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1.1.1 集合
课程标准 学习目标
（1）了解集合的概念，理解元素与集合的关系;
（1）通过实例, 了解集合的含义, 理解元素与
（2）理解集合的三要素：互异性、确定性和无序性；
集合的属于关系;
（3）掌握常见数集的表示；
（2）针对具体问题, 能在自然语言和图形语言
（4）掌握集合的表示方法：列举法、描述法.（难
的基础上, 用符号语言刻画集合。
点)
知识点 01 集合的概念
元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或
集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.
② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名""""，以视区别.
若集合 = {1，2， }，就意味 ≠ 1且 ≠ 2.
③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实， 1，2，3 = {2，3，1}.
元素与集合的关系
若 是集合 的元素，则称 属于集合 ，记作 ∈ ；
若 不是集合 的元素，则称 不属于集合 ，记作 .
Eg：菱形 ∈ {平行四边形}，0 ∈ ，0 {1，2，3，4}.
常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作 ；正整数集，记作 或 +；整数集，记作 ；
有理数集，记作 ；实数集，记作 .
【例】3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ．
集合的分类
有限集，无限集，空集 .
Eg：奇数集 │ = 2 + 1 , ∈ 属于无限集， ∈ │ 2 + 1 = 0 = .
【即学即练 1】 下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于 2的正整数
C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数
知识点 02 集合的表示方法
1 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫列举法.
2 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写
出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：{ ∈ | ( )}.
用符号描述法表示集合时应注意：
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2) 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【即学即练 2】用列举法或描述法表示下列集合：
(1) 11以内偶数的集合；
(2) 不等式 2 ―2 ―3 < 0的解集；
(3) (阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合)
3 区间
区间的几何表示如下表所示：
定义 名称 符号 数轴表示
{ | ≤ ≤ } 闭区间 [ , ]
{ | < < } 开区间 ( , )
{ | ≤ < } 半开半闭区间 [ , )
{ | < ≤ } 半开半闭区间 ( , ]
{ | ≥ } 半开半闭区间 [ , + ∞)
{ | ＞ } 开区间 ( , + ∞)
{ | ≤ } 半开半闭区间 (－∞, ]
{ | < } 开区间 (－∞, )
开区间 (－∞, + ∞)
【题型一：判断所给对象是否构成集合】
例 1． 下列所给的对象能构成集合的是__________．
(1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生；(5) 12，3， 30°， 7．
变式 1-1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近 5的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
变式 1-2．给出四个结论：
①{1,2,3,1}是由 4 个元素组成的集合；
②集合{1}表示仅由一个“1”组成的集合；
③{2,4,6}与{6,4,2}是两个不同的集合；
④集合{大于 3 的无理数}是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
变式 1-3．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高
一（1）班所有姓氏能构成集合；④把 1，2，3 三个数排列，共有 6 种情况，因此由这三个数组成的集合
有 6 个.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【方法技巧与总结】
判断判断所给对象是否构成集合，要注意集合元素特征：① 确定性，② 互异性，③ 无序性.
【题型二：元素与集合的关系】

例 2．非空集合 A 具有下列性质：（1）若 x、y∈A，则 ∈A；（2）若 x、y∈A，则 x+y∈A，下列判断一定
成立的是（ ）
1 A 2020①﹣ ；②2021∈A；③若 x、y∈A，则 xy∈A；④若 x、y∈A，则 x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
变式 2-1．已知集合 中的元素 满足 ― 1 > 2，则下列选项正确的是（ ）
A．5 ∈ ，且 ―4 B．5 ∈ ，且 ―4 ∈
C．5 ，且 ―4 D．5 ，且 ―4 ∈

变式 2-2．已知 ， ， 为非零实数，代数式| | + | | + | | + | |的值所组成的集合是 ，则下列判断正确的
是（ ）
A．4 ∈ B．2 ∈ C．0 D． ―4
1
变式 2-3．若对任意 ∈ ， ∈ ，则称 A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．{1,3} B．{ ―1,0,1}
C．{ | > 1} D．{ | > 0}
变式 2-4．以某些整数为元素的集合 P 具有以下性质：
（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；
（3） ―1 ；（4）若 、 ∈ ，则 + ∈ ．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合 P 中一定有 0 但没有 2 B．集合 P 中一定有 0 可能有 2
C．集合 P 中可能有 0 可能有 2 D．集合 P 中既没有 0 又没有 2
【方法技巧与总结】
1 元素与集合之间的关系是属于或不属于，并且只能是其中一种可能；
2 要判断元素是否属于集合，要确定集合中元素的要求；对于新定义的题目，其中的定义很重要，要能理
解其中的含义方能判断，考核你对数学抽象概念的理解.
【题型三：利用元素与集合互异性求参数】
例 3．已知集合 = {0, , 2 ― 3 + 2}，且2 ∈ ，则实数 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
变式 3-1．已知集合 = { ,| |, ― 2}，若2 ∈ ，则实数 a 的值为（ ）
A． ± 2或 4 B．2 C．-2 D．4
变式 3-2．已知集合 = {12, 2 + 4 , ― 2}， ―3 ∈ ，则 = （ ）
A． ―1 B． ―3或 1 C．3 D． ―3
变式 3-3．若{ 2,0, ― 1} = { , ,0}，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C． ―1 D． ± 1
【方法技巧与总结】
1 集合的元素是不能相同的，若有集合 = { , , }，它的潜台词就是 ≠ ≠ ；
2 在求涉及到集合中元素的参数时，要注意把所求值代回集合进行检验。
【题型四：集合的表示方法—列举法】
例 4．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A；
(2)方程 2 ―9 = 0的实数根组成的集合 B；
(3)一次函数 = + 2与 = ―2 + 5的图象的交点组成的集合 C.
变式 4-1 + = 3．方程组 ― = ―1 的解构成的集合是（ ）
A．{1,2} B．{ = 1, = 2} C．(1,2) D．{(1,2)}
变式 4-2．用列举法表示小于 4 的自然数构成的集合，正确的是（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3}
变式 4-3．用列举法表示下列集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整数；
(2) = { |( ― 1)( + 2) = 0 }；
(3) = { ∈ | ―3 < 2 ― 1 < 3 }．
(4){( , )|0 ≤ ≤ 2,0 ≤ < 2, , ∈ }．
(5) | | | |由 ＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【方法技巧与总结】
1 当集合的元素是有限个的时候，我们可以用列举法表示集合，此时要注意集合元素的类型；
2 当集合元素是无限个时，有时候也可以用列举法，比如集合 是2的整数幂， = {2,4,8,16…}。
【题型五：集合的表示方法—描述法】
例 5．已知集合 = { | = 2 ― 1, ∈ Z}, = { | = 2 , ∈ Z}且 1, 2 ∈ , 3 ∈ ，则下列判断不正确的是
（ ）
A． 1 2 ∈ B． 2 3 ∈
C． 1 + 2 ∈ D． 1 + 2 + 3 ∈
变式 5-1．集合{ | ― 1 < 2 + 1 < 7 }化简为（ ）
A．{ ―1,0,1,2} B．{1,2} C．{ ―2,3} D．( ―2,3)
变式 5-2．若集合 = {2,4,8} ， = | ∈ , ∈ ，则 中所有元素的和为（ ）

A 27 B 31． 4 ． 4 C
39
． 4 D
49
． 4
变式 5-3．已知集合 = { | = 3 , ∈ }， = { | = 3 + 1 , ∈ }， = { | = 3 ― 1 , ∈ }，且
∈ ， ∈ ， ∈ ，若 = ― + ，则．
A． ∈ B． ∈
C． ∈ D． ∈ 且 ∈
变式 5-4．若 = { ∣ = 2 + , ∈ , ∈ }，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
1
① ∈ 3―2 2 ；
② ；
③若 1, 2 ∈ ，则 1 + 2 ∈ ；
1
④若 1, 2 ∈ 且 2 ≠ 0，则 ∈ ；2
⑤存在 ∈ 且 ，满足 ―2022 ∈ .
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧与总结】
1 集合的表示方法—描述法，一般格式：{ ∈ | ( )}.
2 理解描述法表示集合
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2) 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【题型六：综合运用】
例 6．若集合 具有以下性质：
①0 ∈ ,1 ∈ ；
②若 , ∈ ，则 ― ∈ ，且 ≠ 0 1时， ∈ .
则称集合 是“好集”.
(1)分别判断集合 = { ―1,0,1}，有理数集 是否是“好集”，直接写出结论；
(2)设集合 是“好集”，求证：若 , ∈ ，则 + ∈ ；
(3)设集合 是“好集”，求证：若 ∈ ，则 2 ∈ ；
变式 6-1．若集合 A={ | 2 + ― 1 = 0}只有一个元素，则 = （ ）
A．-4 B．0 C．4 D．0 或-4
变式 6-2．已知非空数集 满足：对任意给定的 、 ∈ （ 、 可以相同），有 + ∈ 且 ― ∈ .若集合
中最小的正数为 6，则集合 = .
变式 6-3．设集合 S 中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
①1 ；②若 ∈ 1，则1― ∈ .
(1)求证：若 ∈ ，则1 ― 1 ∈ ；
(2)若2 ∈ ，则在 S 中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
变式 6-4．已知数集 含有 （ ∈ *）个元素，定义集合 * = { + | , ∈ }．
(1)若 = {1,2,3}，写出 *；
(2)写出一个集合 ，使得 = *；
(3)当 = 4时，是否存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}？若存在，写出一个符合条件的集合 ；若不存
在，说明理由．
【方法技巧与总结】
1 对于集合中新定义的题型，特别是注意理解集合元素的要求，在解题的过程中一切从定义出发；注意前
一问对下一问的“提示”，注意特殊情况到一般情况的延伸推理.
2 证明否定问题，我们可采取反证法.
一、单选题
1．下面有四个结论:①集合N中最小数为 1；②若 ― N，则 ∈ N；③若 ∈ N， ∈ N，则 + 的最小值
为 2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20 的质数
B．π的近似值
C．方程 =1的实数根
D．函数 = , ∈ R的最小值
3.已知集合 = { ∈ Z| < 3 }，则（ ）
A．2 ∈ B．3 ∈
C．0 D． ∈
3.设 1， 2， 3， 4是 4 个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为{25,26,27}，则这4个数中最小的数为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4. 若集合 = { |2 ― 3 > 0, ∈ R}，其中2 ∈ 且1 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A 3 , 3． B 3 3． , C 3． , 3 D 3． , 3
4 2 4 2 4 2 4 2
2 2
5.已知集合 = { ―2, ― 1,1,2}, = | = + , ∈ , ∈ ，则集合 等于（ ）
A．{ ―2, ― 1,0,1,2} B．{ ―2, ― 1,1,2} C． ―1, ― 5 ,1, 5
2 2
D． ― 5 , ― 2,2, 5
2 2
6.若集合 = | = 3 , ∈ N* ， = | = 3 ― 1, ∈ N* ， = | = 3 ― 2, ∈ N* ，且
∈ , ∈ , ∈ ，则下列结论中可能成立的是（ ）
A．2023 = + + B．2023 =
C．2023 = ( + ) D．2023 = +
7.若集合 = ∈ R| 2 ― 2 + 1 = 0 中只有一个元素，则实数 = （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0 或 1
8. ( ) A = ( ) ― ( ), ( ) ≥ ( )记 为非空集合 中的元素个数，定义 ( ) ― ( ), ( ) < ( ) .若 = {1,2}， =
|( 2 + )( 2 + + 5) = 0 ，且 = 1，设实数 a 的所有可能取值组成的集合是 S，则 ( )等于
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．给出下列说法，其中不正确的是（ ）
A．集合{ ∈ N| 3 = }用列举法表示为{0,1}
B．实数集可以表示为{ | 为所有实数}或{R}
C + = 0 1 1．方程组 ― = ―1 的解组成的集合为 = ― , =2 2
D．集合{ | = 2}与{( , )| = 2}是同一个集合
10.已知集合 = | 2 + 2 + 1 = 0, ∈ R ，则下列说法中错误的是（ ）
A．若 A 中只有一个元素，则 = 1 B．若 A 中至少有一个元素，则 ≤ 1
C．若 A 中至多有一个元素，则 ≥ 1 D．若 A 中恰有两个元素，则 < 1
11.设 S 为实数集R的非空子集．若对任意 , ∈ ，都有 + , ― , ∈ ，则称 S 为封闭集．下列命题正
确的是（ ）
A．自然数集 N 为封闭集
B．整数集 Z 为封闭集
C．集合 = { + 2| , 为整数}为封闭集
D．若 S 为封闭集，且1 ∈ ，则 S 一定为无限集
三、填空题
12．已知集合 = { ,| |}，若2 ∈ ，则 = ．
13. 含有三个实数的集合可表示为 , ,1 ，也可以示为{ 2, + ,0}，则 2013 + 2014的值为 .

14.集合 = { |( ― 1)( 2 ― 4 + ) = 0, ∈ R }中恰好有两个元素，则实数 满足的条件是 .
四、解答题
15．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于 0 且不超过 10 的全体偶数组成的集合 ；
(2)被 3 除余 2 的自然数全体组成的集合 ；
(3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合 .
16. 1设集合 A 中的元素均为实数，且满足条件：若 ∈ ，则1― ∈ ( ≠ 1, ≠ 0).求证：
(1)若2 ∈ ，则 A 中必还有另外两个元素；
(2)集合 A 不可能是单元素集.
17.对于集合 A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作 A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有
A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，
B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题．
(1)已知 C＝{a}，D＝{1，2，3}，求 C×D；
(2)已知 A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合 A，B；
(3)A 有 3 个元素，B 有 4 个元素，试确定 A×B 有几个元素．
18. 1已知由实数组成的集合 ，1 ，又满足：若 ∈ ，则1― ∈ .
(1) 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
(2) 中含元素个数一定是3 ( ∈ N )个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
19.已知集合 = { 1, 2, , }中的元素都是正整数，且 1 < 2 < < ．若对任意 , ∈ ，且 ≠ ，都有

| ― | ≥ 25成立，则称集合 A 具有性质 ．
(1)判断集合{1,2,3,4}是否具有性质 ；
1 1
(2) ― 已知集合 A 具有性质 ，求证： ― ≥ 25 ( = 1,2, , )；
(3)证明： 3是无理数．1.1.1 集合
课程标准 学习目标
（1）了解集合的概念，理解元素与集合的关系;
（1）通过实例, 了解集合的含义, 理解元素与
（2）理解集合的三要素：互异性、确定性和无序性；
集合的属于关系;
（3）掌握常见数集的表示；
（2）针对具体问题, 能在自然语言和图形语言
（4）掌握集合的表示方法：列举法、描述法.（难
的基础上, 用符号语言刻画集合。
点)
知识点 01 集合的概念
元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或
集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.
② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名""""，以视区别.
若集合 = {1，2， }，就意味 ≠ 1且 ≠ 2.
③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实， 1，2，3 = {2，3，1}.
元素与集合的关系
若 是集合 的元素，则称 属于集合 ，记作 ∈ ；
若 不是集合 的元素，则称 不属于集合 ，记作 .
Eg：菱形 ∈ {平行四边形}，0 ∈ ，0 {1，2，3，4}.
常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作 ；正整数集，记作 或 +；整数集，记作 ；
有理数集，记作 ；实数集，记作 .
【例】3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ；3 ∈ ．
集合的分类
有限集，无限集，空集 .
Eg：奇数集 │ = 2 + 1 , ∈ 属于无限集， ∈ │ 2 + 1 = 0 = .
【即学即练 1】 下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员
B．小于 2的正整数
C．数学必修第一册课本上的难题
D．所有有理数
【答案】C
【分析】根据集合的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；
对于 B 中，小于 2的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；
对于 C 中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；
对于 D 中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选 C.
故选：C.
知识点 02 集合的表示方法
1 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫列举法.
2 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写
出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：{ ∈ | ( )}.
用符号描述法表示集合时应注意：
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2) 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【即学即练 2】用列举法或描述法表示下列集合：
(1) 11以内偶数的集合；
(2) 不等式 2 ―2 ―3 < 0的解集；
(3) (阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合)
解析 (1) 用列举法表示为{2,4,6,8,10}；
(2) 用描述法表示为{ ∈ | 2 ―2 ―3 < 0}；
(3)用描述法表示为{( , )| ― 2 ≤ ≤ 0且 ―2 ≤ ≤ 0}.
3 区间
区间的几何表示如下表所示：
定义 名称 符号 数轴表示
{ | ≤ ≤ } 闭区间 [ , ]
{ | < < } 开区间 ( , )
{ | ≤ < } 半开半闭区间 [ , )
{ | < ≤ } 半开半闭区间 ( , ]
{ | ≥ } 半开半闭区间 [ , + ∞)
{ | ＞ } 开区间 ( , + ∞)
{ | ≤ } 半开半闭区间 (－∞, ]
{ | < } 开区间 (－∞, )
开区间 (－∞, + ∞)
【题型一：判断所给对象是否构成集合】
例 1． 下列所给的对象能构成集合的是__________．
(1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近1的正整数全体；
(4) 1某校高一年级的 16 岁以下的学生；(5) 2，3， 30°， 7．
【答案】(1)(4)
【详解】 (1)能，集合元素是直角三角形；
(2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；
(3)不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能，集合元素是“16 岁以下的学生”；
(5)不能， 30° = 12，有两个数字重复，不符合元素的互异性.
故答案是(1)(4)
变式 1-1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近 5的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可.
【详解】对于 A，充分接近 5的所有实数不能满足集合元素的确定性，故 A 错误；
对于 B，所有的正方形可以构成一个集合，故 B 正确；
对于 C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，故 C 错误；
对于 D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，故 D 错误.
故选：B.
变式 1-2．给出四个结论：
①{1,2,3,1}是由 4 个元素组成的集合；
②集合{1}表示仅由一个“1”组成的集合；
③{2,4,6}与{6,4,2}是两个不同的集合；
④集合{大于 3 的无理数}是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
【答案】D
【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项.
【详解】对于①，集合{1,2,3,1}不满足集合元素的互异性，故①错误；
对于②，集合{1}仅有 1 个元素，故②正确；
对于③，集合{2,4,6}与{6,4,2}元素相同，是两个相同的集合，故③错误；
对于④，集合{大于 3 的无理数}是无限集，故④错误.
故选：D.
变式 1-3．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高
一（1）班所有姓氏能构成集合；④把 1，2，3 三个数排列，共有 6 种情况，因此由这三个数组成的集合
有 6 个.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性、无序性和定义逐一判断即可.
【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正
确；
②因为好听的歌标准不确定，
所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确；
③因为高一（1）班所有姓氏是确定的，
所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的；
④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确，
因此正确的个数为 1，
故选：B
【方法技巧与总结】
判断判断所给对象是否构成集合，要注意集合元素特征：① 确定性，② 互异性，③ 无序性.
【题型二：元素与集合的关系】

例 2．非空集合 A 具有下列性质：（1）若 x、y∈A，则 ∈A；（2）若 x、y∈A，则 x+y∈A，下列判断一定
成立的是（ ）
1 A 2020①﹣ ；②2021∈A；③若 x、y∈A，则 xy∈A；④若 x、y∈A，则 x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】对于①：假设 ―1 ∈ ，令 = = ―1，由已知推出矛盾，可判断①；
2020
对于②：由题意知，1 ∈ ，再得1 + 1 = 2 ∈ ,2 + 1 = 3 ∈ , ,2020 ∈ ，2021 ∈ ，从而判断②；
1
对于③：由1 ∈ , ∈ ，得 ∈ ， ∈ ，结合性质可判断③；
对于④：1 ∈ ,2 ∈ ，由 = 2, = 1， ― = 1 ∈ ，可判断④.

【详解】解：对于①：假设 ―1 ∈ ，则令 = = ―1，则 = 1 ∈ ， + = ―2 ∈ ，

令 = ―1, = 1，则 = ―1 ∈ , + = 0 ∈ ，令 = 1, = 0，不存在 ，即 ≠ 0，矛盾，所以 ―1 ，故
①对；
对于②：由题意知，1 ∈ ，则1 + 1 = 2 ∈ ,2 + 1 = 3 ∈ , ,2020 ∈ 2020，2021 ∈ ，故②正确；

对于③：1 ∈ , ∈ , ∴ 1 ∈ ， ∈ , ∴ 1 = ∈ ，故③正确；
对于④：1 ∈ ,2 ∈ ，若 = 2, = 1，则 ― = 1 ∈ ，故④错误，
所以一定成立的是①②③，
故选：C.
变式 2-1．已知集合 中的元素 满足 ― 1 > 2，则下列选项正确的是（ ）
A．5 ∈ ，且 ―4 B．5 ∈ ，且 ―4 ∈
C．5 ，且 ―4 D．5 ，且 ―4 ∈
【答案】A
【分析】由元素和集合的关系判断.
【详解】由 ― 1 > 2解得 > 3，
因为5 > 3， ―4 < 3，
故5 ∈ ，且 ―4 ，
故选：A

变式 2-2．已知 ， ， 为非零实数，代数式| | + | | + | | + | |的值所组成的集合是 ，则下列判断正确的
是（ ）
A．4 ∈ B．2 ∈ C．0 D． ―4
【答案】A
【分析】分别对 ， ， 的符号进行讨论，计算出集合 的所有元素，再进行判断.
【详解】根据题意，分 4 种情况讨论；

①、 、 、 全部为负数时，则 也为负数，则| | + | | + | | + | | = ―4；

②、 、 、 中有一个为负数时，则 为负数，则| | + | | + | | + | | = 0；

③、 、 、 中有两个为负数时，则 为正数，则| | + | | + | | + | | = 0；

④、 、 、 全部为正数时，则 也正数，则| | + | | + | | + | | = 4；
则 = {4,0, ― 4}；分析选项可得 符合．
故选：A.
变式 2-3 1．若对任意 ∈ ， ∈ ，则称 A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．{1,3} B．{ ―1,0,1}
C．{ | > 1} D．{ | > 0}
【答案】D
【分析】对于 ABC：举反例说明即可；对于 D：分局题意分析即可.
1
【详解】对于选项 A：因为3 ∈ {1,3}，但3 {1,3}，不符合题意，故 A 错误；
1
对于选项 B：因为0 ∈ { ―1,0,1}，但0无意义，不符合题意，故 B 错误；
1
对于选项 C：例如2 ∈ { | > 1}，但2 { | > 1}，不符合题意，故 C 错误，
对于选项 D：对任意 ∈ 1{ | > 0}，均有 ∈ { | > 0}，符合题意，故 D 正确；
故选：D.
变式 2-4．以某些整数为元素的集合 P 具有以下性质：
（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；
（3） ―1 ；（4）若 、 ∈ ，则 + ∈ ．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合 P 中一定有 0 但没有 2 B．集合 P 中一定有 0 可能有 2
C．集合 P 中可能有 0 可能有 2 D．集合 P 中既没有 0 又没有 2
【答案】A
【分析】由（4）得 ∈ ，则 ∈ （k 是正整数），由（1）可设 , ∈ ，且 > 0， < 0，可得0 ∈ .利用
反证法可得若2 ∈ ，则 P 中没有负奇数，若 P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.
【详解】解：由（4）得 ∈ ，则 ∈ （k 是正整数）．
由（1）可设 , ∈ ，且 > 0， < 0，则 、( ― ) ∈ ，而0 = + ( ― ) ∈ ．
假设2 ∈ ，则2 ∈ ．由上面及（4）得 0，2，4，6，8，…均在 P 中，
故2 ― 2 ∈ （k 是正整数），
不妨令 P 中负数为奇数 ―2 + 1（k 为正整数），
由（4）得(2 ― 2) + ( ― 2 + 1) = ―1 ∈ ，矛盾．
故若2 ∈ ，则 P 中没有负奇数．
若 P 中负数为偶数，设为 ―2 （k 为正整数），则由（4）及2 ∈ ，
得 ―2, ― 4, ― 6, 均在 P 中，即 ―2 ― 2 ∈ （m 为非负整数），
则 P 中正奇数为2 + 1，由（4）得( ― 2 ― 2) + (2 + 1) = ―1 ∈ ，矛盾．
综上，0 ∈ ， 2 .
故选:A．
【方法技巧与总结】
1 元素与集合之间的关系是属于或不属于，并且只能是其中一种可能；
2 要判断元素是否属于集合，要确定集合中元素的要求；对于新定义的题目，其中的定义很重要，要能理
解其中的含义方能判断，考核你对数学抽象概念的理解.
【题型三：利用元素与集合互异性求参数】
例 3．已知集合 = {0, , 2 ― 3 + 2}，且2 ∈ ，则实数 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
【答案】B
【分析】由题意可得 = 2或 2 ―3 + 2 = 2，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为 = {0, , 2 ― 3 + 2}且2 ∈ ，
所以 = 2或 2 ―3 + 2 = 2，
①若 = 2，此时 2 ―3 + 2 = 0，不满足元素的互异性；
②若 2 ―3 + 2 = 2，解得 = 0或 3，
当 = 0时不满足元素的互异性，当 = 3时， = {0,3,2}符合题意.
综上所述， = 3.
故选：B
变式 3-1．已知集合 = { ,| |, ― 2}，若2 ∈ ，则实数 a 的值为（ ）
A． ± 2或 4 B．2 C．-2 D．4
【答案】C
【解析】由集合元素的特性和 2 属于集合 A，直接计算判断求解即可得出答案.
【详解】由集合 = { ,| |, ― 2}，可得 ≠ | | ≠ ― 2，则得 < 0， ― 2 < 0，又因为2 ∈ 可得| | = 2，
解得 = ―2，即 C 选项正确.
故选：C.
【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题.
变式 3-2．已知集合 = {12, 2 + 4 , ― 2}， ―3 ∈ ，则 = （ ）
A． ―1 B． ―3或 1 C．3 D． ―3
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求出 值，然后代入检验即得.
【详解】因 = {12, 2 + 4 , ― 2}， ―3 ∈ ，故有： 2 +4 = ―3或 ― 2 = ―3，
由 2 +4 = ―3解得： = ―1或 = ―3，由 ― 2 = ―3解得： = ―1，
又因 = ―1时， 2 +4 = ― 2 = ―3，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而 = ―3时 = {12, ― 3, ― 5}，
符合题意.
故选：D.
变式 3-3．若{ 2,0, ― 1} = { , ,0}，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C． ―1 D． ± 1
【答案】C
2 2
【分析】根据{ 2,0, ― 1} = { , ,0} = = 得到 = ―1 或 = ―1 ，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.
2 = 2 = = 0 = 1
【详解】因为{ 2,0, ― 1} = { , ,0}，所以① = ―1 或② = ―1 ，由①得 = ―1 或 = ―1 ，其中
= 0 = 1 = 1
= ―1 与元素互异性矛盾，舍去， = ―1 符合题意，由②得 = ―1 ，符合题意，两种情况代入得
= ―1.
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 集合的元素是不能相同的，若有集合 = { , , }，它的潜台词就是 ≠ ≠ ；
2 在求涉及到集合中元素的参数时，要注意把所求值代回集合进行检验。
【题型四：集合的表示方法—列举法】
例 4．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A；
(2)方程 2 ―9 = 0的实数根组成的集合 B；
(3)一次函数 = + 2与 = ―2 + 5的图象的交点组成的集合 C.
【答案】(1) = {2,3,4,5}
(2) = { ― 3,3}
(3) = {(1,3)}
【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可.
【详解】（1）因为大于 1 且小于 6 的整数包括 2，3，4，5，所以 = {2,3,4,5}.
（2）因为方程 2 ―9 = 0的实数根为 ―3,3，所以 = { ― 3,3}.
3 = + 2 = 1（ ）联立 = ―2 + 5 ，解得 = 3 ，
所以一次函数 = + 2与 = ―2 + 5的交点为(1,3)，所以 = {(1,3)}.
变式 4-1 + = 3．方程组 ― = ―1 的解构成的集合是（ ）
A．{1,2} B．{ = 1, = 2} C．(1,2) D．{(1,2)}
【答案】D
【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集.
+ = 3 = 1
【详解】由 ― = ―1 ，解得 = 2 ，
+ = 3
所以方程组 ― = ―1 的解构成的集合是 ( , )|
+ = 3
― = ―1 = {(1,2)}.
故选：D
变式 4-2．用列举法表示小于 4 的自然数构成的集合，正确的是（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3}
【答案】A
【分析】直接根据列举法即可得结果.
【详解】小于 4 的自然数构成的集合为{0,1,2,3}，
故选：A.
变式 4-3．用列举法表示下列集合：
(1)大于 1 且小于 6 的整数；
(2) = { |( ― 1)( + 2) = 0 }；
(3) = { ∈ | ―3 < 2 ― 1 < 3 }．
(4){( , )|0 ≤ ≤ 2,0 ≤ < 2, , ∈ }．
(5) | | | |由 ＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【答案】(1){2,3,4,5}
(2){1, ― 2}
(3){0,1}
(4){(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}
(5){ ―2,0,2}
【分析】（1）写出大于 1 且小于 6 的整数即可；（2）求出方程( ― 1)( + 2) = 0的根即可；（3）解不等式
即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可.
【详解】（1）大于 1 且小于 6 的整数组成的集合为{2,3,4,5}；
（2） = { |( ― 1)( + 2) = 0 } = {1, ― 2}
（3） = { ∈ | ―3 < 2 ― 1 < 3 } = { ∈ | ―1 < < 2 } = {0,1}
（4）{( , )|0 ≤ ≤ 2,0 ≤ < 2, , ∈ } = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}
（5）由题意， ≠ 0, ≠ 0
> 0, > 0 | | | |当 时， ＋ = 1 + 1 = 2；
当 > 0, < 0 | | | |时， ＋ = 1 ― 1 = 0；
当 < 0, > 0 | | | |时， ＋ = ―1 + 1 = 0；
当 < 0, < 0 | | | |时， ＋ = ―1 ― 1 = ―2，
| | | |
故由 ＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为{ ―2,0,2}.
【方法技巧与总结】
1 当集合的元素是有限个的时候，我们可以用列举法表示集合，此时要注意集合元素的类型；
2 当集合元素是无限个时，有时候也可以用列举法，比如集合 是2的整数幂， = {2,4,8,16…}。
【题型五：集合的表示方法—描述法】
例 5．已知集合 = { | = 2 ― 1, ∈ Z}, = { | = 2 , ∈ Z}且 1, 2 ∈ , 3 ∈ ，则下列判断不正确的是
（ ）
A． 1 2 ∈ B． 2 3 ∈
C． 1 + 2 ∈ D． 1 + 2 + 3 ∈
【答案】D
【分析】根据题意可知集合 表示奇数集，集合 表示偶数集， 1, 2是奇数， 3是偶数，然后依次对 1
2， 2 3， 1 + 2， 1 + 2 + 3进行判断即可得出结果.
【详解】根据集合 = { | = 2 ― 1, ∈ Z}, = { | = 2 , ∈ Z}可知，
集合 表示奇数集，集合 表示偶数集，又 1, 2 ∈ , 3 ∈ ，所以 1, 2是奇数， 3是偶数；
对于 A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以 1 2 ∈ ，即 A 正确；
对于 B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以 2 3 ∈ ，即 B 正确；
对于 C，因为两个奇数的和为偶数，所以 1 + 2 ∈ ，即 C 正确；
对于 D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以 1 + 2 + 3 ∈ ，所以 D 错误；
故选：D
变式 5-1．集合{ | ― 1 < 2 + 1 < 7 }化简为（ ）
A．{ ―1,0,1,2} B．{1,2} C．{ ―2,3} D．( ―2,3)
【答案】D
【分析】利用不等式性质进行计算的结果
【详解】由 ― 1 < 2 + 1 < 7得 ―2 < < 3，则
{ | ― 1 < 2 + 1 < 7 } = { | ―2 < < 3 } = ( ―2,3)．
故选：D
变式 5-2．若集合 = {2,4,8} = ， | ∈ , ∈ ，则 中所有元素的和为（ ）

A 27 31 39 49． 4 B． 4 C． 4 D． 4
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解.

【详解】当 = 2时， 分别取2，4，8， 分别为1，2，4；

当 = 4 1时， 分别取2，4，8， 分别为2，1，2；

= 8 2 4 8 1 1当 时， 分别取 ， ， ， 分别为4，2，1，
= 1 1 31故 , ,1,2,4 ，所有元素之和为 .
4 2 4
故选：B.
变式 5-3．已知集合 = { | = 3 , ∈ }， = { | = 3 + 1 , ∈ }， = { | = 3 ― 1 , ∈ }，且
∈ ， ∈ ， ∈ ，若 = ― + ，则．
A． ∈ B． ∈
C． ∈ D． ∈ 且 ∈
【答案】B
【分析】设 = 3 , = 3 + 1, = 3 ― 1，得到 = 3( ― + ) ―2，结合集合的表示，即可求解，得到
答案．
【详解】由题意，设 = 3 ， ∈ ， = 3 + 1， ∈ ， = 3 ― 1， ∈ ，
则 = 3 ― (3 + 1) +3 ― 1 = 3( ― + ) ―2，
令 = ― + ，则 ∈ ，且 = 3 ― 2 = 3 ― 3 + 1 = 3( ― 1) +1， ∈ ，
则 ∈ ，故选 B．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集
合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
变式 5-4．若 = { ∣ = 2 + , ∈ , ∈ }，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
1
① ∈ 3―2 2 ；
② ；
③若 1, 2 ∈ ，则 1 + 2 ∈ ；

④若 1, 2 ∈ 且 2 ≠ 0
1
，则 ∈ ；2
⑤存在 ∈ 且 ，满足 ―2022 ∈ .
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断.
【详解】若 = { ∣ = 2 + , ∈ , ∈ }，
1
对于①， = 3 + 23―2 2 2 ∈ ，①正确；
对于②，当 = 2 + , ∈ , ∈ 中 = 0时， ∈ ，所以 ，②正确；
对于③，若 1, 2 ∈ ，不妨设 1 = 2 + , 2 = 2 + ，
则 1 + 2 = ( + ) 2 + + ， + ∈ , + ∈ ，所以 1 + 2 ∈ ，③正确；

对于④，若 1, 2 ∈ 且 2 ≠ 0
1
， ∈ 不正确，例如 1 = 2, = 3
1 2
2 ， = 3 ，④不正确；2 2
对于⑤，存在 ∈ 且 ，满足 ―2022 ∈ ，
例如 = 3 ― 2 2 ∈ ， ―1 = 3 + 2 2 ∈ ， ―2 = 17 + 12 2 ∈ ，
若 ― = 2 + ∈ ( ∈ N )，则 ―( +1) = ( 2 + )(3 + 2 2) = (3 + 2 ) 2 +3 + 4 ∈ ，
故 ―2022 ∈ ，⑤正确.
①②③⑤正确.
故选：C.
【方法技巧与总结】
1 集合的表示方法—描述法，一般格式：{ ∈ | ( )}.
2 理解描述法表示集合
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2) 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表
面的字母形式所迷惑.
【题型六：综合运用】
例 6．若集合 具有以下性质：
①0 ∈ ,1 ∈ ；
②若 , ∈ ，则 ― ∈ ，且 ≠ 0 1时， ∈ .
则称集合 是“好集”.
(1)分别判断集合 = { ―1,0,1}，有理数集 是否是“好集”，直接写出结论；
(2)设集合 是“好集”，求证：若 , ∈ ，则 + ∈ ；
(3)设集合 是“好集”，求证：若 ∈ ，则 2 ∈ ；
【答案】(1)B 不是“好集”； 是“好集”
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用定义，判断集合 B 和有理数集 是否是“好集”；
（2）由0 ∈ ，若 , ∈ ，则 ― ∈ ，从而得出 + ∈ ；
（3 1 1）任取 ∈ ，若 = 0或 = 1时，显然 2 ∈ ； ≠ 0且 ≠ 1时，有 ― 1, ―1, ∈
1 1
，则 ―1 ― ∈ ，得
( ― 1) ∈ ，有 ( ― 1) + ∈ ，即 2 ∈ .
【详解】（1）B 不是“好集”, 理由是：
―1 ∈ ，1 ∈ ，而 ―1 ― 1 = ―2 ，∴B 不是“好集”；
是“好集”， 理由是：0 ∈ Q，1 ∈ Q；对任意 ∈ Q， ∈ Q，有 ― ∈ Q，
且 ≠ 0 1时， ∈ Q，∴有理数集 Q 是“好集”.
（2）因为集合 是“好集”，所以0 ∈ .
若 , ∈ ，则0 ― ∈ ，即 ― ∈ .
所以 ― ( ― ) ∈ ，即 + ∈ .
（3）对任意一个“好集” ，任取 ∈ ，
若 = 0或 = 1时，显然 2 ∈ .
≠ 0且 ≠ 1时，由定义可知： ― 1, 1 ,1 ―1 ∈ .
1 1
所以 ―1 ―
1
∈ ，即 ( ―1) ∈ .
所以 ( ― 1) ∈ .
由（2）可得： ( ― 1) + ∈ ，即 2 ∈ .
变式 6-1．若集合 A={ | 2 + ― 1 = 0}只有一个元素，则 = （ ）
A．-4 B．0 C．4 D．0 或-4
【答案】A
【分析】根据方程只有一个根，结合函数图象确定 的值
【详解】由题意得 2 + ― 1 = 0
≠ 0 ≠ 0
只有一个实根，所以{ = 0,{ 2 + 4 = 0, = ―4，选 A.
【点睛】本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力.
变式 6-2．已知非空数集 满足：对任意给定的 、 ∈ （ 、 可以相同），有 + ∈ 且 ― ∈ .若集合
中最小的正数为 6，则集合 = .
【答案】{ | = 6 , ∈ Z}
【分析】应用定义，推导出集合中的数是 6 的倍数.
【详解】由对任意给定的 、 ∈ （ 、 可以相同），有 + ∈ 且 ― ∈ ，
又 6 是集合中的最小正整数，则6 , ∈ Z也在集合 里，
假设 里有形如6 + , ∈ Z, ∈ {1,2,3,4,5}，那么(6 + ) ― 6 = ∈ ，
与 6 是集合中的最小正整数矛盾，
故答案为： = { | = 6 , ∈ Z}
变式 6-3．设集合 S 中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
1 ∈ 1① ；②若 ，则1― ∈ .
(1) 1求证：若 ∈ ，则1 ― ∈ ；
(2)若2 ∈ ，则在 S 中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
【答案】(1)证明见解析
(2)集合 S 中必含有 ―1,12两个元素.
【分析】（1）根据集合 S 中元素的性质，循环迭代即可得出证明；
（2）由2 ∈ 可得 ―1 ∈ ，由 ―1 ∈ 1可得2 ∈
1
，由2 ∈ 可得2 ∈ ，由此可知会循环出现2, ― 1,
1
2三个数，所
以集合 S 1中必含有 ―1,2两个元素.
1
【详解】（1）证明：因为1 ，所以1 ― ≠ 0，由 ∈ ，则1― ∈ ，
1 1 1― 1
可得1― 1 ∈ ，即1― 1 = = 1 ― ∈ ，
1― 1― ―
1
故若 ∈ ，则1 ― ∈ .
（2）由2 ∈ 1，得1―2 = ―1 ∈ ；
1
由 ―1 ∈ 1，得1―(―1) = 2 ∈ ；
1 1
而当 12 ∈ 时，1― = 2 ∈ ，…，2
因此当2 ∈ 时，集合 S 中必含有 ―1,12两个元素.
变式 6-4．已知数集 含有 （ ∈ *）个元素，定义集合 * = { + | , ∈ }．
(1)若 = {1,2,3}，写出 *；
(2)写出一个集合 ，使得 = *；
(3)当 = 4时，是否存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}？若存在，写出一个符合条件的集合 ；若不存
在，说明理由．
【答案】(1){2,3,4,5,6}
(2){0}
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据集合的新定义，写出 中元素即可得解；
（2）根据条件分析集合中元素即可得解；
（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.
【详解】（1）因为 = {1,2,3}， * = { + | , ∈ }，
所以1 + 1 = 2,1 + 2 = 3,1 + 3 = 4,2 + 2 = 4,2 + 3 = 5,3 + 3 = 6为 中元素，
故 * = { + | , ∈ } = {2,3,4,5,6}.
（2）取 = {0}，此时 * = { + | , ∈ } = {0}，
满足 = *.
（3）当 = 4时，不存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}.
（反证法）
假设 = 4时，存在集合 ，使得 * = {2,3,4,6,7,8,10}，
不妨设 = { , , , }，且 < < < ，
则2 < + < + < + < + < + < 2 ，
所以2 , + , + , + , + , + ,2 为 *中 7 个不同的元素，
所以2 = 2, + = 3, + = 4, + = 6, + = 7, + = 8,2 = 10，
由2 = 2, + = 3, + = 4解得 = 1, = 2, = 3.
此时， + = 5 ∈ 与5 矛盾，
所以假设不成立，
故不存在这样的集合 .
【方法技巧与总结】
1 对于集合中新定义的题型，特别是注意理解集合元素的要求，在解题的过程中一切从定义出发；注意前
一问对下一问的“提示”，注意特殊情况到一般情况的延伸推理.
2 证明否定问题，我们可采取反证法.
一、单选题
1．下面有四个结论:①集合N中最小数为 1；②若 ― N，则 ∈ N；③若 ∈ N， ∈ N，则 + 的最小值
为 2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】直接由元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】①集合N中最小数为0，故①错误；
②取 ―1.5 N，则1.5 N，故②错误；
③若 ∈ N， ∈ N，则 + 的最小值为 2，错误，当 = = 0时， + = 0，故③错误；
④所有的正数组成一个集合，故④正确；
故选：B.
2.下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20 的质数
B．π的近似值
C．方程 =1的实数根
D．函数 = , ∈ R的最小值
【答案】B
【分析】根据集合中元素的性质逐项判断即可.
【详解】对于 A，不超过 20 的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合；
对于 B，π的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合；
对于 C，方程 =1的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合；
对于 D，函数 = , ∈ R不存在最小值，可以组成空集；
故选：B
3.已知集合 = { ∈ Z| < 3 }，则（ ）
A．2 ∈ B．3 ∈
C．0 D． ∈
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】因为 = { ∈ Z| < 3 }，所以3 ,0 ∈ ，而 是集合，与 的关系不应该是属于关系，而应该是
包含关系.
故选:A
3.设 1， 2， 3， 4是 4 个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为{25,26,27}，则这4个数中最小的数为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】依题意从4个正整数中任取3个数求和后可得4个和，则4个和值之和必为3的倍数，从而得到这4个
和为25、26、27、27，即可得到 1 + 2 + 3 + 4，即可求出这四个数.
【详解】从4个正整数中任取3个数求和后可得4个和，则4个和值之和为3( 1 + 2 + 3 + 4)，必为3的倍
数，
又27 ÷ 3 = 9，25 ÷ 3 = 8 1，26 ÷ 3 = 8 2，
所以这4个和为25、26、27、27，
则 1 + 2 + + =
1
3 4 3(25 + 26 + 27 + 27) = 35，
所以35 ― 25 = 10，35 ― 26 = 9，35 ― 27 = 8，
即这4个数分别为8、8、9、10，
故这4个数中最小的数为8.
故选：C
4. 若集合 = { |2 ― 3 > 0, ∈ R}，其中2 ∈ 且1 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A 3 , 3． B 3 , 3 C 3 3 3 3． ． , D． ,
4 2 4 2 4 2 4 2
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
2 × 2 ― 3 > 0 3 3
【详解】由题意可得 2 × 1 ― 3 ≤ 0 ，解得4 < ≤ 2.
故选：A.
2
5.已知集合 = { ―2, ― 1,1,2}, = | = + 2 , ∈ , ∈ ，则集合 等于（ ）
A 5 5．{ ―2, ― 1,0,1,2} B．{ ―2, ― 1,1,2} C． ―1, ― ,1,
2 2
D 5 5． ― , ― 2,2,
2 2
【答案】D

【分析】根据 , 的取值分情况讨论，代入 = + 计算即可.

【详解】 ∵ = + ， ∴ = 时， = 2，
= ― 时， = ―2， = ―2, = ―1或 = 2, = 1 5或 = ―1, = ―2或 = 1, = 2时， = 2， = 2, = ―1
或 = ―2, = 1或 = ―1, = 2或 = 1, = ―2时， = ― 52，
故 = ― 5 , ― 2,2, 5 .
2 2
故选：D.
6.若集合 = | = 3 , ∈ N* ， = | = 3 ― 1, ∈ N* ， = | = 3 ― 2, ∈ N* ，且
∈ , ∈ , ∈ ，则下列结论中可能成立的是（ ）
A．2023 = + + B．2023 =
C．2023 = ( + ) D．2023 = +
【答案】D
【分析】根据已知可得出 是 3 的倍数， 是 3 的倍数减 1， 是 3 的倍数减 2，且 , 奇偶性相反.进而逐项
分析，即可得出答案.
【详解】根据已知易得， 是 3 的倍数， 是 3 的倍数减 1， 是 3 的倍数减 2，且 , 奇偶性相反.
对于 A 项，由已知可推得， + + 一定是 3 的倍数，而2023 = 3 × 674 + 1，故 A 项错误；
对于 B 项，由已知可推得， 一定是 6 的倍数，而2023 = 3 × 674 + 1，故 B 项错误；
对于 C 项，由已知可推得， ( + )一定是 3 的倍数，而2023 = 3 × 674 + 1，故 C 项错误；
对于 D 项，设 = 3 ， = 3 ― 1， = 3 ― 2，
则 + = 3 ― 2 + 3 (3 ― 1) = 9 2 ―2.
令9 2 ―2 = 2023，可得 =± 15（舍去负值），故 D 项正确.
故选：D.
7.若集合 = ∈ R| 2 ― 2 + 1 = 0 中只有一个元素，则实数 = （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0 或 1
【答案】D
【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.
【详解】当 = 0时，由 2 ―2 + 1 = 0 1可得 = 2，满足题意；
当 ≠ 0时，由 2 ―2 + 1 = 0只有一个根需满足Δ = ( ― 2)2 ―4 = 0，
解得 = 1.
综上，实数 的取值为 0 或 1.
故选：D
8. ( ) A = ( ) ― ( ), ( ) ≥ ( )记 为非空集合 中的元素个数，定义 ( ) ― ( ), ( ) < ( ) .若 = {1,2}， =
|( 2 + )( 2 + + 5) = 0 ，且 = 1，设实数 a 的所有可能取值组成的集合是 S，则 ( )等于
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件可得 ( ) = 1或 ( ) = 3，再根据集合 中的方程的根的个数，对参数 进行分类讨
论即可求得实数 的所有可能取值，即可得出结果.
【详解】由定义得 ( ) = 2，又 = 1，则 ( ) = 1或 ( ) = 3，
由方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0，得 2 + = 0或 2 + + 2 = 0，
当 ( ) = 1时，方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0只有一个实数根，
而方程 2 + = 0有一根为 0，则另一根必为 0， ― = 0，此时 2 + + 2 = 0无实根，因此 = 0；
当 ( ) = 3时，必有 ≠ 0，方程 2 + = 0有两个不相等的实数根 1 = 0, 2 = ― ，
并且 1 = 0, 2 = ― 都不是方程 2 + + 2 = 0的根，
显然方程 2 + + 2 = 0有两个相等的实数根，且异于 1 = 0, 2 = ― ，
于是Δ = 2 ―8 = 0，解得 = 2 2或 = ―2 2，
当 = 2 2时，方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0的根为0, ― 2 2, ― 2，满足题意，
当 = ―2 2时，方程( 2 + )( 2 + + 2) = 0的根为0,2 2, 2，满足题意，
因此 = 2 2或 = ―2 2，所以 = {0,2 2, ― 2 2}， ( ) = 3.
故选：C
二、多选题
9．给出下列说法，其中不正确的是（ ）
A．集合{ ∈ N| 3 = }用列举法表示为{0,1}
B．实数集可以表示为{ | 为所有实数}或{R}
C + = 0 1 1．方程组 ― = ―1 的解组成的集合为 = ― , =2 2
D．集合{ | = 2}与{( , )| = 2}是同一个集合
【答案】BCD
【分析】根据集合的表示法可以依次判断.
【详解】对于 A，集合{ ∈ N| 3 = }中只含有两个元素 0 和 1，所以用列举法表示为{0,1}，故 A 正确；
对于 B，R 就表示实数集，实数集用{R}为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现
所有字眼，故 B 错误；
对于 C 1，解集应为 ― , 1 ，原表示错误，故 C 错误；
2 2
对于 D，集合{ | = 2}为 y 的取值集合，集合{( , )| = 2}表示 = 2上点的集合，所以两个集合不是同
一个集合，故 D 错误；
故选：BCD.
10.已知集合 = | 2 + 2 + 1 = 0, ∈ R ，则下列说法中错误的是（ ）
A．若 A 中只有一个元素，则 = 1 B．若 A 中至少有一个元素，则 ≤ 1
C．若 A 中至多有一个元素，则 ≥ 1 D．若 A 中恰有两个元素，则 < 1
【答案】ACD
【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可判断选项.
【详解】对于选项 A：若 A 中只有一个元素，
即方程 2 +2 + 1 = 0有一个根，或两个相等实根，
当 = 0 1时，原方程变为2 + 1 = 0，此时 = ― 2符合题意，
当 ≠ 0时，方程 2 +2 + 1 = 0有两个相等实根，
所以Δ = 4 ― 4 = 0，即 = 1，
所以当 A 中只有一个元素时，则 = 0或 = 1，故 A 错误；
对于选项 B：若 A 中至少有一个元素，即 A 中有一个元素或两个元素，
当 A 中有一个元素时，由前面可知， = 0或 = 1；
当 A 中有两个元素时，方程 2 +2 + 1 = 0有两个不等实根，
≠ 0
所以 Δ = 4 ― 4 > 0 即 < 1且 ≠ 0，
所以若 A 中至少有一个元素，则 ≤ 1，故 B 正确；
对于选项 C：若 A 中至多有一个元素，即 A 中有一个元素或没有元素，
当 A 中有一个元素时，由前面可知， = 0或 = 1；
当 A 中没有元素时，即方程 2 +2 + 1 = 0无实根，
≠ 0
所以 Δ = 4 ― 4 < 0 即 > 1，
所以若 A 中至多有一个元素，则 = 0或 ≥ 1；故 C 错误；
对于选项 D：若 A 中恰有两个元素，由前面可知， < 1且 ≠ 0，故 D 错误；
故选：ACD
11.设 S 为实数集R的非空子集．若对任意 , ∈ ，都有 + , ― , ∈ ，则称 S 为封闭集．下列命题正
确的是（ ）
A．自然数集 N 为封闭集
B．整数集 Z 为封闭集
C．集合 = { + 2| , 为整数}为封闭集
D．若 S 为封闭集，且1 ∈ ，则 S 一定为无限集
【答案】BCD
【分析】根据封闭集的定义，举反例判断 A；根据封闭集定义可判断 B，C；由封闭集定义可推出所有整
数都属于 S，判断 D.
【详解】对于 A，取1,2 ∈ N，则1 + 2 ∈ N,1 ― 2 = ―1 N，故自然数集 N 不是封闭集；
对于 B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集 Z 为封闭集；
对于 C，设 = 1 + 1 2, = 2 + 2 2, 1, 1, 2, 2都是整数，
则 1 + 2 ∈ Z, 1 + 2 ∈ Z，故 + = 1 + 2 +( 1 + 2) 2 ∈ ，
同理 ― = 1 ― 2 +( 1 ― 2) 2 ∈ ，
= ( 1 + 1 2)( 2 + 2 2) = ( 1 2 +2 1 2) + ( 1 2 + 2 1) 2 ∈ ,
故集合 = { + 2| , 为整数}为封闭集，C 正确；
对于 D，若 S 为封闭集，且1 ∈ ，则1 + 1 = 2 ∈ ,1 ― 1 = 0 ∈ ,
则0 ― 1 ∈ ,1 + 2 = 3 ∈ ，依此类推可得所有整数都属于 S，
则 S 一定为无限集，D 正确，
故选：BCD
三、填空题
12．已知集合 = { ,| |}，若2 ∈ ，则 = ．
【答案】 ―2
【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.
【详解】因为 = { ,| |}，且2 ∈ ，
= 2 ≠ 2
则 | | ≠ 2 或 | | = 2 ，解得 = ―2.
故答案为： ―2.
13.含有三个实数的集合可表示为 , ,1 ，也可以示为{ 2, + ,0}，则 2013 + 2014的值为 .

【答案】0
【分析】结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案.

【详解】因为 , ,1 = { 2, + ,0}，且 ≠ 0，所以 = 0，

则有{ ,0,1} = { 2, ,0}，
所以 2 = 1，且 ≠ 1，得 = ―1，
所以， 2013 + 2014 = ( ― 1)2013 + ( ― 1)2014 = ―1 + 1 = 0
故答案为：0
14.集合 = { |( ― 1)( 2 ― 4 + ) = 0, ∈ R }中恰好有两个元素，则实数 满足的条件是 .
【答案】 = 3或4
【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.
【详解】由方程( ― 1)( 2 ― 4 + ) = 0，则 = 1或 2 ―4 + = 0，
当 2 ―4 + = 0存在两个相等的实数根时，Δ = ( ―4)2 ―4 × 1 × = 0，解得 = 4，
此时方程 2 ―4 + 4 = 0的解为 = 2 ≠ 1，符合题意；
当 2 ―4 + = 0存在两个不相等的实数根且其中一个根为1时，12 ―4 × 1 + = 0，解得 = 3，
此时Δ = ( ―4)2 ―4 × 1 × 3 = 4 > 0，则方程另一个解为3，符合题意.
综上所述，当 = 4或3时，集合 中恰有两个元素.
故答案为： = 3或4.
四、解答题
15．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于 0 且不超过 10 的全体偶数组成的集合 ；
(2)被 3 除余 2 的自然数全体组成的集合 ；
(3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合 .
【答案】(1) = {2,4,6,8,10}
(2) = { | = 3 + 2, ∈ }
(3) = {( , )| < 0}
【分析】结合集合的表示方法分别求解（1）（2）（3）即可．
【详解】（1）用列举法： = {2,4,6,8,10}.
（2）用描述法： = { | = 3 + 2, ∈ N}.
（3）因为第二象限中所有点( , )具有的特征是 < 0且 > 0，
而第四象限中所有点具有的特征是 > 0且 < 0，
所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为 < 0，
故用描述法： = {( , )| < 0}.
16. 1设集合 A 中的元素均为实数，且满足条件：若 ∈ ，则1― ∈ ( ≠ 1, ≠ 0).求证：
(1)若2 ∈ ，则 A 中必还有另外两个元素；
(2)集合 A 不可能是单元素集.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
1 2 ∈ ―1 ∈ 1（ ）根据题意，由 ，得 ，进而2 ∈ ，得证；
（2）反证法证明.
【详解】（1）
若 ∈ 1，则1― ∈ ( ≠ 1, ≠ 0),
又因为2 ∈ 1，所以1―2 = ―1 ∈ .
1 1
因为 ―1 ∈ ，所以1―(―1) = 2 ∈ .
1
因为2 ∈
1
，所以1 ― 2 = 2 ∈ .
1
所以 A 中另外两个元素为 ―1,2.
（2）
若 A 1为单元素集，则 = 1― ，
即 2 ― + 1 = 0，方程无实数解．
所以 ≠ 11― ，所以集合 A 不可能是单元素集．
17.对于集合 A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作 A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有
A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，
B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题．
(1)已知 C＝{a}，D＝{1，2，3}，求 C×D；
(2)已知 A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合 A，B；
(3)A 有 3 个元素，B 有 4 个元素，试确定 A×B 有几个元素．
【答案】(1) × = {( ,1),( ,2),( ,3)}
(2) = {1,2}， = {2}.
(3)12
【分析】（1）根据 A×B 的定义求解即可.
（2）根据 A×B 的定义求解即可.
（3）根据 A×B 的定义求解即可.
【详解】（1）因为 C＝{a}，D＝{1，2，3}，根据已知有：
× = {( ,1),( ,2),( ,3)}.
（2）因为 A×B＝{(1，2)，(2，2)}，
所以 = {1,2}， = {2}.
（3）根据已知可知，集合 A 中的任何一个元素与 B 中任何一个元素对应后，
得到 A×B 中的一个新元素. A 有 3 个元素，B 有 4 个元素，
则 A×B 有3 × 4 = 12个元素．
18. 1已知由实数组成的集合 ，1 ，又满足：若 ∈ ，则1― ∈ .
(1) 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
(2) 中含元素个数一定是3 ( ∈ N )个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
【答案】(1)A 不可能是单元素集合，理由见解析；
(2)A 中所含元素个数一定是3 ( ∈ N )，证明见解析．
【分析】（1 x 1 1）由 与1― 都在集合 A 中，结合集合 A 只含有一个元素，得 = 1― ，再判断方程有无实数
根，若有解则存在，若无解则不存在；
1
（2）A 1 ―1 1中所含元素个数一定是3 ( ∈ N )个．由 ∈ ，则1― ∈ ，得到1― 1 = ∈ ，然后推导出 ,1― 1―
―1
， 互不相等即可证明 A 中所含元素个数一定是3 ( ∈ N
)个．
1
【详解】（1）假设 A 中仅含一个元素，不妨设为 a，则 ∈ ，有1― ∈ ，
又 A 1中只有一个元素， ∴ = 21― ，即 ― + 1 = 0，
但此方程Δ < 0，即方程无实数根，
∴不存在这样的实数 a，故 A 不可能是单元素集合．
（2） 中所含元素个数一定是3 ( ∈ N )个．
1 1 ―1 1
证明： ∈ ，则 ∈ ，1― 1 = ∈ ，而1― ―11― = ，1―
∵ ∈ R 1且 ≠ 1， ∴ 当 = 时， 21― ― + 1 = 0，
Δ = 1 ― 4 < 0 1，方程 2 ― + 1 = 0无解， ∴ ≠ 1― ；
= ―1当 时，
2 ― + 1 = 0，Δ = 1 ― 4 < 0，方程 2 ― + 1 = 0 ―1无解， ∴ ≠ ；
1 ―1
当 2 21― = 时， ― + 1 = 0，Δ = 1 ― 4 < 0，方程 ― + 1 = 0 ∴
1 ≠ ―1无解， 1― ，
∴ 中所含元素个数一定是3 ( ∈ N )个．
19.已知集合 = { 1, 2, , }中的元素都是正整数，且 1 < 2 < < ．若对任意 , ∈ ，且 ≠ ，都有

| ― | ≥ 25成立，则称集合 A 具有性质 ．
(1)判断集合{1,2,3,4}是否具有性质 ；
1 1
(2) ― 已知集合 A 具有性质 ，求证： ― ≥ ( = 1,2, , )； 25
(3)证明： 3是无理数．
【答案】(1)具有
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解；
1 1 1
（2）由所给性质变形可得 ― ≥ 25，利用累加相消法即可得解； +1
（3）根据无理数和有理数的定义利用反证法分析说明.
【详解】（1 1×2）由题意可得：|1 ― 2| > 25 ,|1 ― 3| >
1×3
25 ,|1 ― 4| >
1×4
25 ,|2 ― 3| >
2×3
25 ,|2 ― 4| >
2×4
25 ,|3 ― 4| >
3×4
25 ，
所以集合{1,2,3,4}具有性质 .
（2）因为 = 1,2, , ，则有：
当 = 时，0 ≥ 0，符合题意；
+1
当 < 时，因为| ― +1| ≥ 25 ( = 1,2,3, , ― 1)，且0 < 1 < 2 < < ，
+1 1 1
所以 +1 ― ≥ 25 ( = 1,2,3, , ― 1) ― ≥
1
，可得： +1 25，
1 1 1 1 1 1
所以 ― + ― + ... + ― ≥
―
，
+1 +1 +2 ―1 25
1 1 ―
即 ― ≥ 25 ( = 1,2,3, , ― 1)；
1 1 ―
综上所述： ― ≥ 25 ( = 1,2, , ).

（3）反证：假设 3是有理数，则 3 = （ , 为互质的正整数），
2
可得 2 = 3，即
2 = 3 2，
可知 为 3 的倍数，设 = 3 , ∈ *，
即9 2 = 3 2，可得 2 = 3 2，可知 为 3 的倍数，
这与 , 为互质相矛盾，故 3是无理数.

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