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第2讲 二次根式
知识精讲练
①了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根.（改动）
②了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的（删除）简单的四则运算.
知识点1 二次根式的有关概念及性质
意义 一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数
有意义的条件 （1）被开方数① ; （2）若根式在分母中出现，则被开方数大于0
最简二次根式 同时满足以下三个条件: （1）被开方数不含分母; （2）分母不含二次根式; （3）被开方数不含能开得尽方的因数或因式
二次根式的性质 （1）双重非负性：，； （2）; （3） ; （4）; （5）
知识点2 二次根式的运算
加减运算 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成③ 二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
乘除运算 乘法：④ ; 除法：⑤
分母有理化 （1）; （2）
知识点3 二次根式的估值
确定与二次根式相邻的两个连续整数 （1）先对根式进行平方; （2）找出与平方后所得数相邻的两个开得尽方的整数; （3）对以上两个整数开方; （4）确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间
确定二次根式离哪个整数最近 （1）确定与二次根式相邻的两个连续整数; （2）求这两个连续整数的平均数; （3）将这个平均数进行平方，再与二次根式的平方进行比较; （4）若平均数的平方小于二次根式的平方，则二次根式靠近较大的那个整数;若平均数的平方大于二次根式的平方，则二次根式靠近较小的那个整数; 熟记：,,
知识点4 非负数及其性质
常见的非负数 ；（或的偶次幂）；
非负数的性质 （1）非负数有最小值，最小值为0； （2）几个非负数的和仍然是非负数； （3）若几个非负数的和等于0，则每个非负数的值为0
考点小练
1．
（1） 当____________时，式子在实数范围内有意义;
（2） 把下列二次根式化为最简二次根式:
__________;
________.
2．
（1） ____________;
（2） ________;
（3） __________;
（4） ________.
3．
（1） __________;
（2） ________;
（3） __________;
（4） ________.
4．设为正整数，且，则的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5．与最接近的数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6．
（1） 若，则________;
（2） 若，则__________.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 二次根式的相关概念（2022.10）
1．[2022新疆10题]若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为________.
变式1-1．变条件——无意义 若在实数范围内无意义，则实数的值可以是__________________________.（写出一个即可）
变式1-2．变条件——分式 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是________________.（写出一个即可）
命题点2 二次根式的运算
拓展训练
2．[2024济宁]下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．[2024兰州].
4．[2024新疆三模节选]计算：.
命题点3 二次根式的估值（2024.4）
5．[2024新疆4题4分]估计的值在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
拓展训练
6．[2024资阳]若，则整数的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7．[2024盐城]矩形相邻两边长分别为,，设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5第2讲 二次根式
知识精讲练
①了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根.（改动）
②了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的（删除）简单的四则运算.
知识点1 二次根式的有关概念及性质
意义 一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数
有意义的条件 （1）被开方数①大于等于0; （2）若根式在分母中出现，则被开方数大于0
最简二次根式 同时满足以下三个条件: （1）被开方数不含分母; （2）分母不含二次根式; （3）被开方数不含能开得尽方的因数或因式
二次根式的性质 （1）双重非负性：，； （2）; （3） ; （4）; （5）
知识点2 二次根式的运算
加减运算 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成③最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
乘除运算 乘法：④ ; 除法：⑤
分母有理化 （1）; （2）
知识点3 二次根式的估值
确定与二次根式相邻的两个连续整数 （1）先对根式进行平方; （2）找出与平方后所得数相邻的两个开得尽方的整数; （3）对以上两个整数开方; （4）确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间
确定二次根式离哪个整数最近 （1）确定与二次根式相邻的两个连续整数; （2）求这两个连续整数的平均数; （3）将这个平均数进行平方，再与二次根式的平方进行比较; （4）若平均数的平方小于二次根式的平方，则二次根式靠近较大的那个整数;若平均数的平方大于二次根式的平方，则二次根式靠近较小的那个整数; 熟记：,,
知识点4 非负数及其性质
常见的非负数 ；（或的偶次幂）；
非负数的性质 （1）非负数有最小值，最小值为0； （2）几个非负数的和仍然是非负数； （3）若几个非负数的和等于0，则每个非负数的值为0
考点小练
1．
（1） 当____________时，式子在实数范围内有意义;
（2） 把下列二次根式化为最简二次根式:
__________;
________.
【答案】（1）
（2） ；
2．
（1） ____________;
（2） ________;
（3） __________;
（4） ________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
3．
（1） __________;
（2） ________;
（3） __________;
（4） ________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
4．设为正整数，且，则的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
5．与最接近的数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
6．
（1） 若，则________;
（2） 若，则__________.
【答案】（1）
（2）
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 二次根式的相关概念（2022.10）
1．[2022新疆10题]若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为________.
【答案】
变式1-1．变条件——无意义 若在实数范围内无意义，则实数的值可以是__________________________.（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
变式1-2．变条件——分式 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是________________.（写出一个即可）
【答案】5（答案不唯一）
命题点2 二次根式的运算
拓展训练
2．[2024济宁]下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．[2024兰州].
解：原式
.
4．[2024新疆三模节选]计算：.
解：原式
.
命题点3 二次根式的估值（2024.4）
5．[2024新疆4题4分]估计的值在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
【答案】A
拓展训练
6．[2024资阳]若，则整数的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
7．[2024盐城]矩形相邻两边长分别为,，设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
【答案】C

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