
A． ―3 B． ―2 C． ―1 D．0
变式 1-4．正数 , 满足 + = 5，则 + 1 + + 2的最大值为（ ）
A．8 B．3 C．2 2 D．4
【方法技巧与总结】
1 已知 ， 是正数，则
（1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 = 时，和 + 有最小值2 ；
2
（2）如果积 + 是定值 ，那么当且仅当 = 时，积 有最大值 4。
2 和定求积，也要注意“一正二定三等”，解题方法也有直接法、凑项法、换元法等等.
【题型二：基本不等式在实际生活中的应用】
例 2．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量

吨与年促销费用 万元之间满足函数关系式 = 2 ― +2（ 为常数），如果不开展促销活动，年销量是 1 吨.已
知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 吨食品需再投入 32 万元的生产费用，通过
市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的 1.5 倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之
和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求 值；
(2)将下一年的利润 （万元）表示为促销费 （万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润 = 销售收入 ― 生产成本 ― 促销费，生产成本 = 固定费用 + 生产费用）
变式 2-1．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝
码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取
出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为
xg，则 与 20 的大小关系为（ ）
A． < 20 B． > 20
C． = 20 D．无法确定
变式 2-2．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为 m 元和 n 元
( ≠ )，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买 100 元的该商品，乙每周购买 20 件该商品，若
甲、乙两次购买平均单价分别为 1, 2，则（ ）
A． 1 = 2 B． 1 < 2 C． 1 > 2 D． 1, 2的大小无法确定
变式 2-3．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为 1，第二次价格为 2， 1 ≠
2）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数
一定，哪种购物方式比较经济（ ）
A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定
变式 2-4．杭州，作为 2023 年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.
其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买 台“机器狗”的总成本
为 1( ) = 280 + + 20 万元 .
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台
(2)现安排标明“汪 1”、“汪 2”、“汪 3”的 3 台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是 120 米. 3 台
“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为 1， 2， 3. “汪 1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 1奔跑，另
一半的时间以速度 2奔跑；“汪 2”全程以速度 1 2奔跑；“汪 3”有一半的路程以速度 1奔跑，另一半的路
程以速度 2奔跑，其中 1 > 0， 2 > 0，且 1 ≠ 2 则哪台机器狗用的时间最少 请说明理由.
【方法技巧与总结】
1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范
围，
【题型三：基本不等式在几何中的应用】
例 3．如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形 的直角边长为 , ，且
, + 2. ≤ ≤
2+ 2
直角三角形 的周长为 （已知正实数 ，都有 2 ，当且仅当 = 时等号成立）2
(1)求直角三角形 面积的最大值；
(2)求正方形 面积的最小值.
变式 3-1．中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为
, , ，三角形的面积 可由公式 = ( ― )( ― )( ― )求得，其中 为三角形周长的一半.已知 △
周长为 12， = 4，则此三角形面积最大时，∠ =（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
变式 3-2．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形 ( > )的周长为 4，沿 折叠
使点 B 到点 ′位置， ′交 于点 P．研究发现当 △ 的面积最大时用电最少，则用电最少时， 的长
度为（ ）
A 5 3．4 B． 2 C．2 D． 3
变式 3-3．已知长为 ，宽为 的长方形，如果该长方形的面积与边长为 1的正方形面积相等；该长方形周
长与边长为 2的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为 3的正方形对角线相等；该长方形的面积和
周长的比与边长为 4的正方形面积和周长的比相等，那么 1、 2、 3、 4大小关系为（ ）
A． 1 ≤ 4 ≤ 2 ≤ 3 B． 3 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 4
C． 4 ≤ 1 ≤ 3 ≤ 2 D． 4 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3
变式 3-4．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为75 3m2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下
底 ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60°，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求
出所用篱笆长度的最小值．
【方法技巧与总结】
1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式；
2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范
围，
一、单选题
1． 已知正数 ， 满足 + 2 = 1，则（ ）
A． ≥ 18 B． >
1
8 C．0 < ≤
1 1
8 D．0 < < 8
2.已知0 < < 4，则 (6 ― )的最大值为（ ）
A 1．2 B．1 C． 3 D．3
3.已知一个直角三角形的面积为 16，则该三角形周长的最小值为（ ）
A．8 2 B．8 + 4 2 C．8 + 8 2 D．16 + 8 2
4.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员现将5g的砝码放在天
平的左盘中，取出 g黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将5g的砝码放在天平右盘
中，再取出 g黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A． + > 10 B． + = 10 C． + < 10 D．以上都有可能
5.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可
获得的利润 （单位：万元）与生产线运转时间 （单位：年）满足二次函数关系： = ―2 2 +40 ― 98，现
在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间 t 为（ ）年．
A．7 B．8 C．9 D．10
6. 某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买 20 克黄金，他要求先将 10 克的砝码放在左盘，将黄金放在
右盘使之平衡；然后又将 10 克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，
则该顾客实际所得黄金（ ）
A．小于 20 克 B．不大于 20 克 C．大于 20 克 D．不小于 20 克
7. 2 1已知 > 0， > 0，若 2+2 + 2+ = 1，则 的最大值为（ ）
A．2 ― 2 B．2 + 2 C．4 + 2 2 D．4 ― 2 2
8.为提高市民的健康水平，拟在半径为 200 米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示
的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中 区域是休闲健身区，以 为底边的等腰三角
形区域 是儿童活动区，P，C，D 三点在圆弧上， 中点恰好在圆心 O，则当健身广场的面积最大时，
的长度为（ ）
A．100米 B．150米 C．100 2米 D．100 3米
二、多选题
9． 已知 2 +4 2 +2 = 1，则（ ）
A． 1的最大值为 B． 26 +4
2 5的最小值为7
C． 2 +4 2 1的最大值为 2 D． 的最小值为 ― 3
10.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在
其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为
b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形
（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为 a+b，宽为内接正方形
的边长 d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角
形 ABC 的内接正方形的对角线 AE，过点 A 作 ⊥ 于点 F，则下列推理正确的是（ ）
A 2 ．由题图（1）和题图（2）面积相等得 = +
B．由 ≥
2+ 2 +
可得 ≥
2 2
≥ 2C +
2 2
．由 可得 ≥ 1
2 +
1

D．由 ≥ 可得 2 + 2 ≥ 2
11.如图，四边形 为梯形，其中 = ， = ，且 < ， 为对角线的交点．有 4 条线段（ 、
、 、 ）夹在两底之间． 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线）， 表示平
行于两底且使梯形 与梯形 相似的线段， 表示平行于两底且过点 的线段， 表示平行于两
底且将梯形 分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（ ）
2
A．若 = 3, = 6
2 2
，则 = 3 2 B． = 1+1 C．存在 , 使得 > D
+
． =
2
三、填空题
12．已知正实数 x，y 满足 2 +4 2 ―2 = 1，则 xy 的最大值为 ．
13.某厂计划建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池.若池底的造价为120元每平方米，池壁的造价
为100元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
2
14.若 > 0， > 0 2 2 + ，且 3 = 8，求 6 + 2 2的最大值为 ．
四、解答题
15．已知 a，b 是正实数，且2 2 +3 2 = 10，求 2 + 2的最大值．
16.如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为 2 的空白，
上、下两边都留有宽为 1 的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为 x，y.
(1)用 x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小 并求最小面积.
17.甲、乙两地相距 1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100（km/h），若货车每小时的运
3
输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度 km h 的平方的4倍，固定成本为
元.
(1)将全程运输成本 （元）表示为速度 km h 的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶
18.如图所示，一条笔直的河流 （忽略河的宽度）两侧各有一个社区 , （忽略社区的大小）， 社区距离
上最近的点 0的距离是2km, 社区距离 上最近的点 0的距离是1km，且 0 0 = 4km.点 是线段 0 0上一
点，设 0 = km.
现规划了如下三项工程：
工程 1：在点 处修建一座造价 0.1 亿元的人行观光天桥；
9
工程 2：将直角三角形 0 地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米造价为 1 + 2 2
亿元；
工程 3：将直角三角形 0 地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为 1 亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
(1)求实数 的取值范围；
(2)问点 在何处时， 最小，并求出该最小值.
19．冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个
环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消
费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在 2024 年初及 2025
年初两次共投资 4 百万元，经预测，每年初投资的 百万元在第 （1 ≤ ≤ 8，且 ∈ *）年产生的利润
, ∈ *,1 ≤ ≤ 4
（单位：百万元） ( ) = 4 ― 16 ― , ∈ *,5 ≤ ≤ 8 ，记这 4 百万元投资从 2024 年开始的第 年产
2
生的利润之和为 ( ).
(1)比较 4(2)与 5(2)的大小；
(2)求两次投资在 2027 年产生的利润之和的最大值.

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