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2024-2025学年广东省“上进联考·领航高中联盟”高一上学期第一次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.若幂函数在上单调递减，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，则有( )
A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.若对任意，都至少存在三个互不相等的整数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，且，则( )
A. B. C. D.
10.下列幂值比大的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数满足，且，，则( )
A. B.
C. 不可能是奇函数 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是偶函数，则 ．
13.已知某个店铺销售的某商品价格为元件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过元的部分按照返现，超过元的部分按照返现若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用支付款减去返现为元，则时， ．
14.已知函数若存在，，，使得，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求．的值
若，用表示．
16.本小题分
已知集合，．
若，求
若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
判断的单调性，并用定义法证明
求关于的不等式的解集．
18.本小题分
已知函数．
若方程在上有解，求的取值范围
求关于的不等式的解集
若，求函数在区间上的最大值．
19.本小题分
若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”．
判断，是否是上的“阶等值函数”直接写出结论
若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”
证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：．
因为，所以，
所以

16.解：，或
当时，
所以
由知，或，
因为“”是“”的充分条件
所以
所以或
解得或
所以的取值范围是

17.解：在上单调递增．
证明如下：设，，且，
则，
因为，所以，，
又，，所以，
即，
所以在上单调递增．
所以是定义在上的奇函数．
等价于，
又在上单调递增，
所以，，．
所以不等式的解集为．

18.解：在上有解，
即在上有解，
因为，，所以，
因为，
所以解得，
所以的取值范围是．
因为，
所以即，
即，
当，即或时，的解集为
当，即或时，的解集为
当，即或时，的解集为
综上可得，或时原不等式的解集为，或时原不等式的解集为，或时原不等式的解集为
由题意知，
当时，，
在上单调递增，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
且，令，解得或，
所以当时，，
当时，，
综上得

19.解：不是上的“阶等值函数”
是上的“阶等值函数”．
证明：因为是二次函数，
所以的对称轴为，
若存在，使得，
则，
解得，
所以是上的“阶等值函数”．
证明：因为，
当时，，令，得，，
所以，
所以是“阶等值函数”，的一个值为，
下面证明的最大值为，
假设存在，使得是上的“阶等值函数”，
则存在，使得，
因为，在上单调递减，所以，
因为，则，所以，即，
又，，所以，，矛盾，
所以的最大值为

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