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4.4.1 方程的根与函数的零点
课程标准 学习目标
（1）理解函数零点的概念;
（1）结合学过的函数图象, 了解函数零点与方
（2）掌握函数零点存在性定理.；
程解的关系。
（3）掌握函数与方程思想（难点)
知识点 01 函数的零点
对于函数 = ( )，使 ( ) = 0的实数 叫做函数的零点.
注 零点是个数，不是个点.
【即学即练 1】
函数 = 3 2 + ― 2的零点为（ ）
2 2 1 1
A．1， ― 3 B． ―1，3 C．2， ― 3 D． ―2，3
【答案】B
【分析】解一元二次方程，利用方程根与零点的关系即可求解.
【详解】令 = 0，即3 2 + ― 2 = (3 ― 2)( + 1) = 0 2，解得： 1 = 3， 2 = ―1，
所以函数 = 3 2 + ― 2 2的零点为 ―1和3.
故选：B
知识点 02 方程根与函数零点的关系
1 方程根与函数零点的关系
方程 ( ) = 0 有实数根 0
函数 = ( )有零点 0
函数 = ( )的图象与 轴有交点，且交点横坐标为 0.
如 方程2 ―4 = 0的实数根是 = 2，
函数 ( ) = 2 ―4与 轴的交点横坐标是2，
函数 ( ) = 2 ―4的零点是2，而不是(2 , 0).
2 拓展
方程 ( ) = ( )有实数根 0 函数 = ( )与函数 = ( )有交点，且交点横坐标为 0.
【例】 研究方程 2 ― 2 = 0的解.
解 方程 2 ― 2 = 0的实数根 函数 ( ) = 2与函数 ( ) = 2 的交点横坐标，
如图较容易得到，方程 2 ― 2 = 0实数根有3个 1 ∈ ( ―1 , 0) , 2 = 2 , 3 = 4.
3 求函数零点方法
① (代数法) 求方程 ( ) = 0的实数根.
② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
【即学即练 2】
+ 2 , ≤ 1
已知函数 ( ) = ― + 4, > 1 ，若方程 ( ) = 有两个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A．( ―∞,1) B．( ―∞,3) C．(1,3) D．(3, + ∞)
【答案】B
【分析】结合函数的单调性画出 ( )的大致图象，由此求得 的取值范围.
【详解】由函数的解析式可知，当 ≤ 1时， ( )单调递增， ( ) ≤ 3；当 > 1时， ( )单调递减， ( )
< 3.
函数 ( )的大致图象如下，故 ( )的最大值为 (1) = 3，结合图象可得 < 3.
故选：B
知识点 03 函数零点存在定理
如果函数 = ( )在[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0，那么函数 = ( )在( , )至少有一个零
点 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，这个 也就是方程 ( ) = 0的解.
【即学即练 3】
研究函数 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上的零点个数.
解 ∵ = ( )是连续函数，且 (0) (1) = ―1 × 1 = ―1 < 0，
∴ 由函数零点存在定理可得， = ( )在(0,1)上至少存在一个零点，
而函数 = ( ) 在(0,1)又是增函数，
故函数 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上只有一个零点.
【题型一：求函数的零点】
例 1．函数 = 4 ― 2 +3 +16的零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．(2,0)
【答案】C
【分析】令 = 0，求解方程即得.
【详解】由4 ― 2 +3 +16 = 0，设 = 2 ，则得 2 ―8 + 16 = 0，
解得 = 4，从而2 = 4，所以 = 2.
故选：C.
变式 1-1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A． = | | B． = 2 2 ―3 C． = 3 ― D． =
3

【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项 A， = | |是偶函数，与题意不符；
对于选项 B， = 2 2 ―3是偶函数，与题意不符；
对于选项 C， = 3 ― 是奇函数，
由 3 ― = ( 2 ― 1) = ( + 1)( ― 1) = 0，
解得 = ―1,0,1，故存在零点 ―1,0,1与题意相符；
3
对于选项 D， = 是奇函数，但不存在零点，与题意不符．
故选：C
变式 1-2．函数 ( ) = log3( ― 1) ―2的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】令 ( ) = 0，解对数方程，求出 x＝10.
【详解】令 ( ) = log3( ― 1) ―2 = 0，即log3( ― 1) = 2 = log332，所以 ― 1 = 32，因此 x＝10，所以函
数 ( ) = log3( ― 1) ―2的零点为 10，
故选：A.
1
变式 1-3．已知定义在R上的函数 ( )为单调函数，且对任意 ∈ R，恒有 ( ( ) ― 2 ) = ― 2，若 ( 0) = 0，
则 0的值是（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】运用换元法转化求解 = ( ) ― 2 ， ( ) = ― 12，2
+ = ― 12，求出 的值即可求出 ( )的解析
式，再求出零点即可．
【详解】因为 ( ( ) ― 2 ) = ― 12，且 ( )在 R 上为单调函数，
设 = ( ) ― 2 ，则 ( ) = 2 + ，
∵ ( ) = ― 1 ∴ 2 + = ― 12， 2，解得： = ―1
所以 ( ) = 2 ―1，
当 ( ) = 0时，解得 = 0，
函数 ( )的零点是 0 = 0，
故选：B．
【方法技巧与总结】
1 对于函数 = ( )，使 ( ) = 0的实数 叫做函数的零点.零点是个数，不是个点；
2 求或判断函数y = ( )的零点的方法：（1）求解方程 ( ) = 0，（2）数形结合，看函数图像与x轴交点.
【题型二：根据函数零点求参数】
例 2．关于 的函数 = 2 ―2 ― 8 2( > 0)的两个零点为 1, 2，且 2 ― 1 = 15，则 ＝（　　）
5 7
A．2 B．2
15 15
C． 4 D． 2
【答案】A
【分析】根据韦达定理列式可求出结果.
【详解】依题意得 1, 2是方程 2 ―2 ― 8 2 = 0的两不等实根，
所以Δ = 4 2 +32 2 = 36 2 > 0，
21 + 2 = 2 ， 1 2 = ―8 ，
所以( 2 2 2 22 ― 1) = ( 1 + 2) ―4 1 2 = 4 +32 = 36 2 = 225，即 2 =
225
36 ，
又 > 0，所以 = 156 =
5
2.
故选：A
变式 2-1 ( ) = {log2( + ), ≥ 2．已知 12 是函数 2 , < 2 的一个零点，则 [4 (19)]的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D． 2+1
【答案】B
【分析】由 (12) = 0求得 = ―11，再由分段函数的性质求 (19)的值，进而求 [4 (19)]即可.
【详解】由题意知： (12) = log2(12 + ) = 0，可得 = ―11，
∴ ( ) = {log2( ― 11), ≥ 22 , < 2 ，则 (19) = log2(19 ― 11) = 3.
∴ [4 (19)] = (4 × 3) = (12) = 0.
故选：B
变式 2-2．已知函数 ( ) = ― e ln 存在两个零点 1， 2，且满足 2 = 2 1，其中 e 为自然对数的底数，则
实数 t 的值为（ ）
1 2 1 2
A．ln2 B．ln2 C．eln2 D．eln2
【答案】D
ln 1
【分析】根据函数零点的等价转化可得 = e，代入 1， 2，且利用 2 = 2 1即可求解 1 = 2，进而可求
解.
= ― e ln = 0 ln = 1【详解】 ( ) 等价于 e，
ln 1 = ln(2 1) = 1 ln 1 ln(2 1) ln2 1 2所以 2 e，由1 1 = 2 ，解得 1 = 2，所以 =1 1 2 e，即 = eln2，
故选:D．

2-3 ( ) = 2 ― ,0 ≤ < 2变式 ．关于函数 ― , ≥ 2 ，其中 ， ∈ R，给出下列四个结论：
甲：6 是该函数的零点；
乙：4 是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为 0；
丁：方程 ( ) = 52有两个根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】由已知函数的单调性判断甲 乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得 与 的值，得
到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求.
【详解】当 ∈ [0，2]时， ( ) = 2 ― 为增函数，
当 ∈ [2， + ∞)时， ( ) = ― 为减函数，故 6 和 4 只有一个是函数的零点，
即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙 丁均正确.
由两零点之积为 0，则必有一个零点为 0，则 (0) = 20 ― = 0，得 = 1，
若甲正确，则 (6) = 0，即 ― 6 = 0， = 6，

( ) = 2 ― 1,0 ≤ < 2 5可得 6 ― , ≥ 2 ，由 ( ) = 2，
0 ≤ < 2 ≥ 2 7 7
可得 2 ― 1 = 5 或 6 ― = 5 ，解得 = log22或 = 2，方程 ( ) =
5
2有两个根，故丁正确.
2 2
故甲正确，乙错误.
若乙正确，甲错误，则 (4) = 0，则 ― 4 = 0， = 4，
( ) = 2
― 1,0 ≤ < 2 5
可得 4 ― , ≥ 2 ，由 ( ) = 2，
0 ≤ < 2 ≥ 2
可得 2 ― 1 = 5 或 4 ― = 5 ，解得 = log
7 3 5
22或 = 2（舍去），方程 ( ) = 2只有一个根，则丁错误，不合
2 2
题意．.
故选：B.
【方法技巧与总结】
若m是函数 ( )零点，则得到方程 ( ) = 0或明确函数与x轴交点的位置.
【题型三：零点存在性定理的应用】
―
例 3．函数 3( ) = 1 ― + 2 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 的取值范围是（ ）
A．(1, + ∞) B ― 5． ,1 C． ―∞, ― 5 ∪ (1, + ∞) D． ―∞, ― 5
2 2 2
【答案】B
1 ― 3
【分析】先判断出 ( ) = ― + 2 在(0, + ∞)上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求 a 的范围.
3
【详解】 ∵ = 2 和 = ― 在(0, + ∞)上是增函数，
∴ ( ) = 2 ―
3
+ 在(0, + ∞)上是增函数，
∴ 只需 (1) (2) < 0
5
即可，即( ―1 + ) 5 + < 0，解得 ― 2 < < 1．2
故选：B.
变式 3-1．函数 ( ) = 3 + 2 ―50的零点所在区间为（ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
【答案】C
【分析】运用零点的存在性定理判断即可.
【详解】对于 ( ) = 3 + 2 ―50，则 ( )为R上的增函数，
而 (1) = ―47， (2) = ―38， (3) = ―15， (4) = 30， (5) = 107，由于 (3) (4) < 0，
根据零点存在性定理，知道函数 ( ) = 3 + 2 ―50的零点所在区间为(3,4).
故选：C.
变式 3-2．函数 ( ) = log2 + 2 + 在区间(2,4)上存在零点，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 18) B．(5, + ∞)
C．(5,18) D．( ―18, ― 5)
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数 ( ) = log2 + 2 + 在区间(2,4)上存在零点，
由函数 ( )在(2,4)的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足 (2) (4) < 0，
即( + 5)( + 18) < 0，
解得 ―18 < < ―5，
所以实数 的取值范围是( ―18, ― 5).
故选：D.
变式 3-3．若方程( ― 1)lg( + 1) = 1的实根在区间( , + 1)( ∈ Z)上，则 = （ ）
A． ―1 B．2 C． ―1或 2 D．1
【答案】C
【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零
点存在性定理证明即可.
1
【详解】方程化为lg( + 1) = ―1，
分别做出方程左右两边的图象，
从图象可知，方程( ― 1)lg( + 1) = 1，
方程有两个分别在( ―1,0)和(2,3)之间的根，
下面证明：方程( ― 1)lg( + 1) = 1在( ―1,0)和(2,3)之间各有一个实根，
设 ( ) = ( ― 1)lg( + 1) ―1，
根据函数性质得在区间(2,3)上是增函数，
又 (2) = lg3 ― 1 < 0， (3) = 2lg4 ― 1 = lg16 ― 1 > 0，
则 (2) (3) < 0，
由零点存在性定理知，
( ) = ( ― 1)lg( + 1) ―1在区间(2,3)上仅有一个零点，
即方程( ― 1)lg( + 1) = 1区间(2,3)上仅有一个实根，
同理可得方程( ― 1)lg( + 1) = 1区间( ―1,0)上仅有一个实根，
结合题意可知， = ―1或 = 2，
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 如果函数 = ( )在[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0，那么函数 = ( )在( , )至少有一个
零点 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，这个 也就是方程 ( ) = 0的解.
2 若连续函数具有单调性，则函数最多只有一个零点，若在某[ , ]上满足 ( ) ( ) < 0，则该函数只有一
个零点.
【题型四：根据函数零点的个数求参数范围】

4 ( ) = 2 ― , < 1例 ．若函数 ( ― ), ≥ 1 恰有2个零点，则 的取值范围是 （ ）
A．( ― ∞ ， 1 ) B．(0 ， 2 ) C．( 0 ， + ∞) D．[ 1 ， 2 )
【答案】D
【分析】由分段函数可知必须每段有且只有 1 个零点，写出零点建立不等式组即可求解.
【详解】因为 ( ) = ( ― ), ≥ 1时至多有一个零点，单调函数 ( ) = 2 ― , < 1至多一个零点，
( ) = 2
― , < 1
而函数 ( ― ), ≥ 1 恰有2个零点，
所以需满足 ( ) = ( ― ), ≥ 1有 1 个零点， ( ) = 2 ― , < 1有 1 个零点，
log2 < 1所以 ≥ 1 ，
解得1 ≤ < 2，
故选：D
变式 4-1．已知函数 ( ) = 2| | + 2 + 有唯一的零点，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【答案】B
【分析】探讨函数 ( ) = 2| | + 2 + 的奇偶性及在[0, + ∞)上的单调性即可判断作答.
【详解】函数 ( ) = 2| | + 2 + 定义域为 R，函数 ( ― ) = 2|― | + ( ― )2 + = ( )，即函数 ( )为偶函
数，
当 ≥ 0时， ( ) = 2 + 2 + ，则 ( )在[0, + ∞)上单调递增，在( ―∞,0)上单调递减，
则当 = 0时， ( )min = + 1，因函数 ( ) = 2| | + 2 + 有唯一的零点，于是得 + 1 = 0，解得 = ―1，
所以实数 a 的值为 ―1.
故选：B
2―
变式 4-2．已知函数 ( ) = > 0 2 + + 1 ≤ 0 若函数 ( ) = ( ) ― 有三个不同的零点，则实数 的取值范
围是（ ）．
A 3 3． ,1 B． ,1
4 4
C 3． ,1 D 3． , + ∞
4 4
【答案】A
【分析】把函数零点个数转化为两个函数的交点个数,数形结合即可求出 的范围.
【详解】若函数 ( ) = ( ) ― 有三个不同的零点,则 ( ) ― = 0有三个根.
即函数 = ( )与 = 有三个交点,如图,先画出 ( )的图像,
2
当 ≤ 0时 ( ) = 2 + + 1 = + 1 +
3 3
2 4，即
― 1 = 4，2

当 > 0时, ( ) = 2― = 1 ,0 < ( ) < 12
3
数形结合可以得到4 < < 1
故选: A
变式 4-3．已知 ( ) = |e ― 1| ―1，若函数 ( ) = [ ( )]2 ― ( ) ―1有三个零点，则 的取值范围为（ ）
A．(0, + ∞) B．( ―1,0) ∪ (0, + ∞) C．( ―1,0) ∪ (0,1) D．(1, + ∞)
【答案】A
【分析】首先画出函数 ( ) = |e ― 1| ―1的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数
问题进行求解即可．
【详解】函数 ( ) = |e ― 1| ―1的图象如下图所示：
令 ( ) = ，若函数 ( ) = [ ( )]2 ― ( ) ―1有三个零点，
①方程 ( ) = 2 ― ― 1 = 0有一根在 ―1，0 上，一根在[0, + ∞)上，
( ―1) > 0 > 0
则 (0) ≤ 0 ，即 ―1 ≤ 0 ，解得 > 0，
②方程 ( ) = 2 ― ― 1 = 0有一根在 ―1，0 上，一根等于-1，
( ―1) = 0
则 (0) > 0 ，此时无解，
综上： > 0，
故选：A.
【方法技巧与总结】
1 理解方程与函数间的关系，
方程 ( ) = 0 有实数根 0
函数 = ( )有零点 0
函数 = ( )的图象与 轴有交点，且交点横坐标为 0.
2 方程 ( ) = ( )有实数根 0 函数 = ( )与函数 = ( )有交点，且交点横坐标为 0;
3 问题转化为函数问题，则多利用数形结合的方法求解.
【题型五：二次函数零点的分布问题】
例 5．已知关于 x 的方程 2 +2( ― 1) + 2 + 6 = 0．
(1)若方程有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小，求实数 m 的取值范围；
(2)若方程有两个实根 α，β，且满足0 < < 1 < < 4，求实数 m 的取值范围；
【答案】(1)( ―∞, ― 1)
(2) ― 7 , ― 5
5 4
【分析】（1）构建函数 ( ) = 2 +2( ― 1) + 2 + 6，根据二次函数图象列式求解；
（2）根据二次函数图象结合零点分布分析求解；
【详解】（1）设 ( ) = 2 +2( ― 1) + 2 + 6，
若方程有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小，
则 ( )的大致图象如图 1 所示，
可得 (2) < 0，即4 + 4( ― 1) +2 + 6 < 0，解得 < ―1，
所以实数 m 的取值范围为( ―∞, ― 1)．
（2）若方程有两个实根 α，β，且满足0 < < 1 < < 4， ( )的大致图象如图 2 所示，
(0) = 2 + 6 > 0
可得 (1) = 4 + 5 < 0 ，解得 ― 75 < < ―
5
，
(4) = 10 + 14 > 0 4
7 5
所以实数 m 的取值范围为 ― , ― ．
5 4
变式 5-1．若函数 ( ) = ―3 2 +4 ― 1在区间( ―1,1)内恰有一个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A ― 5． ,1 B． ― 5 , 4 C ― 5 ,1 ∪ 4 D ― 2 4． ． ,1 ∪
3 3 3 3 3 3 3
【答案】C
【分析】对 进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解.
【详解】若 = 0时，4 ― 1 = 0 1，则 = 4，满足题意，
若 ≠ 0，当 5(1) ( ―1) = ( ―3 ― 5)( ―3 + 3) < 0，解得 ― 3 < < 1且 ≠ 0，此时满足题意，
若 (1) = ―3 ― 5 = 0时， = ―
5
3，此时 ( ) = 5
2 +4 ― 1 = (5 ― 1)( + 1) = 0，
1
此时方程在( ―1,1)只有一根 = 5，满足题意，
若 ( ―1) = ―3 + 3 = 0时， = 1，此时 ( ) = ―3 2 +4 ― 1 = ― (3 ― 1)( ― 1) = 0，
1
此时方程在( ―1,1)只有一根 = 3，满足题意，
当Δ = 16 ― 12 = 0 4，得 = 3时，此时 ( ) = ―4
2 +4 ― 1 = ― (2 ― 1)2 = 0，
1
此时方差的根为 = 2，满足题意，
5 4
综上可得 ― 3 ≤ ≤ 1或 = 3
故选：C
变式 5-2．已知函数 ( ) = 2 ― + 2在区间(1,2)有零点，则 的取值范围是 .
【答案】[2 2,3)
= 2 ― + 2 = = + 2【分析】函数 ( ) 的零点可以转化为 与函数 放入图象有交点即可，因此只需确
定 = + 2 再区间(1,2)的范围即可.
2 2
【详解】令 ( ) = 0，当 ∈ (1,2)时， = + ≥ 2 = 2 2，
当且仅当 = 2时取等，
且 + 2 < 3，
2
所以若 ( )在区间(1,2)有零点，只需 = 与函数 = + 有交点即可,
所以 的取值范围是[2 2,3).
故答案为：[2 2,3)
变式 5-3．设函数 ( ) = 2 ― (2 + 1) + 2 ―2( ∈ [ ―2, + ∞))
(1)当 = 1时，对 ∈ [0,2], ( ) > 恒成立，求 m 的取值范围；
(2)若函数 ( )在 ∈ [2, + ∞)时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时 a 的值．
13
【答案】(1) < ― 4
(2)最小值为5， = 4
【分析】（1）根据条件得到 ( ) = 2 ―3 ― 1，再利用二次函数的性质即可求出结果；
2 +1
2 > 2（ ）根据条件得到Δ = (2 + 1)2 ―4( 2 ―2) > 0且 2 ，从而得到 ≥ 4，再利用| ― |
(2) = 2 ― 4 ≥ 0 2 1
= 9 + 4 ，即可求出结果.
【详解】（1）当 = 1时， ( ) = 2 ―3 ― 1 =
3
，对称轴为 2，
3
又因为 ∈ [ ―2, + ∞)，所以，当 = 2时， ( ) ―
13
取到最小值为 4 ，
13
所以 < ― 4 .
（2）因为 ( )在 ∈ [2, + ∞)时有两个零点，设两个零点为 1, 2，且 1, 2是方程 2 ― (2 + 1) + 2
―2 = 0的两根，
2 +1
所以Δ = (2 + 1)2 ―4( 2 ―2) > 0 > 2且 2 ，
(2) = 2 ― 4 ≥ 0
4 + 9 > 0
3
整理得到 > 2 ，所以 ≥ 4，
≥ 4或 ≤ 0
又| ― | = |2 +1― 9+4 ― 2 +1+ 9+4 2 1 = 9 + 4 ，2 2 |
所以| 2 ― 1| ≥ 9 + 4 × 4 = 5，此时 = 4.
【方法技巧与总结】
二次函数零点的分布问题，某些题型可用一元二次方程的韦达定理求解或分类参数法等方法，更一般的方
法是利用二次函数的图象进行分析求解（多考虑二次函数的开口方向、对称性、判别式、一些特殊点等
等）
【题型六：比较零点大小】
例 6．已知 + e = e, + 3 = e，则（ ）
A．1 < < < e B．1 < < < e
C．0 < < < 1 D．0 < < < 1
【答案】C
【分析】构造函数 ( ) = + e ， ( ) = + 3 ，由其单调性结合图象得出大小关系.
【详解】构造函数 ( ) = + e ， ( ) = + 3 ，
所以 ( ) = + e = e， ( ) = + 3 = e，
因为 = , = e , = 3 均为R上增函数，则函数 ( )， ( )为增函数.
函数 ( )， ( )与函数 = e的图象，如下图所示：
由图可知，0 < < .
又 (1) = 1 + e > ( )， (1) = 1 + 3 > ( )，
所以 < 1, < 1.
综上，0 < < < 1.
故选：C
变式 6-1．设 > 0，函数 = 2 + ― 7, = 2 + ― 7, = log2 + ― 7的零点分别为 , , ，则（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【答案】A
【分析】由题意 , , 分别为函数 = ― + 7与函数 = 2, = 2 , = log2 图象交点的横坐标，作出函数 =
2, = ― + 7, = 2 , = log2 的图象，结合函数图象即可得解.
【详解】分别令 = 2 + ― 7 = 0, = 2 + ― 7 = 0, = log2 + ― 7 = 0，
则 2 = ― + 7,2 = ― + 7,log2 = ― + 7，
则 , , 分别为函数 = ― + 7与函数 = 2, = 2 , = log2 图象交点的横坐标，
分别作出函数 = 2, = ― + 7, = 2 , = log2 的图象，如图所示，
由图可知， < < .
故选：A.
变式 6-2．若 e = ln = lg = 1，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
【答案】A
【分析】先由 e = ln = lg = 1可得0 < < 1， > 1， > 1，由 ln = lg = 1，得ln = 1 ，lg =
1
，
在同一个平面直角坐标系作出 = ln ， = lg 和 = 1 的图象，结合图象可得结果.
【详解】因为 e = 1，而当 ≥ 1时， e > 1，当 ≤ 0时， e ≤ 0，
所以0 < < 1，
因为 ln = 1，而当0 < ≤ 1时， ln ≤ 0，所以 > 1，
因为 lg = 1，而当0 < ≤ 1时， lg ≤ 0，所以 > 1，
由 ln = lg = 1，得ln = 1 ，lg =
1
，
所以 为 = ln 和 = 1 1 图象交点的横坐标， 为 = lg 和 = 图象交点的横坐标，
1
在同一个平面直角坐标系作出 = ln ， = lg 和 = 的图象，如图所示，
由图可得 > > 1
综上 > > ，
故选：A

变式 6-3．（多选）已知实数 1, 2是函数 ( ) =
1 ―
2 |log2( ― 1)|的两个零点，则下列结论正确的是
（ ）
A．( 11 ― 1)( 2 ― 1) ∈ 0, B．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈
1 ,1
2 2
C．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈ (1,2) D．( 1 ― 2)( 2 ― 2) ∈ ( ―∞,0)
【答案】BD
( ) = 0 1

【分析】由 得到 =2 |log2( ― 1)|
1
，由 = 2 与 = |log2( ― 1)|的图象，可以直接判断1 < 1
< 2 < ( ― 2)( ― 2) < 0 log [( ― 1)( ― 1)] = ― 1
1 1 2
2， 1 2 ；再由 2 1 2 + < 02 2 得到0 < ( 1 ― 1)
3
1
( ― 1) < 1 1 22 ，结合 < 1,2 |log 32 ― 1 | = 1进一步得到2 < ( 1 ― 1)( 2 ― 1) < 1.2

【详解】令 ( ) = 0 1，则 =2 |log2( ― 1)|
1
，分别作函数 = 与 =2 |log2( ― 1)|的图象，如图所示.
不妨设 1 < 2，则由图可得1 < 1 < 2 < 2，所以( 1 ― 2)( 2 ― 2) < 0成立，故 D 正确.
1 2
因为log2[( 1 ― 1)( 2 ― 1)] = log (
1 1
2 1 ― 1) + log2( 2 ― 1) = ― + < 02 2 ，所以0 < ( 1 ― 1)( 2 ― 1)
< 1，故 C 错误.
3
1 2
又因为 < 1 = | 3log 32 ― 1 |，所以2 < 1 < 2 1，即2 < 1 ―1 < 1, 2 ―1 > 1 12 ，所以2 < ( 1 ― 1)( 2 ― 1)2
< 1，故 A 错误，B 正确.
故选：BD.
【题型七：嵌套函数零点问题】
例 7．设 ∈ | ― 1|, ≥ 0，函数 ( ) = ― 2 + , < 0 ，当 = 1时，函数 = ( ( ))有 个零点；若函数 =
( ( ))恰有 3 个零点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 2 ( ― 2,0)
【分析】根据方程的根，结合复合函数，即可求根求解空 1，令 = ( )，先考虑 ≥ 0时，函数
= ( ( ))在[0, + ∞)上有 2 个零点，再考虑 < 0，分 ≥ 0与 < 0两种情况，结合函数图象，得到不等
式，求出答案．
【详解】当 = 1时， ( ) = | ― 1|, ≥ 0― 2 + , < 0 ，令 ( ) = 0，解得 = 1，
令 = ( ( )) = 0，则 ( ) = 1，故 = 0或 = 2，此时 = ( ( ))有 2 个零点，
设 = ( )，当 ≥ 0时， ( ) = | ― 1|，此时 ≥ 0，
由 ( ) = 0得 = 1，即 ( ) = | ― 1| = 1，解得 = 0或 = 2，
所以 = ( ( ))在[0, + ∞)上有 2 个零点，

< 0时，若 ≥ 0， ( ) = ― 2 + ，对称轴为 = 2，
函数 = ( )的大致图象如下：
此时 ( ) = ― 2 + < 0，即 < 0，则 ( ) < 0，
所以 ( ) = 0无解，则 = ( )无零点， = ( ( ))无零点，
综上，此时 = ( ( ))只有两个零点，不符合题意，
若 < 0，此时 ( )的大致图象如下：
令 ― 2 + = 0，解得 = < 0，
显然令 ( ) = 在( ― ∞,0)上存在唯一负解，
要使 = ( ( ))恰有 3 个零点，
只需 = ( ( ))在(0, + ∞)上除 = 0或 = 2外不能再有其他解，
即 ( ) = 1不能再有除 = 0或 = 2外的其他解，
2 2
故 (2) ∈ (0,1) 0 < ―

，即 4 +

2 < 1，解得 ―2 < < 2，所以 ∈ ( ― 2,0)．
故答案为：2，( ― 2,0)
变式 7-1．(多选)已知 > > > 0，定义域和值域均为[ ― , ]的函数 = ( )和 = ( )的图像如图所
示，给出下列四个结论，正确结论的是（ ）
A．方程 [ ( )] = 0有且仅有三个解 B．方程 [ ( )] = 0有且仅有二个解
C．方程 [ ( )] = 0有且仅有五个解 D．方程 [ ( )] = 0有且仅有一个解
【答案】ACD
【分析】将内层函数看作一个变量，先由外层函数确定其解的个数情况，再根据内层函数的图象即可确定
复合函数的解的个数，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于 A，由题意可知 ( ) = 0时， = 或 = 0或 = ― ，
故方程 [ ( )] = 0时，则 ( ) = 或 ( ) = 0或 ( ) = ― ，
∵ > > 0, ∴ ∈ [ ― , ], ― ∈ [ ― , ]，
又 = ( )在[ ― , ]上单调递减，故 ( ) = , ( ) = 0, ( ) = ― 都有唯一解，
即方程 [ ( )] = 0有且仅有三个解，故 A 正确；
对于 B，当 ( ) = 0时， = ，
故 [ ( )] = 0时，即 ( ) = ，而 > > > 0，
故由 = ( )图象可知 ( ) = 有一个解，
即方程 [ ( )] = 0有且仅有一个解，故 B 错误；
对于 C， ( ) = 0时， = 或 = 0或 = ― ，
故由 [ ( )] = 0可得 ( ) = 或 ( ) = 0或 ( ) = ― ，
而 > > > 0, ∴ ― > ― > ― ，
故 ( ) = 和 ( ) = ― 各有唯一一个解， ( ) = 0有 3 个解，
故方程 [ ( )] = 0有且仅有五个解，故 C 正确；
对于 D， ( ) = 0时， = ，
故由 [ ( )] = 0可得 ( ) = ，而 > > 0， = ( )在[ ― , ]上单调递减，
故 ( ) = 有唯一解，
故方程 [ ( )] = 0有且仅有一个解，故 D 正确，
故选：ACD
变式 7-2． = ( )满足 (2 ― )= ( )，且当 ≥ 1时， ( ) = 2 ―4 + 3
1
，则方程 [ ( )] = ― 2的所有根
之和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
1
【分析】画出函数图象，求出 ( ) = ― 2的解对照图象求得根之和.
【详解】由题意得，则 = ( )关于 = 1对称，其图像如下
令 = 1( )，则关于 的方程 ( ) = ― 2由 4 个解 1, 2, 3, 4，其中 1 ∈ ( ―1,0), 2 ∈ (0,1), 3 ∈ (1,2), 4 ∈ (2,3)，
关于 的方程 ( ) = 1有四个解，由对称性可知，其和为 4，
同理：
关于 的方程 ( ) = 2有两个解，由对称性可知，其和为 2，
关于 的方程 ( ) = 3有两个解，由对称性可知，其和为 2，
关于 的方程 ( ) = 4有两个解，由对称性可知，其和为 2，
所以方程 1[ ( )] = ― 2的所有根之和为 10.
故选:D
2
7-3 ( ) = + , ≤ 0,变式 ．已知函数 ― , > 0. 若 ( ( )) = 1恰有三个不同实根，则 的取值范围是（ ）
A． ―1, 1― 5 B． ―1, 5―3
2 2
C． 3― 5 ,1 D． 5―1 ,1
2 2
【答案】D
【分析】对于嵌套函数的零点问题，一般需要用换元法，再结合函数图象进行讨论.
【详解】令 ( ) = ，则 ( ) = 1，
①当 > 0时， ( )的图象如图所示
若 ( ( )) = 1恰有三个不同实根，则 ( ) = 1一定要有两个不同的根，
所以0 < ≤ 1，设 ( ) = 1的两根为 1, 2,且 1 < 2,则一定有 1 ≤ 0, 2 > 0
所以 21 + = 1, 2 ― = 1
解得 = ― 1 ― , = (1 + )21 2
当 > 0时， ( )如图所示，
若 ( ( )) = 1恰有三个不同实根，
1 ∈ ( ― ,0]则必须有 ― < ― 1 ― ≤ 0 2 ∈ [ , + ∞) ，即 (1 + )2 ≥
解得―1+ 5 < ≤ 1
2
②当 < ―1时，或 > 1时， ( ) = 1只有一个根，
此时 ( ( )) = 1不能有三个不同实根.
③当 ―1 ≤ < 0时，0 < ― ≤ 1，
( )、 ( )的图象如图所示，
若 ( ( )) = 1有三个不同的实根

则 1
∈ ( ,0] < ― 1 ― ≤ 0
2 ∈ ( ― , + ∞) ，即 (1 + )2 > ― ，此不等式无解
综上所述：―1+ 5 < ≤ 1
2
故选：D.
【方法技巧与总结】
求解复合函数 = ( ( ))的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：
1、先换元解“套”，令 = ( )，则 = ( )，再作出 = ( )和 = ( )的图象；
2、由函数 = ( )的图象观察有几个 的值满足条件，结合 的值观察 = ( )的图象，求出每一个 被 对
应，将 的个数汇总后，即为 = ( ( ))的根的个数，即“从外到内”.
3、由零点的个数结合 = ( )与 = ( )的图象特点，从而确定 的取值范围，进而决定参数的范围，即“从
内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.
【题型八：函数零点的综合问题】
例 8．已知函数 ( ) =
1
2 + ．
(1)是否存在 ∈ ，使得 ( ) + (2 ― )为定值，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由；
(2)若 = 1 1，方程| ( ) ― | = ( )( ∈ )有两个根 1， 2，且 1 < 0， 2 > 0，求 1 + 2的取值范围．2
【答案】(1) =± 2
(2)( ― ∞,0)
【分析】（1）直接计算 ( ) + (2 ― )，则得到关于 的方程，解出即可；
1
（2）首先整理得|2 ― 1| = 2 ，数形结合得0 < < 2，再表示出 1, 2，计算之和即可.

【详解】（1） ( ) + (2 ― ) = 1 12 + + 22― + =
1 + 22 + 4+ 2
(4+ 2 )+2 (2 = + ) 4
+2 2 +4
(2 + )(4+ 2 ) = 4 +(4+ 2)2 +4 ，
若 ( ) + (2 ― ) 1 2 4为定值则应 = 2 4+ 2 = 4 ，解得 = 4，即 =± 2.
当 = 2时， ( ) + (2 ― ) = 12，当 = ―2时， ( ) + (2 ― ) = ―
1
2.
所以存在 =± 2符合要求.

（2 = 1 1 1 1―2） 时，方程即为| = ― | 2 +1，整理得2 +1 2 |2(2 +1)| = 2 +1，即|2 ― 1| = 2 ，
1
因为方程有两个根 1 < 0, 2 > 0，由图象可知，0 < 2 < 1，即0 < < 2，
且 ― 2 1 +1 = 2 ，得 1 = log2(1 ― 2 )，同理有2 2 ―1 = 2 ，得 2 = log2(1 + 2 )，
所以 1 + 2 = log2(1 ― 2 ) + log2(1 + 2 ) = log2(1 ― 4 2)，
由0 < < 12，得 1 + 2 < 0，所以 1 + 2的取值范围是( ― ∞,0).
变式 8-1．已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ，且 ―3 < ( ―1) = (1) = (2) ≤ 0，则 的取值范围是 .
【答案】( ―1,2]
【分析】设 ( ―1) = (1) = (2) = ，由此可得 ( ) ― = ( + 1)( ― 1)( ― 2)，比较可得 = + 2，
由条件可求其范围.
【详解】由题意，设 ( ―1) = (1) = (2) = ，则 ―1,1,2是方程 ( ) ― = 0的3个根，
又 ( ) = 3 + 2 + + ，则 ( ) ― = ( + 1)( ― 1)( ― 2)，
即 ( ) = ( + 1)( ― 1)( ― 2) + ，且 ―3 < ≤ 0，
所以 ( ) = 3 ―2 2 ― + + 2，故 = ―2, = ―1, = + 2，
由 ―3 < ≤ 0，得 ―1 < + 2 ≤ 2，即 ―1 < ≤ 2，
故 的取值范围是( ―1,2].
故答案为：( ―1,2].
变式 8-2．函数 ( ) = + log2 ― 4的零点为 1，函数 ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1)的零点为 2，若 2 ―
1 > 1，则实数 的取值范围是（ ）
A．(1, 2) B．(1,2) C．( 2, + ∞) D．(2, + ∞)
【答案】D
【分析】
根据函数单调性,再由 2 ― 1 > 1确定范围,即可确定实数 的取值范围.
【详解】
已知 ( ) = + log2 ― 4, ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1),
函数 ( ) = + log2 ― 4的零点为 1，可得 1 > 2,
函数 ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1)的零点为 2，
则 1 + log2 1 ―4 = 2 + log ( 2 ― 1) ―5 = 0
1 + log2 1 ― 4 = 2 ― 1 + log ( 2 ― 1) ― 4
1 + log2 1 = 2 ― 1 + log ( 2 ― 1)
1 < 2 ― 1
又因为 = + log2 , = + log ( ― 1) ―1( > 1)这两函数均单调递增，
当 1 < 2 ―1时，log2( 2 ― 1)>log2 1>log ( 2 ― 1),解得 > 2.
故选:D.
变式 8-3．函数 ( ) = e ( ― 1) ― ― 1的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
【答案】A
【分析】令 ( ) = 0，即e ( ― 1) ― ― 1 = 0，构造函数 = e =
+1
与函数 ―1，画出函数图象，可知两个函
数图象相交于两点，设为 1, 2，得 ( 1) = ( ― 1) = 0，进而得到 2 = ― 1，即 1 + 2 = 0
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 ( ) = 0的实数根，令 ( ) = 0，
则e ( ― 1) ― ― 1 = 0，显然 ≠ 1，所以e =
+1
―1，
+1 +1
构造函数 = e 与函数 = ―1，则方程e
= ―1的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数 ( ) = e ( ― 1) ― ― 1有两个零点，
+1 +1
设为 1, 2，所以e 1 =
1 2 2
1―1
，e = 2―1，
即 ( 1) = e 1( 1 ― 1) ― 1 ―1 = 0, ( ) = e 22 ( 2 ― 1) ― 2 ―1 = 0，
另外发现，将 ― 1代入，可得 ( ― 1) = e― 1( ― 1 ― 1) ― ( ― 1) ―1 =
―( 1+1) + ―1 = ―( 1+1) + 1+1e 1 1 e 1 e 1
= 0，
所以 ― 1也是函数 ( )的零点，说明 2 = ― 1，即 1 + 2 = 0.
故选:A.
变式 8-4．若实数 ， 满足 e = 2， ln = 2，则 = （ ）
A．e 1B．1 C．2 D．2
【答案】D
2 2 2
【分析】由已知可得 是方程e = 的解， 是 = e
与 = 图象交点的横坐标，同理 是 = ln 与 = 图象
2
交点的横坐标，在同一直角坐标系中作出 = e ， = ln ， = 的图象，根据互为反函数的两个函数图象
关于直线 = 对称以及 = 2 的图象也关于直线 = 对称，可得两个交点也关于直线 = 对称，即可得求
解.
【详解】由 e = 2可得e = 2 2 ，所以 是方程e = 的解，
即 是 = e = 2与 图象交点的横坐标，
2
由 ln = 2可得ln = ，所以 是方程ln =
2
的解，
即 是 = ln 与 = 2 图象交点的横坐标，
2
在平面直角坐标系中分别作出 = e ， = ln ， = 的图象如图所示，
因为 = e 与 = ln 互为反函数，图象关于直线 = 对称，
而 = 2 的图象也关于直线 = 对称，
, 2 2所以两个交点 ， , 关于直线 = 对称，

= 2
所以 2 ，可得 = 2，=

故选：D
变式 8-5．已知函数 ( ) = log2(2 + ) ― ．
(1)若 (2) < 0，求 的取值范围；
(2)若 ( ) = 有两个不相等的实根 1, 2，且 1 < 2
①求 的取值范围；
②证明： ( 1 + 1) + ( 2 ― 1) < ―1．
【答案】(1) ―4 < < 0
(2)① ∈ ― 1 ,0 ；②证明见解析
4
【分析】（1）得到不等式log2(4 + ) ― 2 < 0，结合函数单调性得到不等式，求出答案；
（2）①变形得到(2 )2 ― 2 = ，即 = 与 = 2 ― 有两个不同的交点，根据 = 2 ― 的单调性和图
象，数形结合得到答案
②根据①得到2 1 + 2 2 = 1，2 1 2 2 = 2 1+ 2 = ― 1，且满足 ∈ ― ,0 ，即 < ―1 < < 0，计算出
4 1 2
( 1 + 1) + ( 2 ― 1) = log
3
2 2 2 ― 1 ― ，2
又(2 2)2 ― 2 2 = 1，代入后求出 ( 1 + 1) + ( 2 ― 1) = log ― 22 +
5
2 2 2 2 ― 1 < log22 = ―1.2
【详解】（1）由 (2) < 0可得log2(4 + ) ― 2 < 0，所以log2(4 + ) < log24，
4 + > 0
即 4 + < 4 ，解得 ―4 < < 0．
（2）①因为 ( ) = 有两个不相等的实根，即log (2 2 + ) = 2 有两个不相等的实根，
log (2 + ) = 2 log (2 2 2 + ) = log222 ，
即(2 )2 ― 2 = ，设 = 2 ∈ (0, + ∞)，即 = 与 = 2 ― 有两个不同的交点，
其中当 ∈ (0,12)时， =
2 ― 单调递减，
当 ∈ 1 , + ∞ 时， = 2 ― 单调递增，
2
1
其中 min = ― 4，当 = 0时， = 0，
1
结合图像可知 ∈ ― ,0 ；
4
②由①可知(2 )2 ― 2 ― = 0，所以2 1 + 2 2 = 1，2 1 2 2 = 2 1+ 2 = ― ，
∈ ― 1且满足 ,0 ，0 < 2 1 <
1 < 2 22 < 1，即 1 < ―1 < 2 < 0．4
( 1 + 1) + ( 2 ― 1) = log (2( 1+1)2 + ) ― ( 1 + 1) + log (2( 2―1)2 + ) ― ( 2 ― 1)
1
= log2 (2 2 1 + ) 2 22 + ― ( 1 + 2)
= log2 2 1 2 2 + 2 2 1 + 1 2 2 + 2 ― log2 2( ― )，
= log 2 + 1 ― 32 2 2 ― log2( ― ) = log 32 2 2 ― 1 ― ，2 2
又(2 2)2 ― 2 2 = ，
所以 ( + 1) + ( ― 1) = log 3 2 2 2 ― 1 + 2 2 ― 22 1 2 22
2
= log2 ― 22 + 52 2 2 ― 1 = log ― 2 2 ― 5 + 92 2 ，4 16
1 2
因为2 < 2
2 < 1 ― 3 < 2 2 ― 5 < ― 1 1 5 9，所以 4 4 4，
2
16 < 2 ― <4 16，
2
故log 12 ― 2 2 ― 5 + 9 < log4 16 22 = ―1．
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何
化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函
数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，
通常考虑图象的对称性进行解决.
一、单选题
1．已知函数 = 2 2 + + 的两个零点分别为 ―2，1，则函数的解析式为（ ）
A． = 2 2 ―2 ― 4 B． = 2 2 +2 ― 4
C． = 2 2 ―2 + 4 D． = 2 2 +2 + 4
【答案】B
【分析】根据题意， = ―2, = 1是方程2 21 2 + + = 0的两个根，进而可以求 , .
【详解】依题意， 1 = ―2, 2 = 1是方程2 2 + + = 0的两个根
8 ― 2 + = 0
代入可得 2 + + = 0 ，
解得 = 2, = ―4
所以 = 2 2 +2 ― 4
故选：B
2.函数 ( ) = 2 +4ln ― 10的零点所在区间为（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】C
【分析】先验证函数 ( )的单调性，再代入 (2), (3)验证，由零点存在定理得到零点所在区间.
【详解】当 > 0时，设 1 > 2，
则 ( 21) ― ( 2) = 1 ― 22 +4(ln 1 ― ln 2) > 0，
故 ( )在(0, + ∞)上是单调递增函数；
又 (2) = 4 + 4ln2 ― 10 < 4 + 4lne ―10 < 0， (3) = 9 + 4ln3 ― 10 > 0，
由零点存在定理可知，函数 ( )的零点所在的区间为(2,3).
故选：C.
1, > 0
3.已知符号函数sgn( ) = 0, = 0 ，则函数 ( ) = sgn(2ln ) ― ln(2 ― 1)的零点个数为（ ）
―1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先分段写出 = sgn(2ln )的解析式，然后分类求方程sgn(2ln ) = ln(2 ― 1)的根即可.
【详解】令 ( ) = 0，则sgn(2ln ) = ln(2 ― 1)
1, > 1
= sgn(2ln ) = 0, = 1 ，
―1,0 < < 1
当 > 1时，若ln(2 ― 1) = 1，得 = e+12 ，符合；
当 = 1时，若ln(2 ― 1) = 0，得 = 1，符合；
当0 < < 1 1 1时，若ln(2 ― 1) = ―1，得 = 2e + 2，符合；
故函数 ( ) = sgn(2ln ) ― ln(2 ― 1)的零点个数为3.
故选：C.
4.已知函数 ( ) = min 1 + 2 ,log 2 ，若函数 ( ) = ( ) ― 恰有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A．(0,1) B．(0,1] C．[1,2) D．(1,2)
【答案】D
2
【分析】画出 ( ) = min 1 + ,log 2 图像,数形结合即可求解.
【详解】作函数 ( )的图像如下，
函数 ( ) = ( ) ― 恰有两个零点可转化为 = ( )与 = 有两个不同的交点，
故1 < < 2.
故选:D.
5.已知函数 ( )的定义域为 R，且 ( ) = (2 ― )．若函数 ( ) = ( ) + | 2 ― 2 |有唯一零点，则 (1) =
（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】转化为两函数图象交点问题，函数图象对称轴都为 = 1且两函数图象只有唯一交点即可知交点横
坐标为 1 得解.
【详解】因为函数 ( )的定义域为 R，且 ( ) = (2 ― )，
所以函数 ( )的图象关于 = 1轴对称，
由 ( ) = ( ) + | 2 ― 2 |有唯一零点知， ( ) = ― | 2 ― 2 |有唯一根，
即 = ( )与 ( ) = ― | 2 ― 2 |的图象有唯一交点，
而 ( ) = ― | 2 ― 2 |图象关于 = 1对称，
所以 (1) = (1) = ―1.
故选：A
6.已知 1是函数 ( ) = + 1 + ln( + 2)的零点， 2是函数 ( ) = 2 ―2 + 4 + 4的零点，且满足| 1 ―
2| ≤ 1，则实数 的最小值为（ ）
A． ―2 B． ―1
C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据题意得出 1 = ―1，从而可得出方程 2 ―2 + 4 + 4 = 0在[ ―2,0]上有解，然后转化为2 =
2+4
―2 在[ ―2,0]上有解.通过换元 = ― 2，转化为求函数的最小值即可.
【详解】由题意可知 1 = ―1，
因为| 1 ― 2| ≤ 1，所以| ―1 ― 2| ≤ 1，即 ―2 ≤ 2 ≤ 0，
即方程 2 ―2 + 4 + 4 = 0在[ ―2,0]上有解，
2
2
―2 + 4 + 4 = 0 2 = +4由 ，得 ―2 ，
= ― 2 2 = ( +2)
2+4 8
令 ，则 = + +4， ∈ [ ― 4, ― 2]，
令 ( ) = + 8 +4， ∈ [ ― 4, ― 2]，
由对勾函数性质可知 ( )在[ ― 4, ― 2 2]上递增，在[ ― 2 2, ― 2]上递减，
所以 ( )min = ( ― 4) = ( ― 2) = ―2，
所以(2 )min = ―2，即 min = ―1.
故选：B.
7.已知函数 ( ) = 2 + ， ( ) = log2 + ， ( ) = 3 + 的零点分别为 a，b，c，则（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
【答案】D
【分析】利用数形结合思想来作图分析零点大小.
【详解】由函数零点可知：2 + = 0 2 = ― ，log2 + = 0 log = ― ， 32 + = 0 3 = ―
利用数形结合，构造三个函数 1 = 2 , 2 = log2 , 3 = 3,它们与 = ― 的交点横坐标就是对应的三个零点
, , .
由图可知： < < ，
故选：D.
8.已知函数 ( ) = |log2 |,0 < ≤ 2 2 ― 6 + 9, > 2 ，若方程 ( ) = 有四个不同的零点 1， 2， 3， 4且 1 < 2 < 3 <
4，则下列结论错误的是（ ）
A．0 < < 1 B．2 1 + 2 ≥ 2 2
C． 1 2 + 3 + 4 = 6 D．3 <
9
1 +2 2 < 2
【答案】C
1
【分析】在同一直角坐标系内作出 = ( )和 = 的图象，结合图象，可判定 A 正确；再由图象得到2 <
1 < 1 < 2 < 2 < 3 < 3 < 4 < 4且 1 2 = 1， 3 + 4 = 6，结合选项，逐项判定，即可求解.
|log |,0 < ≤ 2
【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数 ( ) = 2 2 ― 6 + 9, > 2 和 = 的图象，
由图象知，要使得方程 ( ) = 有四个不同的零点，只需0 < < 1，所以 A 正确；
1 1
对于 B 中，因为 (2) = |log2 | = 1, (2) = |log22| = 1, (4) = 42 ―6 × 4 + 9 = 1，2
且函数 = 2 ―6 + 9关于 = 3对称，
1
由图象得2 < 1 < 1 < 2 < 2 < 3 < 3 < 4 < 4，且 ― log2 1 = log2 2, 3 + 4 = 6，
1
所以log2 2 + log2 1 = log2( 1 2) = 0，可得 1 2 = 1，则 1 = ，2
2
所以2 1 + 2 = + 2，其中1 < 2 < 2，2
令 ( ) = +
2
≥ 2
2 = 2 2，当且仅当 = 2时，取得最小值2 2，

所以2 1 + 2 ≥ 2 2，所以 B 正确；
对于 C 中， 1, 2是|log2 | = (0 < < 1)的两个根，
所以 ― log2 1 = log2 2，即log2 1 + log2 2 = 0，所以 1 2 = 1，
由 23, 4是 ―6 + 9 = 0(0 < < 1)的两个根，所以 3 + 4 = 6，
所以 1 2 + 3 + 4 = 7，所以 C 不正确；
1
对于 D 中，由 1 2 = 1，可得 1 +2 2 = +2 2,(1 < 2 < 2)，2
令 ( ) = 2 +
1
,(1 < 2 < 2)，可得函数 ( )在(1,2)上单调递增，
所以 9( ) > (1) = 3，即 1 +2 2 > 3， ( ) < (2) = 2，所以 D 正确.
故选：C.
二、多选题
9 2．下列区间上，函数 ( ) = ln( + 1) ― 有零点的是（ ）
A．( ― 1,0) B． 0, 1 C 1． ,1 D．(1, + ∞)
2 2
【答案】AD
【分析】根据零点存在定理结合函数单调性分析即可.
【详解】由题意得 + 1 > 0且 ≠ 0，解得 > ―1且 ≠ 0，
则该函数的定义域为( ―1,0) ∪ (0, + ∞)，
当 ∈ ( ―1,0)时， → ― 1时， ( )→ ― ∞；当 →0时， ( )→ + ∞，
2
又因为函数图象在( ―1,0)连续不间断，且 = ln( + 1), = ― 在( ―1,0)上均单调递增，
则 ( ) = ln( + 1) ― 2 在( ―1,0)上单调递增，
则 ( )在( ―1,0)上存在唯一零点 1，使得 ( 1) = 0；
当 ∈ (0, + ∞)时，因为 (1) = ln2 ― 2 < 0，且 → + ∞时， ( )→ + ∞，
2
又因为函数图象在(0, + ∞)连续不间断，且 = ln( + 1), = ― 在(0, + ∞)上均单调递增，
则 ( ) = ln( + 1) ― 2 在(0, + ∞)上单调递增，
则 ( )在(1, + ∞)上存在唯一零点 2，使得 ( 2) = 0；
综上，AD 正确，BC 错误.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是灵活运用零点存在定理和函数单调性相关结论，同时需要有一定的极限
思想，最后即可得到函数零点所在区间.
2
10. ( ) = ( ― 1) ― 4, < 已知函数 ln( ― 1), > > 1 ，下列叙述正确的有（ ）且
A．若 < ―1，则 ( )只有一个零点
B．若 > ―1，则 ( )有两个零点
C．若 = 2，则方程2[ ( )]2 +5 ( ) = 0有两个实根
D．若 = 1，则方程[ ( )]2 +8 ( ) ― = 0有两个实根
【答案】AC
【分析】由分段函数的性质，根据二次函数、对数函数的图象，结合各选项的参数 m 及数形结合的思想，
判断零点情况，以及关于 ( )的方程根的情况即可.
( ― 1)2 ― 4, ≤
【详解】对 A， < ―1有 ( ) = ln( ― 1), > 1 ，在 ≤ 上， ( )无零点；
在 > 1上，当 = 2时 ( ) = 0，故 ( )只有一个零点，故 A 正确；
2
对 B，当 = 2 ( ) = ( ― 1) ― 4, ≤ 2时有 ln( ― 1), > 2 ，在 ≤ 2上， ( ― 1) = 0；
在 > 2上 ( )无零点；故 > ―1时 ( )可能只有一个零点，故 B 错误；
对 C， = 2时，2[ ( )]2 +5 ( ) = 0可得 ( ) = 0或 ( ) = ― 52，而 ( )的图象如下图示，
由图象知 ( ) = 0或 ( ) = ― 52各有 1 个根，故方程有两个实根，故 C 正确；
对 D， = 1时，[ ( )]2 +8 ( ) ― 1 = 0可得 ( ) = ―4 ± 17，
又 ―4 + 17 > 0 > ―4 > ―4 ― 17，且 ( )的图象如下图示，
故此方程有三个实根，故 D 错误.
故选：AC
11.已知方程e + = 0与 + ln = 0的根分别为 1, 2，则下列说法正确的是（ ）
1
A． 1 + 2 = 0 B．2 < 2 < 1
C．ln 2 = 1 D．4 1 2 ―1 > 2( 1 ― 2)
【答案】ABC
【分析】对于 A：利用函数图象的对称性来判断；对于 B：利用零点存在定理来判断；对于 C：直接计算可
得答案；对于 D：做差判断大小.
【详解】对于 AC，方程e + = 0与 + ln = 0的根分别为 1, 2，
即 = e 与 = ― 的交点横坐标为 1， = ln 与 = ― 的交点横坐标为 2，
由题知e 1 = ― 1，ln 2 = ― 2，
= e 与 = ln 的图象关于 = 对称，与 = ― 相交可得点( 1,e 1)与点( 2,ln 2)关于 = 对称，
所以 1 = ln 2 = ― 2，即 1 + 2 = 0，故 AC 正确；
1
设 ( ) = e + ，明显其单调递增，又 ― 1 = e―
1
2 ― 2 > 0,
1
( ―1) = e ―1 < 02
1 1
对于 B，由零点存在定理可知 ―1 < 1 < ― 2，根据对称性可得2 < 2 < 1，B 正确；
对于 D，由 B 选项知，2 1 +1 < 0,2 2 ―1 > 0
则4 1 2 ―1 ― 2 1 +2 2 = (2 1 + 1)(2 2 ― 1) < 0，所以4 1 2 ―1 < 2( 1 ― 2)，D 错误，
故选：ABC.
三、填空题
12．已知方程lg = 3 ― 的解所在区间为( , + 1)( ∈ N*)，则 = .
【答案】2
【分析】构造函数 ( )，代入 (2), (3)，再结合零点存在定理解答即可；
【详解】构造函数 ( ) = lg ― 3 + ，则 ( )在(0, + ∞)为增函数，
则 (2) = lg2 ― 1 < 0, (3) = lg3 > 0，
由零点存在定理可得函数的零点在(2,3)之间，
所以 = 2，
故答案为：2.
13.已知函数 ( ) = 2 ―2 + 2 ―1的两个零点都在 ―2，4 内，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 ―1，3
【分析】把函数两点零点都在 ―2，4 转化为函数值正负,列不等式求解即可.
【详解】因为函数 ( ) = 2 ―2 + 2 ―1的两个零点都在 ―2，4 内，
> 0， 4 2 ― 4( 2 ― 1) > 0，
( ― 2) > 0， 4 + 4 + 2 ― 1 > 0所以 ， (4) > 0 即， 16 ― 8 + 2 ― 1 > 0，
―2 < < 4， ―2 < < 4，
解得 ―1 < < 3，所以 的取值范围为 ―1，3
故答案为: ―1，3
14.已知偶函数 ( )满足 ( + 1) = ( ― 1)，当 ∈ [ ―1,0]时， ( ) = 2，方程 ( ) ― log | | = 0有 10 个
根，则实数 的取值范围是 .
【答案】(5,7)
【分析】先给出 ( + 2) = ( )，故 2 为函数的周期，因为函数 ( ) = ( ) ― log | |为偶函数，所以方程
( ) = log 在(0, + ∞)上有 5 个根，结合图象求解．
【详解】解：由题意知偶函数 ( )满足 ( + 1) = ( ― 1)，
即 ( + 2) = ( )，故 2 为函数的周期；
因为函数 ( ) = ( ) ― log | |为偶函数，所以方程 ( ) = log 在(0, + ∞)上有 5 个根，
作出函数 = ( )在(0, + ∞)上的图象，如图：
> 1
结合图象可知需满足 log 5 < 1 ，即实数 a 的取值范围是(5,7)
log 7 > 1
故答案为：(5,7)
四、解答题
15．已知集合 = { | 2 +(2 ― 2) ― 2 + 3 = 0}, = { | ―3 < < 2 }，且 ∩ = ，求实数 的取值范
围.
【答案】 ― 2 < <
9
4.
【分析】按集合 A 是空集和不是空集分类，结合一元二次方程实根分布规律求出 的范围.
【详解】由 ∩ = ，得 ，令 ( ) = 2 +(2 ― 2) ― 2 + 3，
当 = 时，Δ = (2 ― 2)2 ―4( ― 2 + 3) = 4 2 ―8 < 0，解得 ― 2 < < 2，
( ― 3) > 0 ―8 + 18 > 0
当Δ = 4 2 ―8 ≥ 0，即 ≤ ― 2或 ≥ 2时， (2) > 0 ，则 2 + 3 > 0 ，
―3 < ― + 1 < 2 ―4 < ― < 1
解得 ―1 < < 9 94，因此 2 ≤ < 4，
9
所以实数 的取值范围是 ― 2 < < 4.
16.已知函数 = ( )，其中 ( ) = | 2 ― 2 ― 3|．
(1)直接写出 ( )的零点；
(2)讨论关于 x 的方程 ( ) = 的解的个数；
(3)若方程 ( ) = 有四个不同的根 1， 2， 3， 4，直接写出这四个根的和．
【答案】(1)－1 和 3；
(2)答案见解析
(3) 1 + 2 + 3 + 4 = 4．
【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可；
（2）将问题转化为 = ( )与直线 = 的交点个数，画出 ( )的图象，结合图象求解即可；
（3）由图象可知，函数 = ( )的图象关于直线 = 1对称，从而可求得结果.
【详解】（1）解方程 ( ) = 0，即| 2 ― 2 ― 3| = 0，
解得 = ― 1或 = 3，
所以，函数 = ( )的零点为－1 和 3；
（2）则函数 = ( ) = | 2 ― 2 ― 3|的图象如下图所示：
方程 ( ) = 的解的个数等于函数 = 和 = ( )图象的交点个数，如下图所示：
当 < 0时，方程 ( ) = 无实根；
当 = 0或 > 4时，方程 ( ) = 有 2 个实根；
当0 < < 4时，方程 ( ) = 有 4 个实根；
当 = 4时，方程有 3 个实根．
（3）由图象可知，函数 = ( )的图象关于直线 = 1对称，
因此 1 + 2 + 3 + 4 = 4．
17.已知 ( ) = 2 + + 2, ∈ .定义点集 与 = ( )的图象的公共点为 在 ( )上的截点.
(1)若 = ―1, = {( , )∣ = 3, ∈ }, 在 ( )上的截点个数为0.求实数 的取值范围；
(2)若 = 1, = {( , )∣ = 2, ∈ (0,2)}, 在 ( ) + | 2 ― 1|上的截点为( 1,2)与( 2,2).
（i）求实数 的取值范围；
1 1
（ii）证明：2 < + < 4.1 2
【答案】(1) ―∞, ― 1
4
(2)（i） ― 72 < < ―1；（ii）证明见解析
【分析】（1）由题意转化为 2 ― + 2 = 3无解，判断可得 ≠ 0，则Δ < 0，即可求出 的取值范围；
（2）（i）依题意可得方程 ( ) + | 2 ― 1| = 2在(0,2)上有两个解，可化为函数 ( ) = 2 + + | 2 ―1|在
(0,2)上有两个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调性，求出 ( )在(0,2)上存在两个零点时 的取值
1 1 1 1
范围；（ii）由（i）可得 = ― 和 = ―2 2，消去 ，即可得到 + = 2 2，结合 2的范围即可证明.1 2 1 2
【详解】（1）当 = ―1时， ( ) = 2 ― + 2，
因为 = {( , )∣ = 3, ∈ }, 在 ( )上的截点个数为0，
关于 的方程 2 ― + 2 = 3无实数解，即 2 ― ― 1 = 0无实数解，
易知 ≠ 0，所以Δ = 1 + 4 < 0，解得 < ― 14，
即 的取值范围是 ―∞, ― 1 .
4
（2）（i）当 = 1时， ( ) = 2 + + 2，
因为 = {( , )∣ = 2, ∈ (0,2)}, 在 ( ) + | 2 ― 1|上的截点为( 1,2)与( 2,2)，
所以关于 的方程 ( ) + | 2 ― 1| = 2在(0,2)上有两个解 1， 2，
即 2 + + | 2 ― 1| = 0在(0,2)上有两个解 1， 2，
不妨设0 < 1 < 2 < 2，
( ) = 2 + + | 2 ― 1| = + 1,| | ≤ 1,令 2 2 + ― 1,| | > 1.
因为 ∈ (0,1]时， ( ) = + 1，所以 ( ) = 0在(0,1]上至多一个解，
若 1, 2 ∈ (1,2)，则 1， 2就是2 2 + ― 1 = 0的解，
从而 1 2 = ―
1
2 < 0，这与题设矛盾.
因此 1 ∈ (0,1]， 2 ∈ (1,2)，
1
由 ( 1) = 0得 = ― ，所以 ≤ ―1，1
1
= 0 = ―2 ― 7由 ( 2) 得 2，所以 2 < < ―1，2
― 7当 2 < < ―1时，方程 ( ) + |
2 ― 1| = 2在(0,2)上有两个解.
1 1 1 1
（ii）由 = ― 和 = ―2 2消去 得 +1 2 1 = 2 ，2 2
1 1
因为 2 ∈ (1,2)，所以2 < +1 < 4.2
【点睛】关键点点睛：令 ( ) = 2 + + | 2 ― 1| = + 1,| | ≤ 1,2 2 + ― 1,| | > 1. 去掉绝对值号，根据一次函数及
二次函数的图象与性质，分析函数零点，求出参数 的取值范围是解题的关键.
18.已知函数 ( ) = 2 ―2 + 1．
1
(1)当 = 2， ∈ [0,2]时，求函数 ( )的值域；
(2)当 = 1时
(2 )
（ⅰ）若不等式 4 ≥ 对任意的 ∈ [1, + ∞)恒成立，求实数 m 的取值范围；
（ⅱ）若函数 ( ) = (|log2 |) ― (|log2 | ― 1)有 3 个零点，求实数 k 的值．
【答案】(1)[34,3]；
≤ 1(2)（ⅰ） 4；（ⅱ） ―1.
【分析】（1）求出二次函数在闭区间上的最值即可得函数的值域.
（2）（ⅰ）令2 = ≥ 2，求出关于 的函数的最小值即可；（ⅱ）由 ( ) = 0求出|log2 |，再由零点个数求
出 值.
1 2
【详解】（1）当 = 2时， ( ) =
2 ― + 1 = ( ― 1 ) + 3
2 4，
当 ∈ [0,2]时， ( )min = (
1 3
2) = 4， ( )max = (2) = 3，
所以函数 ( ) 3的值域为[4,3].
（2）（ⅰ）当 = 1时， ( ) = 2 ―2 + 1，
2
当 ∈ [1, + ∞) (2 )时，令2 = ≥ 2， 4 =
( ) = 1 ― 2 + 1 2 2 = (1 ―
1 ) ，0 < 1 ≤ 1 2，
1 1 1 2= = 2 [(1 ― ) ] = 1 (2
) 1 1
于是当 2，即 时， 4，即 4 在
∈ [1, + ∞)的最小值为4，则 ≤min 4，
m ≤ 1所以实数 的取值范围是 4.
（ⅱ）依题意， ( ) = |log2 |2 ―2|log2 | + 1 ― |log2 | + = (|log2 | ― 1)(|log2 | ― ― 1)，
由 ( ) = 0，得|log 12 | = 1或|log2 | = + 1，由|log2 | = 1，解得 = 2或 = 1，
1
显然2和 1 是函数 ( )的两个零点，由函数 ( )有 3 个零点，知 + 1 ≠ 1，
因此|log2 | = + 1只有 1 个根，则 + 1 = 0，解得 = ―1，
所以实数 k 的值为 ―1.
19．已知函数 ( ) = 3 ―4 + 3 2．
(1)当 = 1 5时，求 ，并判断函数 ( )零点的个数；
4
2
(2) 1 2当 ∈ ,1 时， ( )有三个零点 1, 2, 3,( 1 < 2 < 3)，记 ― = 3 ， = 1，2，3．证明：①2 < 3 1
+2 2 +3 3 < 5
11
；② 1 3 + 2 3 < 81．
参考公式：( ― 1)( ― 2)( ― 3) = 3 ― ( 1 + 2 + ) 23 + ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ― 1 2 3．
【答案】(1)3
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）用零点的定义直接转化为方程的根，或者根据零点的存在性定理判断即可．
（2）①先运用零点知识确定 1, 2, 3范围，再运用不等式的性质算出即可.
2
②由 3
2
―4 +3 2 = 0
― 4 变形为 2 3 + 3 = 0，综合 = ―
2 = 4―3 ，将
3 9 转化为
，然后将证明 的

式子转为研究 的关系式，充分运用前问证明的 1 + 2 + 3 = 0进行消元，再用 ―3 < 1 < 0 < 2 < 1 < 3
< 2范围，即可证明．
【详解】（1）当 = 1时， ( ) = 3 ―4 + 3 5
3
，所以 = ― ．
4 64
( ) = 0 ( ― 1)( 2 + ― 3) = 0 = 1 ―1± 13令 可得 ，所以 或 ，2
所以函数 ( )的零点个数为 3．
5 3
法 2：当 = 1时， ( ) = 3 ―4 + 3，所以 = ―
4 64
．
又 ( ―3) = ―12 < 0， (0) = 3 > 0， (2) = 3 > 0，
所以 ( ―3) (0) < 0， (0) 5 < 0 5， (2) < 0，
4 4
由零点存在性定理知函数 ( )在区间( ―3,0)， 0, 5 5， ,2 上各有一个零点．
4 4
又三次函数最多只有三个零点，所以函数 ( )零点的个数为 3．
（2）①由题可得 1 + 2 + 3 = 0，
法 1：要证 1 +2 2 +3 3 ∈ (2,5)，只需证 2 +2 3 ∈ (2,5)．
又 ( ―3) = 3 2 +12 ― 27 < 0， (0) = 3 2 > 0， (1) = 3 2 ―4 + 1 = (3 ― 1)( ― 1) < 0，
(2) = 3 2 ―8 + 8 > 0，所以 ―3 < 1 < 0 < 2 < 1 < 3 < 2，则2 < 2 3 < 4，
所以2 < 2 +2 3 < 5，得证；
法 2：要证 1 +2 2 +3 3 ∈ (2,5)，只要证 3 ― 1 ∈ (2,5)．又 ( ―3) = 3 2 +12 ― 27 < 0，
( ―1) = 3 2 +4 ― 1 > 0， (1) = 3 2 ―4 + 1 = (3 ― 1)( ― 1) < 0， (2) = 3 2 ―8 + 8 > 0，
所以 ―3 < 1 < ―1 < 2 < 1 < 3 < 2，则2 < 2 3 < 4，所以2 < 2 +2 3 < 5，得证；
②由题可得 3 2 2 ―4 +3 = 0，由前面知道 ≠ 0，两边除以所以3 ，
2 4 2 2 4―3
得到 2 ― 3 + 3 = 0，所以 = ― = 3 9 ．
4―3 1 4―3 2 4―3 3 4 1+ 2+ 3 4
所以 1 + 2 + 3 = 9 + 9 + 9 = 3 ― 3 = 3．
因为 3 > 1
4―3 3 1
，所以 3 = 9 < 9．
所以 1 3 + 2
1 11
3 = ( 1 + 2) 3 =
4 ― 4 13 3 < ― 9 = 81，得证．3 3 9
【点睛】关键点睛：本题围绕零点和方程的根来进行考查，第一问可解，可用存在性定理证明，也可以借
助图像解出．第二问也是考查零点与不等式的综合，得出 ―3 < 1 < ―1 < 2 < 1 < 3 < 2．最后一问关键
3 2
2
是将 ―4 +3 2
4 = 0 2 4―3 变形为 2 ― 3 + = 0，结合 = ― = ，将 转化为 3 3 9 ，然后将证明 的
式子转化为研究 的关系式． 1 + 2 + 3 = 0 + + =
4 ― 1+ 2+ 3 = 4， 1 2 3 3 3 3，再将 1 3 + 2 3 = ( 1 + 2)
3，消元即可得到关于 3的式子，根据 3的范围证明即可，考查学生的能力和转化、换元、消元、逻辑推
理能力，属于难题．4.4.1 方程的根与函数的零点
课程标准 学习目标
（1）理解函数零点的概念;
（1）结合学过的函数图象, 了解函数零点与方
（2）掌握函数零点存在性定理.；
程解的关系。
（3）掌握函数与方程思想（难点)
知识点 01 函数的零点
对于函数 = ( )，使 ( ) = 0的实数 叫做函数的零点.
注 零点是个数，不是个点.
【即学即练 1】
函数 = 3 2 + ― 2的零点为（ ）
― 2 ―1 2 1 1A．1， 3 B． ，3 C．2， ― 3 D． ―2，3
知识点 02 方程根与函数零点的关系
1 方程根与函数零点的关系
方程 ( ) = 0 有实数根 0
函数 = ( )有零点 0
函数 = ( )的图象与 轴有交点，且交点横坐标为 0.
如 方程2 ―4 = 0的实数根是 = 2，
函数 ( ) = 2 ―4与 轴的交点横坐标是2，
函数 ( ) = 2 ―4的零点是2，而不是(2 , 0).
2 拓展
方程 ( ) = ( )有实数根 0 函数 = ( )与函数 = ( )有交点，且交点横坐标为 0.
3 求函数零点方法
① (代数法) 求方程 ( ) = 0的实数根.
② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
【即学即练 2】
( ) = + 2
, ≤ 1
已知函数 ― + 4, > 1 ，若方程 ( ) = 有两个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A．( ―∞,1) B．( ―∞,3) C．(1,3) D．(3, + ∞)
知识点 03 函数零点存在定理
如果函数 = ( )在[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0，那么函数 = ( )在( , )至少有一个零
点 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，这个 也就是方程 ( ) = 0的解.
【即学即练 3】
研究函数 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上的零点个数.
【题型一：求函数的零点】
例 1．函数 = 4 ― 2 +3 +16的零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．(2,0)
变式 1-1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A． = | | B． = 2 2 ―3 C． = 3 ― D． =
3

变式 1-2．函数 ( ) = log3( ― 1) ―2的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
变式 1-3 1．已知定义在R上的函数 ( )为单调函数，且对任意 ∈ R，恒有 ( ( ) ― 2 ) = ― 2，若 ( 0) = 0，
则 0的值是（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
【方法技巧与总结】
1 对于函数 = ( )，使 ( ) = 0的实数 叫做函数的零点.零点是个数，不是个点；
2 求或判断函数y = ( )的零点的方法：（1）求解方程 ( ) = 0，（2）数形结合，看函数图像与x轴交点.
【题型二：根据函数零点求参数】
例 2．关于 的函数 = 2 ―2 ― 8 2( > 0)的两个零点为 1, 2，且 2 ― 1 = 15，则 ＝（　　）
5 7
A．2 B．2
15 15
C． 4 D． 2
2-1 ( ) = {log2( + ), ≥ 2变式 ．已知 12 是函数 2 , < 2 的一个零点，则 [4 (19)]的值是（ ）
A．1 B．0 C．2 D． 2+1
变式 2-2．已知函数 ( ) = ― e ln 存在两个零点 1， 2，且满足 2 = 2 1，其中 e 为自然对数的底数，则
实数 t 的值为（ ）
1 2 1 2
A．ln2 B．ln2 C．eln2 D．eln2

变式 2-3．关于函数 ( ) = 2 ― ,0 ≤ < 2 ― , ≥ 2 ，其中 ， ∈ R，给出下列四个结论：
甲：6 是该函数的零点；
乙：4 是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为 0；
5
丁：方程 ( ) = 2有两个根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【方法技巧与总结】
若m是函数 ( )零点，则得到方程 ( ) = 0或明确函数与x轴交点的位置.
【题型三：零点存在性定理的应用】
―
例 3．函数 ( ) = 1 ―
3
+ 2 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 的取值范围是（ ）
A．(1, + ∞) B 5 5 5． ― ,1 C． ―∞, ― ∪ (1, + ∞) D． ―∞, ―
2 2 2
变式 3-1．函数 ( ) = 3 + 2 ―50的零点所在区间为（ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
变式 3-2．函数 ( ) = log2 + 2 + 在区间(2,4)上存在零点，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―∞, ― 18) B．(5, + ∞)
C．(5,18) D．( ―18, ― 5)
变式 3-3．若方程( ― 1)lg( + 1) = 1的实根在区间( , + 1)( ∈ Z)上，则 = （ ）
A． ―1 B．2 C． ―1或 2 D．1
【方法技巧与总结】
1 如果函数 = ( )在[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0，那么函数 = ( )在( , )至少有一个
零点 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，这个 也就是方程 ( ) = 0的解.
2 若连续函数具有单调性，则函数最多只有一个零点，若在某[ , ]上满足 ( ) ( ) < 0，则该函数只有一
个零点.
【题型四：根据函数零点的个数求参数范围】
4 2
― , < 1
例 ．若函数 ( ) = ( ― ), ≥ 1 恰有2个零点，则 的取值范围是 （ ）
A．( ― ∞ ， 1 ) B．(0 ， 2 ) C．( 0 ， + ∞) D．[ 1 ， 2 )
变式 4-1．已知函数 ( ) = 2| | + 2 + 有唯一的零点，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
―
变式 4-2．已知函数 ( ) = 2 > 0 2 + + 1 ≤ 0 若函数 ( ) = ( ) ― 有三个不同的零点，则实数 的取值范
围是（ ）．
A 3 ,1 B 3． ． ,1 C 3． ,1 D 3． , + ∞
4 4 4 4
变式 4-3．已知 ( ) = |e ― 1| ―1，若函数 ( ) = [ ( )]2 ― ( ) ―1有三个零点，则 的取值范围为（ ）
A．(0, + ∞) B．( ―1,0) ∪ (0, + ∞) C．( ―1,0) ∪ (0,1) D．(1, + ∞)
【方法技巧与总结】
1 理解方程与函数间的关系，
方程 ( ) = 0 有实数根 0
函数 = ( )有零点 0
函数 = ( )的图象与 轴有交点，且交点横坐标为 0.
2 方程 ( ) = ( )有实数根 0 函数 = ( )与函数 = ( )有交点，且交点横坐标为 0;
3 问题转化为函数问题，则多利用数形结合的方法求解.
【题型五：二次函数零点的分布问题】
例 5．已知关于 x 的方程 2 +2( ― 1) + 2 + 6 = 0．
(1)若方程有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小，求实数 m 的取值范围；
(2)若方程有两个实根 α，β，且满足0 < < 1 < < 4，求实数 m 的取值范围；
变式 5-1．若函数 ( ) = ―3 2 +4 ― 1在区间( ―1,1)内恰有一个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A ― 5． ,1 B． ― 5 , 4 C． ― 5 ,1 ∪ 4 D． ― 2 ,1 ∪ 4
3 3 3 3 3 3 3
变式 5-2．已知函数 ( ) = 2 ― + 2在区间(1,2)有零点，则 的取值范围是 .
变式 5-3．设函数 ( ) = 2 ― (2 + 1) + 2 ―2( ∈ [ ―2, + ∞))
(1)当 = 1时，对 ∈ [0,2], ( ) > 恒成立，求 m 的取值范围；
(2)若函数 ( )在 ∈ [2, + ∞)时有两个零点，求两个零点之间距离的最小值，并求此时 a 的值．
【方法技巧与总结】
二次函数零点的分布问题，某些题型可用一元二次方程的韦达定理求解或分类参数法等方法，更一般的方
法是利用二次函数的图象进行分析求解（多考虑二次函数的开口方向、对称性、判别式、一些特殊点等
等）
【题型六：比较零点大小】
例 6．已知 + e = e, + 3 = e，则（ ）
A．1 < < < e B．1 < < < e
C．0 < < < 1 D．0 < < < 1
变式 6-1．设 > 0，函数 = 2 + ― 7, = 2 + ― 7, = log2 + ― 7的零点分别为 , , ，则（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <
变式 6-2．若 e = ln = lg = 1，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． < < B． < < C． < < D． < <

变式 6-3 1．（多选）已知实数 1, 2是函数 ( ) = ―2 |log2( ― 1)|的两个零点，则下列结论正确的是
（ ）
A．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈ 0,
1 B．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈
1 ,1
2 2
C．( 1 ― 1)( 2 ― 1) ∈ (1,2) D．( 1 ― 2)( 2 ― 2) ∈ ( ―∞,0)
【题型七：嵌套函数零点问题】
7 ∈ | ― 1|, ≥ 0例 ．设 ，函数 ( ) = ― 2 + , < 0 ，当 = 1时，函数 = ( ( ))有 个零点；若函数 =
( ( ))恰有 3 个零点，则实数 的取值范围为 ．
变式 7-1．(多选)已知 > > > 0，定义域和值域均为[ ― , ]的函数 = ( )和 = ( )的图像如图所
示，给出下列四个结论，正确结论的是（ ）
A．方程 [ ( )] = 0有且仅有三个解 B．方程 [ ( )] = 0有且仅有二个解
C．方程 [ ( )] = 0有且仅有五个解 D．方程 [ ( )] = 0有且仅有一个解
变式 7-2． = ( )满足 (2 ― )= ( )，且当 ≥ 1时， ( ) = 2 ―4 + 3
1
，则方程 [ ( )] = ― 2的所有根
之和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2 + , ≤ 0,
变式 7-3．已知函数 ( ) = ― , > 0. 若 ( ( )) = 1恰有三个不同实根，则 的取值范围是（ ）
A． ―1, 1― 5 B． ―1, 5―3
2 2
C． 3― 5 ,1 D． 5―1 ,1
2 2
【方法技巧与总结】
求解复合函数 = ( ( ))的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：
1、先换元解“套”，令 = ( )，则 = ( )，再作出 = ( )和 = ( )的图象；
2、由函数 = ( )的图象观察有几个 的值满足条件，结合 的值观察 = ( )的图象，求出每一个 被 对
应，将 的个数汇总后，即为 = ( ( ))的根的个数，即“从外到内”.
3、由零点的个数结合 = ( )与 = ( )的图象特点，从而确定 的取值范围，进而决定参数的范围，即“从
内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.
【题型八：函数零点的综合问题】
例 8 = 1．已知函数 ( ) 2 + ．
(1)是否存在 ∈ ，使得 ( ) + (2 ― )为定值，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由；
(2) 1若 = 1，方程| ( ) ― | = ( )( ∈ )有两个根 1， 2，且 1 < 0， 2 > 0，求 1 + 2的取值范围．2
变式 8-1．已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ，且 ―3 < ( ―1) = (1) = (2) ≤ 0，则 的取值范围是 .
变式 8-2．函数 ( ) = + log2 ― 4的零点为 1，函数 ( ) = + log ( ― 1) ―5( > 1)的零点为 2，若 2 ―
1 > 1，则实数 的取值范围是（ ）
A．(1, 2) B．(1,2) C．( 2, + ∞) D．(2, + ∞)
变式 8-3．函数 ( ) = e ( ― 1) ― ― 1的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
变式 8-4．若实数 ， 满足 e = 2， ln = 2，则 = （ ）
A．e 1B．1 C．2 D．2
变式 8-5．已知函数 ( ) = log (2 2 + ) ― ．
(1)若 (2) < 0，求 的取值范围；
(2)若 ( ) = 有两个不相等的实根 1, 2，且 1 < 2
①求 的取值范围；
②证明： ( 1 + 1) + ( 2 ― 1) < ―1．
一、单选题
1．已知函数 = 2 2 + + 的两个零点分别为 ―2，1，则函数的解析式为（ ）
A． = 2 2 ―2 ― 4 B． = 2 2 +2 ― 4
C． = 2 2 ―2 + 4 D． = 2 2 +2 + 4
2.函数 ( ) = 2 +4ln ― 10的零点所在区间为（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
1, > 0
3.已知符号函数sgn( ) = 0, = 0 ，则函数 ( ) = sgn(2ln ) ― ln(2 ― 1)的零点个数为（ ）
―1, < 0
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知函数 ( ) = min 1 + 2 ,log 2 ，若函数 ( ) = ( ) ― 恰有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A．(0,1) B．(0,1] C．[1,2) D．(1,2)
5.已知函数 ( )的定义域为 R，且 ( ) = (2 ― )．若函数 ( ) = ( ) + | 2 ― 2 |有唯一零点，则 (1) =
（ ）
A． ―1 B．0 C．1 D．2
6.已知 1是函数 ( ) = + 1 + ln( + 2)的零点， 2是函数 ( ) = 2 ―2 + 4 + 4的零点，且满足| 1 ―
2| ≤ 1，则实数 的最小值为（ ）
A． ―2 B． ―1
C．0 D．1
7.已知函数 ( ) = 2 + ， ( ) = log2 + ， ( ) = 3 + 的零点分别为 a，b，c，则（ ）
A． > > B． > >
C． > > D． > >
8. ( ) = |log2 |,0 < ≤ 2已知函数 2 ― 6 + 9, > 2 ，若方程 ( ) = 有四个不同的零点 1， 2， 3， 4且 1 < 2 < 3 <
4，则下列结论错误的是（ ）
A．0 < < 1 B．2 1 + 2 ≥ 2 2
C． 1
9
2 + 3 + 4 = 6 D．3 < 1 +2 2 < 2
二、多选题
9 2．下列区间上，函数 ( ) = ln( + 1) ― 有零点的是（ ）
A ( ― 1,0) B 0, 1 C 1． ． ． ,1 D．(1, + ∞)
2 2
2
10. ( ) = ( ― 1) ― 4, < 已知函数 ln( ― 1), > > 1 ，下列叙述正确的有（ ）且
A．若 < ―1，则 ( )只有一个零点
B．若 > ―1，则 ( )有两个零点
C．若 = 2，则方程2[ ( )]2 +5 ( ) = 0有两个实根
D．若 = 1，则方程[ ( )]2 +8 ( ) ― = 0有两个实根
11.已知方程e + = 0与 + ln = 0的根分别为 1, 2，则下列说法正确的是（ ）
1
A． 1 + 2 = 0 B．2 < 2 < 1
C．ln 2 = 1 D．4 1 2 ―1 > 2( 1 ― 2)
三、填空题
12．已知方程lg = 3 ― 的解所在区间为( , + 1)( ∈ N*)，则 = .
13.已知函数 ( ) = 2 ―2 + 2 ―1的两个零点都在 ―2，4 内，则实数 的取值范围为 ．
14.已知偶函数 ( )满足 ( + 1) = ( ― 1)，当 ∈ [ ―1,0]时， ( ) = 2，方程 ( ) ― log | | = 0有 10 个
根，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
15．已知集合 = { | 2 +(2 ― 2) ― 2 + 3 = 0}, = { | ―3 < < 2 }，且 ∩ = ，求实数 的取值范
围.
16.已知函数 = ( )，其中 ( ) = | 2 ― 2 ― 3|．
(1)直接写出 ( )的零点；
(2)讨论关于 x 的方程 ( ) = 的解的个数；
(3)若方程 ( ) = 有四个不同的根 1， 2， 3， 4，直接写出这四个根的和．
17.已知 ( ) = 2 + + 2, ∈ .定义点集 与 = ( )的图象的公共点为 在 ( )上的截点.
(1)若 = ―1, = {( , )∣ = 3, ∈ }, 在 ( )上的截点个数为0.求实数 的取值范围；
(2)若 = 1, = {( , )∣ = 2, ∈ (0,2)}, 在 ( ) + | 2 ― 1|上的截点为( 1,2)与( 2,2).
（i）求实数 的取值范围；
1 1
（ii）证明：2 < +1 < 4.2
18.已知函数 ( ) = 2 ―2 + 1．
1
(1)当 = 2， ∈ [0,2]时，求函数 ( )的值域；
(2)当 = 1时
(2 )
（ⅰ）若不等式 4 ≥ 对任意的 ∈ [1, + ∞)恒成立，求实数 m 的取值范围；
（ⅱ）若函数 ( ) = (|log2 |) ― (|log2 | ― 1)有 3 个零点，求实数 k 的值．
19．已知函数 ( ) = 3 ―4 + 3 2．
(1)当 = 1时，求 5 ，并判断函数 ( )零点的个数；
4
2
(2)当 ∈ 1 ,1 时， ( )有三个零点 1, 2, 3,( 1 < 2 < 3)
2
，记 ― = 3 ， = 1，2，3．证明：①2 < 3 1
+2 2 +3 3 < 5；② 1 3 +
11
2 3 < 81．
参考公式：( ― 1)( ― 2)( ― 3) = 3 ― ( 1 + 22 + 3) + ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ― 1 2 3．

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