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5.1.2　数列中的递推
［学习目标］　1.了解用递推公式表示数列，会由递推公式写出数列的前n项.2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.3.会利用数列的前n项和求出数列的通项公式.
一、递推关系的概念
知识梳理　
如果已知数列的　　　　　　　　，且数列的　　　　　　或　　　　　　的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
例1　分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.
(1)4，5，7，10，14，…；
(2)7，9，11，13，15，…；
(3)2，6，18，54，162，….
反思感悟　由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项即可.
跟踪训练1　(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则a2=a1+　　　　　，a3=a2+　　　，a4=a3+　　　　，由此归纳出an=an-1+　　　　.
(2)设数列{an}满足写出这个数列的前5项.
二、由递推关系求通项公式
例2　(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1(n≥2)，求{an}的通项公式.
反思感悟　由递推关系求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推关系，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推关系对应的有以下几类：
①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an.
(2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an.
三、an与Sn的关系
知识梳理　
1.一般地，给定数列{an}，称Sn=　　　　　　　　　　　　为数列{an}的前n项和.
2.一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2，有Sn-1=　　　　　　　　　　　　，Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.
所以Sn=　　　　　　　　，
因此an=　　　　　　　　　　　　.
例3　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n.求a1及an.
延伸探究　将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an.
反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n=1时，a1=S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn-1，化简an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an=Sn-Sn-1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为
an=
1.知识清单：
(1)递推关系的概念.
(2)由递推关系求通项公式.
(3)an与Sn的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：累乘法、累加法求通项时易忽视验证首项是否符合通项公式.
1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+n，则a3的值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
2.已知数列{an}满足a1=，anan-1=an+an-1，则这个数列的第5项是(　　)
A.1 B.
C. D.
3.已知数列an的前n项和为Sn=2n-1，则an=　　　　　　　　.
4.数列{an}的构成法则如下：a1=1，如果an-2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an+1=an-2，否则用递推公式an+1=3an，则a6=　　　　.
答案精析
知识梳理　
首项(或前几项)　相邻两项　两项以上
例1　解　(1)an+1=an+n.
由于a5=14，
∴a6=a5+5=14+5=19，
a7=a6+6=19+6=25.
(2)an+1=an+2.
由于a5=15，
∴a6=a5+2=15+2=17，
a7=a6+2=17+2=19.
(3)an+1=3an.由于a5=162，
∴a6=3a5=3×162=486，
a7=3a6=3×486=1 458.
跟踪训练1　(1)2　3　4　n
(2)解　由题意可知a1=1，
a2=1+=1+=2，
a3=1+=1+=，
a4=1+=1+=，
a5=1+=1+=.
例2　(1)B　(2)an=2n-1(n∈N+)
跟踪训练2　(1)an=-+1，n∈N+
(2)an=en-1，n∈N+
知识梳理　
1.a1+a2+a3+…+an
2.a1+a2+a3+…+an-1　Sn-1+an
例3　解　因为Sn=2n2-30n，
所以当n=1时，
a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-［2(n-1)2
-30(n-1)］=4n-32.
验证当n=1时上式成立，
所以an=4n-32，n∈N+.
延伸探究　解　因为
Sn=2n2-30n+1，
所以当n=1时，
a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-［2(n-1)2
-30(n-1)+1］=4n-32.
当n=1时，a1=-27不符合上式.
所以an=
随堂演练
1.C　2.B　3.2n-1　4.15(共62张PPT)
第五章
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5.1.2　数列中的递推
1.了解用递推公式表示数列，会由递推公式写出数列的前n项.
2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.
3.会利用数列的前n项和求出数列的通项公式.
学习目标
如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片；
(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的
金属片上面.
将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an+1之间的关系吗？
其实把n+1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成.第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号针，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号针，需要1步；第三步：把2号针上的n个金属片移到3号针，需要an步，故an+1=2an+1.这个关系就是我们这节课要研究的数列的递推关系.
导 语
一、递推关系的概念
二、由递推关系求通项公式
课时对点练
三、an与Sn的关系
随堂演练
内容索引
递推关系的概念
一
如果已知数列的 ，且数列的 或 的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
首项(或前几项)
相邻两项
两项以上
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，反映了数列的相邻两项或两项以上的关系.
(3)已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任意一项和所需的项.
注 意 点
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分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.
(1)4，5，7，10，14，…；
例 1
an+1=an+n.
由于a5=14，
∴a6=a5+5=14+5=19，
a7=a6+6=19+6=25.
(2)7，9，11，13，15，…；
an+1=an+2.
由于a5=15，
∴a6=a5+2=15+2=17，
a7=a6+2=17+2=19.
(3)2，6，18，54，162，….
an+1=3an.由于a5=162，
∴a6=3a5=3×162=486，
a7=3a6=3×486=1 458.
由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项即可.
反
思
感
悟
　(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则a2=a1+　　，a3=a2+　　，a4=a3+　　，由此归纳出an=an-1+　　.
跟踪训练 1
2
3
4
n
a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…，
∴an-an-1=n.
(2)设数列{an}满足写出这个数列的前5项.
由题意可知a1=1，a2=1+=1+=2，
a3=1+=1+=，
a4=1+=1+=，
a5=1+=1+=.
二
由递推关系求通项公式
　(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于
A. B.
C. D.
例 2
√
方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得数列的一个通项公式为an=.
方法二　(迭代法)　a2=a1+1-，a3=a2+-，…，an=an-1+-(n≥2)，
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也适合上式，所以an=(n∈N+).
方法三　(累加法)　an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，…
an-an-1=-(n≥2)，
以上各项相加得
an=1+1-+-+…+-.
所以an=(n≥2).
因为a1=1也适合上式，所以an=(n∈N+).
(2)已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1(n≥2)，求{an}的通项公式.
由an=2an-1(n≥2)，得=2，
又a1=1，所以=2，=2，=2，…，=2.
将以上n 个等式累乘，得an=2n-1(n∈N+).
(1)归纳法：根据数列的某项和递推关系，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推关系对应的有以下几类：
①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
反
思
感
悟
由递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an.
跟踪训练 2
因为an=an-1+-(n≥2)，
所以an-an-1=-.
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(-)+(-)+…+(-)+1=-+1.
又a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N+.
(2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an.
因为ln an-ln an-1=1，
所以ln=1，
即=e(n≥2).
所以an=··…··a1=·1
=en-1(n≥2)，
又a1=1也符合上式，
所以an=en-1，n∈N+.
an与Sn的关系
三
1.一般地，给定数列{an}，称Sn= 为数列{an}的前n项和.
2.一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2，有Sn-1= ________________，
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.
所以Sn= ，
因此an=.
a1+a2+a3+…+an
a1+a2+a3+…+an-1
Sn-1+an
　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n.求a1及an.
例 3
因为Sn=2n2-30n，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]
=4n-32.
验证当n=1时上式成立，
所以an=4n-32，n∈N+.
将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an.
延伸探究
因为Sn=2n2-30n+1，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]
=4n-32.
当n=1时，a1=-27不符合上式.
所以an=
(1)当n=1时，a1=S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn-1，化简an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an=Sn-Sn-1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为
an=
反
思
感
悟
由Sn求通项公式an的步骤
1.知识清单：
(1)递推关系的概念.
(2)由递推关系求通项公式.
(3)an与Sn的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：累乘法、累加法求通项时易忽视验证首项是否符合通项公式.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+n，则a3的值为
A.2 B.3
C.4 D.5
√
由于a1=1，an+1=an+n，所以a2=a1+1=2，a3=a2+2=2+2=4.
1
2
3
4
2.已知数列{an}满足a1=，anan-1=an+an-1，则这个数列的第5项是
A.1 B.
C. D.
√
a1=a2=a2+，∴a2=-1，-a3=a3-1，∴a3=，则a4=-1，a5=.
3.已知数列an的前n项和为Sn=2n-1，则an=　　.
1
2
3
4
由Sn=2n-1得，当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，令n=1，则a1=20=1=S1，∴an=2n-1.
2n-1
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4
4.数列{an}的构成法则如下：a1=1，如果an-2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an+1=an-2，否则用递推公式an+1=3an，则a6=　　.
由a1=1，a1-2=-1 N，得a2=3a1=3.
又a2-2=1=a1，故a3=3a2=9.
又a3-2=7∈N，故a4=a3-2=7.
又a4-2=5∈N，则a5=a4-2=5.
又a5-2=3=a2，所以a6=3a5=15.
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课时对点练
五
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基础巩固
1.数列，-，，-，…的第n项an与第n+1项an+1的关系是
A.an+1=2an B.an+1=-2an
C.an+1=an D.an+1=-an
√
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2.已知数列{an}中，an-1=man+1(n>1，n∈N+)，且a2=3，a3=5，则实数m等于
A. B.
C.2 D.3
由题意得a2=ma3+1，即3=5m+1，
∴m=.
√
3.已知数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2，n∈N+)，且a1=0，则此数列的第5项是
A.15 B.255
C.16 D.63
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由递推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255.
√
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4.在数列{an}中，a1=1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于
A. B.
C. D.
√
a1a2=22，a1a2a3=32，a1a2a3a4=42，a1a2a3a4a5=52，则a3==，a5==.
故a3+a5=.
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5.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N+)，则此数列的通项公式an等于
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
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∵an+1-an=-1.
∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=
2+
=2+(-1)×(n-1)=3-n.
当n=1时，a1=2也符合上式.
故数列的通项公式an=3-n(n∈N+).
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6.已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1，则数列{an}的通项公式为
A.an=2n B.an=2n
C.an= D.an=
√
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Sn=2n+1-1，
当n=1时，a1=S1=21+1-1=3；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=(2n+1-1)-(2n-1)=2n.
又a1=3不符合上式，故an=
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7.在数列{an}中，a1=1，an+1an=+(-1)n+1(n∈N+)，则=　　.
a2=2，a3===.
8.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=-2+2an，则an=　　.
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2n
当n=1时，由a1=S1=-2+2a1，得a1=2；
当n≥2时，由Sn=-2+2an，得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，得an=2an-1，
由累乘法可得an=2n.
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9.在数列{an}中，a1=2，且an+1=an+ln，求数列{an}的通项公式.
由题设an+1-an=ln ，
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln +ln +…+ln +2
=2+ln n，且n≥2，
显然a1=ln 1+2=2满足上式，
所以an=2+ln n，n∈N+.
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10.在数列{an}中，a1=1，且前n项和Sn=an.
(1)求a2，a3 ；
由S2=a2 得3(a1+a2)=4a2，解得a2=3a1=3.
由S3=a3 得3(a1+a2+a3)=5a3，
解得a3=(a1+a2)=6.
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(2)求数列{an}的通项公式.
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由题意知a1=1，
当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=an-an-1，
整理得an=an-1，即=，
所以an=a1·····…···
=1×××××…××× =(n≥2)，
当n=1 时，a1=1 满足上式.
综上可知，数列{an}的通项公式为an=.
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11.(多选)已知数列{an}中，a1=3，an+1=-(n∈N+)，则能使an=3的n可以为
A.4 B.7
C.15 D.16
√
综合运用
√
√
由a1=3，an+1=-，得a2=-，a3=-，a4=3，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a4=a7=a16=3.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=，a1=1，n∈N+，则{an}的通项公式an等于
A.n B.n+1
C.2n-1 D.2n+1
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由an+1=，
得(2n-1)an+1=4Sn-1， ①
所以(2n-3)an=4Sn-1-1(n≥2). ②
①-②得(2n+1)an=(2n-1)an+1，则=(n≥2)，又由an+1=，a1=1，得a2=3，所以===1，故an=2n-1.
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13.在一个数列中，如果对任意n∈N+，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　.
依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1=1，a2=2，a3=4，因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.
28
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14.在数列{an}中，=+2n-1，a1=0，则a8=　　　.
2492
令bn=，
则bn+1-bn=2n-1，b1=1，
∴b8=b8-b7+b7-b6+…+b2-b1+b1 =13+11+…+1+1=50，
∴=50，∴a8=2 492.
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拓广探究
15.(多选)在数列{an}中，已知a1=1，Sn=n2an，则下列式子成立的是
A.a2= B.Sn=
C.= D.an=
√
√
√
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a1=1，S2=4a2，S2-S1=a2，即4a2-a1=a2，
∴a2=，A正确；
又Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2)，
∴an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，
∴(n2-1)an=(n-1)2an-1，
即=，故C错误；
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∴an=··…··a1=(n≥2)，当n=1时，a1=1符合上式，
所以an=，
代入Sn=n2an=，故B，D正确.
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16.已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=若a4=4，求m所有可能的取值.
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若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1，若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0(舍去)，若a2为偶数，则=1，a2=2.
若a1为奇数，则3a1+1=2，a1=(舍去)，
若a1为偶数，则=2，a1=4；
若a3为偶数，则=4，a3=8，
若a2为奇数，则3a2+1=8，a2=(舍去)，
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若a2为偶数，则=8，a2=16.
若a1为奇数，则3a1+1=16，a1=5，
若a1为偶数，则=16，a1=32.
故m所有可能的取值为4，5，32.作业3　数列中的递推
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.数列，-，，-，…的第n项an与第n+1项an+1的关系是(　　)
A.an+1=2an B.an+1=-2an
C.an+1=an D.an+1=-an
2.已知数列{an}中，an-1=man+1(n>1，n∈N+)，且a2=3，a3=5，则实数m等于(　　)
A. B.
C.2 D.3
3.已知数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2，n∈N+)，且a1=0，则此数列的第5项是(　　)
A.15 B.255
C.16 D.63
4.在数列{an}中，a1=1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于(　　)
A. B.
C. D.
5.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N+)，则此数列的通项公式an等于(　　)
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
6.已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1，则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=2n B.an=2n
C.an= D.an=
7.在数列{an}中，a1=1，an+1an=+(-1)n+1(n∈N+)，则=　　　　.
8.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=-2+2an，则an=　　　　.
9.(10分)在数列{an}中，a1=2，且an+1=an+ln，求数列{an}的通项公式.
10.(11分)在数列{an}中，a1=1，且前n项和Sn=an.
(1)求a2，a3 ；(4分)
(2)求数列{an}的通项公式.(7分)
11.(多选)已知数列{an}中，a1=3，an+1=-(n∈N+)，则能使an=3的n可以为(　　)
A.4 B.7
C.15 D.16
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=，a1=1，n∈N+，则{an}的通项公式an等于(　　)
A.n B.n+1
C.2n-1 D.2n+1
13.在一个数列中，如果对任意n∈N+，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　　.
14.在数列{an}中，=+2n-1，a1=0，则a8=　　　　.
15.(多选)在数列{an}中，已知a1=1，Sn=n2an，则下列式子成立的是(　　)
A.a2= B.Sn=
C.= D.an=
16.(12分)已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=若a4=4，求m所有可能的取值.
答案精析
1.D　2.A　3.B　4.C　5.D　6.C
7.　8.2n
9.解　由题设an+1-an=ln，
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=ln+ln+…+ln+2
=2+ln n，且n≥2，
显然a1=ln 1+2=2满足上式，
所以an=2+ln n，n∈N+.
10.解　(1)由S2=a2 得3(a1+a2)=4a2，解得a2=3a1=3.
由S3=a3 得3(a1+a2+a3)=5a3，
解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题意知a1=1，
当n≥2 时，
an=Sn-Sn-1
=an-an-1，
整理得an=an-1，
即=，
所以an=a1·····…···
=1×××××…××× =(n≥2)，
当n=1 时，a1=1 满足上式.
综上可知，数列{an}的通项公式为
an=.
11.ABD　12.C　13.28　14.2 492
15.ABD
16.解　若a3为奇数，
则3a3+1=4，
a3=1，若a2为奇数，
则3a2+1=1，a2=0(舍去)，
若a2为偶数，则=1，a2=2.
若a1为奇数，则3a1+1=2，
a1=(舍去)，
若a1为偶数，则=2，a1=4；
若a3为偶数，则=4，a3=8，
若a2为奇数，则3a2+1=8，
a2=(舍去)，
若a2为偶数，则=8，a2=16.
若a1为奇数，则3a1+1=16，a1=5，
若a1为偶数，则=16，a1=32.
故m所有可能的取值为4，5，32.

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