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东莞市2024—2025学年第一学期七校联考试卷
高二数学
满分150分，考试时间120分钟
一、单选题：共8小题，每小题5分.在每小题只有一项是符合题目要求.
1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．在中，已知，，，点为线段的中点，则边上的中线的长为（ ）
A．6 B． C． D．7
4．已知圆与圆相交于两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（ ）
B．
C． D．
如图①，在中，分别为上的点，
. 如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（ ）
B．
C． D．
8．已知椭圆与圆若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，l的方程为
10．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为 D．
11．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，若，则 .
已知点在焦点为的抛物线上，若，则 ．
14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 .
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知两直线和的交点为．
(1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
(2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程．
16．（15分）
如图，平行六面体中，，．
(1)以向量{}为基底表示向量，求对角线的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
17．（15分）
己知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线与椭圆C交于两点，求弦长；
(3)若直线与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线的方程.
18．(17分)
在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
19．（17分）
已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
东莞市2024—2025学年第一学期七校联考试卷
高二数学试卷答案
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D A B C D B C CD BD AD
填空题：
12． 13．3 14．
15【解】（1）直线与直线平行，故设直线为，（1分）
联立方程组，（2分）解得．（3分）
直线和的交点．
又直线过点，则，解得，（4分）
即直线的方程为．（5分）
（2）设所求圆的标准方程为，（6分）
的斜率为，故直线的斜率为1，（7分）
由题意可得 （9分）解得（11分）
故所求圆的方程为．（12分）
化为一般式：．（13分）
16【解】（1）以向量{}为基底，则有，（2分）
因为，，以三角形为等腰直角三角形，所以，（3分）
又因为，，所以三角形为边长为1的等边三角形，（4分）
（5分）
， （6分）
所以， （7分） 所以,即对角线的长度为3． （8分）
（2）因为， ，
， ， （9分）
所以 （11分）
, （12分）
所以（14分）
即异面直线与所成角的余弦值为. （15分）
17【解】（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点 （1分）
又因为长轴长为，（3分）
所以椭圆C的标准方程为.（4分）
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，（5分） 得，（6分）
所以，，（7分）
.（9分）
或解出交点坐标 （8分） （9分）
（3）法一：设，则中点是，
于是，（10分） 即，（11分）
由于在椭圆上，故，（12分）
两式相减得到，即，（13分）
故，显然，于是，（14分）
故直线的方程是，整理得（15分）
经检验，直线与双曲线有两个交点，合乎题意. (未检验，不扣分)
法二：①当直线l的斜率不存在时，的中点在轴上，不符合题意. （10分）
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为，（11分）
设，则中点是，于是，即，（12分）
联立，化简得，（13分）
由于，根据韦达定理， 解得（14分）
故直线的方程是，整理得（15分）
18【解】（1）若为中点，连接、，又M为AB的中点.∴，（1分）
由，则，（2分）
又△为等腰直角三角形，
，有，（3分）
由，则面，（4分）
∵面，∴. （5分）
（2）由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
∴， （6分）
则，，， （7分）
若为面的一个法向量，
则，令，即，（8分）
若为面的一个法向量，
则，令，即，（9分）
∴，（10分）
则平面与平面所成角的余弦值为.（11分）
（3）若存在N使得平面平面，且，，
则，，（12分） ，，（13分）
若是面的一个法向量，
则，令，则，（14分）
∴，（15分） 可得. （16分）
∴存在N使得平面平面，此时. （17分）
19【解】（1）由题意可知，因为，所以.（1分）
因为， ，（2分）得，
又因为在双曲线上，则，（3分）
所以. （4分）
所以双曲线C的方程为.（5分）
（2）（i）由题意知直线l的方程为.
联立，（6分） 化简得，（7分）
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，（8分）
即满足：，（10分）
所以或. （11分）
（ii），（12分）
直线AD的方程为，直线BE的方程为. （13分）
联立直线AD与BE的方程，得，（14分）
所以，所以，（15分）
所以.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.（17分）
试卷第8页，共8页

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