第3讲 整式及因式分解 学案(学生版+教师版) 2025年中考数学一轮复习考点探究(新疆)

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第3讲 整式及因式分解 学案(学生版+教师版) 2025年中考数学一轮复习考点探究(新疆)

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第3讲 整式及因式分解
知识精讲练
①会把具体数代入代数式进行计算.(改动)
②理解(改动)乘法公式,,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理(新增).
③了解代数推理.(新增)
知识点1 代数式及其求值
代数式的概念 用运算符号把数和字母连接而成的式子,叫做代数式;单独的一个数或一个字母也是代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
代数式求值 直接代入法 把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中计算求值,这种方法常需要对已知代数式或要求值的代数式进行适当变形,一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式等
知识点2 整式的相关概念
单项式 概念:数或字母的积表示的式子,单独一个数或一个字母也是单项式 系数:单项式中的数字因数 次数:一个单项式中所有字母指数的和
多项式 概念:几个单项式的和 项:多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项 次数:多项式中次数最高项的次数,如的次数为2
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 所含字母相同,且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,所有的常数项都是同类项
知识点3 整式的运算
加减运算 实质 整式加减运算的实质是合并同类项
合并同类项 (1)字母和字母的指数不变; (2)系数相加减作为新的系数
去括号法则 (1)括号前面是“”号,去括号时,括号内每一项都不变号; (2)括号前面是“-”号,去括号时,括号内每一项都变号
幂的运算( , 为正整数) (1)同底数幂相乘:底数不变,指数相加,即① ; (2)同底数幂相除:底数不变,指数相减,即② ; (3)幂的乘方:底数不变,指数相乘,即③ ; (4)积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即④
乘法运算 单项式乘单项式 把它们的系数与同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式如:⑤
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加:
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,如:⑥
完全平方公式 公式:⑦ 几何背景: 【温馨提示】完全平方公式的常见变形: ; ; ; ; ⑤
平方差公式 公式:⑧ 几何背景: 【温馨提示】平方差公式的变形: ; ; ③;
除法运算 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除,作为商的一个因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式如:
多项式除以单项式 先用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加如:
知识点4 因式分解
概念 把一个多项式化成几个整式的⑨ 的形式
基本方法 提公因式法
公式法
十字相乘法
一般步骤 一提:有公因式,先提公因式; 二套:没有公因式,两项考虑运用平方差公式,三项考虑运用完全平方公式; 三检查:检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止
【温馨提示】(1)分解因式与整式乘法是互逆运算,可用整式乘法检验分解因式的正确性; (2)因式分解最终的结果一定是乘积的形式
考点小练
1.
(1) 将糖装入个包装袋中,每袋糖的质量相同,每袋装入糖________;
(2) 购买1个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料,所需钱数为____________元;
(3) 每天完成的工作量为,则完成的工作量所需时间为________天.
2.若代数式的值为3,则的值为____________.
3.下列说法正确的是( )
A. 不是整式 B. 和是同类项
C. 是三次二项式 D. 的系数和次数都是3
4.若与是同类项,则的值为__________.
5.[2024德阳]下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.计算:
(1) ____________;
(2) ____________;
(3) ____________;
(4) ____________________;
(5) ________________;
(6) ________________________;
(7) ______________________;
(8) ______________;
(9) ____________________;
(10) ____________;
(11) ______________.
7.若,,且,都是正整数,则____________.
(用含,的代数式表示)
8.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
9.分解因式:
(1) __________________;
(2) ________________________;
(3) __________________;
(4) __________________.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 代数式及其求值(2024.10)
1.[2024新疆10题4分]若每个篮球30元,则购买个篮球需________元.
拓展训练
2.【人教七上P82 T7变式】,两地相距,甲、乙两人驾车分别以,的速度从地到地,且甲用的时间较少.
(1) 甲比乙少用的时间用代数式表示为______________;
(2) 当,,时,甲比乙少用的时间为____________.
命题点2 整式的运算(必考)
3.[2023新疆5题]计算的结果是( )
A. B. C. D.
4.[2024新疆3题4分]下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.[2024新疆13题4分]如图,在正方形中,若面积,周长,则__________.
第5题图
拓展训练
6.[2024烟台]下列计算结果为的是( )
A. B. C. D.
7.[2024兰州]计算:( )
A. B. C. D.
8.[2024乐山]已知,,则__________.
9.将一个长为,宽为的矩形纸片,用剪刀沿图1中的虚线剪开,分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片,然后按图2的方式拼成一个正方形,则中间小正方形的面积为______________.
第9题图
命题点3 整式的化简与求值(6年2考)
答题规范
示范题:(2024甘肃省卷)先化简,再求值:,其中,. 第一步:展开完全平方式与平方差公式 解:原式 第二步:合并同类项 第三步:去括号 第四步:进行除法计算 第五步:代值计算 当,时,原式
10.[2023新疆16(2)题].
11.[2020新疆17题]先化简,再求值:,其中.
拓展训练
12.[2024赤峰节选]已知,求代数式的值.
命题点4 因式分解(2020.11)
13.[2020新疆11题]分解因式:______________________.
拓展训练
14.[2024江西]因式分解:________________.
15.[2024达州]分解因式:__________________.
命题点5 规律探索(2022.9)
16.[2022新疆9题]将全体正偶数排成一个三角形数阵:
第16题图
按照以上排列的规律,第10行第5个数是( )
A. 98 B. 100 C. 102 D. 104第3讲 整式及因式分解
知识精讲练
①会把具体数代入代数式进行计算.(改动)
②理解(改动)乘法公式,,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理(新增).
③了解代数推理.(新增)
知识点1 代数式及其求值
代数式的概念 用运算符号把数和字母连接而成的式子,叫做代数式;单独的一个数或一个字母也是代数式
列代数式 把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
代数式求值 直接代入法 把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中计算求值,这种方法常需要对已知代数式或要求值的代数式进行适当变形,一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式等
知识点2 整式的相关概念
单项式 概念:数或字母的积表示的式子,单独一个数或一个字母也是单项式 系数:单项式中的数字因数 次数:一个单项式中所有字母指数的和
多项式 概念:几个单项式的和 项:多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项 次数:多项式中次数最高项的次数,如的次数为2
整式 单项式和多项式统称为整式
同类项 所含字母相同,且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,所有的常数项都是同类项
知识点3 整式的运算
加减运算 实质 整式加减运算的实质是合并同类项
合并同类项 (1)字母和字母的指数不变; (2)系数相加减作为新的系数
去括号法则 (1)括号前面是“”号,去括号时,括号内每一项都不变号; (2)括号前面是“-”号,去括号时,括号内每一项都变号
幂的运算( , 为正整数) (1)同底数幂相乘:底数不变,指数相加,即① ; (2)同底数幂相除:底数不变,指数相减,即② ; (3)幂的乘方:底数不变,指数相乘,即③ ; (4)积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即④
乘法运算 单项式乘单项式 把它们的系数与同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式如:⑤
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加:
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,如:⑥
完全平方公式 公式:⑦ 几何背景: 【温馨提示】完全平方公式的常见变形: ; ; ; ; ⑤
平方差公式 公式:⑧ 几何背景: 【温馨提示】平方差公式的变形: ; ; ③;
除法运算 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除,作为商的一个因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式如:
多项式除以单项式 先用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加如:
知识点4 因式分解
概念 把一个多项式化成几个整式的⑨积的形式
基本方法 提公因式法
公式法
十字相乘法
一般步骤 一提:有公因式,先提公因式; 二套:没有公因式,两项考虑运用平方差公式,三项考虑运用完全平方公式; 三检查:检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止
【温馨提示】(1)分解因式与整式乘法是互逆运算,可用整式乘法检验分解因式的正确性; (2)因式分解最终的结果一定是乘积的形式
考点小练
1.
(1) 将糖装入个包装袋中,每袋糖的质量相同,每袋装入糖________;
(2) 购买1个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料,所需钱数为____________元;
(3) 每天完成的工作量为,则完成的工作量所需时间为________天.
【答案】(1)
(2)
(3)
2.若代数式的值为3,则的值为____________.
【答案】
3.下列说法正确的是( )
A. 不是整式 B. 和是同类项
C. 是三次二项式 D. 的系数和次数都是3
【答案】B
4.若与是同类项,则的值为__________.
【答案】
5.[2024德阳]下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
6.计算:
(1) ____________;
(2) ____________;
(3) ____________;
(4) ____________________;
(5) ________________;
(6) ________________________;
(7) ______________________;
(8) ______________;
(9) ____________________;
(10) ____________;
(11) ______________.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
7.若,,且,都是正整数,则____________.
(用含,的代数式表示)
【答案】
8.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
9.分解因式:
(1) __________________;
(2) ________________________;
(3) __________________;
(4) __________________.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 代数式及其求值(2024.10)
1.[2024新疆10题4分]若每个篮球30元,则购买个篮球需________元.
【答案】
拓展训练
2.【人教七上P82 T7变式】,两地相距,甲、乙两人驾车分别以,的速度从地到地,且甲用的时间较少.
(1) 甲比乙少用的时间用代数式表示为______________;
(2) 当,,时,甲比乙少用的时间为____________.
【答案】(1)
(2)
命题点2 整式的运算(必考)
3.[2023新疆5题]计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.[2024新疆3题4分]下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
5.[2024新疆13题4分]如图,在正方形中,若面积,周长,则__________.
第5题图
【答案】
拓展训练
6.[2024烟台]下列计算结果为的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
7.[2024兰州]计算:( )
A. B. C. D.
【答案】D
8.[2024乐山]已知,,则__________.
【答案】
9.将一个长为,宽为的矩形纸片,用剪刀沿图1中的虚线剪开,分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片,然后按图2的方式拼成一个正方形,则中间小正方形的面积为______________.
第9题图
【答案】
命题点3 整式的化简与求值(6年2考)
答题规范
示范题:(2024甘肃省卷)先化简,再求值:,其中,. 第一步:展开完全平方式与平方差公式 解:原式 第二步:合并同类项 第三步:去括号 第四步:进行除法计算 第五步:代值计算 当,时,原式
10.[2023新疆16(2)题].
解:原式
.
11.[2020新疆17题]先化简,再求值:,其中.
解:原式

当时,原式.
拓展训练
12.[2024赤峰节选]已知,求代数式的值.
解:原式
.

.
当时,
原式.
命题点4 因式分解(2020.11)
13.[2020新疆11题]分解因式:______________________.
【答案】
拓展训练
14.[2024江西]因式分解:________________.
【答案】
15.[2024达州]分解因式:__________________.
【答案】
命题点5 规律探索(2022.9)
16.[2022新疆9题]将全体正偶数排成一个三角形数阵:
第16题图
按照以上排列的规律,第10行第5个数是( )
A. 98 B. 100 C. 102 D. 104
【答案】B

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