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4.2 指数函数
课程标准 学习目标
（1）通过具体实例, 了解指数函数的实际意义,
（1）理解指数函数的定义;
理解指数函数的概念;
（2）了解指数爆炸和指数衰减；
（2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数
（3） 掌握指数函数的图象与性质；
函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与
（4）掌握指数函数图象与性质的应用.（难点)
特殊点。
知识点 01 指数函数的概念
（1）概念
一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 .
解释
(1)指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)中系数为1，底数是不为1的正实数的常数，指数是变量x.注意与幂函数的
区别，如y = 2 是指数函数，y = x3是幂函数.
(2)指数函数中为什么要限制 > 0且 ≠ 1呢？
① 若a < 0 1 1，则对于x的某些值a 无意义，如( ―2) ，此时x取 、2 4…等没意义；其函数图象没明显特点；
② 若a = 0或a = 1时，函数没研究价值.
（2）指数爆炸和指数增长
①当底数a > 1时，指数函数的值岁自变量的增长而增大，底数较大时指数函数的值增长速度惊人，被称为
指数爆炸；
+
② 指数函数 = ( > 0且 ≠ 1) a ―a在长为T的周期区间[ , + ]中函数值增长a + ― a ，增长率为 a =
―1，它是个常量，我们称之为指数式增长，也称指数增长。
（3）指数衰减
当底数a满足0 < < 1时，指数函数值岁自变量的增长而缩小以至无限接近于0，这叫做指数衰减.
指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量.
【即学即练 1】
若指数函数 ( )的图象过点(3,8)，则 ( )的解析式为（ ）
1
A． ( ) = B． ( ) = 3 C． ( ) = 2 D． ( ) = 12
【答案】C
【分析】设出解析式，用待定系数法可得结果.
【详解】设 ( ) = > 0且 ≠ 1 ，因 ( )的图象过点(3,8)，
则 3 = 8，得 = 2，所以 ( ) = 2 ，
故选：C.
知识点 02 指数函数的图象与性质
函数名称 指数函数
定义 函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数
> 1 0 < < 1
图象
定义域
值域 (0, + ∞)
过定点 图象过定点(0,1)，即当 = 0时， = 1．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
变化对图 在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．
象的影响
【即学即练 2】

已知 ( ) = 2, ( ) = ( 1 ) ― ， 若对 1 ∈ [ ―1,3]， 2 ∈ [0,2]， ( 1) ≥ ( 2 2)，则实数 的取值范围是
（ ）
[1A． 4, + ∞)
35
B．[ ― 4 , + ∞) C．[1, + ∞) D．[ ― 8, + ∞)
【答案】A
1 2
【分析】根据函数最值的性质得出 ( )min ≥ ( )min，求出 ( )min = (0) = 0, ( )min = ― 2 ，得出实
数 的取值范围.
【详解】解：因为 1 ∈ [ ― 1,3], 2 ∈ [0,2]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，所以 ( )min ≥ ( )min
2
因为 ( )min = (0) = 0, ( ) =
1 ― 1 1min 2 ，所以0 ≥ 4 ― ,解得 ≥ 4，
故选：A
【题型一：指数函数的判定与求值】
例 1． 已知函数 ( )为指数函数， ( )为幂函数，若 ( ) = ( ) + ( )，且 (1) = 3，则 ( ―1) = ．
1
【答案】2/0.5
【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求出 ( ) = 2 ，直接代入求解.
【详解】因为 ( )为指数函数， ( )为幂函数，
所以可设 ( ) = （ > 0，且 ≠ 1）， ( ) = （ 是常数）.
∵ ( ) = ( ) + ( )， (1) = 3，
∴ 1 + 1 = 3，∴ = 2，
∴ ( ) = 2 ，
∴ 1( ―1) = 2―1 = 2．
1
故答案为：2.
变式 1-1．若指数函数 f(x)的图象经过点(2，9)，则 f(－1)＝ .
1
【答案】3
【分析】设幂函数的解析式为 f(x)＝ax，根据函数过点(2，9)，求出 ，进而可求出结果.
【详解】设 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，将点(2，9)代入，得 a2＝9，解得 a＝3 或 a＝－3(舍去).
所以 f(x)＝3x.
所以 f(－1)＝3－1 1＝3.
1
故答案为：3
变式 1-2．已知指数函数 ( )图象过点(3,27)，则 (2)等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】C
【分析】先求得 ( )的解析式，进而求得 (2).
【详解】设 ( ) = , > 0且 ≠ 1，
将(3,27)代入得 (3) = 3 = 27，
解得 = 3，所以 ( ) = 3 ，
所以 (2) = 32 = 9.
故选：C
【方法技巧与总结】
1 一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 .
2 可用待定系数法求指数函数的解析式.
【题型二：指数型函数图像过定点问题】
例 2．函数 ( ) = +2 ―3的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程 + + 2 = 0，其中 > 0，
> 0 1 4，则 + 的最小值为（ ）
A．6 + 4 2 B．9 C．5 + 2 2 D．8
【答案】B
【分析】先利用指数函数的性质求得定点 ，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】对于函数 ( ) = +2 ―3，令 + 2 = 0，得 = ―2， ( ―2) = ―2+2 ―3 = ―2，
所以函数 ( ) = +2 ―3的图象恒过定点 ( ―2, ― 2)，
又定点 的坐标满足方程 + + 2 = 0，所以 ―2 ― 2 + 2 = 0，即 + = 1，
> 0 > 0 1 + 4

= 4 又 ， ，所以 ( + )
1 + 4 = 5 + + ≥ 5 + 2
4 = 9，


当且仅当 =
4 1 2
，即 = 3， = 3时取等号，
∴ 1 +
4
的最小值为9.
故选：B.
变式 2-1．函数 ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)的图象必经过定点（ ）
A．(0,1) B．(1,1) C．(2,3) D．(2,4)
【答案】D
【分析】指数型函数过定点，令 = 2即可得到结果
【详解】根据指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)恒过定点(0,1)，
则 ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)恒过定点，令 = 2， (2) = 2―2 +3 = 4，
所以函数 ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)的图象必经过定点(2,4)，
故选：D.
变式 2-2．已知函数 ( ) = ―2 +1( > 0, ≠ 1)恒过定点 ( , )，则函数 ( ) = ― 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由指数函数的性质可知 ( )恒过定点(2,2)，再由指数函数的性质可知 ( )不过第二象限.
【详解】由已知条件得当 = 2时， (2) = 2，则函数 ( )恒过点(2,2)，
即 = 2, = 2，此时 ( ) = 2 ―2，
由于 ( )由 = 2 向下平移 2 个单位得到，且过点(0, ― 1)，
由此可知 ( )不过第二象限.
故选：B
【方法技巧与总结】
指数型函数y = a ― + (m, 是常数)过定点( , + 1)，过定点指的是该函数不管a取什么数，函数均过的点.
【题型三：根据指数型函数图像判断参数的范围】
例 3．若直线 = 2 与函数 = | ― 1|（ > 0，且 ≠ 1）的图象有两个公共点，则 的取值可以是（ ）
1 1
A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】对 分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】（1）当 > 1时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则0 < 2 < 1, ∴ 0 < < 12，
因为 > 1，所以此种情况不存在；
（2）当0 < < 1时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
1
若有两个交点，则0 < 2 < 1, ∴ 0 < < 2，
因为0 < < 1，所以0 < < 12.
1
综上， 的取值范围是0 < < 2
故选：A
变式 3-1．若函数 = 2― +1 + 的图象不经过第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． ≤ ―2 B． ≥ ―2 C． ≤ ―1 D． ≥ ―1
【答案】A
【分析】由指数幂的运算化简后再结合指数函数的单调性及题意解析即可；
1 ―1
【详解】 = 2― +1 + = + 2 ，
由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限，
1 ―1
所以当 = 0时， + ≤ 02 ，解得 ≤ ―2，
故选：A.

变式 3-2．若直线 = 2与函数 = |
― 1|（ > 0且 ≠ 1）的图象有两个公共点，则 的取值不可以是
（ ）
3 3 3
A．8 B．4 C．2 D．3
【答案】D
【分析】分别将 > 1和0 < < 1两种情况作出函数图象，利用数形结合根据交点个数即可求得 的取值范
围，即可得出选项.
【详解】 = | ― 1|的图象由 = 的图象向下平移一个单位，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方得到，
分 > 1和0 < < 1两种情况分别作图.
当 > 1时，图象如下图所示：

此时需要0 < 2 < 1，即0 < < 2，
所以1 < < 2；
当0 < < 1时，图象如下图所示：

此时需满足0 < 2 < 1，0 < < 1都符合条件；
综上可知, 的取值范围为0 < < 1或1 < < 2，
所以 的取值不可以是 D.
故选：D
|2
― 1|, < 2,
变式 3-3．已知函数 ( ) = 3 , ≥ 2, 若函数 = ( )图象与直线 = 有且仅有三个不同的交点，则实
―1
数 k 的取值范围是（ ）
A． > 0 B．0 < < 1 C．0 < < 3 D．1 < < 3
【答案】B
【分析】画出函数 = ( )的图象，结合图象求解即可.
【详解】将 = 2 的图象向下平移 1 个单位得到 = 2 ―1，再将 = 2 ―1的图象的 轴下方的图象以 轴为
对称轴翻转至 轴上方可得到 = |2 ―1|，
将 = 3 3 的图象向右平移 1 个单位得到 = ―1，
|2 ― 1|, < 2,
所以 ( ) = 3 , ≥ 2, 的图象如图所示，
―1
由图可知，当0 < < 1时，函数 = ( )与 = 图象有且仅有三个不同的交点.
故选：B.
【方法技巧与总结】
函数图象的变换
（1）平移变换，口诀：左加右减，上加下减
（2）对称变换
轴
= ( ) = ― ( )
例： = ― 图像可看成 = 图像关于 轴对称得到.
轴
= ( ) = ( ― )
例： = ― 图像可看成 = 图像关于 轴对称得到.
（3） 翻折变换
去掉 y 轴左边图像
= ( )保留 y 轴右边图像，并作其关于 y 轴对称图像 = (| |)
例： = | |的图像可看成由 = 图像对称变换得到.
保留 x 轴上方图像
= ( )将 x 轴下方图像翻折上去 = | ( ) |
例： = | |的图像可看成由 = 图像对称变换得到.
【题型四：比较指数幂的大小】
例 4．设 = 0.1e0.2, = 110, = 0.2e
0.1，则下列选项正确的是（ ）
A． < < B． < <
C． < < D． < <
【答案】B
【分析】先由指数函数的单调性比较 , 与 的大小，再作商比较 , 的大小即可得解.
1 1 1
【详解】 = 0.1e0.2 = e0.2 > e010 10 = 10 = ，
= 0.2e0.1 = 1e0.1 > 15 5e
0 = 1 15 > 10 = ，而

= 1而 e0.1 2 ，因为e < 2
10，所以e0.1 < 2，
1 1
所以 = e0.1 2 < 2 × 2 = 1，故 < ，
所以 < < .
故选：B
2 3 3
变式 4-1．已知 = 4 3， = 2 4， = 4 55 3 9 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
【答案】A
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.
3 3 6
4 25 5
【详解】易知 = = 2 = 2 59 3 3 ，

= 2 3 < 1 < 6 > 2又 3 定义域上单调递减，4 5，所以 3 > ，
2
= 4易知 3( > 0)单调递增，5 >
3
4 >
2
3，
2 2 3
= 4 3 > 2 3 > 2 4则 = 5 3 3 ，
综上 > > .
故选：A
变式 4-2．已知 = 0.32， = 20.1， = 30.2，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． < < B． < <
C．b【答案】B
【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断.
【详解】因为 = 0.3 在 内单调递减，则0 < 0.32 < 0.30 = 1，即0 < < 1；
且 = 2 在 内单调递增，则20 < 20.1 < 20.2，1 < < 20.2；
且 = 0.2在(0, + ∞)内单调递增，20.2 < 30.2，即20.2 < ；
综上所述： < < .
故选：B.
1
变式 4-3 = 2 3．设 ， = 1.5―0.2， = 0.80.23 ，则（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【答案】D
【分析】由指数函数和幂函数的单调性即可得出答案.
1 0 ―0.2 0.2
【详解】因为0 < = 2 3 < 2 = 1， = 1.5―0.2 = 3 = 23 3 2 3 ，
2
因为 = 在R3 上单调递减，
1
0.2 < 1 2
0.2
所以 3，所以 >
2 3 >
3 3 ，所以 ，
0.2
因为 = 0.2 2在(0, + ∞)上单调递增，由0.8 > 3，可得0.8
0.2 > 2
3 ，
所以 > ，故 < < .
故选：D.
【方法技巧与总结】
比较指数幂数值大小的方法很多，当底数相等的指数幂可利用指数函数的单调性比较，当指数相等的指数
幂可利用幂函数利用中间值(常常是 0 或 1)比较，利用作差作商比较等等.
【题型五：求指数型函数的值域】
例 5．已知 ( ) = 2 ―2 + , ( ) = e2 ―1 ―1，若对 1 ∈ [0,3], ∈ 12 , 3 ，使得 ( 2 2 1) = ( 2)，则实数
的取值范围是（ ）
A．[2,e2 ― 4] B．[1,e2 ― 5] C．[2,e2 ― 5] D．[1,e2 ― 4]
【答案】D
【分析】由题意可知 ( )的值域是 ( )的值域的子集，所以求出两函数的值域，再根据子集的关系列不等
式组，从而可求出 的取值范围.
【详解】因为 ( ) = 2 ―2 + = ( ― 1)2 + ― 1， ∈ [0,3]，
所以 ( )在[0,1)上递减，在(1,3]上递增，
所以 ( )的最小值为 (1) = ― 1，
因为 (0) = , (3) = + 3， + 3 > ，所以 ( )的最大值为 + 3，
所以 ( )的值域为[ ― 1, + 3]，
因为 ( ) = e2 ―1 ―1在 ∈ 1 , 3 上递增，
2 2
所以 ( )的值域为[0,e2 ―1]，
因为对 1 ∈ [0,3], 2 ∈ 1 , 3 ，使得 ( 1) = ( 2)，2 2
所以[ ― 1, + 3]是[0,e2 ―1]的子集，
― 1 ≥ 0
所以 + 3 ≤ e2 ― 1 ，解得1 ≤ ≤ e
2 ―4，
即 的取值范围1 ≤ ≤ e2 ―4
故选：D
变式 5-1．已知函数 = (2 ― ) + 3 , < 1( ) 2 2+2 ―2 ― 1, ≥ 1 的值域为 R，则 a 的取值范围是（ ）
A．[ ―1,2) B．( ―1,2)
C ― 1． ,2 D． ― 1 ,2
2 2
【答案】C
【分析】求出函数 ( ) = 2 2+2 ―2 ―1, ≥ 1的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出 a 的范围作答.
【详解】当 ≥ 1时， ( ) = 2 2+2 ―2 ―1，而函数 = 2 +2 ― 2在[1, + ∞)上单调递增，又 = 2 是增函
数，
因此函数 ( )在[1, + ∞)上单调递增， ( ) ≥ (1) = 1，即函数 ( )在[1, + ∞)上的值域为[1, + ∞)，
当 < 1时，函数 ( )的值域为 ，而函数 ( )的值域为 R，因此( ― ∞,1) ，
而当 < 1时， ( ) = (2 ― ) + 3 2 ― > 0 1，必有 2 ― + 3 ≥ 1 ，解得 ― 2 ≤ < 2，
a [ ― 1所以 的取值范围是 2,2).
故选：C
变式 5-2．已知函数 ( ) = 2 2― +1的值域为 ．若(1, + ∞) ，则实数 的取值范围是（ ）
A ―∞, 1 B 0, 1 C 1 1． ． ． ―∞, ― ∪ , + ∞ D 1． , + ∞
4 4 4 4 4
【答案】B
【分析】对实数 分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当 = 0时， ( ) = 2― +1 ∈ (0, + ∞)，符合题意；
当 ≠ 0 2时，因为函数 ( ) = 2 ― +1的值域为 满足(1, + ∞) ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 = 2 ― + 1的最小值小于或等于零；
> 0 4 ―1 1若 时，依题意有 = 2 ― + 1的最小值 4 ≤ 0，即0 < ≤ 4，
若 <0时，不符合题意；
综上：0 ≤ ≤ 14，
故选：B.
【方法技巧与总结】
利用指数函数的单调性可求指数型式子的值域。
【题型六：指数函数最值与不等式综合问题】
例 6．已知 ( )为奇函数， ( )为偶函数，且满足 ( ) + ( ) = 2― ，若对任意的 ∈ [ ―1,1]都有不等式
( ) ― ( ) ≥ 0成立，则实数 的最小值为（ ）.
1 3 3
A．3 B．5 C．1 D． ― 5
【答案】B
2
【分析】由题意得出 ( )、 ( )的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得 ≥ 1 ― 4 +1转化为求函
2
数的最值，求出函数 = 1 ― 4 +1的最大值即可.
【详解】解： ∵ ( )为奇函数， ( )为偶函数，且 ( ) + ( ) = 2― ①
∴ ( ― ) + ( ― ) = ― ( ) + ( ) = 2 ②
2― ― ①② ( ) = ―2两式联立可得 2 ， ( ) =
2 +2
2 .
― ―
由 ( ) ― ( ) ≥ 0 2 +2 ― 2 ―2，即 2 2 ≥ 0，
2 ―2― ≥ 4
―1 2
得 2 +2― = 4 +1 = 1 ― 4 +1，
∵ = 4 +1在 ∈ 2[ ―1,1]是增函数，且 ∈ 5 ,5 ， = ― 在 ∈
5 ,5 上是单调递增，
4 4
∴ 2由复合函数的单调性可知 = 1 ― 4 +1在 ∈ [ ―1,1]为增函数，
∴ 1 ― 2 = 1 ― 2 34 +1 max 4+1
= 5，
∴ ≥ 3 35，即实数 的最小值为5.
故选：B.
变式 6-1．已知函数 ( ) = 22 ― 2 +4，若 ( ) ≥ 0恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A．( ― ∞,4] B．( ― ∞,2] C．[4, + ∞) D．[2, + ∞)
【答案】A
【分析】参变分离可得 ≤ 2 + 4 42 恒成立，结合基本不等式求出2
+ 2 的最小值，即可求出参数的取值范
围.
【详解】因为 ( ) ≥ 0恒成立，即22 ― 2 +4 ≥ 0恒成立，
所以 ≤ 2 + 42 恒成立，又由2
+ 42 ≥ 2 2
× 4 = 4 （当且仅当 = 1时取等号），2
所以 ≤ 4．
故选：A．

变式 6-2．已知函数 ( ) = e + , < 2 + 2 , ≥ ， ( )不存在最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ― 1,0) B 1． , + ∞ C ( ― 1,0) ∪ 1． , + ∞ D． ― 1 ,0 ∪ (1, + ∞)
3 3 3
【答案】C
【分析】分别在 < 0, ≥ 0条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数 ( )的取值规律，由条
件列不等式求 的范围，可得结论.
【详解】（1）当 < 0时，若 < ，则 ( ) = e + ，
因为函数 ( ) = e + 在( ―∞, )上单调递增，所以 < ( )若 ≥ ，则 ( ) = 2 +2 = ( + )2 ― 2 ≥ ― 2，当且仅当 = ― 时取等号，
因为 ( )不存在最小值，
所以 ― 2 > ，所以 ―1 < < 0，
（2）当 ≥ 0时，若 < ，则 ( ) = e + ，
因为函数 ( ) = e + 在( ―∞, )上单调递增，所以 < ( )若 ≥ ，则 ( ) = 2 +2 = ( + )2 ― 2 ≥ ( ) = 3 2，当且仅当 = 时取等号，
因为 ( )不存在最小值，
所以3 2 > ，所以 > 13，
1
所以实数 的取值范围是( ― 1,0) ∪ , + ∞ ，
3
故选：C.
变式 6-3．若 ∈ ( ―∞, ― 1]，不等式( ― 2)4 + 2 +1 > 0恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． < ―2或 > 3 B． ≤ 0或 ≥ 1
C． ―2 < < 3 D．0 ≤ ≤ 1
【答案】C
21 1 1
【分析】分离参数得 ― 2 > ― + +2 2 4恒成立，由复合型指数函数的最值得 ―
2 > ―6，解一
元二次不等式即可得解.
2 2
【详解】不等式可化为 ― 2 > ― 2 +1 = ― 1 1 14 + = ―
1 + 1 +
2 2 4.2 2
2
≤ ―1 1

≥ 2 ― 1

因为 ，所以 ，所以 + 1 + 12 2 2 4的最大值为 ―6.
所以 ― 2 > ―6，所以 ―2 < < 3.
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 恒成立问题常常可转化为最值问题:
① ∈ , ( ) < 恒成立，则 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，则 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0;
2 处理恒成立问题方法很多，可直接求解函数最值或分类参数法等；
a +
3 遇到求类似 + 形式的最值，可用分离常数法活换元法处理.
【题型七：指数型函数图象变换的应用】
+1
例 7．设函数 ( ) = |3 ― 1|, ≤ 1 9 ― , > 1 ，若实数 , , 满足： < < ，且 ( ) = ( ) = ( )，则 = 3 +
3 + 的取值范围为（ ）
A．(2,9) B．(9,11) C 5 , 28 D 26 29． ． ,
3 3 3 3
【答案】D
【分析】作出函数的图象，数形结合，计算求解即可.
( ) = |3
+1 ― 1|, ≤ 1
【详解】作函数 9 ― , > 1 的图象，如图，
设 ( ) = ( ) = ( ) = ， ∈ (0,1)，
所以1 ― 3 +1 = ，3 +1 ―1 = ，9 ― = ，
3 = 1― 所以 ，3 = +13 3 ， = 9 ― ，
故 = 3 + 3 + = 23 +9 ― ∈
26 , 29 ，
3 3
故选：D
变式 7-1．对于函数 ( ) = 2| |, ( ) = 2| ―1|，则（ ）
A． ( )与 ( )具有相同的最小值
B． ( )与 ( )在(0, + ∞)上具有相同的单调性
C． ( )与 ( )都是轴对称图形
D． ( )与 ( )在( ―∞,0)上具有相反的单调性
【答案】AC
【分析】在同一坐标系中，作出函数 ( ) = 2| |， ( ) = 2| ―1|的图像，进而对四个选项一一作出判断.
【详解】A 选项，在同一坐标系中，作出函数 ( ) = 2| |， ( ) = 2| ―1|的图像如图所示，
由图可知 ( )与 ( )的最小值都为 1，A 项正确；
B 选项， ( )在(0, + ∞)上单调递增， ( )在(0, + ∞)上不单调，B 项错误；
C 选项， ( )的图像关于直线 = 0对称， ( )的图像关于直线 = 1对称，C 项正确；
D 选项， ( )与 ( )在( ―∞,0)上均单调递减，D 项错误.
故选：AC
变式 7-2．已知函数 ( ) = |3 ― 1|, < < 且 ( ) > ( ) > ( )，则下列结论中，一定成立的是（ ）
A． < 0, < 0, < 0 B． < 0, ≥ 0, > 0
C． < 0, = ― , > 0 D．3 + 3 > 2
【答案】D
【分析】作出函数图象，结合图象判断 AB，再由 ( ) > ( )讨论 去掉绝对值号化简可判断 CD．
【详解】由图示可知 <0， 的符号不确定， > 0，故 A、B 错；
( ) = |3 ―1|, ( ) = |3 ―1|，
如上图， < < 0 < 满足 ( ) > ( ) > ( )，故 C 不一定成立，
当 < 0时，由 ( ) > ( )得 |3 ―1| > |3 ―1|，则3 ―1 > 1 ― 3 ，所以3 + 3 > 2，故 D 正确．
故选：D
变式 7-3．已知定义在 R 上的偶函数 ( )，当 ≤ 0时， ( ) = |e +1 ― 1|，则不等式 ( ) ― 2 e + 1 > 0的
解集为（ ）
A 0, 1． B． ―∞, 1 C． 2 , + ∞ D． ―∞, 2
2 2 2 2
【答案】B
【分析】利用函数是偶函数求 > 0的解析式，再利用偶函数的性质，画出函数的图像，利用图像求解不等
式.
【详解】当 > 0时， ― < 0， ( ) = ( ― ) = |e― +1 ― 1|，令 ( ) = 2 e ― 1，
依题意 ( ) > ( )，则 ( )图象在 ( )图象上方，
画出函数 ( )和 ( )的图像，
由e― +1 ―1 = 2 ― 1 = 1e ，得 2，
则 ( ) > 2 e ― 1 1的解集为 ―∞, ．
2
故选：B
【题型八：指数函数的实际应用】
例 8．有容积相等的桶 和桶 ，开始时桶 中有 升水，桶 中无水．现把桶 中的水注入桶 中， 分钟
后，桶 的水剩余 1 = （升），其中 为正常数．假设 5 分钟后，桶 和桶 中的水相等，要使桶 中的

水只有16升，必须再经过（ ）
A．12 分钟 B．15 分钟 C．20 分钟 D．25 分钟
【答案】B
1
【分析】由题意可得桶中水的体积 2 = ― ，由 1 = 2，可得 5 = 2，利用
5+ 1 = 16，结合指数运
算可得答案.
【详解】由题意，桶 中水的体积 2 = ― ，
因为 = 5时， 1 = 2，所以 5 = ― 5，得 5 =
1
2．

设再经过 1分钟后桶 中的水只有16升，则
5+ 1 = 16，
5+ = 1
4
所以 1 = 202 ，

所以 1 = 15，即再经过 15 分钟，桶 中的水只有16升．
故选：B
变式 8-1．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种
3
植物每周以 %的增长率生长.若经过4周后，该植物的长度是原来的2倍，则再经过6周，该植物的长度大约
是原来的（ ）
A 9 6． 倍 B 9 6 C 9 6 9 6． 倍 ． 倍 D． 倍
2 4 8 16
【答案】C
3
【分析】设植物原来的长度为 ，由已知可得出(1 + %)4 = 2，求出1 + %的值，利用指数运算可求得结
果.
3
【详解】设植物原来的长度为 ，经过4周后，该植物的长度为原来的2倍，
1
即 (1 + %)4 = 32 ，即(1 + %)
4 = 3 1 + % = 3 42，即 2 ，
1 10 5
再过6周后该植物的长度为 (1 + %)10 = 3 4 = 3 2 = 9 64 =
9 6
2 2 .2 8
9 6
因此，再经过6周，该植物的长度大约是原来的 倍.
8
故选：C.
变式 8-2．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量 PCR
法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在 PCR 扩增过程中的靶标 DNA 进行实时检测．已知被标靶的
DNA 在 PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加 %．若被测标本 DNA 扩增 5 次后，数量变为原来
的 10 倍，则 p 的值约为（ ）．（参考数据：100.2 ≈ 1.585，10﹣0.2 ≈ 0.631）
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
【答案】C
【分析】
设 DNA 数量没有扩增前数量为 a，由题意可得， (1 + %)5 = 10 ，化简得(1 + %)5 = 10，再根据指数函
数的运算，即可求解．
【详解】
设 DNA 数量没有扩增前数量为 a，
由题意可得， (1 + %)5 = 10 ，即(1 + %)5 = 10，
所以1 + % = 100.2，即 % = 100.2﹣1 ≈ 1.585 ― 1 = 0.585，
故 = 58.5．
故选：C．
【题型九：指数型函数的综合运用】
例 9．（多选）已知定义域为R的偶函数 ( )满足 ( + 2) = ― ( ― )，当 ∈ (1,2]时 ( ) = 2 ―2，则下列
结论正确的有（ ）
A． ( ―1) = 0
B． ( )的图象关于点(3,0)成中心对称
C． (2024) > (2025)
D ≤ 1．
2+1 2
【答案】ABD
【分析】对 A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对 B，先推出 ( )的周期，再结合中心对称的结论即
可求解；对 C，利用周期性即可求解；对 D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解.
【详解】对 A， ∵ ( )满足 ( + 2) = ― ( ― )，
令 = ―1，
则 (1) = ― (1)，即 (1) = 0，
又 ∵ ( )为偶函数， ∴ ( ―1) = (1) = 0，故 A 对；
对 B， ∵ ( + 2) = ― ( ― ) = ― ( )，
∴ ( + 4) = ― ( + 2) = ( ) ，
故 ( )的周期 = 4，
再根据 ( + 2) = ― ( ― )，即 ( + 6) = ― ( ― )，
∴ ( )的图象关于点(3,0)成中心对称，故 B 对；
对 C，由 B 知： ( )的周期 = 4，
故 (2024) = (506 × 4) = (0)，
∵ ( + 2) = ― ( ― )，
令 = 0，
则 (2) = ― (0)，
又 ∵ 当 ∈ (1,2]时 ( ) = 2 ―2，
∴ (2) = 22 ―2 = 2，
即 (0) = ― (2) = ―2，
即 (2024) = (0) = ―2，
(2025) = (506 × 4 + 1) = (1) = 0，
故 (2024) < (2025)，故 C 错误；
对 D， ( )满足 ( + 2) = ― ( ― )，
∴ ( )关于(1,0)中心对称，
又 ∵ 当 ∈ (1,2]时 ( ) = 2 ―2，
∴ ( )在[0,2]上单调递增；
1
当 = 0时， (0) = ―2 < 1 = 22 ―2 = 2 ―2，
2
当 ≠ 0时， ∵ ( )为偶函数，
∴ = | = | | = 1 ， 2+1 2+1| | |2+1 | |+ 1
| |
1
∵ 0 < 1| |+ 1 ≤ 2，| |
1
当且仅当| | = | |时，即 = 1时等号成立，
∴ ≤ 1 ，故 D 对.
2+1 2
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换
法，推出函数相应的性质.

变式 9-1．已知函数 2( ) = 2 ―1+1，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 ( )单调递增 B．函数 ( )值域为(0,2)
C．函数 ( )的图象关于(0,1)对称 D．函数 ( )的图象关于(1,1)对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断 A；根据函数形式的变形，根据指数函
数的值域，求解函数的值域，即可判断 B；根据对称性的定义， (2 ― )与 ( )的关系，即可判断 CD.
2 2 +2―2 2
【详解】 ( ) = 2 ―1+1 = 2 ―1+1 = 2 ― 2 ―1+1，
= 2 ― 2函数 ， = 2
―1 +1，则 > 1，
又内层函数 = 2 ―1 +1在R 2上单调递增，外层函数 = 2 ― 在(1, + ∞)上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 ( )单调递增，故 A 正确；
2 2
因为2 ―1 +1 > 1，所以0 < 2 ―1+1 < 2，则0 < 2 ― 2 ―1+1 < 2，
所以函数 ( )的值域为(0,2)，故 B 正确；
22― = = 4 = 2(2 ― ) 21― +1 2+2 2 ―1+1， (2 ― ) + ( ) = 2，
所以函数 ( )关于点(1,1)对称，故 C 错误，D 正确.
故选：C.
变式 9-2．若实数 1， 2， 3满足 1 2 2 = 1 3 3 = 5，则下列不等关系不可能成立的是（ ）
A． 1 < 2 < 3 B． 2 < 3 < 1
C． 1 < 3 < 2 D． 3 < 1 < 2
【答案】A
5
【分析】根据已知可得2 2 = 3 3 = ， 作出函数图象，结合图象即可判断.1
5
【详解】由题意知， 1 > 0，所以2 2 = 3 3 = ， 1
设2 2 = 3
5
3 = = （ > 0），1
5
在同一坐标系中作出函数 = 2 ， = 3 ， = （ > 0）， = （ > 0），如图所示，
当平移 = （ > 0）时，由图可得 1， 2， 3的大小关系可能为 2 < 3 < 1， 2 = 3 < 1， 3 < 2 <
1， 3 < 2 = 1， 3 < 1 < 2， 3 = 1 < 2， 1 < 3 < 2，
故 B 项、C 项、D 项正确，A 项不可能成立.
故选：A.
变式 9-3．已知定义在 R 上的偶函数 ( )满足 ( ) = (2 ― )，当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 .函数 ( ) =
e―| ―1|( ― 1 < < 3)，则 ( )与g( )的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】在同一坐标系内作出 ( )与g( )的图象，再利用图象的对称性即可求得 ( )与g( )的图象所有交
点的横坐标之和.
【详解】函数 ( ) = e―| ―1|( ― 1 < < 3)的图象有对称轴 = 1，
定义在 R 上的偶函数 ( )满足 ( ) = (2 ― )，
则函数 ( )有对称轴 = 0, = 1，又当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 ，
在同一坐标系在( ― 1,3)内作出 ( )与g( )的图象，
由图象可得， ( )与g( )的图象有 4 个交点，
又 ( )与g( )的图象均有对称轴 = 1，
则两函数所有交点的横坐标之和为 4.
故选：B

变式 9-4 2 + ．已知 ( ) = 2 + 是定义在 上的奇函数．
(1)试判断函数 ( )的单调性；
1+ ( ) 1
(2) ( ) = 1已知 1― ( )，若对任意 ∈ 且 ≠ 0，不等式 (2 ) + (2 ) ≥ ( ) + ―18恒成立，求实数 ( )
m 的取值范围．
【答案】(1)函数 ( )是 上的增函数
(2) ≤ 8

【分析】（1）由 ( )是上R的奇函数求出 = ―1， = 1，然后 ( ) = 2 ―12 +1，即可判断出其单调性；
（2）先化简得 ( ) = 2 ，根据题意(2 + 2― )2 ―2 ≥ (2 + 2― ) ―18恒成立，利用换元法和基本不等式
可得实数 m 的取值范围．
2 + 2― +
【详解】（1）因为 ( )是奇函数，则 ( ) + ( ― ) = 2 + + 2― + = 0，
整理得：( + )(2 + 2― ) +2 + 2 = 0，
要使上式对任意的 x 成立，
+ = 0 = 1 = ―1
则 2 + 2 = 0 ，解得 = ―1 或 = 1 ，
= 1
当 = ―1 时， ( ) =
2 +1
2 ―1的定义域为{ | ≠ 0 }，不合题意，
= ―1 ( ) = 2
―1
当 = 1 时， 2 +1的定义域为 ，符合题意，

所以 ( ) = 2 ―12 +1，对任意的 1， 2 ∈ ，( 1 < 2)

有 ( 1) ― =
2 1―1 ― 2 2―1 = 2(2 1―2 )( 22) 2 +1 2 1 2+1 (2 1+1)(2 +1) < 0，2
所以 ( 1) < ( 2)，故函数 ( )是 上的增函数；
1+ ( )
（2） ( ) = 1― ( ) = 2 ，
1
因为 (2 ) + 1 (2 ) ≥ ( ) + ―18恒成立， ( )
等价为(2 + 2― )2 ―2 ≥ (2 + 2― ) ―18恒成立，
令 = 2 + 2― ， ≠ 0，
则 = 2 + 2― > 2 2 2― = 2，则 2 ―2 ≥ ― 18，
可得 ≤ + 16 在 > 2时恒成立，
16
由基本不等式 + ≥ 8，当且仅当 = 4时，等号成立，故 ≤ 8．
变式 9-5 + ( )．设函数 = ( )在区间 上有定义，若对任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得： 1 22 = ，则称函
数 = ( )在区间 上具有性质 ( ).
(1)判断函数 ( ) = 2 在R上是否具有性质 (0)，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 3 ― 1在区间[0, ]( > 0)上具有性质 (1)，求实数 的取值范围；
(3)设 ∈ [0,2]，若存在唯一的实数 ，使得函数 ( ) = ― 2 +2 + 3在[0,2]上具有性质 ( )，求 的值.
【答案】(1)不具有性质 (0),理由见解析
(2)[1,3]
(3)2 ― 2， 2．
【分析】（1）原式可化为对任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得 ( 2) = ― 1 +2 ，即函数 = ― 的值域为
= ( )值域的子集即可，
（2）根据 = ― + 2 的值域为 = ( )值域的子集即可列不等式求解，
（3）根据 = ― + 2 的值域为 = ( )值域的子集即可分类讨论求解，
【解答】解：由已知得对任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得 ( 2) = ― 1 +2 ，即函数 = ― + 2 ， ∈ 的
值域为 = ( )， ∈ 值域的子集，
1 1+ ( 2)【详解】（ ）由 2 = 可得 ( 2) = ― 1 +2 ，
因为 ( ) = 2 的值域为(0, + ∞)， = ― 的值域为R，显然R不是(0, + ∞)的子集，即函数 ( ) = 2 在R上不
具有性质 (0)；
（2）函数 ( ) = 3 ― 1在区间[0, ]( > 0)的值域为[ ― 1,3 ― 1]，函数 = ― + 2在[0, ]上的值域为
[ ― + 2,2]，
( ) ― + 2 ≥ ―1要使函数 具有性质,只需 2 ≤ 3 ― 1 ，解得1 ≤ ≤ 3，即 的取值范围为[1,3]；
（3）由题意 = ― + 2 的值域为[2 ― 2,2 ]，
因为 ∈ [0,2]，所以 ( ) = ― 2 +2 + 3的对称轴 = ∈ [0,2]，且开口向下，
所以 ( )的最大值为 ( ) = 2 +3，又 (0) = 3， (2) = 4 ― 1，
当3 ≤ 4 ― 1，即2 ≥ ≥ 1时， ( )的值域为[3, 2 +3] 2 ― 2 = 3 5，要满足题意，只需 2 = 2 + 3 ，解得 = 2， =
2 > 1，符合题意；
2 ― 2 = 4 ― 1
当4 ― 1 < 3，即0 ≤ < 1时， ( )的值域为[4 ― 1, 2 +3]，要满足题意，只需 2 = 2 + 3 ，解得
= 2 ± 2，所以 = 2 ― 2符合题意，
综上， 的取值为2 ― 2， 2．
一、单选题
1．已知 = 0.60.5， = 0.50.5， = 0.50.6.则（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
【答案】C
【分析】由指数函数与幂函数的单调性即可判断 , , 大小关系.
【详解】设 ( ) = 0.5 ，由指数函数的性质知 ( ) = 0.5 在 R 上单调递减，
所以 = (0.5) = 0.50.5 > = (0.6) = 0.50.6，
令 ( ) = 0.5，由幂函数的性质知 ( ) = 0.5在[0, + ∞)单调增，
所以 = (0.6) = 0.60.5 > = (0.5) = 0.50.5，
所以 > > .
故选：C
2.已知实数 a，b 满足等式3 = 6 ，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． = B．0 < <
C． < < 0 D．0 < <
【答案】D
【分析】在同一坐标系内分别画出函数 = 3 和 = 6 的图象，结合图象即可判断.
【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数 = 3 和 = 6 的图象，如图所示：
由图象知，当 = = 0时，3 = 6 = 1，所以选项A正确；
作出直线 = ，当 > 1时，若3 = 6 = ，则0 < < ，所以选项B正确；
当0 < < 1时，若3 = 6 = ，则 < < 0，所以选项C正确．
所以不可能成立的是D，
故选：D．
3.已知某程序研发员开发的小程序在发布时有 500 名初始用户，经过 t 天后，用户人数 ( ) = 2 ，其中
a 和 k 均为常数．已知小程序发布 5 天后有 2000 名用户，则发布 10 天后有用户（ ）名
A．10000 B．8000 C．4000 D．3500
【答案】B
【分析】由已知列出方程组，求解得出参数值，代入 = 10，即可得出答案.
(0) = = 500
【详解】由题意得： (5) = 25 = 2000 ，
= 500
解得 25 = 4 ，
所以， (10) = 210 = (25 )2 = 8000．
故选：B．
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”
为：设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，则 = [ ]称为高斯函数.例如：[ ―2.1] = ―3，[3.1] = 3，已

知函数 ( ) = 2 +42 +1，则函数 = [ ( )]的值域为（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
【答案】C
3
【分析】先对 ( )分离常数得到 ( ) = 1 + 2 +1，即可研究函数 ( )的值域，进而根据高斯函数定义求解即
可.
2 +4 3 1 3
【详解】 ( ) = 2 +1 = 1 + 2 +1，因为2
> 0，所以2 +1 > 1，所以0 < 2 +1 < 1，即0 < 2 +1 < 3，
所以1 < ( ) < 4，即 ( ) ∈ (1,4)，所以 = [ ( )] = {1,2,3}.
故选：C
5.设 ∈ R，若函数 ( )为单调函数，且对任意实数 ，都有 ( ( ) ― 2 ) = 1，则 ( ―2)的值等于（ ）
― 1 ― 1 1 1A． 2 B． 4 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据题意得到 ( 1) ― ( 2) = 2 1 ― 2 2，设 ( ) = 2 + ，结合 题意求得 = 0，得到函数
( ) = 2 ，即可求得 ( ― 2)的值.
【详解】对任意的 1, 2，总有 ( ( 1) ― 2 1) = 1且 ( ( 2) ― 2 2) = 1，
所以( ( 1) ― 2 1) = ( ( 2) ― 2 2)，
又因为函数 ( )为单调函数，可得 ( 1) ― 2 1 = ( 2) ― 2 2，即 ( 1) ― ( 2) = 2 1 ― 2 2，
可设 ( ) = 2 + （其中 为常数），
所以 ( ( ) ― 2 ) = (2 ― 2 + ) = ( ) = 2 + ，
所以 ( ) = 2 + = 1 = 20 +0，所以 = 0，所以 ( ) = 2 ，可得 ( ― 2) = 14.
故选：D.
2 ―16.已知函数 ( ) = ―1 32 ―1+1图象与函数 ( ) = ( ― 1) 图象有三个交点，分别为( 1, 1),( 2, 2),( 3, 3)，则 1
+ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = （ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
―1
【分析】求出 ( ) = 2 ―1 32 ―1+1的图象关于(1,0)中心对称， ( ) = ( ― 1) 关于(1,0)中心对称，且 (1) = (1)
= 0，设( 2, 2) = (1,0)，则( 1, 1),( 3, 3)关于点(1,0)中心对称，从而求出答案.
= 2
―1―1 = 1 ― 2【详解】 ( ) 2 ―1+1 2 ―1+1，且 (1) = 0，
由于 (1 + ) + (1 ― ) = 1 ―
2
21+ ―1+1 +1 ―
2
21― ―1+1 = 2 ―
2
+
2
2 +1 2― +1
= 2 ― 2 + 2 = 2 ― 2 + 2×2

= 2 ― 2 = 0
1 ，2 +1 +1 2 +1 2 +12
―1
( ) = 2 ―1故 2 ―1+1的图象关于(1,0)中心对称，
又 ( ) = ( ― 1)3关于(1,0)中心对称，且 (1) = 0，
不妨设( 2, 2) = (1,0)，
2 ―1 ( ) = ―1 32 ―1+1与 ( ) = ( ― 1) 的交点( 1, 1),( 3, 3)关于点(1,0)中心对称，
即 1 + 3 = 2, 1 + 3 = 0，
故 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 2 + 1 = 3.
故选：B

7. 3 + 已知函数 ( ) = 3 +1，若对任意 1、 2、 3 ∈ R，总有 ( 1)、 ( 2)、 ( 3)为某一个三角形的边长，则
实数 的取值范围是（ ）
A 1． ,1 B．[0,1] C．[1,2] D 1． ,2
2 2
【答案】D

= 3 + = 1 + ―1【分析】根据 ( ) 3 +1 3 +1，分三种情况当 = 1时，当 > 1时，当 < 1时，求得函数的值域，
问题转化为 ( 1) + ( 2) > ( 3)，对任意 1， 2， 3 ∈ R，恒成立求解．
【详解】解：因为 ( 1)， ( 2)， ( 3)为某一个三角形的三条边长，
所以 ( 1) + ( 2) > ( 3)，对任意 1， 2， 3 ∈ R，恒成立，

( ) = 3 + = 3 +1+ ―1 = 1 +
―1
函数 3 +1 3 +1 3 +1，
当 = 1时， ( ) = 1，满足 ( 1) + ( 2) > ( 3)，符合题意；
当 > 1时， ( )在R上递减，
所以函数的值域为(1, )，
所以 ( 1) + ( 2) > 2且 ( 3) < ，
所以 ≤ 2，又 > 1，所以1 < ≤ 2，
当 < 1时， ( )在R上递增，
函数 ( )的值域为( ,1)，
所以 ( 1) + ( 2) > 2 且 ( 3) < 1，
1 1
所以1 ≤ 2 ，解得 ≥ 2，所以2 ≤ < 1，
1综上 的取值范围是 ,2 ．
2
故选：D．
8.设4 +3( ― 1) 2 ―1 = 0，4 +3 2 +1 ―4 = 0，则 + = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】变形得到2 ― 2― +3( ― 1) = 0和 ― 2 ―1 + 21― ―3 = 0，构造 ( ) = 2 ― 2― +3( ― 1)，
由函数单调性得到 = 1 ― ，求出答案.
【详解】由题意得4 +3( ― 1) 2 ―1 = 0，方程两边同除以2 得，
2 ― 2― +3( ― 1) = 0，
同理4 +3 2 +1 ―4 = 0同时除以2 +1得，2 ―1 ― 21― +3 = 0，即 ― 2 ―1 + 21― ―3 = 0，
设 ( ) = 2 ― 2― +3( ― 1)，则 ( ) = 0， (1 ― ) = 0，
因为 ( ) = 2 ― 2― +3( ― 1)在 R 上单调递增，
故 = 1 ― ，所以 + = 1.
故选：B
二、多选题
9．已知函数 = ― （ > 0且 ≠ 1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． > 1 B． + > 1 C． > 1 D．2 ― < 1
【答案】ABD
【分析】根据函数图象可得出 、 的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断 ACD 选项，利用不等式的
基本性质可判断 B 选项.
【详解】由图象可知，函数 = ― （ > 0且 ≠ 1）在 上单调递增，则 > 1，
且当 = 0时， = 1 ― ∈ (0,1)，可得0 < < 1.
对于 A 选项， > 0 = 1，A 对；
对于 B 选项， + > > 1，B 对；
对于 C 选项， < 0 = 1，C 错；
对于 D 选项，由题意可知，0 < < 1 < ，则 ― < 0，所以，2 ― < 20 = 1，D 对.
故选：ABD.
10. 设函数 ( ) = 2 ―1 + 21― ，则下列说法错误的是（　　）
A． ( )在(0, + ∞)上单调递增
B． ( )为奇函数
C． ( )的图象关于直线 = 1对称
D． ( )的图象关于点(1,0)对称
【答案】ABD
【分析】对于 B,因为 ( ) = 2 ―1 + 21― 1的定义域为 R,但 (0) = 2 +2 ≠ 0，故 ( )不是奇函数；对于 C,只需
验证 (2 ― ) = ( )是否成立即可；对于 D,只需验证 (2 ― ) + ( ) = 0是否成立即可；结合 C,D 可以判断
A.
【详解】∵ ( ) = 2 ―1 + 21― ，
∴ (2 ― ) = 21― + 2 ―1 = ( )，
即 (2 ― ) = ( )，
即 ( )的图象关于直线 = 1对称，故 C 正确，A，D 错误；
∵因为 ( ) = 2 ―1 + 21― 1的定义域为 R,但 (0) = 2 +2 ≠ 0，
∴ ( )不是奇函数，故 B 错误．
故选：ABD.
11.已知函数 ( ) = |2 ― 1|，当 < < 时，有 ( ) > ( ) > ( )．给出以下命题，则正确命题的有
（ ）
A． + < 0 B． + < 0 C．2 + 2 > 2 D．2 + 2 > 2
【答案】AD
【分析】作出函数 ( )的图象，由数形结合判断四个选项的正误.
【详解】 ( )的图象如下图所示,由图可知 ( )在( ― ∞,0)单调递减，在[0, + ∞)上单调递增
因为 < < ，
若 < 0，因为 ( )在( ― ∞,0)单调递减，此时不满足 ( ) > ( ) > ( )
所以 > 0，同理可得 < 0， ∴ < 0 <
因为 ( ) > ( )，所以| | >
所以 ― > ，即 + < 0，A对.
( ) = |2 ― 1| = 1 ― 2 > ( ) = 2 ― 1
即2 + 2 < 2，C错.
若 > 0，因为 ( ) > ( ) > ( )
所以| | > > > 0 >
此时 + > 0，C错，2 + 2 > 20 + 20 = 2，D对.
若 < 0,因为 ( ) > ( ) > ( )
所以| | > | | > > 0 > >
( ) = 2 ― 1 > ( ) = |2 ― 1| = 1 ― 2
即2 + 2 > 2
综上所述，D对.
故选：
三、填空题
12．指数函数 = （ > 0且 ≠ 1）的图像过点(2,4)，若 = 2时， = 1； = 4时， = 2，则 1 2
= ．
【答案】64
【分析】将点(2,4)代入解析式得出 ，进而由解析式得出 1 2.
【详解】因为指数函数 = （ > 0且 ≠ 1）的图像过点(2,4)，
所以 2 = 4, = 2或 = ―2（舍）.
若 = 2时， = 21 = 2 = 4； = 4时， = 2 = 24 = 16，
因此 1 2 = 4 × 16 = 64.
故答案为：64.
13.已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，则 ( 2 ―3) + (2 ) < 0的解集为 ．
【答案】( ― ∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得.
【详解】函数 ( ) = 2― ― 2 ― 的定义域为 R， ( ― ) = 2 ― 2― + = ― ( )，则 ( )是 R 上的奇函数，
函数 = 2― , = ― 2 , = ― 在 R 上都单调递减，则函数 ( )在 R 上单调递减，
不等式 ( 2 ―3) + (2 ) < 0 ( 2 ―3) < ― (2 ) = ( ― 2 )，因此 2 ―3 > ―2 ，
即 2 +2 ― 3 > 0，解得 < ―3或 > 1，
所以原不等式的解集为( ― ∞, ― 3) ∪ (1, + ∞).
故答案为：( ― ∞, ― 3) ∪ (1, + ∞)
2 +1
14. 1已知函数 ( ) = 2 ―2 + 2， ( ) = ― ，若对任意 2 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得
( 1) ≤ ( 2)，则实数 m 的取值范围是 ．
【答案】( ―∞,3]
【分析】对任意 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，只需 ( )max ≤ ( )max即可，分别
2 +1
求出 ( ) = 2 ―2 + 2 = ( ― 1)2 +1 [0,3] ( ) = 1在 的最大值及 ― 2 在[ ―2, ― 1]上的最大值，则答
案可求.
【详解】 ( ) = 2 ―2 + 2 = ( ― 1)2 +1，
( )在( ―∞,1)上单调递减，在[1, + ∞)上单调递增，
所以当 ∈ [0,3]时， ( )max = (3) = 5，
2 +1
( ) = 1 ― 2 在 R 上单调递减，
所以当 ∈ [ ―2, ― 1]时， ( )max = ( ―2) = 8 ― ，
因为对任意 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，
所以只需 ( )max ≤ ( )max即可，即5 ≤ 8 ― ，解得 ≤ 3，
即 m 的取值范围是( ―∞,3]．
故答案为：( ―∞,3].
四、解答题
15 ( ) = + 1, ≤ 0．已知函数 2 , > 0
(1) 1求 ― 的值；
2
(2)画出函数 ( )的图象，根据图象写出函数 ( )的单调区间；
(3)若 ( ) ≥ 2，求 x 的取值范围.
【答案】(1) 2；
(2)图象见解析，递增区间为R，无递减区间；
(3) ≥ 1.
【分析】（1）根据解析式求函数值即可；
（2）由分段函数解析式，结合指数函数性质画出函数大致图象，进而判断单调性；
（3）根据（2）所得图象，数形结合确定 x 的取值范围.
1 1 1 1
【详解】（1 1）由题设 ( ― 2) = ― 2 +1 = 2，则 ― = (2) = 2；2
（2）
所以 ( )的递增区间为R，无递减区间.
（3）由（2）知： ( ) ≥ 2，即 ≥ 1.
16.已知函数 ( ) = （其中 ， 为常量，且 > 0， ≠ 1， ≠ 0）的图象经过点 (1,10)， (2,50)．
(1)求 ， 的值;

(2) 1若关于 的不等式 ― ≥ + 3 在[ ―2,2]上有解，求 的取值范围．
【答案】(1) = 5， = 2
(2) ―∞, 24
25
【分析】（1）把 , 两点坐标代入函数解析式，求 ， 的值；

（2 1）证明函数 ( ) = ― 在[ ―2,2]上单调递增，有 (2) ≥ + 3，可求 的取值范围．
【详解】（1）函数 ( ) = 的图象经过点 (1,10)， (2,50)，
= 10 = 5
得 2 = 50 ，解得 = 2 ；
（2）由（1）得 = 5， = 2，

因为函数 = = 2 在[ ―2,2] 1 1上单调递增，函数 = = 5 在[ ―2,2]上单调递减，

所以 ( ) = ― 1 在[ ―2,2]上单调递增，
1 2 = 22 ― = 99所以 ( )在[ ―2,2]上的最大值为 (2) 5 25，
1
因为关于 的不等式 ― ≥ + 3 在[ ―2,2]上有解，
所以 + 3 ≤ 9925，解得 ≤
24
25，
即 的取值范围为 ―∞, 24 .
25
17. 1 已知函数 = ( )的表达式为 ( ) = ( > 0, ≠ 1)，且 ( ―2) = 4，
(1)求函数 = ( )的解析式;
(2)若方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围;
【答案】(1) ( ) = 2
(2)( ―3,1)
【分析】（1）代入点的坐标求解即可；
（2）结合指数函数和二次函数的图像求解即可
1
【详解】（1） ( ―2) = ―2 = 4,故 = 2,
所以 ( ) = 2 .
（2）方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1，即( ( ) ― 2)2 = + 3，
∵ ( ) = 2 ， ∴ ( ) ∈ (0, + ∞)，
若方程 ( ( ) ― 2)2 = + 3有两个不同的实数解，令 = ( ), ∈ (0, + ∞)
所以方程 ( ― 2)2 = + 3, ∈ (0, + ∞)有两个不同的实数解
所以 + 3 ∈ (0,4)，即 ∈ ( ―3,1)
此时方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1有两个不同的实数解，
故 ∈ ( ―3,1).
18.已知函数 ( ) = 2 ― 2― 是定义在 上的奇函数.
(1)求 的值，并证明： ( )在 上单调递增；
(2)求不等式 (3 2 ― 5 ) + ( ― 4) > 0的解集；
(3)若 ( ) = 4 + 4― ―2 ( )在区间[ ―1, + ∞)上的最小值为 ―2，求 的值.
【答案】(1) = 1
{ | > 2 < ― 2(2) 或 3}；
= 2 ― 25(3) 或 12．
【分析】（1）由奇函数性质得 (0) = 0，解出 ；由单调性的定义即可求解，
（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3） ( ) = 22 + 2―2 ―2 (2 ― 2― ) = (2 ― 2― )2 ―2 (2 ― 2― ) + 2，令 = ( ) = 2 ― 2― ， ( )可
化为关于 的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为 ―2，解出即可；
【详解】（1） ∵ ( )是定义域为R上的奇函数，
∴ (0) = 0， ∴ 20 ― 2―0 = 0， ― 1 = 0， ∴ = 1，
此时 ( ) = 2 ― 2― , ( ― ) = 2― ― 2 = ― ( )，
经检验， = 1符合题意；
函数的定义域为R，在R上任取 1， 2，且 1 ― 2 < 0，
1
( 2) ― ( 1) = 2 2 ― 2― 2 ― 2 1 + 2― 1 = (2 2 ― 2 1)(1 + 2 1+ ) > 02
∴ 函数在R上单调递增，
（2）由（1）可知 ( ) = 2 ― 2― ，且在R上单调递增的奇函数，
由 (3 2 ― 5 ) + ( ― 4) > 0可得 (3 2 ― 5 ) > (4 ― )，
∴ 3 2 ―5 > 4 ― ，即3 2 ―4 ― 4 = (3 + 2)( ― 2) > 0，
∴ > 2或 < ― 23，
∴ 不等式的解集为{ | > 2或 < ― 23}；
（3） ∵ ( ) = 2 ― 2― ， ( ) = 4 + 4― ―2 ( )
∴ ( ) = 22 + 2―2 ―2 (2 ― 2― ) = (2 ― 2― )2 ―2 (2 ― 2― ) + 2．
令 = ( ) = 2 ― 2― ， ∵ ≥ ―1， ∴ ≥ 3( ―1) = ― 2，
∴ ( ) = 2 ―2 + 2 = ( ― )2 +2 ― 2，
当 ≥ ― 32时，当 = 时， ( ) = 2 ―
2
min = ―2，则 = 2（ = ―2舍去）；
当 < ― 3 3 17 25 32时，当 = ― 2时， ( )min = 4 +3 = ―2，解得 = ― 12 < ― 2，符合要求，
综上可知 = 2或 ― 2512．
19 ( ) =
+
．已知 ― （ > 0且 ≠ 1
1
）是 上的奇函数，且 (1) = 3
(1)求 ( )的解析式；
(2)把区间(0,2)等分成2 份，记等分点的横坐标依次为 , = 1,2,3, ,2 ― 1， ( ) =
5 2
4 ― 2 ―1+1，记 ( )
(2 )
= ( 1) + ( 2) + ( 3) + + ( 2 ―1)( ∈ )，是否存在正整数 n，使不等式 ( ) ≥ ( )有解？若存
在，求出所有 n 的值，若不存在，说明理由；
(3)函数 ( )在区间[ , ]( < ) 上的值域是 , ( ∈ )，求 的取值范围．2 2
2 ―1
【答案】(1) ( ) = 2 +1
(2)存在， = 1,2,3,4
(3) ―3+2 2 ,0
2
【分析】（1）根据 (0) = 0， (1) =
1
3，即可求出 , 的值，从而可求函数的解析式；
1
（2）设等分点的横坐标为 = ， = 1,2,3, ,2 ― 1.首先根据 ( ) = ( ― 1) + 4，可得到函数 ( )的图
1 + = 1 = 1,2,3 ,2 ― 1 = 2 ―1象关于点 1, 对称，从而可得到 ( ) (2 ― ) 2， ；进而可求出 ( ) 2 ；再4
(2 ) 2 2 ―1
根据 ( ) = 1 + 2 +2― ≤ 2，从而只需求 ( ) = 2 ≤ 2即可；
（3）利用区间的定义以及指数函数的单调性，得到 < 0，利用函数 ( )的单调性，将问题进行转化，利
用换元法，将问题进一步转化为二次方程根的分布问题，列出方程组，求解即可.
【详解】（1）∵ ( )是 上的奇函数，∴ (0) = 0，
1+ = 0
由 1― + 1 ，可得 = ―1， 2 = 4，=
― 3

∵ > 0，∴ = ―1， = 2，所以 ( ) = 2 ―12 +1.
1
―
( ― ) = 2 ―1
―1
又 2
2 ―1 2 ―1
2― +1 = 1 +1 = ― 2 +1 = ― ( )，所以 ( ) = 2 +1为奇函数.
2
2 ―1
所以 ( ) = 2 +1.

（2）把区间(0,2)等分成2 份，则等分点的横坐标为 = ， = 1,2,3, ,2 ― 1，
= 5 ― 2 2 1 1又 ( ) 4 2 ―1+1 = 1 ― 2 ―1+1 + 4 = ( ― 1) + 4， ( )为奇函数，
1
所以 ( )的图象关于点 1, 1 对称，所以 ( ) + (2 ― 4 ) = 2， = 1,2,3 ,2 ― 1，
( ) = 1 + 2 + + 2 ―2 + 2 ―1所以

1 2 ― 1 2 2 ― 2 ― 1 + 1
= + + + + + + +
= 1 + 1 + + 1 + 1 = 2 ―1
2 2 2 4 4 ，

― 1项
22 ―1
(2 ) 2
因为 = 22 +1 ( ) 2 ―1 =
(2 +1) 2
(2 )2+1 = 1 + 2 +2― ≤ 2，所以 ( ) =
2 ―1 ≤ 2 94 ，即 ≤ 2.
2 +1
(2 )
故存在正整数 = 1,2,3,4，使不等式 ( ) ≥ ( )有解.
（3）因为 < 1 1，所以 2 < 2 ，从而 2 > 2 ,

又 , 知 2 2 2 < 2 ，所以 < 0,
2 ―1
由（1）知，函数 ( ) = 2 +1 = 1 ―
2
2 +1为( ― ∞, + ∞)上的单调增函数.

因为函数 ( )在区间[ , ]( < )上的值域是 , ,
2 2

( ) = 2 ―1 =

所以 2 ,即 2 +1 2
( ) = 2 ―1 =
2 2 +1 2
2
―1
从而关于 的方程2 +1 = 2 有两个互异实根.
令 = 2 > 0，所以方程 2 ― (1 + ) ― = 0有两个互异正根.
+ 1 > 0
所以 (1 + )2 + 4 > 0 ，解得， ―3 + 2 2 < < 0.
< 0
∴ =
∈ ―3+2 22 ,0 .2
【点睛】关键点点睛：第（3）小问，解题的关键是通过函数的单调性，利用函数 ( )在区间[ , ]( < )

上的值域是 , ，列出关系式，两式相结合求解 的范围，考查数学转化思想和计算能力.2 24.2 指数函数
课程标准 学习目标
（1）通过具体实例, 了解指数函数的实际意义,
（1）理解指数函数的定义;
理解指数函数的概念;
（2）了解指数爆炸和指数衰减；
（2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数
（3） 掌握指数函数的图象与性质；
函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与
（4）掌握指数函数图象与性质的应用.（难点)
特殊点。
知识点 01 指数函数的概念
（1）概念
一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 .
解释
(1)指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)中系数为1，底数是不为1的正实数的常数，指数是变量x.注意与幂函数的
区别，如y = 2 是指数函数，y = x3是幂函数.
(2)指数函数中为什么要限制 > 0且 ≠ 1呢？
① 若a < 0 1 1，则对于x的某些值a 无意义，如( ―2) ，此时x取 、2 4…等没意义；其函数图象没明显特点；
② 若a = 0或a = 1时，函数没研究价值.
（2）指数爆炸和指数增长
①当底数a > 1时，指数函数的值岁自变量的增长而增大，底数较大时指数函数的值增长速度惊人，被称为
指数爆炸；
+
② 指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)在长为T的周期区间[ , + ]中函数值增长a + ― a a ―a，增长率为 a =
―1，它是个常量，我们称之为指数式增长，也称指数增长。
（3）指数衰减
当底数a满足0 < < 1时，指数函数值岁自变量的增长而缩小以至无限接近于0，这叫做指数衰减.
指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量.
【即学即练 1】
若指数函数 ( )的图象过点(3,8)，则 ( )的解析式为（ ）
1
A． ( ) = B． ( ) = 3 C． ( ) = 2 D． ( ) = 12
知识点 02 指数函数的图象与性质
函数名称 指数函数
定义 函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数
> 1 0 < < 1
图象
定义域
值域 (0, + ∞)
过定点 图象过定点(0,1)，即当 = 0时， = 1．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
变化对图
在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．
象的影响
【即学即练 2】
1
已知 ( ) = 2, ( ) = ( ) ― ， 若对 1 ∈ [ ―1,3]， 2 ∈ [0,2]， ( 1) ≥ ( 2)2 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A．[14, + ∞)
35
B．[ ― 4 , + ∞) C．[1, + ∞) D．[ ― 8, + ∞)
【题型一：指数函数的判定与求值】
例 1． 已知函数 ( )为指数函数， ( )为幂函数，若 ( ) = ( ) + ( )，且 (1) = 3，则 ( ―1) = ．
变式 1-1．若指数函数 f(x)的图象经过点(2，9)，则 f(－1)＝ .
变式 1-2．已知指数函数 ( )图象过点(3,27)，则 (2)等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【方法技巧与总结】
1 一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 .
2 可用待定系数法求指数函数的解析式.
【题型二：指数型函数图像过定点问题】
例 2．函数 ( ) = +2 ―3的图象过定点 ，且定点 的坐标满足方程 + + 2 = 0，其中 > 0，
> 0 1 4，则 + 的最小值为（ ）
A．6 + 4 2 B．9 C．5 + 2 2 D．8
变式 2-1．函数 ( ) = ―2 +3( > 0且 ≠ 1)的图象必经过定点（ ）
A．(0,1) B．(1,1) C．(2,3) D．(2,4)
变式 2-2．已知函数 ( ) = ―2 +1( > 0, ≠ 1)恒过定点 ( , )，则函数 ( ) = ― 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧与总结】
指数型函数y = a ― + (m, 是常数)过定点( , + 1)，过定点指的是该函数不管a取什么数，函数均过的点.
【题型三：根据指数型函数图像判断参数的范围】
例 3．若直线 = 2 与函数 = | ― 1|（ > 0，且 ≠ 1）的图象有两个公共点，则 的取值可以是（ ）
1 1
A．4 B．2 C．2 D．4
变式 3-1．若函数 = 2― +1 + 的图象不经过第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． ≤ ―2 B． ≥ ―2 C． ≤ ―1 D． ≥ ―1

变式 3-2．若直线 = 2与函数 = |
― 1|（ > 0且 ≠ 1）的图象有两个公共点，则 的取值不可以是
（ ）
3 3 3
A．8 B．4 C．2 D．3
|2
― 1|, < 2,
变式 3-3．已知函数 ( ) = 3 , ≥ 2, 若函数 = ( )图象与直线 = 有且仅有三个不同的交点，则实
―1
数 k 的取值范围是（ ）
A． > 0 B．0 < < 1 C．0 < < 3 D．1 < < 3
【方法技巧与总结】
函数图象的变换
（1）平移变换，口诀：左加右减，上加下减
（2）对称变换
轴
= ( ) = ― ( )
例： = ― 图像可看成 = 图像关于 轴对称得到.
轴
= ( ) = ( ― )
例： = ― 图像可看成 = 图像关于 轴对称得到.
（3） 翻折变换
去掉 y 轴左边图像
= ( )保留 y 轴右边图像，并作其关于 y 轴对称图像 = (| |)
例： = | |的图像可看成由 = 图像对称变换得到.
保留 x 轴上方图像
= ( )将 x 轴下方图像翻折上去 = | ( ) |
例： = | |的图像可看成由 = 图像对称变换得到.
【题型四：比较指数幂的大小】
例 4．设 = 0.1e0.2, = 110, = 0.2e
0.1，则下列选项正确的是（ ）
A． < < B． < <
C． < < D． < <
2 3 3
4-1 = 4 3 = 2 4 4 5变式 ．已知 5 ， =3 ， 9 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
变式 4-2．已知 = 0.32， = 20.1， = 30.2，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． < < B． < <
C．b1
变式 4-3 2 3．设 = ， = 1.5―0.2， = 0.80.23 ，则（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【方法技巧与总结】
比较指数幂数值大小的方法很多，当底数相等的指数幂可利用指数函数的单调性比较，当指数相等的指数
幂可利用幂函数利用中间值(常常是 0 或 1)比较，利用作差作商比较等等.
【题型五：求指数型函数的值域】
例 5．已知 ( ) = 2 ―2 + , ( ) = e2 ―1 ―1，若对 1 ∈ [0,3], 2 ∈ 1 , 3 ，使得 ( 1) = ( 2)，则实数2 2
的取值范围是（ ）
A．[2,e2 ― 4] B．[1,e2 ― 5] C．[2,e2 ― 5] D．[1,e2 ― 4]
5-1 = (2 ― ) + 3 , < 1变式 ．已知函数 ( ) 2 2+2 ―2 ― 1, ≥ 1 的值域为 R，则 a 的取值范围是（ ）
A．[ ―1,2) B．( ―1,2)
C ― 1． ,2 D ― 1． ,2
2 2
变式 5-2 2．已知函数 ( ) = 2 ― +1的值域为 ．若(1, + ∞) ，则实数 的取值范围是（ ）
A． ―∞, 1 B． 0, 1 C 1 1 1． ―∞, ― ∪ , + ∞ D． , + ∞
4 4 4 4 4
【方法技巧与总结】
利用指数函数的单调性可求指数型式子的值域。
【题型六：指数函数最值与不等式综合问题】
例 6．已知 ( )为奇函数， ( )为偶函数，且满足 ( ) + ( ) = 2― ，若对任意的 ∈ [ ―1,1]都有不等式
( ) ― ( ) ≥ 0成立，则实数 的最小值为（ ）.
1 3 3
A．3 B．5 C．1 D． ― 5
变式 6-1．已知函数 ( ) = 22 ― 2 +4，若 ( ) ≥ 0恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A．( ― ∞,4] B．( ― ∞,2] C．[4, + ∞) D．[2, + ∞)

变式 6-2．已知函数 ( ) = e + , < 2 + 2 , ≥ ， ( )不存在最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ― 1,0) B 1． , + ∞ C 1 1．( ― 1,0) ∪ , + ∞ D． ― ,0 ∪ (1, + ∞)
3 3 3
变式 6-3．若 ∈ ( ―∞, ― 1]，不等式( ― 2)4 + 2 +1 > 0恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． < ―2或 > 3 B． ≤ 0或 ≥ 1
C． ―2 < < 3 D．0 ≤ ≤ 1
【方法技巧与总结】
1 恒成立问题常常可转化为最值问题:
① ∈ , ( ) < 恒成立，则 ( ) < ；
② ∈ , ( ) > 恒成立，则 ( ) > ；
③ ∈ , ( ) < ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) < 0 ∴ ( ) < 0；
④ ∈ , ( ) > ( )恒成立，则 ( ) = ( ) ― ( ) > 0 ∴ ( ) > 0;
2 处理恒成立问题方法很多，可直接求解函数最值或分类参数法等；
a +
3 遇到求类似 + 形式的最值，可用分离常数法活换元法处理.
【题型七：指数型函数图象变换的应用】
+1
7 ( ) = |3 ― 1|, ≤ 1例 ．设函数 9 ― , > 1 ，若实数 , , 满足： < < ，且 ( ) = ( ) = ( )，则 = 3
+
3 + 的取值范围为（ ）
A．(2,9) B．(9,11) C 5． , 28 D 26 , 29．
3 3 3 3
变式 7-1．对于函数 ( ) = 2| |, ( ) = 2| ―1|，则（ ）
A． ( )与 ( )具有相同的最小值
B． ( )与 ( )在(0, + ∞)上具有相同的单调性
C． ( )与 ( )都是轴对称图形
D． ( )与 ( )在( ―∞,0)上具有相反的单调性
变式 7-2．已知函数 ( ) = |3 ― 1|, < < 且 ( ) > ( ) > ( )，则下列结论中，一定成立的是（ ）
A． < 0, < 0, < 0 B． < 0, ≥ 0, > 0
C． < 0, = ― , > 0 D．3 + 3 > 2
变式 7-3．已知定义在 R 上的偶函数 ( )，当 ≤ 0时， ( ) = |e +1 ― 1|，则不等式 ( ) ― 2 e + 1 > 0的
解集为（ ）
A 0, 1． B． ―∞, 1 C． 2 , + ∞ D． ―∞, 2
2 2 2 2
【题型八：指数函数的实际应用】
例 8．有容积相等的桶 和桶 ，开始时桶 中有 升水，桶 中无水．现把桶 中的水注入桶 中， 分钟
后，桶 的水剩余 1 = （升），其中 为正常数．假设 5 分钟后，桶 和桶 中的水相等，要使桶 中的

水只有16升，必须再经过（ ）
A．12 分钟 B．15 分钟 C．20 分钟 D．25 分钟
变式 8-1．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种
3
植物每周以 %的增长率生长.若经过4周后，该植物的长度是原来的2倍，则再经过6周，该植物的长度大约
是原来的（ ）
A 9 6 B 9 6 C 9 6 D 9 6． 倍 ． 倍 ． 倍 ． 倍
2 4 8 16
变式 8-2．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量 PCR
法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在 PCR 扩增过程中的靶标 DNA 进行实时检测．已知被标靶的
DNA 在 PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加 %．若被测标本 DNA 扩增 5 次后，数量变为原来
的 10 倍，则 p 的值约为（ ）．（参考数据：100.2 ≈ 1.585，10﹣0.2 ≈ 0.631）
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
【题型九：指数型函数的综合运用】
例 9．（多选）已知定义域为R的偶函数 ( )满足 ( + 2) = ― ( ― )，当 ∈ (1,2]时 ( ) = 2 ―2，则下列
结论正确的有（ ）
A． ( ―1) = 0
B． ( )的图象关于点(3,0)成中心对称
C． (2024) > (2025)
D． ≤ 1
2+1 2

变式 9-1．已知函数 = 2( ) 2 ―1+1，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 ( )单调递增 B．函数 ( )值域为(0,2)
C．函数 ( )的图象关于(0,1)对称 D．函数 ( )的图象关于(1,1)对称
变式 9-2．若实数 1， 2， 3满足 1 2 2 = 1 3 3 = 5，则下列不等关系不可能成立的是（ ）
A． 1 < 2 < 3 B． 2 < 3 < 1
C． 1 < 3 < 2 D． 3 < 1 < 2
变式 9-3．已知定义在 R 上的偶函数 ( )满足 ( ) = (2 ― )，当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 .函数 ( ) =
e―| ―1|( ― 1 < < 3)，则 ( )与g( )的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9-4 ( ) = 2
+
变式 ．已知 2 + 是定义在 上的奇函数．
(1)试判断函数 ( )的单调性；
1+ ( ) 1
(2) 1已知 ( ) = 1― ( )，若对任意 ∈ 且 ≠ 0，不等式 (2 ) + (2 ) ≥ ( ) + ―18恒成立，求实数 ( )
m 的取值范围．
变式 9-5．设函数 = ( )在区间 上有定义，若对任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈
+ ( )
使得： 1 22 = ，则称函
数 = ( )在区间 上具有性质 ( ).
(1)判断函数 ( ) = 2 在R上是否具有性质 (0)，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 3 ― 1在区间[0, ]( > 0)上具有性质 (1)，求实数 的取值范围；
(3)设 ∈ [0,2]，若存在唯一的实数 ，使得函数 ( ) = ― 2 +2 + 3在[0,2]上具有性质 ( )，求 的值.
一、单选题
1．已知 = 0.60.5， = 0.50.5， = 0.50.6.则（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
2.已知实数 a，b 满足等式3 = 6 ，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． = B．0 < < C． < < 0 D．0 < <
3.已知某程序研发员开发的小程序在发布时有 500 名初始用户，经过 t 天后，用户人数 ( ) = 2 ，其中
a 和 k 均为常数．已知小程序发布 5 天后有 2000 名用户，则发布 10 天后有用户（ ）名
A．10000 B．8000 C．4000 D．3500
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”
为：设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，则 = [ ]称为高斯函数.例如：[ ―2.1] = ―3，[3.1] = 3，已

知函数 ( ) = 2 +42 +1，则函数 = [ ( )]的值域为（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2}
5.设 ∈ R，若函数 ( )为单调函数，且对任意实数 ，都有 ( ( ) ― 2 ) = 1，则 ( ―2)的值等于（ ）
― 1 ― 1 1 1A． 2 B． 4 C．2 D．4
―1
6. 2 ―1已知函数 ( ) = 2 ―1+1图象与函数 ( ) = ( ― 1)
3图象有三个交点，分别为( 1, 1),( 2, 2),( 3, 3)，则 1
+ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = （ ）
A．1 B．3 C．6 D．9

7. 3 + 已知函数 ( ) = 3 +1，若对任意 1、 2、 3 ∈ R，总有 ( 1)、 ( 2)、 ( 3)为某一个三角形的边长，则
实数 的取值范围是（ ）
A 1． ,1 B 1．[0,1] C．[1,2] D． ,2
2 2
8.设4 +3( ― 1) 2 ―1 = 0，4 +3 2 +1 ―4 = 0，则 + = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．已知函数 = ― （ > 0且 ≠ 1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． > 1 B． + > 1 C． > 1 D．2 ― < 1
10. 设函数 ( ) = 2 ―1 + 21― ，则下列说法错误的是（　　）
A． ( )在(0, + ∞)上单调递增
B． ( )为奇函数
C． ( )的图象关于直线 = 1对称
D． ( )的图象关于点(1,0)对称
11.已知函数 ( ) = |2 ― 1|，当 < < 时，有 ( ) > ( ) > ( )．给出以下命题，则正确命题的有
（ ）
A． + < 0 B． + < 0 C．2 + 2 > 2 D．2 + 2 > 2
三、填空题
12．指数函数 = （ > 0且 ≠ 1）的图像过点(2,4)，若 = 2时， = 1； = 4时， = 2，则 1 2
= ．
13.已知 ( ) = 2― ― 2 ― ，则 ( 2 ―3) + (2 ) < 0的解集为 ．
2 +1
14.已知函数 ( ) = 2 ―2 + 2 ( ) = 1， ― ，若对任意 2 1 ∈ [0,3]，都存在 2 ∈ [ ―2, ― 1]，使得
( 1) ≤ ( 2)，则实数 m 的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数 ( ) = + 1, ≤ 02 , > 0
(1) 1求 ― 的值；
2
(2)画出函数 ( )的图象，根据图象写出函数 ( )的单调区间；
(3)若 ( ) ≥ 2，求 x 的取值范围.
16.已知函数 ( ) = （其中 ， 为常量，且 > 0， ≠ 1， ≠ 0）的图象经过点 (1,10)， (2,50)．
(1)求 ， 的值;

(2) 1若关于 的不等式 ― ≥ + 3 在[ ―2,2]上有解，求 的取值范围．
17. 1 已知函数 = ( )的表达式为 ( ) = ( > 0, ≠ 1)，且 ( ―2) = 4，
(1)求函数 = ( )的解析式;
(2)若方程 ( ( )) ― 4 ( ) = ― 1有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围;
18.已知函数 ( ) = 2 ― 2― 是定义在 上的奇函数.
(1)求 的值，并证明： ( )在 上单调递增；
(2)求不等式 (3 2 ― 5 ) + ( ― 4) > 0的解集；
(3)若 ( ) = 4 + 4― ―2 ( )在区间[ ―1, + ∞)上的最小值为 ―2，求 的值.

19．已知 ( ) = + 1 ― （ > 0且 ≠ 1）是 上的奇函数，且 (1) = 3
(1)求 ( )的解析式；
(2)把区间(0,2)等分成2 份，记等分点的横坐标依次为 , = 1,2,3, ,2 ― 1， ( ) =
5 ― 24 2 ―1+1，记 ( )
(2 )
= ( 1) + ( 2) + ( 3) + + ( 2 ―1)( ∈ )，是否存在正整数 n，使不等式 ( ) ≥ ( )有解？若存
在，求出所有 n 的值，若不存在，说明理由；

(3) 函数 ( )在区间[ , ]( < )上的值域是 , ( ∈ )，求 的取值范围．
2 2

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