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3.2.1 函数的单调性与最值
课程标准 学习目标
（1）掌握函数单调性的概念;
（1）借助函数图象, 会用符号语言表达函数的
（2） 会利用函数的单调性概念证明函数的单调性；
单调性、最大值、最小值, 理解它们的作用和
（3）会判断函数的单调性；
实际意义。
（4）会求函数的最值.（难点)
知识点 01 函数的单调性
(1)增函数和减函数
一般地，设函数 = ( )的定义域为 ，区间 ∈ :
如果 1 , 2 ∈ ，当 1 < 2时，都有 ( 1) < ( 2)，那么就说 ( )在区间 上单调递增(左图).特别地，当函
数 ( )在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果 1 , 2 ∈ ，当 1 < 2时，都有 ( 1) > ( 2)，那么就说 ( )在区间 上单调递减(右图).特别地，当函
数 ( )在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
注 ① = 1 在(0, + ∞)上单调递减，但它不是减函数.
② 1 , 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的 1 , 2有三个特征：一是任意性，即任意取 1 ,
2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 1 <
2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2) 单调性
如果函数 = ( )在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 = ( )在这一区间具有(严格的)单调性．区
间 叫做函数 = ( )的单调区间．
注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.
② = 1, 为有理数 有的函数无单调性．如函数 0, ，它的定义域是( ― ∞, + ∞)，但无单调性可言．为无理数
2 单调性概念的拓展
① 若 = ( )递增， 2 > 1，则 ( 2) > ( 1).
② 若 = ( )递增， ( 2) ≥ ( 1)，则 2 ≥ 1.
= ( )递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取 1 , 2 ∈ ，且 1 < 2；
(2) 作差 ( 1) ― ( 2)；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差 ( 1)－ ( 2)的正负)；
(5) 下结论(指出函数 ( )在给定的区间 上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数 = 增函数，减函数+减函数 = 减函数；
但增函数 × 增函数不一定是增函数，比如 = ， = ― 2均是增函数，而 = ( ― 2)不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果 = ( )( ∈ ) , = ( )( ∈ ) , 则 = [ ( )] = ( )( ∈ )称为 、 的复合函数；
= 1比如： ( ) 2+ ( ( ) =
1
和 ( ) =
2 + 的复合函数)；
( ) = 1 ― 2 ( ( ) = 和 ( ) = 1 ― 2 的复合函数)；
1
( ) = 2 ( ( ) = 2 和 ( ) =
1
的复合函数).
(2) 同增异减
设函数 = ( )( ∈ )的值域是 ，函数 = ( )( ∈ ) ，
若 = ( ), = ( )在各自区间单调性相同，则复合函数 = [ ( )]在区间 上递增；
若 = ( ) , = ( )在各自区间单调性不同，则复合函数 = [ ( )]在区间 上递减.
【即学即练 1】

函数 ( ) = 1― 在（ ）
A．( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)上是增函数 B．( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)上是减函数
C．( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是增函数 D．( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是减函数
【答案】C
【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果.
―
( ) = = ― = ― 1― ―1 1 1【详解】 1― 1― 1― = ― 1 ― = ―1，1― 1―
函数的定义域为( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)，
其图象如下：
由图象可得函数在( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是增函数.
故选：C
知识点 02 函数的最值
一般地，设函数 = ( )的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1) ∈ ，都有 ( ) ≤ ；(2) 0 ∈ ，使得 ( 0) = ；
那么，我们称 是函数 = ( )的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.
【即学即练 2】
已知max{ , } = , ≥ 2 , < ，设 ( ) = max{ ― 4 ― 2, ― + 2}，则函数 ( )的最小值是（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的最小值问题，然后根据函数的单调性求解．
【详解】由 2 ―4 ― 2 ≥ ― + 2，即 2 ―3 ― 4 ≥ 0，解得 ≤ ―1或 ≥ 4；
由 2 ―4 ― 2 < ― + 2，即 2 ―3 ― 4 < 0，解得 ―1 ≤ ≤ 4.
2 ― 4 ― 2, ≤ ―1 ≥ 4
由题意 ( ) = 或― + 2, ― 1 < < 4 ，
则 ( )在( ― ∞,1]上单调递减，在( ― 1,4)上单调递减，在[4, + ∞)上单调递增，
故函数 ( )的最小值是 (4) = ―2．
故选：A．
【题型一：函数单调性的概念】
例 1．下列说法中正确的有（ ）
①若 x1，x2∈I，当 x1②函数 y＝x2在 R 上是增函数；
③函数 y 1＝－ 在定义域上是增函数；
④函数 y 1＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
【答案】A
【分析】对于①，定义中的 x1，x2必须是任意的；对于②，在整个定义域上不具有单调性；对于③，举
特值可知错误；对于④，单调区间的写法错误.
【详解】对于①，函数单调性的定义中的 x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；
对于②，y＝x2，当 x≥0 时是增函数，当 x<0 时是减函数，从而 y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；②
错误；
对于③ y 1， ＝－ 在整个定义域内不是单调递增函数.如－3<5，而 f(－3)>f(5)；③错误；
对于④，y 1＝ ，的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法. ④错误.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数单调性的定义，函数单调性的判断，属于基础题.
变式 1-1．若函数 ( )在区间[1,3)和[3,5]上均为增函数，则函数 ( )在区间[1,5]上（ ）
A．一定是增函数 B．没有单调性
C．不可能是减函数 D．存在减区间
【答案】C
【分析】利用函数的单调性分析即可得解.
【详解】因为函数 ( )在区间[1,3)和[3,5]上均为增函数，
对于 A，符合条件的图像如图所示，
函数 ( )在区间[1,5]上不是增函数， ∵ 1 < 2，但 ( 1) > ( 2)，故 A 错误；
对于 B，符合条件的图像如图所示，
函数 ( )在区间[1,3)和[3,5]上连续，此时 ( )在区间[1,5]上是增函数，故 B 错误；
对于 CD，函数 ( )在区间[1,3)和[3,5]上不论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在减区间，故 C 正
确，D 错误；
故选：C
变式 1-2．函数 ( )的递增区间是( ―2,3)，则函数 = ( + 5)的递增区间是（ ）
A．(3,8) B．( ―7, ― 2) C．( ―2,3) D．(0,5)
【答案】B
【分析】函数 = ( + 5)是函数 ( )向左平移 5 个单位得到的，利用函数 ( )在区间( ―2,3)是增函，即可
得到结论．
【详解】解：函数 = ( + 5)是函数 ( )向左平移 5 个单位得到的，
∵函数 ( )在区间( ―2,3)上是增函数，
∴ = ( + 5)增区间为( ―2,3)向左平移 5 个单位，即增区间为( ―7, ― 2)，
故选 B．
【点睛】本题考查图象的变换，考查函数的单调性，属于基础题．
【方法技巧与总结】
理解函数单调性的概念，要注意单调区间中 1 , 2的任意性.
【题型二：定义法判断或证明具体函数单调性】
2
例 2．已知函数 ( ) = + ，且 (1) = 2.
(1)求 .
(2)用定义证明函数 ( )在(1, + ∞)上是增函数.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案；
（2）根据函数单调性的定义，即可证明结论；
（3）根据函数的单调性，即可求得答案.
1 ( ) =
2+
【详解】（ ）由题意知函数 ，且 (1) = 2，
12+
故 1 = 2，则 = 1
2
（2）证明：由（1）知 ( ) = +1 1 = + ，
任取 1, 2 ∈ (1, + ∞)且 1 < 2，
1 1 ―
― = + ― ― = ― + 2 1( ) ( ) = ( ― ) 1 ― 1则 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ， 1 2
1 1
因为 1, 2 ∈ (1, + ∞)且 1 < 2，可得 1 ― 2 < 0, 1 2 > 1,0 < < 1，则1 ― > 0，1 2 1 2
所以 ( 1) ― ( 2) = ( 1 ―
1
2) 1 ― < 0，即 ( 1) < ( 2)，1 2
所以函数 ( )在(1, + ∞)上为单调递增函数.
变式 2-1．已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2 +1， ( ) = ( ) ( )．若不等式 ( ) ― ( ) ― 3 ≤ 0的解集为
[ ―1,2].
(1)求 , 的值及 ( )；
(2)判断函数 ( )在区间(0,1)上的单调性，并利用定义证明你的结论.
(1) = 1

【答案】 = 0 ， ( ) = 2+1
(2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）首先由一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数值，进一步可得函数 ( )的表达式.
（2）直接由函数单调性的定义证明即可.
【详解】（1）由题意 ( ) ― ( ) ― 3 ≤ 0，即 2 +1 ― ( + ) ―3 ≤ 0，
即 2 ― ― ― 2 ≤ 0的解集为[ ―1,2]，
= ―1 + 2 = 1 = 1
所以 ― ― 2 = ( ―1) × 2 = ―2 ，解得 = 0 ，

所以 ( ) = 2+1.
（2）函数 ( )在区间(0,1)上单调递增，理由如下：
1, 2 ∈ (0,1)，不妨设 1 < 2，
2 2
― = 1 ― 2 = 1 2+1 ― 2 1+1
( 1 2―1)( 2― 1)
则 ( 1) ( 2) 2+1 2 = ，1 2+1 21+1 22+1 2 21+1 2+1
因为 1, 2 ∈ (0,1)，且 1 < 2，故 1 ― 2 < 0,0 < 1 2 < 1,
( 1 2―1)( 2― 1)
所以 ( 1) ― ( 2) = 21+1 2+1 < 0，即 ( 1) < ( 2)，2
所以函数 ( )在区间(0,1)上单调递增.
【方法技巧与总结】
定义法判断或证明函数单调性的解题步骤
(1) 任取 1 , 2 ∈ ，且 1 < 2；
(2) 作差 ( 1) ― ( 2)；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差 ( 1)－ ( 2)的正负)；
(5) 下结论(指出函数 ( )在给定的区间 上的单调性)．
【题型三：求函数的单调区间】
例 3．下列函数中，在[1, + ∞)上为增函数的是（ ）
A． = ( ― 2)2 B． = 1| ― 1| C． = +1 D． = ― ( + 1)
2
【答案】B
【解析】求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项.
【详解】对于 A，因为 = ( ― 2)2在[2, + ∞)上单调递增，在( ―∞,2]上单调递减，故 A 错.
对于 B，因为 = | ― 1|在[1, + ∞)上单调递增，在( ―∞,1]上单调递减，故 B 对.
1
对于 C，因为 = +1在( ―1, + ∞)上单调递减，在( ―∞, ― 1)上单调递减，故 C 错.
对于 D，因为 = ― ( + 1)2在( ―1, + ∞)上单调递减，在( ―∞, ― 1)上单调递增，故 D 错.
故选：B.
【点睛】本题考查具体函数的单调性，此类问题一般根据函数解析式的具体形式求出单调区间即可，本题
属于基础题.
变式 3-1．下列函数在(0,+ ∞)上不是增函数的是（ ）
A． =3 +5 B． = 2+4 C． =3- D． = 2+2 +4
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】解：对于 A： =3 +5在定义域R上单调递增，故 A 错误；
对于 B： = 2+4在(0,+ ∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减，故 B 错误；
对于 C： =3- 在定义域R上单调递减，故 C 正确；
对于 D： = 2+2 +4=( +1)2+3，函数在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+ ∞)上单调递增，故 D 错误；
故选：C
变式 3-2．已知函数 ( ) = ― | | + 2 ，则下列结论正确的是（ ）
A．增区间是(0, + ∞) B．减区间是( ― ∞, ― 1)
C．增区间是( ― ∞,1) D．增区间是( ― 1,1)
【答案】D
【解析】根据题意，将 ( )写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论 ( )的单调性和单调区
间，综合可得答案．
2
【详解】根据题意，函数 ( ) = ― | | +2 = ― + 2 , ≥ 0 2 + 2 , < 0 ，
当 < 0时， ( ) = 2 +2 = ( + 1)2 ―1，在区间( ― ∞, ― 1)上为减函数，在区间( ― 1,0)上为增函数；
当 ≥ 0时， ( ) = ― 2 +2 = ― ( ― 1)2 +1，在区间[0,1)上为增函数，在区间(1, + ∞)上为减函数；
综合可得： ( )在区间( ― ∞, ― 1)和(1, + ∞)上为减函数，在区间( ― 1,1)上为增函数，
故选：D.
【方法技巧与总结】
判断函数单调性的方法
① 定义法
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数 = 增函数，减函数+减函数 = 减函数；
但增函数 × 增函数不一定是增函数，比如 = ， = ― 2均是增函数，而 = ( ― 2)不是.
【题型四：求复合函数的单调性】
例 4．下列结论正确的是（ ）
1
A．函数 ( ) = 2 的单调增区间是―1 ( ―∞, ― 1]
B．函数 = 3 +2( ) 2 +1在定义域内单调递减
C．函数 ( ) = 2 ―2| | ―3 的单调递增区间是( ―1,0)，(1, + ∞)
― 2 ― 4 + 1, < 0
D．函数 ( ) = ―2 + 1 , > 1 的单调递减区间是[ ―2,0) ∪ (1, + ∞)
2
【答案】C
【分析】
根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解.
【详解】
对 A，由 2 ―1 > 0，解得 < ―1或 > 1，
1
则函数 ( ) = 的定义域为{ | < ―1或 > 1}2 ，如图， ―1
所以函数的单调增区间为( ― ∞, ― 1)，故 A 错误；
3 +2 3 +
1 +1 1
对 B， ( ) = = 2 2
3 4
2 +1 = +2 +1 2 +1，
2 2
1 1 1 1
函数的定义域为 ―∞, ― ∪ ― , + ∞ ，所以 ( )在 ―∞, ― 和 ― , + ∞ 上分别为减函数，
2 2 2 2
但不能说 ( )定义域内单调递减，故 B 错误；
2
C ( ) = 2 ―2| | ―3 = ― 2 ― 3, ≥ 0 = ( ― 1)
2 ― 4, ≥ 0
对 ，函数 2 + 2 ― 3, < 0 ( + 1)2 ― 4, < 0 ，如图，
所以函数 ( )的单调增区间为( ― 1,0),(1, + ∞)，单调减区间为( ― ∞, ― 1),(0,1)，故 C 正确；
对 D，当 < 0时，函数 ( ) = ― 2 ―4 + 1的图象开口向下，对称轴为 = ―2，
所以 ( )的单调减区间为[ ―2,0)，
又当 > 1时， ( ) = ―2 +
1
2为减函数，但中间不能用“ ∪ ”这个符号，故 D 错误.
故选：C
变式 4-1．已知 ( ) = 8 + 2 ― 2，若 ( ) = (2 ― 2)，则 ( )（ ）
A．在区间( ― 1,0)内是减函数 B．在区间(0,1)内是减函数
C．在区间( ― 2,0)内是增函数 D．在区间(0,2)内是增函数
【答案】A
【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.
【详解】 ( ) = 8 + 2 ― 2在( ―∞,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
= 2 ― 2在( ―∞,0)上单调递增，在(0, + ∞)上单调递减，根据复合函数的单调性：
当 ∈ ( ―∞, ― 1)时， ∈ ( ―∞,1)，函数单调递增；
当 ∈ ( ―1,0)时， ∈ (1,2)，函数单调递减；
当 ∈ (0,1)时， ∈ (1,2)，函数单调递增；
当 ∈ (1, + ∞)时， ∈ ( ―∞,1)，函数单调递减；
故选：A.
【点睛】本题考查了复合函数单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
变式 4-2．函数 = 2 ― ― 2 + 4 的单调递增区间是（ ）
A．[0,4] B．( ― ∞,2] C．[0,2] D．[2,4]
【答案】D
【解析】先求出函数 = 2 ― ― 2 + 4 的定义域，再根据复合函数的单调性，在定义域内求出 = ― 2
+4 的减区间，即为所求增区间.
【详解】因为 ― 2 +4 ≥ 0
所以0 ≤ ≤ 4，即该函数的定义域为[0,4]
又因为 = ― 2 +4 的增区间是(0,2)，减区间是(2,4)
所以函数 = 2 ― ― 2 + 4 的单调递增区间是(2,4)
故选：D
【点睛】本题考查了函数的单调性及单调区间的求解，对于复合函数的单调性要根据“同增异减”来判断，
特别要注意单调区间为定义域的子集.
1
变式 4-3．函数 = ― 2+2 +3的单调减区间是（ ）
A．(1,3) B． ―∞，1 C．( ―1,1) D．[ ―1,1]
【答案】C
【分析】先求解函数的定义域，然后根据二次函数的性质判断函数的增减区间即可；
【详解】由函数有意义得 ― 2 +2 + 3 > 0，解得 ―1 < < 3.
∵ 函数 = ― 2 +2 + 3图象的对称轴为直线 = 1,
∴ = ― 2 +2 + 3在( ―1,1)上单调递增，在[1,3)上单调递减，
1
∴ =
― 2+2 +3的单调递减区间是( ―1,1).
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 复合函数的概念
如果 = ( )( ∈ ) , = ( )( ∈ ) , 则 = [ ( )] = ( )( ∈ )称为 、 的复合函数；
1 1
比如： ( ) = 2+ ( ( ) = 和 ( ) =
2 + 的复合函数)；
( ) = 1 ― 2 ( ( ) = 和 ( ) = 1 ― 2 的复合函数)；
1
( ) = 2 ( ( ) = 2 和 ( ) =
1
的复合函数).
2 复合函数的单调性：同增异减.
【题型五：根据函数的单调性求参数】
+ 2 ―35 ( ) = , ≥ 1例 ．已知函数 在 R 上单调递增，则实数 m 的取值范围为（ ）
(4 + ) ― 9, < 1
A．[ ―3,2) B．[ ―3,2] C．( ―3,2) D．[ ―2,3]
【答案】B
【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解.
2 ―3
【详解】因为函数 ( ) = + , ≥ 1 ，在R上单调递增，
(4 + ) ― 9, < 1
当2 ― 3 < 0时，由于 = = 2 ―3和 均在 ≥ 1单调递增函数，
( ) = + 2 ―3故 在 ≥ 1上单调递增，
1 + 2 ― 3 ≥ 4 + ― 9
4 + > 0 ―3 ≤ < 3所以 ，解得 ，
2 ― 3 < 0 2
当2 ― 3 > 0时，根据对勾函数的性质可知，若 ( )在 ≥ 1上单调递增，
2 ― 3 ≤ 1
则 2 ― 3 > 0 3，解得 < ≤ 2，
1 + 2 ― 3 ≥ 4 + ― 9 2
3 , ≥ 1
当2 ― 3 = 0时， = 2，此时 ( ) = 11 ― 9, < 1 ，显然满足 ( )在R上单调递增，
2
综上， ―3 ≤ ≤ 2．
故选：B
― 2 ― ― 5, ≤ 1
变式 5-1．已知函数 ( ) = , > 1 是 上的增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）

A． ―3 ≤ ≤ 0 B． ―3 ≤ ≤ ―2
C． ≤ ―2 D． < 0
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果.
― 2 ― ― 5, ≤ 1
【详解】因为函数 ( ) = , > 1 是 上的增函数，

― ≥ 1
2
则 < 0 ，解得 ―3 ≤ ≤ ―2.
― 12 ― × 1 ― 5 ≤
1
故选：B
2 ―2 +1
变式 5-2．若函数 ( ) = ― 2 +4 与 ( ) = ―2 在区间[1,2]上都是减函数，则 的取值范围（ ）
A．( ― ∞,1] B ― 1
1 1
． ,1 C ― 1． , 1 D．( ― , )
2 2 2 2 2
【答案】D
2 +1
【分析】转化 ( ) = 2 + ―2 ，利用二次函数和反比例函数的性质分析单调性，列出不等关系控制范围求
解即可
【详解】由题意，函数 ( ) = ― 2 +4 为开口向下的二次函数，对称轴为 = 2
故 1( )在[2 , + ∞)单调递减，即2 ≤ 1, ≤ 2
= 2 ―2 +1 = 2( ―2 )+2 +1 2 +1函数 ( ) ―2 ―2 = 2 + ―2 ，在区间[1,2]上是减函数
故2 + 1 > 0，且2 < 1或2 > 2，即 ― 12 < <
1
2或 > 1
1 1
综上 的取值范围是 ― 2 < < 2
故选：D
25-3 ( ) = +2 + 变式 ．若函数 +1 在[1, + ∞)上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ― ∞,4] B．[0,1] C．( ― ∞,5] D．[1,2]
【答案】C
―1
【分析】变形换元得到 = + ， ∈ [2, + ∞)，考虑 ― 1 < 0， ― 1 = 0和 ― 1 > 0三种情况，结合对
勾函数性质得到不等式，求出实数 的取值范围.
2+2 + ―1
【详解】 ( ) = +1 = + 1 + +1，
令 + 1 = ∈ [2, + ∞)，故 = +
―1
， ∈ [2, + ∞)，
― 1 < 0 < 1 = + ―1当 ，即 时， 在[2, + ∞)上单调递增，满足要求，
当 ― 1 = 0，即 = 1时， = 在[2, + ∞)上单调递增，满足要求，
当 ― 1 > 0，即 > 1 ―1时，由对勾函数性质得到 = + 在[ ― 1, + ∞)上单调递增，
故0 < ― 1 ≤ 2，解得1 < ≤ 5，
综上，实数 的取值范围是( ―∞,5].
故选：C
【方法技巧与总结】
根据函数单调性求参数的值或范围，可采取数形结合的方法，此时要特别注意一些临界值的位置；要分类
讨论的话，抓好分类讨论的标准，做到不重不漏！
【题型六：利用函数单调性求最值】

例 6．函数 ( ) = +
4
+ 2+4( > 0)的最小值为（ ）
A 2 B 10 17 26． ． 3 C． 4 D． 5
【答案】C
【解析】令 = + 4 1 ，利用基本不等式求得 ≥ 4，构造函数 ( ) = + ，证明出函数 ( )在[4, + ∞)上为增
函数，由此可求得函数 ( )的最小值.
1
= + 4 = = 1 > 0 = + 4 ≥ 2 4【详解】令 4 ，则 2+4 + ，因为 ，所以 = 4，

又 = + 4 +
1
2+4 = + ，令 ( ) = +
1
，其中 ≥ 4，
任取 1、 2 ∈ [4, + ∞)且 1 > 2，即 1 > 2 ≥ 4，
―
则 ― 1 1 2 1
( 1― 2)( 1 2―1)( 1) ( 2) = 1 + ― + = ( ― ) + = ， 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵ 1 > 2 ≥ 4， ∴ 1 ― 2 > 0， 1 2 > 1， ∴ ( 1) ― ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
1 17
所以，函数 ( )在[4, + ∞)上为增函数，因此， ( )min = (4) = 4 + 4 = 4 .
故选：C.
变式 6-1．已知 ( 1 ― 2 ) = ― 1 ― 2 ，则函数 ( )的值域为（ ）
A [1, + ∞) B 3． ． , + ∞
2
C． ―∞, 1 D．( ―∞,1]
2
【答案】C
【分析】利用换元法求得 ( )的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】设 = 1 ― 2 ≥ 0，则 = ―
1 22 +
1
2，
∴ ( ) = ― 1 22 +
1
2 ― ，
∴ 1( ) = ― 22 ― +
1 1
2 = ― 2( + 1)
2 +1， ≥ 0，
∵ 函数 ( )在[0, + ∞)上单调递减，
∴ 当 = 0时， ( ) = 1max 2，
∴ 1函数 = ( )的值域为 ―∞, .
2
故选：C.
+
变式 6-2．已知正数 ， ， 满足 2 = ，则 +

+ 的最小值为（ ）
A 1 B 3． ．2 C．2 D
5
．2
【答案】D
+
【分析】令 = ，利用基本不等式可得 ∈ [2, + ∞)，进而转化为对勾函数的单调性求最值．
【详解】因为 ， ， 为正数且满足 2 = ，
+
所以 ≥
2 = 2
，当且仅当 = = 时等号成立，
= + + 令 ， ∈ [2, + ∞)，则 + + = +
1
，
令 = + 1 ， ∈ [2, + ∞)，
又 = + 1 在[2, + ∞)上单调递增，
= 2 2 + 1 5所以当 时， 取得最小值为 2 = 2，
+ + 5所以 + 的最小值为2，当且仅当 = = 时取得．
故选：D．
【方法技巧与总结】
求函数的最值或值域，可以利用函数的单调性进行求解.
【题型七：根据函数最值求参数】
例 7．已知函数 ( ) = 16 ，记函数 ( ) = ( ) + + 1,(2 ≤ ≤ )，其中实数 > 2，若 ( )的值域为
[9,11]，则 a 的取值范围是（ ）
A．[2,6] B．[4,8] C．[6,10] D．[8,12]
【答案】B
【分析】由 ( ) = 16 可得 ( )的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论 a 的取值范围，即分2 < ≤ 4
和 > 4两种情况，根据 ( )的值域列式求解，即可得答案.
16
【详解】因为 ( ) = ，
所以 ( ) = ( ) + + 1 = 16 + + 1,(2 ≤ ≤ )，
根据对勾函数单调性可知 ( )在[2,4]上单调递减，在[4, + ∞)上单调递增，
因为 > 2，
当2 < ≤ 4时， ( )在[2, ]上单调递减且 ( )的值域为[9,11]，
则 (2) = 11， ( ) = + 1 +
16
= 9，
解得 = 4；
当 > 4时， ( )在[2,4]上单调递减，在[4, ]上单调递增，
所以 (4) = 9为 ( )此时的最小值， (2) = 11，
因为 ( )的值域为[9,11]，
所以 16( ) = + 1 + ≤ 11，即
2 ―10 + 16 ≤ 0，
解得2 ≤ ≤ 8，所以4 < ≤ 8，
综上，a 的取值范围为[4,8]．
故选：B．
变式 7-1．若 ( ) = | + 2| + |3 ― |的最小值是 4，则实数 的值为（ ）
A．6 或 ―18 B． ―6或 18
C．6 或 18 D． ―6或 ―18
【答案】A
【分析】分 > ―6， < ―6， = ―6三种情况，得出每种情况下 ( )的最小值，令其为 4，解出 的值.
4 + 2 ― , ≥
3
【详解】当 > ―6时， ( ) = + 2 ― 2 , ― 2 < < ，
3
― 2 ― 4 , ≤ ―2

∴ ( ) min = = 2 + 3 = 4，解得 = 6，符合题意；3
4 + 2 ― , ≥ ―2
当 < ―6时， ( ) = 2 ― ― 2,
< < ―2
3 ，
― 2 ― 4 , ≤
3

∴ ( )min = = ― 3 ―2 = 4，解得 = ―18，符合题意；3
当 = ―6时， ( ) = 4| + 2|， ∴ ( )min = ( ―2) = 0 ≠ 4，舍掉.
故选：A.
变式 7-2．已知函数 ( ) = + + |3 ― |在区间[1,3]上的最大值是 4，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞,3] B．(1,3) C．( ―∞,1] D．[3, + ∞)
【答案】C
【分析】分类讨论，去掉绝对值分析函数的最大值，根据最大值为 4 即可得出 的取值范围.
【详解】当1 ≤ ≤ 3时，1 ≤ 3 ≤ 3，
当 ≤ 1时， ( ) = + + 3 ― = + 3 在[1, 3]上单调递减，
在[ 3,3]上单调递增，
当 = 1或 = 3时， ( )max = 4，满足题意；
当 ≥ 3 3 3时， ( ) = + + ― = 2 + ― 在[1,3]上单调递增，
( )max = 2 + 2 ≥ 8，不符合题意；
当1 < < 3时， ( )max ≥ ( + )max > 4，不符合题意.
综上，实数 的取值范围为 ≤ 1.
故选：C
变式 7-3．已知函数 ( ) = | 2 ― 2 + | + 在区间[0，2]上的最大值是 1，则 a 的取值范围是（ ）
A 1 1． 0, B． ―∞,
2 2
C 1． , + ∞ D． 0, 1 ∪ 1 , + ∞
2 2 2
【答案】B
【分析】将函数左移，函数变得简单，使得解的过程也变得简单；再分类讨论去绝对值，最后根据函数的
值域算出实属 a 的取值范围.
【详解】将函数 ( ) = | 2 ― 2 + | + = |( ― 1)2 + ( ― 1)| + 的图象向左平移一个单位，得到函数 ( )
= | 2 + ― 1| + .则 ( )在区间[0，2]上的最大值是 1，只需函数 ( )在区间[-1，1]上的最大值是 1.
由 ―1 ≤ ≤ 1，0 ≤ 2 ≤ 1，
当 ― 1 ≥ 0， ≥ 1时， ( ) = 2 + ― 1 + = 2 +2 ― 1 ≥ 2 ― 1 ≥ 1，此时函数 ( )的最小值为 1，不
合题意；
当 ― 1 ≤ ―1， ≤ 0时， ( ) = ― ( 2 + ― 1) + = ― 2 +1 ≤ 1，符合题意；
2
―1 < ― 1 < 0 0 < < 1 ― ( + ― 1) + ,0 ≤
2 ≤ 1 ―
当 ， 时， ( ) = ( 2 + ― 1) + ,1 ― < 2 ≤ 1 ，化简得 ( ) =
1 ― 2,0 ≤ 2 ≤ 1 ―
2 + 2 ― 1,1 ― < 2 ≤ 1
又由当0 ≤ 2 ≤ 1 ― 时，根据二次函数的性质， ( )的值域为1 ― (1 ― )2 ≤ ( ) ≤ 1，
当1 ― < 2 ≤ 1时，(1 ― )2 +2 ― 1 ≤ ( ) ≤ 2 ，必有2 ≤ 1，可得0 < ≤
1
2.
综上，实数 a 的取值范围是 ―∞, 1 .
2
故选：B.
【方法技巧与总结】
处理函数最值或值域的参数问题，可先结合函数图象了解函数的单调性，要特别注意取到最值的临界值位
置，若要分类讨论，要抓好分类的标准！
【题型八：抽象函数的单调性综合问题】
例 8．定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ( ) = ( ) + ( )， (3) = 1，且 > 1时， ( ) > 0.
(1)求 (1)；
(2)判断 ( )在(0, + ∞)上的单调性并证明；
(3)若 ( ) + ( ― 8) ≤ 2，求 的取值范围.
【答案】(1)0
(2) ( )在(0, + ∞)上的单调递增，证明见解析
(3)(8,9)
【分析】（1）根据条件，通过赋值 = = 1，即可求出结果；
（2）根据条件，利用证明函数单调性的定义法，再结合条件，即可求出结果；
（3）利用（2）中结果，根据条件得到 2 ―8 < 9，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ( ) = ( ) + ( )，令 = = 1，得到 (1) = (1) + (1)，所以 (1) = 0.
（2） ( )在(0, + ∞)上的单调递增，证明如下，
任取 1, 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 < 2，

则 ( 22) ― ( 1) = ( 1) ― ( 1) = (
2) + ( 2 1) ― ( 1) = ( )，1 1 1

又 > 1时， ( ) > 0，且0 < 1 <
2
2，所以 ( 2) ― ( 1) = ( ) > 0，得到 ( 2) > ( 1)，1
所以 ( )在(0, + ∞)上的单调递增.
（3）因为 ( ) + ( ― 8) = ( 2 ―8 ) ≤ 2 = (3) + (3) = (9)，
由（2）知 2 ―8 < 9，解得 ―1 < < 9，
> 0
又由 ― 8 > 0 ，得到 > 8，所以 的取值范围为(8,9).
变式 8-1．已知函数 ( )的定义域为 ，对任意的 , ∈ ，都有 ( ) ( ) = ( + )．当 < 0时，
( ) > 1，且 (0) ≠ 0．
(1)求 (0)的值，并证明：当 > 0时，0 < ( ) < 1；
(2)判断 ( )的单调性，并证明；
(3)若 (2) = 1，求不等式 (5 2 >
1
2 ― 6 ) 16的解集．
【答案】(1) (0) = 1，证明见解析；
(2) ( )在 上单调递减，证明见解析；
(3) ― 4 ,2 .
5
【分析】（1）令 = = 0，可得 (0)，令 = , = ― ，结合已知即可得证；
（2）设 1 < 2，令 = 1 ― 2, = 2，结合 ( )的范围即可判断 ( 1) > ( 2)，得证；
（3）利用赋值法求出 (8)，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得.
【详解】（1）令 = = 0，则[ (0)]2 = (0)，又 (0) ≠ 0，所以 (0) = 1．
证明：当 > 0时， ― < 0，所以 ( ― ) > 1，
1
又 ( ) ( ― ) = ( ― ) = (0) = 1，所以 ( ) = (― )，所以0 < ( ) < 1；
（2） ( )在 上单调递减．
证明：设 1 < 2，则 ( 1) ― ( 2) = ( 1 ― 2 + 2) ― ( 2)
= ( 1 ― 2) ( 2) ― ( 2) = ( 2)[ ( 1 ― 2) ― 1]，
又 1 < 2，所以 1 ― 2 < 0，所以 ( 1 ― 2) > 1，
又当 < 0时， ( ) > 1，当 > 0时，0 < ( ) < 1, (0) = 1，
所以 ( 1) ― ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以 ( )在 上单调递减；
（3）因为 (2) = 12，所以 (8) = (2) (6) = (2) (2) (4) = [ (2)]
4 = 116，
所以 (5 2 >
1
― 6 ) ，即 (5 216 ― 6 ) > (8)，
又 ( )在 上单调递减，所以5 2 ―6 < 8，
4
解得 ― 5 < < 2，所以不等式 (5
2 1― 6 ) > 416的解集为 ― ,2 ．5
变式 8-2．已知定义在 +上函数 ( )同时满足如下三个条件：
①对任意 、 ∈ +都有 ( ) = ( ) + ( )；
②当 > 1时， ( ) < 0；
③ (3) = ―1．
(1)计算 (9), ( 3)的值；
(2)证明 ( )在(0, + ∞)上为减函数；
(3)有集合 = ( , )| ( 2 + 1) ― (5 ) ― 2 > 0, 、 ∈ + ， = ( , )| + 1 = 0, ∈ + .问：是否存 2 、
在点( 0, 0)使( 0, 0) ∈ ∩ ？
【答案】(1) (9) = ―2， ( 3) = ―
1
2
(2)证明见解析
(3)不存在
【分析】（1）运用赋值法，结合题中条件分别令 = = 3， = = 3，即可求解；

（2）设0 < 1 < 2, 1, 2 ∈ +，令
2
2 = 1，结合 > 1时， ( ) < 0即可证明；1
3 9
2 + 9 < 5
（ ）代入得到 = 3 ，化简得到一元二次不等式，根据判别式符号即可判断.
【详解】（1）由 (9) = (3 × 3) = (3) + (3) = ―2，
(3) = ( 3 3) = ( 3) + ( 3) = ―1，
得 1( 3) = ― 2．

（2）对任意0 < 1 <
2
2，有 > 1．根据条件②有 2 < 0．1 1

所以 ( 2) = 2 21 = ( 1) + < ( 1)． 1 1
所以 ( )在(0, + ∞)上为减函数．
( 2 + 1) ― (5 ) ― 2 > 0
（3）联立 + 1 = 0 ，
2
1 9( 2 + 1) > (5 )
将 (9) = ―2, ( 3) = ― 2，代入上式得 = 3 ，

因为 ( )在(0, + ∞)上是减函数，
9 2 + 9 < 5
所以 = 3 消去 得27
2 ―5 + 9 < 0．
因为Δ = 25 ― 4 × 27 × 9 = ―947 < 0，所以 无实数解．所以不存在满足题设的点( 0, 0) ∈ ∩ ．
【方法技巧与总结】
1 抽象函数的赋值，往往令x = 0，x = 1，x = y等，多尝试下；
2 判断或证明抽象函数的单调性，采取定义法证明；
3 1求解类似 (5 2 ― 6 ) > 16这种涉及函数的不等式，往往不会直接求出 (5
2 ― 6 )，而利用最好利用函数
的单调性，得到变量的不等式！
一、单选题
1． 下列结论正确的是（ ）
A． = 4 在定义域内是单调递减函数
B．若 ( )在区间[0,2]上满足 (0) < (2)，则 ( )在[0,2]上是单调递增的
C．若 ( )在区间[0,3]上单调递减，则 ( )在(1,2)上单调递减
D．若 ( )在区间(1,2)，[2,3]上分别单调递减，则 ( )在(1,3]上单调递减
【答案】C
【分析】依次根据函数单调性的定义分析四个选项，推理论证，构造反例，即得解.
4
【详解】选项 A， = 在( ― ∞,0),(0, + ∞)分别单调递减，故 A 不正确；
选项 B，如函数 = ( ― 1)满足 (0) < (2)，但在[0,2]上不是单调递增，故 B 不正确;
选项 C，(1,2) [0,3]，故说法正确；
1 ― ,1 < < 2
选项 D，如函数 = 2 ― ,2 < < 3 ，在区间(1,2)，[2,3]上分别单调递减，但在(1,3]上不单调递减，不正
2
确.
故选：C
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
2.函数 ( ) = ― 的递增区间为（ ）
A． 0, 1 B (0,1) C 1． ． , + ∞ D．(1, + ∞)
4 4
【答案】A
【分析】结合二次函数的性质得出增区间．
2
【详解】 = ，显然 = 在[0, + ∞)是递增． = ― 2 = ― ( ― 1 ) +
1
4在 ∈ ( ― ∞,
1
2 2
]上是增函数，
≤ 1由 2得0 ≤ ≤
1
4，所以 ( )的增区间是 0,
1 1
（也可写为 0, ）．
4 4
故选：A．
3.已知函数 ( )是定义在(0, + ∞)上的单调函数，且 ∈ (0, + ∞) ( ) + 2时，都有 = ―1，则 (1) =

（ ）
A．-4 或-1 B．-4 C．-1 D．0
【答案】C
【分析】根据题意，采用换元法，求出 ( )的解析式，从而得到 (1).
【详解】由题意得，设 = ( ) + 2 ， 是一个大于 0 的常数，
因为 ( ) + 2 = ( ) = ―1，

由 ( ) + 2 = ，得 ( ) = ―
2
，则有 ( ) = ―
2
= ―1，
因为 ∈ 2(0, + ∞)，所以 = 1， ( ) = 1 ― ，
所以 (1) = 1 ― 21 = ―1，
故选：C.
4. ( ) = | +1已知函数 ― |的值域为(0, + ∞)，且 ( )在[0, + ∞)上单调递减，则 + 的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．( ― 1,1) C．( ― ∞,0) D．(1, + ∞)
【答案】C
【分析】求出函数 ( )的定义域，结合单调区间确定 的取值，再由值域确定 的取值即可.
【详解】函数 ( ) = | +1 ― |中， ― ≠ 0，即 ≠ ，则函数 ( )的定义域为{ ∈ R| ≠ }，
由 ( )在[0, + ∞)上单调递减，得[0, + ∞) { ∈ R| ≠ }，因此 < 0，
由函数 ( ) = | +1 ― |的值域为(0, + ∞)，得 ∈ { ∈ R| ≠ }， + 1 ≠ 0，
1
显然 ≠ ― ，否则 ( ) = ―
1
( ≠ )与 ( )在[0, + ∞)上单调递减矛盾，
1
因此 = 0，此时 ( ) = | ― |在( , + ∞)上单调递减，符合题意，
所以 + 的取值范围是( ― ∞,0).
故选：C
( )― ( )
5.已知函数 (1 ― ) = + 1 2 + ，若对于任意 1， 2 ∈ ( ―2, ― 1)，都有 ― > ―1，则 的取值范围是1 2
（ ）
A．( ―∞, ― 1] ∪ [0, + ∞) B．( ―∞, ― 3] ∪ [ ― 2, + ∞)
C．( ―∞, ― 3] ∪ [ ― 2,0) D．( ―∞, ― 3]
【答案】C
( 1)一 ( 2)
【分析】根据题意，利用换元法分析求出 ( )的解析式，对 ― < ―1变形分析可得 ( ) + 在区间1 2
( ―2, ― 1)上为增函数，据此分析可得答案．

【详解】根据题意，已知函数 (1 ― ) = + + = + 1 ― + ，

设 = 1 ― ，则 = 1 ― ，有 ( ) = (2 ― ) + ―1― ，故 ( ) = 2 ― + ―1― ，
< ―2 < < < ―1 ( 1)一 ( 2)不妨设 1 2，则 1 2 ，都有 ― > ―1，即 ( 1) ― ( 2) < ―( 1 ― 2)，1 2
变形可得 ( 1) + 1 < ( 2) + 2，

设 ( ) = ( ) + = 2 + ―1― ，则 ( )在区间( ―2, ― 1)上为增函数，
当 > 0时， ( )在(1 + , + ∞)和( ―∞, + 1)上单调递减，不符合要求，舍去，
当 < 0时， ( )在(1 + , + ∞)和( ―∞, + 1)上单调递增，要使 ( )在区间( ―2, ― 1)上为增函数，则必有
1 + ≤ ―2或 ―1 ≤ 1 + ，解可得 ≤ ―3或0 > ≥ ―2，
当 = 0时， ( ) = ( ) + = 2为常函数，不符合要求，
综上， 的取值范围为( ―∞, ― 3] ∪ [ ― 2,0)
故选：C．
6.已知函数 ( ) | 4＝ ― |在区间[2，5]的最大值为 2，则 t 的值为（ ） ―1
A．2 B．3 C．2 或 3 D．-1 或 6
【答案】C
【分析】根据绝对值函数的特性对 进行讨论即可得到答案.
( ) = | 4 | 4【详解】由函数 ― ，令 ( ) = 0，得 = ―1 +1，
4
当 +1 ≤ 2，即 ≥ 4时， ( )去绝对值后的函数在区间[2,5]上为单调递增函数，
∴ 函数 ( )的最大值 (5) = | 4 ― | = 2，解得 = 3（舍）或 = ―1（舍），5―1
4
当 +1 ≥ 5，即 ≤ 1， ( )去绝对值后的函数在区间[2,5]上为单调递减函数，
∴ 4函数 ( )的最大值 (2) = | ― = 2，解得 = 6（舍）或 = 2（舍），2―1 |
2 < 4当 +1 < 5，即1 < < 4，
( ) [2,5] (2) = | 4在区间 上的最大值为 ― | = 2或 (5) = | 4 ― = 2，2―1 5―1 |
解得 = 3或 = 2.
综上： 的值为 = 3或 = 2.
故选：C.
【点睛】本题考查绝对值函数的最值，利用单调性是关键，属于中档题.
7.若对 1 ∈ [1,2], 2 ∈ [1,2]，使不等式4 22 ―( 21 +3 1 ― ) 2 +1 ≤ 0成立，则 的取值范围是（ ）
A．[1, + ∞) B 3． , + ∞ C．[2, + ∞) D 15． , + ∞
2 4
【答案】C
【分析】根据题意可得 4 + 1 ≤ 2 12 1 +3 1 ― ，利用对勾函数的单调性可求得 4 2 + = 52 min
，从
2 min
而将问题再转化为 ∈ [1,2], 21 1 +3 1 ― ≥ 5恒成立，然后分情况求 的取值范围.
1
【详解】 ∵ 4 2 2 22 ― 1 + 3 1 ― 2 +1 ≤ 0, 2 ∈ [1,2], ∴ 4 2 + ≤ 1 +3 1 ― ，2
1
即对 1 ∈ [1,2], 2 ∈ [1,2]，使不等式4 2 + ≤
2
1 +3 1 ― 成立，2
∴ 4 + 1 ≤ 22 1 +3 1 ― ，2 min
1
∵对勾函数 = 4 2 + 在[1,2] ∴ 4 +
1
上单调递增， 2 = 5 ．2 2 min
∵ 1 ∈ [1,2], 21 +3 1 ― ≥ 5恒成立，
= 21 +3 1 ― ― 5的对称轴 = ―
3
2 ，
― 3 ∴ ≤ 12 ，解得 ≥ 2，
1 + 3 ― ≥ 5
― 3 ≥ 2
或 2 ，无解，
4 + 6 ― ≥ 5
1 < ― 3 < 2
或 29 2 ― 9
2 ，无解，
― ≥ 5
4 2
综上 ≥ 2，
即 的取值范围为[2, + ∞)．
故选：C．
8.已知函数 ( ) = | 2 ― ― |，当 ∈ [ ―2,2]时设 ( )的最大值为 ( , )，则当 ( , )取到最小值时 =
（ ）
A．0 B 1．1 C．2 D．2
【答案】A
2
【解析】由二次函数的性质，求出 ( , ) = max{|4 + 2 ― |,|4 ― 2 ― |,| + |}，结合选项 取不同值时4
( , )的不同情况，进而求出结果.
【详解】 ( ) = | 2
2
― ― |=|( ― )2 ― ― |，2 4
当 ∈ [ ―2,2]时设 ( )的最大值，在端点处或最低点处取得
2
∴ ( , ) = max{|4 + 2 ― |,|4 ― 2 ― |, | 4 + | }
(0, ) = max{|4 ― |,|4 ― |,| |} = , ≥ 2|4 ― |, < 2 ，最小值为 2
1 + , ≥ 2 7
(1, ) = max{
| | 1
|6 ― |,|2 ― |,|1 + |}= 4 8 ，最小值为34 |6 ― |, < 2 7 8
8
(2, ) = max{|8 ― |,| ― |,|1 + |} = |1 + |, ≥ 3.5|8 ― |, < 3.5 ，最小值为 4.5
1
1 + , ≥ 2
15
, = max{|5 ― |,
| |
|3 ― |, 1 + } = 16 32
17
，最小值2
2 |16 | |5 ― |, < 2 15 32
32
综上可得， ( , )取到最小值时 = 0.
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于
难题.
二、多选题
9 ( ) = 4．已知函数 | |―2，则（ ）
A． ( )的定义域为{ | ≠± 2}
B． ( )在(2, + ∞)上单调递减
C． ( ( ―5)) = ―6
D． ( )的值域是( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)
【答案】ABC
【分析】对于 A：根据分式的意义运算求解；对于 B：根据单调性的性质分析判断；对于 C：直接代入运
算即可；对于 D：分析可知| | ―2 ∈ [ ―2,0) ∪ (0, + ∞)，分类讨论即可得结果.
【详解】对于选项 A：令| | ―2 ≠ 0，解得 ≠± 2，
所以 ( )的定义域为{ | ≠± 2}，则 A 正确；
4
对于选项 B：若 > 2，则 ( ) = ―2，
因为 = ― 2在(2, + ∞)上单调递增，且 = ― 2 > 0，
4
可知 ( ) = ―2在(2, + ∞)上单调递减，故 B 正确；
C = 4对于选项 ：因为 ( ―5) 3，所以 ( ( ―5)) = ―6，故 C 正确；
对于选项 D：因为 ≠± 2，则| | ≥ 0，且| | ≠ 2，可得| | ―2 ∈ [ ―2,0) ∪ (0, + ∞)，
4
当| | ―2 ∈ [ ―2,0)时， ( ) = | |―2 ≤ ―2；
4
当| | ―2 ∈ (0, + ∞)时， ( ) = | |―2 > 0；
所以 ( )的值域是( ―∞, ― 2] ∪ (0, + ∞)，故 D 错误；
故选：ABC．
10.若二次函数 ( ) = 2 +2 + 1在区间[ ―2,3]上的最大值为 6，则 a 等于（ ）
A． ― 13 B
1
．3 C． ―5 D．5
【答案】BC
【分析】对实数 的取值进行分类讨论，分析函数 ( )在区间[ ―2,3]上单调性，结合 ( )max = 6可求得实
数 的值.
【详解】由题意可知： ≠ 0，
当 > 0时，二次函数 ( )图象的对称轴为直线 = ― 1，
所以，函数 ( )在[ ―2, ― 1]上单调递减，在[ ―1,3]上单调递增，
且 ( ―2) = 1, (3) = 15 + 1 > 1，
所以， ( ) 1max = (3) = 15 + 1 = 6，解得 = 3，合乎题意；
当 <0时，二次函数 ( )图象的对称轴为直线 = ― 1，
所以，函数 ( )在[ ―2, ― 1]上单调递增，在[ ―1,3]上单调递减，
所以， ( )max = ( ―1) = ― + 1 = 6，解得 = ―5，合乎题意.
故选：BC.
11.已知函数 ( )的定义域为 ，若存在区间[ , ] ，使得 ( )满足：（1） ( )在[ , ]上是单调函数；
（2） ( )在[ , ]上的值域是[2 ,2 ]，则称区间[ , ]为函数 ( )的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”
的有（ ）
A． ( ) = 2 B． ( ) = 2
C 1 1． ( ) = D． ( ) = +
【答案】ABC
【分析】根据“倍值区间”的定义分别判断各选项.
【详解】根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足 ( )在[ , ] ( ) = 2 上是单调函数，其次有 ( ) = 2 或
( ) = 2
( ) = 2 ，
依次分析选项：
对于 A， ( ) = 2 ，在区间在[ , ]上是增函数，其值域是[2 ,2 ]，则区间[ , ]为函数 ( )的“倍值区
间”；
对于 B， ( ) = 2，在区间[0,2]上是增函数，其值域为[0,4]，则区间[0,2]是函数 ( )的“倍值区间”；
对于 C， 1( ) = 1 ，在区间 ,1
1
上是减函数，其值域为[1,2]，则区间 ,1 是函数 ( )的“倍值区间”；
2 2
1
对于 D， ( ) = + ，当 > 0时，在区间(0,1]上单调递减，在区间[1, + ∞)上单调递增，
( ) = 2 ( ) = 2
若函数存在倍值区间[ , ]，则有 ( ) = 2 或 ( ) = 2 ，
≥ 1 ≤ 1
( ) = 2 + 1 = 2
对于 ( ) = 2 ，有 1 ，解可得 = = 1，不符合题意，
≥ 1 + = 2
( ) = 2 + 1 = 2
对于 ( ) = 2 ，有 1 ，变形可得 2 ―2 + 1 = 0且 2 ―2 + 1 = 0，必有 = ，不符合
≤ 1 + = 2
题意，
故当 > 0时， ( )不存在“倍值区间”；同理可得当 < 0时， ( )不存在“倍值区间”，
故 ( )在定义域内不存在“倍值区间”，
故选：ABC.
三、填空题
12．函数 = | ― 2 + 4 + 5|的单调递增区间是 ．
【答案】( ― 1,2),(5, + ∞)
【分析】作出函数 = | ― 2 +4 + 5|的图象，根据图象即可求出结果.
2
【详解】函数 = | ― 2 +4 + 5| = ― + 4 + 5, ∈ [ ― 1,5] 2 ― 4 ― 5, ∈ ( ― ∞, ― 1) ∪ (5, + ∞) ，
由| ― 2 +4 + 5| = 0，解得 = ―1或 = 5，
函数 = | ― 2 +4 + 5|的图象如图所示，
由图可知，函数 = | ― 2 +4 + 5|的单调递增区间为( ― 1,2),(5, + ∞).
故答案为：( ― 1,2),(5, + ∞).
13. = ―1已知 +1 在( ―1, + ∞)上是严格增函数，则实数 a 的取值范围为 ．
【答案】( ―1, + ∞)
【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解.
= ( +1)―1― 【详解】因为 ―1 ，
= ― +1所以 +1，
所以 = ― 1 +1在( ―1, + ∞)上严格增函数
所以 + 1 > 0， > ―1．
故答案为：( ―1, + ∞)
14.小明在研究函数 ( ) = +

时，发现 ( )具有其中一个性质：如果常数 > 0，那么函数 ( )在区间
0, 上单调递减，在区间 , + ∞ 上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数 ( )
= + ―1 1 的定义域为 , + ∞

，值域为 , + ∞ ，则实数 a 的值是 ．
2 3
9
【答案】18 + 12 2或10
1
【分析】当 ≤ 1判断单调性，进而确定最值即可求范围，当 > 1再讨论 ― 1,2的大小关系，结合 ( )
= + 1 的性质，判断 , + ∞ 上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.2
― 1 ≤ 0 ≤ 1 = + ―1 1【详解】当 时，即 ， ( ) 在[2, + ∞)上递增，

故当 = 1 1 1 92时， ( )min = = 2 +2( ― 1) = 3，解得： = 10，满足题设；2
当 ― 1 > 0，即 > 1，
1 5 1
若 ― 1 ≥ 2，即 ≥ 4时，函数在[2, ― 1)上递减，在( ― 1, + ∞)上递增，
―1
故 ( )min = ( ― 1) = ― 1 + = ―1 3，
可得 = 18 + 12 2或 = 18 ― 12 2（舍去）；
1 5 1
若 ― 1 < 2，即1 < < 4时，函数在[2, + ∞)上递增，
( ) = 1 = 1
9
min 2 +2( ― 1) =2 3，解得： = 10，不满足题设.
故答案为：18 + 12 92或10.
四、解答题
15．已知函数 ( ) = + 的图像经过点 (1,3), (2,0).
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断函数 ( )在(0, + ∞)上的单调性并证明；
(3)当 ∈ 1 , 时， ( )的最小值为 3，求 的值.
2
4
【答案】(1) ( ) = ― +
(2) ( )在(0, + ∞)上单调递减；证明见解析
(3)1
【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式；
（2）根据单调性定义证明；
（3）结合单调性得最小值从而可求解．

【详解】（1）由题意知函数 ( ) = + 的图像经过点 (1,3), (2,0)，
+ = 3
= ―1故 2 + = 0 ，解得 = 4 ，
2
故 ( ) = ― + 4 ；
（2）函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
证明：设 1, 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 < 2，
4 4
则 ( 1) ― ( 2) = ― 1 + ―( ― 2 +1 )2
= ( ― ) + 4( 2― 1)
+4
2 1 = ( 2 ― 1) ×
1 2
1 2 1
，
2
+4
因为 2 ― 1 > 0,
1 2
1 2 > 0，故( 2 ― 1) × > 0，1 2
即 ( 1) > ( 2)，故函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减.
（3）由（2）知 ( ) [1在 2, ]是减函数，
因此 ( )min = ( ) = ― +
4
= 3，解得 = 1或 = ―4，
1
又 > 2，所以 = 1．

16. 设函数 ( ) = 2+1．
(1)判断函数 ( )在区间[ ―1,1]上的单调性，并用定义证明结论；
2
(2)若 ∈ 1 ,3 ，求函数
( )
( ) =
2 2( )
的值域．
【答案】(1)函数 ( )在[ ―1,1]上单调递增；证明见解析
(2) 50 2
41 ，
【分析】
（1）通过定义法作差判断正负求解；
4 2 2
（2）由 ( ) = +2 +1 2 2 1 4+1 = 1 + 4+1 = 1 + 2 ( )，由复合函数的单调性知函数 ( )在 ,1 上单调递增，在2
1，3 上单调递减，即可求解．
【详解】（1）函数 ( )在[ ―1,1]上单调递增；
证明：任取 1, 2 ∈ [ ―1,1]，且 1 < 2，
1 2 1+ 2 2
则 ( ) ― ( ) = ― = 1 2
― 2 1+ 1
1 2 1+ 21 1+ 22 1+ 21 1+ 22
( 1 ― 2) (1 ― 1 2)=
1 + 21 1 + 22
因为 ―1 ≤ 1 < 2 ≤ 1，
所以 1 ― 2 < 0,1 ― 1 2 > 0，
所以 ( 1) ― ( 2) < 0，
得 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在[ ―1,1]上单调递增；

（2）解：因为 ( ) = 2+1，
2 2
则 ( 2) = 4+1，[ ( )]
2 = 4+2 2+1，
4 ( ) = +2
2+1 2
所以 4+1 = 1 +
2
4+1 = 1 + 2 (
2)，
由（1）的证明过程知，函数 ( )在[1, + ∞)上单调递减，
所以由复合函数的单调性可得，
函数 ( 2)在[0,1]上单调递增，在[1, + ∞)上单调递减，
∈ 1 ,3 ( ) 1所以当 时，函数 在 ,1 上单调递增，在 1，3 上单调递减，2 2
所以 ( )max = (1) = 1 + 2 (1) = 2，
1 = 1 + 2 (1又 ) = 25 50， (3) = 1 + 2 (9) = ，
2 4 17 41
25
显然17 >
50 50
41，故 ( )min = 41，
所以函数 ( ) 50的值域为：
41 ，
2
17. 已知 ( )是定义在 R 上的函数，且对任意实数 , ， ( + 2 ) = ( ) +2 ( ).
(1) (1) = ―2 1若 ，求 ， 2 的值.
2 3
(2)若 > 0时恒有 ( ) < 0，试判断函数 ( )单调性，并说明理由.
【答案】(1) 1 = ―1 2， = ― 4 4
2 3 3
― 3.
(2) ( )为R上的减函数，理由见解析.
1 2
【分析】（1）取 ＝ ＝0，可得 (0)＝0，取 = 0， = 1 22，解得 ，取 = = 3，解得 ，即可得出答2 3
案.
―
2 ( + 2 ) ― ( ) = 2 ( ) = 2 1（ ）由题意可知 ，设 2＞ 1，令 2 ，则 > 0，作差 ( 2) ― ( 1)，进而可
得答案.
【详解】解：（1）取 ＝ ＝0，则 (0)＝ (0) +2 (0)， (0) = 0，
取 = 0, = 12，则 (1) = (0) +2
1 1， = ―1，
2 2
取 ＝0, ＝1，解得 (0 + 2) = (0) +2 (1),则 (2) = ―4，
= = 2 4取 3，则 (2) =
2 +2 2 2，解得 = ―
3 3 3 3
，
（2）由题意可知 ( + 2 ) ― ( ) = 2 ( )，
2― 1
设 2＞ 1，令 = 2 ，则 > 0，
所以 ( 2) ― ( 1)＝ ( 1 + 2 ) ― ( 1)＝2 ( ) < 0，
所以 ( 2) < ( 1)，
所以函数在 R 上为减函数.
| |, ∈ ( ―∞,1]
18.已知函数 ( ) = 3 + 2 , ∈ (1,2)
―2
(1)写出 ( )的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）
(2)解不等式 1 ― 2 +2 ( ) < 0
(3)若 1, 2 ∈ ( ―∞,2)满足 ( 1) = ( 2)，且 1 ≠ 2，求证： 1 + 2 < 2
【答案】(1)在( ―∞,1]上单调递增，在(1,2)上单调递减；
(2) ∈ ―1, ― 3 ；
3
(3)证明见解析
【分析】（1）分类讨论得出在不同区间函数的表达式，即可得出单调性；
（2）通过分类讨论即可求出不等式的解；
（3）做出函数图象，结合函数单调性进行分类讨论，即可证明结论
【详解】（1）由题意，
| |, ∈ ( ―∞,1]
在 ( ) = 3 + 2 , ∈ (1,2) 中，
―2
当 < 0时， ( ) = | | = ― 2，函数单调递增，
当0 ≤ < 1时， ( ) = | | = 2，函数单调递增，
当1 < < 2时， 2( ) = 3 + ―2，函数单调递减，
∴在( ―∞,1]上单调递增，在(1,2)上单调递减；
（2）由题意及（1）得，
| |, ∈ ( ―∞,1]
在 ( ) = 3 + 2 , ∈ (1,2) 中， 1 ― 2 +2 ( ) < 0，
―2
1 ― 2 ≥ 0, ∴ ∈ [ ―1,1]，
① ∈ [ ―1,0]，由不等式 1 ― 2 +2 ( ) < 0可得，
1 ― 2 ―2 2 < 0， ∴ ∈ ―∞, ― 3 ∪ 3 , + ∞ ，
3 3
所以 ∈ ―1, ― 3 ；
3
② ∈ (0,1]，不等式 1 ― 2 +2 ( ) < 0即1 ― 2 +2 2 < 0, ∴ ∈ ；
综上， ∈ ―1, ― 3 ；
3
（3）由题意（1）及（2）得，
| |, ∈ ( ―∞,1]
在 ( ) = 3 + 2 , ∈ (1,2) 中，大致图象如图：
―2
当 ∈ ( ―∞,1]时，函数单调递增，当 ∈ (1,2)时，函数单调递减，
则若 1, 2 ∈ ( ―∞,2)满足 ( 1) = ( 2)，则 1 < 1 < 2 < 2，
由图象知
①若 1 ≤ 0，则显然 1 + 2 < 2，
②若 1 > 0，要证明 1 + 2 < 2，则要证 2 < 2 ― 1，
注意到 2,2 ― 1 > 1，且 ( )在(1,2)上递减，
则可证明 ( 2) > (2 ― 1)，
∵ ( 1) = ( 2)，则可证明 ( 1) > (2 ― 1)，
构造函数 ( ) = ( ) ― (2 ― ), ∈ (0,1)，则 ( ) = 2 ― 3 ― 2 ，

2 2 2( ― )
对任意的0 < 1 < 2 < 1, ( 1) ― ( 2) = 2 + ― 2 ― = 2 2
2 1
1 ― +1 2 2 1 2 1 2
= ( ― ) ( + ) ― 21 2 1 2 ， 1 2
2 2
∵ 1 + 2 < 2, 1 2 < 1, > 2, 1 ― 2 < 0， ∴ ( 1 + 2) ― < 0，1 2 1 2
∴ ( 1) ― ( 2) > 0, ∴ ( )在(0,1)上单调递减，
∵ (1) = (1) ― (1) = 0, ∴ ∈ (0,1)时 ( ) > (1) = 0，即 ( ) > (2 ― )，
∴ ( 1) > (2 ― 1)，从而 1 + 2 < 2得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性，解不等式和单调性证明，考查学生的分类讨论和证明能
力，具有较强的综合性.
19．若函数 ( )与 ( )满足：对任意的 1 ∈ ，总存在唯一的 2 ∈ ，使 ( 1) ( 2) = 成立，则称 ( )是
( )在区间 上的“ 阶伴随函数”；对任意的 1 ∈ ，总存在唯一的 2 ∈ ，使 ( 1) ( 2) = 成立，则称
( )是区间 上的“ 阶自伴函数”．
(1)判断 ( ) = 2 +1是否为区间[0,3]上的“2 阶自伴函数”？并说明理由：
(2) 1若函数 ( ) = 3 ― 1为区间[2, ]上的“1 阶自伴函数”，求 的值；
(3)若 4( ) = +2是 ( ) =
2 ―2 + 2 ―1在区间[0,2]上的“2 阶伴随函数”，求实数 的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)1；
(3)[ ― 2,2 ― 3] ∪ [ 3,2 + 2].
【分析】（1 2）根据给定的定义，取 1 = 2，判断 ( 2) = 5 在[0,3]没有实数解，即可得解.
（2 1）根据给定的定义，当 1 ∈ [2, ]时，用 1表示 2并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即
得.
（3）根据给定的定义，函数 ( )在区间[0,2]上的值域包含函数 ( )在区间[0,2]上的值域，再结合二次函
数的性质，分类讨论即可求解．
【详解】（1）假定函数 ( ) = 2 +1是区间[0,3]上的“2 阶自伴函数”，
取 1 = 2， ( 1) = (2) = 5，由 ( 1) ( 2) = 2，得5( 22 +1) = 2，显然此方程无实数解，
所以函数 ( ) = 2 +1不是区间[0,3]上的“2 阶自伴函数”.
（2）函数 ( ) = 3 ― 1为区间[
1
2, ]上的“1 阶自伴函数”，
1 1
则对任意 1 ∈ [2, ]，总存在唯一的 2 ∈ [2, ]，使得 ( 1) ( 2) = 1，
1 1
3 ―1 = = 1 + = 1
1 1
即 2 3 ―1，整理得 2 3 3(3 ―1)，显然函数 2 3 +1 1 3(3 1―1)在[2, ]上单调递减，
1
且当 1 = 2时， 2 = 1，当 1 = 时，
1 1
2 = 3 + 9 ―3，
因此对[1 12, ]内的每一个 1，在[3 +
1
9 ―3,1]
1
内有唯一 2值与之对应，而 2 ∈ [2, ]，
≥ 1
于是[1 1 1 ≥ 13 + 9 ―3,1] [2, ]，则有 1 + 1 ≥ 1 ，解得 ≤ 1 ，即 = 1，
3 9 ―3 2
所以 的值是 1.
（3 4）由函数 ( ) = +2在[0,2]上单调递减，得函数 ( )的值域为[1,2]，
( ) = 4由函数 是 ( ) = 2 ―2 + 2 +2 ―1在区间[0,2]上的“2 阶伴随函数”，
得对任意的 1 ∈ [0,2]，总存在唯一的 2 ∈ [0,2]时，使得 ( 1) ( 2) = 2成立，
2
于是 ( 2) = ( ) ∈ [1,2]，则 ( ) =
2 ―2 + 2 ―1在区间上[0,2]的值域必定包含区间[1,2]，
1
且 ( )的值域在[1,2]对应的自变量是唯一的，而函数 ( ) = 2 ―2 + 2 ―1图象开口向上，对称轴为
= ，
显然 (0) = 2 ―1， (2) = 2 ―4 + 3，
① ≤ 0 ( ) [0,2] ( )min = (0) ≤ 1当 时， 在 上单调递增，则 ( )max = (2) ≥ 2 ，
≤ 0
即 2 ― 1 ≤ 1 ，解得 ― 2 ≤ ≤ 0；
2 ― 4 + 3 ≥ 2
②当 ≥ 2时， ( ) [0,2] ( )min = (2) ≤ 1在 上单调递减，则 ( )max = (0) ≥ 2 ，
≥ 2
即 2 ― 4 + 3 ≤ 1 ，解得2 ≤ ≤ 2 + 2；
2 ― 1 ≥ 2
③当0 < ≤ 1时， ( )在[0, ] (0) < 1上单调递减，在[ ,2]上单调递增，则 ( )max = (2) ≥ 2 ，
0 < ≤ 1
即 2 ― 1 < 1 ，解得0 < ≤ 2 ― 3；
2 ― 4 + 3 ≥ 2
④ 1 < < 2 ( ) [0, ] [ ,2] (2) < 1当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ( )max = (0) ≥ 2 ，
1 < < 2
即 2 ― 4 + 3 < 1 ，解得 3 ≤ < 2，
2 ― 1 ≥ 2
所以 a 的取值范围是[ ― 2,2 ― 3] ∪ [ 3,2 + 2].
【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m 阶自伴函数”或“m 阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的
类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当0 < < 2时，
要考虑对称轴在(0,2)区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出 a 的范围.3.2.1 函数的单调性与最值
课程标准 学习目标
（1）掌握函数单调性的概念;
（1）借助函数图象, 会用符号语言表达函数的
（2） 会利用函数的单调性概念证明函数的单调性；
单调性、最大值、最小值, 理解它们的作用和
（3）会判断函数的单调性；
实际意义。
（4）会求函数的最值.（难点)
知识点 01 函数的单调性
(1)增函数和减函数
一般地，设函数 = ( )的定义域为 ，区间 ∈ :
如果 1 , 2 ∈ ，当 1 < 2时，都有 ( 1) < ( 2)，那么就说 ( )在区间 上单调递增(左图).特别地，当函
数 ( )在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果 1 , 2 ∈ ，当 1 < 2时，都有 ( 1) > ( 2)，那么就说 ( )在区间 上单调递减(右图).特别地，当函
数 ( )在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
注 ① = 1 在(0, + ∞)上单调递减，但它不是减函数.
② 1 , 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的 1 , 2有三个特征：一是任意性，即任意取 1 ,
2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 1 <
2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2) 单调性
如果函数 = ( )在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 = ( )在这一区间具有(严格的)单调性．区
间 叫做函数 = ( )的单调区间．
注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.
② = 1, 为有理数 有的函数无单调性．如函数 0, ，它的定义域是( ― ∞, + ∞)，但无单调性可言．为无理数
2 单调性概念的拓展
① 若 = ( )递增， 2 > 1，则 ( 2) > ( 1).
② 若 = ( )递增， ( 2) ≥ ( 1)，则 2 ≥ 1.
= ( )递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取 1 , 2 ∈ ，且 1 < 2；
(2) 作差 ( 1) ― ( 2)；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差 ( 1)－ ( 2)的正负)；
(5) 下结论(指出函数 ( )在给定的区间 上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数 = 增函数，减函数+减函数 = 减函数；
但增函数 × 增函数不一定是增函数，比如 = ， = ― 2均是增函数，而 = ( ― 2)不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果 = ( )( ∈ ) , = ( )( ∈ ) , 则 = [ ( )] = ( )( ∈ )称为 、 的复合函数；
= 1比如： ( ) 2+ ( ( ) =
1
和 ( ) =
2 + 的复合函数)；
( ) = 1 ― 2 ( ( ) = 和 ( ) = 1 ― 2 的复合函数)；
1
( ) = 2 ( ( ) = 2 和 ( ) =
1
的复合函数).
(2) 同增异减
设函数 = ( )( ∈ )的值域是 ，函数 = ( )( ∈ ) ，
若 = ( ), = ( )在各自区间单调性相同，则复合函数 = [ ( )]在区间 上递增；
若 = ( ) , = ( )在各自区间单调性不同，则复合函数 = [ ( )]在区间 上递减.
【即学即练 1】

函数 ( ) = 1― 在（ ）
A．( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)上是增函数 B．( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)上是减函数
C．( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是增函数 D．( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是减函数
知识点 02 函数的最值
一般地，设函数 = ( )的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1) ∈ ，都有 ( ) ≤ ；(2) 0 ∈ ，使得 ( 0) = ；
那么，我们称 是函数 = ( )的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.
【即学即练 2】
已知max{ , } = , ≥ 2 , < ，设 ( ) = max{ ― 4 ― 2, ― + 2}，则函数 ( )的最小值是（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
【题型一：函数单调性的概念】
例 1．下列说法中正确的有（ ）
①若 x1，x2∈I，当 x1②函数 y＝x2在 R 上是增函数；
③ 1函数 y＝－ 在定义域上是增函数；
④函数 y 1＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
变式 1-1．若函数 ( )在区间[1,3)和[3,5]上均为增函数，则函数 ( )在区间[1,5]上（ ）
A．一定是增函数 B．没有单调性
C．不可能是减函数 D．存在减区间
变式 1-2．函数 ( )的递增区间是( ―2,3)，则函数 = ( + 5)的递增区间是（ ）
A．(3,8) B．( ―7, ― 2) C．( ―2,3) D．(0,5)
【方法技巧与总结】
理解函数单调性的概念，要注意单调区间中 1 , 2的任意性.
【题型二：定义法判断或证明具体函数单调性】
2
例 2．已知函数 ( ) = + ，且 (1) = 2.
(1)求 .
(2)用定义证明函数 ( )在(1, + ∞)上是增函数.
变式 2-1．已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2 +1， ( ) = ( ) ( )．若不等式 ( ) ― ( ) ― 3 ≤ 0的解集为
[ ―1,2].
(1)求 , 的值及 ( )；
(2)判断函数 ( )在区间(0,1)上的单调性，并利用定义证明你的结论.
【方法技巧与总结】
定义法判断或证明函数单调性的解题步骤
(1) 任取 1 , 2 ∈ ，且 1 < 2；
(2) 作差 ( 1) ― ( 2)；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差 ( 1)－ ( 2)的正负)；
(5) 下结论(指出函数 ( )在给定的区间 上的单调性)．
【题型三：求函数的单调区间】
例 3．下列函数中，在[1, + ∞)上为增函数的是（ ）
A． = ( ― 2)2 B． = 1| ― 1| C． = +1 D． = ― ( + 1)
2
变式 3-1．下列函数在(0,+ ∞)上不是增函数的是（ ）
A． =3 +5 B． = 2+4 C． =3- D． = 2+2 +4
变式 3-2．已知函数 ( ) = ― | | + 2 ，则下列结论正确的是（ ）
A．增区间是(0, + ∞) B．减区间是( ― ∞, ― 1)
C．增区间是( ― ∞,1) D．增区间是( ― 1,1)
【方法技巧与总结】
判断函数单调性的方法
① 定义法
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数 = 增函数，减函数+减函数 = 减函数；
但增函数 × 增函数不一定是增函数，比如 = ， = ― 2均是增函数，而 = ( ― 2)不是.
【题型四：求复合函数的单调性】
例 4．下列结论正确的是（ ）
1
A．函数 ( ) = 2 的单调增区间是 ―1 ( ―∞, ― 1]
B．函数 ( ) =
3 +2
2 +1在定义域内单调递减
C．函数 ( ) = 2 ―2| | ―3 的单调递增区间是( ―1,0)，(1, + ∞)
― 2 ― 4 + 1, < 0
D．函数 ( ) = ―2 + 1 , > 1 的单调递减区间是[ ―2,0) ∪ (1, + ∞)
2
变式 4-1．已知 ( ) = 8 + 2 ― 2，若 ( ) = (2 ― 2)，则 ( )（ ）
A．在区间( ― 1,0)内是减函数 B．在区间(0,1)内是减函数
C．在区间( ― 2,0)内是增函数 D．在区间(0,2)内是增函数
变式 4-2．函数 = 2 ― ― 2 + 4 的单调递增区间是（ ）
A．[0,4] B．( ― ∞,2] C．[0,2] D．[2,4]
1
变式 4-3．函数 = ― 2+2 +3的单调减区间是（ ）
A．(1,3) B． ―∞，1 C．( ―1,1) D．[ ―1,1]
【方法技巧与总结】
1 复合函数的概念
如果 = ( )( ∈ ) , = ( )( ∈ ) , 则 = [ ( )] = ( )( ∈ )称为 、 的复合函数；
1 1
比如： ( ) = 2 2+ ( ( ) = 和 ( ) = + 的复合函数)；
( ) = 1 ― 2 ( ( ) = 和 ( ) = 1 ― 2 的复合函数)；
1
( ) = 2 ( ( ) = 2 和 ( ) =
1
的复合函数).
2 复合函数的单调性：同增异减.
【题型五：根据函数的单调性求参数】
+ 2 ―35 , ≥ 1例 ．已知函数 ( ) = 在 R 上单调递增，则实数 m 的取值范围为（ ）
(4 + ) ― 9, < 1
A．[ ―3,2) B．[ ―3,2] C．( ―3,2) D．[ ―2,3]
― 2 ― ― 5, ≤ 1
变式 5-1．已知函数 ( ) = , > 1 是 上的增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）

A． ―3 ≤ ≤ 0 B． ―3 ≤ ≤ ―2
C． ≤ ―2 D． < 0
变式 5-2 2 ―2 +1．若函数 ( ) = ― 2 +4 与 ( ) = ―2 在区间[1,2]上都是减函数，则 的取值范围（ ）
A．( ― ∞,1] B 1 1． ― 1 ,1 C． ― 1 , 1 D．( ― , )
2 2 2 2 2
2
变式 5-3．若函数 ( ) = +2 + +1 在[1, + ∞)上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ― ∞,4] B．[0,1] C．( ― ∞,5] D．[1,2]
【方法技巧与总结】
根据函数单调性求参数的值或范围，可采取数形结合的方法，此时要特别注意一些临界值的位置；要分类
讨论的话，抓好分类讨论的标准，做到不重不漏！
【题型六：利用函数单调性求最值】

例 6．函数 ( ) = +
4
+ 2+4( > 0)的最小值为（ ）
A 10 17 26．2 B． 3 C． 4 D． 5
变式 6-1．已知 ( 1 ― 2 ) = ― 1 ― 2 ，则函数 ( )的值域为（ ）
A 3．[1, + ∞) B． , + ∞
2
C ―∞, 1． D．( ―∞,1]
2
+
变式 6-2．已知正数 ， ， 满足 2 = ，则 + + 的最小值为（ ）
A 1 B 3 5． ．2 C．2 D．2
【方法技巧与总结】
求函数的最值或值域，可以利用函数的单调性进行求解.
【题型七：根据函数最值求参数】
例 7 16．已知函数 ( ) = ，记函数 ( ) = ( ) + + 1,(2 ≤ ≤ )，其中实数 > 2，若 ( )的值域为
[9,11]，则 a 的取值范围是（ ）
A．[2,6] B．[4,8] C．[6,10] D．[8,12]
变式 7-1．若 ( ) = | + 2| + |3 ― |的最小值是 4，则实数 的值为（ ）
A．6 或 ―18 B． ―6或 18
C．6 或 18 D． ―6或 ―18
变式 7-2 3．已知函数 ( ) = + + | ― |在区间[1,3]上的最大值是 4，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞,3] B．(1,3) C．( ―∞,1] D．[3, + ∞)
变式 7-3．已知函数 ( ) = | 2 ― 2 + | + 在区间[0，2]上的最大值是 1，则 a 的取值范围是（ ）
A 0, 1 B 1． ． ―∞,
2 2
C 1． , + ∞ D． 0, 1 ∪ 1 , + ∞
2 2 2
【方法技巧与总结】
处理函数最值或值域的参数问题，可先结合函数图象了解函数的单调性，要特别注意取到最值的临界值位
置，若要分类讨论，要抓好分类的标准！
【题型八：抽象函数的单调性综合问题】
例 8．定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ( ) = ( ) + ( )， (3) = 1，且 > 1时， ( ) > 0.
(1)求 (1)；
(2)判断 ( )在(0, + ∞)上的单调性并证明；
(3)若 ( ) + ( ― 8) ≤ 2，求 的取值范围.
变式 8-1．已知函数 ( )的定义域为 ，对任意的 , ∈ ，都有 ( ) ( ) = ( + )．当 < 0时，
( ) > 1，且 (0) ≠ 0．
(1)求 (0)的值，并证明：当 > 0时，0 < ( ) < 1；
(2)判断 ( )的单调性，并证明；
(3)若 (2) = 1 12，求不等式 (5
2 ― 6 ) > 16的解集．
变式 8-2．已知定义在 +上函数 ( )同时满足如下三个条件：
①对任意 、 ∈ +都有 ( ) = ( ) + ( )；
②当 > 1时， ( ) < 0；
③ (3) = ―1．
(1)计算 (9), ( 3)的值；
(2)证明 ( )在(0, + ∞)上为减函数；
(3)有集合 = ( , )| ( 2 + 1) ― (5 ) ― 2 > 0, 、 ∈ + ， = ( , )| + 1 = 0, ∈ + .问：是否存 2 、
在点( 0, 0)使( 0, 0) ∈ ∩ ？
【方法技巧与总结】
1 抽象函数的赋值，往往令x = 0，x = 1，x = y等，多尝试下；
2 判断或证明抽象函数的单调性，采取定义法证明；
3 1求解类似 (5 2 ― 6 ) > 16这种涉及函数的不等式，往往不会直接求出 (5
2 ― 6 )，而利用最好利用函数
的单调性，得到变量的不等式！
一、单选题
1． 下列结论正确的是（ ）
A = 4． 在定义域内是单调递减函数
B．若 ( )在区间[0,2]上满足 (0) < (2)，则 ( )在[0,2]上是单调递增的
C．若 ( )在区间[0,3]上单调递减，则 ( )在(1,2)上单调递减
D．若 ( )在区间(1,2)，[2,3]上分别单调递减，则 ( )在(1,3]上单调递减
2.函数 ( ) = ― 的递增区间为（ ）
A． 0, 1 B．(0,1) C 1． , + ∞ D．(1, + ∞)
4 4
3.已知函数 ( )是定义在(0, + ∞)上的单调函数，且 ∈ (0, + ∞)时，都有 ( ) + 2 = ―1，则 (1) =

（ ）
A．-4 或-1 B．-4 C．-1 D．0
4.已知函数 ( ) = | +1 ― |的值域为(0, + ∞)，且 ( )在[0, + ∞)上单调递减，则 + 的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．( ― 1,1) C．( ― ∞,0) D．(1, + ∞)

5.已知函数 (1 ― ) = + ∈
( 1)― ( )
+ ，若对于任意 1， 2 ( ―2, ― 1)
2
，都有 ― > ―1，则 的取值范围是1 2
（ ）
A．( ―∞, ― 1] ∪ [0, + ∞) B．( ―∞, ― 3] ∪ [ ― 2, + ∞)
C．( ―∞, ― 3] ∪ [ ― 2,0) D．( ―∞, ― 3]
6. ( ) | 4已知函数 ＝ ― |在区间[2，5]的最大值为 2，则 t 的值为（ ） ―1
A．2 B．3 C．2 或 3 D．-1 或 6
7.若对 1 ∈ [1,2], 2 ∈ [1,2]，使不等式4 22 ―( 21 +3 1 ― ) 2 +1 ≤ 0成立，则 的取值范围是（ ）
A．[1, + ∞) B 3． , + ∞ C．[2, + ∞) D 15． , + ∞
2 4
8.已知函数 ( ) = | 2 ― ― |，当 ∈ [ ―2,2]时设 ( )的最大值为 ( , )，则当 ( , )取到最小值时 =
（ ）
A．0 B．1 C 1．2 D．2
二、多选题
9．已知函数 ( ) = 4| |―2，则（ ）
A． ( )的定义域为{ | ≠± 2} B． ( )在(2, + ∞)上单调递减
C． ( ( ―5)) = ―6 D． ( )的值域是( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)
10.若二次函数 ( ) = 2 +2 + 1在区间[ ―2,3]上的最大值为 6，则 a 等于（ ）
A ― 1 B 1． 3 ．3 C． ―5 D．5
11.已知函数 ( )的定义域为 ，若存在区间[ , ] ，使得 ( )满足：（1） ( )在[ , ]上是单调函数；
（2） ( )在[ , ]上的值域是[2 ,2 ]，则称区间[ , ]为函数 ( )的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”
的有（ ）
A． ( ) = 2 B． ( ) = 2
C． 1 1( ) = D． ( ) = +
三、填空题
12．函数 = | ― 2 + 4 + 5|的单调递增区间是 ．
13. = ―1已知 +1 在( ―1, + ∞)上是严格增函数，则实数 a 的取值范围为 ．
14. 小明在研究函数 ( ) = + 时，发现 ( )具有其中一个性质：如果常数 > 0，那么函数 ( )在区间
0, 上单调递减，在区间 , + ∞ 上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数 ( )
= + ―1 1 的定义域为 , + ∞ ，值域为 , + ∞ ，则实数 a 的值是 ．2 3
四、解答题
15．已知函数 ( ) = + 的图像经过点 (1,3), (2,0).
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断函数 ( )在(0, + ∞)上的单调性并证明；
(3)当 ∈ 1 , 时， ( )的最小值为 3，求 的值.
2

16. 设函数 ( ) = 2+1．
(1)判断函数 ( )在区间[ ―1,1]上的单调性，并用定义证明结论；
(2) ∈ 1 = (
2)
若 ,3 ，求函数 ( )
2 2( )
的值域．
17. 已知 ( )是定义在 R 上的函数，且对任意实数 , ， ( + 2 ) = ( ) +2 ( ).
(1)若 (1) = ―2 1 2，求 ， 的值.
2 3
(2)若 > 0时恒有 ( ) < 0，试判断函数 ( )单调性，并说明理由.
| |, ∈ ( ―∞,1]
18.已知函数 ( ) = 3 + 2 , ∈ (1,2)
―2
(1)写出 ( )的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）
(2)解不等式 1 ― 2 +2 ( ) < 0
(3)若 1, 2 ∈ ( ―∞,2)满足 ( 1) = ( 2)，且 1 ≠ 2，求证： 1 + 2 < 2
19．若函数 ( )与 ( )满足：对任意的 1 ∈ ，总存在唯一的 2 ∈ ，使 ( 1) ( 2) = 成立，则称 ( )是
( )在区间 上的“ 阶伴随函数”；对任意的 1 ∈ ，总存在唯一的 2 ∈ ，使 ( 1) ( 2) = 成立，则称
( )是区间 上的“ 阶自伴函数”．
(1)判断 ( ) = 2 +1是否为区间[0,3]上的“2 阶自伴函数”？并说明理由：
(2)若函数 ( ) = 3 ― 1为区间[
1
2, ]上的“1 阶自伴函数”，求 的值；
(3)若 ( ) =
4
+2是 ( ) =
2 ―2 + 2 ―1在区间[0,2]上的“2 阶伴随函数”，求实数 的取值范围．

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