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4.4.2 计算函数零点的二分法
课程标准 学习目标
（1）结合具体连续函数及其图象的特点, 了解
函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似
（1）理解二分法的概念;
解的思路并会画程序框图, 能借助计算工
（2）会用二分法求方程近似解.（难点)
具用二分法求方程近似解, 了解用二分法求方
程近似解具有一般性。
知识点 01 二分法的概念
对于在区间[ , ]上连续不断且 ( ) ( ) < 0的函数 = ( )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使
区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
解释 求 ( ) = 2 ― ―2， ( ) = 2 ―1的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数 ( ) = 3 + 2 ―1
或 ( ) = + ― 2的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想
到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础.
【即学即练 1】
下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． = 2 B． = ( ― 2)2 1C． = + ―3 D． = ln
【答案】B
【分析】依次判断各个选项中函数的零点及在零点左右两侧函数值是否异号即可.
【详解】对于 A， = 2 有唯一零点 = 0，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；
对于 B， = ( ― 2)2有唯一零点 = 2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；
1
对于 C， = + ―3有两个不同零点 =
3± 5，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零
2
点；
对于 D， = ln 有唯一零点 = 1，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.
故选：B.
知识点 02 用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间[ , ]，验证 ( ) ( ) < 0，给定精确度 ；
(2) 求区间( , )的中点 ;
(3) 计算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 则 就是函数的零点；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
(4) 判断是否达到精确度 ：即若| ― | < ，则得到零点近似值为 (或 )；否则重复(2)~(4)
解释
（1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0；
（2）所选的区间[ , ]的范围尽量小，且 ( ), ( )比较容易求;
(3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算.
【即学即练 2】
用二分法求函数 ( ) = 5 +7 ― 2的一个零点的近似值，其参考数据如下：
x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875
( ) -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647
根据上述数据，可得 ( ) = 5 +7 ― 2的一个零点近似值（误差不超过 0.025）为（ ）
A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125
【答案】B
【分析】根据二分法的性质即可求解.
【详解】已知 (0.09375) < 0， (0.125) > 0，则函数 ( )的零点的初始区间为[0.09375，0.125]，
所以零点在区间[0.09375,0.125]上，|0.125 ― 0.09375| = 0.03125 < 0.025 × 2，
0.125+0.09375
所以 2 = 0.109375可以作为 ( )的一个零点近似值，
故选：B
【题型一：用二分法求近似解的条件】
例 1．下列方程中不能用二分法求近似解的为（ ）
A．ln + = 0 B．e ―3 = 0
C． 3 ―3 + 1 = 0 D．4 2 ―4 5 + 5 = 0
【答案】D
【分析】利用二分法的定义一一判定即可.
【详解】根据二分法的要求，在( , )上，有 ( ) ( ) < 0才能用二分法，
A ( ) = ln + 1对于 ，显然 在定义域上单调递增，且 = ―1 +
1
e < 0, (1) = 1 > 0，e
可以使用二分法，故 A 错误；
对于 B， ( ) = e ―3 在定义域上连续，
有 (0) = 1 > 0, (1) = e ―3 < 0, (2) = e2 ―6 > 0，可以使用二分法，故 B 错误；
对于 C， ( ) = 3 ―3 + 1在定义域上连续，
且有 ( ―2) = ―1 < 0, (0) = 1 > 0, (1) = ―1 < 0, (3) = 19 > 0，
可以使用二分法，故 C 错误；
2
对于 D，4 2 ―4 5 + 5 = 2 ― 5 = 0 = 5，2
且 ( ) = 4 2 ―4 5 + 5只有一个零点，故不可以使用二分法，故 D 正确.
故选：D
变式 1-1．下列函数图象与 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二分法的要求结合零点存在性定理分析判断.
【详解】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即 ( ) ( ) < 0成立，
对比选项可知：ACD 均符合，
但选项 B： ( ) ( ) ≥ 0恒成立，不满足零点存在性定理，故 B 错误.
故选：B.
变式 1-2．下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　）
A． ( ) = 2 B． ( ) = 2 +2 2 + 2
C． 1( ) = + ―3 D． ( ) = ln + 3
【答案】B
【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于 A， ( ) = 2 有唯一零点 = 0，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于 B， ( ) = 2
2
+2 2 + 2 = ( + 2) 有唯一零点 = ― 2，
2
但 = ( + 2) ≥ 0恒成立，故不可用二分法求零点；
对于 C， ( ) = +
1
―3有两个不同零点 =
3± 5，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零
2
点；
对于 D， ( ) = ln + 3有唯一零点 = e―3，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1 对于在区间[ , ]上连续不断且 ( ) ( ) < 0的函数 = ( )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2 不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号.
【题型二：用二分法求近似解的过程】
例 2．用二分法求函数 ( ) = ln( + 1) + ― 1 1在区间 ,1 上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区
2
间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
1 1
【分析】由于长度等于1 ― 2 = 2的区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过 ( ∈
)
1 1
次操作后，区间长度变为2 +1，若要求精确度为 0.01 时则2 +1 < 0.01，解不等式即可求出所需二分区间的最
少次数.
1 1
【详解】因为开区间 ,1 的长度等于2，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，2
1
所以经过 ( ∈ )次操作后，区间长度变为2 +1，
1
令 2 +1 < 0.01，解得 ≥ 6，且 ∈ ，故所需二分区间的次数最少为 6.
故选：B.
变式 2-1．用“二分法”求方程 3 ―2 ― 5 = 0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为 0 = 2.5，那么下一个有根
的区间是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
【答案】A
【分析】设 ( ) = 3 ―2 ― 5，其中 (2) < 0, (3) > 0，及 (2.5) < 0，即可求解．
【详解】由题意，设 ( ) = 3 ―2 ― 5，
其中 (2) = 23 ―2 × 2 ― 5 = ―1 < 0, (3) = 33 ―2 × 3 ― 5 = 16 > 0，
又由 (2.5) = (2.5)3 ―5 ― 5 = 5.625 > 0，则 (2) (2.5) < 0，
可得方程根在区间[2,2.5]．
故选：A．
变式 2-2．用二分法求方程 + lg ― 3 = 0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．[1,2] B．[2,3] C．[3,4] D．[4,5]
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算求解.
【详解】设 ( ) = + lg ― 3，显然函数图象是连续的，
则有 (1) = ―2 < 0， (2) = lg2 ― 1 < 0， (3) = lg3 > 0， (4) = 1 + lg4 > 0， (5) = 2 + lg5 > 0，
所以 (1) (2) > 0， (2) (3) < 0， (3) (4) > 0， (4) (5) > 0，
故区间[2,3]可以作为初始区间，故 A，C，D 错误.
故选：B.
变式 2-3．若 ( ) = 3 + 2 ―2 ― 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
(1) = ―2 (1.5) = 0.625
(1.25) = ―0.984 (1.375) = ―0.260
(1.438) = 0.165 (1.4065) = ―0.052
那么方程 3 + 2 ―2 ― 2 = 0的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【分析】根据二分法，结合表中数据，由于 (1.438) > 0, (1.4065) < 0，方程的一个近似根所在区间为
(1.4065,1.438)内，进而得到结果.
【详解】根据二分法，结合表中数据，
由于 (1.438) = 0.165 > 0, (1.4065) = ―0.052 < 0
所以方程 3 + 2 ―2 ― 2 = 0的一个近似根所在区间为(1.4065,1.438)
所以符合条件的解为 1.4
故选:C.
变式 2-4．用二分法求方程ln(2 + 6) +2 = 3 的根的近似值时，令 ( ) = ln(2 + 6) +2 ― 3 ，并用计算器
得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
( ) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
则由表中的数据，可得方程ln(2 + 6) +2 = 3 的一个近似解（误差不超过 0.05）为（ ）
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
【答案】B
【分析】由图表知 (1.25) (1.375) < 0，故由二分法思想再取(1.25,1.375)的中点，当区间长度小于精确
度时便得到近似解.
【详解】因为 (1.25) (1.375) < 0，故根据二分法的思想，知函数 ( )的零点在区间(1.25,1.375)内，
但区间(1.25,1.375)的长度为0.125 > 0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点 1.312 5，
两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，
又区间的长度为0.0625 < 0.1，因此 1.312 5 是一个近似解．
故选：B.
变式 2-5．在使用二分法计算函数 ( ) = 2 ―2 + ― 2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果
要求近似解的精确度为 0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据二分法的性质可知，开区间(1,2)的长度等于 1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的
1
一半，经过 次二分法计算后，区间长度变为2 ，根据精确度即可求得关于 的不等式，从而得到答案.
【详解】开区间(1,2)的长度等于 1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，
经过 1次二分法计算后，区间长度变为2 ，
又使用二分法计算函数 ( ) = 2 ―2 + ― 2的在区间(1,2)上零点的近似解时，要求近似解的精确度为 0.1，
1
所以2 ≤ 0.1，则 ≥ log10.1
1
，又16 < 0.1 <
1
8，所以log10.1 ∈ (3,4)，又 ∈ N
，故 ≥ 4，
2 2
所以接下来至少需要计算你4次区间中点的函数值．
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间[ , ]，验证 ( ) ( ) < 0，给定精确度 ；
(2) 求区间( , )的中点 ;
(3) 计算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 则 就是函数的零点；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
【题型三：用二分法求方程的近似解】
例 3．求曲线 = ln 和直线 + = 2的交点的横坐标（误差不超过 0.01）．
【答案】1.555．
【分析】将问题转化为交点的横坐标是函数 = ( ) = ln + ― 2的零点，然后利用二分法求解即可
【详解】直线方程 + = 2可改写为函数形式 = 2 ― ，于是交点的横坐标 应满足等式ln = 2 ― ，即ln
― 2 + = 0，即交点的横坐标是函数 = ( ) = ln + ― 2的零点，
由 (1) = ―1 < 0和 (2) = ln2 > 0可知 ( )在区间(1,2)内有一个零点；由 ( )单调递增可知它只有这一个零
点．用二分法计算，列表如下：
次数 ，- + + ， = ( )的近似值 区间长 ― 2
1 1 2 1.5 ―0.09 1
2 1.5 2 1.75 0.31 0.5
3 1.5 1.75 1.625 0.11 0.25
4 1.5 1.625 1.5625 0.009 0.125
5 1.5 1.5625 1.53125 ―0.04 0.0625
6 1.53125 1.5625 1.546875 ―0.02 0.03125
7 1.546875 1.5625 1.5546875 ―0.004 0.015625
得出零点的近似值为 1.555，误差不超过 0.008．因此曲线 = ln 和直线 + = 2的交点的横坐标约为
1.555．
变式 3-1．判断方程 3 ― ― 1 = 0在区间[1,1.5]内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为 0.1）
【答案】1.3
【分析】求函数 ( ) = 3 ― ― 1在区间[1,1.5]内的一个零点，利用二分法可得答案.
【详解】设 ( ) = 3 ― ― 1，
利用二分法，列表计算如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375
( ) ―1 0.875 ―0.2969 0.2246 ―0.05151 0.0826
由表中数据可得 (1.34375) > 0, (1.3125) < 0，
因为题中要求精确度为 0.1，而左右端点的近似值都为 1.3.
所以近似解为 1.3.
变式 3-2．已知函数 ( ) = + 1 ―3．
(1)判断函数 ( )在区间(1, + ∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)用二分法求方程 ( ) = 0在区间(1, + ∞)上的一个近似解（精确度为 0.1）．
【答案】(1) = ( )在(1, + ∞)单调递增，证明见解析
(2)2.6（(2.5625,2.625)内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解）
【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明；
（2）根据单调性以及零点存在性定理可知 ( )在(1, + ∞)内有且仅有一个零点 0 ∈ (2,3)，结合二分法分析
求解.
【详解】（1） = ( )在(1, + ∞)单调递增；证明如下：
1 1
, ∈ ( 2― 1)( 1 2―1)任取 1 2 (1, + ∞)，不妨设 1 < 2， ( 2) ― ( 1) = 2 ― 1 + ― = ，2 1 1 2
因为1 < 1 < 2，则 2 ― 1 > 0， 1 2 ―1 > 0， 1 2 > 0，
可得 ( 2) ― ( 1) > 0，即 ( 2) > ( 1)，
所以 = ( )在(1, + ∞)上单调递增.
( ) = + 1（2）因为函数 ―3在区间(1, + ∞)上是连续且单调的，
可知其在区间(1, + ∞)上的零点即为方程 ( ) = 0在区间(1, + ∞)上的解，
且 (2) < 0， (3) > 0，可得 ( )在(1, + ∞)内有且仅有一个零点 0 ∈ (2,3)，
在区间(1, + ∞)上利用二分法列表如下：
区间 中点 0 中点函数值 ( 0) 区间长度
5 5
(2,3)
2 = 2.5
1
2 < 0
5 11 11 1
2 ,3 4 = 2.75 4 > 0 2
5 11 21 21 1
2 , 4 8 = 2.625 8 > 0 4
5 21 41 41 1
2 , 8 16 = 2.5625 16 < 0 8
41 , 21
1 1 1 41 21
此时解在区间 ，此区间长度为16，16 < 10，满足精确度为 0.1，故区间 , ，16 8 16 8
即(2.5625,2.625)内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如 2.6 是方程 ( ) = 0在
(1, + ∞)上的一个近似解．
变式 3-3．利用计算器，求方程lg = 3 ― 的近似解（精确到0.1）.
【答案】2.6
【分析】利用二分法求方程的近似解.
【详解】求方程lg = 3 ― 的解，可以转化为求函数 ( ) = lg + ― 3的零点，
分别画出函数 = lg 和 = 3 ― 的图像，如图所示，
在两个函数图象的交点处，函数值相等，
因此，这个点的横坐标就是方程lg = 3 ― 的解.
由函数 = lg 和 = 3 ― 的图象可以发现，方程lg = 3 ― 有唯一解，记为 1，
并且这个解在区间(2,3)内，
设 ( ) = lg + ― 3，用计算器计算，
得 (2) = lg2 + 2 ― 3 ≈ ―0.69897 < 0， (3) = lg3 + 3 ― 3 ≈ 0.47712 > 0，
所以 1 ∈ (2,3)，
(2.5) = lg2.5 + 2.5 ― 3 ≈ ―0.10206 < 0，
所以 1 ∈ (2.5,3)，
(2.75) = lg2.75 + 2.75 ― 3 ≈ 0.18933 > 0，
所以 1 ∈ (2.5,2.75)，
(2.625) = lg2.625 + 2.625 ― 3 ≈ 0.04413 > 0，
所以 1 ∈ (2.5,2.625)，
(2.5625) = lg2.5625 + 2.5625 ― 3 ≈ ―0.02884 < 0，
所以 1 ∈ (2.5626,2.625).
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，
所以原方程的近似解为 1 ≈ 2.6.
变式 3-4．已知函数 ( ) = 2 2 ―8 + + 3为 上的连续函数．
(1)若函数 ( )在区间[ ―1,1]上存在零点，求实数 的取值范围．
(2)若 = ―4，判断 ( )在( ―1,1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过 0.1 的条件下，用二分法求出
这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)[ ―13,3]；
(2) 1存在，区间为 ― ,0 .
8
【分析】（1）根据 ( ) = 2 2 ―8 + + 3，结合二次函数的图象与性质，可知 ( )在区间[ ―1,1]上单调递
减，结合条件 ( )在区间[ ―1,1] ( ―1) ≥ 0上存在零点，则有 (1) ≤ 0 ，解不等式组即可求出实数 的取值范围；
（2）当 = ―4时，得 ( ) = 2 2 ―8 ― 1，可知 ( )在区间( ―1,1)上单调递减，并求得 ( ―1) (1)
< 0，根据零点存在性定理可知 ( )在( ―1,1)上存在唯一零点 0，最后利用二分法和零点存在性定理，求
出在误差不超过 0.1 的条件下的零点所在的区间.
【详解】（1）解： ∵ ( ) = 2 2 ―8 + + 3为二次函数，开口向上，对称轴为 = 2，
可知函数 ( )在区间[ ―1,1]上单调递减，
∵ ( ) [ ―1,1] ∴ ( ―1) ≥ 0在区间 上存在零点， (1) ≤ 0 ，
2 + 8 + + 3 ≥ 0
即 2 ― 8 + + 3 ≤ 0 ，解得： ―13 ≤ ≤ 3，
∴实数 的取值范围是[ ―13,3]．
（2）解：当 = ―4时， ( ) = 2 2 ―8 ― 1为二次函数，开口向上，对称轴为 = 2，
所以 ( )在区间( ―1,1)上单调递减，
∴ ( ―1) = 9， (1) = ―7，则 ( ―1) (1) < 0，
∴函数 ( )在( ―1,1)上存在唯一零点 0，
又 ( )为 上的连续函数，
∵ (0) = ―1 < 0，∴ ( ―1) (0) < 0，∴ 0 ∈ ( ―1,0)，
∵ 1 = 7― 2 > 0，∴ ―
1 (0) < 0，∴ 0 ∈ ― 1 ,0 ，2 2 2
∵ ― 1 =
9 1
8 > 0，∴ ― (0) < 0，∴ 0 ∈ ―
1 ,0 ，
4 4 4
∵ 1― 1 = 32 > 0，∴ ―
1 (0) < 0，∴ 0 ∈ ― 1 ,0 ，8 8 8
此时误差为|―1―08 | = 116 < 0.1，即满足误差不超过 0.1，2
∴ 1零点所在的区间为 ― ,0 ．
8
【方法技巧与总结】
1 二分法求零点区间：( 1, 2)中 ( 1) ( 2) < 0取
1+ 2
3 = 2 ，并确定 ( 3)符号，若 ( 1) ( 3) < 0在( 1, 3
)继续上一步骤；若 ( 3) ( 2) < 0在( 3, 2)继续上一步骤，直到得到合适区间;
2 所选的区间[ , ]的范围尽量小，且 ( ), ( )比较容易求;
3 利用二分法时，满足精确度便可停止计算.
【题型四：二分法思想的其他应用】
例 4．在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为 A)到某指挥部(设为 B)的电话线路有一处发生了故障.这是一
条10km长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段小段地查找,困难很多,每查一小段需要很
长时间.
(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50m ―100m,最多要查多少次
【答案】（1）见解析（2）7 次
【解析】（1）运用“二分法”的原理进行查找，即可得出结论．
1
（2）二分法求方程的近似解的定义和方法，由10000 × 1002 且 ∈
，求得 的最小值，从而得出
结论．
【详解】解:(1)如图所示,他首先从中点 C 查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现 段正常,可断定故障
在 段,再到 段中点 D 查,这次若发现 段正常,可断定故障在 段,再到 段中点 E 来查,依次类推即可.
1 1 (2)每一次二等分，区间长度变为原来的2，由10000 × 100 且 ∈

2 ，
解得 7，
故每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此最多查7次就够了.
【点睛】本题主要考查用二分法求方程的近似解的定义和方法，属于基础题．
变式 4-1．在 12 枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天
平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币.
【答案】3
【分析】写出利用天平最少 3 次找到那枚假币的过程即得解.
【详解】将 12 枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那 6 枚金币里面，将这 6 枚平均分成两
份，
则假币一定在轻的那 3 枚金币里面，将这 3 枚金币任拿出 2 枚放在天平上，
若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．
依据上述分析，最少称 3 次就可以发现这枚假币．
故答案为：3．
变式 4-2．一块电路板的 AB 线路之间有 100 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，
要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（ ）
A．4 次 B．6 次 C．7 次 D．50 次
【答案】C
【分析】由题意，根据二分法的思想，即可得出结论.
【详解】第一次，可去掉 50 个结果，从剩余的 50 个中继续二分法；
第二次，可去掉 25 个结果，从剩余的 25 个中继续二分法；
第三次，可去掉 12 或 13 个结果，考虑至多的情况，所以去掉 12 个结果，从剩余的 13 个中继续二分法；
第四次，可去掉 6 或 7 个结果，考虑至多的情况，所以去掉 6 个结果，从剩余的 7 个中继续二分法；
第五次，可去掉 3 或 4 个结果，考虑至多的情况，所以去掉 3 个结果，从剩余的 4 个中继续二分法；
第六次，可去掉 2 个结果，从剩余的 2 个中继续二分法；
第七次，可去掉 1 个结果，得到最终结果.
所以最多需要检测 7 次.
故选：C
变式 4-3．现有 12 个小球，从外观上看完全相同，除了 1 个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相
同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
【答案】答案见解析
【分析】先在天平左右各放4球，然后根据出现的情况进行分类讨论，从而确定“坏球”.
【详解】第一次，天平左右各 4 球．有两种情况：
（1）若平，则“坏球”在剩下的 4 球中，第二次，取此 4 球中的 3 球为一边，取 3 个好球为另一边，放在天
平上．
①若仍平，则“坏球”为 4 球中未取到的那个球．将此球与 1 个好球放上天平一称，即知“坏球”是轻还是
重．
②若不平，则“坏球”在一边 3 球之中，且知是轻还是重．从含坏球的三球中任取其中 2 球放在天平上，无
论平还是不平，均可确定“坏球”．
（2）若不平，则“坏球”在天平上的 8 球中，不妨设右边重．
从右边 4 球中取出 3 球，置于一容器内，然后从左边 4 球中取 3 球移入右边，再从外面好球中取 3 个补入
左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内 3 球之一且偏重．
②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的 3 球之一，并且偏轻．
③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个（左右各一），“坏球”是其中之一
（暂不知是轻还是重）．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
变式 4-4．求3 3的近似值（精确度为 0.1，参考数据：1.3753 ≈ 2.5996，1.43753 ≈ 2.9705）．
【答案】1.4375
【分析】求3 3的近似值可转化为求函数 ( ) = 3 ―3的零点的近似值，可用二分法求得．
【详解】令3 3 = ，则 3 = 3．
令 ( ) = 3 ―3，则3 3就是函数 ( ) = 3 ―3的零点．
因为 (1) = ―2 < 0， (2) = 5 > 0，
所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算．
列表如下：
零点所在区
端点（中点） （端点）中点函数值或近似值
间
1，2 (1) = ―2， (2) = 5 (1,2)
1 + 2
1 = = 1.5 ( 1) = 0.375 (1,1.5)2
1 + 1.5
2 = ( 2 = 1.25 2
) ≈ ―1.047 (1.25,1.5)
1.25 + 1.5
3 = = 1.375 ( 3) ≈ ―0.4 (1.375,1.5)2
1.375 + 1.5
4 = = 1.4375 ( 4) ≈ ―0.03 (1.4375,1.5)2
由于|1.5 ― 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以3 3的近似值可取为 1.4375．
一、单选题
1．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（ ）
A．用二分法求方程的近似解一定可以得到 ( ) = 0在[ , ]内的所有根
B．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]内的重根
C．用二分法求方程的近似解有可能得出 ( ) = 0在[ , ]内没有根
D．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]内的精确解
【答案】D
【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.
【详解】利用二分法求方程 ( ) = 0在[ , ]内的近似解，即在区间[ , ]内肯定有根存在，而对于重根无法
求解出来，且所得的近似解可能是[ , ]内的精确解．
故选：D.
2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A．log2 + = 0 B．e + = 0 C． 2 ―2 + 1 = 0 D． + ln = 0
【答案】C
【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验
各选项即可得出结论.
1
【详解】对于 A， ( ) = log 12 + 在(0, + ∞)上单调递增，且 = ―1 + 2 < 0, (1) = 1 > 0，2
可以使用二分法，故 A 错误；
对于 B， ( ) = e + 在 R 上连续且单调递增，且 (0) = 1 > 0, ( ―1) = e―1 ―1 < 0，可以使用二分法，
故 B 错误；
对于 C， 2 ―2 + 1 = ( ― 1)2 ≥ 0，故不可以使用二分法，故 C 正确；
对于 D， ( ) = + ln 在(0, + ∞) 1 1上单调递增，且 = ―1 < 0, (1) = 1 > 0，
e e
可以使用二分法，故 D 错误.
故选：C
3.用二分法求函数 ( ) = 3 +5的零点可以取的初始区间是（ ）
A．[ ―2,1] B．[ ―1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
【答案】A
【分析】由函数单调性判断各区间端点函数值正负情况，结合零点存在性定理即可得答案.
【详解】由 ( ―2) = ―3, ( ― 1) = 4, (0) = 5, (1) = 6, (2) = 13，且 ( )在定义域上递增，
所以区间[ ―1,0]、[0,1]、[1,2]对应函数都为正，只有区间[ ―2,1]中函数值有正有负.
故选：A
4.用二分法求方程 3 ―2 ― 5 = 0在区间[2,3]内的实根，下一个有根区间是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
【答案】A
【分析】设 ( ) = 3 ―2 ― 5，其中 (2) < 0, (3) > 0，及 (2.5) < 0，求得 (2) (2.5) < 0，即可求解．
【详解】由题意，设 ( ) = 3 ―2 ― 5，
其中 (2) = 23 ―2 × 2 ― 5 = ―1 < 0, (3) = 33 ―2 × 3 ― 5 = 16 > 0，
又由 (2.5) = (2.5)3 ―2 ― 5 = 5.625 > 0，则 (2) (2.5) < 0，
可得方程根在区间[2,2.5]．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二分法的应用，其中解答中熟记二分法的概念，以及合理应用零点的存在定理是
解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5.利用二分法求方程log3 = 3 ― 的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】C
【分析】设 ( ) = log3 ― 3 + ，根据当连续函数 ( )满足 （a）· （b） < 0时， ( )在区间( , )上有零
点，即方程log3 = 3 ― 在区间( , )上有解，进而得到答案．
【详解】解：设 ( ) = log3 ― 3 + ，
∵ 当连续函数 ( )满足 （a）· （b） < 0时， ( )在区间( , )上有零点，
即方程log3 = 3 ― 在区间( , )上有解，
又 ∵ （2） = log32 ― 1 < 0， （3） = log33 ― 3 + 3 = 1 > 0，
故 （2）· （3） < 0，
故方程log3 = 3 ― 在区间(2,3)上有解，
即利用二分法求方程log3 = 3 ― 的近似解，可以取的一个区间是(2,3).
故选：C．
6.已知函数 = ( )为[0,1]上的连续函数，且 (0) (1) < 0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确
度达到 0.1，则需对区间至少二分的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】区间[0,1]的长度为 1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过 次后，区间长度变成
1
2 ，据此可列出不等式．
【详解】区间[0,1]的长度为 1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，
1 1
经过 次后，区间长度变成 2 ，则2 ≤ 0.1，即 ≥ 4， ∈ N 故对区间只需要分 4 次即可．
故选：C.
7.在用二分法求函数 ( )的一个正实数零点时，经计算， (0.64) < 0, (0.72) > 0, (0.68) < 0，则函数的一
个误差不超过 0.025 的正实数零点的近似值可以为（ ）
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
【答案】C
【分析】利用二分法可得出结果.
【详解】已知 (0.64) < 0, (0.72) > 0，则函数 ( )的零点的初始区间为(0.64,0.72)，
又因为0.68 = 12 × (0.64 + 0.72)，且 (0.68) < 0，
所以零点在区间(0.68,0.72)上，
又|0.72 ― 0.68| = 0.04 < 0.05 = 2 ，
0.72+0.68
所以所求近似值可以为 2 = 0.7.
故选：C.
8.一块电路板的 线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法
的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　）
A．4次 B．6次
C．8次 D．30次
【答案】B
【分析】利用二分法可得出结果.
60
【详解】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要 次检测，则2 ≤ 1，
即2 ≥ 60，因为25 < 60 < 26，故 的最小值为6，即至少需要检测6次.
故选：B.
二、多选题
9．在用“二分法”求函数 ( )零点的近似值时，若第一次所取区间为[ ―2,4]，则第二次所取区间可能是
（ ）
A．[ ―2, ― 1] B．[ ―2,1] C．[2,4] D．[1,4]
【答案】BD
【分析】利用二分法的定义得到答案.
―2+4
【详解】由题知第一次所取区间为[ ―2,4]，取中间值 2 = 1，
则第二次所取区间可能是[ ―2,1]或[1,4].
故选：BD.
10.某同学用二分法求函数 ( ) = 2 +3 ― 7的零点时，计算出如下结果： (1.5) = 0.33， (1.25)
= ―0.87， (1.375) = ―0.26， (1.4375) = 0.02， (1.4065) = ―0.13， (1.422) = ―0.05，下列说法正确
的有（ ）
A．精确到0.1的近似值为1.375 B．精确到0.01的近似值为1.4065
C．精确到0.1的近似值为1.4375 D．精确到0.1的近似值为1.25
【答案】AC
【分析】根据二分法基本原理判断即可.
【详解】 ∵ (1.375) = ―0.26 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0，
∴ 零点在(1.375,1.4375)内，又1.4375 ― 1.375 = 0.0625 < 0.1，则 AC 正确，D 错误；
∵ (1.4065) = ―0.13 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0，|1.4065 ― 1.375| = 0.0315 > 0.01，
则 B 错误.
故选：AC.
11.教材中用二分法求方程2 +3 ― 7 = 0的近似解时，设函数 ( ) = 2 +3 ― 7来研究，通过计算列出了
它的对应值表
1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5
( ) ―0.87 ―0.26 ―0.05 0.02 0.33
分析表中数据，则下列说法正确的是：（ ）
A． > 0
B．方程2 +3 ― 7 = 0有实数解
C．若精确度到 0.1，则近似解可取为 1.375
D．若精确度为 0.01，则近似解可取为 1.4375
【答案】BC
【分析】 ( )在 R 上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间，根据二分法基本原理满足
( ) > 0， ( ) < 0，| ― | < 即可判断近似值.
【详解】∵ = 2 与 = 3 ― 7都是 R 上的单调递增函数，
∴ ( ) = 2 +3 ― 7是 R 上的单调递增函数，
∴ ( )在 R 上至多有一个零点，由表格中的数据可知： (1.422) < 0， (1.4375) > 0，
∴ ( )在 R 上有唯一零点，零点所在的区间为(1.422,1.4375)，
∴ < 0，A 错误；方程2 +3 ― 7 = 0有实数解，B 正确； (1.375) = ―0.26 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0，
1.4375 ― 1.375 = 0.0625 < 0.1，即精确度到 0.1，则近似解可取为 1.375，C 正确；
(1.422) = ―0.05 < 0， (1.4375) = 0.02 > 0， 1.4375 ― 1.422 = 0.0155 > 0.01，即精确度为 0.01，则近
似解不可取为 1.4375，D 错误.
故选：BC.
三、填空题
12．某同学在借助计算器求“方程lg = 2 ― 的近似解（精确度为 0.1）”时，他用“二分法”又取了 4 个 x 的
值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 ≈ 1.8．那么他在取的 x 的 4 个值依次
是 ．
【答案】1.5，1.75，1.875，1.8125.
【分析】根据给定条件，构造函数借助单调性，结合“二分法”的定义，求出符合要求的 4个值.
【详解】令 ( ) = lg + ― 2，则方程lg = 2 ― 的解即为函数 ( )的零点，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递
增，
(1) = ―1 < 0, (2) = lg2 > 0，取(1,2)的中点1.5， (1.5) = lg1.5 ― 0.5 < 0，得区间(1.5,2)；
取(1.5,2)的中点1.75， (1.75) = lg1.75 ― 0.25 ≈ 0.2430 ― 0.25 < 0，得区间(1.75,2)；
取(1.75,2)的中点1.875， (1.875) = lg1.875 ― 0.125 ≈ 0.2730 ― 0.125 > 0，得区间(1.75,1.875)；
取(1.75,1.875)的中点1.8125， (1.8125) = lg1.8125 ― 0.1875 ≈ 0.2583 ― 0.1875 > 0，得区间
(1.75,1.8125)，
所以在取的 x 的 4 个值依次是 1.5，1.75，1.875，1.8125.
故答案为：1.5，1.75，1.875，1.8125
13.在用二分法求方程 ( ) = 0在[0,1]上的近似解时，经计算， (0.5) < 0， (0.75) > 0， (0.625) < 0，即
可得出方程的一个近似解为 （精确度为 0.2）.
【答案】0.6875
【分析】根据二分法的计算过程即可求解.
【详解】因为|0.75 ― 0.5| = 0.25 > 0.2，|0.75 ― 0.625| = 0.125 < 0.2，
0.75+0.625
所以 2 = 0.6875可作为方程的近似解.
故答案为：0.6875.
14.已知函数 ( ) = 3 2 ―1在区间(0,1)上有唯一零点 0，如果用“二分法”求这个零点(精确度 = 0.05)的近
似值，那么将区间(0,1)等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间( , )满足| ― | < ，则可用
+
2 作为零点的近似值，由此求得 0 = .
37
【答案】 5 64
1
【分析】根据二分法的计算过程可知2 ≤ 0.05，则 ≥ 5；进而依次计算第一、二、三、四、五次的区间，
19 9 1
由32 ― 16 = 32 < 0.05即可求解.
【详解】开区间(0,1)的长度等于 1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过 ( ∈ N ) 1 1次操作后，区间长度变为2 ，故有2 ≤ 0.05，即2
≥ 20，
因为24 = 16,25 = 32，所以 ≥ 5.
故计算 5 次就可满足要求，所以将区间(0,1)等分的次数至少是 5 次.
1 1
因为 (2) < 0，所以第一次得到的区间为 2 ，1 ；
3
因为 (4) > 0 (
1
，所以第二次得到的区间为 2,
3
4)；
因为 (58) > 0
1 5
，所以第三次得到的区间为(2,8)；
因为 ( 916) < 0
9 5
，所以第四次得到的区间为(16,8)；
19
因为 (32) > 0
9 19
，所以第五次得到的区间为(16,32)，
19 9 1
因为32 ― 16 = 32 < 0.05，
9 +19
所以函数零点为16 32 = 37
2 64
.
37
故答案为：5；64.
四、解答题
15．若函数 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零点，但不能用二分法求其零点，求实数 的值.
【答案】2 或 ―1.
【分析】根据函数 ( )有零点，且不能用二分法求其零点，判断函数 ( )图象在 轴上方或下方（包括
轴），且与 轴有交点，由此讨论求出 的值．
【详解】由题意得，函数 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零点，但不能用二分法求其零点，
因为函数 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零点，且不能用二分法求其零点，
所以函数 ( )的图象在 轴上方或下方（包括 轴），且与 轴有交点．
当 + 2 = 0时，得 = ―2，函数 ( ) = ―4 + 1，能用二分法求出零点，不符合题意；
当 + 2 ≠ 0时，得 ≠ ―2，函数 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1为二次函数，
因为函数 ( )有零点，且不能用二分法求其零点，
所以函数 ( )的图象与 轴有 1 个交点，
所以关于 的一元二次方程( + 2) 2 +2 + 1 = 0有两个相等实根，
即Δ = 4 2 ―4( + 2) = 0，解得 = 2或 = ―1．
综上， = 2或 = ―1.
16.已知函数 ( )＝ ＋2 －6.
（1）证明 f(x)有且只有一个零点；
1
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于4.
5 11
【答案】（1）证明见解析；（2）(2, 4 ).
【解析】（1）由单调性定义知 ( )为增函数，又 f(2)·f(3)<0，即知函数有且只有一个零点；
1
（2）利用二分法确定区间长度不大于4的零点所在区间即可.
1 1
【详解】(1)证明：令 1 > 2 > 0，则 ( 1) ― ( 2) = ln +2( 1 ― 2)，且 > 1, 1 ― 2 > 0，2 2
∴ ( 1) > ( 2)，即 f(x)＝lnx＋2x－6 在(0,＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．又 f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，即 f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点．
2+3
(2)∵f 5 5 5(2)<0，f(3)>0，取 1 = 2 = 2， (2) = ln2 ―1 < 0，
5
∴ (3) (52) < 0，即 f(x)零点 ∈ (
5
0 2,3)
+3 11 11 11 1
．取 2 = 2 = 4 ，则 ( 4 ) = ln 4 ― 2 > 0.2
∴ (52) (
11
4 ) < 0.
∴ 50 ∈ (2,
11) |11 54 ，又 4 ― 2| =
1
4 ≤
1
4，
∴ 5 11满足题意的区间为(2, 4 )．
【点睛】方法点睛：
1、单调函数若能找到 ( 1) ( 2) < 0，即知( 1, 2)存在零点，定义域内有且仅有一个.

2 1
+ 2
、二分法求零点区间：( 1, 2)中 ( 1) ( 2) < 0取 3 = 2 ，并确定 ( 3)符号，若 ( 1) ( 3) < 0在( 1,
3)继续上一步骤；若 ( 3) ( 2) < 0在( 3, 2)继续上一步骤，直到得到合适区间.
2
17.用二分法求方程0.9 ― 21 = 0的近似解．（精确度为 0.1，可以使用计算器）
【答案】5.7
【分析】利用二分法求解方程近似解即可.
2
【详解】画出 = 0.9 和 = 21 的图像，
由图知：函数 = 0.9 和 = 221 只有一个交点.
2
方程0.9 ― 21 = 0的近似解等价于函数 ( ) = 0.9
― 221 的零点.
10(5) = 0.95 ― 21 ≈ 0.114， (6) = 0.9
6 ― 1221 ≈ ―0.040 < 0，
所以取初始区间为(5,6)，用二分法求解，如下表：
次数 左端点 右端点 区间长度
第一次 5 6 1
第二次 5.5 6 0.5
第三次 5.5 5.75 0.25
第四次 5.625 5.75 0.125
第五次 5.6875 5.75 0.0625
因为|5.75 ― 5.6875| = 0.0625 < 0.1，
2
所以方程0.9 ― 21 = 0的近似解可取为 5.7.
18．现有 a 个乒乓球，从外观上看完全相同，除了 1 个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相
同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？
(1)当 = 12时，若只称 3 次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？
(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当 = 26时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？
【答案】(1)答案见解析
(2)至少称 4 次就一定可以找到这个“坏乒乓球”
【分析】（1）（2）由二分法的相关知识即可求解；
【详解】（1）第一次，天平左右各放 4 个乒乓球，有两种情况：
①若平，则“坏乒乓球”在剩下的 4 个乒乓球中，第二次，取剩下的 4 个乒乓球中的 3 个乒乓球为一边，取
3 个“好乒乓球”为另一边，放在天平上.
（i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的 4 个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与 1 个“好乒乓球”放
上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
（ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的 3 个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中 2 个乒乓球放在天
平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”.
②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的 8 个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边 4 个乒乓球中取出 3 个乒乓
球置于一容器内，然后从左边 4 个乒乓球中取 3 个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取 3 个乒乓球
补入左边，看天平，有三种可能.
（i）若平，则“坏乒乓球”是容器内 3 个乒乓球之一且偏重；
（ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的 3 个乒乓
球之一，并且偏轻；
（ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓
球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）.
显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重.
（2）将 26 个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那 13 个乒乓球里
面；
从这 13 个乒乓球中拿出 1 个，然后将剩下的 12 个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平
衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那 6 个乒乓球里
面；
将这 6 个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那 3 个乒乓球里面；
从这 3 个乒乓球中任拿出 2 个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天
平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”.
综上可知，至少称 4 次就一定可以找到这个“坏乒乓球”.
19.阅读材料
求方程 2 ―2 = 0的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过 0.005，算法：
第一步：令 ( ) = 2 ―2．因为 (1) < 0， (2) > 0，所以设 1 = 1， 2 = 2．
1+ 2
第二步：令 = 2 ，判断 ( )是否为 0．若是，则 为所求；
若否，则继续判断 ( 1) ( )大于 0 还是小于 0．
第三步：若 ( 1) ( ) > 0，则 1 = ；否则，令 2 = ．
第四步：判断| 1 ― 2| < 0.005是否成立？若是，则 1, 2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则
返回第二步．
方法二：考虑 2 ―2 = 0的一种等价形式
2 2
变形如下： = ，∴ + = + ，∴ =
1 2
2
+

这就可以形成一个迭代算法：给定 0
根据 1 2 +1 = 2 + ， = 0，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值
(1)分别运用方法一和方法二计算 2的近似值（结果保留 4 位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；
(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算 5的近似值（精确到 0.001）．
【答案】(1) 2的近似值见解析；方法二的迭代速度更快，理由见解析.
(2)选择方法二进行计算， 5的近似值为 2.236
【分析】（1）按照方法一和方法二进行迭代求解，求出相应的近似值；（2）结合第一问作出的判断，选择
方法二进行迭代求解.
1 =
1+ 2 = 3 3 9 1【详解】（ ） 2 2， = 4 ―2 = 4 > 0 (1)
3 3 3
， < 0，则 =
2 2 2 2
，所以| 1 ― 2| = |1 ― 2|
> 0.005，返回第二步；
1+3 5 5 25 7 5 5
令 = 2 = 4， = 16 ―2 = ― 16 < 0， (1) > 0，令 2 4 4 1 = 4，
所以| 1 ― 2| = |5 ― 3| > 0.005，返回第二步；4 2
5 3
= + = 114 2 11 = 121 ―2 = ― 7 < 0 5 11 > 0 = 11令 8 ， 64 64 ， ，令 1 8 ，2 8 4 8
所以| 1 ― | = |112 ― 3| > 0.005，返回第二步；8 2
11
= +
3 23 529 17
8 2 = 23 = ―2 = > 0 11 23令 16， 256 256 ， < 0，令 2 =
23
2 16 8 16 16
，
所以| 1 ― 2| = |11 ― 23| > 0.005，返回第二步；8 16
11
= +
23
= 45 45 = 2025 23令 8 16 32， 1024 ―2 = ― 256 < 0，
11 45 > 0 = 45，令
2 32 8 32 1 32
，
所以| 1 ― | = |45 ― 232 | > 0.005，返回第二步；32 16
45+23 = = 91 91 = 8281 ―2 = 8932 16 > 0 91 45 < 0 = 91令 64，2 64 4096 4096 ， ，令64 32 2 64，
| ― | = |45所以 1 2 ― 91| > 0.005，返回第二步；32 64
45+91 181
令 = 32 64 = 128，
181 = 32761 7 4516384 ―2 = ― 16384 < 0，
181 > 0 181，令
2 128 32 128 1
= 128，
所以| 1 ― 2| = |181 ― 91| > 0.005，返回第二步；128 64
91 181
令 = + 36364 128 = 363 = 131769 697 181 361256， 65536 ―2 = 65536 > 0， < 0，令 2 =
363
2 256 128 256 256
，
| ― | = |363 ― 181所以 1 2 | < 0.005，256 128
363 181
则 1, 2之间的任意值均为满足条件的近似值，其中 2 = 256 ≈ 1.418， 1 = 128 ≈ 1.414
取可取 1.414
方法二： = 1 2 +1 2 + ， = 0，1，2，…，
不妨取 0 = 1，则 =
1 2 3
1 2 0 + = 0 2
，
1 1 172 = 2 1 +
2 = 32 +
4 = 12， 1 2 3
= 1 2 1 17 24 5773 2 2 + = + = ， 2 2 12 17 408
577
其中408 ≈ 1.414，
显然，方法二的迭代速度更快
（2）考虑 2 ―5 = 0的一种等价形式，
= 5 ，∴ + = +
5
，∴ = 12 +
5

这就可以形成一个迭代算法：给定 0 = 2
则 = 1 +1 2 +
5
， = 0，1，2，…，

1 5 9
计算过程如下： 1 = 2 0 + = ， 0 4
= 1 5 = 1612 2 1 + 72 ， 1
1 5 518413 = 2 2 + = ≈ 2.236. 2 231844.4.2 计算函数零点的二分法
课程标准 学习目标
（1）结合具体连续函数及其图象的特点, 了解
函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似
（1）理解二分法的概念;
解的思路并会画程序框图, 能借助计算工
（2）会用二分法求方程近似解.（难点)
具用二分法求方程近似解, 了解用二分法求方
程近似解具有一般性。
知识点 01 二分法的概念
对于在区间[ , ]上连续不断且 ( ) ( ) < 0的函数 = ( )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使
区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
解释 求 ( ) = 2 ― ―2， ( ) = 2 ―1的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数 ( ) = 3 + 2 ―1
或 ( ) = + ― 2的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想
到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础.
【即学即练 1】
下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． = 2 B． = ( ― 2)2 C． = + 1 ―3 D． = ln
知识点 02 用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间[ , ]，验证 ( ) ( ) < 0，给定精确度 ；
(2) 求区间( , )的中点 ;
(3) 计算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 则 就是函数的零点；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
(4) 判断是否达到精确度 ：即若| ― | < ，则得到零点近似值为 (或 )；否则重复(2)~(4)
解释
（1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0；
（2）所选的区间[ , ]的范围尽量小，且 ( ), ( )比较容易求;
(3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算.
【即学即练 2】
用二分法求函数 ( ) = 5 +7 ― 2的一个零点的近似值，其参考数据如下：
x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875
( ) -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647
根据上述数据，可得 ( ) = 5 +7 ― 2的一个零点近似值（误差不超过 0.025）为（ ）
A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125
【题型一：用二分法求近似解的条件】
例 1．下列方程中不能用二分法求近似解的为（ ）
A．ln + = 0 B．e ―3 = 0
C． 3 ―3 + 1 = 0 D．4 2 ―4 5 + 5 = 0
变式 1-1．下列函数图象与 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）
A． B． C． D．
变式 1-2．下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　）
A． ( ) = 2 B． ( ) = 2 +2 2 + 2
C． ( ) = +
1
―3 D． ( ) = ln + 3
【方法技巧与总结】
1 对于在区间[ , ]上连续不断且 ( ) ( ) < 0的函数 = ( )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2 不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号.
【题型二：用二分法求近似解的过程】
例 2．用二分法求函数 ( ) = ln( + 1) + ― 1 1在区间 ,1 上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区
2
间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式 2-1．用“二分法”求方程 3 ―2 ― 5 = 0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为 0 = 2.5，那么下一个有根
的区间是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
变式 2-2．用二分法求方程 + lg ― 3 = 0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．[1,2] B．[2,3] C．[3,4] D．[4,5]
变式 2-3．若 ( ) = 3 + 2 ―2 ― 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
(1) = ―2 (1.5) = 0.625
(1.25) = ―0.984 (1.375) = ―0.260
(1.438) = 0.165 (1.4065) = ―0.052
那么方程 3 + 2 ―2 ― 2 = 0的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
变式 2-4．用二分法求方程ln(2 + 6) +2 = 3 的根的近似值时，令 ( ) = ln(2 + 6) +2 ― 3 ，并用计算器
得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
( ) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
则由表中的数据，可得方程ln(2 + 6) +2 = 3 的一个近似解（误差不超过 0.05）为（ ）
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
变式 2-5．在使用二分法计算函数 ( ) = 2 ―2 + ― 2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果
要求近似解的精确度为 0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧与总结】
1 用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间[ , ]，验证 ( ) ( ) < 0，给定精确度 ；
(2) 求区间( , )的中点 ;
(3) 计算 ( )，
( ) 若 ( ) = 0 , 则 就是函数的零点；
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , ))
【题型三：用二分法求方程的近似解】
例 3．求曲线 = ln 和直线 + = 2的交点的横坐标（误差不超过 0.01）．
变式 3-1．判断方程 3 ― ― 1 = 0在区间[1,1.5]内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为 0.1）
变式 3-2 1．已知函数 ( ) = + ―3．
(1)判断函数 ( )在区间(1, + ∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)用二分法求方程 ( ) = 0在区间(1, + ∞)上的一个近似解（精确度为 0.1）．
变式 3-3．利用计算器，求方程lg = 3 ― 的近似解（精确到0.1）.
变式 3-4．已知函数 ( ) = 2 2 ―8 + + 3为 上的连续函数．
(1)若函数 ( )在区间[ ―1,1]上存在零点，求实数 的取值范围．
(2)若 = ―4，判断 ( )在( ―1,1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过 0.1 的条件下，用二分法求出
这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
【方法技巧与总结】
1 二分法求零点区间：( 1, 2)中 ( 1) ( 2) < 0 =
1+ 2
取 3 2 ，并确定 ( 3)符号，若 ( 1) ( 3) < 0在( 1, 3
)继续上一步骤；若 ( 3) ( 2) < 0在( 3, 2)继续上一步骤，直到得到合适区间;
2 所选的区间[ , ]的范围尽量小，且 ( ), ( )比较容易求;
3 利用二分法时，满足精确度便可停止计算.
【题型四：二分法思想的其他应用】
例 4．在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为 A)到某指挥部(设为 B)的电话线路有一处发生了故障.这是一
条10km长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段小段地查找,困难很多,每查一小段需要很
长时间.
(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50m ―100m,最多要查多少次
变式 4-1．在 12 枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天
平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币.
变式 4-2．一块电路板的 AB 线路之间有 100 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，
要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（ ）
A．4 次 B．6 次 C．7 次 D．50 次
变式 4-3．现有 12 个小球，从外观上看完全相同，除了 1 个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相
同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
变式 4-4．求3 3的近似值（精确度为 0.1，参考数据：1.3753 ≈ 2.5996，1.43753 ≈ 2.9705）．
一、单选题
1．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（ ）
A．用二分法求方程的近似解一定可以得到 ( ) = 0在[ , ]内的所有根
B．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]内的重根
C．用二分法求方程的近似解有可能得出 ( ) = 0在[ , ]内没有根
D．用二分法求方程的近似解有可能得到 ( ) = 0在[ , ]内的精确解
2.下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A．log2 + = 0 B．e + = 0 C． 2 ―2 + 1 = 0 D． + ln = 0
3.用二分法求函数 ( ) = 3 +5的零点可以取的初始区间是（ ）
A．[ ―2,1] B．[ ―1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
4.用二分法求方程 3 ―2 ― 5 = 0在区间[2,3]内的实根，下一个有根区间是（ ）
A．[2,2.5] B．[2.5,3] C．[2,2.25] D．[2.75,3]
5.利用二分法求方程log3 = 3 ― 的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
6.已知函数 = ( )为[0,1]上的连续函数，且 (0) (1) < 0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确
度达到 0.1，则需对区间至少二分的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.在用二分法求函数 ( )的一个正实数零点时，经计算， (0.64) < 0, (0.72) > 0, (0.68) < 0，则函数的一
个误差不超过 0.025 的正实数零点的近似值可以为（ ）
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
8.一块电路板的 线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法
的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　）
A．4次 B．6次
C．8次 D．30次
二、多选题
9．在用“二分法”求函数 ( )零点的近似值时，若第一次所取区间为[ ―2,4]，则第二次所取区间可能是
（ ）
A．[ ―2, ― 1] B．[ ―2,1] C．[2,4] D．[1,4]
10.某同学用二分法求函数 ( ) = 2 +3 ― 7的零点时，计算出如下结果： (1.5) = 0.33， (1.25)
= ―0.87， (1.375) = ―0.26， (1.4375) = 0.02， (1.4065) = ―0.13， (1.422) = ―0.05，下列说法正确
的有（ ）
A．精确到0.1的近似值为1.375 B．精确到0.01的近似值为1.4065
C．精确到0.1的近似值为1.4375 D．精确到0.1的近似值为1.25
11.教材中用二分法求方程2 +3 ― 7 = 0的近似解时，设函数 ( ) = 2 +3 ― 7来研究，通过计算列出了
它的对应值表
1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5
( ) ―0.87 ―0.26 ―0.05 0.02 0.33
分析表中数据，则下列说法正确的是：（ ）
A． > 0
B．方程2 +3 ― 7 = 0有实数解
C．若精确度到 0.1，则近似解可取为 1.375
D．若精确度为 0.01，则近似解可取为 1.4375
三、填空题
12．某同学在借助计算器求“方程lg = 2 ― 的近似解（精确度为 0.1）”时，他用“二分法”又取了 4 个 x 的
值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 ≈ 1.8．那么他在取的 x 的 4 个值依次
是 ．
13.在用二分法求方程 ( ) = 0在[0,1]上的近似解时，经计算， (0.5) < 0， (0.75) > 0， (0.625) < 0，即
可得出方程的一个近似解为 （精确度为 0.2）.
14.已知函数 ( ) = 3 2 ―1在区间(0,1)上有唯一零点 0，如果用“二分法”求这个零点(精确度 = 0.05)的近
似值，那么将区间(0,1)等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间( , )满足| ― | < ，则可用
+
2 作为零点的近似值，由此求得 0 = .
四、解答题
15．若函数 ( ) = ( + 2) 2 +2 + 1有零点，但不能用二分法求其零点，求实数 的值.
16.已知函数 ( )＝ ＋2 －6.
（1）证明 f(x)有且只有一个零点；
1
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于4.
17.用二分法求方程0.9 ― 221 = 0的近似解．（精确度为 0.1，可以使用计算器）
18．现有 a 个乒乓球，从外观上看完全相同，除了 1 个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相
同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？
(1)当 = 12时，若只称 3 次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？
(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当 = 26时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？
19.阅读材料
求方程 2 ―2 = 0的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过 0.005，算法：
第一步：令 ( ) = 2 ―2．因为 (1) < 0， (2) > 0，所以设 1 = 1， 2 = 2．
1+ 2
第二步：令 = 2 ，判断 ( )是否为 0．若是，则 为所求；
若否，则继续判断 ( 1) ( )大于 0 还是小于 0．
第三步：若 ( 1) ( ) > 0，则 1 = ；否则，令 2 = ．
第四步：判断| 1 ― 2| < 0.005是否成立？若是，则 1, 2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则
返回第二步．
方法二：考虑 2 ―2 = 0的一种等价形式
= 2 1变形如下： ，∴ + = +
2
，∴ = 2 +
2

这就可以形成一个迭代算法：给定 0
1
根据 +1 = 2 +
2
， = 0，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值
(1)分别运用方法一和方法二计算 2的近似值（结果保留 4 位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；
(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算 5的近似值（精确到 0.001）．

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