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第30讲
图形的平移、旋转与对称
目录
CONTENTS
1
2
3
课标要求 作业目标
教材整合·核心归纳
重点精讲·变式探究
课标要求 作业目标
01
第七单元 第30讲
课标要求 作业目标
图形旋转 1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转. 2.探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 3.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 4.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质. 5.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 认识生产生活中的旋转现象,了解平面图形旋转的概念,掌握图形旋转的性质,会根据旋转性质画出简单平面图形旋转后的图形
会运用旋转变换选择不同的旋转中心、不同的旋转角进行简单的图形设计
了解中心对称的概念,知道中心对称和轴对称的区别和联系，掌握中心对称的性质,会画出和已知图形关于已知点对称的图形,会找出两个图形关于某点对称时的对称中心
了解中心对称图形的概念,知道中心对称和中心对称图形的区别和联系,认识并欣赏自然界和现实中常见的中心对称图形，能辨析几何图形中常见的中心对称图形
掌握直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的特征,会画出和已知图形关于原点对称的图形
要求与目标
课标要求 作业目标
图形平移 1.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。 2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。 3.运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 掌握基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等
在平面直角坐标系中，能用坐标表示平移，通过研究平移与坐标的关系，体会数形结合的思想
要求与目标
教材整合 核心归纳
02
第七单元 第30讲
1. 把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，
再向上平移1cm，得到正方形EFGH，
则重叠部分的面积为 cm2.
2. 如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点
B的对应点D落在边AC的延长线上，若AB＝12，AE＝7，则
线段CD的长为 .
4　
5　
2　
△ABC≌△ADE
AB＝AD＝12，AC＝AE＝7
CD＝AD－AC＝12－7＝5
轴对称 图形 判断方法：(1)找直线；(2)图形沿该直线折叠；(3)两边的图形完全重合
中心对称 图形 判断方法：(1)找点；(2)图形绕该点旋转180°；(3)旋转前后的图形完全重合
考点 　对称【省卷T6，长沙T1】
轴对称 性质：(1)成轴对称的两个图形 ；
(2)对应点所连线段被对称轴
中心对称 性质：(1)成中心对称的两个图形 ；
(2)对应点所连线段都经过对称中心，
且被对称中心 ；
(3)对应线段互相平行(或在一条直线上)
全等
垂直平分
全等
平分　
考点清单
要素 (1)平移方向；(2)平移距离
性质 (1)全等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等.如左图，△ABC≌ ，AB＝ ，
BC＝ ，AB∥ ，AC∥ ，
∠A＝ ，∠B＝ ；
(2)对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.如左图， AA'∥BB'∥ ，AA'＝ ＝CC'
△A'B'C'　
A'B'　
B'C'　
A'B'　
A'C'　
∠A'　
∠B'　
CC'　
BB'　
考点 　平移
要素 (1)旋转中心(点O)；(2)旋转方向(顺时针)；(3)旋转角
性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等.如左图，
AO＝ ，BO＝ ，CO＝ ；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.如左图，∠AOA'＝ ＝ ＝旋转角；
(3)旋转前后的图形全等.如左图，△ABC≌
A'O　
B'O　
C'O　
∠BOB'　
∠COC'　
△A'B'C'　
考点 　旋转
考点清单
重难精讲
变式探究
03
第七单元 第30讲
例　改编问题链　如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得△DEC，
点D恰好在AB上.
(1)若AC＝4，求DE的长；解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
AC＝4，∴AB＝2AC＝8.∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定
角度得到△DEC，∴DE＝AB＝8.
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定
角度得到△DEC，∴DE＝AB＝8.
例题图
AB＝8
DE＝AB＝8
(2)确定△ACD的形状，并说明理由；
解：(2)△ACD是等边三角形.理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴AC＝CD. ∴△ACD是等边三角形.
解：△ACD是等边三角形.理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转
一定角度得到△DEC，
∴AC＝CD. ∴△ACD是等边三角形.
　例题图
例　改编问题链　如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得△DEC，
点D恰好在AB上.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠A＝60°
AC＝CD
△ACD是等边三角形
例　改编问题链　如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得△DEC，
点D恰好在AB上.
(3)连接BE，确定△BCE的形状，并说明理由；
解：(3)△BCE为等边三角形.理由如下：∵△ABC绕点C顺时
针旋转一定角度得到△DEC，
∴BC＝EC，∠ACB
解：△BCE为等边三角形.理由如下：
∵△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴BC＝EC，∠ACB＝∠DCE.
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB.
∴∠ACD＝∠BCE.
由(2)得△ACD是等边三角形，∴∠BCE＝∠ACD＝60°.
∴△BCE是等边三角形.
　例题图
BC＝EC，∠ACB＝∠DCE
∠DCB是共角
∠ACD＝∠BCE＝60°
△BCE是
等边三角形
例　改编问题链　如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上.
(4) 若CE＝8，点K为直线DE上的一点，
求AK＋CK的最小值.
　例题图
作 B点或 C 点关于直线DE的对称点
∠DEC＝∠ABC＝30°，BC＝CE＝8
30°
30°
由(3)知△BCE是等边三角形
8
8
∠BED＝∠DEC＝30°
30°
△DBE≌△DCE
点B与点C关于直线DE对称
当K与D重合时，AK＋CK最小
最小值＝AB＝ ＝ ＝
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴∠DEC＝∠ABC＝30°，BC＝CE＝8.
由(3)知△BCE是等边三角形，
∴∠BED＝∠DEC＝30°.
在△DBE和△DCE中，
∴△DBE≌△DCE(SAS).
∴BD＝CD，即点B与点C关于直线DE对称.
∵K为直线DE上的一点，∴BK＝CK.
∴当K与D重合时，AK＋CK最小，最小值＝AB＝ ＝ ＝ .
例　改编问题链　如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上.
(4) 若CE＝8，点K为直线DE上的一点，求AK＋CK的最小值.
1. (2024·长沙)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形
的是(　B　)
B
2. (2024·河北)如下图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO
关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D. 下列不
一定正确的是(　A　)
A. AD⊥BC B. AC⊥PQ
C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD
A
第2题图
3. (2023·株洲)如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD
相交于点O，下列说法正确的是(　A　)
A. 点O为矩形ABCD的对称中心
B. 点O为线段AB的对称中心
C. 直线BD为矩形ABCD的对称轴
D. 直线AC为线段BD的对称轴
第3题图
A
4. 如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC. 点D，E
分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的
对应点为点B'.若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，
CE＝3，则BC的长为 .
第4题图
9　
3
30°
B'E＝6
B'E＝BE＝6
BC＝CE＋BE＝9
6
6
5. (2022·怀化)如图，△ABC沿BC方向平移后得到△DEF，
已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是(　C　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第5题图
C
【变式题】如右图，已知∠ACB＝90°，
∠A＝30°，BC＝2cm，把△ABC沿AB方向平移1cm，
得到△A'B'C'，连接CC'，
则四边形AB'C'C的周长为 cm.
(8＋2 )　
变式题图
6. (2023·衡阳二模改编)下图是一块矩形ABCD的场地，长AB
＝99m，宽AD＝41m，从A，B两处入口的路宽都为1m，两小
路汇合处路口宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积
为 m2.
第6题图
3880　
7. (2023·益阳)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为AB
的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得
到△DCF，连接EF，则EF的长为 .
第7题图
2 　
8. (2023·长沙岳麓区三模)如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则∠BB'C' 的度数为 °.
第8题图
25　
9. 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如
上图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为
(－3，2)，(4，3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 .
第9题图
(－3，1)　
x　
y　
O　
A′
10. (2022·常德)如下图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
点A，B的对应点分别是点D，E，点F是边AC的中点，连接
BF，BE，FD，则下列结论错误的是(　D　)
A. BE＝BC B. BF∥DE，BF＝DE
C. ∠DFC＝90° D. DG＝3GF
第10题图
D
11. (2024·龙东)如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边
长都是1个单位长度.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点
坐标分别为A(－1，1)，B(－2，3)，C(－5，2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
第11题图
解：△A1B1C1如图所示，
点B1的坐标为(2，3).
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；
解：△AB2C2如图所示，
点B2的坐标为(－3，0).
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长
(结果保留π).
11. (2024·龙东)如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边
长都是1个单位长度.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点
坐标分别为A(－1，1)，B(－2，3)，C(－5，2).
第11题图
解：∵AB＝ ＝ ，∠BAB2＝90°，
∴点B旋转到点B2的过程中所经过的路径
长为 ＝ π.
课堂小结
图形的对称、平移与旋转
轴对称图形与轴对称
性质
图形的对称
图形的平移
中心对称图形与中心对称
定义
两要素
图形的旋转
性质
定义
三要素

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