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十字相乘法因式分解—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1． 下列多项式中， 能分解出因式 x-1 的是（　　）
A． B． C． D．
2．代数式 分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
3．将多项式x2-3x-4分解因式，结果是（　　）
A．（x+2）（x-2）-3x B．x（x-3）-4
C．（x-1）（x+4） D．（x+1）（x-4）
4．若，则等于（　　）
A．0 B．2 C．-1 D．-2
5．若 均为整式， 且满足 ， 则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·长沙月考）若，且，为不大于的正整数，则　 　．
7． 若 ， 则 　 　，　 　
8．利用十字相乘法，将下列多项式分解因式：
（1） 　 　
（2） 　 　
（3） 　 　
（4） 　 　
9．（2023七下·桐城期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
10．下图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表示大长方形的面积： ① ； ②， 请据此
回答下列问题：
（1） 因为 ，所以 　 　.
（2）利用（1） 中的结论，我们可以对特殊的二次三项式分解 因式，
例： ① ．
② ． （请将结果补充出来）
请利用上述方法将下面多项式分解因式： +20 （写出分解过程）．
阅卷人 二、能力提升
得分
11．（2021八上·长沙期末）如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
12．（2021八上·玉州期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
13．（2022七下·覃塘期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为　 　.
14．因式分解：．
15．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值.
方法一设另一个因式为 ，得
，
则 ，
∴ 解得 ，
∴另一个因式为 的值为 .
方法二：设另一个因式为 ，得
，
∴当 时， ，
即 ，解得 ，
∴
，
∴另一个因式为 的值为-21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则实数 　 　.
（2）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
阅卷人 三、拓展创新
得分
16．（2022七上·杨浦期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算： ，例如： ，再如： ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
（1） 　 　．
（2）当 时，求x的值．
（3）将下面式子进行因式分解：
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：四个选项中，只有A能分解出x-1，因为.
故答案为：A.
【分析】利用十字相乘法因式分解即可求解.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：=，
故答案为：B.
【分析】利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，故选项A错误，不符合题意；
B、不是因式分解，故选项B错误，不符合题意；
C、(x-1)(x+4)=x2-x+4x-4=x2+3x-4，故选项C错误，不符合题意.
D、(x+1)(x﹣4)=x2+x－4x-4=x2﹣3x-4，即 x2-3x-4 =(x+1)(x﹣4)，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个多项式分解成几个整式乘积的形式，称为因式分解.据此可判断AB；利用整式乘法进行计算，计算结果与 x2-3x-4 比较，可判断CD.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴m-1=1，
解得m=2.
故答案为：B.
【分析】先把（x-m）（x+1）展开，即可得到关于m的方程，进而求出m.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵（x+3）M=x2-2x+N，
∴M=x-5，N=-15.
故正确答案选：D.
【分析】由（x+3）M=x2-2x+N，由左边的（x+3）中的x的次数是1，系数是1，等号右边的x的最高次数是2，系数是1，可以推出M中一定含有未知数x，且系数是1。同理，结合十字交叉相乘法，可知M中的常数项一定是-5，进而推出N的值一定是-15.
6．【答案】13
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴p+q=m，pq=36，
∵，为不大于的正整数，
∴p=4，q=9或p=9，q=4，
∴m=p+q=4+9=13.
故答案为：13.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得p+q=m，pq=36，再结合“，为不大于的正整数”可得p=4，q=9或p=9，q=4，最后求出m=p+q=4+9=13即可.
7．【答案】-1；-12
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；多项式相等
【解析】【解答】解：将右侧的多项式展开：(x + 3)(x - 4) = x2 - 4x + 3x - 12 = x2 - x - 12.
然后，将展开后的多项式与左侧的多项式进行比较：x2 + ax + b = x2 - x - 12.
通过比较对应的项，可以得到：
a = -1，
b = -12.
故答案为：-1；-12.
【分析】题目要求找到a和b的值，使得多项式x2 + ax + b等于因式分解后的形式(x + 3)(x - 4). 为了找到a和b的值，需要将右侧的多项式展开，并与左侧的多项式进行比较.
8．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：（1）∵ 2x+5x=7x且2×5=10
∴原式=
（2）∵ -3x+x=-2x且-3×1=-3
∴原式=
（3）∵ -3y+(-4y)=-7y且-3×（-4）=12
∴原式=
（4）∵ -2x+9x=7x且-2×9=-18
∴原式=
【分析】根据p、q公式的逆运算可得结果.
9．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）直接根据"十字相乘法"分解因式，即可得出结果；
（2）先提公因式x，再用十字相乘法进行因式分解，即可得出结果；
（3）先把常数项-6分解成两个因数的积，写出所有可能的结果，然后把两个因数相加，就可得出p所有可能的值。
10．【答案】（1）
（2）解： ②；
.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： (1)；
故答案为：.
(2) ②；
故答案为：；
【分析】（1）利用等面积法即可求解；
（2）根据第1问的结论，即可得解；
（3）根据第1问的结论，即可得解.
11．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、十字相乘法进行因式分解，据此即可求解.
12．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11.
13．【答案】（x-3）（x+2）
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（x-1）（x+6）＝x2+5x-6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝-6；
（x-2）（x+1）＝x2-x-2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝-1.
∴x2+mx+n
＝x2-x-6
＝（x-3）（x+2）.
故答案为：（x-3）（x+2）.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-1)(x+6)＝x2+5x-6，(x-2)(x+1)＝x2-x-2，由题意可得n＝-6，m＝-1，则x2+mx+n=x2-x-6，然后利用十字相乘法进行分解.
14．【答案】解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】先展开并化简为，再利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
15．【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为 ，得 ，则 ，
∴ 解得
故另一个因式为 的值为5.
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：(1)设另一个因式为：x+n，
∴ ，
∴，
∴n-3=-p，-3n=-6，
∴n=2，p=1.
故答案为：1.
【分析】(1)设另一个因式为：x+n，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系列等式计算，即可解答；
(2)设另一个因式为：x+a，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系，即等式两边相同指数项的系数相等列等式计算，即可解答.
16．【答案】（1）14
（2）解：由题意得，，
解得：；
（3）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；定义新运算
【解析】【解答】（1）原式，
故答案为：14；
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法列出方程，再求出x的值即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法可得，再因式分解即可。
1 / 1十字相乘法因式分解—人教版数学八（上）知识点训练
阅卷人 一、基础夯实
得分
1． 下列多项式中， 能分解出因式 x-1 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：四个选项中，只有A能分解出x-1，因为.
故答案为：A.
【分析】利用十字相乘法因式分解即可求解.
2．代数式 分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：=，
故答案为：B.
【分析】利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
3．将多项式x2-3x-4分解因式，结果是（　　）
A．（x+2）（x-2）-3x B．x（x-3）-4
C．（x-1）（x+4） D．（x+1）（x-4）
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，故选项A错误，不符合题意；
B、不是因式分解，故选项B错误，不符合题意；
C、(x-1)(x+4)=x2-x+4x-4=x2+3x-4，故选项C错误，不符合题意.
D、(x+1)(x﹣4)=x2+x－4x-4=x2﹣3x-4，即 x2-3x-4 =(x+1)(x﹣4)，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个多项式分解成几个整式乘积的形式，称为因式分解.据此可判断AB；利用整式乘法进行计算，计算结果与 x2-3x-4 比较，可判断CD.
4．若，则等于（　　）
A．0 B．2 C．-1 D．-2
【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴m-1=1，
解得m=2.
故答案为：B.
【分析】先把（x-m）（x+1）展开，即可得到关于m的方程，进而求出m.
5．若 均为整式， 且满足 ， 则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵（x+3）M=x2-2x+N，
∴M=x-5，N=-15.
故正确答案选：D.
【分析】由（x+3）M=x2-2x+N，由左边的（x+3）中的x的次数是1，系数是1，等号右边的x的最高次数是2，系数是1，可以推出M中一定含有未知数x，且系数是1。同理，结合十字交叉相乘法，可知M中的常数项一定是-5，进而推出N的值一定是-15.
6．（2024八上·长沙月考）若，且，为不大于的正整数，则　 　．
【答案】13
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴p+q=m，pq=36，
∵，为不大于的正整数，
∴p=4，q=9或p=9，q=4，
∴m=p+q=4+9=13.
故答案为：13.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得p+q=m，pq=36，再结合“，为不大于的正整数”可得p=4，q=9或p=9，q=4，最后求出m=p+q=4+9=13即可.
7． 若 ， 则 　 　，　 　
【答案】-1；-12
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；多项式相等
【解析】【解答】解：将右侧的多项式展开：(x + 3)(x - 4) = x2 - 4x + 3x - 12 = x2 - x - 12.
然后，将展开后的多项式与左侧的多项式进行比较：x2 + ax + b = x2 - x - 12.
通过比较对应的项，可以得到：
a = -1，
b = -12.
故答案为：-1；-12.
【分析】题目要求找到a和b的值，使得多项式x2 + ax + b等于因式分解后的形式(x + 3)(x - 4). 为了找到a和b的值，需要将右侧的多项式展开，并与左侧的多项式进行比较.
8．利用十字相乘法，将下列多项式分解因式：
（1） 　 　
（2） 　 　
（3） 　 　
（4） 　 　
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
解：（1）∵ 2x+5x=7x且2×5=10
∴原式=
（2）∵ -3x+x=-2x且-3×1=-3
∴原式=
（3）∵ -3y+(-4y)=-7y且-3×（-4）=12
∴原式=
（4）∵ -2x+9x=7x且-2×9=-18
∴原式=
【分析】根据p、q公式的逆运算可得结果.
9．（2023七下·桐城期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）直接根据"十字相乘法"分解因式，即可得出结果；
（2）先提公因式x，再用十字相乘法进行因式分解，即可得出结果；
（3）先把常数项-6分解成两个因数的积，写出所有可能的结果，然后把两个因数相加，就可得出p所有可能的值。
10．下图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表示大长方形的面积： ① ； ②， 请据此
回答下列问题：
（1） 因为 ，所以 　 　.
（2）利用（1） 中的结论，我们可以对特殊的二次三项式分解 因式，
例： ① ．
② ． （请将结果补充出来）
请利用上述方法将下面多项式分解因式： +20 （写出分解过程）．
【答案】（1）
（2）解： ②；
.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： (1)；
故答案为：.
(2) ②；
故答案为：；
【分析】（1）利用等面积法即可求解；
（2）根据第1问的结论，即可得解；
（3）根据第1问的结论，即可得解.
阅卷人 二、能力提升
得分
11．（2021八上·长沙期末）如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、十字相乘法进行因式分解，据此即可求解.
12．（2021八上·玉州期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11.
13．（2022七下·覃塘期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为　 　.
【答案】（x-3）（x+2）
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（x-1）（x+6）＝x2+5x-6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝-6；
（x-2）（x+1）＝x2-x-2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝-1.
∴x2+mx+n
＝x2-x-6
＝（x-3）（x+2）.
故答案为：（x-3）（x+2）.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-1)(x+6)＝x2+5x-6，(x-2)(x+1)＝x2-x-2，由题意可得n＝-6，m＝-1，则x2+mx+n=x2-x-6，然后利用十字相乘法进行分解.
14．因式分解：．
【答案】解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】先展开并化简为，再利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
15．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值.
方法一设另一个因式为 ，得
，
则 ，
∴ 解得 ，
∴另一个因式为 的值为 .
方法二：设另一个因式为 ，得
，
∴当 时， ，
即 ，解得 ，
∴
，
∴另一个因式为 的值为-21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则实数 　 　.
（2）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为 ，得 ，则 ，
∴ 解得
故另一个因式为 的值为5.
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：(1)设另一个因式为：x+n，
∴ ，
∴，
∴n-3=-p，-3n=-6，
∴n=2，p=1.
故答案为：1.
【分析】(1)设另一个因式为：x+n，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系列等式计算，即可解答；
(2)设另一个因式为：x+a，根据题意分别列等式，再根据整式的乘法将右式展开，再根据恒等的关系，即等式两边相同指数项的系数相等列等式计算，即可解答.
阅卷人 三、拓展创新
得分
16．（2022七上·杨浦期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算： ，例如： ，再如： ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
（1） 　 　．
（2）当 时，求x的值．
（3）将下面式子进行因式分解：
【答案】（1）14
（2）解：由题意得，，
解得：；
（3）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；定义新运算
【解析】【解答】（1）原式，
故答案为：14；
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法列出方程，再求出x的值即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法可得，再因式分解即可。
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