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北师大版2024-2025学年度九年级上册数学期末模拟测试卷
数学试卷
同学，你好！答题前请认真阅读以下内容：
1.本试卷共三大题，25小题，满分150分，完成试卷120分钟，考试形式为闭卷。
2.请在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效。
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题意。）
1．，则（ ）
A． B．2 C．3 D．-2
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
3．对于反比例函数，下列说法正确的是（　 　）
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．图象位于第二、四象限 D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
4．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．如果关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图像大致可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．菱形的边长为4，，点、分别是、上的动点，的最小值为（ ）
B．2
C．3 D．
8．一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　 　）
A．4个 B．8个 C．10个 D．14个
9．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（ ）
A．先增大，后减小 B．逐渐减小
C．逐渐增大 D．不变
10．如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（ ）
A． B．
C． D．
11．榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
12．一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回小球的重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在0.6左右，由此可知盒子中白的小球的个数可能是（　 　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．已知：，，且，则 ．
14．如果反比例函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，，点在轴上，在平面直角坐标系内存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ．
16．在一个不透明的袋中装有个红、紫两种颜色的球，除颜色外其他都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到紫球的频率稳定在左右，则袋中紫球大约有 个．
三、解答题（9个小题，共98分。）
17．（8分）解下列方程：
(1)； (2)．
18．（10分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根．（5分）
(2)当该方程的一个根为2时，求的值及该方程的另一个根．（5分）
19．（10分）如图，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为1的小正方体堆成一个几何体．
(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：___________（4分）
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．（6分）
20．（10分）已知： 如图， 在四边形中， ，．
求证：
(1)； （5分）
(2)． （5分）
21．（12分）如图，用10个棱长都为的小立方块堆成一个几何体．
(1)画出该几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图；（3分）
(2)求这个几何体的表面积；（5分）
(3)如果现在还有一些棱长都为的小立方块，要求从上面看和从左面看到的形状图都保持不变，最多可以再添加______个小立方块．（4分）
22．（12分）如图，是正方形的边上一点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)可以由顺时针旋转得到，旋转角是_______度；（4分）
(2)判断的形状，并证明；（4分）
(3)若，，求的长．（4分）
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点P为x轴上的一动点． 连接，当的面积为时，求点P的坐标．
24．（12分）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，是等腰直角三角形？（4分）
(2)当时，求t的值；（4分）
(3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
（4分）
25．（12分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号）
根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________：（4分）
(2)请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人：（4分）
(3)从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．（4分）
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试卷第1页，共3页
九年级上册 数学期末测试卷 第 1 页，共 4 页 九年级上册 数学期末测试卷 第 1 页，共 4 页
参考答案
选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题意。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C D D B D D
题号 11 12
答案 B B
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．
14．
15．或或或．
16．
三、解答题（9个小题，共98分。）
17．(1)， (2)，
18．（1）已知关于的一元二次方程，
∵，
∴该方程总有两个实数根．
（2）将代入原方程得，
，
解得，
当时，
原方程化为，，
则有，
其中有一根为，则，
即：，方程的另一根为．
19．（1）解：（），
故答案为：；
（2）如图所示：
20．解：（1），
，
即，
又，
（2），
，
，
又，
，
，
，
即，
，
，
即
21．（1）解：这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示．
（2）解：由（1）得，从正面看到的形状图的面积为，
从左面看到的形状图的面积为，
从上面看到的形状图的面积为，
所以该几何体的表面积为．
（3）解：如图：在从上面看到的形状图的相应位置增加相应数量的小立方块，使其从上面看和从左面看到的形状图都不变，所以最多可以再添加5个小立方块．
22．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可以由绕点顺时针旋转得到，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，理由，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：由（）得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴由勾股定理得．
23．（1）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴；
（2）由图象可知：的解集为：或；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
设直线与轴交于点，则：时，解得：，
∴，
设，则：，
由题意，得：的面积，
解得：或；
∴或．
24．（1）解：由运动知，，，
∴，
∵点P在从C向点A运动，点Q从点A向点C运动，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在运动过程中，线段不能平分的面积；
理由：假设在运动过程中，线段能平分的面积，
则，
由（2）知，，
∴，
∴，
而，
∴此方程无实数根，
∴在运动过程中，线段不能平分的面积．
25．（1）解：本次被调查的学生有：（人），
扇统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；；
（2）条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
（人）
∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为，
答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．
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