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3.1.3 简单的分段函数
课程标准 学习目标
（1）了解分段函数的概念;
（1）通过具体实例, 了解简单的分段函数, 并
（2） 会求分段函数的解析式或函数值；
能简单应用。
（3）分段函数的性质与应用.（难点)
知识点 01 分段函数
定义：有些函数在其定义域中，对于自变量 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函
数．
Eg ( ) = | | = , ≥ 0 ( ) = ( ― 1) = ―1, 为奇数― , < 0， 1, 为偶数 ( ∈ N).
【即学即练 1】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费，
用水量 单价（元/吨）
不超过40吨的部分 1.8
超过40吨的部分 2.2
求用水量与水费之间的函数关系，并求用水30吨和50吨的水费.
【题型一：求分段函数的函数值】
例 1．已知函数 ( ) = ( + 2), ≤ 0 2 ― 3 + 4, > 0 ，则 ( ( ―6)) = （ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
― 1, > 0
变式 1-1．已知函数 ( ) = , = 0 那么 ( (3))的值是（ ）
+ 1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．5
变式 1-2．已知函数 ( ) = ( ― 2), ≥ 02 2 ― 3 , < 0 ，则 (1) = （ ）
A．14 B．5 C．1 D．-1
变式 1-3．定义：| | | ―3 = ― ．若 ( ) = |, ≥ 0 ， (1) = 4，则 ( ― 2020) = （ ） ( + 3), < 0
A．10 B．9 C．8 D．7
【方法技巧与总结】
根据分段函数求函数值，要注意分段函数中的每段函数中自变量的取值范围.
【题型二：根据分段函数求解不等式】
2 ( ) = {| ― 1| + 1, ≤ 1例 ．设函数 1, > 1 ，则满足 ( + 1) < (2 )的 x 的取值范围是（ ）
A ( ―∞ ― 1] B ( ― ∞,1． ， 2 ． 2)
C ( ― 1． 2 ， 0) D．( ―
1
2 ， +∞)
变式 2-1．已知 ( ) = 1, 0,0, < 0, 则不等式 ( ) + 2的解集为（ ）
A．[0,1] B．[0,2] C．( ― ∞,1] D．( ― ∞,2]
2
变式 2-2．设函数 ( ) = ― 4 + 6, ≥ 0 + 6, < 0 ，则不等式 ( ) > (1)的解集是（ ）
A．( ―3,1) ∪ (2, + ∞) B．( ―3,1) ∪ (3, + ∞)
C．( ―1,1) ∪ (3, + ∞) D．( ―∞, ― 3) ∪ (1,3)
2
2-3 ( ) = + 2 , ≥ 0变式 ．设函数 ― 2 + 2 , < 0 ，若 ( ( )) ≥ 3，则实数 的取值范围是（ ）
A．[ 2 ― 1, + ∞) B．( ―∞, ― 2 ― 1]
C．[ ―3,1] D．[1, + ∞)
【方法技巧与总结】
根据分段函数求解不等式，要注意好分类讨论，找准分类讨论的标准，做到不重不漏.
【题型三：根据分段函数所得方程求参数或自变量】
3 ( ― 1)
2,0 < < 2
例 ．已知函数 ( ) = 2( ― 2), ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)，则 ( + 3) = （ ）
A．0 B．4 3 C．0 或4 3 D．4 ― 2 3
变式 3-1 , < 0．已知函数 ( ) = 2 , ≥ 0 ，若 ( ) = ― (1)，则 = （ ）
A． ―2 B． ―1 C． ―4 D．2
3-2 ( ) = ,0 < < 1 1变式 ．设 2( ― 1), > 1 ，若 ( ) = ( + 1)，则 = （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2
3-3 + 0 < < 2 1变式 ．已知函数 ( ) = ，―2 + 8， ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)， ∈ (0, + ∞)，则 = （ ）
A 2 B 5 C 6 D 17． ．16 ． ． 2
【方法技巧与总结】
根据分段函数的函数值所得的方程求其中的参数或自变量，要注意变量的取值范围，作好分类讨论.
【题型四：求分段函数的解析式】
例 4．如图， △ 是边长为 2 的正三角形，记 △ 位于直线 = (0 ≤ ≤ 2)左侧的图形的面积为
( )．则函数 = ( )的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
变式 4-1．已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 → → →
运动．设点 经过的路程为 ． △ 的面积为 ．则 与 的函数图象大致为图中的（　　）
A． B．
C． D．
变式 4-2．在同一平面直角坐标系中，函数 = ( )和 = ( )的图象关于直线 = 对称．现将 = ( )的
图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所
示），则函数 ( )的表达式为（ ）
2 + 2, ― 1 ≤ ≤ 0 2 ― 2, ― 1 ≤ ≤ 0
A． ( ) = + 2,0 < ≤ 2 B． ( ) = ― 2,0 < ≤ 2
2 2
2 ― 2,1 ≤ ≤ 2 2 ― 6,1 ≤ ≤ 2
C． ( ) = + 1,2 < ≤ 4 D． ( ) = ― 3,2 < ≤ 4
2 2
【方法技巧与总结】
求分段函数的解析式，要抓好分段自变量的临界点以及对应的区间范围！
【题型五：画具体分段函数的图象】
例 5．将函数 = | ― 2 + 1| +2向左、向下分别平移 2 个、3 个单位长度，所得图像为（ ）
A． B．
C． D．
( ) = { + 1, ∈ [ ― 1,0)变式 5-1．已知 2 + 1, ∈ [0,1] ，则函数 = ( ― )的图象是（ ）
A． B． C． D．

变式 5-2．函数 ( ) = | |―1的图象大致形状是（ ）
A． B． C． D．
变式 5-3．设函数 ( ) = | ― 1| ―2| + 1|．
(1)作出函数 ( )的图象；
(2)若 ( )的最大值为 ，正实数 , , 满足 + 2 2 +3 + 6 = ，求 + 3 + 3 的最小值．
【方法技巧与总结】
, ≥ 0
画含绝对值的函数图象，可以利用| | = ― , < 0，把函数转化为分段函数，再把分段函数画出.
【题型六：与分段函数有关的值域问题】
1
例 6．已知函数 ( ) = ― , < 12 ，若 ( )值域为 ― ,2 ，则实数 的取值范围是（ ） ― , ≤ ≤ 2 4
A．[ ―1,0] B ― 1． ,0 C． ―1, ― 1 D． ―∞, ― 1
2 2 2
6-1 ( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2变式 ．已知函数 + 1, ≥ 2 的值域为R，则 的取值范围是（ ）
A 1 , 1 B 1． ． , + ∞ C 1 1． ―∞, D． , + ∞
3 2 3 3 2
(1 ― 2 ) + 3 , < 1
变式 6-2．已知函数 ( ) = ― 1 , ≥ 1 的值域为R，那么 a 的取值范围是（ ）

A．( ―∞, ― 1] B． ―1, 1 C 1． ―1, D．(0,1)
2 2
6-3 ( ) = 1 ― , ― 1 ≤ < 0变式 ．已知函数 | ― 1|,0 ≤ ≤ 的值域是[0,2]，则实数 的取值范围是（ ）
A．(0,1] B．[1,3] C．[1,2] D．[2,3]
【方法技巧与总结】
1 处理与分段函数有关的值域问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往
很重要.
2 对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区
间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系．
【题型七：与分段函数的最值问题】
2 ― 2 ― 2, ≤ 2,
例 7．已知函数 ( ) = + 36 ― 6 , > 2, 若 ( )的最小值为 (2)，则实数 a 的取值范围为（ ）

A．[2,5] B．[2, + ∞) C．[2,6] D．( ― ∞,5]
变式 7-1．函数 ( ) = (1 ― )| ― 3|在( ―∞, )上取得最小值 ―1，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞,2) B．[2 ― 2,2] C．[2,2 + 2] D．[2, + ∞)
( - )2, ≤0
变式 7-2．设 ( )= + 1 + +4, >0 ，若 (0)是 ( )的最小值，则 的取值范围为（ ）

A．[0,3] B．(0,3) C．(0,3] D．[0,3)
变式 7-3．已知 ( ) = 1 ― | + 1|, < 0 2 ― 2 , ≥ 0 ，若实数 ∈ [ ―2,0]，则| ( ) ― ― 1 |在区间[ , + 1]上的最大2
值的取值范围是（ ）
A 1 , 5 B 1 , 3 C 1 , 3． ． ． D 1． ,2
4 4 4 2 2 2 2
【方法技巧与总结】
1 处理与分段函数有关的最值问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往
很重要；
2 结合分段函数的图象的话，要把问题进行等价转化，注意如何才能使得图象取到最值或在哪里取到等.
【题型八：其他分段函数的性质及应用】
8 ≥ 例 ．定义max ，， = < ，若函数 ( ) = max， ―
2 + 3 ，| ― 3| ，若 ( )在区间[ , ]上的值域
5
为 ，3 ，则区间[ , ]长度的最大值为（ ）4
A．6 B 5．2 C
7
．2 D
7
．4
2
8-1 ( ) = ― 8 + 8, ≥ 0变式 ．已知函数 2 + 4, < 0 ．若互不相等的实根 1, 2, 3满足 ( 1) = ( 2) = ( 3)，则
1 + 2 + 3的范围是（ ）
A．(2,8) B．( ― 8,4) C．( ― 6,0) D．( ― 6,8)
变式 8-2 1, ．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数 = ( ) = 为有理数0, ，该函数为无理数
被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
① ( ( )) = 0；②对任意 ∈ R，恒有 ( ) = ( ― )成立；
③任取一个不为零的有理数 ， ( + ) = ( )对任意实数 均成立；
④存在三个点 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))， ( 3, ( 3))，使得 △ 为等边三角形；
其中正确的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③
2
变式 8-3 ( ) = ― , ≥ ―1,．已知函数 ― + , < ―1. 若 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，则实数
的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
处理与分段函数有关的函数性质问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中掌握函数的单调
性是关键.
一、单选题

1 ( ) = 2 , > 0．已知函数 ( + 2), ≤ 0 ，则 ( ―3) = （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2
2. ( ) = ― + 2 , ≥ 0已知 2 + 2 , < 0 ，满足 ( ) < ( ― )，则 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 2) ∪ (0,2) B．( ―∞, ― 2) ∪ (2, + ∞)
C．( ―2,0) ∪ (0,2) D．( ―2,0) ∪ (2, + ∞)
| ― 1|, ≥ 0
3.已知函数 ( ) = 2 , < 0 ，若 ( ) = ( + 1).则 ( ―2 ) = （ ）

A． ―1 B． ―2 C． ―3 D． ―4
4.如图所示，在直角坐标系的第一象限内， △ 是边长为 2 的等边三角形，设直线 = (0 ≤ ≤ 2)截这
个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为 ( )，则函数 = ( )的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5. ( ) = 3 + 1， ≤ 1已知函数 2 ― 1 > 1 ，若 > ，且 ( ) = ( )，设 = ― ，则 的最大值为（ ），
A 19．12 B． 5 ―1 C
17 4
．12 D．3
6.设符号 { ， ， }表示 , , 中的最小者，已知函数 ( )＝ {| ﹣2|, 2,| + 2|}则下列结论正确的是
（ ）
A． ∈ [0, + ∞), ( ― 2) > ( ) B． ∈ [1, + ∞), ( ― 2) > ( )
C． ∈ , ( ( )) ≤ ( ) D． ∈ , ( ( )) > ( )
2
7.设函数 ( ) = ( ― ) ， ≤ 0 2 ― 2 + 3 + > 0 ，若 (0)是函数 ( )的最小值，则实数 a 的取值范围是( )，
A．[﹣1，2] B．( ―1,2) C．[0,2) D．[0，2]
8.设函数 = ( ) R ( ), ( ) > 在 上有定义，对于任一给定的正数 ，定义 ( ) = , ( ) ≤ 则称函数 = ( )为
= ( )的“ 下界函数”．若给定 ( ) = 2 ―2 ― 1， = 2，则下列结论不正确的是（ ）
A． ( (0)) > (0) B． ( (1)) > (1)
C． ( (2)) = (2) D． ( (3)) > (3)
二、多选题
9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：
每户每月用水量 (m3) 水价
不超过12m3的部分 3 元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6 元/m3
超过18m3的部分 9 元/m3
则下列说法正确的是（ ）
A．若某户居民某月用水量为10m3，则该用户应缴纳水费 30 元
B．若某户居民某月用水量为16m3，则该用户应缴纳水费 96 元
C．若某户居民某月缴纳水费 54 元，则该用户该月用水量为15m3
D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费 93 元，且甲户该月用水量未超过12m3，乙户该月用水量未超过
18m3，则该月甲户用水量为9m3（甲，乙两户的月用水量均为整数）
2 210. , ≥ 1已知函数 ( ) = ( + 1), < 1 ，则下列正确的是（ ）
A． [ (0)] = 8 B． [ (1)] = 2
4
C 3 = 81 D ( ) 0, 1． ． 的值域为
2 2 2
11.已知全集为 R，对于给定数集 A 1, ∈ ，定义函数 ( ) = 0, 为集合 A 的特征函数，若函数 ( )是数集 A
的特征函数，函数 ( )是数集 B 的特征函数，则（ ）
A． = ( ) ( )是数集 ∩ 的特征函数
B． = ( ) + ( ) ― ( ) ( )是数集 ∪ 的特征函数
C． = ( ) ― ( ) ( )是数集 ∩ ( R )的特征函数
D． = ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( )是集合 R( ∩ )的特征函数
三、填空题
2 2 + 3, ∈ [ ―6, ― 1)
12．已知 ( ) = 1 , ∈ [ ―1,1) 则 ( 2) = ．
, ∈ [1,6]
13.给定函数 ( ) = + 2， ( ) = 4 ― 2，对于 ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的较小者，记为 ( ) =
min{ ( ), ( )}，则 ( )的最大值为 .
14. 已 知 关 于 实 数 ( ―1 ≤ ≤ 1)的 方 程 | ― 1| + | ― 2| = 和 | ― 1| ― | ― 2| = 对 任 意 1, 2
( ―1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1)有解，则 + 的值的集合为 ．
四、解答题
3 + 5, ≤ 0
15．已知函数 ( )的解析式为 ( ) = + 5,0 < ≤ 1 .
―2 + 8, > 1
(1) 3 1求 ， ， ( ―1)的值；
2 π
(2)画出这个函数的图象；
16.已知函数 ( ) = 2| ― 2| + | + 1|.
(1)画出 ( )的图像；
(2)请根据 ( )的图像直接写出 ( ) > 4的解集（无需说明理由）.
17.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放 (0 < ≤ 4且 ∈ R)个单位的营养液，它在水中释放的
2+
， ∈ [0，4]
浓度 (克/升)随着时间 (天)变化的函数关系式近似为 = ( )，其中 ( ) = 6― ，若多
5 ― 1 ∈ (4 10]
2 ， ，
次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当
水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效．
(1)若只投放一次 4 个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放 2 个单位的营养液，6 天后再投放 个单位的营养液，要使接下来的 4 天中，营养液能够持续
有效，试求 的最小值．
18.已知函数 ( )的定义域为[0,1]，且 ( )的图象连续不间断．若函数 ( )满足：对于给定的 m（ ∈ R且
0 < < 1），存在 0 ∈ [0,1 ― ]，使得 ( 0) = ( 0 + )，则称 ( )具有性质 ( )．
2
(1)已知函数 ( ) = ― 1 ， ∈ [0,1]，判断 2 ( )
1
是否具有性质 ，并说明理由；
3
―4 + 1,0 ≤ ≤ 1
4
(2) 1已知函数 ( ) = 4 ― 1, < <
3
4 4 ，若 ( )具有性质 ( )，求 m 的最大值.
―4 + 5, 3 ≤ ≤ 1
4
19 A 1, ∈ ．已知集合 为数集，定义 ( ) = 0, ∈ .若 , { | ≤ 8, ∈ N
}，定义： ( , ) = | (1) ― (1)|
+ | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|.
(1)已知集合 = {1,2}，直接写出 (1)， (2)及 (8)的值；
(2)已知集合 = {1,2,3}， = {2,3,4}， = ，求 ( , )， ( , )的值；
(3)若 , , { ∣ ≤ 8, ∈ N*}.求证： ( , ) + ( , ) ≥ ( , ).3.1.3 简单的分段函数
课程标准 学习目标
（1）了解分段函数的概念;
（1）通过具体实例, 了解简单的分段函数, 并
（2） 会求分段函数的解析式或函数值；
能简单应用。
（3）分段函数的性质与应用.（难点)
知识点 01 分段函数
定义：有些函数在其定义域中，对于自变量 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函
数．
Eg ( ) = | | = , ≥ 0― , < 0， ( ) = ( ― 1)
= ―1, 为奇数1, 为偶数 ( ∈ N).
【即学即练 1】湛江市自来水公司鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费，
用水量 单价（元/吨）
不超过40吨的部分 1.8
超过40吨的部分 2.2
求用水量与水费之间的函数关系，并求用水30吨和50吨的水费.
解析 设用水量为 吨，水费为 元，
依题意知当 ≤ 40时， = 1.8 元；当 > 40时， = 2.2( ― 40) +1.8 × 40 = 2.2 ―16元，
故用水量与水费之间的函数关系为 ( ) = 1.8 , ≤ 402.2 ― 1.6, > 40，
所以 (30) = 54， (50) = 109.4，即用水30吨和50吨的水费分别为54元、109.4元.
【题型一：求分段函数的函数值】
1 ( ) = ( + 2), ≤ 0例 ．已知函数 2 ― 3 + 4, > 0 ，则 ( ( ―6)) = （ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】C
【分析】
通过函数表达式即可得出 ( ( ―6))的值.
【详解】由题意，
在 ( ) = ( + 2), ≤ 0 2 ― 3 + 4, > 0 中，
( ( ―6)) = ( ( ―4)) = ( ( ―2)) = ( (0)) = ( (2)) = (22 ― 3 × 2 + 4) = (2)
= 22 ―3 × 2 + 4 = 2，
故选：C.
― 1, > 0
变式 1-1．已知函数 ( ) = , = 0 那么 ( (3))的值是（ ）
+ 1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】先计算 (3) = 3 ― 1 = 2，从而 [ (3)] = (2)，由此能求出结果.
― 1, > 0
【详解】解： ∵ 函数 ( ) = , = 0 ，
+ 1, < 0
∴ (3) = 3 ― 1 = 2，
[ (3)] = (2) = 2 ― 1 = 1.
故选：A.
1-2 ( ) = ( ― 2), ≥ 0变式 ．已知函数 2 2 ― 3 , < 0 ，则 (1) = （ ）
A．14 B．5 C．1 D．-1
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式代入计算可得.
( ― 2), ≥ 0
【详解】因为 ( ) = 2 2 ― 3 , < 0 ，所以 (1) = ( ―1) = 2 × ( ―1)
2 ―3 × ( ―1) = 5.
故选：B
1-3 | ―3变式 ．定义： | = ― ．若 ( ) = | |, ≥ 0 ， (1) = 4，则 ( ― 2020) = （ ） ( + 3), < 0
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
2
【分析】依题意可得 ( ) = + 3 , ≥ 0 ( + 3), < 0 ，由 (1) = 4求出 的值，从而得到 ( )的解析式，再根据
( ― 2020) = ( ― 2020 + 673 × 3) = ( ― 1) = (2)代入计算可得.
―3
【详解】依题意可得| 2 | = +3 ，
| ―3| ( ) = , ≥ 0 = 2 + 3 , ≥ 0所以
( + 3), < 0 ( + 3), < 0
，
2
因为 (1) = 4，所以 (1) = + 3 = 4，所以 = 1，所以 ( ) = + 3 , ≥ 0 ( + 3), < 0 ，
所以 ( ― 2020) = ( ― 2020 + 673 × 3) = ( ― 1) = (2) = 4 + 6 = 10．
故选：A．
【方法技巧与总结】
根据分段函数求函数值，要注意分段函数中的每段函数中自变量的取值范围.
【题型二：根据分段函数求解不等式】
例 2．设函数 ( ) = {| ― 1| + 1, ≤ 11, > 1 ，则满足 ( + 1) < (2 )的 x 的取值范围是（ ）
A ( ―∞ ― 1] B ( ― ∞,1． ， 2 ． 2)
C 1 1．( ― 2 ， 0) D．( ― 2 ， +∞)
【答案】B
【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式 ( + 1) < (2 )求其解.
∵ ( ) = {| ― 1| + 1, ≤ 1【详解】 1, > 1 ，
∴ ( ) = {2 ― , ≤ 11, > 1 ，
当 + 1 ≤ 1且2 ≤ 1时，不等式 ( + 1) < (2 )可化为2 ― ― 1 < 2 ― 2 ，
∴ ≤ 0，
当 + 1 ≤ 1且2 > 1时，不等式 ( +1) < (2 )可化为2 ― ― 1 < 1，
∴ 满足条件的 不存在，
当 + 1 > 1且2 > 1时，不等式 ( +1) < (2 )可化为1 < 1，
∴ 满足条件的 不存在，
当 + 1 > 1且2 ≤ 1时，不等式 ( +1) < (2 )可化为1 < 2 ― 2 ，
∴0 < < 12，
∴满足 ( +1) < (2 )的 x 1的取值范围是( ― ∞,2)，
故选：B.
1, 0,
变式 2-1．已知 ( ) = 0, < 0, 则不等式 ( ) + 2的解集为（ ）
A．[0,1] B．[0,2] C．( ― ∞,1] D．( ― ∞,2]
【答案】C
【解析】分别讨论 ≥ 0与 < 0的情况,进而求解即可
【详解】当 ≥ 0时,原不等式可化为 1 + ≤ 2,解得0 ≤ ≤ 1；
当 < 0时.原不等式可化为 ≤ 2,所以 < 0；
综上,原不等式的解集为( ― ∞,1]
故选：C
【点睛】本题考查分段函数,考查解不等式,考查分类讨论思想
2
变式 2-2 ( ) = ― 4 + 6, ≥ 0．设函数 + 6, < 0 ，则不等式 ( ) > (1)的解集是（ ）
A．( ―3,1) ∪ (2, + ∞) B．( ―3,1) ∪ (3, + ∞)
C．( ―1,1) ∪ (3, + ∞) D．( ―∞, ― 3) ∪ (1,3)
【答案】B
【分析】首先求出 (1)，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可.
2
【详解】因为 ( ) = ― 4 + 6, ≥ 0 2 + 6, < 0 ，所以 (1) = 1 ―4 + 6 = 3，
不等式 ( ) > (1) ≥ 0 + 6 > 3等价于 2 ― 4 + 6 > 3 或 < 0 ，
解得0 ≤ < 1或 > 3或 ―3 < < 0，
所以不等式 ( ) > (1)的解集为( ―3,1) ∪ (3, + ∞).
故选：B
2
变式 2-3 + 2 , ≥ 0．设函数 ( ) = ― 2 + 2 , < 0 ，若 ( ( )) ≥ 3，则实数 的取值范围是（ ）
A．[ 2 ― 1, + ∞) B．( ―∞, ― 2 ― 1]
C．[ ―3,1] D．[1, + ∞)
【答案】A
【分析】令 ( ) = ，先分段讨论求得 ( ) ≥ 1，再分段讨论求得 ≥ 2 ―1，从而得解.
2
( ) = + 2 , ≥ 0【详解】因为 ― 2 + 2 , < 0 ，
令 ( ) = ，则 ( ( )) ≥ 3可化为 ( ) ≥ 3，
当 ≥ 0时， 2 +2 ≥ 3，即，解得 ≥ 1（负值舍去），即 ( ) ≥ 1，
当 < 0时， ― 2 +2 ≥ 3，即 2 ―2 + 3 ≤ 0，
而 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2 > 0，故上述不等式无解；
综上， ( ) ≥ 1，
若 ≥ 0，则 2 +2 ≥ 1，解得 ≥ 2 ―1（负值舍去）；
若 < 0，则 ― 2 +2 ≥ 1，解得 = 1（舍去）；
综上： ≥ 2 ―1.
故选：A.
【方法技巧与总结】
根据分段函数求解不等式，要注意好分类讨论，找准分类讨论的标准，做到不重不漏.
【题型三：根据分段函数所得方程求参数或自变量】
3 ( ) = ( ― 1)
2,0 < < 2
例 ．已知函数 2( ― 2), ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)，则 ( + 3) = （ ）
A．0 B．4 3
C．0 或4 3 D．4 ― 2 3
【答案】A
【分析】根据题意，当0 < < 2时，结合题意，求得 = 2 ― 3，代入求得 ( + 3)的值，当 > 2时，函
数为单调函数，显然不成立，即可求解.
2
【详解】由函数 ( ) = ( ― 1) ,0 < < 22( ― 2), ≥ 2 ，且 ( ) = ( + 2)，
当0 < < 2时，可得 + 2 > 2，所以( ― 1)2 = 2( + 2 ― 2)，
即 = 2 ― 3或 = 2 + 3（舍去），此时 ( + 3) = (2 ― 3 + 3) = (2) = 0
当 > 2时，函数 ( ) = 2( ― 2)为单调递增函数，
所以，当 > 2时，不存在 ( ) = ( + 2)成立，
综上可得， ( + 3) = 0.
故选：A.
变式 3-1 , < 0．已知函数 ( ) = 2 , ≥ 0 ，若 ( ) = ― (1)，则 = （ ）
A． ―2 B． ―1 C． ―4 D．2
【答案】A
【分析】先求出 (1) = 2，然后分类讨论代入函数解析式列式求解即可.
【详解】由题意可得 (1) = 2.
当 ≥ 0时， ( ) = 2 = ― (1) = ―2，解得 = ―1，舍去；
当 < 0时， ( ) = = ― (1) = ―2，解得 = ―2，满足题意.所以 = ―2.
故选：A
变式 3-2．设 ( ) = ,0 < < 12( ― 1), > 1 ，若 ( ) = ( + 1)
1
，则 = （ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】分0 < < 1、 > 1两种情况解方程 ( ) = ( + 1) 1，求出 的值，然后代值计算可得出 的值.

【详解】因为 ( ) = ,0 < < 12( ― 1), > 1 ，且 ( ) = ( + 1).
当0 < < 1时，则1 < + 1 < 2 1，由 ( ) = ( + 1)可得 = 2 ，解得 = 4，合乎题意.
当 > 1时，由 ( ) = ( + 1)可得2( ― 1) = 2 ，无解.
1 1
所以， = 4，则 = (4) = 2 × (4 ― 1) = 6.
故选：C.
2
3-3 + 0 < < 2 1变式 ．已知函数 ( ) = ，―2 + 8， ≥ 2 ，若 ( ) = ( + 2)， ∈ (0, + ∞)，则 = （ ）
A．2 B 5．16 C．6 D
17
． 2
【答案】A
【分析】根据分段函数，分0 < < 2， ≥ 2，由 ( ) = ( + 2)求解.
2 + 0 < < 2
【详解】因为函数 ( ) = ，―2 + 8 ≥ 2 ，且 ( ) = ( + 2)， ， ∈ (0, + ∞)，
当0 < < 2时， 2 + = ―2( + 2) +8，即 2 +3 ― 4 = 0，
解得 = ―4或 = 1，
当 ≥ 2时， ―2 + 8 = ―2( + 2) +8，无解，
综上： = 1，
所以 1 = (1) = 2，

故选：A
【方法技巧与总结】
根据分段函数的函数值所得的方程求其中的参数或自变量，要注意变量的取值范围，作好分类讨论.
【题型四：求分段函数的解析式】
例 4．如图， △ 是边长为 2 的正三角形，记 △ 位于直线 = (0 ≤ ≤ 2)左侧的图形的面积为
( )．则函数 = ( )的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，分类讨论0 < ≤ 1与1 < ≤ 2，求得 ( )的解析式，从而得解.
【详解】依题意，当0 < ≤ 1时，可得直角三角形的两条直角边分别为 , 3 ，
1 3 2
从而可以求得 ( ) = 2 3 = ，2
当1 < ≤ 2时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，
2
可求得 ( ) = 3 ― 3(2― ) = ― 3 2 +2 3 ― ，2 2 3
3 2 (0 < ≤ 1)
所以 ( ) = 23 ，― 2 + 2 3 ― 3(1 < ≤ 2)
2
从而可知选项 A 的图象满足题意.
故选：A.
变式 4-1．已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 → → →
运动．设点 经过的路程为 ． △ 的面积为 ．则 与 的函数图象大致为图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求 与 的函数关系式，进而可得结果.
【详解】当动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 → 运动时，
则 △ = 1的面积为 2 × 1 =
1
2 ,0 < ≤ 1；
当动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 → 运动时，
则 △ 的面积为 = 12 1 +
1 × 1 ― 1 1 1 12( ― 1) × 1 ― 2 × 2(2 ― ) = 4(3 ― ) ,1 < < 2；2
当动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 → 运动时，
则 △ 的面积为 = 1 52 ― × 1 =
1
4(5 ― 2 ),2 ≤ < 2.5；2
,0 < ≤ 1
1
综上所述： = (3 ― ) ,1 < < 24 ，可知 B、C、D 错误，A 正确.
1 (5 ― 2 ),2 ≤ < 2.5
4
故选：A.
变式 4-2．在同一平面直角坐标系中，函数 = ( )和 = ( )的图象关于直线 = 对称．现将 = ( )的
图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所
示），则函数 ( )的表达式为（ ）
2 + 2, ― 1 ≤ ≤ 0 2 ― 2, ― 1 ≤ ≤ 0
A． ( ) = + 2,0 < ≤ 2 B． ( ) = ― 2,0 < ≤ 2
2 2
2 ― 2,1 ≤ ≤ 2 2 ― 6,1 ≤ ≤ 2
C． ( ) = + 1,2 < ≤ 4 D． ( ) = ― 3,2 < ≤ 4
2 2
【答案】A
【分析】首先根据题意，结合图像求出函数 ( )的表达式，根据 ( ), ( )图像间的关系，求出 ( )的表达
式，再根据 = ( )和 = ( )的图象关于直线 = 对称，分段依次求出函数 ( )的表达式得到答案.
【详解】设经过两次平移后所得图像对应的函数为 ( )，

由图像可知，当 ―2 ≤ ≤ 0时，函数图像过( ―2,0), (0,1)可得 ( ) = 2 +1，
当0 < ≤ 1时，函数图像过(0,1), (1,3)可得 ( ) = 2 + 1，
+ 1, ― 2 ≤ ≤ 0
所以 ( ) = 2 ，2 + 1, 0 < ≤ 1
因为 = ( )的图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移1个单位得 ( )，
所以把 ( )右移2个单位，下移1个单位可得 ( )，
―2
= ―1 = + 1 ― 1, ― 2 ≤ ― 2 ≤ 0
― 1, 0 ≤ ≤ 2
即 ( ) ( ― 2) 2 = 2 ，
2( ― 2) + 1 ― 1, 0 < ― 2 ≤ 1 2 ― 4, 2 < ≤ 3
又因为函数 = ( )和 = ( )的图象关于直线 = 对称，

所以当 ―1 ≤ ≤ 0时， = 2 ―1得 = 2 + 2即 ( ) = 2 + 2，
当0 < ≤ 2时， = 2 ― 4 1得 = 2 + 2即
1
( ) = 2 + 2，
2 + 2, ― 1 ≤ ≤ 0
所以 ( ) = 1 + 2, 0 < ≤ 2 .
2
故选：A
【方法技巧与总结】
求分段函数的解析式，要抓好分段自变量的临界点以及对应的区间范围！
【题型五：画具体分段函数的图象】
例 5．将函数 = | ― 2 + 1| +2向左、向下分别平移 2 个、3 个单位长度，所得图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.
【详解】
2
= 3 ― , ∈ [ ―1,1]因为 2 + 1, ∈ ( ―∞, ― 1) ∪ (1, + ∞) ，可得函数的大致图像如图所示，
将其向左、向下分别平移 2 个、3 个单位长度，所得函数图像为 C 选项中的图像.
故选：C
( ) = { + 1, ∈ [ ― 1,0)变式 5-1．已知 2 + 1, ∈ [0,1] ，则函数 = ( ― )的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先画函数 ( )的图象，再根据函数 ( )的图象与 ( ― )的图象关于 轴对称，即可选出正确选项.
【详解】先画函数 ( ) = { + 1, ∈ [ ― 1,0) 2 + 1, ∈ [0,1] 的图象，如下图：
因为函数 ( )的图象与 ( ― )的图象关于 轴对称，只有 A 选项的图象符合.
故选：A.
【点睛】本题主要考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象
画出，那么对称函数的图象随之可得.

变式 5-2．函数 ( ) = | |―1的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.

, > 0且 ≠ 1
【详解】函数 ( ) = | |―1的定义域为 ≠± 1， ( ) = ―1| |―1 = , < 0 ≠ ―1
― ―1 且
(2) = 2 > 0，排除 BC 选项， ( ― 2) = ―2 < 0，排除 D 选项.
故选：A
变式 5-3．设函数 ( ) = | ― 1| ―2| + 1|．
(1)作出函数 ( )的图象；
(2)若 ( )的最大值为 ，正实数 , , 满足 + 2 2 +3 + 6 = ，求 + 3 + 3 的最小值．
【答案】(1)图象见解析
(2)2 2
【分析】（1）分别在 ≤ ―1、 ―1 < < 1及 ≥ 1的情况下，讨论得到 ( )的解析式，由此可得函数图象；
（2）结合图象可确定 = 2，化简已知等式得到( + 2 )( + 3 ) = 2，根据 + 3 + 3 = ( + 2 ) +
( + 3 )，利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）当 ≤ ―1时， ( ) = ― + 1 + 2( + 1) = + 3；
当 ―1 < < 1时， ( ) = 1 ― ― 2( + 1) = ―3 ― 1；
当 ≥ 1时， ( ) = ― 1 ― 2( + 1) = ― ― 3；
作出 ( )的图象如下图所示，
（2）由（1）可知：当 = ―1时， ( )max = 2，即 = 2，
∴ + 2 2 +3 + 6 = 2，即( + 2 ) + 3 ( + 2 ) = ( + 2 )( + 3 ) = 2，
∴ + 3 + 3 = ( + 2 ) + ( + 3 ) ≥ 2 ( + 2 )( + 3 ) = 2 2（当且仅当 + 2 = + 3 ，即
+ = 3 时等号成立），
∴ ( + 3 + 3 )min = 2 2.
【方法技巧与总结】
, ≥ 0
画含绝对值的函数图象，可以利用| | = ― , < 0，把函数转化为分段函数，再把分段函数画出.
【题型六：与分段函数有关的值域问题】
1
例 6 ― , < 1．已知函数 ( ) = 2 ，若 ( )值域为 ― ,2 ，则实数 的取值范围是（ ） ― , ≤ ≤ 2 4
A．[ ―1,0] B． ― 1 ,0
2
C． ―1, ― 1 D． ―∞, ― 1
2 2
【答案】C
1
【分析】根据分段函数 ( )的解析式、 ( )的值域、 = ― ( ≤ 2), =
2 ― ( ≤ 2)的图象来求得 的取值
范围.
1 2
【详解】当 = 2时， (2) = 4 ― 2 = 2, ( ) = 2 ― = ― ―
1
4 ≥ ―
1
2 4，
∵ 1 1( ) 1值域为 ― ,2 , ∴ 当 < 时，由 ( ) = ―
4
= 2，得 = ― 2，
由 ( ) = 2 ― = 2，得 2 ― ― 2 = 0，解得 = 2或 = ― 1，
1
作出 = ― ( ≤ 2), =
2 ― ( ≤ 2)的图象如下图所示，
1 1
由图象可得： ―1 ≤ ≤ ― 2，即实数 的取值范围是 ―1, ― .2
故选：C.
6-1 ( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2变式 ．已知函数 + 1, ≥ 2 的值域为R，则 的取值范围是（ ）
A 1 , 1 B 1 , + ∞ C 1 1． ． ． ―∞, D． , + ∞
3 2 3 3 2
【答案】D
( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2【分析】根据分段函数 + 1, ≥ 2 的值域为R，结合分段函数性质，列出相应的不等式
组，即可求得答案.
【详解】由题意知当 ≥ 2时， ( ) = + 1 ≥ 3，
( ) = (3 ― 1) + 4 , < 2故要使函数 + 1, ≥ 2 的值域为R，
3 ― 1 > 0 1
需满足 (3 ― 1) × 2 + 4 ≥ 3 ，解得 ≥ 2，
1
故 的取值范围是 , + ∞ ，
2
故选：D
(1 ― 2 ) + 3 , < 1
变式 6-2．已知函数 ( ) = ― 1 , ≥ 1 的值域为R，那么 a 的取值范围是（ ）

A．( ―∞, ― 1] B． ―1, 1 C 1． ―1, D．(0,1)
2 2
【答案】C
【分析】根据解析式得出 ( )在 ∈ [1, + ∞) 1 ― 2 > 0上有 ( ) ≥ 0，由题意可得 1 ― 2 + 3 ≥ 0 ，然后求解即可.
1
【详解】当 ≥ 1时， ( ) = ― 单调递增，所以 ( )在 ∈ [1, + ∞)上有 ( ) ≥ 0，
(1 ― 2 ) + 3 , < 1
所以要使函数 ( ) = ― 1 , ≥ 1 的值域为R，

1 ― 2 > 0 1
则需 1 ― 2 + 3 ≥ 0 ，解得 ―1 ≤ < 2.
故选：C
6-3 ( ) = 1 ― , ― 1 ≤ < 0变式 ．已知函数 | ― 1|,0 ≤ ≤ 的值域是[0,2]，则实数 的取值范围是（ ）
A．(0,1] B．[1,3] C．[1,2] D．[2,3]
【答案】B
【分析】先求出当 ―1 ≤ < 0时， ( )的值域为(1,2].由题意可知，当0 ≤ ≤ 时， ( ) = | ― 1| = 0有
解，此时 = 1，所以1 ∈ [0, ]，故 ≥ 1，然后根据 ( ) = | ― 1|的单调性对 分1 ≤ ≤ 2和 > 2两种情况
进行讨论即可求解.
【详解】解：由题意，当 ―1 ≤ < 0时， ( ) = 1 ― ∈ (1,2]，
又函数 ( ) = 1 ― , ― 1 ≤ < 0| ― 1|,0 ≤ ≤ 的值域是[0,2]，
当0 ≤ ≤ 时， ( ) = | ― 1| = 0有解，此时 = 1，所以1 ∈ [0, ]，所以 ≥ 1，
≥ 1 ( ) = | ― 1| = 1 ― ,0 ≤ ≤ 1当 时， ― 1,1 < ≤ 在[0,1]上单调递减，在[1, ]上单调递增，
又 (0) = 1, (1) = 0, ( ) = | ― 1|，
①若1 ≤ ≤ 2，则| ― 1| ≤ 1，所以 ( ) ∈ [0,1]，此时[0,1] ∪ (1,2] = [0,2]，符合题意；
②若 > 2，则| ― 1| > 1，所以 ( ) ∈ [0,| ― 1|]，要使[0,| ― 1|] ∪ (1,2] = [0,2]，
只须| ― 1| ≤ 2，即2 < ≤ 3；
综上，1 ≤ ≤ 3.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1 处理与分段函数有关的值域问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往
很重要.
2 对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区
间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系．
【题型七：与分段函数的最值问题】
2 ― 2 ― 2, ≤ 2,
例 7．已知函数 ( ) = + 36 ― 6 , > 2, 若 ( )的最小值为 (2)，则实数 a 的取值范围为（ ）

A．[2,5] B．[2, + ∞) C．[2,6] D．( ― ∞,5]
【答案】A
【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于 a
的不等式组，解不等式组得到 a 的取值范围.
36
【详解】当 > 2时， + ―6 ≥ 2
36 ―6 = 12 ― 6 ，当且仅当 = 6时，等号成立，

即当 > 2时，函数 ( )的最小值为12 ― 6 ；
当 ≤ 2时， ( ) = 2 ―2 ― 2，
要使得函数 ( )的最小值为 (2)，
≥ 2,
则满足 (2) = 2 ― 4 ≤ 12 ― 6 , 解得2 ≤ ≤ 5．
故选：A．
变式 7-1．函数 ( ) = (1 ― )| ― 3|在( ―∞, )上取得最小值 ―1，则实数 的取值范围是
A．( ―∞,2) B．[2 ― 2,2] C．[2,2 + 2] D．[2, + ∞)
【答案】C
― 2 + 4 ― 3, ≥ 3
【分析】现将 ( )整理为分段函数的形式，即 ( ) = { 2 ― 4 + 3, < 3 ，画出函数图象，根据图象判定
的位置
(1 ― )( ― 3), ≥ 3 ― 2 + 4 ― 3, ≥ 3
【详解】由题，将 ( ) = {(1 ― )(3 ― ), < 3，即 ( ) = { 2 ― 4 + 3, < 3 ，则可得到函数图象如下，
根据图象可得当 ≥ 3时， ( ) = ― 2 +4 ― 3 = ―1，则 = 2 + 2 2；当 < 3时， ( ) = 2
―4 + 3 = ―1，则 = 2，故2 ≤ ≤ 2 + 2，故选 C
【点睛】本题考查零点分段法得分段函数，以及图象法解决函数最值问题
( - )2, ≤0
变式 7-2．设 ( )= + 1 + +4, >0 ，若 (0)是 ( )的最小值，则 的取值范围为（ ）

A．[0,3] B．(0,3) C．(0,3] D．[0,3)
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求得 ( )在(0,+∞)上的最小值，结合已知条件可得出关于实数 的不等式，即可
得出实数 的取值范围.
【详解】当 >0 1时，由基本不等式可得 ( )= + + +4≥2
1+ +4= +6，

当且仅当 =1时，等号成立；
当 ≤0时，由于 ( )≥ (0)，则 ≥0，
由题意可得 ( )min= (0)= 2≤ +6，即 2- -6≤0，解得-2≤ ≤3，故0≤ ≤3.
因此，实数 的取值范围是[0,3].
故选：A.
变式 7-3．已知 ( ) = 1 ― | + 1|, < 0 2 ― 2 , ≥ 0 ，若实数 ∈ [ ―2,0]，则| ( ) ― ― 1 |在区间[ , + 1]上的最大2
值的取值范围是（ ）
A 1 , 5 B 1 , 3 C 1． ． ． , 3 D 1． ,2
4 4 4 2 2 2 2
【答案】C
1
【分析】作出函数 ( )的图象，将问题转化为函数 ( )上的点到直线 = 2的距离，在区间[ , + 1]上的最
大值问题，然后观察图象可得.
【详解】作出函数 ( )的图象如图：
1 1 1
因为 ― = 1 ― | ― + 1| = 2，2 2
因为 ∈ [ ―2,0]，所以[ , + 1] [ ―2,1]，
| 1 | = 1 ( ) ― ― 表示函数 ( )上的点到直线 2的距离，2
由图可知，当 = 1时，| 3 ( ) ― ― 1 |取得最大值，最大值为2 2；
当 ∈ [ ―2, ― 1]时， ―1 ∈ [ , + 1]，
1 1
结合图象可知，在区间[ , + 1]上总有| ( ) ― ― | ≤ | (1) ― ― 1 = ，2 2 | 2
1
所以，此时| ( ) ― ― 1 |的最大值为2 2；
当 ∈ ( ―1,0]时，由图可知，| ( ) ― ― 12 | ≤ | ( + 1) ― ― 1 ，2 |
且| 1 ( + 1) ― ― 1 | > 2.2
综上，| ( ) ― ― 1 |在区间[ , + 1] 1 3上的最大值的取值范围为 , .2 2 2
故选：C
【点睛】关键点睛：本题主要考查分段函数图象的运用，关键在于作图和简问题转化为在区间上点到直线
的距离的最值问题.
【方法技巧与总结】
1 处理与分段函数有关的最值问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中函数的单调性往往
很重要；
2 结合分段函数的图象的话，要把问题进行等价转化，注意如何才能使得图象取到最值或在哪里取到等.
【题型八：其他分段函数的性质及应用】
8 max = ， ≥ 例 ．定义 ， < ，若函数 ， ( ) = max ―
2 + 3 ，| ― 3| ，若 ( )在区间[ , ]上的值域
5
为 ，3 ，则区间[ , ]长度的最大值为（ ）4
A 6 B 5 7 7． ．2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据题意求 ( )的解析式并作出图象，结合图象求出 ― 的最大值，即可得解.
【详解】令 ― 2 +3 > | ― 3|，则有：
当 ≥ 3时，则 ― 2 +3 > ― 3，即 2 ―2 ― 3 = ( + 1)( ― 3) < 0当 ≥ 3不成立；
当 < 3时，则 ― 2 +3 > 3 ― ，解得1 < < 3；
∴ ( ) = ―
2 + 3 , ∈ (1,3)
| ― 3|, ∈ ( ―∞,1] ∪ [3, + ∞) ，如图所示：
令 ― 2 +3 = 5 5 14，解得 = 2或 = 2（舍去），
= 5 17 7令| ― 3| 4，解得 = 4 或 = 4（舍去），
令| ― 3| = 3，解得 = 0或 = 6，
∵ ( )在区间[ , ] 5 5上的值域为 ,3 ，则[ , ] = 0, 或[ , ] = 17 ,6 ，
4 2 4
∵5 ―0 = 5 > 7 = 6 ― 17又 2 2 4 4 ，
5
故区间[ , ]长度的最大值为2.
故选：B.
28-1 ( ) = ― 8 + 8, ≥ 0变式 ．已知函数 2 + 4, < 0 ．若互不相等的实根 1, 2, 3满足 ( 1) = ( 2) = ( 3)，则
1 + 2 + 3的范围是（ ）
A．(2,8) B．( ― 8,4) C．( ― 6,0) D．( ― 6,8)
【答案】A
【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在( ―8,4)之间，第一段函数关于 = 4对称，即可求出 2 +
3 = 8，再根据图象得到 1的取值范围，即可得到答案.
【详解】根据函数的解析式可得如下图象
若互不相等的实根 1, 2, 3满足 ( 1) = ( 2) = ( 3)，根据图象可得 2与 3关于 = 4，则 2 + 3 = 8，当2
1 +4 = ―8时，则 1 = ―6是满足题意的 1的最小值，且 1满足 ―6 < 1 < 0，
则 1 + 2 + 3的范围是(2,8).
故选：A.
1,
变式 8-2．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数 = ( ) = 为有理数0, ，该函数为无理数
被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
① ( ( )) = 0；②对任意 ∈ R，恒有 ( ) = ( ― )成立；
③任取一个不为零的有理数 ， ( + ) = ( )对任意实数 均成立；
④存在三个点 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))， ( 3, ( 3))，使得 △ 为等边三角形；
其中正确的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③
【答案】B
【分析】根据狄利克雷函数的定义分别验证 为无理数和为有理数两种情况，判断①②③；结合狄利克雷
函数的定义找特殊点验证④.
【详解】对①，当 为无理数时， ( ) = 0，所以 ( ( )) = (0) = 1，
当 为有理数时， ( ) = 1，所以 ( ( )) = (1) = 1，所以对任意 ∈ R，恒由 ( ( )) = 1，所以①错
误；
对②，当 为无理数时， ― 为无理数，所以 ( ) = ( ― ) = 0，
当 为有理数时， ― 为有理数，所以 ( ) = ( ― ) = 1，所以②正确；
对③，任取一个不为零的有理数 ，当 为无理数时，则 + 为无理数，
所以 ( ) = ( + ) = 0，
当 为有理数时，则 + 为有理数，所以 ( ) = ( + ) = 1，
所以任取一个不为零的有理数 ， ( + ) = ( )对任意实数 均成立，③正确；
对④， 1 = ― 3， 2 = 0 3， 3 = ，得 3 3 ( 1) = 0， ( 2) = 1， ( 3) = 0，
所以 ― 3 ,0 ， (0,1)， 3 ,0 ，此时 △ 为等边三边形，故④正确；
3 3
综上：命题②③④正确.
故选：B.
2
变式 8-3．已知函数 ( ) = ― , ≥ ―1,― + , < ―1. 若 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】 ―∞, ― 1 ∪ (0, + ∞)
2
1
【分析】由题意可得函数在R上不单调，分 > 0, ― 2 ≤ < 0, < ―
1
2，结合二次函数的性质，作出图象即
可.
【详解】当 = 0时，可得 ( ) = ― ，易知在 R 上单调递减，不满足题意；
1
当 ≠ 0时，当 ≥ ―1时， ( ) = 2 ― ，对称轴为 = 2 ，
当 < ―1时， ( ) = ― + ，此时函数在( ―∞,1)上单调递减;
当 > 0 1时， = 2 > 0，
当 ≥ ―1时，开口向上，大致图象如图所示：
1 1
所以函数在 ―∞, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增，
2 2
所以 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，满足题意;
当 <0时：
当 ≥ ―1 1时，函数的开口下，对称轴 = 2 < 0，
① ―1 < 1 < 0 < ― 1当 2 ，即 2时，
易知函数在( ―∞, ― 1) 1和 ,0 上单调递减，在 ―1, 1 上单调递增，
2 2
大致图象如图所示：
由此可知 1， 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立，满足题意;
② 1 1当2 ≤ ―1时，即 ― 2 ≤ < 0时，
此时函数的大致图象如图所示：
易知函数在 R 上单调递减，
所以不存在 1, 2 ∈ R，且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)成立;
综上， 1的取值范围为： ―∞, ― ∪ (0, + ∞)，
2
故答案为： ―∞, ― 1 ∪ (0, + ∞).
2
【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段
函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到
一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系．
【方法技巧与总结】
处理与分段函数有关的函数性质问题，往往可以采取数形结合或分离讨论的方法，在其中掌握函数的单调
性是关键.
一、单选题
1 ( ) = 2
, > 0
．已知函数 ( + 2), ≤ 0 ，则 ( ―3) = （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得， ( ― 3) = ( ― 1) = (1) = 21 = 2.
故选：B.
2
2.已知 ( ) = ― + 2 , ≥ 0 2 + 2 , < 0 ，满足 ( ) < ( ― )，则 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 2) ∪ (0,2) B．( ―∞, ― 2) ∪ (2, + ∞)
C．( ―2,0) ∪ (0,2) D．( ―2,0) ∪ (2, + ∞)
【答案】D
【分析】由题，分 < 0， > 0两种情况讨论求解即可.
【详解】解：当 < 0时， ( ) = 2 +2 , ( ― ) = ― 2 ―2 ，
所以 ( ) < ( ― ) 2 +2 < ― 2 ―2 ，即 2 +2 < 0，解得 ―2 < < 0，
当 > 0时， ( ) = ― 2 +2 , ( ― ) = 2 ―2 ，
所以 ( ) < ( ― ) ― 2 +2 < 2 ―2 ，即 2 ―2 > 0，解得 > 2，
所以， 的取值范围是( ―2,0) ∪ (2, + ∞)
故选：D
| ― 1|, ≥ 0
3.已知函数 ( ) = 2 , < 0 ，若 ( ) = ( + 1).则 ( ―2 ) = （ ）

A． ―1 B． ―2 C． ―3 D． ―4
【答案】B
【分析】利用分段函数解析式及函数性质先确定参数范围，再计算参数值，代入对应解析式求函数值即可.
2 2
【详解】易知 < 0 ≤ | ― 1|，且 = 在( ―∞,0)上单调递减，作出函数图象如下：
1
所以 ≥ 0 ( ) = | ― 1| = ( + 1) = | | ≤ (0) = 1 = 2，
所以 ( ―2 ) = ( ―1) = ―2.
故选：B
4.如图所示，在直角坐标系的第一象限内， △ 是边长为 2 的等边三角形，设直线 = (0 ≤ ≤ 2)截这
个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为 ( )，则函数 = ( )的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件列出分段函数 ( )的解析式，再判断函数的图象.
1
【详解】当0 ≤ ≤ 1时， ( ) = 2 3 =
3 2，此段为开口向上的抛物线的一部分，
2
当1 < ≤ 2时， 1( ) = 2 × 2 × 3 ―
1
2 × (2 ― ) × 3 × (2 ― ) = ―
3 2 +2 3 ― 3，2
此段为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为 = 2，
满足条件的只有 C.
故选：C
5. ( ) = 3 + 1， ≤ 1已知函数 2 ― 1 > 1 ，若 > ，且 ( ) = ( )，设 = ― ，则 的最大值为（ ），
A 19．12 B ―1 C
17 4
． 5 ．12 D．3
【答案】C
【分析】借助分段函数 ( )图象得出 , 的范围，由 , 的关系，化 = ― 为关于 的二次函数，由此可
得最大值．
( ) = 3 + 1， ≤ 1【详解】作出函数 2 ― 1 > 1 的图象如下图， ，
(1) = 4，令 ( ) = 4，解得 = 1或 = 5，
若 > ，且 ( ) = ( )，即有 ≤ 1， 5 ≥ > 1，
可得3 + 1 = 2 ―1 1，可得 = 3(
2 ― 2)，
则 = ― = ― 1( 2
1 2
3 ― 2) = ―
2
3 + + 3，1 < ≤ 5，
3
对称轴为 = 2，
∴ = 3 17当 2时， 取最大值12．
故选：C．
6.设符号 { ， ， }表示 , , 中的最小者，已知函数 ( )＝ {| ﹣2|, 2,| + 2|}则下列结论正确的是
（ ）
A． ∈ [0, + ∞), ( ― 2) > ( ) B． ∈ [1, + ∞), ( ― 2) > ( )
C． ∈ , ( ( )) ≤ ( ) D． ∈ , ( ( )) > ( )
【答案】C
【分析】分别画出 = | ― 2|, = 2, = | + 2|的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.
2
: : ( ) = , ∈ [0,1]【详解】解 如图所示 由题意可得 中， | ― 2|, ∈ (1, + ∞) .
中，当1 ≤ ≤ 2时，﹣1 ≤ ﹣2 ≤ 0， ( ― 2)＝ (2 ― ) ≤ 2 ― ＝ ( ).
当2＜ ≤ 3时，0＜ ― 2 ≤ 1， ( ― 2) ≤ ― 2 = ( ).
当3＜ ≤ 4时，1 < ― 2 ≤ 2， ( ― 2) = 2 ― ( ― 2) = 4 ― ≤ ― 2 = ( ).
当 ≤ 4, ― 2 ≥ 2，恒有 ( ― 2) < ( )，所以 不正确， 也不正确；
中，从图象上看， ∈ [0, + ∞), ( ) ≤ .令 = ( )，则 ≥ 0
所以 ( ) ≤ ，即 ( ( )) ≤ ( )，故 正确， 不正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画 =
| ( )| 的函数图象时，一般地，先画出 = ( ) 的图象，再将 轴下方的图象向上翻折即可.
2
7.设函数 ( ) = ( ― ) ， ≤ 0 2 ― 2 + 3 + > 0 ，若 (0)是函数 ( )的最小值，则实数 a 的取值范围是( )，
A．[﹣1，2] B．( ―1,2) C．[0,2) D．[0，2]
【答案】D
【分析】通过分类讨论 的取值范围，并利用一元二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意，不妨设 ( ) = ( ― )2， ( ) = 2 ―2 + 3 + ，
①当 < 0时，由一元二次函数的性质可知， ( ) = ( ― )2在[ ,0]上单调递增，
故对于 ∈ [ ,0]， ( ) = ( ) < (0) = (0)，这与 (0)是函数 ( )的最小值矛盾；
②当 = 0时， ( ) = 2， ( ) = 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2，
由一元二次函数的性质可知， ( ) = 2在( ― ∞,0]单调递减，
故对于 ∈ ( ― ∞,0]， ( ) = ( ) > (0) = (0) = 0，
当 > 0时， ( ) = ( ) = 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2在 = 1时取得最小值 2，
从而当 = 0时，满足 (0)是函数 ( )的最小值；
③当 > 0时，由一元二次函数性质， ( ) = ( ― )2在( ― ∞,0]上单调递减，
故对于 ∈ ( ― ∞,0]， ( ) = ( ) > (0) = (0) = 2，
当 > 0时， ( ) = ( ) = 2 ―2 + 3 = ( ― 1)2 +2 + 在 = 1时取得最小值2 + ，
若使 (0)是函数 ( )的最小值，只需 2 ≤ 2 + 且 > 0，解得，0 < ≤ 2.
综上所述，实数 a 的取值范围是[0,2].
故选：D.
8.设函数 = ( ) R ( ), ( ) > 在 上有定义，对于任一给定的正数 ，定义 ( ) = , ( ) ≤ 则称函数 = ( )为
= ( )的“ 下界函数”．若给定 ( ) = 2 ―2 ― 1， = 2，则下列结论不正确的是（ ）
A． ( (0)) > (0) B． ( (1)) > (1)
C． ( (2)) = (2) D． ( (3)) > (3)
【答案】D
【分析】根据已知条件求出 2( )的解析式，再分别求函数值即可得正确选项.
【详解】因为 ( ) = 2 ―2 ― 1， = 2，
由 ( ) > 即 2 ―2 ― 1 > 2，可得 2 ―2 ― 3 > 0，解得： < ―1或 > 3，
由 ( ) < 即 2 ―2 ― 1 < 2，可得 2 ―2 ― 3 < 0，解得： ―1 < < 3，
2
( ) = ― 2 ― 1, ∈ ( ―∞, ― 1) ∪ (3, + ∞)所以 2 2, ∈ [ ―1,3]
对于 A： (0) = ―1， 2( (0)) = 2( ―1) = 2， 2(0) = 2， (0) = (2) = ―1，
所以 ( (0)) > (0) 成立，
对于 B： (1) = ―2， 2( (1)) = 2( ―2) = ( ―2)2 ―2 × ( ―2) ―1 = 7，
2(1) = 2， ( 2(1)) = (2) = 22 ―2 × 2 ― 1 = ―1，所以 ( (1)) > (1) 成立，
对于 C： (2) = 22 ―2 × 2 ― 1 = ―1， ( (2)) = ( ―1) = ( ―1)2 ―2 × ( ―1) ―1 = 2，
2(2) = 2， 2( 2(2)) = 2(2) = 2，所以 ( (2)) = (2) 成立，
对于 D： (3) = 32 ―2 × 3 ― 1 = 2， ( (3)) = (2) = ―1，
2(3) = 2， 2( 2(3)) = 2(2) = 2，所以 ( (3)) > (3) 不成立，
所以选项 D 不正确，
故选：D.
二、多选题
9．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：
每户每月用水量 (m3) 水价
不超过12m3的部分 3 元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6 元/m3
超过18m3的部分 9 元/m3
则下列说法正确的是（ ）
A．若某户居民某月用水量为10m3，则该用户应缴纳水费 30 元
B．若某户居民某月用水量为16m3，则该用户应缴纳水费 96 元
C．若某户居民某月缴纳水费 54 元，则该用户该月用水量为15m3
D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费 93 元，且甲户该月用水量未超过12m3，乙户该月用水量未超过
18m3，则该月甲户用水量为9m3（甲，乙两户的月用水量均为整数）
【答案】AC
【分析】根据表格中的“阶梯水价”，逐一选项进行计算并判断正误即可
【详解】对于 A 选项，居民用水量未超过 12m3，则按 3 元/m3计算，故应缴水费为3 × 10 = 30元，故 A
选项正确；
对于 B 选项，居民用水量超过 12m3，但未超过18m3，因此其中 12m3，按 3 元/m3计算；剩余的4m3，按
6 元/m3计算；故应缴水费为3 × 12 + 4 × 6 = 60元，故 B 选项错误；
对于 C 选项，根据居民所缴水费，可以判断居民用水量超过 12m3，但未超过18m3，设居民用水量为 ，
则有3 × 12 + 6 × ( ― 12) = 54，解得： = 15，故 C 选项正确；
对于 D 选项，根据题意，设甲居民用水量为 ，乙居民用水量为 ，则根据已知条件可得：3 + 3 × 12 + 6
( ― 12) = 93，整理可得： + 2 = 43.通过方程无法确定甲居民用水量一定为9m3，故 D 选项错误.
故选：AC
2 210. ( ) = , ≥ 1已知函数 ( + 1), < 1 ，则下列正确的是（ ）
A． [ (0)] = 8 B． [ (1)] = 2
4
C． 3 = 81 2 D． ( )的值域为 0,
1
2 2
【答案】AC
【分析】对于 ABC：根据分段函数解析式运算求解；对于 D 通过特值可排除，即可得到答案.
【详解】对于选项 A：因为 (0) = (1) = 2，
所以 [ (0)] = (2) = 2 × 22 = 8，故 A 正确；
对于选项 B，因为 (1) = 2，所以 [ (1)] = (2) = 2 × 22 = 8，故 B 错误；
C 3 = 2 × 3
2
= 9 3 = 9 = 2 × 9
2 81
对于选项 ：因为 2 2，所以
=
2 2 2 2 2
，故 C 正确；
1
对于选项 D：因为 (2) = 8 (0,2]，故 D 错误；
故选：AC.
11. R A ( ) = 1, ∈ 已知全集为 ，对于给定数集 ，定义函数 0, 为集合 A 的特征函数，若函数 ( )是数集 A
的特征函数，函数 ( )是数集 B 的特征函数，则（ ）
A． = ( ) ( )是数集 ∩ 的特征函数
B． = ( ) + ( ) ― ( ) ( )是数集 ∪ 的特征函数
C． = ( ) ― ( ) ( )是数集 ∩ ( R )的特征函数
D． = ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( )是集合 R( ∩ )的特征函数
【答案】ABC
【分析】根据特征函数的定义，一一验证选项中的函数是否满足特征函数的定义，即可判断出答案.
【详解】对于 A，由集合 A 的特征函数的定义可知 A 不为空集，
则 ∩ 不为空集，如图示：Ⅰ部分表示 ∩ ，Ⅱ表示 ∩ ( R )，
Ⅲ表示表示 ∩ ( R )，Ⅳ表示( R ) ∩ ( R )，
，
当 ∈ ∩ 时， ( ) = 1, ( ) = 1，故 ( ) ( ) = 1，
当 ∩ 时， ( ), ( )中至少有一个为 0,，此时 ( ) ( ) = 0，
符合特征函数的定义，即 = ( ) ( )是数集 ∩ 的特征函数，A 正确；
对于 B，当 ∈ ∪ 时，如上图，
若 x 取值在Ⅰ部分，则 ( ) = 1, ( ) = 1，则 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 1；
若 x 取值在Ⅱ部分，则 ( ) = 1, ( ) = 0，则 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 1；
若 x 取值在Ⅲ部分，则 ( ) = 0, ( ) = 1，则 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 1，
当 ∪ 时， ( ) = 0, ( ) = 0，则 ( ) + ( ) ― ( ) ( ) = 0，
符合特征函数的定义，即 = ( ) + ( ) ― ( ) ( )是数集 ∪ 的特征函数，B 正确；
对于 C，当 ∈ ∩ ( R )时， ( ) = 1, ( ) = 0，则 ( ) ― ( ) ( ) = 1；
当 ∩ ( R )时，即 x 取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分，
若 x 取值在Ⅰ部分， ( ) = 1, ( ) = 1，则 ( ) ― ( ) ( ) = 0，
若 x 取值在Ⅲ部分， ( ) = 0, ( ) = 1，则 ( ) ― ( ) ( ) = 0，
若 x 取值在Ⅳ部分， ( ) = 0, ( ) = 0，则 ( ) ― ( ) ( ) = 0，
故此时符合特征函数的定义，即 = ( ) ― ( ) ( )是数集 ∩ ( R )的特征函数，C 正确；
对于 D，当 ∈ R( ∩ )时，即 x 取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分，
当 x 取值在上图中Ⅳ部分时，此时 ( ) = 0, ( ) = 0，则 ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( ) = 0，
不符合特征函数定义，故 = ( ) + ( ) ― 2 ( ) ( )不是集合 R( ∩ )的特征函数，D 错误，
故选：ABC
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要理解集合 A 的特征函数的定义，明确其含义，从而结合定义去
判断一个函数是否为一个数集的特征函数.
三、填空题
2 2 + 3, ∈ [ ―6, ― 1)
12．已知 ( ) = 1 , ∈ [ ―1,1) 则 ( 2) = ．
, ∈ [1,6]
【答案】 2
【分析】根据分段函数的定义求解即可.
【详解】因为 2 ∈ [1,6]，所以 ( 2) = 2，
故答案为： 2.
13.给定函数 ( ) = + 2， ( ) = 4 ― 2，对于 ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的较小者，记为 ( ) =
min{ ( ), ( )}，则 ( )的最大值为 .
【答案】3
【分析】作出函数 ( ), ( )的图象，根据定义作出 ( )的图象，求出交点 B 的坐标即可得解.
【详解】作出函数 ( ), ( )的图象如图：
根据定义可得 ( )的图象如图：
= + 2 = ―2 = 1
由 = 4 ― 2 解得 = 0 或 = 3 ，得 (1,3)，
所以 ( )的最大值为 3.
故答案为：3
14. 已 知 关 于 实 数 ( ―1 ≤ ≤ 1)的 方 程 | ― 1| + | ― 2| = 和 | ― 1| ― | ― 2| = 对 任 意 1, 2
( ―1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1)有解，则 + 的值的集合为 ．
【答案】{2}
【分析】
构造函数 ( ) = | ― 1| + | ― 2|与 ( ) = | ― 1| ― | ― 2|，分类讨论 的取值范围，分别作出 ( ), ( )的图
像，分析它们的值域，从而确定 , 的值，由此得解.
【详解】
因为 ―1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1，则0 ≤ 1 ― 2 ≤ 2，
―2 + 1 + 2, ― 1 ≤ ≤ 2
令 ( ) = | ― 1| + | ― 2| = 1 ― 2, 2 < < 1 ，
2 ― 1 ― 2, 1 ≤ ≤ 1
其图象如图所示，其值域为[ 1 ― 2,max{ ―2 + 1 + 2,2 ― 1 ― 2}]，
由 1 ― 2 ∈ [0,2]可知 ≥ 2；由( ―2 + 1 + 2)max ≥ 2或(2 ― 1 ― 2)max ≥ 2可知 ≤ 2；
所以 = 2．
1 ― 2, ― 1 ≤ ≤ 2
令 ( ) = | ― 1| ― | ― 2| = 1 + 2 ― 2 , 2 < < 1 ，
2 ― 1, 1 ≤ ≤ 1
其图象如图所示，其值域为[ 2 ― 1, 1 ― 2]，
由 2 ― 1 ≤ 0可知 ≥ 0；由 1 ― 2 ≥ 0可知 ≤ 0；
所以 = 0．
综上： = 2, = 0, + = 2，
故答案为：{2}．
四、解答题
3 + 5, ≤ 0
15．已知函数 ( )的解析式为 ( ) = + 5,0 < ≤ 1 .
―2 + 8, > 1
(1)求 3 1， ， ( ―1)的值；
2 π
(2)画出这个函数的图象；
【答案】(1)5 5π+1； π ；2
(2)答案见解析；
【分析】（1）根据分段函数函数值的求法直接计算；
（2）根据分段函数的定义可画出函数图象；
（3）根据函数图象可得最值.
3 3 3
【详解】（1） ∵ 2 > 1， ∴ = ―2 × 2 +8 = 5；2
∵ 0 < 1 ≤ 1 ∴ 1 = 1 +5 = 5π+1π ， π π π ；
∵ ―1 < 0， ∴ ( ―1) = 3 × ( ―1) +5 = 2；
（2）此分段函数的图象如图所示．
在函数 = 3 + 5的图象上截取 ≤ 0的部分，
在函数 = + 5的图象上截取0 < ≤ 1的部分，
在函数 = ―2 + 8的图象上截取 > 1的部分，
图中实线组成的图形就是函数 = ( )的图象；
16.已知函数 ( ) = 2| ― 2| + | + 1|.
(1)画出 ( )的图像；
(2)请根据 ( )的图像直接写出 ( ) > 4的解集（无需说明理由）.
【答案】(1)图象见解析
(2) | < 1或 > 73
【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数 ( )，再画出函数的图象；
（2）根据分段函数，分段解不等式即得.
【详解】（1）当 < ―1时， ( ) = 2(2 ― ) + ( ― ― 1) = ―3 + 3；
当 ―1 ≤ ≤ 2时， ( ) = 2(2 ― ) + + 1 = ― + 5；
当 > 2时， ( ) = 2( ― 2) + + 1 = 3 ― 3；
―3 + 3, < ―1
故 ( ) = ― + 5, ― 1 ≤ ≤ 2 ，函数图象如图所示：
3 ― 3, ≥ 2
.
（2）由题得，当 < ―1时， ―3 + 3 > 4，解得 < ― 13，则 < ―1；
当 ―1 ≤ ≤ 2时， ― + 5 > 4，解得 < 1，则 ― 1 ≤ <1；
当 > 2时，3 ― 3 > 4，解得 > 7 73，则 > 3；
综上， ( ) > 4的解集为 | < 1 7或 > .3
17.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放 (0 < ≤ 4且 ∈ R)个单位的营养液，它在水中释放的
2+
， ∈ [0，4]
浓度 (克/升)随着时间 (天)变化的函数关系式近似为 = ( )，其中 ( ) = 6―
5 ― 1
，若多

2 ，
∈ (4，10]
次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当
水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效．
(1)若只投放一次 4 个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放 2 个单位的营养液，6 天后再投放 个单位的营养液，要使接下来的 4 天中，营养液能够持续
有效，试求 的最小值．
【答案】(1)6 天
(2)2
【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.
（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求
出最值作答.
【详解】（1）因为一次投放 4 个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为 ( ) = 4 =
8+4 ,0 ≤ ≤ 4
6― ， ．
20 ― 2 ,4 < ≤ 10
0 ≤ ≤ 4 8+4 当 时， 6― ≥ 4，解得2 ≤ ≤ 4； ．
当4 < ≤ 10时，20 ― 2 ≥ 4，解得4 < ≤ 8； ．
综上求得2 ≤ ≤ 8，
所以一次投放 4 个单位的营养液，则有效时间可持续 6 天． ．
（2）设从第一次投放起，经过 x（6 ≤ ≤ 10）天后，浓度为 ( ) = 2 5 ― 1 + 2+ ―6
2 6―( ―6)
= 10 ― + ―412― ．
因为6 ≤ ≤ 10，所以12 ― > 0， ― 4 > 0
所以10 ― + ―412― ≥ 4即 ≥
( ―6)(12― ) = 10 ― [( ― 4) + 16 ―4 ―4]
所以10 ― [( ― 4) + 16 ―4] ≤ 10 ― 2 ( ― 4)
16 = 2
―4
16
当且仅当 ― 4 = ―4，即 = 8时，等号成立，所以 ≥ 2
答：为使接下来的 4 天中能够持续有效 m 的最小值为 2
18.已知函数 ( )的定义域为[0,1]，且 ( )的图象连续不间断．若函数 ( )满足：对于给定的 m（ ∈ R且
0 < < 1），存在 0 ∈ [0,1 ― ]，使得 ( 0) = ( 0 + )，则称 ( )具有性质 ( )．
2
(1)已知函数 ( ) = ― 1 ∈2 ， [0,1]，判断 ( )
1
是否具有性质 ，并说明理由；
3
―4 + 1,0 ≤ ≤ 1
4
(2) = 4 ― 1, 1 < < 3已知函数 ( ) 4 4 ，若 ( )具有性质 ( )，求 m 的最大值.
―4 + 5, 3 ≤ ≤ 1
4
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)12
1 1
【分析】（1）根据新定义可知 = 3，即 ( 0) = ( 0 + 3)，代入求 0即可进行判断；
1 1
（2）分 = 2，2 < < 1讨论函数 ( )是否具有性质 ( )即得.
1 2
【详解】（1）当 = 3时，设 0 ∈ [0,3]，
2 2
令 ( ) = ( 1 1 1 1 1 20 0 + 3)，则 0 ― = 0 + ― = ∈2 3 2 ，解得 0 3 0, ，3
所以 ( ) 1具有性质 .
3
（2）由题意可得：
当 = 0，则 (0) = 1 1；当 ∈ 0, 时，则 ( ) = ―4 + 1 ≤ 1；
4
∈ 1 1 1当 , ，则 ( ) = 4 ― 1 < 1 = 1；当 2，则 = 1；4 2 2
当 ∈ 1 , 3 3时， ( ) = 4 ― 1 > 1；当 ∈ ,1 时， ( ) = ―4 + 5 > 1，
2 4 4
当 = 1，则 (1) = 1；
综上所述：当 ∈ 0, 1 ,1 时， ( ) = 1；
2
当 ∈ 0, 1 时， ( ) < 1；
2
∈ 1当 ,1 时， ( ) > 1；
2
首先当 = 1 12时，取 0 = 2,
则 ( ) = 10 = 1， ( 0 + ) =
1 + 1 = (1) = 1，
2 2 2
1
所以函数 ( )具有性质 ；
2
1
假设存在2 < < 1
1
，使得函数 ( )具有性质 ( )，则0 < 1 ― < 2，
当 0 = 0 1时， 0 + ∈ ,1 ，则 ( 0) = 1, ( 0 + ) > 1，2
即 ( 0) ≠ ( 0 + )，不合题意；
∈ (0,1 ― ] + ∈ 1当 0 时， 0 ,1 ，则 ( 0) < 1, ( 0 + ) ≥ 1，2
即 ( 0) ≠ ( 0 + )，不合题意；
综上所述：不存在 0 ∈ [0,1 ― ]，使得 ( 0) = ( 0 + ).
1
所以 的最大值为2.
19 1, ∈ ．已知集合 A 为数集，定义 ( ) = 0, ∈ .若 , { | ≤ 8, ∈ N
}，定义： ( , ) = | (1) ― (1)|
+ | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|.
(1)已知集合 = {1,2}，直接写出 (1)， (2)及 (8)的值；
(2)已知集合 = {1,2,3}， = {2,3,4}， = ，求 ( , )， ( , )的值；
(3)若 , , { ∣ ≤ 8, ∈ N*}.求证： ( , ) + ( , ) ≥ ( , ).
【答案】(1) (1) = 1, (2) = 1, (8) = 0;
(2) ( , ) = 2， ( , ) = 3;
(3)详见解析
【分析】（1 ( ) = 1, ∈ ）利用题给 0, ∈ 定义即可求得 (1)， (2)及 (8)的值；
（2）利用题给 ( , )定义即可求得 ( , )， ( , )的值；
（3）先转化 ( , )的含义，再利用文氏图即可证得 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )成立.
【详解】（1）集合 = {1,2}， ( ) =
1, ∈
0, ∈
则 (1) = 1， (2) = 1， (8) = 0
（2）集合 = {1,2,3}， = {2,3,4}， = ，
( , ) = | (1) ― (1)| + | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|
= |1 ― 0| + |1 ― 1| + |1 ― 1| + |0 ― 1| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| = 2
( , ) = | (1) ― (1)| + | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|
= |1 ― 0| + |1 ― 0| + |1 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| + |0 ― 0| = 3
（3）由 ( , ) = | (1) ― (1)| + | (2) ― (2)| + + | (8) ― (8)|，
可得 ( , )的值即为两集合 , 中相异元素个数，
定义 ( )为集合 A 中元素个数，
则 ( , ) = ({ | ∈ ∪ , ∩ })
令 , , , , , , { | ≤ 8, ∈ N }，
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ，
= ∪ ∪ ∪ , = ∪ ∪ ∪ , = ∪ ∪ ∪ ,
则 ( , ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
( , ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
( , ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )
则 ( , ) + ( , ) = 2 ( ) + ( ) + ( )
+2 ( ) + ( ) + ( )
( , ) + ( , ) ― ( , ) = 2 ( ) + 2 ( ) ≥ 0，
故有 ( , ) + ( , ) ≥ ( , ).

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