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第5讲 一次方程（组）及其应用
知识精讲练
①能根据现实情境理解方程的意义（新增），能针对具体问题列出方程（改动）；理解方程解的意义（新增）.
②掌握代入（删除）消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组.
知识点1 等式的性质
数学表达 在解方程中的应用
性质1 等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果,那么① 移项
性质2 等式两边都乘同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果,那么② ;如果,那么③ 去分母，系数化为1
知识点2 一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，一般形式为，是常数，且
解法步骤 （1）去分母：去分母不要漏乘常数项； （2）去括号：括号前的数要乘括号里的每一项，括号前是“-”号时，去括号后，括号里的每一项都要变号; （3）移项：移项一定要变号; （4）合并同类项：系数相加时，不能漏掉符号; （5）系数化为1：分子与分母不要颠倒
知识点3 二元一次方程（组）及其解法
二元一次方程 概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
二元一次方程组 概念 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程
二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解
二元一次方程组的解法 基本思路 二元一次方程组一元一次方程
消元方法 代入消元法 运用类型：①方程组中一个方程的常数项为0；②方程组中某个未知数的系数是1或
加减消元法 运用类型：①方程组中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍；②方程组中同一未知数的系数不相同也不互为相反数，找同一未知数系数的最小公倍数
二元一次方程组解的应用 若是关于，的二元一次方程组的解，则
知识点4 一次方程（组）的实际应用
一般步骤 （1）审清题意；（2）设关键未知数;（3）寻找等量关系列方程; （4）解方程（组），求未知数;（5）检验解是否正确且符合题意; （6）规范作答
常见类型及关系式 购买问题 总价单价×数量， 甲单价×甲数量乙单价×乙数量总价， 甲数量乙数量总数量
销售问题 售价标价×折扣， 销售额售价×销量， 利润售价-进价， 利润率， 总利润单件利润×销量
工程问题 工作总量工作效率×工作时间； 工作总量各部分工作量之和
行程问题 基本关系式：路程速度×时间 （1）相遇问题：甲走的路程乙走的路程全程 （2）追及问题: ①同地不同时：先行者走的路程追及者走的路程 ②同时不同地：前面人走的路程两地间的距离后面人走的路程
配套问题 如果件甲产品与件乙产品配成一套,那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍
考点小练
1．下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. ，则
2．
（1） 若是关于的一元一次方程，则的值为__________；
（2） 若是关于的一元一次方程的解，则__________.
3．解方程：.
4．已知是方程的一组解，那么的值是________.
5．已知关于，的方程组的解满足，则________.
6．解方程组：.
． 4乌鲁木齐模拟]某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天.若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用天完成，则可列方程为______________________.
8．[2024宜宾改编]元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是__________.
9．某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元.
（1） 若书店恰好用了2300元购进这100本图书，则购进甲图书__________本，购进乙图书__________本；
（2） 在（1）的条件下，在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打八折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利460元，则乙图书应打__折出售.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 解一次方程（组）［2024.17（1）］
1．[2024新疆17（1）题6分]解方程：.
拓展训练
2．解方程组：.
）的实际应用（6年2考）
3．[2021新疆8题]某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜场，负场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．[2023新疆17（2）题]金秋时节，新疆瓜果飘香，某水果店种水果每千克5元，种水果每千克8元，小明买了，两种水果共7千克，花了41元.，两种水果各买了多少千克？
训练
5．[2024赤峰]用1块型钢板可制成3块型钢板和4块型钢板；用1块型钢板可制成5块型钢板和2块型钢板.现在需要58块型钢板、40块型钢板，问恰好用型钢板、型钢板各多少块？如果设用型钢板块，用型钢板块，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
6．[2024北京]为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为.判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.第5讲 一次方程（组）及其应用
知识精讲练
①能根据现实情境理解方程的意义（新增），能针对具体问题列出方程（改动）；理解方程解的意义（新增）.
②掌握代入（删除）消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组.
知识点1 等式的性质
数学表达 在解方程中的应用
性质1 等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果,那么① 移项
性质2 等式两边都乘同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果,那么② ;如果,那么③ 去分母，系数化为1
知识点2 一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，一般形式为，是常数，且
解法步骤 （1）去分母：去分母不要漏乘常数项； （2）去括号：括号前的数要乘括号里的每一项，括号前是“-”号时，去括号后，括号里的每一项都要变号; （3）移项：移项一定要变号; （4）合并同类项：系数相加时，不能漏掉符号; （5）系数化为1：分子与分母不要颠倒
知识点3 二元一次方程（组）及其解法
二元一次方程 概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
二元一次方程组 概念 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程
二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解
二元一次方程组的解法 基本思路 二元一次方程组一元一次方程
消元方法 代入消元法 运用类型：①方程组中一个方程的常数项为0；②方程组中某个未知数的系数是1或
加减消元法 运用类型：①方程组中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍；②方程组中同一未知数的系数不相同也不互为相反数，找同一未知数系数的最小公倍数
二元一次方程组解的应用 若是关于，的二元一次方程组的解，则
知识点4 一次方程（组）的实际应用
一般步骤 （1）审清题意；（2）设关键未知数;（3）寻找等量关系列方程; （4）解方程（组），求未知数;（5）检验解是否正确且符合题意; （6）规范作答
常见类型及关系式 购买问题 总价单价×数量， 甲单价×甲数量乙单价×乙数量总价， 甲数量乙数量总数量
销售问题 售价标价×折扣， 销售额售价×销量， 利润售价-进价， 利润率， 总利润单件利润×销量
工程问题 工作总量工作效率×工作时间； 工作总量各部分工作量之和
行程问题 基本关系式：路程速度×时间 （1）相遇问题：甲走的路程乙走的路程全程 （2）追及问题: ①同地不同时：先行者走的路程追及者走的路程 ②同时不同地：前面人走的路程两地间的距离后面人走的路程
配套问题 如果件甲产品与件乙产品配成一套,那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍
考点小练
1．下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. ，则
【答案】A
2．
（1） 若是关于的一元一次方程，则的值为__________；
（2） 若是关于的一元一次方程的解，则__________.
【答案】（1）
（2）
3．解方程：.
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得.
4．已知是方程的一组解，那么的值是________.
【答案】
5．已知关于，的方程组的解满足，则________.
【答案】
6．解方程组：.
解：把①变形为，
把③代入②,得，
解得.
把代入①,得,
所以方程组的解为.
7．[2024乌鲁木齐模拟]某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天.若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用天完成，则可列方程为______________________.
【答案】
8．[2024宜宾改编]元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是__________.
【答案】
9．某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元.
（1） 若书店恰好用了2300元购进这100本图书，则购进甲图书__________本，购进乙图书__________本；
（2） 在（1）的条件下，在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打八折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利460元，则乙图书应打__折出售.
【答案】（1） ；
（2） 九
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 解一次方程（组）［2024.17（1）］
1．[2024新疆17（1）题6分]解方程：.
解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得.
拓展训练
2．解方程组：.
解：，由①，得，
将③代入②，得，
解得，将代入③，得，
原方程组的解为.
命题点2 一次方程（组）的实际应用（6年2考）
3．[2021新疆8题]某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜场，负场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
4．[2023新疆17（2）题]金秋时节，新疆瓜果飘香，某水果店种水果每千克5元，种水果每千克8元，小明买了，两种水果共7千克，花了41元.，两种水果各买了多少千克？
解：设小明购买种水果千克，种水果千克，
由题意，得，
解得.
答：小明购买种水果5千克，种水果2千克.
拓展训练
5．[2024赤峰]用1块型钢板可制成3块型钢板和4块型钢板；用1块型钢板可制成5块型钢板和2块型钢板.现在需要58块型钢板、40块型钢板，问恰好用型钢板、型钢板各多少块？如果设用型钢板块，用型钢板块，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
6．[2024北京]为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为.判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
解：这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”，理由如下：
设该汽车技术改进前的类物质排放量为，则该汽车技术改进前的类物质排放量为，
根据题意，得，
解得，
这次技术改进后该汽车的类物质排放量为.
“标准”要求类物质排放量不超过，
这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”.

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