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4.1.3 幂函数
课程标准 学习目标
（1）通过具体实例, 结合 = , = 1 , =
2, （1）掌握幂函数的定义;
= , = 3 的图象 , 理解它们的变化规律 , （2）掌握幂函数的图象及其性质；
了解幂函数。
（3） 掌握幂函数性质的应用.（难点)
知识点 01 幂函数的定义
一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数．
注 (1)注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数；
【即学即练 1】
下列是幂函数的是 ( )
A. = 2 B. = 3 4 C. = 2 D. = ( ― 1)3
知识点 02 幂函数图像及其性质
1
(1) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的图象．
1
(2) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的性质
= = 2 = 3 1 = 2 = ―1
图象 X|X|K]
定义域 [0, + ∞) ≠ 0
值域 [0, + ∞) [0, + ∞) ≠ 0
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
在( ― ∞,0]上递减 在[0, + ∞) 在( ― ∞,0)上递减
单调性 在 上递增 在 上递增
在(0, + ∞)上递增 上递增 在(0, + ∞)上递减
特殊点 (1,1),(0 ,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1 )
(3)性质
① 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② > 0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , + ∞ )上是增函数．
特别地，当 > 1时，幂函数变化快，图象下凹；当0 < < 1时，幂函数变化慢，图象上凸.
1
Eg = 2图象上凸， = 2图象下凹，在[0 , + ∞ )上是增函数．
③ < 0时，幂函数的图象在(0 , + ∞ )上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右
方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 +∞时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．
Eg = ―1 = 1 ，
【即学即练 2】

已知幂函数 = 3( ∈ )的图象关于 y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p 为奇数，且 > 0 B．p 为奇数，且 < 0
C．p 为偶数，且 > 0 D．p 为偶数，且 < 0
【题型一：判断函数是否是幂函数】
例 1．现有下列函数：① = 3；② = 4 2；③ = 5 +1；④ = ( ― 1)2；⑤ = ，其中幂函数的个
数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式 1-1．下列函数是幂函数的是（　　）
A． = 2 B． = 2 ― 1
C． = ( + 1)2 D． = 3 2
变式 1-2．下列函数中， = 1 3， = 2 + 1， =
3 + ， = 4 5是幂函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧与总结】
1 幂函数的概念：一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数．
2 注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数.
【题型二：求幂函数的值】
例 2．已知幂函数 ( ) = ( + 2) 的图象经过点(4,2)，则 ― = （ ）
5 3
A． ―3 B． ― 2 C． ―2 D． ― 2
1
变式 2-1．已知幂函数 = ( )的图象经过点 4, ，则 (2)等于（ ）
4
1
A．2 B．2 C．
2 D．
2 2
2
变式 2-2．已知幂函数 ( ) = ( ― 1) ―1，则 ( ―1) = （ ）
A． ―1 B．1 C． ―2 D．2
变式 2-3．若幂函数 ( ) = 的图象过点(2,8)，则 ( ) = ― + ― 1的值域为（ ）
A． ―∞, 9 B．[2, + ∞) C 9． , + ∞ D．( ―∞,2]
4 4
【方法技巧与总结】
1 求幂函数的解析式，可利用待定系数法；
2 已给幂函数解析式形式求参数，注意幂函数的系数为1.
【题型三：幂函数的定义域】
例 3 2．已知幂函数 ( ) = ― +2 的定义域为 ，且 ∈ ，则 的值为（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
变式 3-1．下列幂函数中，定义域为(0, + ∞)的是（　　）
2 3 2 3
A． = 3 B． = C = ―2 ． 3 D． = ―2
变式 3-2．幂函数 ( )图象过点 2, 2 ，则 = ( ) + (2 ― | |)的定义域为（ ）
2
A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2] D．( ― 2,2)
【方法技巧与总结】
1
1 掌握常见幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的图象与性质；
2 求非常见幂函数的定义域，常把幂函数的解析式中幂的形式化为根式的形式更好理解；
m
3 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义，若幂函数 ( ) = 中a < 0时定义域内不含0，若幂函数 ( ) = =
x (m,n 为整数)中 是偶数，则函数定义域不能取( ― ∞,0)。
【题型四：幂函数的单调性】
2
例 4．若函数 ( ) = ― 2 + + 2, ≤ 1 2 ―6, > 1 是 上的单调函数，则 的取值范围是（ ）
A．[1,3) B．(3, + ∞) C．(1,2) D．[1,2]
变式 4-1．若函数 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―4 +1为幂函数，且在区间(0, + ∞)上单调递增，则 = （ ）
A． ―2 B．3 C． ―2或 3 D．2 或 ―3
变式 4-2．设函数 ( ) = ,0 < < 12( ― 1), ≥ 1 ，若 ( ) = ( + 1)
1
，则 = （ ）

1 1
A．4 B．2 C．2 D．6
变式 4-3．已知 ∈ ―2, ― 1, 1 ,3 ( ) = (1 ― ) ― 1, ≤ 0,，且函数 , > 0 在( ―∞, + ∞)上是增函数，则 =2
（ ）
A． ―2 B． ―1 1C．2 D．3
变式 4-4 2．已知函数 ( ) = ( 2 ― ― 1) + ―3是幂函数，且在(0, + ∞)上单调递减，若 , ∈ ，且
< 0 < ,| | < | |，则 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
变式 4-5．已知奇函数 = ( )是定义域为 R 的连续函数，且在区间(0, + ∞)上单调递增，则下列说法正确
的是（ ）
A．函数 = ( ) + 2在 R 上单调递增
B．函数 = ( ) ― 2在(0, + ∞)上单调递增
C．函数 = 2 ( )在 R 上单调递增
= ( )D．函数 2 在(0, + ∞)上单调递增
【方法技巧与总结】
1 幂函数 ( ) = ，当 > 0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , + ∞ )上是增函数．
特别地，当 > 1时，幂函数变化快，图象下凹；当0 < < 1时，幂函数变化慢，图象上凸.
< 0时，幂函数的图象在(0 , + ∞ )上是减函数．
2 利用幂函数的单调性，也比较数值大小、求解不等式、求函数值域等.
【题型五：幂函数的奇偶性】
例 5．设 ( )为定义在R上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = 3 + 2 ― + 1（ 为常数），则不等式 (3 + 5)
> ―2的解集为（ ）
A．( ―∞, ― 1) B．( ―1, + ∞) C．( ―∞, ― 2) D．( ―2, + ∞)
变式 5-1．下列函数中，既是偶函数，又在(0, + ∞)上单调递增的为（ ）
A． ( ) = ―| | + 1 B． ( ) = 3
C． ( ) = 2| | D． ( ) = 1 2
变式 5-2 1．已知幂函数 ( )的图象经过点 2, ，则 ( )（ ）
4
A．为偶函数且在区间(0, + ∞)上单调递增
B．为偶函数且在区间(0, + ∞)上单调递减
C．为奇函数且在区间(0, + ∞)上单调递增
D．为奇函数且在区间(0, + ∞)上单调递减
变式 5-3．若幂函数 ( )过(2,16)，则满足不等式 (2 ― ) > (2 ― 1)的实数 的取值范围是 .
【方法技巧与总结】
对于幂函数的奇偶性，主要是利用函数奇偶性的定义进行判定；在奇偶性与单调性的综合题中常用数形结
合进行思考分析.
【题型六：幂函数图象的判断及应用】

例 6．已知幂函数 = （ , ∈ Z且 , 互质）的图象关于 y 轴对称，如图所示，则（ ）

A．p，q 均为奇数，且 > 0 B．q 为偶数，p 为奇数，且 < 0

C．q 为奇数，p 为偶数，且 > 0 D．q 为奇数，p 为偶数，且 < 0
变式 6-1．若幂函数 ( ) 2, 1的图像经过点 ，则 ( )的图像可能是（ ）
4
A． B．
C． D．

变式 6-2．已知 ∈ R ( ) = ，则函数 2+1的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式 6-3．定义在R上的函数 ( )满足 (2 ― ) = (2 + )，且在(2, + ∞)单调递增， (4) = 0， ( ) = 4，
则函数 = ( + 2) ( )的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
对幂函数图象的判断，主要是结合其单调性与奇偶性进行分析，若在选择题中也常用取特殊值的排除法.
【题型七：幂函数性质的综合应用】
例 7 ( ) = ( ― 2) + 1, ≤ 0,．（多选）已知函数 , > 0, 则以下说法正确的是（ ）
A．若 = ―1，则 ( )是(0, + ∞)上的减函数
B．若 = 0，则 ( )有最小值
1
C．若 = 2，则 ( )的值域为(0, + ∞)
D．若 = 3，则存在 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ( 0) = (2 ― 0)
3
变式 7-1．已知函数 ( ) = ― ( ≥ ) 2( < ) ，若函数 ( )的值域为R，则实数 的取值范围为（ ）
A．( ― 1,0) B．( ― 1,0] C．[ ― 1,0) D．[ ― 1,0]
变式 7-2．已知函数 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―6是幂函数，对任意 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 ≠ 2，满足
( 1 ― 2)[ ( 1) ― ( 2)] > 0，若 a， ∈ R，且 + > 0，则 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断
― , < 0
变式 7-3．已知函数 ( ) = ― , ≥ 0 ，若对任意的 ≤ 1有 ( + 2 ) + ( ) > 0恒成立，则实数 的取
值范围是 ．
变式 7-4．已知 ≠ 0，若( + )2021 + 2021 +2 + = 0 ，则 = （ ）
1
A．－2 B．－1 C． ― 2 D．2
变式 7-5．对于定义域为 的函数 = ( )，如果存在区间[ , ] ，同时满足：① ( )在[ , ]上是单调
函数；②当 ∈ [ , ]时， ( ) ∈ [ , ]，则称[ , ]是该函数的“优美区间”.
1
(1)求证：[0,3]是函数 ( ) = 9
3的一个“优美区间”；
1
(2)求证：函数 ( ) = 1 ― 不存在“优美区间”；
(3) ( ) = (
2+ ) ―1
已知函数 2 ( ∈ , ≠ 0)有“优美区间”[ , ]，当 ― 取得最大值时求 的值.
一、单选题
1．已知函数 ( ) = ( + 1) ―1是幂函数，则 (2) = （ ）
1 1
A．3 B．2 C．2 D．1
2.已知函数 ( ) = ( ― 1) +1为幂函数，则 ( 2 ― 2 ) + (2 ― 2) = （ ）
A．0 B． ―1 C． 2 D． 6 ― 4
3.下列函数中，既是奇函数，又在(0, + ∞)上单调递减的是（ ）
A． ( ) = B． ( ) = ― | |
1
C． ( ) = 2+1 D． ( ) =
3
4.已知函数 ( ) = ( 2 ― ― 1) 2―2 ―3是幂函数，且在(0, + ∞)上单调递减，则实数 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．4 D．2 或－1
5.若幂函数 ( ) 2, 1的图象经过点 ，则下列判断正确的是（ ）
2
A． ( )在(0, + ∞)上为增函数 B．方程 ( ) = 4的实根为 ± 2
C． ( )的值域为(0,1) D． ( )为偶函数
6.已知函数 ( ) = 的图象经过点(4,2)，则下列答案错误的是（ ）
A．函数 ( )在定义域内为增函数
B．函数 ( )为偶函数
C．当 > 1时， ( ) > 1
D 0 < < ( 1)+ ( 2)．当 1 2时， 2 <
1+ 2
2

7.在同一直角坐标系中，二次函数 = 2 +4 与幂函数 = ( > 0)图象的关系可能为（ ）
A． B．
C． D．
2 +1
8.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( ) 1满足2 ( ) + = = ( > 0)
1+ 2
，若函数 ( ) 在( , + ∞)上的值域与

函数 ( )的值域相同，则 = （ ）
1 1
A．2 B．1 C．3 D．2
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在(0, + ∞)上单调递增的有（ ）
1
A． = 2 ― 1 B． = 3
C． = + 2 D． =
3
4
10. ―下列关于幂函数 ( ) = 3的说法正确的有（ ）
A．函数 ( )的定义域为 R B．函数 ( )的值域为(0, + ∞)
C．函数 ( )为偶函数 D．不等式 ( ) < 1的解集为( ―1,1)
11.已知定义域为 R 的奇函数 ( )满足 ( + 1) = (1 ― )，且当 ∈ [ ―1,1]时， ( ) = ― 3，若 =
(2021), = (2022), = (2023)，则下列关系正确的是（ ）
A． < B． < C． < D． >
三、填空题
12．己知幂函数 ( )的图象经过点 3, 1 ，求 ( ― 3) = ．
9
13. ∈ ―2, ― 1, ― 2 ,0, 1 , 2已知 ,1,2 ，若函数 ( ) = 满足：当 ∈ ( ―1,0) ∪ (0,1)时， ( ) > | |恒成立，
3 3 3
则 的取值为 ．（写出满足条件的所有取值）
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ( )： ．
① ( 1 2) = ( 1) ( 2)；
(
② 1
)― ( 2)
对于任意两个不同的正数 1, 2，都有 ― > 0恒成立；1 2
③对于任意两个不同的实数 1, 2，都有 1+ 2 >
( 1)+ ( 2)
2 2
．
四、解答题
15．已知幂函数 = 1经过点 4, ．
8
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若当 1 = + 2， 2 = 3 ― 2 时，有 1 < 2，求实数 的取值范围．
16. 已知幂函数 ( )与一次函数 ( )的图象都经过点(4,2)，且 (9) = (5).
(1)求 ( )与 ( )的解析式；
(2)求函数 ( ) = ( ) ― ( )在[0,1]上的值域.
17.若函数 ( ) = ( 2 ― 3 + 3) 2+2 ―4为幂函数，且在(0, + ∞)上单调递减.
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 ( ) = ― ( )，且 ∈ (0, + ∞)，
①判断函数 ( )的单调性，并证明；
②求使不等式 (2 ― 1) < ( )成立的实数 t 的取值范围.
2 3 1
18.已知幂函数 ( ) = 2 ― 3 + 3 ― ―2 2满足 (2) < (4)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若函数 ( ) = ― ( + 3)，是否存在实数 ， （ < ），使函数 ( )在[ , ]上的值域为[ , ]？若存在，
求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由．
19．若函数 ( )满足：存在整数 , ，使得关于 的不等式 ≤ ( ) ≤ 的解集恰为[ , ]（ < ），则称函
数 ( )为 函数.
(1)若函数 ( ) = 2为 函数，请直接写出 , （不要过程）；
1
(2)判断函数 ( ) = , ∈ (0, + ∞)是否为 函数，并说明理由；
(3)是否存在实数 使得函数 ( ) = 2 ― + ― 1为 函数，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理
由.4.1.3 幂函数
课程标准 学习目标
（1 1）通过具体实例, 结合 = , = , = 2, （1）掌握幂函数的定义;
= , = 3 的图象 , 理解它们的变化规律 , （2）掌握幂函数的图象及其性质；
了解幂函数。
（3） 掌握幂函数性质的应用.（难点)
知识点 01 幂函数的定义
一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数．
注 (1)注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数；
【即学即练 1】
下列是幂函数的是 ( )
A. = 2 B. = 3 4 C. = 2 D. = ( ― 1)3
解 = 2 的底数是常数， = 3 4的系数不是1， = ( ― 1)3的底数不是 ，它们均不是幂函数，只有 符合.
知识点 02 幂函数图像及其性质
1
(1) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的图象．
1
(2) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的性质
= = 2 = 3 1 = = ―12
图象 X|X|K]
定义域 [0, + ∞) ≠ 0
值域 [0, + ∞) [0, + ∞) ≠ 0
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
在( ― ∞,0]上递减 在[0, + ∞) 在( ― ∞,0)上递减
单调性 在 上递增 在 上递增
在(0, + ∞)上递增 上递增 在(0, + ∞)上递减
特殊点 (1,1),(0 ,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1 )
(3)性质
① 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② > 0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , + ∞ )上是增函数．
特别地，当 > 1时，幂函数变化快，图象下凹；当0 < < 1时，幂函数变化慢，图象上凸.
1
Eg = 2图象上凸， = 2图象下凹，在[0 , + ∞ )上是增函数．
③ < 0时，幂函数的图象在(0 , + ∞ )上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右
方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 +∞时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．
Eg = ―1 = 1 ，
【即学即练 2】

已知幂函数 = 3( ∈ )的图象关于 y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p 为奇数，且 > 0 B．p 为奇数，且 < 0
C．p 为偶数，且 > 0 D．p 为偶数，且 < 0
【答案】D
【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征

【详解】因为函数 = 3的图象关于 y 轴对称，

所以函数 = 3为偶函数，即 p 为偶数，

又函数 = 3的定义域为( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
且在(0, + ∞)上单调递减，

则有3 < 0，
所以 < 0．
故选：D．
【题型一：判断函数是否是幂函数】
例 1．现有下列函数：① = 3；② = 4 2；③ = 5 +1；④ = ( ― 1)2；⑤ = ，其中幂函数的个
数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由幂函数的定义即可求解.
【详解】由于幂函数的一般表达式为： = ,( ≠ 0)；
逐一对比可知题述中的幂函数有① = 3；⑤ = 共两个.
故选：C.
变式 1-1．下列函数是幂函数的是（　　）
A． = 2 B． = 2 ― 1
C． = ( + 1)2 D． = 3 2
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义即可得解.
2
【详解】根据幂函数的定义，A、B、C 均不是幂函数，只有 D 选项 = 3 2 = 3，形如 = （ 为常数），
是幂函数，所以 D 正确
故选：D.
变式 1-2 1．下列函数中， = 3， = 2 + 1， =
3 + ， = 4 5是幂函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义判断即可.
【详解】一般地，函数 = 叫做幂函数，其中 是自变量， 为常数，
= 1
5
故 = ―3， = 4 5 = 4 3 为幂函数， = 2 + 1， =
3 + 均不为幂函数.
故选：B
【方法技巧与总结】
1 幂函数的概念：一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数．
2 注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数.
【题型二：求幂函数的值】
例 2．已知幂函数 ( ) = ( + 2) 的图象经过点(4,2)，则 ― = （ ）
A． ―3 5 3B． ― 2 C． ―2 D． ― 2
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求解即可》
【详解】依题意可得 + 2 = 1,
所以 = ―1,
又 ( ) = 的图象经过点(4,2),
所以4 = 2,
1
解得 = 2,
所以 ― = ―1 ― 12 = ―
3
2.
故选：D.
变式 2-1．已知幂函数 = ( ) 1的图象经过点 4, ，则 (2)等于（ ）
4
1
A．2 B．2 C．
2 D．
2 2
【答案】A
【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可.
【详解】幂函数 = ( ) 4, 1的图象经过点 ，
4
设幂函数 = 1，将点代入解析式得到4 = 4，即2
2 = 2―2，解得 = ―1.
故 ( ) = ―1 1.故 (2) = 2.
故选：A.
变式 2-2．已知幂函数 ( ) = ( ― 1) 2―1，则 ( ―1) = （ ）
A． ―1 B．1 C． ―2 D．2
【答案】A
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出 = 2，得到解析式，代入求值即可.
2
【详解】因为 ( ) = ( ― 1) ―1是幂函数，所以 ― 1 = 1，即 = 2，
所以 ( ) = 3， ( ―1) = ( ―1)3 = ―1.
故选：A.
变式 2-3．若幂函数 ( ) = 的图象过点(2,8)，则 ( ) = ― + ― 1的值域为（ ）
A ―∞, 9． B．[2, + ∞) C 9． , + ∞ D．( ―∞,2]
4 4
【答案】A
【分析】由 (2) = 8求出 的值，再令 = ― 1 ≥ 0，将 ( )用含 的二次函数表示，结合二次函数的基本
性质可求得函数 ( )的值域.
【详解】由题意可得 (2) = 2 = 8，可得 = 3，则 ( ) = 3 ― + ― 1，
令 = ― 1 ≥ 0，可得 = 2 +1，则 ( ) = 3 ― ( 2 + 1) + = ― 2 + + 2，
2
令 = ― 2 + + 2，其中 ≥ 0，则 = ― 2 + + 2 = ― ― 1 + 9 ≤ 92 4 4，
1
当且仅当 = 2时，等号成立，故函数 ( )
9
的值域为 ―∞, .
4
故选：A.
【方法技巧与总结】
1 求幂函数的解析式，可利用待定系数法；
2 已给幂函数解析式形式求参数，注意幂函数的系数为1.
【题型三：幂函数的定义域】
2
例 3．已知幂函数 ( ) = ― +2 的定义域为 ，且 ∈ ，则 的值为（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合 ∈ 求出 = 1，检验后得到答案.
【详解】因为幂函数的定义域为 R，故 ― 2 +2 > 0，
解得0 < < 2，
又 ∈ ，所以 = 1，
检验， = 1时， ― 2 +2 = 1，即 ( ) = ，满足题意．
故选：C
变式 3-1．下列幂函数中，定义域为(0, + ∞)的是（　　）
2 3 2 3
A． = 3 B ― ―． = 2 C． = 3 D． = 2
【答案】D
【分析】根据题意，结合幂函数的图象与性质，分别求得其定义域，即可求解.
2
【详解】对于 A 中，函数 = 3 = 3 2的定义域为R，不符合题意；
3
对于 A 中，函数 = 2 = 3的定义域为[0, + ∞)，不符合题意；
―2 1
对于 A 中，函数 = 3 = 3 的定义域为( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞)2 ，不符合题意；
―3 1
对于 A 中，函数 = 2 = (0, + ∞)3的定义域为 ，符合题意.
故选：D.
变式 3-2．幂函数 ( )图象过点 2, 2 ，则 = ( ) + (2 ― | |)的定义域为（ ）
2
A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2] D．( ― 2,2)
【答案】A
> 0
【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到 2 ― | | > 0 ，解得答案.
2 1 ―1【详解】设幂函数为 ( ) = ，则 (2) = 2 = ，故 = ― 2， ( ) = 2，2
则 ( )的定义域为(0, + ∞)，
故 = ( ) + (2 ― | |) > 0满足 2 ― | | > 0 ，解得0 < < 2.
故选：A
【方法技巧与总结】
1
1 掌握常见幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的图象与性质；
2 求非常见幂函数的定义域，常把幂函数的解析式中幂的形式化为根式的形式更好理解；
m
3 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义，若幂函数 ( ) = 中a < 0时定义域内不含0，若幂函数 ( ) = =
x (m,n 为整数)中 是偶数，则函数定义域不能取( ― ∞,0)。
【题型四：幂函数的单调性】
2
4 ( ) = ― 2 + + 2, ≤ 1例 ．若函数 2 ―6, > 1 是 上的单调函数，则 的取值范围是（ ）
A．[1,3) B．(3, + ∞) C．(1,2) D．[1,2]
【答案】D
【分析】由函数解析式知函数在R上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数 ( )在R上单调，由 = 2 ―2 + + 2在上( ―∞,1]不可能单调递增，
则函数 ( )在R上不可能单调递增，故 = ( )在 R 上单调递减，
1 ≤
所以 2 ― 6 < 0 ，解得1 ≤ ≤ 2，所以 的取值范围是[1,2].
1 ― 2 + + 2 ≥ 12 ―6
故选：D.
变式 4-1．若函数 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―4 +1为幂函数，且在区间(0, + ∞)上单调递增，则 = （ ）
A． ―2 B．3 C． ―2或 3 D．2 或 ―3
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
2 ― ― 5 = 1
【详解】由题意可得 2 ― 4 + 1 > 0 ，
对于 2 ― ― 5 = 1,解得 = 3或 = ―2，
当 = ―2时，满足 2 ―4 + 1 > 0，但 = 3时，不满足 2 ―4 + 1 > 0，
故 = ―2，
故选：A
4-2 ( ) = ,0 < < 1变式 ．设函数 2( ― 1), ≥ 1 ，若 ( ) = ( + 1)，则
1 = （ ）

1 1
A．4 B．2 C．2 D．6
【答案】D
1
【分析】由题意可得出 ( )在(0,1)和(1, + ∞)上为增函数，则0 < < 1，由 ( ) = ( + 1)可得出 = 4，
1
即可得求出 的值.

【详解】易得 ( )在(0,1)和(1, + ∞)上为增函数，
∴ 0 < < 1, ∴ ( ) = ，所以 ( + 1) = 2 ，
1
由 ( ) = ( + 1)得 = 2 ，解得 = 4或 = 0（舍去），
1则 = (4) = 6，

故选：D.
4-3 ∈ ―2, ― 1, 1 ,3 ( ) = (1 ― ) ― 1, ≤ 0,变式 ．已知 ，且函数 , > 0 在( ―∞, + ∞)上是增函数，则 =2
（ ）
A． ―2 B． ―1 1C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可.
(1 ― ) ― 1, ≤ 0,
【详解】因为函数 ( ) = , > 0 在( ―∞, + ∞)上是增函数，
1 ― > 0
所以 > 0 ，解得0 < < 1，
―1 ≤ 0
又 ∈ 1―2, ― 1, 1 ,3 ，所以 = 2.2
故选：C
变式 4-4．已知函数 ( ) = ( 2 ― ― 1) 2+ ―3是幂函数，且在(0, + ∞)上单调递减，若 , ∈ ，且
< 0 < ,| | < | |，则 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
【答案】B
【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.
【详解】由 2 ― ― 1 = 1得 = 2或 = ―1，
= 2时， ( ) = 3在R上是增函数，不合题意，
= ―1时， ( ) = ―3，在(0, + ∞)上是减函数，满足题意，
所以 ( ) = ―3，
< 0 < ,| | < | |，则 > ― > 0， ( ― ) > ( )， ( ) = ― 3是奇函数，因此 ( ― ) = ― ( )，
所以 ― ( ) > ( )，即 ( ) + ( ) < 0，
故选：B.
变式 4-5．已知奇函数 = ( )是定义域为 R 的连续函数，且在区间(0, + ∞)上单调递增，则下列说法正确
的是（ ）
A．函数 = ( ) + 2在 R 上单调递增
B．函数 = ( ) ― 2在(0, + ∞)上单调递增
C．函数 = 2 ( )在 R 上单调递增
D．函数 = ( ) 2 在(0, + ∞)上单调递增
【答案】C
【分析】根据已知设 ( ) = ，由二次函数的性质确定 AB 错误；由幂函数的性质判断 C 正确；由反比例函
数的形式确定 D 错误.
【详解】因为 = ( )是奇函数，且在区间(0, + ∞)上单调递增，
所以 = ( )在( ―∞,0)上也为单调递增函数，
2 1
对于 A：不妨令 ( ) = ， = ( ) + 2 = + 2 = + 1 ―2 4，
所以 = ( ) + 2在 ―∞, ― 1 1单调递减，在 ― , + ∞ 单调递增，故 A 错误；
2 2
2
对于 B：不妨令 ( ) = ， = ( ) ― 2 = ― 2 = ― ― 1 +
1
2 4，
所以 = ( ) ― 2 1 1在 ―∞, 单调递增，在 , + ∞ 单调递减，故 B 错误；
2 2
对于 C： = 2 ( )，其定义域为R，
又( ― )2 ( ― ) = ― 2 ( )，所以 = 2 ( )是奇函数，
取0 < 1 < 2，则0 < 2 < 21 2，0 < ( 1) < ( 22)，故 1 ( 1) < 22 ( 2)
所以 ― = 21 2 1 ( 2 21) ― 2 ( 2) < 0，则函数 = ( )在(0, + ∞)为递增函数；
所以函数 = 2 ( )在( ―∞,0)也为递增函数，且当 = 0时， = 2 ( ) = 0，
所以 = 2 ( )在 R 上单调递增，故 C 正确；

对于 D：不妨令 ( ) = =
( )
， 2 = 2 =
1
, ≠ 0，
( )
由反比例函数的单调性可知 = 2 在( ―∞,0)和(0, + ∞)上单调递减，故 D 错误；
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 幂函数 ( ) = ，当 > 0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , + ∞ )上是增函数．
特别地，当 > 1时，幂函数变化快，图象下凹；当0 < < 1时，幂函数变化慢，图象上凸.
< 0时，幂函数的图象在(0 , + ∞ )上是减函数．
2 利用幂函数的单调性，也比较数值大小、求解不等式、求函数值域等.
【题型五：幂函数的奇偶性】
例 5．设 ( )为定义在R上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = 3 + 2 ― + 1（ 为常数），则不等式 (3 + 5)
> ―2的解集为（ ）
A．( ―∞, ― 1) B．( ―1, + ∞) C．( ―∞, ― 2) D．( ―2, + ∞)
【答案】D
【分析】先通过 (0) = 0求出 ，然后确定函数单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】 ∵ ( )为定义在R上的奇函数，
因为当 ≥ 0时， ( ) = 3 + 2 ― + 1，
所以 (0) = 1 ― = 0，故 = 1, ( ) = 3 + 2
∵ ( ) = 3 + 2在[0, + ∞)上单调递增，
根据奇函数的性质可知 ( )在R上单调递增，
因为 (1) = 2，所以 ( ―1) = ― (1) = ―2，
由不等式 (3 + 5) > ―2 = ( ―1)可得，3 + 5 > ―1，解得， > ―2，
故解集为( ―2, + ∞).
故选：D.
变式 5-1．下列函数中，既是偶函数，又在(0, + ∞)上单调递增的为（ ）
A． ( ) = ―| | + 1 B． ( ) = 3
C． ( ) = 2| | D． ( ) = 1 2
【答案】C
【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解
【详解】对于 A： ( ) = ― | | +1的定义域为R，且 ( ― ) = ― | ― | +1 = ― | | +1 = ( )，
所以 ( ) = ―| | + 1为偶函数，当 ∈ (0, + ∞)时 ( ) = ― + 1，由一次函数的性质可知，
( ) = ― + 1在(0, + ∞)上单调递减，
即 ( ) = ― | | +1在(0, + ∞)上单调递减，故 A 错误；
对于 B： ( ) = 3的定义域为R，且 ( ― ) = ( ― )3 = ― 3 = ― ( )，所以 ( ) = 3为奇函数，故 B 错误；
对于 C： ( ) = 2| |的定义域为R，且 ( ― ) = 2|― | = 2| | = ( )，
所以 ( ) = 2| |为偶函数，当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) = 2 ，
由指数函数的性质可知， ( ) = 2 在(0, + ∞)上单调递增，故 C 正确；
1 1 1
对于 D： ( ) = 2的定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，且 ( ― ) = (― )2 = 2 = ( )，
所以 ( ) = 1 1 2为偶函数，由幂函数的性质可知， ( ) = 2在(0, + ∞)上单调递减，故 D 错误；
故选：C.
变式 5-2．已知幂函数 ( ) 1的图象经过点 2, ，则 ( )（ ）
4
A．为偶函数且在区间(0, + ∞)上单调递增
B．为偶函数且在区间(0, + ∞)上单调递减
C．为奇函数且在区间(0, + ∞)上单调递增
D．为奇函数且在区间(0, + ∞)上单调递减
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解.
【详解】设幂函数为 ( ) = ，
1
因为幂函数 ( )的图象经过点 2, ，
4
所以2 = 14，解得 = ―2，
故 ( ) = ―2，定义域为{ | ≠ 0}，定义域关于原点对称，
( ― ) = ( ― )―2 = ―2 = ( )，所以 ( )为偶函数，
又因为 ―2 < 0，所以 ( )在区间(0, + ∞)上单调递减，
故选：B.
变式 5-3．若幂函数 ( )过(2,16)，则满足不等式 (2 ― ) > (2 ― 1)的实数 的取值范围是 .
【答案】( ―1,1)
【分析】设 ( ) = , ∈ ，根据题意可得 ( ) = 4，根据函数奇偶性和单调性解不等式.
【详解】设 ( ) = , ∈ ，
由题意可得：2 = 16，解得 = 4，即 ( ) = 4，
可知 ( ) = 4为定义在 上的偶函数，且在( ―∞,0)内单调递减，在[0, + ∞)内单调递增，
若 (2 ― ) > (2 ― 1)，可得|2 ― | > |2 ― 1|，
整理可得 2 < 1，解得 ―1 < < 1，
所以实数 的取值范围是( ―1,1).
故答案为：( ―1,1).
【方法技巧与总结】
对于幂函数的奇偶性，主要是利用函数奇偶性的定义进行判定；在奇偶性与单调性的综合题中常用数形结
合进行思考分析.
【题型六：幂函数图象的判断及应用】

例 6．已知幂函数 = （ , ∈ Z且 , 互质）的图象关于 y 轴对称，如图所示，则（ ）

A．p，q 均为奇数，且 > 0

B．q 为偶数，p 为奇数，且 < 0

C．q 为奇数，p 为偶数，且 > 0

D．q 为奇数，p 为偶数，且 < 0
【答案】D

【分析】根据函数的单调性可判断出 < 0；根据函数的奇偶性及 ， 互质可判断出 为偶数， 为奇数.

【详解】因为函数 = 的定义域为( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞)，且在(0, + ∞)上单调递减，

所以 < 0，

因为函数 = 的图象关于 y 轴对称，

所以函数 = 为偶函数，即 p 为偶数，
又 p、q 互质，所以 q 为奇数，
所以选项 D 正确，
故选：D.
变式 6-1．若幂函数 ( ) 1的图像经过点 2, ，则 ( )的图像可能是（ ）
4
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函数 ( ) = ，代入图像经过的点，求得 的值，分析函数性质，选择函数图像.
1
【详解】设幂函数 ( ) = ，因为图像经过点 2, ，
4
1
所以2 = 4，解得 = ―2，则此幂函数的表达式为 ( ) =
―2．
幂函数 ( ) = ―2 =
1
2，函数定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，在(0, + ∞)上单调递减，
1
= = 1( ― ) (― )2 2 = ( )，函数为偶函数，图像关于 轴对称，
只有 D 选项符合.
故选：D
6-2 ∈ R ( ) =

变式 ．已知 ，则函数 2+1的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.

【详解】根据 ( ) = 2+1可知
2 +1 > 0，所以当 > 0时， > 0，即 ( ) > 0，故选项 A 错误，而当 为其
他值时，B,C,D 均有可能出现.
故选：A
变式 6-3．定义在R上的函数 ( )满足 (2 ― ) = (2 + )，且在(2, + ∞)单调递增， (4) = 0， ( ) = 4，
则函数 = ( + 2) ( )的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析 ( )的对称性、单调性、零点，求得 ( + 2)的对称性（奇偶性）、零点，结合 ( )的单调
性、零点以及特殊点的函数值判断出函数 = ( + 2) ( )的图象.
【详解】 (2 ― ) = (2 + )，所以 ( )的图象关于直线 = 2对称，
则 ( + 2)的图象关于直线 = 0即 轴对称， ( + 2)是偶函数，
( ) = 4为偶函数，图象关于 轴对称，
所以 = ( + 2) ( )是偶函数，图象关于 轴对称，排除 AD 选项.
(4) = (2 + 2) = (2 ― 2) = (0) = 0，
由于 ( )在(2, + ∞)上递增，在( ―∞,2)上递减，
所以 ( )有且仅有2个零点：0和4，另外有 (3) < 0，
所以 ( + 2)有且仅有2个零点： ―2和2，
( )有唯一零点：0，
所以 = ( + 2) ( )有且仅有3个零点： ―2、0和2.
当 = 1时， (1) = 1 > 0， = (1 + 2) (1) = (3) (1) < 0，
从而排除 C 选项，
故 B 选项正确.
故选：B
【方法技巧与总结】
对幂函数图象的判断，主要是结合其单调性与奇偶性进行分析，若在选择题中也常用取特殊值的排除法.
【题型七：幂函数性质的综合应用】
7 ( ) = ( ― 2) + 1, ≤ 0,例 ．（多选）已知函数 , > 0, 则以下说法正确的是（ ）
A．若 = ―1，则 ( )是(0, + ∞)上的减函数
B．若 = 0，则 ( )有最小值
1
C．若 = 2，则 ( )的值域为(0, + ∞)
D．若 = 3，则存在 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ( 0) = (2 ― 0)
【答案】ABC
【分析】把选项中的 值分别代入函数 ( )，利用此分段函数的单调性判断各选项.
A = ―1 ( ) = ―3 + 1, ≤ 0【详解】对于 ，若 ， ―1, > 0 ， ( )在(0, + ∞)上单调递减，故 A 正确；
对于 B，若 = 0， ( ) = ―2 + 1, ≤ 0,1, > 0, ，当 ≤ 0时， ( ) = ―2 + 1， ( )在区间( ―∞,0]上单调递
减， ( ) ≥ (0) = 1，则 ( )有最小值 1, 故 B 正确；
3
= 1
― + 1, ≤ 0,
对于 C，若 2， ( ) =
2 ≤ 0 ( ) = ― 31 ，当 时， 2 + 1， ( )在区间( ―∞,0]上单调递 2, > 0,
1
减， ( ) ≥ (0) = 1；当 > 0时， ( ) = 2， ( )在区间(0, + ∞)上单调递增， ( ) > (0) = 0，则 ( )的
值域为(0, + ∞)，故 C 正确；
+ 1, ≤ 0,
对于 D，若 = 3， ( ) = 3 3, > 0, 当 0 ∈ (1, + ∞)时， ( 0) = 0 > 1；
当2 ― 0 ∈ (0,1)时， (2 ― 0) = (2 ― 0)3 ∈ (0,1)；
当2 ― 0 ∈ ( ―∞,0]时， (2 ― 0) = 3 ― 0 ∈ ( ―∞,1]，即当2 ― 0 ∈ ( ―∞,0]时， (2 ― 0) ∈ ( ―∞,1]，所以
不存在 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ( 0) = (2 ― 0)，故 D 错误.
故选：ABC
3
变式 7-1．已知函数 ( ) = ― ( ≥ ) 2( < ) ，若函数 ( )的值域为R，则实数 的取值范围为（ ）
A．( ― 1,0) B．( ― 1,0] C．[ ― 1,0) D．[ ― 1,0]
【答案】D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数 = ― 3 在[ , + ∞)上单调递减，其函数值集合为( ― ∞, ― 3 ]，
当 > 0时， = 2的取值集合为[0, + ∞)， ( )的值域( ― ∞, ― 3 ] ∪ [0, + ∞) ≠ R，不符合题意，
当 ≤ 0时，函数 = 2在( ― ∞, )上单调递减，其函数值集合为( 2, + ∞)，
因函数 ( )的值域为R，则有 ― 3 ≥ 2，解得 ―1 ≤ ≤ 0，
所以实数 的取值范围为[ ― 1,0].
故选：D
变式 7-2．已知函数 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―6是幂函数，对任意 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 ≠ 2，满足
( 1 ― 2)[ ( 1) ― ( 2)] > 0，若 a， ∈ R，且 + > 0，则 ( ) + ( )的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断
【答案】A
【分析】先通过函数 ( )是幂函数以及单调性求出 ( )的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案.
【详解】因为函数 ( ) = ( 2 ― ― 5) 2―6是幂函数，
所以 2 ― ― 5 = 1，解得 = ―2或 = 3，
又因为对任意 1, 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 ≠ 2，满足( 1 ― 2)[ ( 1) ― ( 2)] > 0，
即对任意 1 > 2，都有 ( 1) > ( 2)，
2
故函数 ( ) = ( 2 ― ― 5) ―6是幂函数且在(0, + ∞)上单调递增，
所以 2 ―6 > 0，
所以 = 3，
则 ( ) = 3，明显 ( )为R上的奇函数，
由 + > 0得 > ― ，
所以 ( ) > ( ― ) = ― ( )，
所以 ( ) + ( ) > 0.
故选：A.
7-3 ― , < 0变式 ．已知函数 ( ) = ― , ≥ 0 ，若对任意的 ≤ 1有 ( + 2 ) + ( ) > 0恒成立，则实数 的取
值范围是 ．
【答案】( ― ∞, ― 1)
【分析】由奇函数的定义判断出 ( )为奇函数，结合 > 0时 ( )单调递减得出 ( )在R上单调递减，结合
已知求解即可．
【详解】当 < 0时， ― > 0, ( ― ) = ― ― = ― ( )；
当 > 0时， ― < 0， ( ― ) = ― ( ― ) = ― ( )；
当 = 0时， (0) = 0，所以对任意的 ∈ R, ( ― ) = ― ( )，
所以函数 ( )为奇函数，
又当 > 0时， ( ) = ― 单调递减，
所以函数 ( )在R上单调递减，
所以不等式 ( + 2 ) + ( ) > 0 ( + 2 ) > ( ― ) + 2 < ― ，
解得 < ― ，
由已知对任意的 ≤ 1有 < ― 恒成立，
所以1 < ― ,即 < ―1，
故答案为：( ― ∞, ― 1)．
变式 7-4．已知 ≠ 0，若( + )2021 + 2021 +2 + = 0 ，则 = （ ）
1
A．－2 B．－1 C． ― 2 D．2
【答案】A
【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可.

【详解】设 = = ，由( + )2021 + 2021 +2 + = 0 ( + )2021 + 2021 +2 + = 0
2021 ( + 1)2021 + 1 + (2 + ) = 0 2020 ( + 1)2021 + 1 +(2 + ) = 0，
当( + 1)2021 +1 = 0且2 + = 0时，即 = ―2时，等式显然成立，
当( + 1)2021 +1 ≠ 0时，则有 2020
2+
= ― ( +1)2021+1，因为 ≠ 0，
所以 2020
2+
= ― ( +1)2021+1 > 0，
当2 + < 0时，则有( + 1)2021 +1 > 0，即( + 1)2021 > ( ― 1)2021，
因为函数 = 2021是实数集上的增函数，
由( + 1)2021 > ( ― 1)2021 + 1 > ―1 + 2 > 0，而与2 + < 0矛盾，
所以( + 1)2021 +1 > 0不成立，
当2 + > 0时，则有( + 1)2021 +1 < 0，即( + 1)2021 < ( ― 1)2021，
因为函数 = 2021是实数集上的增函数，
由( + 1)2021 < ( ― 1)2021 + 1 < ―1 + 2 < 0，而与2 + > 0矛盾，
所以( + 1)2021 +1 < 0不成立，
综上所述： = ―2，
故选：A
【点睛】关键点睛：利用幂函数的单调性是解题的关键.
变式 7-5．对于定义域为 的函数 = ( )，如果存在区间[ , ] ，同时满足：① ( )在[ , ]上是单调
函数；②当 ∈ [ , ]时， ( ) ∈ [ , ]，则称[ , ]是该函数的“优美区间”.
1
(1)求证：[0,3]是函数 ( ) = 39 的一个“优美区间”；
1
(2)求证：函数 ( ) = 1 ― 不存在“优美区间”；
2
(3)已知函数 ( ) = ( + ) ―1 2 ( ∈ , ≠ 0)有“优美区间”[ , ]，当 ― 取得最大值时求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) = 3
【分析】（1）根据优美区间的定义来证明即可；
1
（2）假设函数 ( ) = 1 ― 存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证；
（3）原题条件等价于 , 是方程 2 2 ― ( 2 + ) + 1 = 0（*）的两个同号且不等的实数根，结合判别式可
得 的范围，结合韦达定理可用 表示 ― ，进一步即可求解.
1
【详解】（1） ∵ ( ) = 9
3在区间[0,3]上单调递增，又 (0) = 0, (3) = 3，
∴ 1当 ∈ [0,3]时， ( ) = 39 ∈ [0,3]，
∴ 1根据“优美区间”的定义，[0,3]是 ( ) = 39 的一个“优美区间”；
= 1 ― 1（2） ( ) ( ≠ 0)，设[ , ] { ∣ ≠ 0}，可设[ , ] ( ―∞,0)或[ , ] (0, + ∞)，
则函数 ( ) = 1 ―
1
在[ , ]上单调递增.
1 ― 1 =
若[ , ]是 ( )的“优美区间”，则 , , 是方程 21 ― + 1 = 0的两个同号且不等的实数根.1 ― =

∵ 2 ― + 1 = 0方程无解.
∴ 1函数 ( ) = 1 ― 不存在“优美区间”.
2
（3） ( ) = ( + ) ―1 2 ( ∈ , ≠ 0),{ ∣ ≠ 0}，设[ , ] { ∣ ≠ 0}.
∵ ( )有“优美区间”[ , ]，
∴ [ , ] ( ―∞,0)或[ , ] (0, + ∞)，
∴ +1 1( ) = ― 2 在[ , ]上单调递增.
( ) =
若[ , ]是函数 ( )的“优美区间”，则 ( ) = ，
∴ , +1是方程 ― 1 = ，即 2 2 ― ( 2 2 + ) + 1 = 0（*）的两个同号且不等的实数根.
∴ Δ = ( 2 + )2 ―4 2 = 2( + 3)( ― 1) > 0，
∴ > 1或 < ―3，
* + =
2+
由（ ）式得 2 = 1 +
1, = 1 2.
2 2
∴ ― = ( + )2 ― 4 = 1 + 1 ― 4 = ―3 1 ― 12 +
4
，
3 3
∵ > 1或 < ―3，
∴ 当 = 3时， ― 取得最大值.
∴ = 3.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出 的范围以及 ― 关于 的表达式，由此即可顺利得解.
一、单选题
1．已知函数 ( ) = ( + 1) ―1是幂函数，则 (2) = （ ）
1 1
A．3 B．2 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据 ( )是幂函数先求解出 的值，然后代入 = 2于解析式可求结果.
【详解】由题知 + 1 = 1，解得 = 0，
∴ ( ) = ―1, ∴
1
(2) = 2，
故选：C.
2.已知函数 ( ) = ( ― 1) +1为幂函数，则 ( 2 ― 2 ) + (2 ― 2) = （ ）
A．0 B． ―1 C． 2 D． 6 ― 4
【答案】A
【分析】先根据幂函数求解 = 2，再判断函数 ( )为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可.
【详解】由题意有 ― 1 = 1，可得 = 2, ( ) = 3，其定义域为 R，
且 ( ― ) = ( ― )3 = ― 3 = ― ( )，则函数 ( )为奇函数，
所以 ( 2 ― 2 ) + (2 ― 2) = 0.
故选：A.
3.下列函数中，既是奇函数，又在(0, + ∞)上单调递减的是（ ）
A． ( ) = B． ( ) = ― | |
C． ( ) = 1 2+1 D． ( ) =
3
【答案】B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对 A、C 判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对 B、D
判断.
【详解】对 A、C：由 ( ) = ，定义域为[0, + ∞)，所以 ( ) = 不是奇函数，故 A 错误；
1
( ) =
1
2+1定义域为R， ( ― ) =
1 1
(― )2+1 = 2+1 = ( )，所以 ( ) = 2+1是偶函数，故 C 错误；
对 B、D： ( ) = ― | |，定义域为R， ( ― ) = ― ( ― )| ― | = | | = ― ( )，所以 ( )为奇函数，
当 > 0时， ( ) = ― 2，且 ( ) = ― 2在(0, + ∞)上单调递减，故 B 正确；
( ) = 3，定义域为R，且 ( ― ) = ( ― )3 = ― 3 = ― ( )，所以 ( ) = 3为奇函数，且在定义域上为增
函数，故 D 错误；
故选：B.
4.已知函数 ( ) = ( 2 ― ― 1) 2―2 ―3是幂函数，且在(0, + ∞)上单调递减，则实数 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．4 D．2 或－1
【答案】A
【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解.
【详解】由幂函数定义知 2 ― ― 1 = 1，解得 = ―1或 = 2，
当 = ―1时， 2 ―2 ― 3 = 0，则 ( )在(0, + ∞)上为常数函数，不符合题意；
当 = 2时， 2 ―2 ― 3 = ―3，则 ( ) = ―3，在(0, + ∞)上单调递减，符合题意.故 = 2.
故选：A.
5.若幂函数 ( ) 1的图象经过点 2, ，则下列判断正确的是（ ）
2
A． ( )在(0, + ∞)上为增函数 B．方程 ( ) = 4的实根为 ± 2
C． ( )的值域为(0,1) D． ( )为偶函数
【答案】D
【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.
1 = ( 2) = 2 = 1【详解】设 ( ) ，代入点 2, 可得 2 = 2―12 ，所以 = ―2，2
1
所以 ( ) = ―2 = 2，因为
2 ≠ 0，所以 ≠ 0，即函数 ( )的定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，
对于 A：因为 ―2 < 0，所以 ( ) = ―2在(0, + ∞)上为减函数，错误；
1 1 1
对于 B：令 ( ) = 4，所以 2 = 4，解得 =± 2，所以方程 ( ) = 4的实根为 ± 2，错误；
1
对于 C：因为 ≠ 0，所以 2 > 0，所以 ( ) = 2 > 0，所以 ( )的值域为(0, + ∞)，错误；
1 1
对于 D：因为 ( )的定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)关于原点对称，且 ( ― ) = (― )2 = 2 = ( )，
所以 ( )为偶函数，正确.
故选：D
6.已知函数 ( ) = 的图象经过点(4,2)，则下列答案错误的是（ ）
A．函数 ( )在定义域内为增函数
B．函数 ( )为偶函数
C．当 > 1时， ( ) > 1
D 0 < < ( 1)+ ( 2) < + ．当 1 2时， 1 22 2
【答案】B
1
【分析】先代点求出幂函数的解析式 ( ) = 2，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由 > 1可
2
( )+ ( ) 2 2
判断 C，利用 1 2 ― 2 1+ 2 = 1+ 2 ― 1+ 22 2 2 展开和 0 比即可判断 D.2
【详解】∵函数 ( ) = 的图象经过点(4,2)，
∴4 = 22 = 2，
∴2 = 1，解之得: = 12.
1
∴ ( ) = 2 = ， ∈ [0, + ∞).
1
对于 A.因为 = 2 > 0，所以函数 ( )在[0, + ∞)上为增函数.故 A 正确；
对于 B.因为函数 ( )的定义域为[0, + ∞)，并不关于原点对称，所以函数 ( )不是偶函数.故 B 错误；
对于 C.因为函数 ( )在[0, + ∞)上为增函数，所以当 > 1时, ( ) > (1) = 1.故 C 正确；
对于 D. 当若0 < 1 < 2时，
2
( 1)+ ( )
2
2 ― 2 1+
2
2 = 1+ 2 ― 1+ 2
2 2 2 2
+
= 1+ 2+2 1 2 1 24 ― 2
2
=2 1 2― 1― 2 = ― ( 1― 2)4 4 < 0.
(
即 1
)+ ( 2)
2 <
1+ 2 成立，所以 D 正确.
2
故选：B .

7.在同一直角坐标系中，二次函数 = 2 +4 与幂函数 = ( > 0)图象的关系可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分 > 0, > 0、 > 0, < 0， < 0, > 0、 < 0, < 0四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判
断即可得答案.
【详解】解：因为二次函数 = 2 +4 的对称轴为 = ― 2 ，

当 > 0, > 0 2 时，二次函数的图象开口向上，对称轴 = ― < 0，幂函数 = ( > 0)在(0, + ∞)上单调递
增，

对于 C，由题意可得此时 ― 2 = ―2，得 = ，所以幂函数 = = ，图象为直线，故不正确；

当 > 0, < 0 2 时，二次函数的图象开口向上，对称轴 = ― > 0，幂函数 = ( > 0)在(0, + ∞)上单调递
减，
2 1
对于 D，由题意可得此时 ― = 2，得 = ― ，所以幂函数 = =
―1 = ，图象为反比例函数的图象，
满足题意，故正确；

当 < 0, > 0 2 时，二次函数的图象开口向下，对称轴 = ― > 0，幂函数 = ( > 0)在(0, + ∞)上单调递
减，

对于 B，由题意可得此时 ― 2 = 2，得 = ― ，所以幂函数 = = ―1 = 1 ，图象为反比例函数的图象，
不满足题意，故不正确；

当 < 0, < 0 2 时，二次函数的图象开口向下，对称轴 = ― < 0，幂函数 = ( > 0)在(0, + ∞)上单调递
增，
― 2 1
1
对于 A，由题意可得此时 = ―1，得以 = 2，所以幂函数 = = 2，当 > 1时，图象在直线 = 下
方，不满足题意，故不正确；
故选：D.
2 +1
8.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足2 ( ) + 1 = = ( > 0)
1+ 2
，若函数 ( ) 在( , + ∞)上的值域与

函数 ( )的值域相同，则 = （ ）
1 1
A．2 B．1 C．3 D．2
【答案】B

【分析】先构造函数方程组求出 ( )，再求出 ( )的值域，得 ( )的值域，得 ( ) = 1，即 = 1.
2 +1
【详解】 ∵ 2 ( ) + 1 = 1+ 2①，
2 1+1 2+
∴ 2 1 + ( ) = 1 2 = 1+ 1+ 2②，

3
由① × 2 ― ②得3 ( ) = 1+ 2，

∴ ( ) = 1+ 2 =
1
1 ，
2 +1
∵ ∈ (0, + ∞), ∴
1
2 +1 > 1, ∴ 0 <
1
1 < 1，
2 +1
故函数 ( )的值域为(0,1)， ∴ 函数 ( )的值域也是(0,1)，

因为 > 0，所以 ( ) = 1，即 = 1.
故选：B.
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在(0, + ∞)上单调递增的有（ ）
1
A． = 2 ― 1 B． = 3
= + 2C． D． =
3
【答案】BD
【分析】根据函数的解析式，结合函数的性质，即可判断.
【详解】选项 A 不具有奇偶性；选项 B 是奇函数，在(0, + ∞)上单调递增；
2 1 9 9
选项 C，记 ( ) = + ，则 = 2, (1) = 3 < 2，函数在(0, + ∞)上不是单调递增函数；2
选项 D，函数是奇函数，在(0, + ∞)上单调递增.
故选：BD
4
10.下列关于幂函数 ( ) = ―3的说法正确的有（ ）
A．函数 ( )的定义域为 R B．函数 ( )的值域为(0, + ∞)
C．函数 ( )为偶函数 D．不等式 ( ) < 1的解集为( ―1,1)
【答案】BC
【分析】AB 选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C 选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D
1
选项，解不等式3 < 14 ，得到不等式解集.
4 1
【详解】A 选项， ( ) = ―3 = 3 4的定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞)，A 错误；
4 1
B 选项， ( ) = ―3 = 3 > 04 ，故值域为(0, + ∞)，B 正确；
4 4
C 选项，定义域为( ―∞,0) ∪ (0, + ∞) ― ―，关于原点对称，又 ( ― ) = ( ― ) 3 = 3，
故 ( )为偶函数，C 正确；
―4 1D 选项，不等式 ( ) = 3 = 3 < 14 ，故
3 4 > 1，解得 > 1或 < ―1，D 错误.
故选：BC
11.已知定义域为 R 的奇函数 ( )满足 ( + 1) = (1 ― )，且当 ∈ [ ―1,1]时， ( ) = ― 3，若 =
(2021), = (2022), = (2023)，则下列关系正确的是（ ）
A． < B． < C． < D． >
【答案】ABD
【分析】由题意由 ( )是定义在 R 上的奇函数得函数的周期为 4，即可得出结果.
【详解】因为 ( ) 为奇函数且满足 ( + 1) = (1 ― ) ，
故 ( ) = (2 ― ) = ― ( ― 2) = ― [ ― ( ― 4)] = ( ― 4)，故可知 ( ) 的周期为 4 ，
所以 = (2021) = (1) ， = (2022) = (2) = (0) ， = (2023) = ( ― 1)
因为当 ∈ [ ―1,1] 时， ( ) = ― 3 ，所以 ( ― 1) > (0) > (1) ，即 > > ,
故选：ABD
三、填空题
12 1．己知幂函数 ( )的图象经过点 3, ，求 ( ― 3) = ．
9
1
【答案】9
【分析】设幂函数为 ( ) = , ∈ R，根据题意求得 = ―2，得到 ( ) = ―2，代入即可求解.
【详解】设幂函数为 ( ) = , ∈ R，
因为幂函数 ( ) 1 1的图象经过点 3, ，可得9 = 3
，解得 = ―2，即 ( ) = ―2，
9
所以 ( ― 3) = ( ― 3)―2 = 19.
1
故答案为：9.
13.已知 ∈ ―2, ― 1, ― 2 ,0, 1 , 2 ,1,2 ，若函数 ( ) = 满足：当 ∈ ( ―1,0) ∪ (0,1)时， ( ) > | |恒成立，
3 3 3
则 的取值为 ．（写出满足条件的所有取值）
【答案】 ―2 ― 2 2、 3、0 或3
【分析】根据幂函数的性质，结合题意，根据函数值的正负情况，一一判断 的取值是否符合题意，可得
答案.
【详解】因为 ∈ ( ―1,0) ∪ (0,1)，所以0 < | | < 1 ，
要使 ( ) > | |则 ( ) = 在区间( ―1,0) ∪ (0,1)上应大于 0，
所以 = ―1,13,1时 ( ) =
在区间( ―1,0) ∪ (0,1)可取到负值，不合题意；
当 = 0时， ( ) = 0 = 1，在区间( ―1,0) ∪ (0,1)上恒有 ( ) > | |成立，符合题意；
当 = 2时， ( ) = 2，当 ∈ ( ―1,0)时， 2 + = ( + 1) < 0, ∴ 2 < ― ，
当 ∈ (0,1)时， 2 ― = ( ― 1) < 0, ∴ 2 < ，
即在区间( ―1,0) ∪ (0,1)上有 ( ) < | |成立，不合题意；
当 = ―2时， ( ) = ―2，当 ∈ ( ―1,0)时， = ―2 + 为递增函数， ―2 + > ( ― 1)―2 ―1 = 0，则 ―2
> ― ；
当 ∈ (0,1)时， = ―2 ― 为递减函数， ―2 ― > (1)―2 ―1 = 0，则 ―2 > ，
故在区间( ―1,0) ∪ (0,1)上有 ( ) > | |恒成立，符合题意；
2 ―2 | | 5
当 = ― 时， ( ) = 33 ，由 ( ) = | |3，及0 < | | < 1，
| | 5
知 ( ) = | |3 < 1, ∴ ( ) > | |恒成立，符合题意；
2 | | 1
当 = 23 时， ( ) = 3，由 ( ) = | |3及0 < | | < 1，
| | 1
知 ( ) = | |3 < 1, ∴ ( ) > | |恒成立，符合题意，
综上所述， 的取值为 ―2、 ― 2 23、0 或3，
2 2
故答案为： ―2、 ― 3、0 或3
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ( )： ．
① ( 1 2) = ( 1) ( 2)；
②对于任意两个不同的正数 1,
( 1)― ( 2)
2，都有 ― > 0恒成立；1 2
③对于任意两个不同的实数 1, 2，都有 1+ 2 >
( 1)+ ( 2)
2 2
．
【答案】 ( ) = （答案不唯一）
【分析】取 ( ) = ，再逐一验证即可.
【详解】当 ( ) = 时，
对于①， ( 1 2) = 1 2 = ( 1) ( 2)，故满足①；
对于②，由对于任意两个不同的正数 ,
( 1)― ( 2)
1 2，都有 ― > 0恒成立，1 2
得函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
而函数 ( ) = 在(0, + ∞)上单调递增，故满足②；
对于③，任取 1, 2 ∈ [0, + ∞), 1 ≠ 2，
2
1+ 2 ― ( 1)+ (
2
2) = 1+ 2
2
则 ― 1+ 2+2 1 2 = ( 1+ 2)2 2 2 4 4 ，
2
≠ 1+ 2 ― ( 1)+ ( )
2
2 = ( + )
2
因为 1 2，所以
1 2
2 2 4
> 0，
2
1+ 2 > ( 1)+ ( )
2
即 22 2 ，
1+ 2 > ( 1)+ ( 所以 2)2 ，故满足③.2
故答案为： ( ) = （答案不唯一）.
四、解答题
15．已知幂函数 = 4, 1经过点 ．
8
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若当 1 = + 2， 2 = 3 ― 2 时，有 1 < 2，求实数 的取值范围．
―3
【答案】(1) = 2；定义域为(0, + ∞)
(2)(1,33 2)
1
【分析】（1）由题意，代入点 4, 计算即得函数解析式，化成根式易求得函数定义域；
8
（2）根据幂函数在(0, + ∞)上的单调性列出不等式组，求解即得.
3
【详解】（1）由幂函数 = 1经过点 4, 1 可得，4 = 22 = 8，可得2 = ―3，解得 = ―
3
2，故 =
―
2
8
1
=
3．
3
由 3 > 0 ―可得 > 0，所以函数 = 2的定义域为(0, + ∞)．
―3
（2）由（1）可知，幂函数 = 2的定义域为(0, + ∞)，且在定义域上为减函数，
< + 2 > 3 ― 2 , 1 3由 1 2，得 3 ― 2 > 0, 可得3 < < 2．
即实数 1 3的取值范围为(3,2).
16. 已知幂函数 ( )与一次函数 ( )的图象都经过点(4,2)，且 (9) = (5).
(1)求 ( )与 ( )的解析式；
(2)求函数 ( ) = ( ) ― ( )在[0,1]上的值域.
【答案】(1) ( ) = ， ( ) = ― 2
(2) ― 9 , ― 2
4
【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标，求出函数解析式；
（2）写出函数 ( )，利用换元法求解函数的值域即可.
【详解】（1）设 ( ) = ， ( ) = + ， ≠ 0，
4
= 2
则 4 + = 2 ，
9 = 5 +
= 1
2
解得 = 1 ，
= ―2
则 ( ) = ， ( ) = ― 2；
（2）由（1）知， ( ) = ― ―2，
令 = ， ∈ [0,1]，则 = 2，
1 2
记 ( ) = 2 ― ― 2 = ― ―
9
2 4，
= 1当 2时， ( )
9
min = ― 4，
当 = 0或 1 时， ( )max = ―2，
故 ( )在[0,1] 9上的值域为 ― , ― 2 .
4
17.若函数 ( ) = ( 2 ― 3 + 3) 2+2 ―4为幂函数，且在(0, + ∞)上单调递减.
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 ( ) = ― ( )，且 ∈ (0, + ∞)，
①判断函数 ( )的单调性，并证明；
②求使不等式 (2 ― 1) < ( )成立的实数 t 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)① ( )在区间(0, + ∞) 1上单调递增，证明见解析；② ,1
2
【分析】（1）根据幂函数的定义求出 的值再由题设条件取舍；
（2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；
②利用①的结论求解抽象不等式即得.
【详解】（1）由题意知 2 ―3 + 3 = 1，解得： = 1或 = 2，
当 = 1时，幂函数 = ―1，此时幂函数在(0, + ∞)上单调递减，符合题意；
当 = 2时，幂函数 = 4，此时幂函数在(0, + ∞)上单调递增，不符合题意；
所以实数 的值为 1.
（2）① ( ) = ― ( ) = ― 1 ， ( )在区间(0, + ∞)单调递增.证明如下：
1 1 1 1 1
任取0 < 1 < 2，则 ( 1) ― ( 2) = ( 1 ― ) ― ( 2 ― ) = ( 1 ― 2) ― ( ― ) = ( 1 ― 2)(1 +1 2 1 2 )，1 2
1
由0 < 1 < 2可得： 1 ― 2 < 0，1 + > 0，则 ( 1) ― ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 1 2 2)，
故 ( )在区间(0, + ∞)单调递增.
②由①知， ( )在区间(0, + ∞)单调递增，
2 ― 1 > 0
又由 (2 ― 1) < ( )可得： > 0 1 1，解得解得2 < < 1，所以实数 t 的取值范围是 ,1 .2 ― 1 < 2
2 3 1
18. ― ―已知幂函数 ( ) = 2 ― 3 + 3 2 2满足 (2) < (4)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若函数 ( ) = ― ( + 3)，是否存在实数 ， （ < ），使函数 ( )在[ , ]上的值域为[ , ]？若存在，
求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1) ( ) = 2
(2)( ― 94, ― 2]
【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数 p 的值，结合单调性即可求得函数解析式；
（2）假设存在实数 ， （ < ），使函数 ( )在[ , ]上的值域为[ , ]，根据函数单调性可得相应关系式，
推出 + 3 ― + 3 = ( + 3) ― ( + 3)，整理化简后可得 = + + 3 = + 1 ― + 3，利用换元法
结合二次函数性质即可求得 n 的范围，即可得出结论.
2 3 1
【详解】（1）由 ( ) = 2 ― 3 + 3 ― ―2 2是幂函数，
可得 2 ―3 + 3 = 1，解得 = 1或 = 2；
当 = 1时， ( ) = ―1在(0, + ∞)上单调递减，不满足 (2) < (4)；
1
当 = 2时， ( ) = 2在(0, + ∞)上单调递增，满足 (2) < (4)，
1
故 ( ) = 2．
（2）由题意知 ( ) = ― ( + 3) = ― + 3，则 ( )在定义域[ ― 3, + ∞)上单调递减，
若实数 ， （ < ），使函数 ( )在[ , ]上的值域为[ , ]，
( ) = ― + 3 =
则 ( ) = ― + 3 = ，两式相减，得 + 3 ― + 3 = ― = ( + 3) ― ( + 3)，
故 + 3 ― + 3 = ( + 3 ― + 3)( + 3 + + 3)，
而 + 3 ― + 3 ≠ 0，所以 + 3 + + 3 = 1，即 + 3 = 1 ― + 3，
将该式代入 ( ) = ― + 3 = ，
得 = + + 3 = + 1 ― + 3，
1
令 = + 3，由 < ，知 + 3 < + 3 = 1 ― + 3，即 + 3 < 2，
2
故 ∈ [0,12)，所以 =
2 ― ― 2 = ― 1 ― 9
2 4，
2
= ― 1 ― 9 [0,1) ― 9由于 4在 2 上单调递减，所以 4 < ≤ ―22 ，
故存在实数 ， （ < ），使函数 ( )在[ , ]上的值域为[ , ]，
此时实数 的取值范围为( ― 94, ― 2].
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的探究问题，解答时要能根据函数的单调性得出 , 之间的
关系式，从而推出 n 关于 , 的关系式，换元后转化为二次函数问题，即可得出结论.
19．若函数 ( )满足：存在整数 , ，使得关于 的不等式 ≤ ( ) ≤ 的解集恰为[ , ]（ < ），则称函
数 ( )为 函数.
(1)若函数 ( ) = 2为 函数，请直接写出 , （不要过程）；
1
(2)判断函数 ( ) = , ∈ (0, + ∞)是否为 函数，并说明理由；
(3)是否存在实数 使得函数 ( ) = 2 ― + ― 1为 函数，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1) = ―1, = 1
(2)不是，理由见解析
(3)存在， = 1
【分析】（1）结合 函数的定义列方程、不等式，由此求得 , 的值.
（2）结合 函数的定义以及反证法进行判断.
（3）结合 函数的定义列方程、不等式，由此求得 , , 的值，从而确定正确答案.
【详解】（1）函数 ( ) = 2为二次函数，对称轴为 = 0，开口向上，
若函数 ( ) = 2为 函数，
0 ― = ― 0 + = 0
所以 ≤ (0) = 0 ，即 ≤ 0 ，
= ( ) = ( ) = 2 = 2
解得 = ―1, = 1.
（2）函数 ( ) = 1 , ∈ (0, + ∞)不是 P 函数，理由如下：
1( ) = 在(0, + ∞)上递增，
因为 m，n 为整数，由题意可知1 ≤ < ，即 > 1，
令 ≤ ( ) ≤ ，即 ≤ 1 1 1 ≤ ，解得 ≤ ≤ ，
假设函数 ( ) = 1 , ∈ (0, + ∞)为 P 函数，
1 =
则 1 ，即 = 1，与已知 > 1矛盾，所以不存在这样的 m，n，=

所以函数 ( ) = 1 , ∈ (0, + ∞)不是 P 函数；

（3）函数 ( ) = 2 ― + ― 1为二次函数，对称轴为 = 2，开口向上，
因为关于 x 的不等式 ≤ ( ) ≤ 的解集恰为[ , ]
― = ―
2 2 + = ,①1
所以 ≤ ，即 ≤ ― ( ― 2)2 ②
2 4
，
= ( ) = ( ) = (1 ― ) + 2 ― 1,③
将①代入③得， (1 ― ) = 1，
又 m，n 为整数， < = ―1 = ―1，所以 1 ― = ―1 ，解得 = 2 ，此时 = 1，满足题意，
综上所述，存在实数 = 1使得函数 ( ) = 2 ― + ― 1为 P 函数.
【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题
中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但
也是围绕 “新定义”去列式.

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