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3.2.2 函数的奇偶性
课程标准 学习目标
（1）理解函数奇偶性的概念;
（2）会判断函数的奇偶性；
（1）结合具体函数, 了解奇偶性的概念和几何
（3）掌握函数奇偶性的性质.
意义。
（4）掌握函数性质（单调性、对称性、周期性）的
综合性问题（难点)
知识点 01 函数奇偶性的概念
1 函数奇偶性的概念
(1) 一般地，设函数 ( )的定义域为 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ( )，那么函数 ( )就叫做偶
函数.
(2) 一般地，设函数 ( )的定义域为 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ― ( )，那么函数 ( )就叫做
奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域 是关于原点对称的.
注 ① 从定义可知，若 是函数定义域中的一个数值，则 ― 也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的
前提是：定义域关于原点对称．如 ( ) = , ∈ ( ― 1,1]是非奇非偶函数.
② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函
数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即 ( ) = 0， ∈ ， 是关于原点对称的实数集．
2 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求 ( ― ) , 看下与 ( )的关系：若 ( ― ) = ( )，则 = ( )是偶函数；
若 ( ― ) = ― ( )，则 = ( )是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于 轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到 (1) ≠ ( ― 1)，则排除 ( )是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数 ( ) = ( ( ))的奇偶性如下图
( ) ( ) ( )
偶函数 偶函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
【即学即练 1】
= 1函数 1+ ―
1
1― 的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.
【详解】由函数解析式可知{ | ≠± 1, ∈ R}，即定义域关于原点对称，
= 1 ― 1 = 1 ― 1又 ( ) 1+ 1― ( ― ) 1― 1+ = ― ( )，
= 1所以函数 1+ ―
1
1― 是奇函数.
故选：A
知识点 02 函数奇偶性的性质
① 偶函数关于 轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数 ( )定义域内含有0，则 (0) = 0；
证明 ∵ ( )为奇函数， ∴ ( ― ) = ― ( )．
令 = 0，则 ( ―0) = ― (0)，即 (0) = ― (0)， ∴ (0) = 0．
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积
(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
【即学即练 2】
1
函数 ( ) = 3 ― 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解.
【详解】因为 ( ) = 3 ― 1 , ∈ ( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞), ( ― ) = ―
3 + 1 = ― ( )，
所以 ( )为奇函数，
当 > 0 1时， 为减函数，
3为增函数，故 ( )为增函数，故 B 选项正确.
故选：B.
【题型一：函数奇偶性的定义与判断】
例 1．下列函数为偶函数是（　 ）
1
A． ( ) = 2 B． ( ) = | | +1

C． ( ) = ( 1 ) ― 3 D． ( ) = ―3 | |
【答案】D
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
1
【详解】对于 A 中，函数 ( ) = 2 = ，可得函数 ( )的定义域为[0, + ∞)，不关于原点对称，所以函数
( )为非奇非偶函数，所以 A 不符合题意；
对于 B 中，函数 ( ) = | | +1，可得函数 ( )的定义域为R，关于原点对称，
且 ( ― ) = ― | ― | +1 = ― | | +1，则 ( ― ) ≠ ( )且 ( ― ) ≠ ― ( )，
所以函数 ( )为非奇非偶函数，所以 B 不符合题意；

对于 C 中，函数 ( ) = ( 1 ) ― 3 = 3― ― 3 3 ，可得函数 ( )的定义域为R，关于原点对称，
且 ( ― ) = 3 ― 3― = ―(3― ― 3 ) = ― ( )，所以函数 ( )为奇函数，所以 C 不符合题意；
对于 D 中，函数 ( ) = ― | |，可得函数 ( )的定义域为R，关于原点对称，
且 ( ― ) = ― | ― | = ― | | = ( )，所以函数 ( )为偶函数，所以 D 符合题意.
故选：D.
变式 1-1．下列函数是奇函数的是（ ）
A． ( ) = 2 +1 B． ( ) = 3 ―1
C． ( ) = 3 +
1
D． ( ) =
4 +2 2
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义判断即可.
【详解】对于 A，因为 ( ) = 2 +1的定义域为R，且 ( ― ) = ( ― )2 +1 = 2 +1 = ( )，所以 ( ) = 2
+1为偶函数；
对于 B，因为 ( ) = 3 ―1的定义域为R，且 ( ― ) = ( ― )3 +1 = ― 3 +1 ≠ ― ( )，所以 ( ) = 3 ―1不
是奇函数；
对于 C，因为 ( ) = 3 +
1 1 1
的定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，且 ( ― ) = ( ― )
3 + = ― 3 ― 3 1― = ― +
= ― 1( )，所以 ( ) = 3 + 为奇函数；
对于 D，因为 ( ) = 4 +2 2的定义域为R，且 ( ― ) = ( ― )4 +2( ― )2 = 4 +2 2 = ( )，所以 ( ) =
4 +2 2为偶函数；
故选：C.

变式 1-2．函数 ( ) = 2 +12 ―1是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【分析】先求函数定义域，再结合奇函数、偶函数的定义进行判断即可.
【详解】令2 ―1 ≠ 0，解得 ≠ 0，即函数 ( )的定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，
2― ( ― ) = +1 1+2

又因为 2― ―1 = 1―2 = ― ( )，
所以函数 ( )为奇函数.
故选：A

变式 1-3．若函数 ( ) = ― +1，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． ( + 1) ―2 B． ( ― 1) ―2 C． ( ― 1) +2 D． ( + 1) +2
【答案】C
1 1
【分析】变形得到 ( ) = + 1 + +1 ―2，从而得到 ( ― 1) +2 = + 为奇函数，其他选项不合要求.

【详解】因为 ( ) = ― = + 1 ―
+1―1
+1 +1 ―1 = + 1 +
1
+1 ―2，
所以 ( ― 1) +2 = +
1
，
由于 ( ) = +
1
定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，
又 ( ― ) = ― ―
1
= ― ( )，
故 ( ) = +
1
为奇函数，故 ( ― 1) +2为奇函数，
其他选项均不合要求.
故选：C．
【方法技巧与总结】
判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求 ( ― ) , 看下与 ( )的关系：若 ( ― ) = ( )，则 = ( )是偶函数；
若 ( ― ) = ― ( )，则 = ( )是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于 轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到 (1) ≠ ( ― 1)，则排除 ( )是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
【题型二：由奇偶性求函数解析式】
例 2．已知函数 = ( )在R上是奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 ―2，则不等式 ( ) > 0的解集是（ ）
A．( ―1,1) B．( ―1,0) ∪ (0,1)
C．( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞) D．( ―∞, ― 3)( ―1,1) ∪ (3, + ∞)
【答案】C
【分析】由题意先得 ( )表达式，从而分类讨论即可求解.
【详解】由题意已知函数 = ( )在R上是奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 ―2，
所以当 = 0时， ( ) = 0，
当 < 0时， ― > 0， ( ) = ― ( ― ) = ― (2― ― 2) = 2 ― 2― ，
当 ≥ 0时，若 ( ) > 0，只需 > 0， ( ) = 2 ―2 > 0，解得 > 1，
当 < 0时，若 ( ) > 0，只需 ( ) = 2 ― 2― < 0，解得 < ―1，
综上所述，不等式 ( ) > 0的解集是( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞).
故选：C.
变式 2-1．已知 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2 ― ，则当 < 0时， ( ) = （ ）
A． ― 2 + B． 2 +
C． 2 ― D． ― 2 ―
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义，当 < 0时, ( ) = ( ― ),可求得答案.
【详解】因为函数 ( )是定义在 上的偶函数，且当 ≥ 0时 ( ) = 2 ― ，
设 < 0，则 ― > 0， ( ) = ( ― ) = ( ― )2 ― ( ― ) = 2 + ,
故选：B．
变式 2-2．已知 ( ), ( )分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ( ) ― ( ) = 3 + 2 + ，则 (1) + (1)
= （ ）
A．1 B．3 C． ―3 D． ―1
【答案】D
【分析】
利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得.
【详解】因 ( ), ( )分别是定义在 上的偶函数和奇函数，则有： ( ― ) = ( ), ( ― ) = ― ( )，
由 ( ) ― ( ) = 3 + 2 + ①，将其中的 取为 ― ，则可化简得： ( ― ) ― ( ― ) = ( ) + ( ) = ― 3 +
2 ― ②，
由①②联立可求得： ( ) = 2, ( ) = ― 3 ― ，于是 (1) + (1) = 1 ― 1 ― 1 = ―1.
故选：D.
变式 2-3．已知 = ( )是定义在R上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = ― 2 +4 ．若函数 ( )在区间
[ ―2, ― 2]上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞,4) B．( ―∞,4]
C．(0,4] D．(4, + ∞)
【答案】C
【分析】利用奇函数性质求解析式，画出函数大致图象，数形结合及已知单调区间求参数范围.
【详解】由题设，令 < 0，则 ― > 0，此时 ( ) = ― ( ― ) = ―[ ― ( ― )2 +4( ― )] = 2 +4 ，
2
所以 ( ) = + 4 , < 0― 2 + 4 , ≥ 0 ，且 = ( )在 = 0处连续，图象如下，
函数 ( )在区间[ ―2, ― 2]上单调递增，由图知： ―2 < ― 2 ≤ 2 0 < ≤ 4.
故选：C
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求解函数的解析式，主要是利用函数奇偶性的定义.
【题型三：根据函数的奇偶性求值】
例 3．已知函数 ( )是奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 2 ―4 + 1，则 ( ―3)的值为（ ）
A． ―7 B．7 C． ―31 D．31
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】因为 (3) = 2 × 32 ―4 × 3 + 1 = 7，函数 ( )是奇函数，
所以 ( ―3) = ― (3) = ―7.
故选：A
变式 3-1．已知 2( ) 1是偶函数，当 > 0时， ( ) = 3 ― ，则 ― = （ ）3
A． ―7 B． ―5 C．7 D．5
【答案】B
1 1
【分析】函数为偶函数，有 ― = ，代入解析式求解即可.
3 3
2
【详解】 ( )是偶函数，当 > 0时， ( ) = 3 ― ，
― 1
2
则 = 1 = 3 × 13 ― 1 = 1 ― 6 = ―5.3 3 3
故选：B
3
变式 3-2．已知函数 ( ) = ―4 2+4 +1，且 ( ) = ―3，则 ( ― ) = （ ）
A．4 B．5 C．-4 D．-3
【答案】B
3
( ) = ―4 【分析】令 2+4 ，则 ( ) = ( ) +1，即可判断 ( )为奇函数，根据奇偶性计算可得.
3―4 3
【详解】因为 ( ) = 2+4 +1，令 ( ) =
―4
2+4 定义域为R，
3 3
( ― ) = (― ) ―4(― ) = ― ―4 且 2+4 2+4 = ― ( )，
3
所以 ( ) = ―4 2+4 为奇函数，又 ( ) = ( ) +1，
( ) = ( ) +1 = ―3，所以 ( ) = ―4，则 ( ― ) = ― ( ) = 4，
所以 ( ― ) = ( ― ) +1 = 5.
故选：B
变式 3-3． ( )为奇函数， ( )为偶函数，且 ( ― 1) + (1) = 4， (1) + ( ― 1) = 2则 (1) = （ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
【答案】A
【分析】
根据函数奇偶性可知 ( ― 1) = ― (1), ( ― 1) = (1)，解方程组即可求得 (1) = 3.
【详解】
因为 ( )为奇函数， ( )为偶函数，
则 ( ― 1) = ― (1), ( ― 1) = (1)
所以 ― (1) + (1) = 4， (1) + (1) = 2
两式相加可得2 (1) = 6，即 (1) = 3
故选：A.
【方法技巧与总结】
1 理解函数奇偶性的概念，比如函数 ( )是偶函数，则 ( ― ) = ( )，等式其中x可取函数定义域中任何一
个值均成立；
2 在给函数赋值的时候，要注意自变量的取值范围.
【题型四：抽象函数的奇偶性】
例 4．定义在 上的 ( )满足：对任意 , ∈ ，总有 ( + ) ― [ ( ) + ( )] = 2017，则下列说法正确的
是（ ）
A． ( ) ― 1是奇函数 B． ( ) + 1是奇函数
C． ( ) ― 2017是奇函数 D． ( ) + 2017是奇函数
【答案】D
【分析】根据抽象函数的表达式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
【详解】由题意，令 = = 0，则 (0) ― [ (0) + (0)] = 2017，即 (0) = ―2017，
再令 = ― ，则 (0) ― [ ( ) + ( ― )] = 2017，即 ( ) + ( ― ) = ―4034，
所以[ ( ) + 2017] + [ ( ― ) + 2017] = ( ) + ( ― ) +4034 = ―4034 + 4034 = 0，
即 ( ) +2017 = ― [ ( ― ) + 2017]，故 ( ) +2017是奇函数，
同理可知，对函数 ( ) ―1， ( ) +1， ( ) ―2017都不能是奇函数.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据抽象函数的表达式，利用赋值法是解决本题的关键，属于
基础题．
变式 4-1．f(x)是定义在 R 上的增函数，则下列结论一定正确的是
A．f(x)＋f(－x)是偶函数且是增函数
B．f(x)＋f(－x)是偶函数且是减函数
C．f(x)－f(－x)是奇函数且是增函数
D．f(x)－f(－x)是奇函数且是减函数
【答案】C
【分析】举出反例,可以说明错误的选项;根据奇偶性和单调性的定义证明正确选项即可.
【详解】令 ( ) = ,则 ( ― ) = ―
对于 A 选项, ( ) + ( ― ) = + ( ― ) = 0,是偶函数但不是增函数,所以 A 错误;
对于 B 选项, ( ) + ( ― ) = + ( ― ) = 0,是偶函数但不是减函数,所以 B 错误;
对于 C 选项, 因为 ( )是定义在 R 上的增函数,则 ( ― )是定义在 R 上的减函数,所以 ― ( ― )是定义在 R
上的增函数,所以 ( ) ― ( ― )是定义在 R 上的增函数.
令 ( ) = ( ) ― ( ― ),则 ( ― ) = ( ― ) ― ( ) = ― ( )
所以 ( ) = ( ) ― ( ― )为奇函数,所以 C 正确;
对于 D 选项, ( ) ― ( ― ) = 2 ,是奇函数但不是减函数,所以 D 错误;
综上可知,C 为正确选项
故选:C
【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,举反例法说明错误选项,正确选项需要证明,属于基础
题.
变式 4-2．已知 ( )为定义在R上的函数， (2) = 2，且 ( ) = (2 ) + 2为奇函数，则 ( ―2) = （ ）
A． ―4 B． ―2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可.
【详解】因为 ( ) = (2 ) + 2是奇函数，
所以有 ( ― 1) + (1) = ( ― 2) + 1 + (2) + 1 = 0
即 ( ― 2) = ―4.
故选：A
变式 4-3．已知函数 ( )满足 , ∈ ， ( + ) = ( ) + ( )， (1) = 1，则 ( ―2) = （ ）
A．0 B．1
C． ―2 D．2
【答案】C
【分析】令 = = 0可求得 (0) = 0；令 = ― 可证得 ( )为奇函数，令 = = 1可求得 (2)，根据
( ―2) = ― (2)可得结果.
【详解】令 = = 0，则 (0) = (0) + (0)，解得： (0) = 0；
令 = ― ，则 (0) = ( ― ) = ( ) + ( ― ) = 0， ∴ ( )为奇函数，
∵ (2) = (1) + (1) = 2， ∴ ( ―2) = ― (2) = ―2.
故选：C.
【方法技巧与总结】
判断抽象函数的奇偶性，常常利用奇偶性的定义.
【题型五：由函数的奇偶性求参数】

例 5 1．已知函数 ( ) = 2 +1 ― 2，则“ = 1”是“ ( )为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据“ = 1”与“ ( )为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.
1 1
【详解】当 = 1时， ( ) = 2 +1 ― 2，定义域为R且关于原点对称，
1 1 2
所以 ( ― ) = 2― +1 ― 2 = 1+2 ―
1 = 2 +1―1 12 1+2 ― 2 =
1 ― 12 1+2 = ― ( )，
所以 ( )为奇函数；
当 ( )为奇函数时，显然定义域为R且关于原点对称，所以 ( ― ) = ― ( )，

所以 ( ― ) + ( ) = 1 ― + 1 ― = 2 ― + 1 ― = 1 ― = 0
2―
，
+1 2 2 +1 2 1+2 2 2 +1 2
所以 = 1，
由上可知，“ = 1”是“ ( )为奇函数”的充要条件，
故选：C.
2
变式 5-1．已知函数 ( ) = ― +1 ― 为奇函数，则 (3) = （ ）
A 10 1． 3 B．2 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据题意，由奇函数的定义即可得到 = 0，然后代入计算，即可得到结果.
2
【详解】因为函数 ( ) = ― +1 ― 为奇函数，所以 ( ) = ― ( ― )，
2― +1 2+ +1
即 ― = ― ― ― ，解得 = 0，
1 10
可知 ( ) = + ，所以 (3) = 3 ，
故选：A.
变式 5-2．已知函数 ( ) = 2 + + 2( , ∈ R)是定义在[2 , + 3]上的偶函数，则函数 ( ) = ( )
+2 在[ ―2,2]上的最小值为（ ）
A． ―6 B． ―2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】根据题意可确定 m,n,的值，再根据二次函数的性质即可求得答案.
【详解】函数 ( ) = 2 + + 2( , ∈ R)是定义在[2 , + 3]上的偶函数，
故 ( ― ) = ( ), 2 ― + 2 = 2 + + 2 ，即2 = 0, = 0
且2 + + 3 = 0 ，即 = ―1 ，
所以 ( ) = ( ) +2 = ― 2 +2 + 2 = 3 ― ( ― 1)2， ∈ [ ―2,2]，
其图象对称轴为 = 1 ，则当 = ―2 时， ( )min = ( ―2) = ― ( ― 2)2 +2( ― 2) + 2 = ―6，
故选:A
1 2
变式 5-3．已知定义在 上的偶函数 ( ) = | ― + 1| ―2，若正实数 a、b 满足 ( ) + (2 ) = ，则 +
的最小值为（ ）
A 9．5 B．9 C
8
．5 D．8
【答案】A
= 1 +2 【分析】根据偶函数的对称性可得 ，由题意分析可得 5 = 1，结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数 ( )为偶函数，则 ( ) = ( ― )，
即| ― + 1| ―2 = | ― ― + 1| ―2，可得| ― ( ― 1)| = | + ( ― 1)|，
整理得( ― 1) = 0，故 ― 1 = 0，解得 = 1，
∴ ( ) = | | ―2.
a b + = 1 ―2 + ―2 = 1 +2 若正实数 、 满足 ( ) (2 ) ，即| | |2 | ，可得 5 = 1，
1 + 2 = +2 × 1 2可得 5 + =
1 2 2 1 2 2 9
5
+ + 5 ≥ 2 × + 5 = ，
5 5
2 = 2 当且仅当 ，即 = =
5
3时，等号成立，
∴1 + 2 9 的最小值为5.
故选：A.
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求参数，主要是利用奇偶性的定义；
比如：带参数a的函数f( )是偶函数，求参数a；则通过偶函数的定义可得带参数a的等式f( ― ) = f( )，证
明其在定义域内恒成立时a的取值，但若是选择题，则可以灵活些，取x等于一特殊值得到关于a的方程从
而求出a值.
【题型六：函数的单调性与奇偶性的综合应用】
例 6．已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，则 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0的解集为（ ）
A．( ―3,1) B．( ―∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
C．( ―1,3) D．( ―∞, ― 1) ∪ (3, + ∞)
【答案】B
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解
得即可.
【详解】函数 ( ) = 2― ― 2 ― 定义域为R，又 ( ― ) = 2―(― ) ― 2― ― ( ― ) = ― (2― ― 2 ― ) = ―
( )，
所以 ( )为奇函数，
又 = 2― ， = ― 2 ， = ― 均在定义域R上单调递减，
所以 ( )在R上单调递减，
所以 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0 ( 2 ― 3) < ― (2 ) = ( ―2 )，
所以 2 ―3 > ―2 2 +2 ― 3 > 0，解得 < ―3或 > 1，
所以 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0的解集为( ―∞, ― 3) ∪ (1, + ∞).
故选：B
变式 6-1．设函数 ( ) = | | ―2 ，则 ( )（ ）
A．是偶函数，且在(1, + ∞)上单调递增 B．是奇函数，且在( ―1,1)上单调递减
C．是偶函数，且在( ―∞, ― 1)上单调递增 D．是奇函数，且在( ―∞, ― 1)上单调递减
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调区间.
【详解】因为函数 ( ) = | | ―2 的定义域为 R，且 ( ― ) = ― | | +2 = ― ( | | ― 2 ) = ― ( )，
2
所以 ( )是奇函数，又 ( ) = | | ―2 = ― 2 , ≥ 0― 2 ― 2 ，作出函数 ( )图象如下图：
由图知，函数 ( )在( ―∞, ― 1)和(1, + ∞)上单调递增，在( ―1,1)上单调递减.
故选：B
( )― ( )
变式 6-2．已知定义在 上的偶函数 ( ) 1 2，若对于任意不等实数 1, 2 ∈ [0, + ∞)都满足 ― > 0，则不1 2
等式 (2 ) > ( ― 2)的解集为（ ）
A．( ―∞, ― 2) B．( ―2, + ∞) C． ―2, 2 D．( ―∞, ― 2) ∪ 2 , + ∞
3 3
【答案】D
( 1)― ( 2)
【分析】由条件 ― > 0得函数的单调性，再由偶函数的性质等价转化不等式，然后结合单调性求解1 2
即可.
, ∈ ( 1)― ( )【详解】因为对于任意不等实数 1 2 [0, + ∞)
2
都满足 1―
> 0，
2
即当 1 < 2时， ( 1) < ( 2)； 1 > 2时 ( 1) > ( 2)，
故 ( )在区间[0, + ∞)上单调递增.
因为 ( )是定义在 上的偶函数，则 ( ) = ( ― ) = (| |)，
所以不等式 (2 ) > ( ― 2) (|2 |) > (| ― 2|)，
又|2 | ≥ 0,| ― 2| ≥ 0，由 ( )在区间[0, + ∞)上单调递增.
2
则|2 | > | ― 2|，即(2 )2 > ( ― 2)2，解得 < ―2，或 > 3，
故选：D.
变式 6-3．数学用语中，max{ , }表示 ， 中较大的数.已知函数 ( ) = max{ 2 + 4 , 2 ― 4 }，若 (2 ― )
> (2 )，则实数 的取值范围是（ ）
A． ―∞, 2 B 2 , + ∞ C ―1, 2 D ―2, 2． ． ．
3 3 3 3
【答案】D
【分析】先求出 ( )，画出 ( )的图象即可判断 ( )在R上的单调性和奇偶性，由 (2 ― ) > (2 )可得
|2 ― | > |2 |，解方程即可得出答案.
2 2 2
【详解】因为 ( ) = max{ 2 + 4 , 2 ― 4 }= + 4 , + 4 ≥ ― 4 2 ― 4 , 2 + 4 < 2 ― 4 ，
2
则 ( ) = + 4 , ≥ 0 2 ― 4 , < 0 ，
作出 ( )的图象，如下图，易知 ( )为偶函数，
当 ≥ 0时， ( ) = 2 +4 ，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 < 0时， ( ) = 2 ―4 ，则 ( )在( ―∞,0)上单调递减，
所以由 (2 ― ) > (2 )可得|2 ― | > |2 |，
则(2 ― )2 > (2 )2，则(3 ― 2)( + 2) < 0，解得： ―2 < <
2
3，
2
故实数 的取值范围是 ―2, .
3
故选：D.
变式 6-4．（多选） ( )是定义在 R 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 4 ― 2，则下列说法中错误的是
（ ）
A． ( )的单调递增区间为( ―∞, ― 2] ∪ [0,2] B． ( ―π) < (5)
C． ( )的最大值为 4 D． ( ) > 0的解集为( ―4,4)
【答案】ABD
【分析】A.由两个单调区间不能合并判断；B.由 ( )是定义在 R 上的偶函数和二次函数的性质判断；C.由
≥ 0时，结合 ( )是偶函数判断；D.利用函数图象判断.
【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故 A 错误；
B. 因为 ( )是定义在 R 上的偶函数，所以 ( ―π) = (π)，
又 ( )在[2, + ∞)上单调递减，则 ( ―π) > (5)，故 B 错误；
C.当 ≥ 0时， ( ) = 4 ― 2 = ― ( ― 2)2 +4， ( )最大值为 4，
又因为 ( )是偶函数，所以 ( )的最大值为 4，故 C 正确；
D. 如图所示： ( ) > 0的解集为( ―4,0) ∪ (0,4)，故 D 错误．
故选：ABD．
【方法技巧与总结】
1 处理函数单调性与奇偶性结合的题目，利用函数的图象较好；
2 若f( )是偶函数，则f( )在y轴两侧的单调性是相反的；
若f( )是奇函数，则f( )在y轴两侧的单调性是相同的.
【题型七：函数性质的综合应用】
例 7．（多选）已知定义在R上的奇函数 ( )满足 ( + 2) = (2 ― )，且在[0,2]上是增函数，则下列判断正
确的是（ ）
A． ( )的周期是 4 B． (2)是函数的最大值
C． ( )的图象关于点( ―2,0)对称 D． ( )在[ ―2,2]上是增函数
【答案】BD
【分析】根据题意可得函数的周期为 8，从而判断 A 选项；由函数关于 = 2对称，在[0,2]上是增函数，可
得函数在[ ―2,2]上是增函数，从而判断 D，根据函数的对称性及周期性，可得函数图象的大致走势，从而
判断 B、C.
【详解】对于 A，因为 ( )为定义在R上的奇函数，所以 ( ― ) = ― ( )，
又因为 ( + 2) = (2 ― )，所以函数关于 = 2对称，且 ( ― ) = (4 + )，
所以 (4 + ) = ― ( )，则 (8 + ) = ― (4 + ) = ( )，
所以函数 ( )的周期是 8，故 A 错误；
对于 D，因为函数在[0,2]上是增函数，所以函数在[ ―2,0]上是增函数，
则函数在[ ―2,2]上是增函数，故 D 正确；
对于 B，因为函数关于 = 2对称，所以函数在[2,6]上单调递减，
又因为函数周期为 8，将[ ―2,6]的图象左右平移(每次平移 8 个单位)即可得函数的全部图象，
由此可得 (2)是函数的最大值，故 B 正确；
对于 C，因为函数在[ ―2,0]上单调递增，在 = ―2处取最小值， (0) = 0，
所以函数不关于( ―2,0)对称，故 C 错误；
故选：BD.
变式 7-1．已知函数 ( )的定义域为R， ( ― ) + ( ) = 0， ( + 1)是偶函数， (1) = ―1，则 (2023) +
(2026) = （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【分析】由函数的奇偶对称性推得 ( )是周期为 4 的函数，并求得 (2) = (0) = 0，最后利用周期性求目
标函数值.
【详解】由 ( + 1)是偶函数， (1 ― ) = (1 + )，则 (2 ― ) = ( )，
又 ( ― ) + ( ) = 0，
( + 4) = [2 ― ( + 4)] = ( ― ― 2) = ― ( + 2) = ― ([2 ― ( + 2)]) = ― ( ― ) = ( )，
所以 ( )是周期函数，周期为 4，
对于 ( ― ) + ( ) = 0，令 = 0，得 (0) = 0，则 (2) = (0) = 0，
所以 (2023) + (2026) = (506 × 4 ― 1) + (506 × 4 + 2) = ( ―1) + (2) = ― (1) = 1.
故选：B
变式 7-2．（多选）已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2) + ( ) = 0，且函数 (2 + 1)为偶函数，则下面说
法一定成立的是（ ）
A． ( )是奇函数 B． (2024) = 1
2024
C． ( )的图象关于 = 1对称 D． ( ) = 2024
=1
【答案】AC
【分析】选项 C，由于函数 (2 + 1)为偶函数，得到 (1 ― 2 ) = (1 + 2 )，进而替换变量得到 (1 ― )
= (1 + )，判断即可；选项 A，由于 (1 ― ) = (1 + )，变量替换后得到 ( ― ) = (2 + )，结合已知
( + 2) + ( ) = 0，即可判断奇偶性；选项 B，已知 ( + 2) + ( ) = 0，得到 ( + 2) = ― ( )，变量替
换后得到 ( + 4) = ( )，得到函数 ( )的周期性，进而求得结果；选项 D，已知 ( + 2) + ( ) = 0，得
2024 4
到 (1) + (3) = 0， (2) + (4) = 0，同样利用函数 ( )的周期性得到 ( ) = 506 × ( )，即
=1 =1
可求得结果.
【详解】对于选项 C， (2 + 1)是偶函数，得： (1 ― 2 ) = (1 + 2 )，
1
将 替换为2 ，得： (1 ― ) = (1 + )，
所以函数 ( )关于直线 = 1对称，选项 C 正确；
对于选项 A，因为 (1 ― ) = (1 + )，将 替换为 + 1，得： ( ― ) = (2 + )，
又因为 ( + 2) + ( ) = 0，即 ( + 2) = ― ( )，
∴ ( ― ) = ― ( )， ∴ ( )是奇函数，选项 A 正确；
对于选项 B， ∵ ( + 2) = ― ( )，将 替换为 + 2，
得： ( + 4) = ― ( + 2) = ( )，所以 4 为函数 ( )的周期，
又因为 ( )是奇函数，且函数 ( )的定义域为 ， ∴ (0) = 0，
∴ (2024) = (4 × 506) = (0) = 0，选项 B 错误.
对于选项 D，由已知 ( + 2) + ( ) = 0，
分别代入 = 1, = 2，得： (1) + (3) = 0， (2) + (4) = 0，
∴ (1) + (2) + (3) + (4) = 0，
2024 4
同时 4 为 ( )的周期， ∴ ( ) = 506 × ( ) = 0，选项 D 错误.
=1 =1
故选：AC.
变式 7-3．函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，可以将
其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( + ) ― 为奇函数，
2 ( ) = + ―6给定函数 +1 .
(1)求 ( )的对称中心；
(2)已知函数 ( )同时满足：① ( + 1) ―1是奇函数；②当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 ― + .若对任意的 1
∈ [0,2]，总存在 2 ∈ [1,5]，使得 ( 1) = ( 2)，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1)( ―1, ― 1)
(2)[ ―2,4]
【分析】（1）设 ( )的对称中心为( , )，根据对称性得到关于 , 的方程，解得即可得解；
（2）易求得 ( )的值域为[ ―2,4]，设函数 ( )的值域为集合 ，则问题可转化为 [ ―2,4]，分 ≤ 0，
≥ 2和0 < < 2三种情况讨论，从而可得出答案.
2
1 ( ) = + ―6 ( +1)
2
= ―( +1)―6 6【详解】（ ）解： +1 +1 = ― +1，
设 ( )的对称中心为( , )，
由题意，得函数 = ( + ) ― 为奇函数，
则 ( ― + ) ― = ― ( + ) + ，
即 ( + ) + ( ― + ) ―2 = 0，
6 6
即( + ) ― + +1 + ( ― + ) ― ― + +1 ―2 = 0，
整理得( ― ) 2 ― ( ― )( + 1)2 ― 6( + 1) = 0，
所以 ― = ( ― )( + 1)2 ―6( + 1) = 0，解得 = ―1, = ―1，
所以函数 ( )的对称中心为( ―1, ― 1)；
（2）解：因为对任意的 1 ∈ [0,2]，总存在 2 ∈ [1,5]，使得 ( 1) = ( 2)，
所以函数 ( )的值域是函数 ( )的值域的子集，
6
因为函数 = , = ― +1在[1,5]上都是增函数，
所以函数 ( ) = ―
6
+1在[1,5]上是增函数，
所以 ( )的值域为[ ―2,4]，
设函数 ( )的值域为集合 ，
则原问题转化为 [ ―2,4]，
因为函数 ( + 1) ―1是奇函数，所以函数 ( )关于(1,1)对称，
又因为 (1) = 1，所以函数 ( )恒过点(1,1)，

当2 ≤ 0，即 ≤ 0时， ( )在[0,1]上递增，则函数 ( )在(1,2]上也是增函数，
所以函数 ( )在[0,2]上递增，
又 (0) = , (2) = 2 ― (0) = 2 ― ，
所以 ( )的值域为[ ,2 ― ]，即 = [ ,2 ― ]，
又 = [ ,2 ― ] [ ―2,4]，
≥ ―2
所以 2 ― ≤ 4 ，解得 ―2 ≤ ≤ 0，
≤ 0

当2 ≥ 1即 ≥ 2时， ( )在[0,1]上递减，则函数 ( )在(1,2]上也是减函数，
所以函数 ( )在[0,2]上递减，
则 = [2 ― , ]，
又 = [2 ― , ] [ ―2,4]，
≥ 2
所以 2 ― ≥ ―2 ，解得2 ≤ ≤ 4，
≤ 4

当0 < 2 < 1即0 < < 2时，
( ) 在 0, 上递减，在 ,1 上递增，
2 2
又因函数 ( )过对称中心(1,1)，
所以函数 ( )在 1,2 ― 上递增，在 2 ― ,2 上递减，
2 2
故此时 ( )min = min (2), ( ) = max (0), 2 ― ， ，2 max 2
要使 [ ―2,4]，
(2) = 2 ― (0) = 2 ― ≥ ―2
2
= ― + ≥ ―2
2 4
只需要 (0) = ≤ 4 ，解得0 < < 2，
2 ― = 2 ― =
2
― + 2 ≤ 4
2 2 4
0 < < 2
综上所述实数 m 的取值范围为[ ―2,4].
【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题
第二问的关键在于把问题转化为函数 ( )的值域是函数 ( )的值域的子集，有一定的难度.
变式 7-4．已知函数 ( ) = | + |( ∈ ).
(1)若函数 ( )是奇函数，求 的值；
(2)若 <0，记函数 ( )在[2, + ∞)上的最小值为 ( ).
（i）求 ( )；
（ii）设函数 ( ) = 2 + + 4( ∈ )满足：对任意 ∈ ，均存在 0 ∈ [2, + ∞)，使得 ( ) = ( 0)，求
的取值范围.
【答案】(1) = 0
(2) 0, ≤ ―2（i） ( ) = 4 + 2 , ― 2 < < 0 ；（ii）[ ―4,0)
【分析】（1）根据奇函数的定义可直接求参数 的值.
（2）（i）分情况去掉绝对值符号，结合二次函数的单调性，求函数 ( )的最小值，可得 ( )的解析式；
（ii）问题转化为 ( )的值域是 ( )值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围.
【详解】（1）因为 ( )为奇函数，所以 ( ― ) = ― ( )，
所以 ― | ― + | = ― | + | = 0.
（2 i ① ( + ), ≥ ― ）（ ） 若 ≤ ―2，则 ( ) = ― ( + ),2 ≤ < ― ，

当 ≥ ― 时，对称轴 = ― 2 < ― ，所以 ( )在[ ― , + ∞)上单调递增，

当 < ― 时，若 ― 2 < 2，即 ―4 < ≤ ―2，则 ( )在[2, ― )上单调递减，
如图：
所以 ( )min = ( ― ) = 0.

若 ― 2 = 2，即 = ―4，则 ( )min = (4) = 0，

若 ― 2 > 2，即 < ―4时，
如图：
( ) 2, ― 则 在 上单调递增，在 ― , ― 上单调递减，
2 2
所以 ( )min = min{ (2), ( ― )} = min{ ―4 ― 2 ,0} = 0，
②若 ―2 < < 0，则 ( ) = 2

+ ， ≥ 2，对称轴 = ― 2 < 2，
如图：
所以 ( )在[2, + ∞)上单调递增，
所以 ( )min = (2) = 4 + 2 ，
综上， ( ) = 0, ≤ ―24 + 2 , ― 2 < < 0 .
2 2
（ii）若 ≤ ―2，则 ( 0) ∈ [0, + ∞)， ( ) = +
+4 ―
2 4
4 ―
2
所以 4 ≥ 0，所以 ―4 ≤ ≤ ―2，
2
若 ―2 < < 0，则 ( 0) ∈ [4 + 2 , + ∞)，所以4 ―

4 ≥ 4 + 2 ，
所以 ―2 < < 0，
综上， 的取值范围为[ ―4,0)
【点睛】关键点点睛：该题的最后一问，要把问题转化成 ( )的值域是 ( )值域的子集，根据集合之间的
关系求参数的取值范围.
【方法技巧与总结】
1 处理函数性质的综合问题，常常采取数形结合的方法；
2函数的周期性
（1）概念
对于函数 = ( )，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时， ( + ) = ( )都
成立，那么把函数 = ( )叫做周期函数，常数 叫做这个函数的周期.
（2）① 若 ( + ) = ( + ) ，则 = ( )的周期是 = ― .
② 若 ( + ) = ― ( ) ，则 = ( )的周期是 = 2 ；
1
③ 若 ( + ) = ( )，则 = ( )的周期是 = 2 .
3 函数的对称性
（1） 函数图象自身的对称关系
① 轴对称：若 ( + ) = ( ― ) , 则 = ( ) + 有对称轴 = 2 .
② 中心对称：若函数 = ( )定义域为 ，且满足条件 ( + ) + ( ― ) = ( , , 为常数)，则函数 =

( ) + 的图象关于点( 2 , 2)对称.
（2）两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数 = ( )定义域为 ，则两函数 = ( + )与 = ( ― )
―
的图象关于直线 = 2 对称.
特殊地，函数 = ( + )与函数 = ( ― )的图象关于直 = 0对称.
② 中心对称

若函数 = ( )定义域为 ― ，则两函数 = ( + )与 = ― ( ― )的图象关于点( 2 , 2)对称.
特殊地，函数 = ( + )与函数 = ― ( ― ) ― 图象关于点( 2 , 0)对称.
4 周期性与对称性拓展
① 若函数 = ( )同时关于直线 = , = 对称，则函数 = ( )的周期 = 2| ― |；特殊地，若偶函数
= ( )的图像关于直线 = 对称，则函数 = ( )的周期 = 2| |；
② 若函数 = ( )同时关于点( , 0) , ( , 0)对称，则函数 = ( )的周期 = 2| ― |；
③ 若函数 = ( )同时关于直线 = 对称，又关于点( , 0)对称 , 则函数 = ( )的周期 = 4| ― |；
特殊地，若奇函数 = ( )的图像关于直线 = 对称，则函数 = ( )的周期 = 4| |.
一、单选题
1．下列函数中，在区间( ― ∞,0)上单调递增且是奇函数的是（ ）
A = 1． B． = | | C = ―
1 D = + 1． ．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性和奇偶性逐项判断即可.
【详解】对于 A， = 1 在区间( ― ∞,0)上单调递减，故 A 错误；
对于 B，设 ( ) = = | |，则 ( ― ) = | ― | = | | = ( )，所以 = | |是偶函数，故 B 错误；
对于 C 1 1，设 ( )= = ― ，则 ( ― ) = ― + = ―
1
( )，所以 = ― 是奇函数，且 = 和 = ―
1
在区
间( ― ∞,0) 1上都单调递增，故 = ― 在区间( ― ∞,0)上单调递增，故 C 正确；
1 5
对于 D，设 ( ) = = + 1 ，则 = 2, (1) = 2, ∴
1 > (1)，所以 = +
1
在区间( ― ∞,0)上不是单调2 2
递增，故 D 错误；
故选：C
2.若 ( )是 R 上周期为 6 的奇函数，且满足 (1) = ―1， (2) = 2，则 (5) ― (4) = （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用函数的周期性和奇函数的性质，找出 (5)， (4)与 (1)， (2)的关系，即可求出 (5) ― (4)
的值.
【详解】由题知 ( )是 上周期为6的奇函数，
所以有 (2) = ( ― 4) = ― (4) = 2 (4) = ―2，
(1) = ― ( ― 1) = ― (5) = ―1 (5) = 1，
故 (5) ― (4) = 1 + 2 = 3.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，函数的周期性，属于基础题.
3.已知函数 ( ) = | ― 2| + | + 2|，则“ = ―1”是“ ( )为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合函数的奇偶性，判断“ = ―1”和“ ( )为奇函数”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】当 = ―1时， ( ) = ― | ― 2| + | + 2|，其定义域为 R，
则 ( ― ) = ― | ― ― 2| + | ― + 2| = ― | + 2| + | ― 2| = ― ( )，
即 ( )为奇函数；
若 ( ) = | ― 2| + | + 2|为奇函数，其定义域为 R，
则需满足 ( ― ) = ― ( )，即 | ― ― 2| + | ― + 2| = ― | ― 2| ― | + 2|，
故 | + 2| + | ― 2| = ― | ― 2| ― | + 2|，即( + 1)(| + 2| + | ― 2|) = 0，
因为| + 2| + | ― 2| > 0，（| + 2| ≥ 0,| ― 2| ≥ 0，等号不能同时取到），
故 + 1 = 0, ∴ = ―1，
故“ = ―1”是“ ( )为奇函数”的充分必要条件，
故选：C
4.设函数 ( )的定义域为 R，且 (3 + 2)是奇函数， ( 3 +1)是偶函数，则一定有（ ）
A． (4) = 0 B． ( ― 1) = 0 C． (3) = 0 D． (5) = 0
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性，对 赋特殊值即可得出结论.
【详解】因为 (3 + 2)是奇函数，所以有 ( ― 3 + 2) = ― (3 + 2)①
令 = 0，则有 (2) = ― (2)，即 (2) = 0.
因为 ( 3 +1)是偶函数，所以有 ( ― 3 +1) = ( 3 +1)，
令 = 1，则有 (0) = (2) = 0，
① = 2在 式中，令 3，则有 (0) = ― (4)，
∴ (4) = 0.
故选：A
5.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2 ― + ― 1，则满足 ( ) ≥ 0的 的取值范围是
（ ）
A．( ―∞, ― 1] ∪ [0,1] B．[ ―1,1]
C．[ ―1,0] ∪ [1, + ∞) D．( ―∞, ― 1] ∪ [1, + ∞)
【答案】C
【分析】先通过函数为奇函数求出 ，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【详解】依题意 ( )是奇函数，所以 (0) = ― 1 = 0，即 = 1，
则 ( ) = 2 ― ， ≥ 0，
当 ≥ 0时，令 ( ) ≥ 0，解得 ≥ 1或 = 0，
根据对称性，当 ―1 ≤ < 0时， ( ) ≥ 0，
故满足 ( ) ≥ 0的 的取值范围是[ ―1,0] ∪ [1, + ∞)．
故选：C．
2
6.已知函数 ( ) = 1― 1+ 2，则不等式 (2 ― 1) < ( ― 1)的解集为（ ）
A．( ―∞,0) B 2． , + ∞
3
C 0, 2． D．( ―∞,0) ∪ 2 , + ∞
3 3
【答案】D
【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到|2 ― 1| > | ― 1|，解出即可.
1― 2 1―(― )2 1― 2
【详解】由 ( ) = 1+ 2可得 ∈ 且 ( ― ) = 1+(― )2 = 1+ 2，则 ( )为偶函数，
2 2
( ) = 1― = ―(1+ )+21+ 2 1+ 2 = ―1 +
2
1+ 2，
因为 = 2 +1在( ― ∞,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，则 = 2 +1 > 0恒成立，
则 ( )在(0, + ∞)单调递减，在( ― ∞,0)单调递增，
∵ (2 ― 1) < ( ― 1), ∴ |2 ― 1| > | ― 1|，解得 < 0或 > 23.
故选：D.
7. = 5―5
4
函数 4+1 部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性单调性和值域，排除法得正确选项..
5―5 4 10
【详解】函数 = 4+1 = 4+1 ―5的定义域为 ，为偶函数，故 C 不正确，
函数在[0, + ∞)上单调递减，当 = 0时， 最大值为 5，故 D 不正确；
10
因为 = 4+1 > 0 =
10
，所以 4+1 ―5 > ―5，故 A 不正确，
故选：B.
8.函数 = ( ) 的图像关于点 ( , ) 成中心对称的充要条件是函数 = ( + ) ― 为奇函数，以下选项不
正确的有（ ）
A． ( ) = 3 + 1 1关于 ,0 中心对称
3
B． ( ) = 3 ―6 2 +13关于(2, ― 3) 中心对称
C．函数 = ( ) 的图象关于点 ( , ) 对称，则 ( ) = 2 ― (2 ― )
D．函数 = ( ) 的图象关于 = 对称的充要条件是 = ( + ) 为偶函数
【答案】A
【分析】根据函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称的充要条件是函数 = ( + ) ― 为奇函数，即
可判断 A 错误，B 正确；对选项 C，根据充要条件的定义即可判断 C 正确；对选项 D，根据函数的对称
性、偶函数的定义以及充要条件的定义即可判断 D 正确.
1
【详解】对选项 A， ( ) = 3 + 1， = 3， = 0，
( ) + ― + 2 = 3 + 1+3 ― + 2 +1 = 4 ≠ 2 ，故 A 错误.
3 3
对选项 B，由 ( ) = 3 ―6 2 +13，若 = 2, = ―3，
则 ( ) + (4 ― ) = 3 ―6 2 +13 + (4 ― )3 ―6(4 ― )2 +13 = ―6，故 B 正确.
对选项 C，因为函数 = ( + ) ― 为奇函数，所以 ( ― + ) ― = ― ( + ) + ，
即 ( + ) + ( ― + ) = 2 ，令 = + ，则有 ( ) + (2 ― ) = 2 ，
即 ( ) = 2 ― (2 ― ) ，故 C 正确.
对选项 D，若 = ( + ) 为偶函数，则 ( + ) = ( ― + )，
令 = + ，则有 ( ) = (2 ― )，函数的图象关于 = 对称，故必要性成立，
函数 = ( ) 的图象关于 = 对称，则有 ( ) = (2 ― )，
令 = + ，则有 ( + ) = ( ― )，
即 = ( + ) 为偶函数，故充分性成立，故 D 正确.
故选：A.
二、多选题
9．下列四个函数中，不具有奇偶性的是（ ）
A． ( ) = 2 ―1 B． ( ) = 2 +
C． ( ) = + 3 D． ( ) = 3 +2
【答案】BD
【分析】利用奇偶性的判定方法来判断选项中的函数是具有奇偶性即可．
【详解】对于 A，函数 ( ― ) = ( ― )2 ―1 = 2 ―1 = ( )，所以 ( )是定义在 R 上的偶函数；
对于 B，函数 ( ― ) = ( ― )2 ― = 2 ― ≠± ( )，所以 ( )是非奇非偶的函数；
对于 C，函数 ( ― ) = ― + 3 ― = ― ― 3 = ― ( )，所以 ( )是定义在 R 上的奇函数；
对于 D，函数 ( ― ) = ( ― )3 +2 = ― 3 +2 ≠± ( )，所以 ( )是非奇非偶的函数．
故选：BD．
10.已知函数 ( )的定义域为 , ( ) = ( ) + ( )，则（ ）
A． (0) = 0 B． ( ―1) = 0
C． ( ) 1是偶函数 D． (2) ≤ 0
2
【答案】ABD
【分析】A.令 = = 0求解判断；B.分别令 = = 1， = = ―1求解判断；C.令 = ―1利用函数奇偶性
1
定义判断；D.令 = 2, = 2求解判断.
【详解】令 = = 0，得 (0) = 0，A 正确.
令 = = 1，得 (1) = (1) + (1)，所以 (1) = 0.
令 = = ―1，得 (1) = ― ( ―1) ― ( ―1)，所以 ( ―1) = 0，B 正确.
令 = ―1，得 ( ― ) = ― ( )，所以 ( )是奇函数，C 错误.
2
= 1令 2, = 2，得
1
(1) = 2 1 + 2 (2) = 0 (2) = ―4
1 , 1 (2) = ―4 1，所以 ≤ 0,2 D 正确.2 2 2
故选：ABD
11.已知定义在 上的偶函数 ( )和奇函数 ( )满足 (2 + ) + ( ― ) = 1，则（ ）
A． ( )的图象关于点(2,1)对称
B． ( )是以 8 为周期的周期函数
C． ( + 8) = ( )
2024
D． (4 ― 2) = 2025
=1
【答案】ABC
【分析】根据函数奇偶性以及表达式 (2 + ) + ( ― ) = 1可知满足 ( + 2) + (2 ― ) = 2，可判断 A 正
确；化简可得 ( + 8) = ( )可知 B 正确；又 ( ) = ( + 2) ―1可得 ( + 8) = ( )，即 C 正确；利用赋
2024
值法可求得 (4 ― 2) = 2024，可知 D 错误.
=1
【详解】对于 A，由题意 ( ― ) = ( ), ( ― ) = ― ( )，
且 (0) = 0, (2 + ) + ( ― ) = 1，即 ( + 2) ― ( ) = 1①，
用 ― 替换 (2 + ) + ( ― ) = 1中的 ，得 (2 ― ) + ( ) = 1②，
由①+②得 ( + 2) + (2 ― ) = 2，
所以 ( )的图象关于点(2,1)对称，且 (2) = 1，故 A 正确；
对于 B，由 ( + 2) + (2 ― ) = 2，
可得 ( + 4) + ( ― ) = 2， ( + 4) = 2 ― ( ― ) = 2 ― ( )，
所以 ( + 8) = 2 ― ( + 4) = 2 ― [2 ― ( )] = ( )，
所以 ( )是以 8 为周期的周期函数，故 B 正确；
对于 C，由①知 ( ) = ( + 2) ―1，
则 ( + 8) = ( + 8 + 2) ―1 = ( + 2) ―1 = ( )，所以 ( + 8) = ( )，故 C 正确；
对于 D，又因为 ( + 4) + ( ― ) = 2，所以 ( ) + ( + 4) = 2，
令 = 2，则有 (2) + (6) = 2，
令 = 10，则有 (10) + (14) = 2, ，
令 = 8090，则有 (8090) + (8094) = 2，
所以
(2) + (6) + (10) + (14) + + (8090) + (8094) = 2 + 2 + + 2 = 2024，
1012 个
所以
2024
(4 ― 2) = (2) + (6) + (10) + (14) + + (8090) + (8094) = 2024，故 D 错误.
=1
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数性质综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两条性质去推导第三
个性质，再将 3 个性质综合运用即可实现问题求解.
三、填空题
12．已知函数 ( )同时满足下列条件：① ( )的定义域为R；② ( )是偶函数；③ ( )在(0, + ∞)上单调
递减，则 ( )的一个解析式是 ．
【答案】 ( ) = ― 2（答案不唯一）
【分析】根据函数性质直接判断.
【详解】若 ( ) = ― 2，则 ( )为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为 轴，是偶函数，
且在(0, + ∞)上单调递减，故同时满足三个条件，所以 ( )的一个解析式是 ( ) = ― 2，
故答案为： ( ) = ― 2（答案不唯一）.
13.若函数 ( ) = 2023 + 2025 ―

―8， ( ―2) = 10，则 (2) = .
【答案】 ―26
【分析】令 ( ) = ( ) +8，再利用函数的奇偶性即可求解.

【详解】因为 ( ) = 2023 + 2025 ― ―8 ( ) +8 = 2023 + 2025 ―

，
令 ( ) = ( ) +8，则

( ― ) +8 = ( ― ) +8 = ― 2023 ― 2025 + = ― 2023 + 2025 ―

，

所以 ― ( ) = ( ― )，所以 ( )为奇函数，
所以 ― (2) = ( ―2)，即 ― (2) ―8 = ( ―2) +8 ― (2) ―8 = 10 + 8，解得 (2) = ―26，
故答案为： ―26
14.定义在 上的两个函数 ( )和 ( )，已知 ( ) + (1 ― ) = 3， ( ) + ( ― 3) = 3.若 = ( )图象关于点
(1,0)对称，则 (0) = .
【答案】3
【分析】因为 = ( )图象关于点(1,0)对称，所以 ( ) + (2 ― ) = 0，所以 (1) = 0，再利用 ( ) +
(1 ― ) = 3求出 (0)即可.
【详解】函数 ( )的定义域为 ，且 = ( )图象关于点(1,0)对称，所以 ( ) + (2 ― ) = 0，所以 (1)
= 0，
又 ( ) + (1 ― ) = 3，当 = 0时， (0) + (1) = 3，所以 (0) = 3.
故答案为：3.
四、解答题
15．已知 ( )为 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 ―2 ．
(1)求 ( ―1)的值；
(2)求 ( )的解析式．
(3)写出解不等式 ( ) ≥ 0的解集．
【答案】(1)1
2
(2) ( ) = ― ― 2 , < 0 2 ― 2 , ≥ 0
(3)( ―∞, ― 2] ∪ {0} ∪ [2, + ∞)
【分析】（1）利用奇函数的性质可求得 ( ―1)的值；
（2）设 < 0，则 ― > 0，利用奇函数的性质可得出函数 ( )在 < 0时的解析式，再由设 (0) = 0可得出
函数 ( )的解析式；
（3）分 ≥ 0、 < 0两种情况解不等式 ( ) ≥ 0，综合可得出原不等式的解集.
【详解】（1）解：因为函数 ( )为 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 ―2 ，
则 ( ―1) = ― (1) = ― (1 ― 2) = 1.
（2）解：因为函数 ( )为 上的奇函数，
当 < 0时， ― > 0，则 ( ) = ― ( ― ) = ― ( ― )2 ― 2( ― ) = ― 2 ―2 ，
2
又因为 (0) = 0满足 ( ) = 2 ―2 ( ) = ― ― 2 , < 0，故 2 ― 2 , ≥ 0 .
（3）当 ≥ 0时， ( ) = ( 2 ― 2 ) ≥ 0，可得 2 ―2 ≥ 0，解得 ≤ 0或 ≥ 2，
此时， = 0或 ≥ 2；
当 < 0时， ( ) = ( ― 2 ― 2 ) = ― ( 2 + 2 ) ≥ 0，可得 2 +2 ≥ 0，解得 ≤ ―2或 ≥ 0，
此时， ≤ ―2.
综上所述，原不等式的解集为( ―∞, ― 2] ∪ {0} ∪ [2, + ∞).
16.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 < 0时， ( ) = 2 +2 ，
(1)求函数 ( )( ∈ )的解析式，并作出简图；
+1
(2)求函数 ( ) = ( )在区间(0,2)上的值域.
(1) ( ) =
2 + 2 , ≤ 0
【答案】 ― 2 + 2 , > 0 ，作图见解析；
(2)[1 + 3, + ∞).
2
【分析】（1）利用奇函数定义求出 > 0时 ( )，再用分段函数表示出即可.
（2）当 ∈ (0,2)时，求出 ( )，利用换元法结合对勾函数性质求出值域.
【详解】（1）函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 < 0时， ( ) = 2 +2 ，
当 > 0时， ― < 0，则 ( ) = ― ( ― ) = ―( 2 ―2 ) = ― 2 +2 ，而 (0) = 0，
2
所以 ( ) = + 2 , ≤ 0― 2 + 2 , > 0 ，函数 ( )的图象，如图：
（2）由（1）得 ( ) = +1― 2+2 ， ∈ (0,2)，
1 1
令 = + 1 ∈ (1,3) =

， ，则 ― 2+4 ―3 = ― +4―3 = ―( +3 )+4，
= + 3函数 在(1, 3]上单调递减，在[ 3,3)上单调递增，
1 1
则2 3 ≤ +
3
< 4，0 < ―( +
3
) + 4 ≤ 4 ― 2 3，于是―( +3 )+4 ≥ = 1 +
3
，
4―2 3 2
+1
所以函数 ( ) = 3 ( )在区间(0,2)上的值域为[1 + , + ∞).2
17.定义在( ―2,2)上的函数 ( )满足对任意的 , ∈ ( ―2,2)，都有 ( ) + ( ) = ( + )，且当 ∈ (0,2)时，
( ) > 0．
(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)证明： ( )在( ―2,2)上是增函数；
(3)若 ( ―1) = ―2， ( ) ≤ 2 + ― 1对任意 ∈ [ ―1,1]， ∈ [ ―2,2]恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)( ―∞, ― 3] ∪ [3, + ∞)
【分析】（1）令 = = 0可得 (0) = 0，再令 = ― ，结合奇函数定义，即可证明；
（2）设任意 1, 2 ∈ [0,2)且 1 > 2，作差 ( 1) ― ( 2)，结合条件赋值法可证明 ( 1) > ( 2)，再结合奇
函数性质，即可得证；
（3）可转化为即 2 + ― 1 ≥ ( )max，结合性质所证明性质求出 ( )max，再主元变换解决关于 的函数恒
成立问题，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）令 = = 0，得 (0) + (0) = (0)， (0) = 0，
∈ ( ―2,2), ― ∈ ( ―2,2)，
令 = ― ， ( ) + ( ― ) = (0) = 0， ( ― ) = ― ( )，
所以函数 ( )是奇函数；
（2）设任意 1, 2 ∈ [0,2)且 1 > 2，
由题意 ( ) + ( ) = ( + )， = 1, = ― 2，
又由（1） ( )是奇函数，
得 ( 1 ― 2) = ( 1) + ( ― 2) = ( 1) ― ( 2)，
∵ 1 > 2,0 ≤ 1 < 2,0 ≤ 2 < 2， ∴ 0 < 1 ― 2 < 2，
已知当 ∈ (0,2)时， ( ) > 0，从而有 ( 1 ― 2) > 0，
故 ( 1) ― ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
∴ ( )在[0,2)上单调递增，
根据奇函数的性质可知 ( )在( ―2,0]上也单调递增，
故 ( )在( ―2,2)上是增函数；
（3） 2 + ― 1 ≥ ( )对任意 ∈ [ ―1,1]恒成立，即 2 + ― 1 ≥ ( )max，
由（2）得， ( )在[ ―1,1]上是增函数，
所以当 ∈ [ ―1,1]时， ( )max = (1)，
又（1）可知，函数 ( )是奇函数，则 (1) = ― ( ―1) = 2，即 ( )max = 2.
所以 2 + ― 3 ≥ 0对任意 ∈ [ ―2,2]恒成立，
设 ( ) = + 2 ―3， ∈ [ ―2,2]，要使 ( ) ≥ 0恒成立，
( ― 2) ≥ 0 ―2 + 2 ― 3 ≥ 0
则 (2) ≥ 0 ，即 2 + 2 ― 3 ≥ 0 ，
解得 ≥ 3或 ≤ ―3，所以实数 的取值范围是( ―∞, ― 3] ∪ [3, + ∞)．
18.“函数 ( )的图像关于点( , )对称”的充要条件是“对于函数 ( )定义域内的任意 x，都有 ( ) +
(2 ― ) = 2 ”．若函数 ( )的图像关于点(1,2)对称，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 ― + + 1．
(1)求 ( ―1) + (3)的值；
(2) 2 设函数 ( ) = 2― ．
（ⅰ）证明：函数 ( )的图像关于点(2, ― 2)对称；
（ⅱ 4）若对任意 1 ∈ [0,2]，总存在 2 ∈ ―2, ，使得 ( 3 1) = ( 2)成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) ( ―1) + (3) = 4
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）[ ―1,3]．
【分析】（1）由函数 ( )的图像关于点(1,2)对称，可得 ( ― 1) + (3) = 4；
（2）（ⅰ）证明 ( ) + (4 ― ) = ―4 4即可；（ⅱ）由 ( )在 ―2, 的值域为[ ―1,4]，设 ( )在[0,2]上的值域为
3
A，问题转化为 [ ―1,4]，先求解 ，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可.
【详解】（1）因为函数 ( )的图像关于点(1,2)对称，
则 ( ) + (2 ― ) = 2 × 2 = 4，
令 = ― 1，可得 ( ―1) + (3) = 4．
（2）（ⅰ = 2 ）证明：由 ( ) 2― ，
2(4― )
+ = 2 + = 2 ― 8―2 4 ―8得 ( ) (4 ― ) 2― 2―(4― ) 2― 2― = 2― = ―4 = 2 × ( ―2)，
所以函数 ( )的图像关于(2, ― 2)对称．
ⅱ 2 4 4（ ） ( ) = 2― = ―2 + 2― = ―2 ― ―2，
则 ( 2)在 2 ∈ ―2,
4
上单调递增，
3
所以 ( 2)的值域为[ ―1,4]，
设 ( )在[0,2]上的值域为 A，
对任意 1 ∈ [0,2] 4，总存在 2 ∈ ―2, ，使得 ( 1) = ( 2)成立，3
则 [ ―1,4]，
当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 ― + + 1，

函数 ( )图象开口向上，对称轴为 = 2，且 (1) = 2，

当2 ≤ 0，即 ≤ 0，函数 ( )在[0,1]上单调递增，
由对称性可知， ( )在[1,2]上单调递增，所以 ( )在[0,2]上单调递增，
因为 (0) = + 1， (0) + (2) = 4，
所以 (2) = 3 ― ，
+ 1 ≥ ―1
所以 = [ + 1,3 ― ]，由 [ ―1,4] 4 ≥ 3 ― ，可得 ≤ 0 ，解得 ―1 ≤ ≤ 0．
+ 1 < 3 ―

当0 < 2 < 1，即0 < < 2时，函数 ( ) 0,

在 上单调递减，在 ,1 上单调递增，
2 2

由对称性可知 ( )在 1,2 ― 上单调递增，在 2 ― ,2 上单调递减，
2 2
所以 ( ) 在 0, 上单调递减，在 ,2 ― 上单调递增，在 2 ― ,2 上单调递减，
2 2 2 2
结合对称性可得 = [ (2), (0)]或 = , 2 ― ，
2 2
2
因为0 < < 2，所以 (0) = + 1 ∈ (1,3)， = ― 4 + + 1 ∈ (1,2)，2
又 (0) + (2) = 4 ， + 2 ― = 4，
2 2
所以 (2) = 3 ― ∈ (1,3)， 2 ― ∈ (2,3)，
2
所以当0 < < 2时， [ ―1,4]成立．

当2 ≥ 1，即 ≥ 2时，函数 ( )在[0,1]上单调递减，
由对称性可知 ( )在[1,2]上单调递减，因为 (0) = + 1， (0) + (2) = 4，
所以 (2) = 3 ― ，所以 = [3 ― , + 1]，由 [ ―1,4]，
3 ― ≥ ―1
4 ≥ + 1
可得 ≥ 2 ，解得2 ≤ ≤ 3．
3 ― < + 1
综上所述，实数 a 的取值范围为[ ―1,3]．
19．定义在R上的非常值函数 = ( )、 = ( )，若对任意实数 x、y，均有 ( + ) ( ― ) = 2( ) ―
2( )，则称 = ( )为 = ( )的相关函数.
(1)判断 ( ) = + 1是否为 ( ) = 的相关函数，并说明理由；
(2)若 = ( )为 = ( )的相关函数，证明： = ( )为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果 (0) = 1， (3) = ―1，当0 < < 3时， ―1 < ( ) < 1，且 ( + ) = ( )对所
有实数 均成立，求满足要求的最小正数 ，并说明理由.
【答案】(1)不是，理由见详解；
(2)证明见详解；
(3) = 6
【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可；
（2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可；
（3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可.
【详解】（1）不是相关函数，
易知 ( + ) ( ― ) = ( + )( ― ) = 2 ― 2①，
而 2( ) ― 2( ) = ( + 1)2 ― ( + 1)2 = 2 ― 2 +2 ― 2 ②，显然①②两式不相等，
即 ( ) = + 1不是 ( ) = 的相关函数，
2 = + , = ― （ ）令 2 2 ，则有 ( ) ( ) =
2 ― ― 2 + ，
2 2
= ― , = + 令 2 2 ( , ∈ R)，则有 ( ) ( ― ) =
2 + ― 2 ― ，
2 2
两式相加得 ( )[ ( ) + ( ― )] = 0，
因为 = ( )是定义在R上的非常值函数，所以 ( ), ( ) ≠ 0，
所以 ( )[ ( ) + ( ― )] = 0 ( ) + ( ― ) = 0，所以 ( )是奇函数；
（3）令 = 0，则 2( ) = 2(0) ― 2( ) = 1 ― 2( ) 2( ) + 2( ) = 1，
因为 (3) = ―1，所以 (3) = 0 = ( ―3)，
令 = + 3，则 (2 + 3) ( ―3) = 2( + 3) ― 2( ) = 0，
令 = 3，则 ( + 3) ( ― 3) = 2(3) ― 2( ) = 1 ― 2( )
( + 6) ( ) = 1 ― 2( + 3) = 1 ― 2( ) = 2( )
若 ( ) ≠ 0 ( + 6) = ( )，
若 ( ) = 0， 2( ) = 1 ― 2( ) = 1 ― 2( + 3) = 2( + 3) = 2( + 6)，
则 ( ) = ( + 6) = 0，
综上可知 = 6满足题意.
再用反证法证 = 6是满足题意的最小正数，
若存在0 < < 6
0 0
满足要求，令 = 0, = ，则 ∈ (0,3)，即 2 00 2 2 < 1，2
0 ― 0 = 2 ― 故 0 ― 2(0) < 0，
2 2 2
― 而 0 = ― 0 , 0 = ― 0 ，所以 0 = ― 0 = 0，矛盾，故不符题意.
2 2 2 2 2 2
所以存在 = 6是满足题意的最小正数.
【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题.3.2.2 函数的奇偶性
课程标准 学习目标
（1）理解函数奇偶性的概念;
（2）会判断函数的奇偶性；
（1）结合具体函数, 了解奇偶性的概念和几何
（3）掌握函数奇偶性的性质.
意义。
（4）掌握函数性质（单调性、对称性、周期性）的
综合性问题（难点)
知识点 01 函数奇偶性的概念
1 函数奇偶性的概念
(1) 一般地，设函数 ( )的定义域为 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ( )，那么函数 ( )就叫做偶
函数.
(2) 一般地，设函数 ( )的定义域为 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ― ( )，那么函数 ( )就叫做
奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域 是关于原点对称的.
注 ① 从定义可知，若 是函数定义域中的一个数值，则 ― 也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的
前提是：定义域关于原点对称．如 ( ) = , ∈ ( ― 1,1]是非奇非偶函数.
② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函
数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即 ( ) = 0， ∈ ， 是关于原点对称的实数集．
2 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求 ( ― ) , 看下与 ( )的关系：若 ( ― ) = ( )，则 = ( )是偶函数；
若 ( ― ) = ― ( )，则 = ( )是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于 轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到 (1) ≠ ( ― 1)，则排除 ( )是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数 ( ) = ( ( ))的奇偶性如下图
( ) ( ) ( )
偶函数 偶函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
【即学即练 1】
函数 = 1 11+ ― 1― 的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
知识点 02 函数奇偶性的性质
① 偶函数关于 轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数 ( )定义域内含有0，则 (0) = 0；
证明 ∵ ( )为奇函数， ∴ ( ― ) = ― ( )．
令 = 0，则 ( ―0) = ― (0)，即 (0) = ― (0)， ∴ (0) = 0．
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积
(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
【即学即练 2】
函数 ( ) = 3 ― 1 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【题型一：函数奇偶性的定义与判断】
例 1．下列函数为偶函数是（　 ）
1
A． ( ) = 2 B． ( ) = | | +1

C． ( ) = ( 1 ) ― 3 D． ( ) = ―3 | |
变式 1-1．下列函数是奇函数的是（ ）
A． ( ) = 2 +1 B． ( ) = 3 ―1
C 1． ( ) = 3 + D． ( ) =
4 +2 2
2 +1
变式 1-2．函数 ( ) = 2 ―1是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

变式 1-3．若函数 ( ) = ― +1，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． ( + 1) ―2 B． ( ― 1) ―2 C． ( ― 1) +2 D． ( + 1) +2
【方法技巧与总结】
判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求 ( ― ) , 看下与 ( )的关系：若 ( ― ) = ( )，则 = ( )是偶函数；
若 ( ― ) = ― ( )，则 = ( )是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于 轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到 (1) ≠ ( ― 1)，则排除 ( )是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
【题型二：由奇偶性求函数解析式】
例 2．已知函数 = ( )在R上是奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 ―2，则不等式 ( ) > 0的解集是（ ）
A．( ―1,1) B．( ―1,0) ∪ (0,1)
C．( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞) D．( ―∞, ― 3)( ―1,1) ∪ (3, + ∞)
变式 2-1．已知 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2 ― ，则当 < 0时， ( ) = （ ）
A． ― 2 + B． 2 +
C． 2 ― D． ― 2 ―
变式 2-2．已知 ( ), ( )分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ( ) ― ( ) = 3 + 2 + ，则 (1) + (1)
= （ ）
A．1 B．3 C． ―3 D． ―1
变式 2-3．已知 = ( )是定义在R上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = ― 2 +4 ．若函数 ( )在区间
[ ―2, ― 2]上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞,4) B．( ―∞,4]
C．(0,4] D．(4, + ∞)
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求解函数的解析式，主要是利用函数奇偶性的定义.
【题型三：根据函数的奇偶性求值】
例 3．已知函数 ( )是奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 2 ―4 + 1，则 ( ―3)的值为（ ）
A． ―7 B．7 C． ―31 D．31
变式 3-1．已知 2( )是偶函数，当 > 0时， ( ) = 3 ― ，则 ―
1 = （ ）
3
A． ―7 B． ―5 C．7 D．5
3―4
变式 3-2．已知函数 ( ) = 2+4 +1，且 ( ) = ―3，则 ( ― ) = （ ）
A．4 B．5 C．-4 D．-3
变式 3-3． ( )为奇函数， ( )为偶函数，且 ( ― 1) + (1) = 4， (1) + ( ― 1) = 2则 (1) = （ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
【方法技巧与总结】
1 理解函数奇偶性的概念，比如函数 ( )是偶函数，则 ( ― ) = ( )，等式其中x可取函数定义域中任何一
个值均成立；
2 在给函数赋值的时候，要注意自变量的取值范围.
【题型四：抽象函数的奇偶性】
例 4．定义在 上的 ( )满足：对任意 , ∈ ，总有 ( + ) ― [ ( ) + ( )] = 2017，则下列说法正确的
是（ ）
A． ( ) ― 1是奇函数 B． ( ) + 1是奇函数
C． ( ) ― 2017是奇函数 D． ( ) + 2017是奇函数
变式 4-1．f(x)是定义在 R 上的增函数，则下列结论一定正确的是
A．f(x)＋f(－x)是偶函数且是增函数 B．f(x)＋f(－x)是偶函数且是减函数
C．f(x)－f(－x)是奇函数且是增函数 D．f(x)－f(－x)是奇函数且是减函数
变式 4-2．已知 ( )为定义在R上的函数， (2) = 2，且 ( ) = (2 ) + 2为奇函数，则 ( ―2) = （ ）
A． ―4 B． ―2 C．0 D．2
变式 4-3．已知函数 ( )满足 , ∈ ， ( + ) = ( ) + ( )， (1) = 1，则 ( ―2) = （ ）
A．0 B．1
C． ―2 D．2
【方法技巧与总结】
判断抽象函数的奇偶性，常常利用奇偶性的定义.
【题型五：由函数的奇偶性求参数】
5 = 1

例 ．已知函数 ( ) 2 +1 ― 2，则“ = 1”是“ ( )为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
5-1 ( ) = ― +1变式 ．已知函数 ― 为奇函数，则 (3) = （ ）
A 10． 3 B
1
．2 C．1 D．2
变式 5-2．已知函数 ( ) = 2 + + 2( , ∈ R)是定义在[2 , + 3]上的偶函数，则函数 ( ) = ( )
+2 在[ ―2,2]上的最小值为（ ）
A． ―6 B． ―2 C．3 D．0
变式 5-3．已知定义在 1 2上的偶函数 ( ) = | ― + 1| ―2，若正实数 a、b 满足 ( ) + (2 ) = ，则 +
的最小值为（ ）
A 9．5 B．9 C
8
．5 D．8
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求参数，主要是利用奇偶性的定义；
比如：带参数a的函数f( )是偶函数，求参数a；则通过偶函数的定义可得带参数a的等式f( ― ) = f( )，证
明其在定义域内恒成立时a的取值，但若是选择题，则可以灵活些，取x等于一特殊值得到关于a的方程从
而求出a值.
【题型六：函数的单调性与奇偶性的综合应用】
例 6．已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，则 ( 2 ― 3) + (2 ) < 0的解集为（ ）
A．( ―3,1) B．( ―∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
C．( ―1,3) D．( ―∞, ― 1) ∪ (3, + ∞)
变式 6-1．设函数 ( ) = | | ―2 ，则 ( )（ ）
A．是偶函数，且在(1, + ∞)上单调递增 B．是奇函数，且在( ―1,1)上单调递减
C．是偶函数，且在( ―∞, ― 1)上单调递增 D．是奇函数，且在( ―∞, ― 1)上单调递减
变式 6-2．已知定义在 , ∈
( 1)― ( )
上的偶函数 ( )，若对于任意不等实数 1 2 [0, + ∞)
2
都满足 ― > 0，则不1 2
等式 (2 ) > ( ― 2)的解集为（ ）
A．( ―∞, ― 2) B 2 2．( ―2, + ∞) C． ―2, D．( ―∞, ― 2) ∪ , + ∞
3 3
变式 6-3．数学用语中，max{ , }表示 ， 中较大的数.已知函数 ( ) = max{ 2 + 4 , 2 ― 4 }，若 (2 ― )
> (2 )，则实数 的取值范围是（ ）
A ―∞, 2 B 2 , + ∞ C ―1, 2 D ―2, 2． ． ． ．
3 3 3 3
变式 6-4．（多选） ( )是定义在 R 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 4 ― 2，则下列说法中错误的是
（ ）
A． ( )的单调递增区间为( ―∞, ― 2] ∪ [0,2] B． ( ―π) < (5)
C． ( )的最大值为 4 D． ( ) > 0的解集为( ―4,4)
【方法技巧与总结】
1 处理函数单调性与奇偶性结合的题目，利用函数的图象较好；
2 若f( )是偶函数，则f( )在y轴两侧的单调性是相反的；
若f( )是奇函数，则f( )在y轴两侧的单调性是相同的.
【题型七：函数性质的综合应用】
例 7．（多选）已知定义在R上的奇函数 ( )满足 ( + 2) = (2 ― )，且在[0,2]上是增函数，则下列判断正
确的是（ ）
A． ( )的周期是 4 B． (2)是函数的最大值
C． ( )的图象关于点( ―2,0)对称 D． ( )在[ ―2,2]上是增函数
变式 7-1．已知函数 ( )的定义域为R， ( ― ) + ( ) = 0， ( + 1)是偶函数， (1) = ―1，则 (2023) +
(2026) = （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
变式 7-2．（多选）已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2) + ( ) = 0，且函数 (2 + 1)为偶函数，则下面说
法一定成立的是（ ）
A． ( )是奇函数 B． (2024) = 1
2024
C． ( )的图象关于 = 1对称 D． ( ) = 2024
=1
变式 7-3．函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，可以将
其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( + ) ― 为奇函数，
2
给定函数 ( ) = + ―6 +1 .
(1)求 ( )的对称中心；
(2)已知函数 ( )同时满足：① ( + 1) ―1是奇函数；②当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 ― + .若对任意的 1
∈ [0,2]，总存在 2 ∈ [1,5]，使得 ( 1) = ( 2)，求实数 m 的取值范围.
变式 7-4．已知函数 ( ) = | + |( ∈ ).
(1)若函数 ( )是奇函数，求 的值；
(2)若 <0，记函数 ( )在[2, + ∞)上的最小值为 ( ).
（i）求 ( )；
（ii）设函数 ( ) = 2 + + 4( ∈ )满足：对任意 ∈ ，均存在 0 ∈ [2, + ∞)，使得 ( ) = ( 0)，求
的取值范围.
【方法技巧与总结】
1 处理函数性质的综合问题，常常采取数形结合的方法；
2函数的周期性
（1）概念
对于函数 = ( )，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时， ( + ) = ( )都
成立，那么把函数 = ( )叫做周期函数，常数 叫做这个函数的周期.
（2）① 若 ( + ) = ( + ) ，则 = ( )的周期是 = ― .
② 若 ( + ) = ― ( ) ，则 = ( )的周期是 = 2 ；
1
③ 若 ( + ) = ( )，则 = ( )的周期是 = 2 .
3 函数的对称性
（1） 函数图象自身的对称关系
① 轴对称：若 ( + ) = ( ― ) , 则 = ( )有对称轴 = + 2 .
② 中心对称：若函数 = ( )定义域为 ，且满足条件 ( + ) + ( ― ) = ( , , 为常数)，则函数 =

( ) + 的图象关于点( 2 , 2)对称.
（2）两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数 = ( )定义域为 ，则两函数 = ( + )与 = ( ― ) =
―
的图象关于直线 2 对称.
特殊地，函数 = ( + )与函数 = ( ― )的图象关于直 = 0对称.
② 中心对称

若函数 = ( )定义域为 ，则两函数 = ( + )与 = ― ( ― ) ( ― 的图象关于点 2 , 2)对称.
特殊地，函数 = ( + )与函数 = ― ( ― ) ― 图象关于点( 2 , 0)对称.
4 周期性与对称性拓展
① 若函数 = ( )同时关于直线 = , = 对称，则函数 = ( )的周期 = 2| ― |；特殊地，若偶函数
= ( )的图像关于直线 = 对称，则函数 = ( )的周期 = 2| |；
② 若函数 = ( )同时关于点( , 0) , ( , 0)对称，则函数 = ( )的周期 = 2| ― |；
③ 若函数 = ( )同时关于直线 = 对称，又关于点( , 0)对称 , 则函数 = ( )的周期 = 4| ― |；
特殊地，若奇函数 = ( )的图像关于直线 = 对称，则函数 = ( )的周期 = 4| |.
一、单选题
1．下列函数中，在区间( ― ∞,0)上单调递增且是奇函数的是（ ）
A 1 1 1． = B． = | | C． = ― D． = +
2.若 ( )是 R 上周期为 6 的奇函数，且满足 (1) = ―1， (2) = 2，则 (5) ― (4) = （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
3.已知函数 ( ) = | ― 2| + | + 2|，则“ = ―1”是“ ( )为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设函数 ( )的定义域为 R，且 (3 + 2)是奇函数， ( 3 +1)是偶函数，则一定有（ ）
A． (4) = 0 B． ( ― 1) = 0 C． (3) = 0 D． (5) = 0
5.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2 ― + ― 1，则满足 ( ) ≥ 0的 的取值范围是
（ ）
A．( ―∞, ― 1] ∪ [0,1] B．[ ―1,1]
C．[ ―1,0] ∪ [1, + ∞) D．( ―∞, ― 1] ∪ [1, + ∞)
2
6.已知函数 ( ) = 1― 1+ 2，则不等式 (2 ― 1) < ( ― 1)的解集为（ ）
A 2．( ―∞,0) B． , + ∞
3
C． 0, 2 D 2．( ―∞,0) ∪ , + ∞
3 3
7. = 5―5
4
函数 4+1 部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8.函数 = ( ) 的图像关于点 ( , ) 成中心对称的充要条件是函数 = ( + ) ― 为奇函数，以下选项不
正确的有（ ）
A． ( ) = 3 + 1 1关于 ,0 中心对称
3
B． ( ) = 3 ―6 2 +13关于(2, ― 3) 中心对称
C．函数 = ( ) 的图象关于点 ( , ) 对称，则 ( ) = 2 ― (2 ― )
D．函数 = ( ) 的图象关于 = 对称的充要条件是 = ( + ) 为偶函数
二、多选题
9．下列四个函数中，不具有奇偶性的是（ ）
A． ( ) = 2 ―1 B． ( ) = 2 +
C． ( ) = + 3 D． ( ) = 3 +2
10.已知函数 ( )的定义域为 , ( ) = ( ) + ( )，则（ ）
A． (0) = 0 B． ( ―1) = 0
C 1． ( )是偶函数 D． (2) ≤ 0
2
11.已知定义在 上的偶函数 ( )和奇函数 ( )满足 (2 + ) + ( ― ) = 1，则（ ）
A． ( )的图象关于点(2,1)对称 B． ( )是以 8 为周期的周期函数
2024
C． ( + 8) = ( ) D． (4 ― 2) = 2025
=1
三、填空题
12．已知函数 ( )同时满足下列条件：① ( )的定义域为R；② ( )是偶函数；③ ( )在(0, + ∞)上单调
递减，则 ( )的一个解析式是 ．
13.若函数 ( ) = 2023 + 2025 ―

―8， ( ―2) = 10，则 (2) = .
14.定义在 上的两个函数 ( )和 ( )，已知 ( ) + (1 ― ) = 3， ( ) + ( ― 3) = 3.若 = ( )图象关于点
(1,0)对称，则 (0) = .
四、解答题
15．已知 ( )为 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 ―2 ．
(1)求 ( ―1)的值；(2)求 ( )的解析式．(3)写出解不等式 ( ) ≥ 0的解集．
16.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 < 0时， ( ) = 2 +2 ，
(1)求函数 ( )( ∈ )的解析式，并作出简图；
+1
(2)求函数 ( ) = ( )在区间(0,2)上的值域.
17.定义在( ―2,2)上的函数 ( )满足对任意的 , ∈ ( ―2,2)，都有 ( ) + ( ) = ( + )，且当 ∈ (0,2)时，
( ) > 0．
(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)证明： ( )在( ―2,2)上是增函数；
(3)若 ( ―1) = ―2， ( ) ≤ 2 + ― 1对任意 ∈ [ ―1,1]， ∈ [ ―2,2]恒成立，求实数 的取值范围．
18.“函数 ( )的图像关于点( , )对称”的充要条件是“对于函数 ( )定义域内的任意 x，都有 ( ) +
(2 ― ) = 2 ”．若函数 ( )的图像关于点(1,2)对称，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 ― + + 1．
(1)求 ( ―1) + (3)的值；
(2) 2 设函数 ( ) = 2― ．
（ⅰ）证明：函数 ( )的图像关于点(2, ― 2)对称；
（ⅱ）若对任意 1 ∈ [0,2]，总存在 2 ∈ ―2, 4 ，使得 ( 1) = ( 2)成立，求实数 a 的取值范围．3
19．定义在R上的非常值函数 = ( )、 = ( )，若对任意实数 x、y，均有 ( + ) ( ― ) = 2( ) ―
2( )，则称 = ( )为 = ( )的相关函数.
(1)判断 ( ) = + 1是否为 ( ) = 的相关函数，并说明理由；
(2)若 = ( )为 = ( )的相关函数，证明： = ( )为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果 (0) = 1， (3) = ―1，当0 < < 3时， ―1 < ( ) < 1，且 ( + ) = ( )对所
有实数 均成立，求满足要求的最小正数 ，并说明理由.

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