资源简介 5.3.2 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和[学习目标] 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.3.掌握等比数列前n项和的函数特征.一、等比数列前n项和公式的推导问题1 若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,如何求该等比数列的前n项的和?知识梳理 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,则Sn= . ① 因为an=a1qn-1,所以q≠1时,等比数列前n项和的公式也可改写为Sn= . ② 例1 求下列等比数列前8项的和:(1),,,…;(2)a1=27,a9=,q<0.反思感悟 求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立.跟踪训练1 在等比数列{an}中,(1)a1=2,q=-,求S10;(2)q=,S100=150,求a2+a4+a6+…+a100的值.二、等比数列中与前n项和有关的基本运算例2 在等比数列{an}中.(1)S2=30,S3=155,求Sn;(2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5;(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求公比q.跟踪训练2 在等比数列{an}中.(1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q;(2)已知S4=1,S8=17,求an.三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列问题2 你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗?知识梳理1.当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式Sn= .即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn= ,Sn是n的正比例函数. 例3 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.延伸探究 1.若将本例改为数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k= . 2.若将本例改为数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=a·+5,则实数a= . 反思感悟 (1)已知Sn,通过an=求通项公式an,应特别注意当n≥2时,an=Sn-.(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.1.知识清单:(1)等比数列前n项和公式的推导.(2)等比数列前n项和公式的基本运算.(3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列.2.方法归纳:公式法、错位相减法.3.常见误区:等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.1.在数列{an}中,已知an+1=2an,且a1=1,则数列{an}的前5项的和等于( )A.-25 B.25C.-31 D.312.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于( )A.B.C.D.3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=p·3n-2,则p等于( )A.-3 B.3C.-2 D.24.已知在等比数列{an}中,a3=,S3=,则a1= . 答案精析问题1 思路一:因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn,发现上面两式中有很多相同的项,两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn,即(1-q)Sn=a1(1-qn),当q≠1时,有Sn=,而当q=1时,Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法,我们称为“错位相减法”.思路二:当q≠1时,由等比数列的定义得:==…==q,根据等比数列的性质,有==q,=q (1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn=,该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比数列的性质,推导出了公式,通过上述两种推导方法,我们获得了等比数列的前n项和的两种形式,而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化.思路三:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1),所以有Sn=a1+qSn-1 Sn=a1+q(Sn-an) (1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn=或Sn=,显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使我们不拘泥于课本,就能使问题得到解决.知识梳理 例1 解 (1)因为a1=,q=,所以S8==.(2)由a1=27,a9=,可得=27q8.又q<0,所以q=-,所以S8====.跟踪训练1 解 (1)S10===×=×=.(2)方法一 S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+a100)=150,∴a2+a4+a6+…+a100=50.方法二 S100==150,整理得a1=75,又a2+a4+…+a100==a1=×75=50.例2 解 (1)由题意知解得或从而Sn=×5n+1-或Sn=.(2)方法一 由题意知解得从而S5==.方法二 由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5==.(3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两个根.从而或又Sn==126,所以q=2或.跟踪训练2 解 (1)由Sn=得,11=,∴q=-2,又由an=a1qn-1得,16=(-2)n-1,∴n=5.(2)若q=1,则S8=2S4,不符合题意,∴q≠1,∴S4==1,S8==17,两式相除得=17=1+q4,∴q=±2.当q=2时,a1=;当q=-2时,a1=-,∴an=·2n-1或an=-·(-2)n-1.问题2 Sn==-qn+,设A=-,则Sn=Aqn-A.知识梳理1.A(qn-1)2.na1例3 解 当n≥2时,an=Sn-=(3n-2)-(-2)=2·.当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式.∴an=方法一 由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列.方法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,2≠1,故{an}不是等比数列.延伸探究 1. 2.-随堂演练1.D 2.C 3.D 4.或6(共75张PPT)第五章<<<等比数列的前n项和第1课时1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.3.掌握等比数列前n项和的函数特征.学习目标国际象棋起源于印度,据说国王为了奖赏发明者,让发明者提一个要求.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到,就欣然同意了.问题:每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1,2,22,23,…,263,你能计算这64项的和吗?通过这节课的学习,你就能知道答案.导 语一、等比数列前n项和公式的推导二、等比数列中与前n项和有关的基本运算课时对点练三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列随堂演练内容索引一等比数列前n项和公式的推导若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,如何求该等比数列的前n项的和?问题1提示 思路一:因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn,发现上面两式中有很多相同的项,两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn,即(1-q)Sn=a1(1-qn),当q≠1时,有Sn=,而当q=1时,Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法,我们称为“错位相减法”.思路二:当q≠1时,由等比数列的定义得:==…==q,根据等比数列的性质,有==q,=q (1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn=,该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比数列的性质,推导出了公式,通过上述两种推导方法,我们获得了等比数列的前n项和的两种形式,而这两种形式可以利用an=a1qn-1相互转化.思路三:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1),所以有Sn=a1+qSn-1 Sn=a1+q(Sn-an) (1-q)Sn=a1-anq,所以当q≠1时,Sn=或Sn=,显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使我们不拘泥于课本,就能使问题得到解决.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,则Sn= . ①因为an=a1qn-1,所以q≠1时,等比数列前n项和的公式也可改写为Sn=. ②(1)用等比数列前n项和公式求和,一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论.(2)①中的n表示的是所求数列的项数(例如1+2+22 +…+2n=).(3)②中的an在求和时,表示数列的最后一项(例如1+2+22 +…+2n=).注 意 点<<<求下列等比数列前8项的和:(1),,,…;例 1因为a1=,q=,所以S8==.(2)a1=27,a9=,q<0.由a1=27,a9==27q8.又q<0,所以q=-,所以S8====.求等比数列前n项和,要确定首项、公比或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立.反思感悟在等比数列{an}中,(1)a1=2,q=-,求S10;跟踪训练 1S10===×=×=.(2)q=,S100=150,求a2+a4+a6+…+a100的值.方法一 S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+a100)=150,∴a2+a4+a6+…+a100=50.方法二 S100==150,整理得a1=75,又a2+a4+…+a100==a1=×75=50.二等比数列中与前n项和有关的基本运算 在等比数列{an}中.(1)S2=30,S3=155,求Sn;例 2由题意知解得从而Sn=×5n+1-或Sn=.(2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5;方法一 由题意知解得从而S5==.方法二 由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5==.(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求公比q.因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两个根.从而又Sn==126,所以q=2或.(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”,常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换,如qn,都可以看作一个整体.(3)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.反思感悟等比数列前n项和运算的技巧在等比数列{an}中.(1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q;跟踪训练 2由Sn=得,11=,∴q=-2,又由an=a1qn-1得,16=(-2)n-1,∴n=5.(2)已知S4=1,S8=17,求an.若q=1,则S8=2S4,不符合题意,∴q≠1,∴S4==1,S8==17,两式相除得=17=1+q4,∴q=±2.当q=2时,a1=;当q=-2时,a1=-,∴an=·2n-1或an=-·(-2)n-1.三利用等比数列前n项和公式判断等比数列你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗?问题2提示 Sn==-qn+,设A=-,则Sn=Aqn-A.1.当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式Sn= .即Sn是n的指数型函数.2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn= ,Sn是n的正比例函数.A(qn-1)na1等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.注 意 点<<< 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.例 3当n≥2时,an=Sn-=(3n-2)-(-2)=2·.当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式.∴an=方法一 由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列.方法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,2≠1,故{an}不是等比数列.1.若将本例改为数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k= .延伸探究∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k,且{an}为等比数列,∴3-2k=0,即k=.2.若将本例改为数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=a·+5,则实数a= . 由Sn=a·+5,可得Sn=3a·+5,依题意有3a+5=0,故a=-.(1)已知Sn,通过an=求通项公式an,应特别注意当n≥2时,an=Sn-.(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.反思感悟1.知识清单:(1)等比数列前n项和公式的推导.(2)等比数列前n项和公式的基本运算.(3)利用等比数列前n项和公式判断等比数列.2.方法归纳:公式法、错位相减法.3.常见误区:等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.随堂演练四12341.在数列{an}中,已知an+1=2an,且a1=1,则数列{an}的前5项的和等于A.-25 B.25C.-31 D.31√因为an+1=2an,且a1=1,所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以数列{an}的前5项的和为=31.12342.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于A. B.C. D.√当x=1时,Sn=n;当x≠1且x≠0时,Sn=.3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=p·3n-2,则p等于A.-3 B.3C.-2 D.21234√依题意q≠1,所以等比数列{an}的前n项和为Sn==-·qn+,所以p+(-2)=0,解得p=2.12344.已知在等比数列{an}中,a3=,S3=,则a1= .1234方法一 当q=1时,a1=a2=a3=,满足S3=.当q≠1时,依题意,得解得综上可得a1=或a1=6.1234方法二 依题意,得所以a1+a2=3,所以==2,解得q=1或q=-.所以a1=或a1=6.课时对点练五12345678910111213141516基础巩固1.在等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于A.4-2100 B.4+2100C.4-2-98 D.4-2-100√q==.S100===4(1-2-100)=4-2-98.123456789101112131415162.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn等于A. B.C. D.√Sn==.3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为A. B.-C. D.-12345678910111213141516√12345678910111213141516方法一 ∵Sn=x·3n-1-=·3n-,由Sn=A(qn-1),得=,∴x=,故选C.方法二 当n=1时,a1=S1=x-;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2x·3n-2,∵{an}是等比数列,∴n=1时也应适合an=2x·3n-2,即2x·3-1=x-,解得x=.123456789101112131415164.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,则a3a5等于A.4 B.8C.16 D.32√等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+a-(2n-2+a),化简得an=2n-2.则a3a5=2×23=16.123456789101112131415165.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是其前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和等于A.或5 B.或5C. D.√12345678910111213141516设数列{an}的公比为q,显然q≠1,由已知得=,解得q=2,∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,∴前5项和为=.123456789101112131415166.(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,Sn=a·bn+c,a,b,c∈R,则A.ac<0B.b是数列{an}的公比C.数列{Sn}可能为等比数列D.数列{an}不可能为常数列√√√12345678910111213141516设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则Sn=na1,此时Sn是关于n的一次函数,数列{an}为常数列,而Sn=a·bn+c不是关于n的一次函数,所以q≠1,数列{an}不可能为常数列,故D正确;因为q≠1,所以Sn==-·qn+,又Sn=a·bn+c,所以故B正确;12345678910111213141516ac=-·=-<0,故A正确;因为c=≠0,a,b也均不为0,所以=不可能为常数,即数列{Sn}不可能为等比数列,故C错误.123456789101112131415167.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=,a5+a6=12,则S4= .12345678910111213141516设等比数列{an}的公比为q,方法一 由题意得∴S4==.方法二 当q=1时,S2=2a1=,∴a1=与a5+a6=12矛盾,不符合题意;12345678910111213141516当q≠1时,S2==,即a1(1+q)=, ①又a5+a6=12,即a1q4+a1q5=12, ②由①②可得∴S4==.8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n= ,a1= .12345678910111213141516由Sn=93,an=48,公比q=2,得53123456789101112131415169.已知数列{an}是等比数列.(1)若a1=3,q=2,n=6,求Sn;S6===189.12345678910111213141516(2)若a1=-2.7,q=-,an=,求Sn;Sn===-.12345678910111213141516(3)若a1=-1,a4=64,求q与S4.由q3===-64,得q=-4.∴S4===51.1234567891011121314151610.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求数列{an}的公比q;依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-.12345678910111213141516(2)若a1-a3=3,求Sn.由已知可得a1-a1=3,故a1=4.从而Sn==.1234567891011121314151611.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q≠1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有+an+1=2an,则S5等于A.12 B.20 C.11 D.21√综合运用+=2an等价于anq2+anq=2an.因为an≠0,故q2+q-2=0,即(q+2)(q-1)=0.因为q≠1,所以q=-2,故S5==11.12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N+,满足=9,=,则数列{an}的公比为A.-2 B.2C.-3 D.312345678910111213141516√12345678910111213141516设数列{an}的公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.∵==qm+1=9,∴qm=8.∵==qm=8=,∴m=3,∴q3=8,∴q=2.1234567891011121314151613.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7,则f(n)等于A. B.C. D.√12345678910111213141516易知1,3,5,7,…是首项为1,公差为2的等差数列,设该数列为,则am=2m-1,设an=2n+7,令2m-1=2n+7,∴m=n+4,∴f(n)是以2为首项,22=4为公比的等比数列的前n+4项的和,∴f(n)==.1234567891011121314151614.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则Sn= . 12345678910111213141516当n=1时,则有2S1=a2-1,∴a2=2S1+1=2a1+1=3;当n≥2时,由2Sn=an+1-1得出2Sn-1=an-1,上述两式相减得2an=an+1-an,∴an+1=3an,得=3且=3,∴数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列,∴Sn==.12345678910111213141516拓广探究15.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=,则数列{bn}的前n项和Tn= . 12345678910111213141516依题意得=n+,即Sn=n2+n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=2n-;当n=1时,a1=S1=,符合an=2n-,所以an=2n-(n∈N+),则bn==32n,12345678910111213141516由==32=9,可知{bn}为公比为9的等比数列,b1=32×1=9,故Tn==.1234567891011121314151616.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求{an}的通项公式;12345678910111213141516依题意,得2Sn=an+1-a1.于是,当n≥2时,有两式相减,得an+1=3an(n≥2).又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.因此,an=a1·3n-1(n∈N+).12345678910111213141516(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.因为Sn==a1·3n-a1,所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.要使为等比数列,则1+a1=0,即a1=-2.所以存在a1=-2使得数列{bn}为等比数列.第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.一、等比数列前n项和公式的灵活应用问题1 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质?知识梳理若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:(1)在其前2n项中,=q;(2)在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1);S奇=a1+qS偶.例1 (1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q= . (2)若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为 . 反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)若等比数列{an}共有2n项,要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练1 (1)若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为 ,项数为 . (2)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则数列的通项公式an= . 二、等比数列中的片段和问题问题2 你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n?问题3 类似于等差数列中的片段和的性质,在等比数列中,你能发现Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗?知识梳理 1.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+ (n,m∈N+). 2.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn, ,…仍构成等比数列. 例2 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质,能有效减少运算.(2)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.跟踪训练2 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=3,则a9+a10+a11+a12等于( )A.8 B.6C.4 D.2三、等比数列前n项和公式的实际应用例3 《算法统宗》是中国古代数学名著,程大位著,共17卷,书中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”大致意思是:有一个人要到距离出发地378里的地方,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为( )A.96 B.126C.192 D.252反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型.(2)一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型.(3)注意问题是求什么(n,an,Sn).跟踪训练3 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层灯数为 . 1.知识清单:(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质.(2)等比数列中的片段和性质.(3)等比数列前n项和的实际应用.2.方法归纳:公式法、分类讨论.3.常见误区:应用等比数列的片段和性质时易忽略其成立的条件.1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于( )A.3∶4 B.2∶3C.1∶2 D.1∶32.在等比数列{an}中,a1a2a3=1,a4=4,则a2+a4+a6+…+a2n等于( )A.2n-1 B.C. D.3.《庄子》中说:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”其含义是:一尺长的木棍,每天截去它的一半,永远也截不完.在这个问题中,记第n天后剩余木棍的长度为an,数列{an}的前n项和为Sn,则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为( )A.6 B.5C.4 D.34.若等比数列{an}的公比为,且a1+a3+…+a99=60,则{an}的前100项和为 . 答案精析问题1 若等比数列{an}的项数有2n项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以有=q.若等比数列{an}的项数有2n+1项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶.例1 (1)2 (2)300跟踪训练1 (1)2 9(2)12×问题2 思路一:Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn.思路二:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn=Sn+qnSm.问题3 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,证明如下:思路一:当q=1时,结论显然成立;当q≠1时,Sn=,S2n=,S3n=.S2n-Sn=-=,S3n-S2n=-=,而=,Sn(S3n-S2n)=×,故有=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.思路二:由问题2中Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,故有S2n-Sn=qnSn,S3n=S2n+q2nSn,故有S3n-S2n=q2nSn,故有=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.知识梳理 1.qnSm2.S3n-S2n例2 63跟踪训练2 C例3 C跟踪训练3 3随堂演练1.A 2.B 3.B 4.80(共71张PPT)第五章<<<等比数列的前n项和的性质及应用第2课时1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.学习目标同学们,前面我们就用等差数列中的性质,类比出了等比数列的性质,由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论,今天我们再进一步扩大同学们的智慧,继续通过类比,看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.导 语一、等比数列前n项和公式的灵活应用二、等比数列中的片段和问题课时对点练三、等比数列前n项和公式的实际应用随堂演练内容索引一等比数列前n项和公式的灵活应用类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质?问题1提示 若等比数列{an}的项数有2n项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以有=q.若等比数列{an}的项数有2n+1项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶.若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:(1)在其前2n项中,=q;(2)在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1);S奇=a1+qS偶.(1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q= .例 1由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q==2.2(2)若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为 . 由=2,S偶-S奇=100可知S偶=200,S奇=100,故S2n=300.300处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)若等比数列{an}共有2n项,要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点;若等比数列{an}共有2n+1项,要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.反思感悟(1)若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为 ,项数为 . 跟踪训练 129由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q,所以q=2,S2n+1==341+170=511,解得n=4,即这个等比数列的项数为9.(2)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则数列的通项公式an= . 12×设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇,S偶,由题意可知,S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.因为数列{an}的项数为偶数,所以有q==.又因为a1·a1q·a1q2=64,所以·q3=64,即a1=12,故所求通项公式为an=12×.二等比数列中的片段和问题你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n?问题2提示 思路一:Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+ anqm=Sm+qmSn.思路二:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn= Sn+qnSm.类似于等差数列中的片段和的性质,在等比数列中,你能发现Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗?问题3提示 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,证明如下:思路一:当q=1时,结论显然成立;当q≠1时,Sn=,S2n=,S3n=.S2n-Sn=-=,S3n-S2n=-=,而=,Sn(S3n-S2n)=×,故有=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.思路二:由问题2中Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,故有S2n-Sn=qnSn,S3n=S2n+q2nSn,故有S3n-S2n=q2nSn,故有=Sn(S3n-S2n),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.1.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+ (n,m∈N+).2.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn, ,…仍构成等比数列.qnSmS3n-S2n等比数列片段和性质的成立是有条件的,即Sn≠0.注 意 点<<< 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.例 2方法一 ∵≠2Sn,∴q≠1,由已知得②÷①得1+qn=,即qn=, ③③代入①得=64,∴S3n==64=63.方法二 ∵{an}为等比数列,显然公比不等于-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),∴S3n=+S2n=+60=63.方法三 由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,即60=48+48qn,得qn=,∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63.(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…(n为偶数且q=-1除外)仍成等比数列这一重要性质,能有效减少运算.(2)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=3,则a9+a10+a11+a12等于A.8 B.6C.4 D.2跟踪训练 2√S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.即1,2,a9+a10+a11+a12成等比数列.∴a9+a10+a11+a12=4.三等比数列前n项和公式的实际应用 《算法统宗》是中国古代数学名著,程大位著,共17卷,书中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”大致意思是:有一个人要到距离出发地378里的地方,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96 B.126C.192 D.252例 3√由题意得,该人每天走的路程里数形成以a1为首项,以为公比的等比数列,因为该人6天后到达目的地,则有S6==378,解得a1=192,所以该人第1天所走路程里数为192.(1)解应用问题的核心是建立数学模型.(2)一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型.(3)注意问题是求什么(n,an,Sn).反思感悟我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层灯数为 . 跟踪训练 3设塔的顶层共有a1盏灯,则数列{an}是公比为2的等比数列,∴S7==381,解得a1=3.31.知识清单:(1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质.(2)等比数列中的片段和性质.(3)等比数列前n项和的实际应用.2.方法归纳:公式法、分类讨论.3.常见误区:应用等比数列的片段和性质时易忽略其成立的条件.随堂演练四12341.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于A.3∶4 B.2∶3C.1∶2 D.1∶3√在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,所以(S10-S5)2=S5(S15-S10),因为S10∶S5=1∶2,所以S10=S5,S15=S5,得S15∶S5=3∶4,故选A.12342.在等比数列{an}中,a1a2a3=1,a4=4,则a2+a4+a6+…+a2n等于A.2n-1 B.C. D.√由a1a2a3=1得a2=1,又a4=4,故q2=4,所以a2+a4+a6+…+a2n==.3.《庄子》中说:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”其含义是:一尺长的木棍,每天截去它的一半,永远也截不完.在这个问题中,记第n天后剩余木棍的长度为an,数列{an}的前n项和为Sn,则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为A.6 B.5C.4 D.31234√1234数列{an}是以为公比的等比数列,∴Sn==1-,若Sn>,则1->,即>,∴2n>,又n∈N+,24=16<,25=32>,∴使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为5.12344.若等比数列{an}的公比为,且a1+a3+…+a99=60,则{an}的前100项和为 .80令X=a1+a3+…+a99=60,Y=a2+a4+…+a100,则S100=X+Y,由等比数列前n项和性质知=q=,所以Y=20,即S100=X+Y=80.课时对点练五12345678910111213141516基础巩固1.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 011,偶数项之和为2 022,则这个数列的公比为A.8 B.-2C.4 D.2√由=q,可知q=2.123456789101112131415162.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于A. B.-C. D.√12345678910111213141516易知q≠-1,因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=,所以a7+a8+a9=.3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,此问题中1斗为10升,则牛主人应偿还多少升粟?A. B.C. D.12345678910111213141516√123456789101112131415165斗=50升,设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1,a2,a3,由题意可知a1,a2,a3构成公比为2的等比数列,且S3=50,则=50,解得a1=,所以牛主人应偿还粟的量为a3=22a1=.123456789101112131415164.设等比数列{an}的前n项和为10,前2n项和为60,则该数列的前4n项和为A.360 B.720C.1 560 D.1 800√12345678910111213141516设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,因为Sn=10,S2n=60,则q≠-1,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,公比为qn,又S2n-Sn=50,所以qn=5,所以S3n-S2n=50×5=250,所以S4n-S3n=250×5=1 250,所以S4n=10+50+250+1 250=1 560.123456789101112131415165.已知等比数列{an}有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则n等于A.2 B.3C.4 D.5√12345678910111213141516方法一 因为等比数列{an}有2n+1项,则奇数项有n+1项,偶数项有n项,设{an}的公比为q,则1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1)=85,q+q3+q5+…+q2n-1=42,整体代入得q=2,所以前2n+1项的和为=85+42=127,解得n=3.方法二 设{an}的前n项和为Sn,公比为q,因为等比数列{an}有2n+1项,则S奇=a1+qS偶,即85=1+42q,解得q=2,所以S2n+1==S奇+S偶=85+42=127,解得n=3.123456789101112131415166.(多选)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则下列命题中正确的是A.Sn+1=Sn+anqB.Sn+1=S1+qSnC.S2,S4-S2,S6-S4成等比数列D.“q=-”是“Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列”的充要条件√√√12345678910111213141516Sn+1-Sn=an+1=anq,故A正确;Sn+1-S1=a2+a3+…+an+1=q(a1+a2+…+an)=qSn,故B正确;当q=-1时,有S2=a1+a2=a1-a1=0,等比数列不能有项为0,故C错误;当q=-时,Sn+1+Sn=2Sn+2-2an+2-an+1=2Sn+2-(2q·an+1+an+1)=2Sn+2-(-an+1+an+1)=2Sn+2,故由“q=-”可得“Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列”;当Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列时,可得Sn+Sn+1=2Sn+2,12345678910111213141516即Sn+Sn+1=2Sn+2=2Sn+1+2an+2=Sn+Sn+1+2an+2+an+1,即2an+2+an+1=0,可得=-,即由“Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列”可得“q=-”,故“q=-”是“Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列”的充要条件,故D正确.123456789101112131415167.已知{an}是各项都为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,若S4=7,S8=21,则S16= .105由等比数列前n项和的性质得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列,∴7,14,S12-21,S16-S12成等比数列,∴S12-21=28,S12=49,S16-49=56,∴S16=105.8.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n= .(n∈N+)12345678910111213141516612345678910111213141516每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,其前n项和Sn==2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102.由于26=64,27=128,则n+1≥7,即n≥6.123456789101112131415169.一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.12345678910111213141516方法一 设原等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N+).由已知a1=1,q≠1,有由②÷①,得q=2,∴=85,4n=256,∴n=4.故公比为2,项数为8.12345678910111213141516方法二 ∵S偶=a2+a4+…+=a1q+a3q+…+q=(a1+a3+… +)q=S奇·q,∴q===2.又Sn=85+170=255,由Sn=,得=255,∴2n=256,∴n=8.即公比q=2,项数n=8.1234567891011121314151610.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足S3=7,S6=63.(1)求数列{an}的通项公式;由题意知S6≠2S3,q≠1,由等比数列的前n项和的性质知,q3===8,故q=2,∴S3==7,代入q=2可得a1=1,∴an=2n-1.12345678910111213141516(2)若bn=an+log2an,求数列的前n项和Tn.由(1)知bn=2n-1+n-1,∴Tn=+[1+2+…+(n-1)]=2n+-1.1234567891011121314151611.已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于A.40 B.60C.32 D.50√综合运用由等比数列前n项和的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+ 32=60.12.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为A. B.C.1 D.212345678910111213141516√12345678910111213141516设数列{an}共有(2m+1)项,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=,S偶=a2+a4+…+a2m=,因为项数为奇数时,=q,即2+q=,所以q=.12345678910111213141516所以Tn=a1·a2·…·an=q1+2+…+n-1=,故当n=1或2时,Tn取最大值2.1234567891011121314151613.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若S6-3S3=4,则S9-S6的最小值为 .32由等比数列的性质,知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.又S6-3S3=4,∴S9-S6===4S3++16≥2+16=32,当且仅当S3=2时,等号成立,∴S9-S6的最小值为32.1234567891011121314151614.如图,画一个边长为4 cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,以此类推,这样一共画了5个正方形,则这5个正方形的面积的和是 cm2.3112345678910111213141516记这些正方形的边长为an cm,则a1=4,a2=2,…,故这些正方形的面积是以16为首项,以为公比的等比数列,所以这5个正方形面积的和为S5==32=31(cm2).12345678910111213141516拓广探究15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y,都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=,an=f(n)(n∈N+),则数列{an}的前n项和Sn= . 12345678910111213141516令x=n,y=1,则f(n)·f(1)=f(n+1),又an=f(n),∴==f(1)=a1=,∴数列{an}是以为公比的等比数列,∴Sn==1-.1234567891011121314151616.某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业有促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an与bn的表达式;12345678910111213141516第1年投入为800万元,第2年投入为800万元,…,第n年投入为800万元,∴n年内的总投入an=800+800+…+800=4 000.12345678910111213141516第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400万元,…,第n年旅游业收入为400万元,∴n年内的旅游业总收入bn=400+400+…+400= 1 600.12345678910111213141516旅游业的总收入超过总投入,即bn-an>0,即1 600-4 000>0,化简得5×+2×-7>0.设x=,代入上式并整理得5x2-7x+2>0,解得x<或x>1(舍去),∴<.又n∈N+,由此可得n≥5.故至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?作业13 等比数列的前n项和(分值:100分)单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分1.在等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于( )A.4-2100 B.4+2100C.4-2-98 D.4-2-1002.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn等于( )A. B.C. D.3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为( )A. B.-C. D.-4.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,则a3a5等于( )A.4 B.8C.16 D.325.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是其前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和等于( )A.或5 B.或5C. D.6.(多选)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,Sn=a·bn+c,a,b,c∈R,则( )A.ac<0B.b是数列{an}的公比C.数列{Sn}可能为等比数列D.数列{an}不可能为常数列7.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=,a5+a6=12,则S4= . 8.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,则项数n= ,a1= . 9.(10分)已知数列{an}是等比数列.(1)若a1=3,q=2,n=6,求Sn;(3分)(2)若a1=-2.7,q=-,an=,求Sn;(3分)(3)若a1=-1,a4=64,求q与S4.(4分)10.(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求数列{an}的公比q;(6分)(2)若a1-a3=3,求Sn.(6分)11.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q≠1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有+an+1=2an,则S5等于( )A.12 B.20C.11 D.2112.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N+,满足=9,=,则数列{an}的公比为( )A.-2 B.2C.-3 D.313.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7,则f(n)等于( )A. B.C. D.14.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则Sn= . 15.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N+)均在直线y=x+上.若bn=,则数列{bn}的前n项和Tn= . 16.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求{an}的通项公式;(6分)(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.(6分)答案精析1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.ABD7. 8.5 39.解 (1)S6===189.(2)Sn===-.(3)由q3===-64,得q=-4.∴S4===51.10.解 (1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-.(2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4.从而Sn==.11.C 12.B 13.D 14.15.解析 依题意得=n+,即Sn=n2+n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=2n-;当n=1时,a1=S1=,符合an=2n-,所以an=2n-(n∈N+),则bn==32n,由==32=9,可知{bn}为公比为9的等比数列,b1=32×1=9,故Tn==.16.解 (1)依题意,得2Sn=an+1-a1.于是,当n≥2时,有两式相减,得an+1=3an(n≥2).又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.因此,an=a1·3n-1(n∈N+).(2)因为Sn==a1·3n-a1,所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.要使为等比数列,则1+a1=0,即a1=-2.所以存在a1=-2使得数列{bn}为等比数列.作业14 等比数列的前n项和的性质及应用(分值:100分)单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共6分1.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 011,偶数项之和为2 022,则这个数列的公比为( )A.8 B.-2C.4 D.22.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( )A. B.-C. D.3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,此问题中1斗为10升,则牛主人应偿还多少升粟?( )A. B.C. D.4.设等比数列{an}的前n项和为10,前2n项和为60,则该数列的前4n项和为( )A.360 B.720C.1 560 D.1 8005.已知等比数列{an}有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则n等于( )A.2 B.3C.4 D.56.(多选)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则下列命题中正确的是( )A.Sn+1=Sn+anqB.Sn+1=S1+qSnC.S2,S4-S2,S6-S4成等比数列D.“q=-”是“Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列”的充要条件7.已知{an}是各项都为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,若S4=7,S8=21,则S16= . 8.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n= .(n∈N+)9.(10分)一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.10.(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足S3=7,S6=63.(1)求数列{an}的通项公式;(7分)(2)若bn=an+log2an,求数列的前n项和Tn.(5分)11.已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )A.40 B.60C.32 D.5012.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为( )A. B.C.1 D.213.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若S6-3S3=4,则S9-S6的最小值为 . 14.如图,画一个边长为4 cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,以此类推,这样一共画了5个正方形,则这5个正方形的面积的和是 cm2.15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y,都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=,an=f(n)(n∈N+),则数列{an}的前n项和Sn= . 16.(12分)某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业有促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an与bn的表达式;(7分)(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?(5分)答案精析1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.ABD7.105 8.69.解 方法一 设原等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N+).由已知a1=1,q≠1,有由②÷①,得q=2,∴=85,4n=256,∴n=4.故公比为2,项数为8.方法二 ∵S偶=a2+a4+…+=a1q+a3q+…+q=(a1+a3+…+)q=S奇·q,∴q===2.又Sn=85+170=255,由Sn=,得=255,∴2n=256,∴n=8.即公比q=2,项数n=8.10.解 (1)由题意知S6≠2S3,q≠1,由等比数列的前n项和的性质知,q3===8,故q=2,∴S3==7,代入q=2可得a1=1,∴an=2n-1.(2)由(1)知bn=2n-1+n-1,∴Tn=+[1+2+…+(n-1)]=2n+-1.11.B 12.D 13.32 14.3115.1-解析 令x=n,y=1,则f(n)·f(1)=f(n+1),又an=f(n),∴==f(1)=a1=,∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,∴Sn==1-.16.解 (1)第1年投入为800万元,第2年投入为800万元,…,第n年投入为800万元,∴n年内的总投入an=800+800+…+800=4 000.第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400万元,…,第n年旅游业收入为400万元,∴n年内的旅游业总收入bn=400+400+…+400=1 600.(2)旅游业的总收入超过总投入,即bn-an>0,即1 600-4 000>0,化简得5×+2×-7>0.设x=,代入上式并整理得5x2-7x+2>0,解得x<或x>1(舍去),∴<.又n∈N+,由此可得n≥5.故至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第五章 5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和.docx 第五章 5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和.pptx 第五章 5.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用.docx 第五章 5.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用.pptx 第五章 作业13 等比数列的前n项和.docx 第五章 作业14 等比数列的前n项和的性质及应用.docx