资源简介

3.1.2 表示函数的方法
课程标准 学习目标
（1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰 （1）会求函数的解析式; （难点)
当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示 （2）列表法表示函数
函数, 理解函数图象的作用。 （3）图象法表示函数。
知识点 01 解析法
把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函
数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。
比如正方形周长 与边长 间的解析式为 = 4 ，圆的面积 与半径 的解析式 = 2等.
求函数解析式的方法
① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法
【即学即练 1】
已知函数 ( ) =
1
，则 ( + 1) = （ ）
A = 1 1 2 2． ( + 1) +1 B． ( + 1) = ―1 C． ( + 1) = ―1 D． ( + 1) = +1
【答案】A
【分析】根据已知函数解析式，直接代入即可.
1
【详解】依题意 ( + 1) = +1．
故选：A.
知识点 02 列表法
如上表，我们很容易看到 与 之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
【即学即练 2】
函数 ( )与 ( )的对应关系如下表．
―1 0 1 1 2 3
( ) 1 3 2 ( ) 0 ―1 1
则 ( ( ― 1))的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D． ―1
【答案】A
【分析】根据图表代入对应的值，即可得到答案.
【详解】根据表格， ( ―1) = 1， (1) = 0，
故选：A.
知识点 03 图象法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数 与时间 两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
【即学即练 3】
购买某种饮料 听，所需钱数是 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 表示成 ( ∈ {1,2,3,4})
的函数．
解析 解析法 = 2 , ∈ {1,2,3,4}．
列表法
1 2 3 4
2 4 6 8
图象法
【题型一：解析法表示函数】
例 1．若函数 = ( )对任意 ∈ R，均有 ( + ) = ( ) + ( )，则下列函数可以为 = ( )解析式的是
（ ）
A． ( ) = + 1 B． ( ) = 2 ― 1
C． ( ) = 2 D． ( ) = 2 +
【答案】C
【分析】根据 ( + ) = ( ) + ( )，即可结合选项逐一代入验证，即可求解.
【详解】对于 A, ( + ) = + +1， ( ) + ( ) = + 1 + +1，故 ( + ) ≠ ( ) + ( )，故 A 错误，
对于 B， ( + ) = 2( + ) ―1 = 2 + 2 ― 1， ( ) + ( ) = 2 ― 1 + 2 ― 1 = 2 + 2 ― 2，故 ( + )
≠ ( ) + ( )，故 B 错误，
对于 C, ( + ) = 2( + ) = 2 + 2 ， ( ) + ( ) = 2 + 2 故 ( + ) = ( ) + ( )，故 C 正确，
对于 D, ( + ) = ( + )2 + ( + ) = 2 + 2 +2 + + ， ( ) + ( ) = 2 + + 2 + 故 ( + )
≠ ( ) + ( )，故 D 错误，
故选：C
变式 1-1．一个等腰三角形的周长为 20，底边长 是一腰长 的函数，则（ ）
A． = 10 ― (0 < ≤ 10) B． = 10 ― (0 < < 10)
C． = 20 ― 2 (5 ≤ ≤ 10) D． = 20 ― 2 (5 < < 10)
【答案】D
【分析】结合等腰三角形性质可得2 + = 20，变形得 关于 表达式，再结合三角形三边性质确定自变量
范围即可.
【详解】∵2 + = 20，∴ = 20 ― 2 .
20 ― 2 > 0,
由题意得 + > 20 ― 2 , 解得5 < < 10.
> 0,
∴ = 20 ― 2 (5 < < 10).
故选：D.
变式 1-2．下列函数中，对任意 ，不满足2 ( ) = (2 )的是（ ）
A． ( ) = | | B． ( ) = ―2
C． ( ) = ― | | D． ( ) = ― 1
【答案】D
【分析】结合各选项的解析式计算 (2 )、判断是否与2 ( )相同即可.
【详解】对于 A： ( ) = | |，则 (2 ) = |2 | = 2| | = 2 ( )，故 A 正确；
对于 B： ( ) = ―2 ，则 (2 ) = ―4 = 2( ―2 ) = 2 ( )，故 B 正确；
对于 C： ( ) = ― | |，则 (2 ) = 2 ― |2 | = 2( ― | |) = 2 ( )，故 C 正确；
对于 D： ( ) = ― 1，则 (2 ) = 2 ― 1，2 ( ) = 2( ― 1) = 2 ― 2，
所以2 ( ) ≠ (2 )，故 D 错误；
故选：D
变式 1-3．定义在 R 上的函数 ( )满足 ( ) = ( ) + ( )，且 (4) = 8，则 ( 2)（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】根据条件等式，通过赋特殊值，求 ( 2).
【详解】 ∵ (4) = (2 × 2) = (2) + (2) = 2 (2)， ∴ (2) = 4，
(2) = ( 2 × 2) = ( 2) + ( 2) = 2 ( 2)， ∴ ( 2) = 2.
故选：B
( )+ ( ) 1
变式 1-4．若函数 ( )满足 ( + ) = 1― ( ) ( )，且 (2) = 2， (3) =
1
3，则 (7) =
A 4 8．1 B．3 C．3 D．3
【答案】B
( )+ ( ) (2)+ (2) 4 1
【详解】因为函数 ( )满足 ( + ) = 1― ( ) ( )，所以 (4) = (2 + 2) = 1― (2) (2) = 3，结合 (3) = 3，可
(4)+ (3) 4+1
得 (7) = (4 + 3) = 3 31― (4) (3) = 1―4 × 1=3，故选 B.
3 3
【方法技巧与总结】
理解函数解析式 = ( )，仅是用一系列运算符号连接起来得到的式子，它对定义域内任何一个值都是成立
的；比如①函数 ( ) = x2( > 0)，可取任何大于0的值进行赋值；②若函数 ( )满足 ( ) = ( ) + ( )，
则x, 取任何实数均可使得等式成立.
【题型二：求函数的解析式】
方法 1 待定系数法
例 2．若二次函数 ( )满足 ( + 1) ― ( ) = 2 ，且 (0) = 1，则 ( )的表达式为（ ）
A． ( ) = ― 2 ― ― 1 B． ( ) = ― 2 + ― 1
C． ( ) = 2 ― ― 1 D． ( ) = 2 ― + 1
【答案】D
【分析】设 ( ) = 2 + + ， ≠ 0，根据 (0) = 1得到 = 1，再根据 ( + 1) ― ( ) = 2 得到 = 1，
= ―1，从而得到函数的解析式.
【详解】设 ( ) = 2 + + ， ≠ 0，
∵ (0) = 1，则 = 1， ( ) = 2 + + 1
又∵ ( + 1) ― ( ) = 2 ，
令 = 0，则 (1) ― (0) = 0，∴ (1) = 1，即 + + 1 = 1， + = 0，
令 = 1，则 (2) ― (1) = 2， (2) = 3，即4 + 2 + 1 = 3，2 + = 1，
∴ = 1， = ―1， ( ) = 2 ― + 1.
故选：D.
变式 2-1．已知 ( )是一次函数，且2 (2) ― 3 (1) = 5，2 (0) ― ( ― 1) = 3，则 ( ) = （ ）
A．3 ― 2 B．3 + 2
C 9 ― 1．2 2 D．4 ― 1
【答案】D
【分析】根据题意设函数 ( ) = + ( ≠ 0)，列出方程组，求得 , 的值，即可求解.
【详解】由题意，设函数 ( ) = + ( ≠ 0)，
因为2 (2) ― 3 (1) = 5，2 (0) ― ( ― 1) = 3，
所以2(2 + ) ―3( + ) = 5，2 ― ( ― + ) = 3，
― = 5
则 + = 3 ，解得 = 4, = ―1，
所以 ( ) = 4 ― 1.
故选：D.
变式 2-2．已知函数 ( )是一次函数，且 [ ( ) ― 2 ] = 3，则 (5) = （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【分析】设 ( ) = + ( ≠ 0)，根据 [ ( ) ― 2 ] = 3恒成立可得 a，b，然后可解.
【详解】设 ( ) = + ( ≠ 0)，
则 [ ( ) ― 2 ] = ( + ― 2 ) = ( + ― 2 ) + = 3，
整理得( 2 ― 2 ) + + ― 3 = 0，
2
― 2 = 0 = 2
所以 + ― 3 = 0 ，解 = 1 ，
所以 ( ) = 2 + 1，所以 (5) = 2 × 5 + 1 = 11.
故选：A
变式 2-3．已知二次函数 ( )满足 (2) = ―1, (1 ― ) = ( )，且 ( )的最大值是 8，则此二次函数的解析
式为 ( ) = （ ）
A． ―4 2 +4 + 7 B．4 2 +4 + 7
C． ―4 2 ―4 + 7 D． ―4 2 +4 ― 7
【答案】A
2
【分析】根据条件设二次函数为 ( ) = ― 1 + ( ≠ 0)2 ，代入条件求解即可.
【详解】根据题意，由 (1 ― ) = ( ) 1得: ( )图象的对称轴为直线 = 2，
1 2
设二次函数为 ( ) = ― + ( ≠ 0)2 ，
1 1
因 ( )的最大值是 8，所以 < 0，当 = 2时， = = 8 ，2
2
即二次函数 ( ) = ― 1 +8( ≠ 0)2 ，
2
由 (2) = ―1得: (2) = 2 ― 1 +8 = ―12 ，解得： = ―4，
2
则二次函数 ( ) = ―4 ― 1 +8 = ―4 2 +4 + 72 ，
故选：A.
方法 2 换元法
例 3．已知函数 ( ― 2) = ― 4 +5，则 ( )的解析式为（ ）
A． ( ) = 2 +1( ≥ 0) B． ( ) = 2 +1( ≥ ―2)
C． ( ) = 2( ≥ 0) D． ( ) = 2( ≥ ―2)
【答案】B
【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域.
【详解】令 = ―2 ≥ ―2，则 = ( + 2)2，
所以 ( ) = ( + 2)2 ―4( + 2) + 5 = 2 +1，
综上， ( ) = 2 +1( ≥ ―2).
故选：B
2
变式 3-1 1― ．已知函数 (1 ― ) = 2 ( ≠ 0)，则 ( ) = （ ）
1 1
A．( ―1)2 ―1( ≠ 0) B．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
4 4
C．( ―1)2 ―1( ≠ 0) D．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
【答案】B
【分析】利用换元法令 = 1 ― 求解析式即可．
【详解】令 = 1 ― ，则 = 1 ― ，且 ≠ 0，则 ≠ 1，
= 1―(1― )
2 1
可得 ( ) (1― )2 = ( ―1)2 ―1,( ≠ 1)，
1
所以 ( ) = ( ―1)2 ―1( ≠ 1).
故选：B.
1
变式 3-2．设函数 1 + = 2 + 1，则 ( )的表达式为（ ）

A 1+ B 1+ ．1― ( ≠ 1) ． ―1( ≠ 1)
C 1― D 2 ．1+ ( ≠ ―1) ． +1( ≠ ―1)
【答案】B
1 1
【分析】令 = 1 + ( ≠ 1)，则可得 = ―1，然后可得答案.
1 1
【详解】令 = 1 + ( ≠ 1)，则可得 = ―1 ( ≠ 1)
所以 = 2 +1 = 1+ 1+ ( ) ―1 ―1( ≠ 1)，所以 ( ) = ―1( ≠ 1)
故选：B
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围，
考查学生的转化与化归能力，属于基础题.
变式 3-3．已知 ( + 1) = + 3，则 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 2( ≥ 0) B． 2 ―2 + 4( ≥ 1)
C． 2 ―2 + 4( ≥ 0) D． 2 ―2 + 2( ≥ 1)
【答案】B
【分析】利用换元法可得答案.
【详解】令 = +1, ≥ 1，则 = ( ― 1)2，
所以 ( ) = ( ― 1)2 +3 = 2 ―2 + 4( ≥ 1)，
即 ( ) = 2 ―2 + 4( ≥ 1).
故选：B.
方法 3 方程组法
例 4 1 15．已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ( ) ―4 = ― ，则 (2)的值为（ ）
A 15 B 15 C 17 17． 2 ． 4 ． 4 D． 2
【答案】D
1
【分析】由已知可知 ―4 ( ) = ―15 ，与已知的式子联立方程组可求出 ( )，从而可求出 (2)的值.

1 15
【详解】因为定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ( ) ―4 = ―

，
所以 1 ―4 ( ) = ―15 1，所以 = 4 ( ) ―15 ，

所以 ( ) ―4
15 1
[4 ( ) ― 15 ] = ― ，解得 ( ) = 4 + ，
(2) = 8 + 1 = 17所以 2 2 ，
故选：D
变式 4-1 1 4．若函数 ( )， ( )满足 ( ) ― 2 = 3 ― ，且 ( ) + g( ) = 2 + 6，则 (2) + ( ―1) =
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据方程组法求解函数 ( )的解析式，代入求出 (2)， ( ― 1)，再利用 ( ― 1)求出 ( ― 1)，从而
得解.
【详解】因为 ( ) ― 2 1 = 3 ― 4 1 ，所以 ―2 =
3
( )

―4 ，
2
( ) = 5 ―2 (2) = 5×2
2―2 = 3 ( ― 1) = 5×(―1)
2―2
联立可得 3 ，所以 3×2 ， 3×(―1) = ―1，
因为 ( ) + g( ) = 2 + 6，所以 ( ― 1) + ( ― 1) = ―2 + 6 = 4，则 ( ― 1) = 4 + 1 = 5，
所以 (2) + ( ―1) = 8.
故选：C.
变式 4-2 1．已知函数 ( )满足 ( ) + 2 (2 ― ) = ―1，则 (3)的值为（ ）
A 7 10 4 1． ― 3 B． ― 9 C． ― 15 D． ― 6
【答案】B
【分析】将 换成2 ― ，得到即 (2 ― ) + 2 ( ) = 12― ―1，联立方程组求得 ( ) 的解析式，进而求得
(3)的值.
【详解】由 ( ) + 2 (2 ― ) = 1 ―1，将 换成2 ― ，可得 (2 ― ) + 2 (2 ― (2 ― )) =
1
2― ―1，
即 (2 ― ) + 2 ( ) = 12― ―1，
( ) + 2 (2 ― ) = 1 ― 1
联立方程组 1 ，解得 ( ) =
1 2
3 ― 1 ―
1
，
(2 ― ) + 2 ( ) = ― 1 2―
2―
(3) = ― 10所以 9 .
故选：B.
变式 4-3．已知定义在 R 上的函数 ( )，满足 ( ) +2 ( ― ) = 2 + 12.
(1)求 ( )的解析式；
(2)若点 ( , )在 = ( )图像上自由运动，求4 + 2 的最小值.
【答案】(1) ( ) = ―2 + 4
(2)8
【分析】（1）用 ― 替换已知中的 ，然后解方程；
（2）利用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为 ( ) +2 ( ― ) = 2 + 12，①
所以 ( ― ) +2 ( ) = ―2 + 12，②
由①②可解得： ( ) = ―2 + 4.
（2）由题知：2 + = 4，
∴4 + 2 = 22 + 2 ≥ 2 22 2 = 2 22 + = 2 24 = 8
（当且仅当22 = 2 ，即2 = = 2时取“＝”）.
∴4 + 2 的最小值为 8.
【方法技巧与总结】
求函数解析式，可视情况而定，
1 若已知函数类型，可用待定系数法；
2 若求f( ( ))型函数解析式，可用换元法，此时要注意新自变量的取值范围；
3 若求满足某函数方程的函数解析式，则用方程组的方法.
【题型三：列表法表示函数】
例 5．设已知函数 ( ), ( )如下表所示：
1 2 3 4 5
( ) 5 4 3 2 1
( ) 4 3 2 1 5
则不等式 ( ( )) > ( ( ))的解集为（ ）
A．{1,3} B．{5,3} C．{2,3,4} D．{5}
【答案】C
【分析】根据函数图表数据，判断 取不同值是否满足 ( ( )) > ( ( ))即可得解集.
【详解】当 = 1，则 (1) = 4， (1) = 5，而 (4) = 2 < (5) = 5，不满足；
当 = 2，则 (2) = 3， (2) = 4，而 (3) = 3 > (4) = 1，满足；
当 = 3，则 (3) = 2， (3) = 3，而 (2) = 4 > (3) = 2，满足；
当 = 4，则 (4) = 1， (4) = 2，而 (1) = 5 > (2) = 3，满足；
当 = 5，则 (5) = 5， (5) = 1，而 (5) = 1 < (1) = 4，不满足；
所以不等式 ( ( )) > ( ( ))的解集为{2,3,4}.
故选：C.
变式 5-1．已知函数 ( ), ( )分别由下表给出：则 [ (2)]的值是（ ）
1 2 3
( ) 1 3 1
( ) 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．1 和 2
【答案】C
【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得 (2) = 2，再求 [ (2)]即得.
【详解】由表可知： (2) = 2，则 [ (2)] = (2) = 3.
故选：C.
变式 5-2．观察下表：
x ―3 ―2 ―1 1 2 3
( ) 5 1 ―1 ―3 3 5
( ) 1 4 2 3 ―2 ―4
则 [ ( ―1) ― (3)] = （ ）
A． ―4 B． ―3 C．3 D．5
【答案】D
【解析】根据表格求出 ( ―1) = ―1， (3) = ―4，再求出 (3) = 5即可得解.
【详解】由题中表格得 ( ―1) = ―1， (3) = ―4，
∴ [( ―1) ― (3)] = [ ―1 ― ( ―4)] = (3) = 5，
故选：D.
【点睛】此题考查函数概念辨析，根据表格形式表示的函数关系求函数值.
变式 5-3．德国数学家狄利克在 1837 年时提出：“如果对于 的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对
应，则 是 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个
值，有一个确定的 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数
( )由下表给出，则 10 1 的值为（ ）
2
≤ 1 1 < < 2 ≥ 2
1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
1
【分析】先计算出 = 1，进而求出 10 1 的值.
2 2
1 1
【详解】因为2 ≤ 1，所以 = 1，故 10
1 = (10) = 3.
2 2
故选：D
【方法技巧与总结】
表格法表示函数，要注意看清楚变量数值之间的对应关系.
【题型四：图象法表示函数】
例 6．如图所示的 4 个图象中，与所给 3 个事件最吻合的顺序为（ ）
①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；
②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；
③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.
A．③①② B．③④② C．②①③ D．②④③
【答案】C
【分析】根据速度与离家距离增长快慢的对应关系判断，
【详解】①离开家后缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；对应离开家的距离先缓慢增长再快速增
长，对应图象②，
②骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进，对应离开家的距离直线上升再停止增
长再直线上升，对应图象①，
③快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度，对应离开家的距离先快速增长再缓慢增长，对
应图像③，
故选：C
变式 6-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以
上事件吻合得最好的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据速度的变化快慢得答案.
【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行
驶，故图像上升速度变快，选项 C 符合.
故选：C.
变式 6-2．俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之
间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；
情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，
可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间
的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项
是（ ）
A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙
C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲
【答案】C
【分析】根据函数的图象确定正确答案.
【详解】图-1 所示呈正比例关系，与情境甲相对应；
图-2 所示呈上升趋势，反应出单调递增的性质，但增加的速率在减小，与情境丙相对应；
图-3 所示开始呈上升趋势，反应出单调递增性质，但后来出现下降趋势，
与情境乙所描述的“过犹不及”相对应．
故选：C
变式 6-3 ．已知完成某项任务的时间 与参加完成此项任务的人数 之间满足关系式 = +
( ∈ R, ∈ R)，当 = 2时， = 100；当 = 4时， = 53，且参加此项任务的人数不能超过 8．
（1）写出 关于 的解析式；
（2）用列表法表示此函数；
（3）画出此函数的图象．
196
【答案】（1）函数解析式是 = + (0 < ≤ 8, ∈ N
*)（2）详见解析（3）图象见解析

【分析】（1）将(2,100)，(4,53) 代入 = + ( ∈ R, ∈ R).即可解出 关于 的解析式.
（2）令 = 1，2，3，4，5，6，7，8，再求出对应的 值，列表即可.
（3）根据（2）的表格数据，在直角坐标系中描出即可.
【详解】（1）因为当 = 2时， = 100；当 = 4时， = 53，
4 + = 53
4 = 1所以 ，解得 ，2 + = 100 = 196
2
= + 196所以 ．
又 ≤ 8， 为正整数，所以此函数的定义域是 |0 < ≤ 8, ∈ N* ，
196
所以所求函数解析式是 = + (0 < ≤ 8, ∈ N
*)．
（2） = 1，2，3，4，5，6，7，8，列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8
197 100 205 53 221 116 35 65
3 5 3 2
（3）此函数的图象如图所示：
【点睛】本题考查函数的表示法：函数的解析式、表格法、图像法，方程组法求函数的解析式，属于基础
题.
【方法技巧与总结】
图象法表示函数，达到“一目了然”的效果，对于函数图象还注意函数的定义域，函数图象的上升下降趋
势，增减趋势的缓急等等！
一、单选题
1．已知定义在[ ―2,2]上的函数 = ( )表示为:
x [ ―2,0) 0 (0,2]
y 1 0 ― 2
设 (1) = ， ( )的值域为 M，则（ ）
A． = 1, = { ―2,0,1} B． = ―2, = { ―2,0,1}
C． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1} D． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1}
【答案】B
【分析】根据自变量所在区间判断出 (1)的值，然后根据表中数据可知值域 .
【详解】因为 = 1满足 ∈ (0,2]，所以 (1) = = ―2，
由表中数据可知： 的取值仅有 ―2,0,1三个值，所以 = { ―2,0,1}，
故选：B.
2.函数 = ( )的对应关系如下表所示，函数 = ( )的图象是如图所示的曲线 ABC，则 ( (3) ― 1)的值为
（ ）
1 2 3
( ) 2023 0 ―2023
A．2023 B．0 C． ―1 D． ―2023
【答案】A
【分析】按函数的定义结合图表计算即可
【详解】根据题意，可得 (3) = 2，则 ( (3) ― 1) = (2 ― 1) = (1) = 2023，
故选：A.

3.设 ( ) = 1 2+1，则 是(　　)
A． ( ) B． ― ( )
1 1
C． ( ) D． ― ( )
【答案】A
【分析】利用赋值法计算即可.
1
1
【详解】 = 2 =
1+ 1 1+ 2
= ( ).

故选：A.
4.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈
( → → → )，则小明到 点的直线距离 与他从 点出发后运动的时间 之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据小明与 的距离的变化求得正确答案.
【详解】当小明在弧 上运动时，与 点的距离相等，所以 AB 选项错误.
当小明在半径 上运动时，与 点的距离减小，
当小明在半径 上运动时，与 点的距离增大，所以 C 选项错误，D 选项正确.
故选：D
5.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ，且0 < ( ― 1) = ( ― 2) = ( ― 3) ≤ 3，则（ ）
A． ≤ 3 B．3 < ≤ 6 C．6 < ≤ 9 D． > 9
【答案】C
【分析】由题意可首先列方程组求出 , ，从而可只用 表示出 ( ―1)，进一步结合已知得关于 的不等式组
即可求解.
―1 + ― + = ―8 + 4 ― 2 + = 6
【详解】由已知得 ―1 + ― + = ―27 + 9 ― 3 + ，解得 = 11 ，
又0 < ( ― 1) = ― 6 ≤ 3，所以6 < ≤ 9.
故选：C.
6.已知 ( + 1) = + 3，则 ( )的解析式为 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 4 B． 2 +3
C． 2 ―2 + 4( ≥ 1) D． 2 +3( ≥ 1)
【答案】C
【分析】换元法求函数解析式即可.
【详解】设 = +1 ≥ 1，则 = ( ― 1)2，
所以 ( ) = ( ― 1)2 +3 = 2 ―2 + 4( ≥ 1)，
故 ( ) = 2 ―2 + 4( ≥ 1)，
故选：C
7.函数 ( )满足2 ( ) ― (1 ― ) = ，则函数 ( ) = （ ）
A． ― 2 B +1． 3
C ―1． 3 D． ― + 2
【答案】B
【分析】由2 ( ) ― (1 ― ) = 可得2 (1 ― ) ― ( ) = 1 ― ，运用解方程组法求解析式即可.
【详解】因为2 ( ) ― (1 ― ) = ①，所以2 (1 ― ) ― ( ) = 1 ― ②，
① × 2 + ②得3 ( ) = + 1，即 ( ) = +13 .
故选：B.
8.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表一市场供给量
单价（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量（1000kg） 50 60 70 75 80 90
表一市场需求量
单价（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（　 ）
A．(2.3,2.6)内 B．(2.4,2.6)内
C．(2.6,2.8)内 D．(2.8,2.9)内
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，求得各个需求量的单价差，进而确定市场供需平衡点，得到答案.
【详解】当供给量和需求量均为 50 时，供给单价和需求单价相差为 2，
当供给量和需求量均为 60 时，供给单价和需求单价相差为 1，
当供给量和需求量均为 70 时，供给单价和需求单价相差为 0.2，
当供给量和需求量均为 75 时，供给单价和需求单价相差为 0.9，
当供给量和需求量均为 80 时，供给单价和需求单价相差为 1.6，
当供给量和需求量均为 70 时，供给单价和需求单价相差最小，
所以市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间(2.6,2.8)内.
故选:C.
二、多选题
9．某工厂 8 年来某产品产量 与时间 的函数关系如图，则以下说法中正确的是（ ）
A．前 2 年的产品产量增长速度越来越快 B．前 2 年的产品产量增长速度越来越慢
C．第 2 年后，这种产品停止生产 D．第 2 年后，这种产品产量保持不变
【答案】AD
【分析】根据给定的年产量 与时间 的函数关系图，结合函数的性质，即可求解.
【详解】根据题意，根据给定的年产量 与时间 的函数关系图，
可得：前 2 年的产品产量增长速度越来越快，所以 A 正确，B 不正确；
第 2 年后，这种产品的年产量保持不变，所以 C 错误，D 正确.
故选：AD.
10.下列说法正确的是（ ）
A．函数 ( + 1)的定义域为[ ―2,2)，则函数 ( )的定义域为[ ―1,3)
2
B ． ( ) = 和 ( ) = 表示同一个函数
C．函数 = 1 1 2+3的值域为 0, 3

D．定义在R上的函数 ( )满足2 ( ) ― ( ― ) = + 1，则 ( ) = 3 +1
【答案】ACD
【分析】根据抽象函数的定义域可判断 A 选项，根据具体函数的定义域可判断 B 选项，直接法可得函数
= 1 2+3的值域，可判断 C 选项，消元法求函数解析式可判断 D 选项.
【详解】A 选项，对于 ( + 1)，令 = + 1，则 = ― 1 ∈ [ ―2,2)，则 ∈ [ ―1,3)，
所以 ( )，即 ( )的定义域为[ ―1,3)，A 选项正确；
对于 B， ( )的定义域为{ | ≠ 0 }， ( )的定义域为R，不是同一个函数，B 选项不正确；
1 1 1 1
对于 C，因为 2 +3 ≥ 3，所以0 < 2+3 ≤ 3，即函数 = 2+3的值域为 0, ，C 选项正确；3
对于 D，由2 ( ) ― ( ― ) = + 1可得2 ( ― ) ― ( ) = ― + 1，
2 ( ) ― ( ― ) = + 1
所以由 2 ( ― ) ― ( ) = ― + 1 可得 ( ) = 3 +1，D 选项正确；
故选：ACD.
11.已知 (0) =
1
2， ( + ) = ( ) (1 ― ) + ( ) (1 ― )，则（ ）
A 1． (1) = 2 B． ( ) =
1
2恒成立
C． ( + ) = 2 ( ) ( ) D．满足条件的 ( )不止一个
【答案】ABC
【分析】令 = = 0即可判断 A；令 = 1 ― 即可判断 B；令 = 0即可判断 C；令 = 即可判断 D.
【详解】A：令 = = 0，得 (0) = 2
1 1
(0) (1)．又 (0) = 2，所以 (1) = 2，故 A 正确．
B：令 = 1 ― ，得 (1) = 2[ ( )]2，即[ ( )]2 =
1 1
4，所以 ( ) =± 2，
令 = ，得 (2 ) = 2[ ( )]2 ≥ 0，即函数 ( ) ≥ 0，所以 ( ) =
1
2，故 B 正确，D 错误；
C：令 = 0，得 ( ) = ( ) (1) + (0) (1 ― )，代入 (0) =
1
(1) = 2，
可得 ( ) = (1 ― )，则 ( + ) = 2 ( ) ( )，故 C 正确；
故选：ABC．
三、填空题
12．下列表示函数 = ( )，则 (11) = ．
x 0 < < 5 5 ≤ < 10 10 ≤ < 15 15 ≤ ≤ 20
y 2 3 4 5
【答案】4
【分析】由分段函数的表格表示法，观察表格即可求解.
【详解】由表可知 (11) = 4．
故答案为：4.
13.已知 = ( )是二次函数，且 (0) = 1， ( + 1) ― ( ) = 2 ，则 = ( ) = ．
【答案】 2 ― + 1
【分析】由题意设 ( ) = 2 + + 1，通过待定系数法得出关于 , 的方程组即可求解.
【详解】因为 (0) = 1， = ( )是二次函数，所以设 ( ) = 2 + + 1，
又因为 ( + 1) ― ( ) = 2 ，
所以 ( + 1)2 + ( + 1) +1 ― ( 2 + + 1) = 2 + + = 2 ，
所以2 = 2, + = 0，解得 = 1, = ―1.
故答案为： 2 ― + 1.
14.若正整数 ， 只有 1 为公约数，则称 ， 互质.对于正整数 ， ( )是小于或等于 的正整数中与 互质
的数的个数，函数 ( )以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： (3) = 2， (7) = 6， (9)
= 6，则下列说法正确的序号是 ．
① (5) = (10)；
② (2 ― 1) = 1；
③ (32) = 16；
④ (2 + 2) > (2 )， 是正整数．
【答案】①③
【分析】利用欧拉函数定义求解判断；
【详解】∵小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4，
小于或等于10的正整数中与10互质的正整数为1，3，7，9，
∴ (5) = (10) = 4，故①正确；
∵当 = 2时， (3) = 2 ≠ 1，故②不正确；
∵小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，
9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，共有16个，
∴ (32) = 16，故③正确；
∵当 = 2时， (4) = (6) = 2，故④不正确．
故答案为：①③
四、解答题
15．下图所示为某市一天 24 小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0°C？
(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？
(4)变量 Q 是关于变量 t 的函数吗？
【答案】(1)最高气温大约是9°C，最低气温大约是 ―2°C
(2)在 0 时、8 时和 22 时
(3)在 8 时到 22 时之间
(4)Q 是 t 的函数
【分析】（1）（2）（3）认真观察函数的图像，根据时间与温度的关系解答，（4）根据函数的定义可判断.
【详解】（1）观察图像可知：全天最高气温大约是9°C，在 14 时达到.全天最低气温大约是 ―2°C.
（2）观察图像可知：大约在 0 时、8 时和 22 时，气温为0°C.
（3）观察图像可知：在 8 时到 22 时之间，气温在0°C以上.
（4）根据函数定义，由图像可知对于时间 t 的每个取值，都有唯一的气温 Q 与之对应，
所以气温 Q 是时间 t 的函数.
16. 1已知 ( ) = 1+ （ ∈ ，且 ≠ ―1）， ( ) =
2 +2( ∈ )．
(1)求 (2)， (2)的值；
(2)求 ( (2))， ( (2))的值；
(3)求 ( )和 ( ― 1)的值域．
【答案】(1) (2) =
1
3； (2) = 6
(2) 1 19( (2)) = 7； ( (2)) = 9
(3) ( )值域：{ ∣ ∈ 且 ≠ 0}； ( ― 1)值域：[2, + ∞)．
【分析】对于（1）（2）将括号里面的值直接代入逐层求解即可；
（3）求 ( )值域可借助初中反比例函数值域问题来解，对于 ( ― 1)的值域可以借助初中二次函数值域问
题来解即可.
1 1 1
【详解】（1）∵ ( ) = 1+ ，∴ (2) = 1+2 = 3．
又∵ ( ) = 2 +2，∴ (2) = 22 +2 = 6．
（2） ( (2)) = (6) =
1 1
1+6 = 7．
1 1 2 = = +2 = 19( (2)) ．
3 3 9
（3）∵ 1( ) = 1+ 的定义域为{ ∣ ∈ ，且 ≠ ―1}，∴ ( )的值域为{ ∣ ∈ 且 ≠ 0}．
∵ ( ― 1) = ( ― 1)2 +2，显然该式的最小值为 2，∴ ( ― 1)的值域为[2, + ∞)．
17.已知二次函数 ( )满足 ( ) = (2 ― )，且 (0) = ―3， (1) = ―4.
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = + 1，比较 ( )与 ( )的大小.
【答案】(1) ( ) = 2 ―2 ― 3
(2)答案见解析
【分析】（1）设出二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)代入 (0), (1)，以及对称轴，求解即可；
（2）依题意 ( ) ― ( ) = ( 2 ― 2 ― 3) ― ( + 1) = ( ― 4)( + 1)，分类讨论，得到结果.
【详解】（1）设二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0).
由 ( ) = (2 ― )，得 ( )图象的对称轴为 = 1，
所以 ― 2 = 1，解得 = ―2 .
由 (0) = ―3得， = ―3，
可得 ( ) = 2 ―2 ― 3.
由 (1) = ―4得， ― 2 ― 3 = ―4，解得 = 1.
所以 ( ) = 2 ―2 ― 3.
（2） ( ) ― ( ) = ( 2 ― 2 ― 3) ― ( + 1)
= 2 ― 3 ― 4
= ( ― 4)( + 1)，
当 < ―1或 >4时，( ― 4)( + 1) > 0，此时 ( ) > ( ).
当 ―1 < < 4时，( ― 4)( + 1) < 0，此时 ( ) < ( ).
当 = ― 1或 4 时，( ― 4)( + 1) = 0，此时 ( ) = ( ).
18.已知二次函数 ( ) = 2 + + ( , , ∈ R)只能同时满足下列三个条件中的两个：
① = 2；②不等式 ( ) > 0的解集为{ | ―1 < < 3 }；③函数 ( )的最大值为 4.
(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数 ( )的解析式；
(2)求关于 的不等式 ( ) ≥ ( ― 1) 2 +2( ∈ R)的解集.
【答案】(1)②③； ( ) = ― 2 ―2 + 3
(2)答案见解析
【分析】（1）当 = 2时，条件②③不成立，由②令 ( ) = ( + 3)( ― 1)，结合二次函数的性质，列出
方程，求得 的值，即可求解；
（2）把不等式化为 2 +2 ― 1 ≤ 0，结合一元二次不等式的方法，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）当 = 2时，不等式 ( ) > 0的解集不能为{ | ―1 < < 3 }，且 ( )没有最大值，
所以①不成立，满足条件只能为②③，
由不等式 ( ) > 0的解集为{ | ―1 < < 3 }，
可令 ( ) = ( + 3)( ― 1) = 2 +2 ― 3 ,( < 0)，
( ) 4 4 ×(―3 )―(2 )
2
因为 的最大值为 ，可得 4 = 4，解得 = ―1，
所以 ( ) = ― 2 ―2 + 3.
（2）解：由不等式 ( ) ≥ ( ― 1) 2 +2，可化为 2 +2 ― 1 ≤ 0，
当 = 0 1 1时，不等式等价于2 ― 1 ≤ 0，解得 ≤ 2，所以不等式的解集为( ― ∞,2]；
当 > 0时，对于不等式 2 +2 ― 1 ≤ 0，因为Δ = 4 + 4 > 0，
―1+ +1 ―1― +1
方程有两个不相等的实数根据 1 = , 2 = ，
[―1+ +1,―1― +1不等式的解集为 ] ；
当 < 0时，对于一元二次方程 2 +2 ― 1 = 0，可得Δ = 4 + 4 ，
①当 ≤ ―1时，Δ ≤ 0，此时不等式 2 +2 ― 1 ≤ 0的解集为R；
②当 ―1 < < 0 ―1+ +1 ―1― +1时，Δ > 0，可得方程的两根为 1 = , 2 = ，
―1+ +1 ―1― +1
此时不等式的解集为( ― ∞, ] ∪ [ , + ∞) ，
1
综上可得：当 = 0时，不等式的解集为( ― ∞,2]；
当 > 0 [―1+ +1,―1― +1时，不等式的解集为 ] ；
当 ≤ ―1时，不等式 2 +2 ― 1 ≤ 0的解集为R；
―1+ +1 ―1― +1
当 ―1 < < 0时，不等式的解集为( ― ∞, ] ∪ [ , + ∞) .
19．已知函数 = ( )与 = ( )的定义域均为 ，若对任意的 1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| <
| ( 1) ― ( 2)|成立，则称函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L 函数”.
(1)若 ( ) = 3 + 1, ( ) = , = ，判断函数 = ( )是否是函数 = ( )在 上的“L函数”，并说明理由；
(2)若 ( ) = 2 +2, ( ) = 2 + , = [0, + ∞)，函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L函数”，求实数 的
取值范围；
(3)若 ( ) = , = [0,2]，函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L函数”，且 (0) = (2)，求证：对任意的
1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| < 1.
【答案】(1)函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L 函数”，理由见解析
(2)a ≥ 14
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“L 函数”定义判断即可；
（2）根据数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L 函数”得到 ( 1) ― ( 2)| < | ( 1) ― ( 2)∣对任意的 1 2 ∈
[0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，据此计算 的取值范围即可；
（3）对 1 ― 2分0 < 1 ― 2 ≤ 1和 1 ― 2 > 1两种情况，根据“L 函数”定义证明即可.
【详解】（1）对任意的 1 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，
| ( 1) ― ( 2)| = | 1 ― 2|,| ( 1) ― ( 2)| = 3| 1 ― 2|.
显然有| ( 1) ― ( 2)| < | ( 1) ― ( 2)|，
所以函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L 函数”；
（2）因为函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L 函数”，
所以 ( 1) ― ( 2)| < | ( 1) ― ( 2)∣对任意的 1 2 ∈ [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，
即| 2 + ― 2 + | < | 2 ― 21 2 1 2|对任意的 1 2 ∈ [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，
| 2― 21 2|
化简得 < | 2 ― 22 2 1 2|对任意的 ∈ + + + 1 2 [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，1 2
即 21 + + 22 + > 1对任意的 1 2 ∈ [0, + ∞)( 1 ≠ 2)恒成立，
1
即2 ≥ 1，解得a ≥ 4；
（3）对于 1 2 ∈ [0,2]，不妨设 1 > 2，
（i）当0 < 1 ― 2 ≤ 1时，
因为函数 = ( )是函数 = ( )在[0,2]上的“L 函数”，
所以| ( 1) ― ( 2)| < | 1 ― 2∣ ≤ 1.
此时| ( 1) ― ( 2)| < 1成立；
（ii）当 1 ― 2 > 1时，由 1 2 ∈ [0,2]得1 < 1 ― 2 ≤ 2，
因为 (0) = (2)，函数 = ( )是函数 = ( )在[0,2]上的“L函数，
所以| ( 1) ― ( 2)| = | ( 1) ― (2) + (0) ― ( 2)| ≤ | ( 1) ― (2)| + | (0) ― ( 2)|
< | 1 ― 2| + |0 ― 2| = (2 ― 1) + 2 = 2 ― ( 1 ― 2) < 1，
此时| ( 1) ― ( 2)| < 1也成立，
综上，| ( 1) ― ( 2)| < 1恒成立.
【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L 函数”定义的正确理解，据此计算即可.3.1.2 表示函数的方法
课程标准 学习目标
（1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰 （1）会求函数的解析式; （难点)
当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示 （2）列表法表示函数
函数, 理解函数图象的作用。 （3）图象法表示函数。
知识点 01 解析法
把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函
数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。
比如正方形周长 与边长 间的解析式为 = 4 ，圆的面积 与半径 的解析式 = 2等.
求函数解析式的方法
① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法
【即学即练 1】
1
已知函数 ( ) = ，则 ( + 1) = （ ）
A 1． ( + 1) = +1 B．
1
( + 1) = ―1 C
2 2
． ( + 1) = ―1 D． ( + 1) = +1
知识点 02 列表法
如上表，我们很容易看到 与 之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
【即学即练 2】
函数 ( )与 ( )的对应关系如下表．
―1 0 1 1 2 3
( ) 1 3 2 ( ) 0 ―1 1
则 ( ( ― 1))的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D． ―1
知识点 03 图象法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数 与时间 两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
【即学即练 3】
购买某种饮料 听，所需钱数是 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 表示成 ( ∈ {1,2,3,4})
的函数．
【题型一：解析法表示函数】
例 1．若函数 = ( )对任意 ∈ R，均有 ( + ) = ( ) + ( )，则下列函数可以为 = ( )解析式的是
（ ）
A． ( ) = + 1 B． ( ) = 2 ― 1
C． ( ) = 2 D． ( ) = 2 +
变式 1-1．一个等腰三角形的周长为 20，底边长 是一腰长 的函数，则（ ）
A． = 10 ― (0 < ≤ 10) B． = 10 ― (0 < < 10)
C． = 20 ― 2 (5 ≤ ≤ 10) D． = 20 ― 2 (5 < < 10)
变式 1-2．下列函数中，对任意 ，不满足2 ( ) = (2 )的是（ ）
A． ( ) = | | B． ( ) = ―2
C． ( ) = ― | | D． ( ) = ― 1
变式 1-3．定义在 R 上的函数 ( )满足 ( ) = ( ) + ( )，且 (4) = 8，则 ( 2)（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．6
( )+ ( )
变式 1-4．若函数 ( )满足 ( + ) = 11― ( ) ( )，且 (2) = 2， (3) =
1
3，则 (7) =
A．1 B 4 8．3 C．3 D．3
【方法技巧与总结】
理解函数解析式 = ( )，仅是用一系列运算符号连接起来得到的式子，它对定义域内任何一个值都是成立
的；比如①函数 ( ) = x2( > 0)，可取任何大于0的值进行赋值；②若函数 ( )满足 ( ) = ( ) + ( )，
则x, 取任何实数均可使得等式成立.
【题型二：求函数的解析式】
方法 1 待定系数法
例 2．若二次函数 ( )满足 ( + 1) ― ( ) = 2 ，且 (0) = 1，则 ( )的表达式为（ ）
A． ( ) = ― 2 ― ― 1 B． ( ) = ― 2 + ― 1
C． ( ) = 2 ― ― 1 D． ( ) = 2 ― + 1
变式 2-1．已知 ( )是一次函数，且2 (2) ― 3 (1) = 5，2 (0) ― ( ― 1) = 3，则 ( ) = （ ）
A．3 ― 2 B．3 + 2
C 9．2 ―
1
2 D．4 ― 1
变式 2-2．已知函数 ( )是一次函数，且 [ ( ) ― 2 ] = 3，则 (5) = （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
变式 2-3．已知二次函数 ( )满足 (2) = ―1, (1 ― ) = ( )，且 ( )的最大值是 8，则此二次函数的解析
式为 ( ) = （ ）
A． ―4 2 +4 + 7 B．4 2 +4 + 7
C． ―4 2 ―4 + 7 D． ―4 2 +4 ― 7
方法 2 换元法
例 3．已知函数 ( ― 2) = ― 4 +5，则 ( )的解析式为（ ）
A． ( ) = 2 +1( ≥ 0) B． ( ) = 2 +1( ≥ ―2)
C． ( ) = 2( ≥ 0) D． ( ) = 2( ≥ ―2)
2
变式 3-1．已知函数 (1 ― ) = 1― 2 ( ≠ 0)，则 ( ) = （ ）
1 1
A．( ―1)2 ―1( ≠ 0) B．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
4 4
C．( ―1)2 ―1( ≠ 0) D．( ―1)2 ―1( ≠ 1)
1
变式 3-2．设函数 1 + = 2 + 1，则 ( )的表达式为（ ）

A 1+ ．1― ( ≠ 1) B
1+
． ―1( ≠ 1)
C 1― ．1+ ( ≠ ―1) D
2
． +1( ≠ ―1)
变式 3-3．已知 ( + 1) = + 3，则 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 2( ≥ 0) B． 2 ―2 + 4( ≥ 1)
C． 2 ―2 + 4( ≥ 0) D． 2 ―2 + 2( ≥ 1)
方法 3 方程组法
4 1 15例 ．已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ( ) ―4 = ― ，则 (2)的值为（ ）
A 15． 2 B
15 C 17 17． 4 ． 4 D． 2
变式 4-1．若函数 ( )， ( )满足 ( ) ― 2 1 = 3 ― 4 ，且 ( ) + g( ) = 2 + 6，则 (2) + ( ―1) =
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式 4-2．已知函数 ( )满足 ( ) + 2 (2 ― ) = 1 ―1，则 (3)的值为（ ）
A 7 10 4 1． ― 3 B． ― 9 C． ― 15 D． ― 6
变式 4-3．已知定义在 R 上的函数 ( )，满足 ( ) +2 ( ― ) = 2 + 12.
(1)求 ( )的解析式；
(2)若点 ( , )在 = ( )图像上自由运动，求4 + 2 的最小值.
【方法技巧与总结】
求函数解析式，可视情况而定，
1 若已知函数类型，可用待定系数法；
2 若求f( ( ))型函数解析式，可用换元法，此时要注意新自变量的取值范围；
3 若求满足某函数方程的函数解析式，则用方程组的方法.
【题型三：列表法表示函数】
例 5．设已知函数 ( ), ( )如下表所示：
1 2 3 4 5
( ) 5 4 3 2 1
( ) 4 3 2 1 5
则不等式 ( ( )) > ( ( ))的解集为（ ）
A．{1,3} B．{5,3} C．{2,3,4} D．{5}
变式 5-1．已知函数 ( ), ( )分别由下表给出：则 [ (2)]的值是（ ）
1 2 3
( ) 1 3 1
( ) 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．1 和 2
变式 5-2．观察下表：
x ―3 ―2 ―1 1 2 3
( ) 5 1 ―1 ―3 3 5
( ) 1 4 2 3 ―2 ―4
则 [ ( ―1) ― (3)] = （ ）
A． ―4 B． ―3 C．3 D．5
变式 5-3．德国数学家狄利克在 1837 年时提出：“如果对于 的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对
应，则 是 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个
值，有一个确定的 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数
( ) 1由下表给出，则 10 的值为（ ）
2
≤ 1 1 < < 2 ≥ 2
1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【方法技巧与总结】
表格法表示函数，要注意看清楚变量数值之间的对应关系.
【题型四：图象法表示函数】
例 6．如图所示的 4 个图象中，与所给 3 个事件最吻合的顺序为（ ）
①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；
②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；
③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.
A．③①② B．③④② C．②①③ D．②④③
变式 6-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以
上事件吻合得最好的图象是（ ）
A． B． C． D．
变式 6-2．俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之
间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；
情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，
可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间
的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项
是（ ）
A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙
C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲
变式 6-3 ．已知完成某项任务的时间 与参加完成此项任务的人数 之间满足关系式 = +
( ∈ R, ∈ R)，当 = 2时， = 100；当 = 4时， = 53，且参加此项任务的人数不能超过 8．
（1）写出 关于 的解析式；
（2）用列表法表示此函数；
（3）画出此函数的图象．
【方法技巧与总结】
图象法表示函数，达到“一目了然”的效果，对于函数图象还注意函数的定义域，函数图象的上升下降趋
势，增减趋势的缓急等等！
一、单选题
1．已知定义在[ ―2,2]上的函数 = ( )表示为:
x [ ―2,0) 0 (0,2]
y 1 0 ― 2
设 (1) = ， ( )的值域为 M，则（ ）
A． = 1, = { ―2,0,1} B． = ―2, = { ―2,0,1}
C． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1} D． = 1, = { | ― 2 ≤ ≤ 1}
2.函数 = ( )的对应关系如下表所示，函数 = ( )的图象是如图所示的曲线 ABC，则 ( (3) ― 1)的值为
（ ）
1 2 3
( ) 2023 0 ―2023
A．2023 B．0 C． ―1 D． ―2023

3.设 ( ) = 1 2+1，则 是(　　)
A． ( ) B． ― ( )
1 1
C． ( ) D． ― ( )
4.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈
( → → → )，则小明到 点的直线距离 与他从 点出发后运动的时间 之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ，且0 < ( ― 1) = ( ― 2) = ( ― 3) ≤ 3，则（ ）
A． ≤ 3 B．3 < ≤ 6 C．6 < ≤ 9 D． > 9
6.已知 ( + 1) = + 3，则 ( )的解析式为 ( ) = （ ）
A． 2 ―2 + 4 B． 2 +3
C． 2 ―2 + 4( ≥ 1) D． 2 +3( ≥ 1)
7.函数 ( )满足2 ( ) ― (1 ― ) = ，则函数 ( ) = （ ）
A +1 ―1． ― 2 B． 3 C． 3 D． ― + 2
8.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表一市场供给量
单价（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量（1000kg） 50 60 70 75 80 90
表一市场需求量
单价（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（　 ）
A．(2.3,2.6)内 B．(2.4,2.6)内
C．(2.6,2.8)内 D．(2.8,2.9)内
二、多选题
9．某工厂 8 年来某产品产量 与时间 的函数关系如图，则以下说法中正确的是（ ）
A．前 2 年的产品产量增长速度越来越快 B．前 2 年的产品产量增长速度越来越慢
C．第 2 年后，这种产品停止生产 D．第 2 年后，这种产品产量保持不变
10.下列说法正确的是（ ）
A．函数 ( + 1)的定义域为[ ―2,2)，则函数 ( )的定义域为[ ―1,3)
B ( ) =
2
． 和 ( ) = 表示同一个函数
C．函数 = 1 2+3的值域为 0,
1
3

D．定义在R上的函数 ( )满足2 ( ) ― ( ― ) = + 1，则 ( ) = 3 +1
11. 1已知 (0) = 2， ( + ) = ( ) (1 ― ) + ( ) (1 ― )，则（ ）
A 1 1． (1) = 2 B． ( ) = 2恒成立
C． ( + ) = 2 ( ) ( ) D．满足条件的 ( )不止一个
三、填空题
12．下列表示函数 = ( )，则 (11) = ．
x 0 < < 5 5 ≤ < 10 10 ≤ < 15 15 ≤ ≤ 20
y 2 3 4 5
13.已知 = ( )是二次函数，且 (0) = 1， ( + 1) ― ( ) = 2 ，则 = ( ) = ．
14.若正整数 ， 只有 1 为公约数，则称 ， 互质.对于正整数 ， ( )是小于或等于 的正整数中与 互质
的数的个数，函数 ( )以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： (3) = 2， (7) = 6， (9)
= 6，则下列说法正确的序号是 ．
① (5) = (10)；
② (2 ― 1) = 1；
③ (32) = 16；
④ (2 + 2) > (2 )， 是正整数．
四、解答题
15．下图所示为某市一天 24 小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0°C？
(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？
(4)变量 Q 是关于变量 t 的函数吗？
16.已知 ( ) =
1
1+ （ ∈ ，且 ≠ ―1）， ( ) =
2 +2( ∈ )．
(1)求 (2)， (2)的值；(2)求 ( (2))， ( (2))的值；(3)求 ( )和 ( ― 1)的值域．
17.已知二次函数 ( )满足 ( ) = (2 ― )，且 (0) = ―3， (1) = ―4.
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = + 1，比较 ( )与 ( )的大小.
18.已知二次函数 ( ) = 2 + + ( , , ∈ R)只能同时满足下列三个条件中的两个：
① = 2；②不等式 ( ) > 0的解集为{ | ―1 < < 3 }；③函数 ( )的最大值为 4.
(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数 ( )的解析式；
(2)求关于 的不等式 ( ) ≥ ( ― 1) 2 +2( ∈ R)的解集.
19．已知函数 = ( )与 = ( )的定义域均为 ，若对任意的 1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| <
| ( 1) ― ( 2)|成立，则称函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L 函数”.
(1)若 ( ) = 3 + 1, ( ) = , = ，判断函数 = ( )是否是函数 = ( )在 上的“L函数”，并说明理由；
(2)若 ( ) = 2 +2, ( ) = 2 + , = [0, + ∞)，函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L函数”，求实数 的
取值范围；
(3)若 ( ) = , = [0,2]，函数 = ( )是函数 = ( )在 上的“L函数”，且 (0) = (2)，求证：对任意的
1 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有| ( 1) ― ( 2)| < 1.

展开更多......

收起↑