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第3讲 整式及因式分解
知识精讲练
①会把具体数代入代数式进行计算.（改动）
②理解（改动）乘法公式，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理（新增）.
③了解代数推理.（新增）
知识点1 代数式及其求值
代数式的概念 用运算符号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
代数式求值 直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中计算求值，这种方法常需要对已知代数式或要求值的代数式进行适当变形，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式等
知识点2 整式的相关概念
单项式 概念：数或字母的积表示的式子，单独一个数或一个字母也是单项式 系数：单项式中的数字因数 次数：一个单项式中所有字母指数的和
多项式 概念：几个单项式的和 项：多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 次数：多项式中次数最高项的次数，如的次数为2
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项
知识点3 整式的运算
加减运算 实质 整式加减运算的实质是合并同类项
合并同类项 （1）字母和字母的指数不变； （2）系数相加减作为新的系数
去括号法则 （1）括号前面是“”号，去括号时，括号内每一项都不变号; （2）括号前面是“-”号，去括号时，括号内每一项都变号
幂的运算（ ， 为正整数） （1）同底数幂相乘:底数不变，指数相加,即① ； （2）同底数幂相除:底数不变，指数相减,即② ； （3）幂的乘方：底数不变，指数相乘,即③ ； （4）积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘,即④
乘法运算 单项式乘单项式 把它们的系数与同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式如：⑤
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加：
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如：⑥
完全平方公式 公式：⑦ 几何背景： 【温馨提示】完全平方公式的常见变形： ; ; ; ; ⑤
平方差公式 公式:⑧ 几何背景： 【温馨提示】平方差公式的变形: ; ; ③;
除法运算 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：
多项式除以单项式 先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加如：
知识点4 因式分解
概念 把一个多项式化成几个整式的⑨ 的形式
基本方法 提公因式法
公式法
十字相乘法
一般步骤 一提：有公因式，先提公因式; 二套:没有公因式，两项考虑运用平方差公式，三项考虑运用完全平方公式; 三检查：检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止
【温馨提示】（1）分解因式与整式乘法是互逆运算,可用整式乘法检验分解因式的正确性; （2）因式分解最终的结果一定是乘积的形式
考点小练
1．
（1） 将糖装入个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋装入糖________；
（2） 购买1个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料，所需钱数为____________元；
（3） 每天完成的工作量为，则完成的工作量所需时间为________天.
2．若代数式的值为3，则的值为____________.
3．下列说法正确的是（ ）
A. 不是整式 B. 和是同类项
C. 是三次二项式 D. 的系数和次数都是3
4．若与是同类项，则的值为__________.
5．[2024德阳]下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．计算：
（1） ____________；
（2） ____________；
（3） ____________；
（4） ____________________;
（5） ________________;
（6） ________________________;
（7） ______________________;
（8） ______________;
（9） ____________________;
（10） ____________;
（11） ______________.
7．若，，且，都是正整数，则____________.
（用含，的代数式表示）
8．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
9．分解因式：
（1） __________________;
（2） ________________________;
（3） __________________;
（4） __________________.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 代数式及其求值（2024.10）
1．[2024新疆10题4分]若每个篮球30元，则购买个篮球需________元.
拓展训练
2．【人教七上P82 T7变式】，两地相距，甲、乙两人驾车分别以，的速度从地到地，且甲用的时间较少.
（1） 甲比乙少用的时间用代数式表示为______________；
（2） 当，，时，甲比乙少用的时间为____________.
命题点2 整式的运算（必考）
3．[2023新疆5题]计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4．[2024新疆3题4分]下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5．[2024新疆13题4分]如图，在正方形中，若面积，周长，则__________.
第5题图
拓展训练
6．[2024烟台]下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
7．[2024兰州]计算：（ ）
A. B. C. D.
8．[2024乐山]已知，，则__________.
9．将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为______________.
第9题图
命题点3 整式的化简与求值（6年2考）
答题规范
示范题：（2024甘肃省卷）先化简，再求值：，其中，. 第一步：展开完全平方式与平方差公式 解：原式 第二步：合并同类项 第三步：去括号 第四步：进行除法计算 第五步：代值计算 当，时，原式
10．[2023新疆16（2）题].
11．[2020新疆17题]先化简，再求值：，其中.
拓展训练
12．[2024赤峰节选]已知，求代数式的值.
命题点4 因式分解（2020.11）
13．[2020新疆11题]分解因式：______________________.
拓展训练
14．[2024江西]因式分解：________________.
15．[2024达州]分解因式：__________________.
命题点5 规律探索（2022.9）
16．[2022新疆9题]将全体正偶数排成一个三角形数阵：
第16题图
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A. 98 B. 100 C. 102 D. 104第3讲 整式及因式分解
知识精讲练
①会把具体数代入代数式进行计算.（改动）
②理解（改动）乘法公式，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理（新增）.
③了解代数推理.（新增）
知识点1 代数式及其求值
代数式的概念 用运算符号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
代数式求值 直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中计算求值，这种方法常需要对已知代数式或要求值的代数式进行适当变形，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式等
知识点2 整式的相关概念
单项式 概念：数或字母的积表示的式子，单独一个数或一个字母也是单项式 系数：单项式中的数字因数 次数：一个单项式中所有字母指数的和
多项式 概念：几个单项式的和 项：多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 次数：多项式中次数最高项的次数，如的次数为2
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项
知识点3 整式的运算
加减运算 实质 整式加减运算的实质是合并同类项
合并同类项 （1）字母和字母的指数不变； （2）系数相加减作为新的系数
去括号法则 （1）括号前面是“”号，去括号时，括号内每一项都不变号; （2）括号前面是“-”号，去括号时，括号内每一项都变号
幂的运算（ ， 为正整数） （1）同底数幂相乘:底数不变，指数相加,即① ； （2）同底数幂相除:底数不变，指数相减,即② ； （3）幂的乘方：底数不变，指数相乘,即③ ； （4）积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘,即④
乘法运算 单项式乘单项式 把它们的系数与同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式如：⑤
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加：
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如：⑥
完全平方公式 公式：⑦ 几何背景： 【温馨提示】完全平方公式的常见变形： ; ; ; ; ⑤
平方差公式 公式:⑧ 几何背景： 【温馨提示】平方差公式的变形: ; ; ③;
除法运算 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：
多项式除以单项式 先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加如：
知识点4 因式分解
概念 把一个多项式化成几个整式的⑨积的形式
基本方法 提公因式法
公式法
十字相乘法
一般步骤 一提：有公因式，先提公因式; 二套:没有公因式，两项考虑运用平方差公式，三项考虑运用完全平方公式; 三检查：检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止
【温馨提示】（1）分解因式与整式乘法是互逆运算,可用整式乘法检验分解因式的正确性; （2）因式分解最终的结果一定是乘积的形式
考点小练
1．
（1） 将糖装入个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋装入糖________；
（2） 购买1个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料，所需钱数为____________元；
（3） 每天完成的工作量为，则完成的工作量所需时间为________天.
【答案】（1）
（2）
（3）
2．若代数式的值为3，则的值为____________.
【答案】
3．下列说法正确的是（ ）
A. 不是整式 B. 和是同类项
C. 是三次二项式 D. 的系数和次数都是3
【答案】B
4．若与是同类项，则的值为__________.
【答案】
5．[2024德阳]下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
6．计算：
（1） ____________；
（2） ____________；
（3） ____________；
（4） ____________________;
（5） ________________;
（6） ________________________;
（7） ______________________;
（8） ______________;
（9） ____________________;
（10） ____________;
（11） ______________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
7．若，，且，都是正整数，则____________.
（用含，的代数式表示）
【答案】
8．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9．分解因式：
（1） __________________;
（2） ________________________;
（3） __________________;
（4） __________________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 代数式及其求值（2024.10）
1．[2024新疆10题4分]若每个篮球30元，则购买个篮球需________元.
【答案】
拓展训练
2．【人教七上P82 T7变式】，两地相距，甲、乙两人驾车分别以，的速度从地到地，且甲用的时间较少.
（1） 甲比乙少用的时间用代数式表示为______________；
（2） 当，，时，甲比乙少用的时间为____________.
【答案】（1）
（2）
命题点2 整式的运算（必考）
3．[2023新疆5题]计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024新疆3题4分]下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024新疆13题4分]如图，在正方形中，若面积，周长，则__________.
第5题图
【答案】
拓展训练
6．[2024烟台]下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
7．[2024兰州]计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．[2024乐山]已知，，则__________.
【答案】
9．将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为______________.
第9题图
【答案】
命题点3 整式的化简与求值（6年2考）
答题规范
示范题：（2024甘肃省卷）先化简，再求值：，其中，. 第一步：展开完全平方式与平方差公式 解：原式 第二步：合并同类项 第三步：去括号 第四步：进行除法计算 第五步：代值计算 当，时，原式
10．[2023新疆16（2）题].
解：原式
.
11．[2020新疆17题]先化简，再求值：，其中.
解：原式
，
当时，原式.
拓展训练
12．[2024赤峰节选]已知，求代数式的值.
解：原式
.
，
.
当时，
原式.
命题点4 因式分解（2020.11）
13．[2020新疆11题]分解因式：______________________.
【答案】
拓展训练
14．[2024江西]因式分解：________________.
【答案】
15．[2024达州]分解因式：__________________.
【答案】
命题点5 规律探索（2022.9）
16．[2022新疆9题]将全体正偶数排成一个三角形数阵：
第16题图
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A. 98 B. 100 C. 102 D. 104
【答案】B

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