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2.3.2 一元二次不等式的应用
课程标准 学习目标
（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式
的过程, 了解一元二次不等式的现实意义。能
（1）掌握一元二次不等式恒成立问题;
借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能
（2）掌握一元二次不等式有解问题；
用集合表示一元二次不等式的解集
（3）掌握一元二次不等式的实际应用.
（2）借助一元二次函数的图象, 了解一元二次
不等式与相应函数、方程的联系。
知识点 01 一元二次不等式
1 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以 > 0为例)
判别式
2 > 0 = 0 < 0 = ― 4
二次函数
= 2 + +
的图象
有两个相异实数根
一元二次方程 1 , 2 有两个相等实数根
2 + + = 0的根 ― ±
2 ― 4 没有实数根
= = = ―2 1 2 2
( 1 < 2)
一元二次不等式
2 + + > 0 的解 { | < 1或 > 2} { | ≠ ― 2 }
集
一元二次不等式
2 + + < 0的解 { | 1 < < 2}
集
2 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是
（1）理解题意，分享清楚量与量之间的关系；
（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；
（3）解这个一元二次不等式得到实际问题的解.
知识点 02 恒成立问题和存在性问题
1 恒成立问题
① ∈ , ( ) < 恒成立，则 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，则 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0.
存在性问题
① 0 ∈ ，使得 ( 0) < 成立，则 ( ) < ；
② 0 ∈ ，使得 ( 0) > 成立，则 ( ) > ；
③ 0 ∈ ，使得 ( 0) < ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ 0 ∈ ，使得 ( 0) > ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0。
【即学即练 2】若不等式2 2 + ― 38 < 0的解集为 R，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 3) ∪ [0, + ∞) B．( ―3,0)
C．( ―3,0] D．( ―∞,0]
【题型一：一元二次不等式的实际生活中的应用】
例 1．一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与
创造的价值 （单位：元）之间有如下的关系： = ―2 2 +220 .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流
水线创收 6000 元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？
变式 1-1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提
高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的
销售收入.则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是（ ）
A．{ |10 ≤ < 16 } B．{ |12 ≤ < 18 }
C．{ |15 < < 20 } D．{ |10 ≤ < 20 }
变式 1-2．某地每年消耗木材约 20 万立方米，每立方米售价 480 元，为了减少木材消耗，决定按 %征收木
5
材税，这样，每年的木材消耗量减少2 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 180 万
元，t 的取值范围是（ ）
A．[1,3] B．[2,4]
C．[3,5] D．[4,6]
变式 1-3．通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．2022年，该种玻璃售价为 25欧元/平
方米，销售量为80万平方米．
(1)据市场调查，售价每提高1欧元/平方米，销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，
试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2023年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高
价格到 欧元/平方米（其中 > 25 5），其中投入3(
2 ― 600) 万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作
为固定宣传费用，投入2 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量 （单位：万平方米）至少
达到多少时，才可能使2023年的销售收入不低于2022年销售收入与2023年投入之和 并求出此时的售价．
【方法技巧与总结】
理解题意是关键，通过题意得到不等式，在求解不等式时要注意变量在实际问题中的取值范围.
【题型二：一元二次不等式在几何中的应用】
例 2．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长
为10m、宽为6m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且
草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
变式 2-1．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园（阴影部分），则
其边长 （单位：m）的取值范围是（ ）
A．15 ≤ ≤ 30 B．12 ≤ ≤ 25 C．10 ≤ ≤ 30 D．20 ≤ ≤ 30
变式 2-2．如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周
的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 m．
变式 2-3．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线 OA 和 OB
互相垂直，学校欲建一条直线型走廊 AB，其中 AB 的两个端点分别在这两墙角线上.
(1)若欲建一条长为 10 米的走廊 ，当 长度为多少时， △ 的面积最大？
(2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围 ，要求点 在
上，点 在 上，且 过 点，其中 = 4米， = 2米，要使围成区域 △ 的面积大于 18 平方米，
则 的长应在什么范围内？
【方法技巧与总结】
根据图形的特征得到不等式是关键，有时要用到平面几何的知识点（如全等、相似等），同时几何图形的
几何量用变量x表示，要注意其取值范围（比如线段肯定是非负数等）.
【题型三：一元二次不等式在实数集上恒成立问题】
例 3．不等式( ― 2) 2 + 2( ― 2) ― 4<0对 ∈ 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）．
A．( ―∞,2] B．( ―∞, ― 2)
C．( ―2,2] D．( ―2,2)
变式 3-1．命题“ ∈ R, ― 2 + ― 1 > 0”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）.
A．( ―∞,2] B．( ―2,2) C．[ ―2,2] D．[2, + ∞)
变式 3-2．( ― 3) 2 + ( ― 3) ― 1 < 0对一切 ∈ R恒成立，则 的取值范围是（ ）
A．{ | ―1 < < 3} B．{ | ―1 < ≤ 3}
C．{ | < ―1 或 > 3} D．{ | < ―1 或 ≥ 3}
变式 3-3．“关于 的不等式 2 ―2 + 1 > 0对 ∈ 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． > 0 B． > 1
C 0 < < 1． 2 D． > 2
【方法技巧与总结】
1 处理不等式 2 + + > 0恒成立问题要先注意它是否为一元二次不等式，即a = 0是否可能；
2 a > 0一元二次不等式 2 + + > 0的解集是R等价于 < 0，
一元二次不等式 2 + + < 0 a < 0的解集是R等价于 < 0.
【题型四：一元二次不等式在某区间上恒成立问题】
例 4．已知函数 ( ) = 2 + + ( , ∈ *)满足：① (1) = 5；② (2) < 12．
(1)求 ( )的解析式；
(2) 1若对任意的实数 ∈ ,2 , ( ) ― ≤ 1恒成立，求实数 的取值范围．
2
变式 4-1．若不等式 2 ― + 4 ≥ 0对任意 ∈ [1,3]恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．[0,4] B．( ―∞,4] C ―∞, 13． D．( ―∞,5]
3
变式 4-2．若不等式|3 ― | ≤ + 2对 ∈ [0,1]恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,1] C．[1,2] D．(1,2)
变式 4-3 4．已知 > 0， ∈ R，若 > 0时，关于 的不等式( ― 2)( 2 + ― 4) ≥ 0恒成立，则 + 的最小
值为（ ）
A．2 B．2 5 C．4 D．3 2
【方法技巧与总结】
1 恒成立问题
① ∈ , ( ) < 恒成立，则 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，则 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0.
2 处理一元二次不等式 2 + + > 0在某区间( , )恒成立问题，往往有两个思路：一是利用二次函数
2 + + 的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式
求解.
【题型五：一元二次不等式在某区间上有解问题】
例 5．若命题“ ∈ [0,3]， 2 ―2 ― > 0”为假命题，则实数 可取的最小整数值是（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．3
变式 5-1．设 ( ) = 2 ―2 + 4( ∈ )，则关于 的不等式 ( ) < 0有解的一个必要不充分条件是（ ）
A． ―2 < < 0 B． < ―2或 > 2 C．| | > 4 D．| | ≥ 2
变式 5-2．若关于 x 的不等式 2 ― ( + 1) + 9 ≤ 0在[1,4]上有解，则实数 m 的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．6 D 21． 4
变式 5-3．若存在 ∈ [1,3]，使不等式 2 ―2 + + 2 ≤ 0成立，则 a 的取值范围为 .
变式 5-4．已知函数 ( ) = 2 ― + .
(1)若不等式 ( ) > 0的解集为( ― ∞,1) ∪ (3, + ∞)，求实数 , 的值；
(2)当 ( ―1) = 0时，
（i）解关于 x 的不等式 ( ) > 0；
（i）若存在 ∈ [1,2] ，使得 ( ) ≤ 0，求实数 a 的取值范围.
【方法技巧与总结】
1 存在性问题
① 0 ∈ ，使得 ( 0) < 成立，则 ( ) < ；
② 0 ∈ ，使得 ( 0) > 成立，则 ( ) > ；
③ 0 ∈ ，使得 ( 0) < ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ 0 ∈ ，使得 ( 0) > ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0。
2 处理一元二次不等式 2 + + > 0在某区间( , )有解问题，往往有两个思路：一是利用二次函数 2
+ + 的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式求
解.
一、单选题
1．设命题 p： ∈ ， 2 +4 + 2 ≥ 0 1（其中 m 为常数），则“命题 p 为真命题”是“ > 2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就
减少1000本.设每本杂志的定价为 元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则 应满足（ ）
A．6 7 B．5 7 C．5 6 D．4 6
3.若关于 x 的不等式 2 + ― 4 > 0在区间[2,4]上有解，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．( ―3, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ―∞,0) D．( ―∞, ― 3)
4.若关于 的不等式 ― 2 + ― 2 ≤ 0在区间[ ― 3, ― 1]上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A．[ ― 2 2, + ∞) B．( ― ∞, ― 2 ] C [ ―
11
2 ． 3 , + ∞) D．( ― ∞, ― 3]
5.某市有块三角形荒地，如图 △ 所示，∠ = 90 , = = 200（单位：米），现市政府要在荒地中开
辟一块矩形绿地 ，其中 , , 点分别在线段 , , 上，若要求绿地的面积不少于 7500 平方米，则
的长度（单位：米）范围是（ ）
A．[40,160] B．[50,150] C．[55,145] D．[60,140]
6.已知命题 : ∈ [1,2]， 2 + ― 2 > 0，则 的一个必要不充分条件是（ ）
A． < ―1 B． > 0 C． > 1 D． > 2
7.已知对一切 ∈ [2,3]， ∈ [3,6]，不等式 2 ― + 2 ≥ 0恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． ≤ 6 B． ―6 ≤ ≤ 0
C． ≥ 0 D．0 ≤ ≤ 6
8.已知 > 0 4， ∈ ，若 > 0时，关于 的不等式( ― 2)( 2 + ― 5) ≥ 0恒成立，则 + 的最小值为
（ ）
A．2 B．2 5 C．4 3 D．3 2
二、多选题
9．“ ∈ (0，3]， 2 ― + 9 ≥ 0 ” 成立的一个充分条件是（ ）
A． ≤ 5 B． ≤ 6 C． ≤ 7 D． ≤ 8
10.已知关于 x 的不等式 2 ―2 + 3 < 0在0 < ≤ 2上有解，则实数 a 的取值可能是（ ）
A． ―3 B． ―2 C．1 D．2
11.若( -4)( 2+ )≥0对任意 ∈(-∞,0]恒成立，其中 ， 是整数，则 + 的可能取值为（ ）
A．-7 B．-5 C．-6 D．-17
三、填空题
12．甲厂以 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1 ≤ ≤ 10），每小时可获得利润100
5 + 1 ― 3 元．若要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，则 的取值范围是 ．

13.已知 ― 2 +4 + ≥ 0在 ∈ [0,1]上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
14.已知 2 + + 5 ≤ 2 +2 + ≤ 2 2 +5 + 9对任意 ∈ R恒成立，则 + = ．
四、解答题
15．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经
济，某盲盒生产及销售公司今年初用 98 万购进一批盲盒生产线，每年可有 50 万的总收入，已知生产此盲
盒 年（ 为正整数）所用的各种费用总计为2 2 +10 万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
16.如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，使点 ， 分别在 ， 的延长线
上，且对角线 过点 ，已知 = 2米， = 3米．
(1)若要使矩形 的面积不大于32平方米，则 的长应在什么范围内？
(2)当 的长为多少时，矩形花坛 的面积最小？并求出最小值．
17.已知函数 ( ) = 2 ― (2 + 1) + 2( ∈ R)．
(1)若 > 0，解关于 的不等式 ( ) < 0；
(2)若不等式 ( ) ≤ ― 4在 ∈ (3, + ∞)上有解，求实数 的取值范围．
18.2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争
不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角
色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ( > 0)，现加大对无人机研发的投入，该
企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 ( ∈ N 且 50 ≤ ≤ 100) ，调整后研
发人员的年人均工资增加 (2 )% ，技术人员的年人均工资调整为 ― 万元.
10
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的
人数最少为多少人
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个
条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请
问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
19．已知命题：“ ∈ { | ― 1 ≤ ≤ 1}, 2 ― ― < 0”是真命题
(1)求实数 m 的取值集合 B；
(2)设关于 x 的不等式 2 ― (4 + 2) + 3 2 +6 ≤ 0的解集为 A，若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求
实数 a 的取值范围．2.3.2 一元二次不等式的应用
课程标准 学习目标
（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式
的过程, 了解一元二次不等式的现实意义。能
（1）掌握一元二次不等式恒成立问题;
借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能
（2）掌握一元二次不等式有解问题；
用集合表示一元二次不等式的解集
（3）掌握一元二次不等式的实际应用.
（2）借助一元二次函数的图象, 了解一元二次
不等式与相应函数、方程的联系。
知识点 01 一元二次不等式
1 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以 > 0为例)
判别式
2 > 0 = 0 < 0 = ― 4
二次函数
= 2 + +
的图象
有两个相异实数根
一元二次方程 1 , 2 有两个相等实数根
2 + + = 0的根 ― ±
2 ― 4 没有实数根
= = = ―2 1 2 2
( 1 < 2)
一元二次不等式
2 + + > 0 的解 { | < 1或 > 2} { | ≠ ― 2 }
集
一元二次不等式
2 + + < 0的解 { | 1 < < 2}
集
2 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是
（1）理解题意，分享清楚量与量之间的关系；
（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；
（3）解这个一元二次不等式得到实际问题的解.
知识点 02 恒成立问题和存在性问题
1 恒成立问题
① ∈ , ( ) < 恒成立，则 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，则 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0.
存在性问题
① 0 ∈ ，使得 ( 0) < 成立，则 ( ) < ；
② 0 ∈ ，使得 ( 0) > 成立，则 ( ) > ；
③ 0 ∈ ，使得 ( 0) < ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ 0 ∈ ，使得 ( 0) > ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0。
【即学即练 2】若不等式2 2 + ― 38 < 0的解集为 R，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 3) ∪ [0, + ∞) B．( ―3,0)
C．( ―3,0] D．( ―∞,0]
【答案】C
【分析】分类讨论 ，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知2 2 + ― 38 < 0恒成立，
当 = 0 ― 3时， 8 < 0恒成立，
≠ 0 < 0 < 0当 时需满足 Δ < 0 ，即 2 + 3 < 0 ，求得 ―3 < < 0，
所以实数 的取值范围是( ―3,0]
故选：C
【题型一：一元二次不等式的实际生活中的应用】
例 1．一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与
创造的价值 （单位：元）之间有如下的关系： = ―2 2 +220 .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流
水线创收 6000 元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？
【答案】51~59
【分析】依据题意列出不等关系，解不等式再根据实际意义即可求出需生产 51~59 辆摩托车.
【详解】根据题意可知 = ―2 2 +220 > 6000，
转化为不等式 2 ―110 + 3000 < 0，即可得( ― 60)( ― 50) < 0，
解得50 < < 60；
所以应该生产 51~59 辆摩托车.
故答案为：51~59
变式 1-1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提
高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的
销售收入.则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是（ ）
A．{ |10 ≤ < 16 } B．{ |12 ≤ < 18 }
C．{ |15 < < 20 } D．{ |10 ≤ < 20 }
【答案】C
【分析】本题可根据题意得出[30 ― 2( ― 15)] > 400，然后通过计算以及 ≥ 15即可得出结果.
【详解】设这批台灯的销售单价为 x 元，由题意得，[30 ― 2( ― 15)] > 400，
即 2 ―30 + 200 < 0，解得10 < < 20，又因为 ≥ 15，所以15 ≤ < 20，
这批台灯的销售单价 的取值范围是{ |15 ≤ < 20 }.
故选：C
变式 1-2．某地每年消耗木材约 20 万立方米，每立方米售价 480 元，为了减少木材消耗，决定按 %征收木
5
材税，这样，每年的木材消耗量减少2 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 180 万
元，t 的取值范围是（ ）
A．[1,3] B．[2,4]
C．[3,5] D．[4,6]
【答案】C
5
【分析】根据题意，列出不等式480 × 20 ― × % ≥ 180，即可求解.
2
5 5
【详解】由题意，每年消耗木材为(20 ― 2 )万立方米，所以每年税金为480 × 20 ― × %，2
5
要保证税金收入每年不少于180万元，可得480 × 20 ― × % ≥ 180且 > 0，
2
解得3 ≤ ≤ 5，即实数 的取值范围为[3,5].
故选：C.
变式 1-3．通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．2022年，该种玻璃售价为 25欧元/平
方米，销售量为80万平方米．
(1)据市场调查，售价每提高1欧元/平方米，销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，
试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2023年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高
5
价格到 欧元/平方米（其中 > 25），其中投入 ( 23 ― 600) 万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作
为固定宣传费用，投入2 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量 （单位：万平方米）至少
达到多少时，才可能使2023年的销售收入不低于2022年销售收入与2023年投入之和 并求出此时的售价．
【答案】(1)40
(2)102 万平方米，30 欧元/平方米
【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到 ( ≥ 25)欧元/平方米，根据条件建立不等关系
[80 ― 2( ― 25)] ≥ 2000，即可解决问题；
（2）根据条件建立不等关系 ≥ 2000 + 500 + 2 + 5 23( ―600)，
整理得到 ≥ 1500 +
5
3 + 2，再利用基本不等式即可解决问题.
【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到 ( ≥ 25)欧元/平方米，
由题知[80 ― 2( ― 25)] ≥ 2000，即 2 ―65 + 1000 ≤ 0，解得25 ≤ ≤ 40，
所以该种玻璃的售价最多提高到 40 欧元/平方米.
（2）由题意得 ≥ 2000 + 500 + 2 + 5( 23 ―600)，整理得 ≥ 1500 + 2 +
5
3
2，
≥ 1500两边同除以 得 +
5
3 + 2，
1500
又 +
5
3 + 2 ≥ 2
1500 5 +2 = 102
1500 = 5，当且仅当 3 ，即 = 30 > 25时取等号， 3
所以 ≥ 102，故该种玻璃的销售量 （单位：万平方米）至少达到 102 万平方米时，才可能使 2023年的
销售收入不低于2022年销售收入与2023年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米.
【方法技巧与总结】
理解题意是关键，通过题意得到不等式，在求解不等式时要注意变量在实际问题中的取值范围.
【题型二：一元二次不等式在几何中的应用】
例 2．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长
为10m、宽为6m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且
草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
【答案】B
m (10―2 )(6―2 ) 1 10 ― 2 > 0【分析】设花卉带的宽度为 ，由题设有 10×6 ≤ 3且 6 ― 2 > 0 求 范围，即可得答案.
(10―2 )(6―2 ) 1
【详解】设花卉带的宽度为 m，则 10×6 ≤ 3，
所以(5 ― )(3 ― ) ≤ 5，即( ― 4)2 ≤ 6，可得4 ― 6 ≤ ≤ 4 + 6，
10 ― 2 > 0
又 6 ― 2 > 0 < 3，故4 ― 6 ≤ < 3，而1 < 4 ― 6 < 2，则 可能取值为 2.
故选：B
变式 2-1．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园（阴影部分），则
其边长 （单位：m）的取值范围是（ ）
A．15 ≤ ≤ 30 B．12 ≤ ≤ 25 C．10 ≤ ≤ 30 D．20 ≤ ≤ 30
【答案】C
【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用 表示，再根据矩形的面积不小于 300m2列出不等
式，即可求出结果.
40―
【详解】设矩形的另一边长为 m，则由三角形相似知，40 = 40 ，
所以 = 40 ― ，因为 ≥ 300，所以 (40 ― ) ≥ 300，
即 2 ―40 + 300 ≤ 0，解得10 ≤ ≤ 30.
故选:C
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题.
变式 2-2．如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周
的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 m．
【答案】1
48
【分析】设花卉带的宽度为 米，根据题设有(8 ― 2 )(6 ― 2 ) ≤ 2 求解集，即可确定最小值.
(8 ― 2 )(6 ― 2 ) ≤ 48
2 (4 ― )(3 ― ) ≤ 6【详解】设花卉带的宽度为 米，则 8 ― 2 > 0 ，即 < 3 ，
6 ― 2 > 0
2 ― 7 + 6 = ( ― 1)( ― 6) ≤ 0
所以 < 3 ，故1 ≤ < 3，
所以花卉带的宽度至少应为 1 米.
故答案为：1
变式 2-3．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线 OA 和 OB
互相垂直，学校欲建一条直线型走廊 AB，其中 AB 的两个端点分别在这两墙角线上.
(1)若欲建一条长为 10 米的走廊 ，当 长度为多少时， △ 的面积最大？
(2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围 ，要求点 在
上，点 在 上，且 过 点，其中 = 4米， = 2米，要使围成区域 △ 的面积大于 18 平方米，
则 的长应在什么范围内？
【答案】(1) 长度为5 2米
(2) 的长的范围是(2,3) ∪ (6, + ∞)（单位：米）
【分析】（1）设 长度为 米，求出 ，可得 △ 的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可；
（2）设 的长为 ∥ 米，由 ，得 =

，求得 ，得 △ 的面积的表达式，由题意列不等式，
求解即可．
【详解】（1）由题意，设 长度为 米，0 < < 10，
∵ ⊥ ，∴ = 2 ― 2 = 100 ― 2，
∴ △ 1 1的面积为 △ = 2 = 2 100 ― 2，
1 1 2 22
由基本不等式 + 100― △ = 2 100 ― 2 ≤ 2 × = 25，2
当且仅当 = 100 ― 2，即 = 5 2时等号成立，
∴当 长度为5 2米时, △ 的面积最大，最大值为25平方米.
（2）设 的长为 米，则 为 ― 2米，其中 > 2，
∵ 为矩形， ∥ ，
∴ =

，∴
―2 = 4 ，则 =
4
―2，
故 1△ = 2 =
1 4 2 ―2 > 18，整理得
2 ―9 + 18 > 0，
又 > 2，则2 < < 3或 > 6，
故 的长的范围是(2,3) ∪ (6, + ∞)（单位：米）．
【方法技巧与总结】
根据图形的特征得到不等式是关键，有时要用到平面几何的知识点（如全等、相似等），同时几何图形的
几何量用变量x表示，要注意其取值范围（比如线段肯定是非负数等）.
【题型三：一元二次不等式在实数集上恒成立问题】
例 3．不等式( ― 2) 2 + 2( ― 2) ― 4<0对 ∈ 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）．
A．( ―∞,2] B．( ―∞, ― 2)
C．( ―2,2] D．( ―2,2)
【答案】C
【分析】分 ― 2 = 0和 ― 2 ≠ 0两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解.
【详解】当 ― 2 = 0，即 = 2时， ―4 < 0恒成立，
当 ― 2 ≠ 0时，因为( ― 2) 2 + 2( ― 2) ― 4<0对 ∈ 恒成立，
― 2 < 0
所以 4( ― 2)2 + 16( ― 2) < 0 ，解得 ―2 < < 2，
综上， ―2 < ≤ 2，
即实数 a 的取值范围为( ―2,2].
故选：C
变式 3-1．命题“ ∈ R, ― 2 + ― 1 > 0”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）.
A．( ―∞,2] B．( ―2,2) C．[ ―2,2] D．[2, + ∞)
【答案】C
【分析】根据命题为假命题，则否命题为真命题，根据否命题列出不等式，求解即可．
【详解】因为“ ∈ R, ― 2 + ― 1 > 0”是假命题，
所以“ ∈ R, ― 2 + ― 1 ≤ 0”是真命题，则 2 ―4 ≤ 0，解得 ∈ [ ― 2,2]，
故选：C．
变式 3-2．( ― 3) 2 + ( ― 3) ― 1 < 0对一切 ∈ R恒成立，则 的取值范围是（ ）
A．{ | ―1 < < 3} B．{ | ―1 < ≤ 3}
C．{ | < ―1 或 > 3} D．{ | < ―1 或 ≥ 3}
【答案】B
Δ < 0
【分析】由题意首先考虑( ― 3)为零的情况，再考虑 ≠ 3的情况，需满足 ― 3 < 0 ，解不等式组即可得
答案.
【详解】当 = 3时， ―1 < 0明显成立，
≠ 3 Δ < 0 ( ― 3)
2 ― 4( ― 3)( ―1) < 0
当 时，则 ― 3 < 0 ，即 ― 3 < 0 ，解得 ―1 < < 3，
综上： ∈ ( ―1,3]
故选：B.
变式 3-3．“关于 的不等式 2 ―2 + 1 > 0对 ∈ 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． > 0 B． > 1
C．0 < < 12 D． > 2
【答案】A
【分析】分 = 0、 ≠ 0两种情况讨论，在 = 0时，直接验证即可；在 ≠ 0时，根据题意可得出关于实数
的不等式组，综合可得出实数 的取值范围，再根据必要不充分条件求解.
1
【详解】当 = 0时，则有 ―2 + 1 > 0，解得 < 2，不合题意；
当 ≠ 0 > 0时，则 Δ = 4 ― 4 < 0 ，解得 > 1.
综上所述，关于 的不等式 2 ―2 + 1 > 0对 ∈ 上恒成立”的充要条件为 > 1，
所以一个必要不充分条件是 > 0.
故选：A.
【方法技巧与总结】
1 处理不等式 2 + + > 0恒成立问题要先注意它是否为一元二次不等式，即a = 0是否可能；
2 a > 0一元二次不等式 2 + + > 0的解集是R等价于 < 0，
一元二次不等式 2 + + < 0 R a < 0的解集是 等价于 < 0.
【题型四：一元二次不等式在某区间上恒成立问题】
例 4．已知函数 ( ) = 2 + + ( , ∈ *)满足：① (1) = 5；② (2) < 12．
(1)求 ( )的解析式；
(2) 1若对任意的实数 ∈ ,2 , ( ) ― ≤ 1恒成立，求实数 的取值范围．
2
【答案】(1) ( ) = 2 + + 3
(2) ≥ 112 ．
(1) = 5
【分析】（1）由 (2) < 12 代入函数解析式再作差得到 的取范围，结合 ∈
*求出 的值，从而求出 ，即
可得解；
1
（2 1）依题意可得 2 + (1 ― ) + 2 ≤ 0在 ∈ ,2 上恒成立，令 ( ) = 2 + (1 ― ) + 2，则 ≤ 02 ，
2 (2) ≤ 0
解得即可.
1 (1) = + 1 + = 5①【详解】（ ）依题意可得 (2) = 4 + 2 + < 12② ，
② ― ①得3 + 1 < 7，则 < 2，
又 ∈ *，所以 = 1，
代入①得 = 3，
所以 ( ) = 2 + + 3．
（2）因为 2 + + 3 ― ≤ 1 ∈ 1在 ,2 上恒成立，
2
整理得 2 + (1 ― ) + 2 ≤ 0 1在 ∈ ,2 上恒成立，
2
1 1 1 1
11记 ( ) = 2 + (1 ― ) + 2，则 = + ― + 2 ≤ 02 4 2 2 ，解得 ≥ ．
(2) = 4 + 2(1 ― ) + 2 ≤ 0 2
变式 4-1．若不等式 2 ― + 4 ≥ 0对任意 ∈ [1,3]恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．[0,4] B．( ―∞,4] C ―∞, 13． D．( ―∞,5]
3
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式 2 ― + 4 ≥ 0 4对任意 ∈ [1,3]恒成立，则 ∈ [1,3]， ≤ + 成立，
+ 4 ≥ 2 4而 = 4，当且仅当 =
4
，即 = 2时取等号，因此 ≤ 4，
所以实数 的取值范围是( ―∞,4].
故选：B
变式 4-2．若不等式|3 ― | ≤ + 2对 ∈ [0,1]恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,1] C．[1,2] D．(1,2)
【答案】A
【分析】方法 1：利用绝对值不等式性质转化求解；
方法 2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解．
【详解】解析：方法 1：不等式|3 ― | ≤ + 2化为2 ― 2 ≤ ≤ 4 + 2，
∈ [0,1]使2 ― 2 ≤ ≤ 4 + 2成立，
则0 ≤ ≤ 2，故选：A.
方法 2：将两边平方整理得8 2 ―(6 + 4) + 2 ―4 ≤ 0，对 ∈ [0,1]恒成立，
2 ― 4 ≤ 0
则有 2 ― 6 ≤ 0 ，
解得0 ≤ ≤ 2，故选：A．
变式 4-3．已知 > 0， ∈ R，若 > 0 4时，关于 的不等式( ― 2)( 2 + ― 4) ≥ 0恒成立，则 + 的最小
值为（ ）
A．2 B．2 5 C．4 D．3 2
【答案】C
2
【分析】注意到原题条件等价于当0 < ≤ 时， 2 + ― 4 ≤ 0恒成立，当 ≥
2
时， 2 + ― 4 ≥ 0恒成
2 2
立，故当 = 时， =
2 + ― 4 = 0，从而得 = 2 ― ，由此结合基本不等式即可求解.
【详解】设 = ― 2( > 0)， = 2 + ― 4( > 0)，
2
因为 > 0，所以当0 < < 时， = ― 2 < 0；
2
当 = 时， = ― 2 = 0；
当 >
2
时， = ― 2 > 0；
由不等式( ― 2)( 2 + ― 4) ≥ 0 ― 2 ≤ 0 ― 2 ≥ 0恒成立，得 2 + ― 4 ≤ 0 或 2 + ― 4 ≥ 0 ，
即当0 < ≤ 2 时，
2 + ― 4 ≤ 0恒成立，
当 ≥ 2 时，
2 + ― 4 ≥ 0恒成立，
= 2所以当 时， = 2 + ― 4 = 0，
4 2
则 2 + ―4 = 0，即 = 2 ―
2
，
则当 > 0时， + 4 = 2 ―
2
+
4
= 2 +
2
≥ 2 2 ×
2 = 4 2，当且仅当2 = ，即 = 1时等号成立，
故 + 4 的最小值为4．
故选：C．
【方法技巧与总结】
1 恒成立问题
① ∈ , ( ) < 恒成立，则 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，则 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0.
2 处理一元二次不等式 2 + + > 0在某区间( , )恒成立问题，往往有两个思路：一是利用二次函数
2 + + 的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式
求解.
【题型五：一元二次不等式在某区间上有解问题】
例 5．若命题“ ∈ [0,3]， 2 ―2 ― > 0”为假命题，则实数 可取的最小整数值是（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“ ∈ [0,3]， 2 ―2 ― ≤ 0”为真
命题，分离参数转化为 ≥ 2 ―2 在 ∈ [0,3]上有解，构造函数求解最小值即可.
【详解】因为命题“ ∈ [0,3]， 2 ―2 ― > 0”为假命题，
所以命题“ ∈ [0,3]， 2 ―2 ― ≤ 0”为真命题，即 2 ―2 ― ≤ 0在 ∈ [0,3]上有解，
即 ≥ 2 ―2 在 ∈ [0,3]上有解，记 ( ) = 2 ―2 ， ∈ [0,3]，则 ≥ ( )min，
因为 ( ) = 2 ―2 在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增，所以 ( )min = (1) = ―1，
所以 ≥ ―1，所以实数 可取的最小整数值是 ―1.
故选：A
变式 5-1．设 ( ) = 2 ―2 + 4( ∈ )，则关于 的不等式 ( ) < 0有解的一个必要不充分条件是（ ）
A． ―2 < < 0 B． < ―2或 > 2 C．| | > 4 D．| | ≥ 2
【答案】D
【分析】根据二次函数的判别式求解“关于 的不等式 ( ) < 0有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即
可.
【详解】 ( ) = 2 ―2 + 4 < 0有解，即对于方程 2 ―2 + 4 = 0的Δ = 4 2 ―16 > 0，则| | > 2；可知
D 选项为一个必要不充分条件.
故选:D.
变式 5-2．若关于 x 的不等式 2 ― ( + 1) + 9 ≤ 0在[1,4]上有解，则实数 m 的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．6 D 21． 4
【答案】B
9 9
【分析】先通过分离参数得到 + 1 ≥ + ，然后利用基本不等式求解出 + 的最小值，则 的最小值可
求.
【详解】因为 2 ― ( + 1) + 9 ≤ 0在[1,4]上有解，所以 + 1 ≥ +
9
在[1,4]上有解，
所以 + 1 ≥ + 9 ( ∈ [1,4])，min
9 9 9
又因为 + ≥ 2 = 6，当且仅当 = 即 = 3时取等号，
所以 + 1 ≥ 6，所以 ≥ 5，即 的最小值为5，
故选：B.
变式 5-3．若存在 ∈ [1,3]，使不等式 2 ―2 + + 2 ≤ 0成立，则 a 的取值范围为 .
【答案】[2, + ∞)
【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到 取值范围.
【详解】由 2 ―2 + + 2 ≤ 0 2 +2 ≤ (2 ― 1)，
∈ 2 ― 1 ∈ = 2 ― 1 ∈ , = +1因为 [1,3]，所以 [1,5]，令 [1,5] 2 ，
1
2
2 2
+2 ≤ (2 ― 1) ≥ +2 = ( +2 +9) = 14 + 9由 2 ―1 4 + 2 ，
构造函数 ( ) = 14( +
9
+2) ≥
1
4(2 ·
9 +2) = 2，

即 ( )min = 2，当且仅当 = 3 ∈ [1,5]时取等号，
所以 ≥ ( )min = 2
故答案为： 2， + ∞ .
变式 5-4．已知函数 ( ) = 2 ― + .
(1)若不等式 ( ) > 0的解集为( ― ∞,1) ∪ (3, + ∞)，求实数 , 的值；
(2)当 ( ―1) = 0时，
（i）解关于 x 的不等式 ( ) > 0；
（i）若存在 ∈ [1,2] ，使得 ( ) ≤ 0，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) = 4, = 3
(2)（i）答案见解析； （i i）[0, + ∞)
【分析】（1）根据题意，转化为得到1和3是方程 2 ― + = 0的两个实数根据，列出方程组，即可求
解；
（2）（i）由 ( ―1) = 0，求得 = ―( + 1)，把不等式 ( ) > 0，转化为( + 1)[ ― ( + 1)] > 0，分类讨
论，即可求得不等式的解集；
（i i）由（i）中不等式的解集，结合存在 ∈ [1,2]，使得 ( ) ≤ 0，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ( ) = 2 ― + ，因为不等式 ( ) > 0的解集为( ― ∞,1) ∪ (3, + ∞)，
可得1和3是方程 2 ― + = 0的两个实数根据，
1 + 3 =
则 1 × 3 = ，解得 = 4, = 3.
（2）解：（i）由函数 ( ) = 2 ― + ，
因为 ( ―1) = 0，可得 ( ― 1) = 1 + + = 0，即 = ―( + 1)，
所以 ( ) = 2 ― ― ( + 1)，
由不等式 ( ) > 0，即 2 ― ― ( + 1) = ( + 1)[ ― ( + 1)] > 0，
当 + 1 > ―1时，即 > ―2时，解得 < ―1或 > + 1；
当 + 1 = ―1时，即 = ―2时，即为( + 1)2 > 0 解得 ≠ ―1；
当 + 1 < ―1时，即 < ―2时，解得 < + 1或 > 1，
综上可得，当 > ―2时，不等式解集为( ― ∞, ― 1) ∪ ( + 1, + ∞)；
当 = ―2时，不等式的解集为( ― ∞, ― 1) ∪ ( ― 1, + ∞)；
当 < ―2时，不等式的解集为( ― ∞, + 1) ∪ ( ― 1, + ∞).
（i i）由（i）知，当 > ―2时，不等式 ( ) > 0解集为( ― ∞, ― 1) ∪ ( + 1, + ∞)，
若存在 ∈ [1,2]，使得 ( ) ≤ 0，则满足 + 1 ≥ 1，解得 ≥ 0；
当 = ―2时，不等式 ( ) > 0的解集为( ― ∞, ― 1) ∪ ( ― 1, + ∞)，
此时不存在 ∈ [1,2]，使得 ( ) ≤ 0；
当 < ―2时，不等式 ( ) > 0的解集为( ― ∞, + 1) ∪ ( ― 1, + ∞)，
此时不存在 ∈ [1,2]，使得 ( ) ≤ 0，
综上可得，实数 的取值范围为[0, + ∞).
【方法技巧与总结】
1 存在性问题
① 0 ∈ ，使得 ( 0) < 成立，则 ( ) < ；
② 0 ∈ ，使得 ( 0) > 成立，则 ( ) > ；
③ 0 ∈ ，使得 ( 0) < ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ 0 ∈ ，使得 ( 0) > ( 0)恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0。
2 处理一元二次不等式 2 + + > 0在某区间( , )有解问题，往往有两个思路：一是利用二次函数 2
+ + 的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式求
解.
一、单选题
1．设命题 p： ∈ ， 2 +4 + 2 ≥ 0 1（其中 m 为常数），则“命题 p 为真命题”是“ > 2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由全称量词命题为真命题，求出 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
1
【详解】由命题 p 为真命题，得Δ = 16 ― 8 ≤ 0，解得 ≥ 2，显然{ | ≥ 2} { | > 2}，
“ p ” “ > 1所以 命题 为真命题 是 2”的充分不必要条件.
故选：A
2.某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就
减少1000本.设每本杂志的定价为 元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则 应满足（ ）
A．6 7 B．5 7 C．5 6 D．4 6
【答案】A
―3
【解析】设提价后杂志的定价设为 元，则提价后的销售量为：10 ― 0.1 × 0.1万本，根据销售的总收入不
低于42万元，列出不等式求解即可.
―3
【详解】设提价后杂志的定价设为 元，则提价后的销售量为：10 ― 0.1 × 0.1万本，
因为销售的总收入不低于42万元，
―3
列不等式为： 10 ― × 0.1 42，
0.1
即( ― 6)( ― 7) 0，即6 7，
故选：A.
3.若关于 x 的不等式 2 + ― 4 > 0在区间[2,4]上有解，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．( ―3, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ―∞,0) D．( ―∞, ― 3)
【答案】A
【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.
【详解】易知Δ = 2 +16 > 0恒成立，即 2 + ― 4 = 0有两个不等实数根 1, 2，
又 1 2 = ―4 < 0，即二次函数 = 2 + ― 4有两个异号零点，
所以要满足不等式 2 + ― 4 > 0在区间[2,4]上有解，
所以只需42 +4 ― 4 > 0，
解得 > ―3，所以实数 m 的取值范围是( ―3, + ∞)．
故选 A．
4.若关于 的不等式 ― 2 + ― 2 ≤ 0在区间[ ― 3, ― 1]上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A．[ ― 2 2, + ∞) B．( ― ∞, ― 2 2] C．[ ―
11
3 , + ∞) D．( ― ∞, ― 3]
【答案】A
2
【分析】应用参变分离可知 ≥ + 在 ∈ [ ― 3, ― 1]上恒成立，由基本不等式求右边代数式的最大值，即
可确定 的取值范围.
【详解】由题设， ≤ 2 +2，又 ∈ [ ― 3, ― 1]，则 ≥ + 2 恒成立，
由 + 2 = ―[( ― ) + ( ―
2
)] ≤ ―2 ( ― ) ( ―
2 ) = ―2 2，当且仅当 = ― 2 ∈ [ ― 3, ― 1]时等号成立，

∴ ≥ ―2 2.
故选：A
5.某市有块三角形荒地，如图 △ 所示，∠ = 90 , = = 200（单位：米），现市政府要在荒地中开
辟一块矩形绿地 ，其中 , , 点分别在线段 , , 上，若要求绿地的面积不少于 7500 平方米，则
的长度（单位：米）范围是（ ）
A．[40,160] B．[50,150] C．[55,145] D．[60,140]
【答案】B
【分析】设 = 米，表示出绿地面积，根据不等式求 的长度范围.
【详解】 △ 中，∠ = 90 , = ， △ 为等腰直角三角形，
设 = 米，则 = = = 米， = 200 ― 米，
依题意有 (200 ― ) ≥ 7500，解得50 ≤ ≤ 150.
即 的长度（单位：米）范围是[50,150].
故选：B.
6.已知命题 : ∈ [1,2]， 2 + ― 2 > 0，则 的一个必要不充分条件是（ ）
A． < ―1 B． > 0 C． > 1 D． > 2
【答案】B
【分析】由题意可得 > ― + 2 2 在[1,2]上恒成立，根据函数 = ― + 的单调性求出其最大值可得 > 1，
结合充分、必要条件的定义和选项即可求解.
2
【详解】因为 ∈ [1,2]， 2 + ― 2 > 0，所以 > ― + 在[1,2]上恒成立，
只需 = ― + 2 在[1,2]上的最大值小于 ，
因为 = ― + 2 2 在[1,2]上单调递减，故 = ― + 在[1,2]上的最大值为 1，
所以 > 1.
A：既不是充分条件，也不是必要条件，故 A 错误；
B：因为 > 1 > 0所以 > 0是 的一个必要不充分条件，故 B 正确；
C： > 1是 的充要条件，故 C 错误；
D：因为 > 2 > 1，所以 > 2是 的充分不必要条件，故 D 错误.
故选：B.
7.已知对一切 ∈ [2,3]， ∈ [3,6]，不等式 2 ― + 2 ≥ 0恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． ≤ 6 B． ―6 ≤ ≤ 0
C． ≥ 0 D．0 ≤ ≤ 6
【答案】C

【分析】令 = ，分析可得原题意等价于对一切 ∈ [1,3]， ≥ ―
2恒成立，根据恒成立问题结合二次函
数的性质分析运算.
【详解】∵ ∈ [2,3] 1 1 1， ∈ [3,6]，则 ∈ [3,2]，

∴ ∈ [1,3]，
又∵ 2 ― + 2 ≥ 0，且 ∈ [2,3], 2 > 0，
2
可得 ≥ ― ，

令 = ∈ [1,3]，则原题意等价于对一切 ∈ [1,3]， ≥ ―
2恒成立，
∵ = ― 2 1的开口向下，对称轴 = 2，
则当 = 1时， = ― 2取到最大值 max = 1 ― 12 = 0，
故实数 的取值范围是 ≥ 0.
故选：C.
【点睛】结论点睛：
对 ∈ ， ( ) ≥ 恒成立，等价于[ ( )]min ≥ ；
对 ∈ ， ( ) ≤ 恒成立，等价于[ ( )]max ≤ .
8.已知 > 0， ∈ 4，若 > 0时，关于 的不等式( ― 2)( 2 + ― 5) ≥ 0恒成立，则 + 的最小值为
（ ）
A．2 B．2 5 C．4 3 D．3 2
【答案】B
【分析】根据题意设 = ― 2， = 2 + ― 5，由一次函数以及不等式( ― 2)( 2 + ― 5) ≥ 0分析得
= 2 4 时， =
2 + ― 5 = 0，变形后代入 + ，然后利用基本不等式求解.
【详解】设 = ― 2（ > 0）， = 2 + ― 5（ > 0），
因为 > 0 2，所以当0 < < 时， = ― 2 < 0；
当 = 2 时， = ― 2 = 0；
> 2当 时， = ― 2 > 0；
由不等式( ― 2)( 2 + ― 5) ≥ 0 ― 2 ≤ 0 ― 2 ≥ 0恒成立，得： 2 + ― 5 ≤ 0 或 2 + ― 5 ≥ 0 ，
即当0 < ≤ 2 时，
2 + ― 5 ≤ 0恒成立，
当 ≥ 2 时，
2 + ― 5 ≥ 0恒成立，
2
所以当 = 时， =
2 + ― 5 = 0 4 2 ，则 2 + ―5 = 0，即 =
5 2
2 ― ，
> 0 + 4 = 5 ― 2 + 4 = 5 则当 时， 2 2 +
2 ≥ 2 5 2 × = 2 5，2
5
当且仅当 2 =
2
，即 =
2 5时等号成立，
5
4
所以 + 的最小值为2 5.
故选：B.
二、多选题
9．“ ∈ (0，3]， 2 ― + 9 ≥ 0 ” 成立的一个充分条件是（ ）
A． ≤ 5 B． ≤ 6 C． ≤ 7 D． ≤ 8
【答案】AB
【分析】先把已知化简为 ≤ 6,再结合充分条件的定义得出条件即可.
9 9
【详解】因为 ∈ (0,3], 2 ― + 9 ≥ 0,所以 ≤ + , ∈ (0,3]恒成立， ≤ + , ∈ (0,3]min
因为 + 9 ≥ 2 9 = 6，当 = 3取等号，所以 ≤ 6，
因为 ≤ 5 ≤ 6，所以 ≤ 5是 ≤ 6的充分条件.
因为 ≤ 6 ≤ 6，所以 ≤ 6是 ≤ 6的充分条件，
又 ≤ 7, ≤ 8都不能推出 ≤ 6，所以 CD 错误，
故选：AB.
10.已知关于 x 的不等式 2 ―2 + 3 < 0在0 < ≤ 2上有解，则实数 a 的取值可能是（ ）
A． ―3 B． ―2 C．1 D．2
【答案】AB
2 2
【分析】由 ∈ (0,2]， 2 ―2 + 3 < 0，可得： < 2+3，求出函数 = 2+3的最大值即可.
【详解】由 ∈ (0,2]， 2 ―2 + 3 < 0，
< 2 可得： 2+3，设 =
2
2+3，
2 2 2 2
当0 < ≤ 2时， = 2+3 =
3
+3 ≤
2 ·
3 = =
2 3 ， 3
3
当且仅当 = 3时取等，所以 < ，故 AB 正确，CD 错误.3
故选：AB.
11.若( -4)( 2+ )≥0对任意 ∈(-∞,0]恒成立，其中 ， 是整数，则 + 的可能取值为（ ）
A．-7 B．-5 C．-6 D．-17
【答案】BCD
【分析】对 分类讨论，当 ≥0时，由( -4)( 2+ )≥0可得 -4≥0，由一次函数的图象知不存在；当 <0
时，由( -4)( 2+ )≥0，利用数形结合的思想可得出 , 的整数解.
【详解】当 ≥0时，由( -4)( 2+ )≥0可得 -4≥0对任意 ∈(-∞,0]恒成立，
即 ≤4 对任意 ∈(-∞,0]恒成立，此时 不存在；
当 <0时，由( -4)( 2+ )≥0对任意 ∈(-∞,0]恒成立，
可设 ( )= -4， ( )= 2+ ，作出 ( ), ( )的图象如下，
<0 =-1 =-4 =-2
由题意可知 4 =- - ，再由 ， 是整数可得 =-16 或 =-1 或 =-4
所以 + 的可能取值为-17或-5或-6
故选：BCD
三、填空题
12．甲厂以 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1 ≤ ≤ 10），每小时可获得利润100
5 + 1 ― 3 元．若要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，则 的取值范围是 ．

【答案】[3,10]
【分析】根据题意列出一元二次不等式，，解出解集，结合1 ≤ ≤ 10，从而得到 的取值范围；
【详解】根据题意，2 × 100 × 5 + 1 ― 3 ≥ 3000，

即5 2 ―14 ― 3 ≥ 0 ≥ 3 ≤ ― 1，解得 或 5．
∵1 ≤ ≤ 10，
∴3 ≤ ≤ 10，即 的取值范围是[3,10]．
故答案为：[3,10].
13.已知 ― 2 +4 + ≥ 0在 ∈ [0,1]上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 ≥ 0
【分析】用求二次函数的性质列不等式来解题.
【详解】解析：设 ( ) = ― 2 +4 + ．其图象是开口向下的抛物线，
(0) = ≥ 0,
根据题意得 (1) = ―1 + 4 + ≥ 0, 解得 ≥ 0．
故答案为： ≥ 0.
14.已知 2 + + 5 ≤ 2 +2 + ≤ 2 2 +5 + 9对任意 ∈ R恒成立，则 + = ．
17
【答案】 2 /8.5
【详解】由 2 + + 5 = 2 2 +5 + 9，可得 = ―2，从而 = 7，再由 2 + + 5 ≤ 2 +2 + 7， 2
+2 + ≤ 2 2 +5 + 9，对任意 ∈ R恒成立，利用判别式法求解，得解.
令 2 + + 5 = 2 2 +5 + 9，解得 = ―2，故7 ≤ 4 ― 4 + ≤ 7，即 = 7，
则 2 + + 5 ≤ 2 +2 + 7，所以( ― 1) 2 + (2 ― 1) + 2 ≥ 0对任意 ∈ R恒成立，
― 1 > 0, > 1, 3
所以 Δ = (2 ― 1)2 ― 8( ― 1) ≤ 0, 即 (2 ― 3)2 ≤ 0, 解得 = 2，
同理 2 +2 + ≤ 2 2 +5 + 9对任意 ∈ R 3恒成立可得 = 2，
= 3 17综上得 2， 则 + = 2 .
17
故答案为： 2
四、解答题
15．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经
济，某盲盒生产及销售公司今年初用 98 万购进一批盲盒生产线，每年可有 50 万的总收入，已知生产此盲
盒 年（ 为正整数）所用的各种费用总计为2 2 +10 万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
【答案】(1)第3年
(2)第7年最大，为12万元
【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.
（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）设利润为 ，则 = 50 ― (98 + 2 2 + 10 ) = ―2 2 +40 ― 98( ∈ N*)，
由 ―2 2 +40 ― 98 > 0整理得 2 ―20 + 49 < 0，
解得10 ― 51 < < 10 + 51，由于 ∈ N*，
所以 ∈ ∈ N*|3 ≤ ≤ 17 ，所以第3年首次盈利.
（2）首先 ∈ ∈ N*|3 ≤ ≤ 17 ，
49
由（1）得平均利润 = ―2 + +40 ≤ ―2 × 2
49 +40 = 12万元，

= 49当且仅当 , = 7万元时等号成立，
第 7 年，平均利润最大，为 12 万元.
16.如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，使点 ， 分别在 ， 的延长线
上，且对角线 过点 ，已知 = 2米， = 3米．
(1)若要使矩形 的面积不大于32平方米，则 的长应在什么范围内？
(2)当 的长为多少时，矩形花坛 的面积最小？并求出最小值．
【答案】(1)[1,9]
(2) = 3，面积最小为24平方米
【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得 的范围.
（2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值.
【详解】（1）设 的长为 ( > 0)米，则 = + 3米，
2( +3)
因为 = ，所以 = ，
2( +3)2
所以矩形 的面积 = = ，
因为矩形 的面积不大于32平方米，
2( +3)2
所以 2 ≤ 32，而 > 0，所以整理得 ―10 + 9 ≤ 0，
解得1 ≤ ≤ 9，所以 的长的取值范围是[1,9].
2( +3)22 = = = 2 + 18 +12 ≥ 2 2 18（ ）矩形花坛的面积 +12 = 24，
18
当且仅当2 = ，即 = 3时，矩形花坛的面积最小为24平方米．
17.已知函数 ( ) = 2 ― (2 + 1) + 2( ∈ R)．
(1)若 > 0，解关于 的不等式 ( ) < 0；
(2)若不等式 ( ) ≤ ― 4在 ∈ (3, + ∞)上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)( ―∞,2 ― 3]
【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可.
（2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【详解】（1）易得 ( ) < 0 ( ― 2)( ― 1) < 0( > 0)
1 1 1
当0 < < 2时，2 < < ，所以解集为 2, ；
= 1当 2时， ∈ ，所以解集为 ；
当 > 1 12时， < < 2
1
，所以解集为 ,2 ．

（2）若 ( ) ≤ ― 4在 ∈ (3, + ∞)上有解，
则 2 ― (2 + 1) + 2 ― + 4 ≤ 0在 ∈ (3, + ∞)上有解，
6
故 2 ― (2 + 2) + 6 ≤ 0，即 ― (2 + 2) + ≤ 0在 ∈ (3, + ∞)上有解，
由 ― 2 ― 2 + 6 ≤ 0，得 ( ― 2) ≤ 2 ―
6
，
2―6 2( ―3)
进而知 ≤ = ( ―2)，令 = ― 3 > 0，则 = + 3， ―2
2( ―3) 2 2 2
设 ( ) = 3 ( ―2) = ( +3)( +1) = + +4 ≤ = 2 ― 3， 2 3+4
当且仅当 = 3时取等号，所以 ∈ ( ―∞,2 ― 3]．
18.2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争
不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角
色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ( > 0)，现加大对无人机研发的投入，该
企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 ( ∈ N 且 50 ≤ ≤ 100) ，调整后研
发人员的年人均工资增加 (2 )% ，技术人员的年人均工资调整为 ― 万元.
10
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的
人数最少为多少人
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个
条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请
问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
【答案】(1)100
(2)存在， ∈ {11}
【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系
可求解；
（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数 转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值
可得结果.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 [1 + (2 )%] 万元,
则 (200 ― )[1 + (2 )%] ≥ 200 ,( > 0),
整理得 0.02 2 ―3 ≤ 0, 解得 0 ≤ ≤ 150,
因为 ∈ N 且 50 ≤ ≤ 100, 所以 50 ≤ ≤ 100, 故 100 ≤ 200 ― ≤ 150,
所以要使这 (200 ― ) 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,
调整后的研发人员的人数最少为 100 人.
（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得 (200 ― )[1 + (2 )%] ≥ ― ,
10
≤ 200 + 2 整理得 25 +3;
② , ―

由条件 技术人员年人均工资不减少 得 ≥ , 解得 ≥ 10 +1;10
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,

+1 ≤ ≤ 200 + 2 即 10 25 +3(50 ≤ ≤ 100) 恒成立，
200 2 200 2 因为 + 25 +3 ≥ 2 +3 = 11, 25
200 2
当且仅当 = 25, 即 = 50 时等号成立, 所以 ≤ 11,

又因为 50 ≤ ≤ 100, 当 = 100 时, 10 +1 取得最大值 11 , 所以 ≥ 11,
所以 11 ≤ ≤ 11, 即 = 11,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 ∈ {11}.
19．已知命题：“ ∈ { | ― 1 ≤ ≤ 1}, 2 ― ― < 0”是真命题
(1)求实数 m 的取值集合 B；
(2)设关于 x 的不等式 2 ― (4 + 2) + 3 2 +6 ≤ 0的解集为 A，若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求
实数 a 的取值范围．
【答案】(1) = (2, + ∞)
(2) 2 , + ∞
3
【分析】（1）根据全称命题为真列不等式求解即可得数 m 的取值集合；
（2）分类讨论解含有参数的一元二次不等式，结合充分必要条件即可得实数 a 的取值范围．
【详解】（1）∵“ ∈ { | ― 1 ≤ ≤ 1}, 2 ― ― < 0”是真命题，
∴ ∈ [ ―1,1], > 2 ― ，
∴当 ∈ [ ―1,1]时， > ( 2 ― )max，
∵ 1函数 ( ) = 2 ― 的图像开口向上，且对称轴为直线 = 2，
∴当 ∈ [ ―1,1]时， ( )的最大值为 ( ―1) = 2，
∴当 ∈ [ ―1,1]时，( 2 ― )max = 2．
∴实数 m 的取值集合 = (2, + ∞)．
（2）∵ 2 ― (4 + 2) + 3 2 +6 = ( ― 3 )[ ― ( + 2)]，
∴不等式 2 ― (4 + 2) + 3 ( + 2) ≤ 0等价于( ― 3 )[ ― ( + 2)] ≤ 0．
①当3 < + 2，即 < 1时， = [3 , + 2]，
又“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
∴ 是 的真子集，即[3 , + 2]包含于(2, + ∞)，
∴ < 1 23 > 2 ，∴3 < < 1；
②当3 = + 2，即 = 1时， = {3}，符合题意；
③当 + 2 < 3 ，即 > 1时， = [ + 2,3 ]，
又“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
∴ 是 的真子集，即[ + 2,3 ]包含于(2, + ∞)，
∴ > 1 + 2 > 2 ，∴ > 1；
2
综上，实数 a 的取值范围为 , + ∞ ．
3

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